九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的线段试题 (新版)青岛版
青岛版初中数学九年级上册《直线与圆的位置关系》同步测试练习题卷练习题2
二、选择题：
O
B
C
ͼ3-28
1. 如图 3-28，△ABC 中，∠A = 70°，⊙O 在△ABC 的三条边上所截得的弦长
都相等，则∠BOC 的度数是（ ）；
A. 140°
B. 135°
C. 130°
D. 125°
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 16 cm，O 是 AB 边上的一点，
D A O BC
ͼ3-29
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【综合练习】 已知：如图 3-30，BC 是⊙O 的直径，A 是弦 BD 延长线上一点，切线 DE 交 AC 于点 E，且 AE = EC. 你能确定 AC 与⊙O 的位置关系吗？请说明理由.
A
D
E
B
OC
ͼ3-30
Байду номын сангаас
【探究练习】
如图 3-31，已知：在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 13 cm，AB = 5 cm，O 是
144 （1） ；
13 （2）AC 与⊙O 相切（提示：过 O 作 OE⊥AC，设垂足为 E，证 OE = 2.4 cm）.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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青岛版初中数学 重点知识精选
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3.4 直线与圆的位置关系
【基础练习】
一、填空题：
1. 已知点 O 是∠ABC 的角平分线上一点，若以 O 为圆心的⊙O 与 AB 相切，则
九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题新版青岛版20180719344
三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
如何判定直线和圆相切？以下三招可以 助你一臂之力！第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点 A 是直线 AB 与圆 O 的公共点，如果OA⊥AB ，那么直线 AB 是圆 O 的一条切线。
说 明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题 1 如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ，∠AOC=30°，半径为 1cm 的圆 P 的圆心在射线 OA 上，开始时，PO=6cm ，如果圆 P 以 1cm/秒的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么当圆 P 的运动 时间 t （秒）满足什么条件时，圆 P 与直线 CD 相切？DA P O BC解析：要想保证圆 P 与直线 CD 相切，就要使点 P 到直线 CD 的距离等于 1cm 。
符合条件的 圆有两个，圆心分别在点 O 的两侧。
答案：如下图DA P 1 E FP 2 OB C（1）当圆P运动到点P1时，可得，又因为∠AOC=30°，所以PE CO OP PE1 2 1 21 16 2=2cm，所以圆P运动到圆P所用的时间t 4 （秒）；1 11（2）当圆P继续向B运动，当点P到达点P2时，F P2=1cm同理可得： 2 8 （秒）。
t点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在Rt△ABC中，C90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D、E，且CBD A。
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的角试题新版青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
OBACD说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题； 由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
示例：如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
解：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=21（180°－50°）=65°，故选C 。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版
圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。
求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F∵AC=BD∴AC BD=∴AB CD=∴AB=CD∴OE OFOEP OFP OP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠OPE=∠OPF∴ PO平分∠APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。
求证：DE为⊙O的切线。
解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE 为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 (新版)青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）示例：如图，AB是⊙O的切线，BA. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
1解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2（180°－50°）=65°，故选C。
例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的动态问题试题新版青岛版
与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。
解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。
根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。
所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA ＝2OP，∴∠OA P＝30°。
故选A。
答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。
2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 (新版)青岛版
与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）示例：如图，AB是⊙O的切线，B为切点，A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
1解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2（180°－50°）=65°，故选C。
例题已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D。
2020九年级数学上册 专题突破讲练 三招判定切线试题 (新版)青岛版
三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点A是直线AB与圆O的公共点，如果OA⊥AB，那么直线AB是圆O的一条切线。
说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题1 如图，直线AB、CD相交于点O，∠A OC=30°，半径为1cm的圆P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm，如果圆P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当圆P 的运动时间t（秒）满足什么条件时，圆P与直线CD相切？PDCO BA解析：要想保证圆P与直线CD相切，就要使点P到直线CD的距离等于1cm。
符合条件的圆有两个，圆心分别在点O的两侧。
答案：如下图（1）当圆P 11又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）； （2）当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得：28t =（秒）。
点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D 、E ，且CBD A ∠=∠。
判断直线BD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论。
解析：本题是常见的切线问题，根据图形中各个角的关系得出∠ODB=90°即可。
青岛版初中数学九年级上册《直线与圆的位置关系》同步测试练习题卷练习题1
添加其他线段和字母的条件下，根据题设提供的信息，写出至少五个正确结论.
