广东省深圳市南山区高二上册期末数学试卷(有答案)(2019秋).doc

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广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=912．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB 交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2π时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），﹣=（2﹣1，，4﹣2），∵+与﹣互相垂直，∴3（2﹣1）++6（4﹣2）=0，解得=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，得a n+3=2（a n+3），+1∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由=﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时最大，代入目标函数=﹣2y，得=3，∴目标函数=﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数=﹣2y，得=1﹣2×2=﹣3∴目标函数=﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=9【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．=，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，=3a n，且a n＞0，∴a n+1∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且C﹣c=c，得C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，②﹣①得（a n+1∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB 交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，≠（2）设MN的中点坐标为（0，y0），联立得（22+1）2+4=0，所以，由0+2y0=0，得=1，所以直线的方程为：y=+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（1，y1，1），则，取1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（，y，），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=+1，联立2=4y，消去y得，2﹣4﹣4=0，设A（1，y1），B（2，y2），G（，y），则1+2=4，12=﹣4，所以，所以，消去，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。

南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（）A ．B ． C. D ． 2．已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（） A ．0 B ．1C ．2D ．3 3．满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 5．复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i6．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=17．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8．若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1e xf x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（）A ．－1B ．12C ．1D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．9．圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．10．如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（）A ．B ．1C ．D ．11．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A ．4320B ．2400C ．2160D ．132012．三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]二、填空题13．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1是“单曲型直线”的是．14．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的值是．15．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．16．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为．17．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为．18．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是．三、解答题19．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．20．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．215（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．22．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 合计23．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t （t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．24．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n ＜1．南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】考点：平面图形的直观图.2．【答案】C【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．3．【答案】B【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素．∵M⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B．4．【答案】B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

2019-2020学年广东省深圳市高二上学期期末数学试题(含答案解析)

2019-2020学年广东省深圳市高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线过点(1,3)，(4,33)+，则此直线的倾斜角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A【解析】利用两点斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为α，则3333tan α+-==， 6πα∴=，故选：A. 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查两点斜率公式，是基础题.2．椭圆221y x m+=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（）A ．4B ．12C ．2D ．14【答案】A【解析】确定,a b ，利用长轴长是短轴长的两倍列式求出m . 【详解】解：由已知22,1a m b ==，因为2a b =，则224a b =，即4m =，故选：A. 【点睛】本题考查椭圆简单几何性质，要先定位，再定量，是基础题. 3．设双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的离心率为（）A ．5B ．5C ．5D ．54【答案】C【解析】分析：根据题意可求得a 和b 的关系式，进而利用c=22a b +求得c 和b 的关系，最后求得a 和c 的关系即双曲线的离心率．解答：解：依题意可知b a =12，求得a=2b ∴c=22a b += b∴e==故选C ．4．若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=r r，且()a b a λ+⊥r r r ，则实数λ的值是（）A ．1-B ．0C ．2-D ．1【答案】C【解析】先求出a λb +r r的坐标，利用()a b a λ+⊥r r r 可得()0a b a λ+⋅=r r r，代入坐标计算即可. 【详解】解：由已知(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-r r，由()a b a λ+⊥r r r 得：()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=r r r，2λ∴=-，故选：C. 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=r r r r r r是解题的关键，是基础题. 5．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）A ．B ．（）和 C ．（） D ．（）和（）【答案】D 【解析】圆化为，圆心，半径，设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即，当时，化简有，即，当时，化简有，即，故选择D.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点满足定义，它到准线的距离为，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力. 6．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，3042916a ++=+，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为32042916r ⨯++==+，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =（）A ．-6B ．-4C ．-2D ．2【答案】A【解析】试题分析：由已知得()11187842,{22 2.a d a d a d ⨯+=++=-解得110,{ 2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-．故选A ．【考点】等差数列的通项公式和前n 项和公式．8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．9．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于（） A ．2 B ．83C ．24 D ．48【答案】C 【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为1210F F =.根据题意和双曲线的定义知1222241233PF PF PF PF PF =-=-=,所以26PF =,18PF =, 所以2221212PF PF F F +=,所以12PF PF ⊥.所以121211682422PF F S PF PF =⋅=⨯⨯=V . 故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.10．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为25m 时，水位下降了（）mA ．5B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点()5,h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-，抛物线方程为22x y =-，当水面宽为25时，设拱顶高于水面m h ，由点()5,h -在抛物线上，得52h =，故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有12321nn a a a a ++++=-L ，则22212n a a a +++=L （）A ．()221n - B ．()1413n- C ．()1213n- D ．41n -【答案】B【解析】首先根据12321n n a a a a ++++=-L ，得出1123121n n a a a a --++++=-L ，两式相减即可求出数列{}n a 的通项公式，然后求出数列{}2n a 的通项公式，最后根据等比数列求和公式进行解答. 【详解】解：∵12321nn a a a a ++++=-L ...①∴1123121n n a a a a --++++=-L ...②，（2n ≥） ①-②得12n n a -=，（2n ≥）当1n =时，11211a =-=满足12n n a -=，所以12n n a -=（n *∈N ） ∴2222n n a -=，∴数列{}2n a 是以1为首项，4为公比的等比数列，∴2222123n a a a a ++++L()14141143n n -==--，故选：B 【点睛】本题主要考查了赋值法求数列的通项公式及等比数列的通项公式，还考查了等比数列前n 项和公式，考查计算能力，属于中档题。

2023-2024学年深圳市南山区高二(上)期末考试数学试题(学生版+解析版)

2023-2024学年深圳市南山区高二（上）期末考试数学试题注意事项：1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1宜线x+y -1=0的倾斜角等于A.45B.60C.120D.1352圆C 1:X 2 + y 2 =9与C 2:x 2+y 2-4x+3=0的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交D.外离3已知三棱锥0-ABC,点M,N 分别为AB,OC 的中点，且OA=ii,0B=b, OC =c,用a,b , c表示MN,则MN等千（）B）-C .b ＋万3（l -2AlB.-:-(b+c-a)2lc. -（c -a -b) 2ID.�(a-b+c)24若抛物线y 2=2px (p >0)上一点P(2,�。

)到其焦点的距离为3,则该抛物线的方程为（）A.沪＝4xB.y 2 =6xC. y 2 =8xD.y 2 =lOx2..2 y x5已知双曲线勹．一亏＝l(a>O,b > 0)的焦距为2c,若a,b,石—c 依次成等比数列，则该双曲线的渐近a b6 线方程为（）A.y＝土J云五B.y =土一一X2C.y＝士石x石D.y＝土一一X 36记公差不为零的等差数列{a,1}的前n项和为S,／，若S 15=3(a2 +3a9 +a k )，则k=( )A.13B. 12C.11D.10227过点M(2,l)作斜率为－1的宜线与椭圆C：王·+.;=1相交于A,B两点，若M 为线段AB的中点，则a 2.b 2C的离心率为（）1-3A 五3Bl-2c 五2D8已知EF是圆C:x 2 + y 2-2x -4y + 3 = 0的一条弦，且CE..lCF,P 是EF的中点，当弦EF在圆C上兀运动时，直线l:x -y-3=0上存在两点A,B,使得乙APB�一恒成立，则线段AB长度的最小值是（）2A .4五－2B.4✓2+2C.2扛－lD . 2扛＋l二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向费a =(1,2,0),b= (-2,0, 1)，则下列结论正确的为（）A.a+b=(-1,2,1) C a llbB .I补＝1月D. Cl·b =210已知圆M : x 2+ y 2 + 6x + 8y = 0,则下列结论正确为（）A.M的半径为l0B.M 关于直线x -y-l=O 对称C.宜线x-y+3=0被M 所截得的弦长为2f17D 若点P(a,b )在M 上，则J<a-3)2+(b-4)2的最大值为2511 已知数列{a,,}的首项为],且a n+1+a,，=（一l)”，凡是{a,,｝的前n项和，则下列结论正确的为（）A.S2,, =-n.B数列{a ll+(-1)"}为等比数列C.数列{(-1)"·a,，}为等差数列1 1D.＋＋…+ 1> －la1 · a2 a2 ·Cl:i a11 ·a,i+112已知F是抛物线C:y2 =4x的焦点，A,B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（） A.抛物线C的准线方程为x=-2B若lAFl=4，则AOF而积为石16C.若直线AB过焦点F,且AB=—，则0到直线AB的距离为－3D.若OA.lOB，则厄钊OB|232三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13已知归线l1:x-2y+I = 0,/2: x+my+2 = 0,若[1///2,则l1占的距离为14已知平面a的一个法向豐为n=(l,-1,2)，若点A(-1,0,1),8(2,3,c)均在a内，则IABI=15若数列{a,,}的前n项积为T,,=(✓句',2十＂，则{a,，｝的前n项和S"=16设点肝启的坐标分别为（－石，O）叫石，O），动点P满足乙F;PF2=60,设动煮P的轨迹为c,,以动点P到点E距离的最大值为长轴，以点F1、F2为左、右伟点的椭圆为C2，则曲线C，和曲线c2的交点到X轴的距离为四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知数列{a,,｝为等差数列，且a4= -9,a1 =-6(I)求{a,，}的通项公式；(2)记S,，为｛a,,}前n顶和，若S,,> 13,求，l的最小值18已知圆C:(x-1)2+(y+l)2=4.(I)过点P(3,2)作C的切线／，求l的方程；(2)若点Q 为直线I':3x -4 y + 13 = 0上的动点，过Q 作圆C 的切线，记切点为M,当IQMI 取最小值时，求乙C Q M 的大小19.如图，在平面四边形ABCP中，D为PA的中点，B,CD 1 AB ，且PA=CD=2AB=4将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二而角P-DC -B,连接PA,PB,BDDABCAB(I)证明：平面PBD..l平面PBC;(2)求直线AP与平面PBC所成角正弦值20记S,，为数列{a}的前n项和，已知a 1= 1,且劝nE N *'a n s -aS = a n a n+l n I1+l n+l “2. (I )证明：｛立｝为等差数列：a ” (2)求{a,，｝的通项公式；(3)若b,1=a,，2''，求数列｛丸｝的前，i项和T”21如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知AB !!CD,A D..LC D, B C= B P, C D= 2AB = 4, 边三角形，且E为DP的中点凶P是等B A,,� --p(l )证明：AEI／平面PBC:(2)当PA=6时，试判断在棱BC上是否存在点M,使得二面角M-PA-E的大小为60若存在，请BM求出——的值；否则，请说明理由．BC22在平面直角坐标系xOy中，动点P在双曲线C:王＿＿-?,= l(b > a> 0)的一条渐近线上，已知C的焦a2 b2石距为4,且F为C的一个焦点，当伊月最小时，POF的面积为—-2(I)求C的方程；(2)已知点Q(2,3)，宜线l:y=k(x-2)与C交于A,B两点当l k l<✓祚寸，l上存在点M使得k, +k2 = 2k3,其中k.,k2，女依次为四线QA,QB,Q M的斜率，证明：M在定臼线上．2023-2024学年深圳市南山区高二（上）期末考试数学试题注意事项：1本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟2答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑4非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液5考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1直线x+y-1=0的倾斜角等于A.45【答案】D【解析】B.60【详解】k=-l.'.tana=-l:.a=l35.故选D.C.1202.圆C1:X2 + y2 =9与C2:x2+/-4x+3=0的位置关系为（）A.外切B.内切C.相交【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断【详解】圆C，的圆心为C l(0,0)，半径为'i=3,C2 :x2 + y2-4x+3=0,C2:(x-2)2+y2=1,圆c2的圆心为C2(2,0)，半径为Ii=),. 1c,c2I =2='i－归．圆C，与圆c2内切故选： B D.135 D.外离3已知三棱锥0-ABC,点M,N分别为AB.OC的中点，且OA= a, OB= b, OC = c,用a, b. c 表示MN,则MN等千（）。