A
OC
P
B ͼ3-26
TB:小初高题库
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参考答案 【基础练习】 一、1. 相离，相切，相交； 2. 8 cm； 3. 28. 二、1. D； 2. C. 三、1. 略. 2. 略. 【综合练习】 点 D 到 BC 和到 BE 的距离相等（提示：过 B 作⊙O 的直径 BF，连接 DB、 DF）.. 【探究练习】
∠OAB =∠OBA =∠APO =∠BPO，∠POA =∠POB，∠PAB =∠PBA， OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥PO，AC = BC，PA = PB，△AOC ∽△PAC
∽△POA，OA2 = OC·OP，AC2 = OC·PC 等.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
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【综合练习】 已知：如图 3-25，△ABC 的∠A 的平分线和它的外接圆 O 相交于点 D，BE 切 ⊙O 于点 B. 试判断点 D 到 BC 和到 BE 的距离间的关系，并证明你的结论.
A
【探究练习】
O
B
C
D E ͼ3-25
如图 3-26，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点，AB、PO 相交于点 C. 在不
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【基础练习】
一、填空题：
1. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，以 C 为圆心，r 为半径作
九年级数学上册 专题突破讲练 剖析与圆有关的计算试题 (新版)青岛版
剖析与圆有关的计算圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。
3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。
因此要善于发现和构造相似三角形。
常见的相似三角形模型有：例题（南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO。
试证明BG＝PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝33。
求弦CD的长。
解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。
（2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。
（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝33，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。
解答：（1）证明：连结OP，∵EP＝EG，∴∠EPG＝∠EGP，又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，∴∠EPG＋∠OPB＝90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2＝BF•BO，∴BG BF BO BG，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°，由垂线定理知：BG ＝PG ；（3）解：如图，连结AC 、BC 、OG 、OP ，∵sinB∴OG OB = ∵OB ＝r ＝3，∴OG由（2）得∠EPG ＋∠OPB ＝90°， ∠B ＋∠BGF ＝∠OGF ＋∠BGF ＝90°， ∴∠B ＝∠OGF ，∴sin ∠OGF ＝OFOG∴OF ＝1，∴BF ＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4， 在Rt △BCA 中，CF 2＝BF •FA ，∴CF ==∴CD ＝2CF ＝点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。
九年级数学上册 专题突破讲练 圆的周长和弧长试题 (新版)青岛版
圆的周长和弧长1. 弧长公式：圆周长C=2πR （其中R 为圆的半径)，即为圆心角是360°的弧长。
因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360,即2R 360180R ππ=，所以n °的圆心角所对的弧长为180n R π。
即在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l =180n R π. 说明：（1)在应用公式进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°的圆心角的倍数。
公式中的n 、180都不带单位.（2）同圆中圆心角n °越大，弧长越长;相等的圆心角半径越大，所对的弧长越大，L 与n 、R 两个因素有关。
2。
易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和.直接利用公式求弧长例题1 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC,若∠ABC=120°，OC=3,则⋂BC 的长为（ ）A 。
πB 。
2πC 。
3πD 。
5π解析：连接OB ，由于AB 是切线,那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC,那么∠OBC=∠OCB,进而求出∠BOC 的度数,在利用弧长公式即可求出⋂BC 的长.解：连接OB.∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°。
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°。
∴∠BOC=120°.∴⋂BC 的长为12032180180n r πππ⨯⨯==，故选B 。
答案：B点拨：利用弧长公式计算弧长时,关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键是连接OB ，构造直角三角形.例题2 如图,在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( ）A. 10πB 。
九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性试题青岛版(2021年整理)
九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性试题（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性试题（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性试题（新版）青岛版的全部内容。
认识圆的轴对称性1。