南山区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南山区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 2．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A ．20B ．25C ．22.5D ．22.753．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（） A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|4．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（）A ．1B ．±2C ．或3D ．1或25．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，下列说法正确的是（）A ．①对②错B ．①错②对C ．①对②对D ．①错②错6．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（）A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+=（）A ．B ．C ．D ．8．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.239．设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]10．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．11．将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）A．B．C．2 D．312．与函数y=x有相同的图象的函数是（）A．B．C．D．二、填空题13．若函数f（x）=，则f（7）+f（log36）=．14．过原点的直线l与函数y=的图象交于B，C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，则|+|=．15．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为．16．设,则17．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm和4cm,侧棱长为2cm,则其表面积为__________2cm.18．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数21()x f x x +=，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.20．(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin （θ＋π4）.（1）求C 1，C 2的普通方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为θ＝3π4（ρ∈R ），设C 3与C 1交于点M ，N ，P 是C 2上一点，求△PMN 的面积．21．（本小题满分12分）如图四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面为菱形，AA 1⊥底面ABCD ，M 为A 1A 的中点，AB ＝BD ＝2，且△BMC 1为等腰三角形．（1）求证：BD ⊥MC 1；（2）求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积．22．（本小题满分12分）如图所示，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，ACD ∆为等边三角形,AB DE AD 2==，F 为CD 的中点. （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）平面⊥BCE 平面CDE .23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r （],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aa ì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．24．已知椭圆E ：=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点P （﹣2，0）分别作斜率为k 1，k 2的两条直线，两直线分别与椭圆E 交于M ，N 两点，当直线MN 与y 轴垂直时，求k 1k 2的值．南山区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.x（1）（2）考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 2．【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内，设中位数为x ，则 0.3+（x ﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C ．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．3．【答案】D【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x2不是奇函数；是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．4．【答案】D【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选D．【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．5．【答案】A【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，故①正确；但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，故②错．故选A．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．6．【答案】B【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴∁U M={0，1}，∴N∩（∁U M）={0，1}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．7．【答案】D【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．∴==，∴++…+=++…+==﹣．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．【答案】C【解析】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．9．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．10．【答案】B【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．11．【答案】B【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B．【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．12．【答案】D【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误B：与y=x的对应法则不一样，故B错误C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确故选D【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题二、填空题13．【答案】5．【解析】解：∵f（x）=，∴f（7）=log39=2，f（log36）=+1=，∴f（7）+f（log36）=2+3=5．故答案为：5．14．【答案】4．【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．15．【答案】（﹣∞，﹣1）．【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）16．由柯西不等式可知17．【解析】考点：棱台的表面积的求解.18．【答案】．【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．三、解答题19．【答案】【解析】（1）∵211()2x f x x x +==+，∴11()2n n na f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列， ∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分）（2）∵数列{}n a 是等差数列，∴1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+， ∴1111(1)1n S n n n n ==-++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++11111111()()()()1223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+1n n =+. （12分） 20．【答案】【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos αy ＝2＋3sin α（α为参数）得（x －1）2＋（y －2）2＝9（cos 2α＋sin 2α）＝9. 即C 1的普通方程为（x －1）2＋（y －2）2＝9，由C 2：ρ＝2sin （θ＋π4）得ρ（sin θ＋cos θ）＝2，即x ＋y －2＝0，即C 2的普通方程为x ＋y －2＝0.（2）由C 1：（x －1）2＋（y －2）2＝9得 x 2＋y 2－2x －4y －4＝0，其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ－4＝0，将θ＝3π4代入上式得ρ2－2ρ－4＝0， ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－4， ∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝3 2.C 3：θ＝34π（ρ∈R ）的直角坐标方程为x ＋y ＝0，∴C 2与C 3是两平行直线，其距离d ＝22＝ 2.∴△PMN 的面积为S ＝12|MN |×d ＝12×32×2＝3.即△PMN 的面积为3. 21．【答案】【解析】解：（1）证明：如图，连接AC ，设AC 与BD 的交点为E ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ；又A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，又MC 1⊂平面A 1ACC 1，∴BD ⊥MC 1.（2）∵AB ＝BD ＝2，且四边形ABCD 是菱形， ∴AC ＝2AE ＝2AB 2－BE 2＝23，又△BMC 1为等腰三角形，且M 为A 1A 的中点， ∴BM 是最短边，即C 1B ＝C 1M . 则有BC 2＋C 1C 2＝AC 2＋A 1M 2，即4＋C 1C 2＝12＋（C 1C 2）2，解得C 1C ＝463，所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V ＝S 菱形ABCD ×C 1C＝12AC ×BD ×C 1C ＝12×23×2×463＝8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2.22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）推导出BC AC ⊥,1CC AC ⊥，从而⊥AC 平面11B BCC ，连接11,NA CA ，则N A B ,,1三点共线，推导出MN CN BA CN ⊥⊥,1，由线面垂直的判定定理得⊥CN 平面BNM ；（2）连接1AC 交1CA 于点H ，推导出1BA AH ⊥，1BA HQ ⊥，则AQH ∠是二面角C BA A --1的平面角．由此能求出二面角1B BN C --的余弦值．试题解析：（1）如图，取CE 的中点G ，连接BG FG ,. ∵F 为CD 的中点，∴DE GF //且DE GF 21=. ∵⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ∴DE AB //， ∴AB GF //.又DE AB 21=，∴AB GF =. ∴四边形GFAB 为平行四边形，则BG AF //. （4分） ∵⊄AF 平面BCE ，⊂BG 平面BCE ， ∴//AF 平面BCE （6分）考点：直线与平面平行和垂直的判定． 23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）设点)0,2(-B ，2ABk ==-故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--. 24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；解得，a 2=4，b 2=1；故椭圆E 的方程为+y 2=1；（Ⅱ）由题意知，当k 1=0时，M 点的纵坐标为0，直线MN 与y 轴垂直，则点N 的纵坐标为0，故k 2=k 1=0，这与k 2≠k 1矛盾．当k 1≠0时，直线PM ：y=k 1（x+2）；由得，（+4）y 2﹣=0；解得，y M =；∴M （，），同理N （，），由直线MN 与y 轴垂直，则=；∴（k 2﹣k 1）（4k 2k 1﹣1）=0，∴k 2k 1=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．。

南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析高考资料

10．在 ABC 中， b A． 3
3 ， c 3 ， B 30 ，则等于（
B． 12 3
） C． 3 或 2 3 D．2 ）
11．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12π，则该几何体的体积是（
A．4π
B．12π
C．16π ） D．
D．48π
12．与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ A． B． C．
三、解答题
19．（本题满分 12 分）如图 1 在直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E 分别是 AC，BC 边上的中点，M 为 CD 的中点，现将△CDE 沿 DE 折起，使点 A 在平面 CDE 内的射影恰好为 M．（I）求 AM 的长；（Ⅱ）求面 DCE 与面 BCE 夹角的余弦值．
二、填空题
13．【答案】【解析】解：对于①，把函数 y=sin（x﹣ 到函数 y=sin（2x﹣ ），故①正确．，故②错）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
对于②，当 α，β 是第一象限角且 α＜β，如 α=30°，β=390°，则此时有 cosα=cosβ= 误．对于③，当 x=﹣ 数 y=cos（2x+ 时，2x+ π=π，函数 y=cos（2x+ π）=﹣1，为函数的最小值，故 x=﹣
是函
π）的一条对称轴，故③正确．）=4cos[ ﹣（2x+ ）]=4cos（ ﹣2）=4cos（2x﹣ ），
对于④，函数 y=4sin（2x+ 故函数 y=4sin（2x+ 对于⑤，在上，2x﹣ 故答案为：①③④． 14．【答案】 4 ．
）与函数 y=4cos（2x﹣ ∈，函数 y=2sin（2x﹣