垂径定理的内容垂径定理:垂直于非直径的弦的直径，平分弦且平分弦所对的两段弧。
符号语言：如图，圆O中，如果直径CD⊥AB于E，那么有结论:AE＝BE，AD＝BD，CA＝CB。
说明：（1）垂径定理是由圆是轴对称图形（直径所在的直线是对称轴）得来的.(2)定理中为什么不能遗忘“不是直径"这个附加条件？因为若是直径，由于两条直径总是互相平分的,因此不会有垂径定理的其他结论。
（3)概括成一句话:直径平分弦（不是直径）(4)一条直线①过圆心；②垂直于一条弦;③平分这条弦;④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外）。
2. 垂径定理的应用垂径定理在中考中经常和勾股定理结合使用：如图，如果直径CD ⊥AB 于E，当我们连接圆心O和点A时,利用垂径定理可以得到直角三角形OAE，进而可以利用勾股定理进行相关的计算。
例如：直径CD ⊥AB于E,弦AB＝2a,半径为r,求OE、DE的长。
由AB＝2a,根据垂径定理可以得到AE＝a，进而，DE＝r－OE＝r－22r a利用垂径定理和勾股定理解决圆中的相关计算问题例题1 （西青区二模）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8,求OP的长。
九年级数学上册 专题突破讲练 四点共圆问题大盘点试题 (新版)青岛版
四点共圆问题大盘点1. 四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2. 四点共圆常用的判定方法：判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。
如果：OA=OB=O C=OD，则A、B、C、D四点共圆。
判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
如果：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
如果：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。
如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于点P ，若PA ·PC =PB ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
（相交弦定理的逆定理）例题 （郑州模拟）如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
（1）求证：A 、E 、F 、D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求A 、E 、F 、D 所在圆的半径。
解析：（1）依题意，可证得△BAD ≌△CBE ，从而得到∠ADB =∠BEC ⇒∠ADF +∠AEF =180°，即可证得A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）取AE 的中点G ，连接GD ，可证得△AGD 为正三角形，GA =GE =GD =32，即点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为32。
答案：（1）证明：∵AE =32AB ， ∴BE =31AB ， ∵在正△ABC 中，AD =31AC ， ∴AD =BE ，又∵AB =BC ，∠BAD =∠CBE ， ∴△BAD ≌△CBE ， ∴∠ADB =∠BEC ，即∠ADF +∠AEF =180°，所以A ，E ，F ，D 四点共圆。
九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版
圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。
求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F∵AC=BD∴»»AC BD=∴»»AB CD=∴AB=CD∴OE OFOEP OFP OP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠OPE=∠OPF∴ PO平分∠APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。
2020九年级数学上册 专题突破讲练 三招判定切线试题 (新版)青岛版
三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：确定直线和圆交点的个数。
如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点。
第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。
如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条线是圆的一条切线。
说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图：点A 是直线AB 与圆O 的公共点，如果OA⊥AB，那么直线AB 是圆O 的一条切线。
说明：该定理必须具备两个条件：⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可。
例题1 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠A OC=30°，半径为1cm 的圆P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO=6cm ，如果圆P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当圆P 的运动时间t （秒）满足什么条件时，圆P 与直线CD 相切？P DCOBA解析：要想保证圆P 与直线CD 相切，就要使点P 到直线CD 的距离等于1cm 。
符合条件的圆有两个，圆心分别在点O 的两侧。
答案：如下图P 2P 1F EDC OBA（1）当圆P 运动到点P 1时，可得1PE CO ⊥，又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）；（2）当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得：28t =（秒）。
点拨：根据圆心到直线的距离可以判定圆和直线的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径，则直线和圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线和圆相离；当圆心到直线的距离小于半径，则直线和圆相交。
例题2 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D 、E ，且CBD A ∠=∠。
青岛市九年级数学上册第二十四章《圆》习题(含答案解析)