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南山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（）A．0 B．1 C．2 D．32．函数f（x）=sinωx（ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（）A． C． D．时，函数f（x）的最大值与最小值的和为（）A．a+3 B．6 C．2 D．3﹣a3．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．44．如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（）A．4 B．5 C．D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）7．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣108．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2015）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．9．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（）A ．②④B ．③④C ．①②D ．①③10．若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧（￢q ）是真命题C ．命题p ∧q 是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题11．在空间中，下列命题正确的是（） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥nB ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥αD ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β12．已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（）A ．1 B.43C.53D ．2 二、填空题13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为______．14．若关于x ，y 的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k= ．15．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .16．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是．17．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为．18．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．三、解答题19．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．20．函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f（x）=﹣1．（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；（2）求函数f（x）的解析式．21．已知，其中e是自然常数，a∈R（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．22．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围；（2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．23．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t （t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．24．已知f （x ）=（1+x ）m +（1+2x ）n （m ，n ∈N *）的展开式中x 的系数为11．（1）求x 2的系数取最小值时n 的值．（2）当x 2的系数取得最小值时，求f （x ）展开式中x 的奇次幂项的系数之和．南山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，联立解得，∴S 6=6a 1+d=3故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．2．【答案】A【解析】A ． C ． D ．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，求得10≤ω＜12，故选：A ． 3．【答案】B【解析】解：设圆柱的高为h ，则V 圆柱=π×12×h=h ，V 球==，∴h=．故选：B ．4．【答案】D 【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,AD AB AG 相互垂直，面AEFG ⊥面,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：AC GC ==GE ===4,BG AD EF CE ====所以最长为GC =考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．5．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．【答案】C【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C7．【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10当x≥0，时x=10，解得：x=10故选：D．8．【答案】B【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即f（2015）=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．9．【答案】A【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．【答案】B【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；故选：B．【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．11．【答案】C【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．12．【答案】【解析】解析：选C.设D点的坐标为D（x，y），∵A（0，1），B（3，2），AD→＝2DB→，∴（x，y－1）＝2（3－x，2－y）＝（6－2x，4－2y），∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y即x ＝2，y ＝53，∴CD →＝（2，53）－（2，0）＝（0，53），∴|CD →|＝02＋（53）2＝53，故选C.二、填空题13．【答案】【解析】令，则所以为奇函数且单调递增，因此即点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内14．【答案】 ﹣1或0 ．【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x ，y 的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．15．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c cb b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.116．【答案】﹣2【解析】解：函数f （x ）=﹣m 的导数为f ′（x ）=mx 2+2x ，由函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，即有f ′（1）=0，即m+2=0，解得m=﹣2，即有f ′（x ）=﹣2x 2+2x=﹣2（x ﹣1）x ，可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．17．【答案】（2，2）．【解析】解：∵log a 1=0， ∴当x ﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a （x ﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．18．【答案】．【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2=sin（+），∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=．∴可得0＜A＜，∴＜+＜，∴sin（+）＜1，故函数f（A）的取值范围是（1，）．【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．20．【答案】【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（﹣1）﹣（﹣1）=，由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．21．【答案】【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以f（x）min﹣g（x）max＞，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．22．【答案】【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m ＜0综上所述m 的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m ＞0时，g （x ）是增函数，所以g （x ）max =g （3）=7m ﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m ＜0时，g （x ）是减函数．所以g （x ）max =g （1）=m ﹣6＜0，解得m ＜6．所以m ＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．23．【答案】【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝1＋sin t（t 为参数）得x 2＋（y －1）2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程．（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α|＝4|sin （α＋π3）|，α∈[0，π），由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝12，∴α＝π2或α＝5π6.当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6（x ＜0），即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝32，∴△ABC 2的面积为S ＝12|AB |·d＝12×2×32＝32. 即△ABC 2的面积为32.24．【答案】【解析】【专题】计算题．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m ，n 的关系；利用二项展开式的通项公式求出x 2的系数，将m ，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值（2）通过对x 分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．【解答】解：（1）由已知C m 1+2C n 1=11，∴m+2n=11，x 2的系数为C m 2+22C n 2=+2n （n ﹣1）=+（11﹣m ）（﹣1）=（m ﹣）2+．∵m ∈N *，∴m=5时，x 2的系数取得最小值22，此时n=3．（2）由（1）知，当x 2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f （x ）=（1+x ）5+（1+2x ）3．设这时f （x ）的展开式为 f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2++a 5x 5，令x=1，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=25+33，令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，两式相减得2（a1+a3+a5）=60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．。

广东省深圳市2019年数学高二年级上学期期末考试试题

广东省深圳市2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题1．已知是虚数单位，若，则的虚部为（）A. B.C.D.2．21ii=-（） A.1i +B.1i -C.1i --D.1i -+3．已知()ln (0)af x x a x=+≠，则 A ．当0a <时，()f x 存在极小值()f aB ．当0a <时，()f x 存在极大值()f aC ．当0a >时，()f x 存在极小值()f aD ．当0a >时，()f x 存在极大值()f a4．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =A.31123n（）- B.131123n --（） C.21133n-（） D.121133n --（） 5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 6．若平面中，，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列方程是圆22(1)(1x y -++=的切线方程的是( ) A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y =8．已知函数31(),f x x a x e e ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦e （是自然对数的底数)与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.310,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.30,e 4⎡⎤-⎣⎦ C.31,3e ⎡⎤-⎣⎦D.)3e 4,,∞⎡-+⎣9．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（） A ．56千瓦·时 B ．62千瓦·时 C ．64千瓦·时D ．68千瓦·时10．设等差数列{}n a 满足81535a a =，且10a >，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（） A ．23SB ．24SC ．25SD ．26S11．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<，则()221m m f m m e-+-与()1f 的大小关系是（） A ．()()2211m m f m m f e-+-> B ．()()2211m m f m m f e-+-< C ．()()2211m m f m m f e-+-≥ D ．不确定12．设i 为虚数单位，则()6x i -的展开式中含4x 的项为（） A.415x - B.415x C.420ix - D.420ix二、填空题13．抛物线2x =的焦点坐标为______． 14．若2019(12)x -=220190122010()a a x a x a x x R ++++∈，则20191222019222a a a ++⋯+=__________． 15．已知复数满足（是虚数单位），则复数_____.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S =_______ 三、解答题 17．如图，直三棱柱中，、分别是,的中点，已知与平面所成的角为，.（1）证明：∥平面；（2）求二面角的正弦值.18．已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线l：过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点间的距离．19．2016年04月13日“山东济南非法经营疫苗系列案件”披露后，引发社会高度关注，引起公众、受种者和儿童家长对涉案疫苗安全性和有效性的担忧。

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(文科)

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分•每小题只有一个选项符合题意） 1. （ 5 分）“ a b ”是 “ Iga . Igb ”的（A .充分非必要 C .充要 D .既非充分也非必要2.（ 5 分）在 ABC 中，若 b = 2asinB ，贝卩 A =（） 5 ■ 2 '■ ■ 3'： A .或B .或C .—或D .—或一663 34 34 43.（ 5分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a^6，则=（）A . 6B . 12C . 18D . 362 24.（ 5分）已知R （-..2,0）、F 2（ 2,0）分别为椭圆笃每=1（a b ■ 0）的左、右焦点，过 Fa b的直线I 交椭圆C 于A 、B 两点.若.ABF 2周长是4 3，则该椭圆方程是（）A . 2 x y 2 =1B .2 x2 —1 3322222C .x —1D . x 「112 10435. （ 5 分）若 a 0 , b 0 ,a b =2 , 则1- 的最小值为（）a b9 C.11A4B .5D .—22x y -3・・06. （ 5分）若x 、y 满足约束条件 2x - y -3, 0 ,则2x y 的最小值为（）l y —2, 0A . 3B . 4C . 5D . 77. （ 5分）若命题“存在 x^ R ，使x 2 -2x -m, 0 ”是假命题，则实数 m 的取值范围是（）条件.B .必要非充分A . （ - ： -, T ）B . （」：,2）C . [-1, 1]& （ 5分）在「ABC 中，已知 b -c -■.2 （）2A .-D . （一~0））2 43第1页（共13页）29.（ 5分）直线I 过点（石0）且与双曲线y 2=1仅有一个公共点，这样的直线有（）条.3A . 1B . 2C . 3D .不确定10. （5分）已知｛a n ｝为等比数列，S n 是它的前n 项和.若a^a^2a i ，且与2a ?的等差中2f (x)的导函数为f (x)，且f (x) =2x f (x) Inx ,则f (2)的值为(B .C . -1142x 2 一 y 1的右支上一点P ，分别向圆152 2 2 2C 2：（x -4） y =1作切线，切点分别为 M , N ，则| PM | -|PN |的最小值为（）A . 10B . 13C . 16D . 19二、填空题（本题共 4小题，每小题5分，共20分）2x13 . （5分）椭圆y 2 =1的离心率是 _____ .41 — X14 . （ 5分）不等式 2的解集是 _____ .x115 . （5分）曲线f （x ）=2x •—在点（1,3）处的切线方程为 ___ .x1 216 . （5分）已知函数f （x ） x —2ax -aInx 在（1,2）上单调递减，则a 的取值范围是2三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 . （10 分）设命题 p : a R, | a -3| ：：： 2 ;命题 q : -x • R , x 2 ax 1 0 ,如果命题 “ p q ” 为真命题，命题"p q ”为假命题，求实数 a 的取值范围.18 . （12分）已知抛物线 E 的焦点F 在x 轴正半轴上，其弦 AB 过点F 且垂直于x 轴，若 | AB 尸4 .（I ）求抛物线 E 的标准方程；（H ）设M , N 是抛物线E 上不重合两点，M 与N 两点的纵坐标之和为 4，求直线MN 的斜率.— B _19 . （12分）匚ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sin B = 2 3 cos ■ 3 .项为4，则—) A . 31B . 32C . 33D . 34 11. （5分）已知函数 12 . （ 5分）过双曲线 D . -22 2C 1 :(x 4) y =4 和圆2(I)求ta n B ;第2页（共13页）(H)若a c =4 , b=2，求ABC 的面积.20. (12分)已知｛%｝是首项为2的等比数列，且空已“2 -a i +a2(I)求数列｛a n｝的通项an ；11 1(n)设b n = (n 1)log 2 a n，是否存在正整数k，使得k对于- n三N '恒成b b2 b n立.若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由.121. (12 分)已知函数f(x) 2alnx(a • R)x(I)若g(x) =f(x) • 3x，当a=1时，求g(x)的单调区间；(n)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围.22. ( 12分)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆2 2C :x y =2上.(I)求椭圆E的标准方程；(n)点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A , B两点，求| AB|的最大值.第3页(共13页)。

南山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22=上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长||PQ 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.2．抛物线y 2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A ．1B．C．D．3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（） A ．y=x+1B ．y=﹣x 2C ．D ．y=﹣x|x|4．为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位 D ．向右平移23π个单位5．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（） A ．9 B ．8 C.7 D ．5 6．偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 7．已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x）=e x+sinx，则（）A ．B ．C ．D ．8．平面α与平面β平行的条件可以是（）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x ，则该双曲线的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣y 2=1 C ．x 2﹣=1 D ．﹣=110．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（） A ．8πcm 2B ．12πcm 2C ．16πcm 2D ．20πcm 211．设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（） A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[1，2） D ．（1，2]12．P 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c二、填空题13．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数()3f x x x =-+的单调增区间是__________．14．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为．15．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ．16．设函数f （x ）=，则f （f （﹣2））的值为．17．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．18．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

深圳市南山区上学期期末考试题高二数学及答案上高二理数

--高二教学质量监测数学（理科）注意:本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间１2０分钟．1．答卷前,考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