一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5 3．下列说法正确的是（ ）A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等B ．三点确定一个圆C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．90°的圆心角所对的弦是直径4．如图，在半径为8的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，30D ︒∠=，下列结论不正确的是（ ）A ．OA BC ⊥B ．83BC =C ．四边形ABOC 是菱形D ．扇形OAC 的面积为643π 5．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．10cmB ．12.5cmC ．15cmD ．17cm 6．如图，AB 圆O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM DM =B ．CB BD =C ．ACD ADC ∠=∠ D ．OM MB =7．下列事件属于确定事件的为（ ） A ．氧化物中一定含有氧元素 B ．弦相等，则所对的圆周角也相等C ．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎D ．物体不受任何力的时候保持静止状态 8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C 233D ．1679．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 10．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若32BE EC =，则AC 是O 的切线 D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线 11．已知⊙O 的直径为6，圆心O 到直线l 的距离为3，则能表示直线l 与⊙O 的位置关系的图是（ ） A ． B ．C ．D ．12．下列命题中，正确的是（ ）A ．平面上三个点确定一个圆B ．等弧所对的圆周角相等C ．三角形的外心在三角形的外面D ．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线 13．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若∠OCA =50°，OB =2，则弧BC 的长为（ ）A ．103πB ．59π C ．109π D ．518π 14．如图，C 、D 是以AB 为直径的O 上的两个动点（点C 、D 不与A 、B 重合），在运动过程中弦CD 始终保持长度不变，M 是弦CD 的中点，过点C 作CP AB ⊥于点P ．若3CD =，5AB =，PM x =，则x 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．2.5D ．23 15．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题16．如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 交于点E ，连接BI 、CI 、BD 、DC ．下列说法：①CAD DAB ∠=∠，②AI BI CI ==，③1902BIC BAC ∠=︒+∠；④点D 是BIC △的外心；正确的有______．（填写正确说法的序号）17．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．18．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．19．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．20．已知，O 的弦AB 与O 的半径相等，则弦AB 所对的圆周角的度数为______． 21．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ．22．小明用一张扇形纸片做一个圆锥的侧面，已知该扇形的半径是10cm ，弧长是12πcm 2，那么这个圆锥的高是________cm ．参考答案23．如图，直线33y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．以A 为圆心，以AB 为半径作弧交x 轴于点A 1；过点A 1作x 轴的垂线，交直线 AB 于点B 1，以A 为圆心，以AB 1为半径作弧交x 轴于点 A 2；…，如此作下去，则点n A 的坐标为___________；24．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．25．扇形 的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．26．如图，已知空间站A 与星球B 距离为a ，信号飞船C 在星球B 附近沿圆形轨道行驶，B ，C 之间的距离为b ．数据S 表示飞船C 与空间站A 的实时距离，那么S 的最小值________．三、解答题27．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若10AB =，6AD =，求DE 的长．28．如图，已知AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，CD BD =，E 、F 是线段AC 、AB 的延长线上的点，并且EF 与O 相切于点D ．（1）求证：2A BDF ∠=∠；（2）若3AC =，5AB =，求CE 的长．29．如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．30．如图，OA、OB、OC分别是⊙O的半径，且AC=CB，D、E分别是OA、OB的中点．CD与CE相等吗？为什么？。
青岛版初中数学九年级上册《直线与圆的位置关系》同步测试练习题卷练习题3
值范围是____.
5.如图 3,PA、PB 是⊙O 的切线,切点分别为 A、B,且∠APB=50°,点 C 是优弧 AB
上的一点,则∠ACB 的度数为________. 6.如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,D、E、F 为切 点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______ 度,∠C=______度,∠A=_______度. 二、选择题：
TB:小初高题库
青岛版初中数学
A.1 个
B.2 个
C.3 个 D.4 个
9.如 L 是⊙O 的切线,要判定 AB⊥L,还需要添加的条件是( )
A.AB 经过圆心 O
B.AB 是直径
C.AB 是直径,B 是切点 D.AB 是直线,B 是切点
10.设⊙O 的直径为 m,直线 L 与⊙O 相离,点 O 到直线 L 的距离为 d,则 d 与 m 的
A A
A E
E
O CD P C
O
P
B
DCBຫໍສະໝຸດ B(1)(2)
(3)
3.如图 2,PA、PB 是⊙O 的两条切线,A、B 为切点,直线 OP 交⊙A 于点 D、E,交
AB 于 C.图中互相垂直的线段有_________(只要写出一对线段即可).