２．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题,每小题５分，满分60分.在每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求的.１．设命题P ：.02,2>+∈∀x R x 则P ⌝为A. 02,200>+∈∃x R x ﻩB. 02,200≤+∈∃x R x C ． 02,200<+∈∃x R x ﻩD ． 02,2≤+∈∀x R x 2．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，公差2-=d ,213=S 则1a 的值为:A. 10 ﻩB. 9 ﻩＣ. 6 D. 53.“21cos =α”是 “3πα=”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件4．已知向量(2,1,4),(1,0,2)a b →→==，且→→+b a 与→→-b a k 互相垂直，则k 的值是 A. １ ﻩC ． ﻩD. 2017.01.04--５．在AB C ∆中,若013,3,120AB BC C ==∠=，则AC =A ．1ﻩ ﻩB ．２ﻩ ﻩﻩﻩC.3ﻩ ﻩ Ｄ.46. 若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线经过点()4,3，则此双曲线的离心率为Ａ.37 ﻩﻩＢ． 45ﻩC.34 ﻩ D ． 357. 若b a ,均为大于1的正数,且100=ab ,则b a lg lg ⋅的最大值为A. 0 ﻩﻩﻩB. 1 ﻩ C ． 2 ﻩ D.258. 已知数列{}n a ：11=a ，()++∈+=N n a a n n ,321 ,则=n aA ． 321-+n ﻩB. 12-n Ｃ. 12+n ﻩＤ.722-+n9. 已知直线022=-+by ax ()0,0>>b a 平分圆064222=---+y x y x ,则21a b+的最小值是 A.22-ﻩB.12- ﻩC.223+ ﻩD.223-１０. 设y x ,满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则y x z 2-=的取值范围为A. ()3,3- ﻩB ． []3,3- C. [)3,3- ﻩD. []2,2- 11．如图,过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ,交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为1531C 2BC BF =3AF =Ａ. 23 2y x=Ｂ.D．１2. 在锐角AB C∆中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,，2a=, ABCS∆＝2，则b的值为B．2ﻩＣ．ﻩﻩＤ.二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)11. 在中,0075,45,3===CAAC ,则BC的长为 .1２. 已知数列{}na满足：()++∈=+Nnaann,log1log133，且9642=++aaa，则)(log97531aaa++的值为 .1５. 设不等式()(2)0x a x a-+-<的解集为N，若Nx∈是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-=∈2,21Mx的必要条件，则a的取值范围为_________1６．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为21,FF,过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C,若→2→22=CFAF,则椭圆的离心率为__＿______三、解答题(本大题共６小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算23y x=29y x=ABC∆----步骤.)1７．(本题满分10分)已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足:n n n a a S +=22，()+∈Nn（1)求321,,a a a 的值 (2）求数列{}n a 的通项公式18．(本题满分12分）在AB C ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且B c a C b cos )2(cos -=. (1)求角Ｂ的值；(２)若c b a ,,成等差数列，且3=b ,求ABC ∆面积19．(本题满分１２分）已知递增的等比数列{}n a 满足:9,84132=+=⋅a a a a (1）求数列{}n a 的通项公式;（２）设数列{}())∈(122=:+N n a n b b n n n -，求数列{}n b 的前n 项的和n T--２0．(本题满分1２分),是平面内的一个动点，直线与交于点,（1)求动点的轨迹的方程;（2)设直线与曲线交于M 、N 两点,当线段的中点在直线上时，求直线l 的方程.2１．（本题满分1２分）如图，在以Ａ,B ,Ｃ,D ,Ｅ，F 为顶点的五面体中，面A ＢＥF 为正方形，ＡF =2ＦD ,∠ＡFD =９0°,且二面角D ﹣AF ﹣Ｅ与二面角C ﹣B Ｅ﹣F 都是6０°．(１)证明平面ABE Ｆ⊥平面EF ＤC ; (2)证明:C Ｄ//ＥＦ（3）求二面角E ﹣BC ﹣A 的余弦值.P PA PB P P C 1:+=kx y l C MN 20x y +=2１题图 22题图22.(本题满分１2分）已知Ｏ是坐标系的原点，Ｆ是抛物线C：x２＝4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AＢ的中点为Ｍ，△OAB的重心为Ｇ．(1）求动点G的轨迹方程;(2)设(1）中的轨迹与ｙ轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边形ＤEＭG的面积最小时直线AB的方程.高二数学理科数学参考答案：一、选择题1—１2BBCDA DBACB ＢA二、填空题----1３.2 1４. 5- １5. 25或21≥-≤a a16. 5三、解答题１7. 解:(1）3,2,1321===a a a ……３分(2）22n n a S = +n a , ①1211n 2+++=∴+n n a a S ② ②-① 得 ()()0111=--+++n n n n a a a a …．．5分0,01>+∴>+n n n a a a 1-1=∴+n n a a ……７分{}n a ∴是首项为1,公差为１的等差数列……..8分()n n a n =⨯-+=∴111……１0分 (学生用数学归纳法做相应给分)１8．解: （1）∴-=，B c a C b cos )2(cos 由正弦定理，B C A C B cos )sin sin 2(cos sin -= ∴，B A C B C B cos sin 2sin cos cos sin =+……２分∴，）（B A C B cos sin 2sin =+……3分又π=++C B A ∴，B A A cos sin 2sin =……４分21cos =∴B 又B 为三角形内角 ……5分 3π=∴B ……6分(2）由题意得 ,62=+=c a b ……７分又 3π=B--()acac c a ac b c a B 292221cos 2222--+=-+==∴ ……9分9=∴ac 0439sin 21==∴∆B ac S ABC ……12分1９. 解:（1）由题意,得,84132==a a a a 又,941=+a a所以,8,141==a a ，或 ,1,841==a a ，……3分由{}n a 是递增的等比数列,知1>q 所以,8,141==a a ，且2=q ……………4分 1111221---=⨯==∴n n n n q a a ……………５分（２）由（1）得()()nn n n a n b 212122-=-=，…………………………6分所以123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅所以23412123252...(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅……………………8分所以1231122(22...2)(21)2n n n T n +-=⋅++++-- 0得()12326n n T n +=-+． (2)20．--(11分3分6分 (２）设MN 的中点坐标为00(,)x y ………………7分得22(21)40k x kx ++=…………………………９分11分由0020x y +=，得1k =所以直线的方程为：…………………………1２分21. 解：（Ⅰ)证明:∵ABEF 为正方形，∴AF ⊥EF ． ∵∠AF Ｄ=90°，∴AF ⊥DF ， ∵DF∩EF=F,∴AF ⊥平面E ＦＤC ， ∵A Ｆ⊂平面A ＢEF ，∴平面ＡB ＥF ⊥平面ＥFD Ｃ; ………………………………４分 (Ⅰ)解：由ＡF ⊥D Ｆ,A Ｆ⊥EF ，1y x =+可得∠DFＥ为二面角D﹣AＦ﹣E的平面角；……………………5分由CE⊥ＢE，BE⊥EF，可得∠CEＦ为二面角C﹣ＢE﹣F的平面角．…………………………6分可得∠DFＥ=∠CEF=6０°.∵ＡB∥EF,AＢ⊄平面EFDC，ＥF⊂平面ＥＦDＣ，∴AB∥平面EFDC，……………………………………７分∵平面EFDC∩平面ＡBCD=ＣD，AB⊂平面ABCＤ，∴AB∥ＣD，∴CＤ∥ＥF，∴四边形ＥＦDC为等腰梯形．……………………………………8分以E为原点,建立如图所示的坐标系，设ＦＤ＝a,则E（０，０，0),B（0，2a，０)，C(,0，a)，Ａ（２a,2a，0）,∴=(０，２ａ,0），＝（,﹣２a，a）,＝(﹣2ａ，0，0）…………９分设平面ＢEC的法向量为＝(x１，ｙ1，ｚ1),则，则,取=（，0,﹣1).………………1０分设平面ABC的法向量为=（x２，ｙ2,z2)，则，则，取=(0，,4) (1)--设二面角Ｅ﹣BＣ﹣Ａ的大小为θ，则cosθ＝＝＝﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣.…………………………１２分22. 解:（Ⅰ)焦点F（０,1)，显然直线AB的斜率存在，设AB:ｙ=kx+1,联立ｘ2＝4y，消去y得，x2﹣4kx﹣4=0，设A(x1，y1）,B（x2,y2),G（ｘ,y）,则x１+x２=４ｋ，x1x2＝﹣4，所以，所以，消去k,得重心Ｇ的轨迹方程为;…………………………4分--(Ⅰ)由已知及(Ⅰ）知，,因为，所以DG∥ＭＥ,(注:也可根据斜率相等得到），…………5分，……6分D点到直线AB的距离,……………………7分所以四边形DEMG的面积,………………１０分当且仅当，即时取等号,………………11分此时四边形DEＭG的面积最小，所求的直线ＡB的方程为.………………1２分--。