4.已知⊙O 的半径为 4cm,直线 L 与⊙O 相交,则圆心 O 到直线 L 的距离 d 的取
AB AC 14.(1)相等.理由:连接 OA,则∠PAO=90°. ∵OA=OB,∴∠OAB=∠B=30°, ∴∠AOP=60°,∠P=90°-60°=30°, ∴∠P=∠B,∴AB=AP, (2)∵tan∠APO= OA ,
PA ∴OA=PA， tan∠APO= 3 tan300 3 3 1 ,
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与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种：半径、直径、弦，弦心距还有切线长。
求圆中线段的长是中考的一个重要考点，在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。
因此，这部分内容在中考中占举足轻重的地位。
垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具，也是比较常用的定理，有时候也需要以下定理：圆心角定理、圆周角定理、切线的判定（性质）定理、切线长定理、等腰三角形的性质定理，在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。
（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴PC=PD，BC=BD，AC=AD。
（2）圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（3）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
例题1 （温州市中考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB。
延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC、CE。
（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC－AC=2，求CE的长。
解析：要求CE 长，可通过证明CE=AB ，转化为求AB 长，结合∠E=∠B 及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题。
答案：解：（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D。
（2）设BC=x ，则AC=x －2。
在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x －2）2+x 2=4，解得71,7121-=+=x x （舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB∴CE=CB=1+7。
点拨：本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质，解题的关键是正确理解和应用有关定理。
与圆周角有关的问题，需要灵活运用同弧或等弧所对的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等知识点，由于图形中的角比较多，解题时要仔细观察图形特点。
例题2 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交BC 于D ．若BC=8，ED ＝2，求⊙O 的半径．E OBAC解析：根据垂径定理可以知道线段EB 的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE ，这样就可以在Rt 直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径．解：因为，OD ⊥BC ， 所以，BE ＝CE=12BC=4． 设⊙O 的半径为R ，则OE=OD-DE=R-2．在Rt △OEB 中，由勾股定理得OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2．解得R ＝5，∴⊙O 的半径为5．点拨：在求圆的半径时，关键是利用垂径定理构造直角三角形，然后设半径根据勾股定理列出方程，解得答案．如何解决圆中的线段问题圆中的线段包括：半径、直径、弦、切线。
求这些线段长是这部分的主要题型，综合利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。
在解题的过程中，你能否掌握其中的技巧吗？满分训练（湛江中考）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC。
（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长。
COABP解析：（1）设法证出∠OAP=90°即可；（2）利用垂径定理，勾股定理及面积法可求AC 的长。
答案：解：（1）设AC与OP相交于点H。
∵AB是直径，∴AC⊥BC，∠BAC+∠B=90°，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，∠AOB=∠B．∵∠P=∠BAC∴∠P+∠AOP=90°，于是∠OAB=90°，∴PA为⊙O的切线。
（2）∵OP⊥AC，∴AC=2AH，在直角三角形PAO中，AP=22222520()533OP OA-=-=由面积法可知：20534253OA APAHOP⨯⨯===，所以AC=8。
点拨：本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算，掌握圆的切线的证法以及圆中基本的计算方式是解题的关键。
求线段的长度有以下常用的方法：（1）用勾股定理，适用于已知两边的直角三角形中；（2）用相似三角形，适用于有相似三角形的图形中；（3）面积法，适用于有直角三角形中有高的存在的图形。
（答题时间：30分钟）1. 如图，ABC△内接于⊙O，30C∠=o，2AB=，则⊙O的半径为（）A. 3B. 2C. 23D. 42. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A. 6，3232 3 C. 6，3 D. 2，323. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长为（）A. 24B. 28 C. 52 D. 544. 如图，AB是⊙O的弦，点C是弦AB上一点，且BC︰CA＝2︰1，连结OC并延长交⊙O 于D，又DC＝2厘米，OC＝3厘米，则圆心O到AB的距离为（）A. 6厘米B. 7厘米C. 2厘米D. 3厘米COA BD5. 如图⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（）A. 52 B. 8 C. 102 D. 1326. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB=10，AC=6，OD⊥BC，垂足为D，则BD的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 67. 如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A. 45cmB. 35cmC. 55cmD. 4cm8. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。
9. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D 为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC。
（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r。
10. 如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB。
（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线。
11. 如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形。
（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由。
∠=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且12. 如图，△ABC内接于⊙O，BAP=AC。
PD=，求⊙O的直径。
（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若31. B 解析：过点B 作圆的直径BD ，交圆于点D ，连接AD ，根据圆周角定理，得：∠C=∠D=30°，∠DAB=90°，所以在Rt△ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2。
2. B 解析：画图如下，由正方形的性质，垂径定理可得OE=AE=3，OA=32。
故选B 。
3. D 解析：连接OC ，如图，设OC 的长为r ，∵AB＝12，BP ︰AP=1︰5，∴AP＝10，∴OP ＝4。
由垂径定理可得△OPC 是直角三角形，并且CD ＝2CP 。
在Rt△OCP 中，由勾股定理CP ＝52462222=-=-OP OC ，∴CD＝54，故选D 。
BPOC DA4. B 解析：延长DO 交⊙O 于E ，过点O 作OF⊥AB 于F ，则CE ＝8厘米。
由相交弦定理，得DC·CE＝AC·CB，所以AC·2 AC＝2×8，故AC ＝22（厘米），从而BC ＝42厘米。
由垂径定理，得AF ＝FB ＝21（22＋42）＝32（厘米）．所以CF ＝32－22＝2（厘米）。
在Rt△COF 中，OF ＝22OF OC -＝22)2(3-＝7（厘米）。
5. D 解析：连接BE ，∵⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，AB=8，∴AC=21AB=4， 设⊙O 的半径为r ，则OC=r-2，在Rt△AOC 中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA 2=AC 2+OC 2，即r 2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE 中，∵AE=10，AB=8，∴BE=2222810-=-AB AE =6，在Rt△BCE 中，∵BE=6，BC=4，∴CE= 132462222=+=+BC BE 。
6. C 解析：因为AB 是直径，因此∠C 是直角，∴BC=22106-=8，∵OD⊥BC，根据垂径定理，BD 等于BC 的一半，所以BD=4。
故选C 。
7. A 解析：连接BC 、BD 、OD ，则OD 、BC 交于E 。
由于AD 平分∠BAC，所以BD CD =，所以OD⊥BC，又半圆O 的直径AB ＝10cm ，弦AC ＝6cm ，所以BC ＝8cm ，所以BE ＝4，又OB ＝5cm ，所以OE ＝3cm ，所以ED ＝5－3＝2（cm ），在Rt△BED 中，BD ＝22DE BE +＝2cm ，又∠ADB＝90°，所以AD ＝22AB BD -＝45cm 。
故选A 。
8. 6 解析：因为BD 为⊙O 的直径，根据圆周角定理，得：∠C=∠D，∠DAB=90°。
又因为，∠BAC=120°，AB=AC ，所以，∠C=∠CBA=∠D=30°，∠DBA=60°，所以，∠DBC=30°。
在Rt 直角三角形ABD 中，有：cos 30°=BD AD，又AD=6，所以，BD==23643，连接DC ，则∠BCD=90°，在Rt 直角三角形BCD 中，∠DBC=30°，BD=43，得：cos 30°=BDBC，BC=43×23=6．9. 解析：（1）连接OA 、OD ，则OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA，∵D 为BE 的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD=90°，∴∠OAD+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC=90°，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90°，∴AC 是⊙O 的切线。
（2）BF=8，DF=40，∴OF=8－r ，∴在直角三角形OFD 中，r 2+（8－r ）2=2(40)，解得，r=2。
10. 解析：（1）连接OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB=60°，又∵OC=OB，∴△OBC 是正三角形，∴BC=OC=2。