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二(上)期末数学试卷(文科)

2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）“a b >”是“lga lgb >”的( )条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要D ．既非充分也非必要2．（5分）在ABC ∆中，若sin b B =，则(A = ) A ．6π或56πB ．3π或23πC ．4π或3πD ．4π或34π3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若166a a +=，则6(S = ) A ．6B ．12C ．18D ．364．（5分）已知1(F、2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．若2ABF ∆周长是( )A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2211210x y +=D ．22143x y +=5．（5分）若0a >，0b >，2a b +=，则14a b+的最小值为( ) A ．4B ．92C ．5D ．1126．（5分）若x 、y 满足约束条件3023020x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩………，则2x y +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．77．（5分）若命题“存在0x R ∈，使220x x m --…”是假命题，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．[1-，1]D ．(,0)-∞8．（5分）在ABC ∆中，已知b c ==，则A 等于( ) A ．2πB ．4π C ．3πD ．23π9．（5分）直线l 过点且与双曲线2213x y -=仅有一个公共点，这样的直线有( )条．A ．1B ．2C ．3D ．不确定10．（5分）已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5(S = ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．3411．（5分）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2()f x x f x lnx '=+，则f '（2）的值为()A ．13-B ．114-C ．1-D ．2-12．（5分）过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为( ) A ．10B ．13C ．16D ．19二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）椭圆2214x y +=的离心率是．14．（5分）不等式12xx-<的解集是．15．（5分）曲线1()2f x x x=+在点(1,3)处的切线方程为． 16．（5分）已知函数21()22f x x ax alnx =--在(1,2)上单调递减，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设命题:p a R ∃∈，|3|2a -<；命题:q x R ∀∈，210x ax ++>，如果命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知抛物线E 的焦点F 在x 轴正半轴上，其弦AB 过点F 且垂直于x 轴，若||4AB =．（Ⅰ）求抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）设M ，N 是抛物线E 上不重合两点，M 与N 两点的纵坐标之和为4，求直线MN 的斜率．19．（12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2sin 2BB = （Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）若4a c +=，2b =，求ABC ∆的面积． 20．（12分）已知{}n a 是首项为2的等比数列，且34212a a a a a +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项an ；（Ⅱ）设2(1)log n n b n a =+，是否存在正整数k ，使得12111nk b b b ++⋯+<对于n N +∀∈恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数1()2()f x alnx a R x=-∈ （Ⅰ）若()()3g x f x x =+，当1a =时，求()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，且其焦点和短轴端点都在圆22:2C x y +=上．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）点P 是圆C 上一点，过点P 作圆C 的切线交椭圆E 于A ，B 两点，求||AB 的最大值．。

2023-2024学年广东省深圳市南山区高二上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省深圳市南山区高二上册期末数学试题一、单选题1．抛物线24x y =的焦点坐标是A ．()1,0B ．()0,1C ．()2,0D ．()0,2【正确答案】B根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选:B本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2．若{},,a b c 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）A ．a ，a b + ，a c +B ．a ，b ，2a b+C ．a ，- a c ，a c+ D ．b ，a c + ，a b c++ 【正确答案】A【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案.【详解】对于A ，设,R x y ∈，则()xa y a b a c ++=+，显然不存在,x y 使得等式成立，故A正确；对于B ，设,R x y ∈，则2xa yb a b +=+ ，解得12x y =⎧⎨=⎩，故B 错误；对于C ，设,R x y ∈，则()xa y a c a c +-=+ ，即11x y y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故C 错误；对于D ，设,R x y ∈，则()xb y a c a b c ++=++ ，解得11x y =⎧⎨=⎩，故D 错误.故选：A.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且410S =，则{}n a 的公差为（）A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】B【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得3a 的值，即可求得数列{}n a 的公差.【详解】因为()()1442342102a a S a a +==+=，22a = ，则33a =，因此，等差数列{}n a 的公差为321d a a =-=.故选：B.4．已知椭圆22:135x y C k k+=+-的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围为（）A ．()3,1-B ．()1,5C ．()3,5-D ．()1,3【正确答案】A【分析】根据椭圆C 的焦点位置可得出关于k 的不等式组，即可解得实数k 的取值范围.【详解】因为椭圆22:135x yC k k +=+-的焦点在y 轴上，则305053k k k k+>⎧⎪->⎨⎪->+⎩，解得31k -<<.故选：A.5．已知()2,3A -、()2,1B ，若直线l 经过点()0,1P -，且与线段AB 有交点，则l 的斜率的取值范围为（）A ．(][),22,-∞-+∞UB ．[]22-,C ．(][),11,-∞-⋃+∞D ．[]1,1-【正确答案】D【分析】作出图形，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围.【详解】过点P 作PC AB ⊥，垂足为点C ，如图所示：设直线l 交线段AB 于点M ，设直线l 的斜率为k ，且13102PA k -+==--，11120PB k +==-，当点M 在从点A 运动到点C （不包括点C ）时，直线l 的倾斜角逐渐增大，此时10PA k k -=≤<；当点M 在从点C 运动到点B 时，直线l 的倾斜角逐渐增大，此时01PB k k ≤≤=.综上所述，直线l 的斜率的取值范围是[]1,1-.故选：D.6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC BC ==，且AC BC ⊥，已知E 为BC 的中点，则异面直线1AC 与1C E 所成角的余弦值为（）A 155B 105C 31010D 1010【正确答案】B【分析】根据直三棱柱的几何性质，补形成正方体，利用异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.【详解】由题意，可得该三棱柱可看作正方体的一半，补形如下图所示：记AD 的中点为F ，连结1,,A F CF EF ，因为在正方形ABCD ，,E F 是,BC AD 的中点，所以//,EF AC EF AC =，又111//,A C AC A C AC =，所以1111//,EF A C EF A C =，故四边形11A C EF 是平行四边形，则11//A F C E ，则1FA C ∠为直线1AC 与1C E 的夹角或其补角，设该正方体的边长为2，在1Rt AA F 中，2222111152A F AF AA AD AA ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，在Rt ACF 中，2222152CF AC AF AC AD ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，在1Rt ACA △中，221122AC AA AC =+=在1ACF 中，2221111110cos 25AC A F CF CA F AC A F +-∠=⋅⋅故选：B.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径的圆与C 的左支交于M 、N 两点，若12π3MF N ∠=，则C 的离心率为（）A 312+B 3C 31D ．23【正确答案】C【分析】连接2MF ，求出1MF 、2MF ，利用双曲线的定义可得出关于a 、c 的齐次等式，即可解得双曲线C 的离心率的值.【详解】如下图所示，易知点M 、N 关于x 轴对称，连接2MF ，所以，12π3MF F ∠=，由圆的几何性质可得12π2F MF ∠=，所以，1π2cos 3MF c c ==，2π2sin 3MF c ==，由双曲线的定义可得)2112MF MF c a -==，因此，双曲线C 的离心率为1c e a ===+.故选：C.8．著名的斐波那契数列是意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，又称兔子数列，记该数列为{}n a ，则11a =，21a =，且()*21n n n a a a n ++=+∈N ．已知斐波那契数列有诸多特殊的性质，例如：（1）21121n n n n n a a a a a ++++=-；（2）斐波那契数列中各项的个位数是以60为周期变化的，则由上述性质可知2222123365a a a a +++⋅⋅⋅+的个位数为（）A ．6B ．5C ．2D ．0【正确答案】D【分析】利用两个性质可得出2222123365365366a a a a a a ++++= ，计算出56a a 的个位数，即可求出365366a a 的个位数，即可得解.【详解】由性质（1）可知222321a a a a a =-，233432a a a a a =-，244543a a a a a =-，L ，2365365366365364a a a a a =-，上述等式全部相加可得222223436536536621a a a a a a a a ++++=- ，121a a == ，所以，2222123365365366a a a a a a ++++= ，由性质（2）可知365a 与5a 的个位数相同，366a 与6a 的个位数相同，且不难知道，55a =，68a =，所以，56a a 的个位数为0，则365366a a 的个位数也为0，因此，2222123365a a a a ++++ 的个位数为0.故选：D.二、多选题9．设圆C ：()2214x y -+=，直线l ：()1y kx k =+∈R ，则下列结论正确的为（）A ．C 的半径为2B ．l 恒过定点()0,1C ．l 可能与C 相切D ．当1k =时，l 被C 截得的弦长最短【正确答案】ABD【分析】化简圆的标准方程即可判断A ，令0x =，代入直线方程即可判断B ，将()0,1代入圆方程即可判断C ，当直线l 与定点与圆心连线所在直线互相垂直时，弦长最短，即可判断D.【详解】对A ，()22212x y -+= ，所以C 的半径为2，故A 正确；对B ，当0x =时，1y =，故直线l 恒过定点()0,1，故B 正确；对C ，将()0,1代入圆方程有()2201124-+=<，故定点()0,1在圆内，故直线与圆一定相交；对D ，圆心()1,0C ，设直线l 恒过定点()0,1M ，则当直线CM 与直线l 相互垂直时，l 被C 截得的弦长最短，故1CM k k ⋅=-，即10101k -⋅=--，则1k =，故D 正确.故选：ABD.10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为棱11B C 、1B B 的中点，则下列结论正确的为（）A ．12AD EF = B ．110B D AC ⋅= C ．3DF = D ．DF为平面1ACD 的一个法向量【正确答案】BC【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可判断各项的正误.【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,0D 、()12,0,2A 、()12,2,2B 、()10,2,2C 、()10,0,2D 、()1,2,2E 、()2,2,1F 对于A 选项，()12,0,2AD =- ，()1,0,1EF =- ，则12AD EF =-，A 错；对于B 选项，()112,2,0B D =-- ，()2,2,0AC =- ，则11440B D AC ⋅=-=，B 对；对于C 选项，()2,2,1DF = ，故2222213DF =++= ，C 对；对于D 选项，1420DF AD ⋅=-+≠ ，故DF不是平面1ACD 的一个法向量，D 错.故选：BC.11．已知公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且100S >，110S <，则下列结论正确的为（）A ．{}n a 为递增数列B ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C ．当n S 取得最大值时，6n =D ．当21a =时，d 的取值范围为21,74⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】BD【分析】通过等差数列前n 项和公式和下标和性质即可得到0d <，10a >，60a <，50a >，则可判断AC ，而()112n S da n n =+-则可判断B ，而通过560a a +>，60a <，则可得到关于d 的不等式组，即可判断D.【详解】对A ，10110,0S S >< ，即()1101002a a +>，()1111102a a +<，即()5650a a +>，6110a <，则60a <，而560a a >->，故650d a a =-<，故{}n a 为递减数列，故A 错误；对B ，设{}n a 的首项为1a ，则()112n n n S na d -=+，()111122n S n d a d a n n -=+=+-，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项，公差为2d 的等差数列，故B 错误；对C ，由A 知60a <，即650S S -<，则65S S <，而50a >，即140a d +>，则140a d >->，而0d <，当n S 取得最大值时,5n =，故C 错误；对D ，当21a =时，由A 知560a a +>，60a <，即22234040a d a d a d +++>⎧⎨+<⎩，即270140d d +>⎧⎨+<⎩，解得21,74d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD.12．已知椭圆221:14x C y +=和()222:14x C y λλ+=>，点()()0000,0M x y x y ≠在1C 上，且直线0044x x y y +=与2C 交于A 、B 两点，若点N 在2C 上，使得ON OA OB =+，则下列结论正确的为（）A ．1C 、2C 的离心率相等B ．2λ=C ．直线ON 、AB 的斜率之积为定值D ．四边形OANB的面积为【正确答案】ACD【分析】计算出两椭圆的的离心率，可判断A 选项；求出点N 的坐标，将点N 的坐标代入椭圆2C 的方程，求出λ的值，可判断B 选项；利用斜率公式以及椭圆方程可判断C 选项；利用三角形的面积公式求出四边形OANB 的面积，可判断D 选项.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，椭圆1C 、2C 的离心率分别为1e 、2e 对于A选项，12e =22e =，A 对；对于B 选项，联立00224444x x y y x y λ+=⎧⎨+=⎩可得22002440x x x y λ-+-=，所以，1202x x x +=，由题意可知220014x y +=，则()201201020120000844822444x x x x x x x x y y y y y y -+-+--+====，因为()()121200,2,2ON OA OB x x y y x y =+=++=，则点()002,2N x y 在椭圆2C 上，所以，22004444x y λ=+=，B 错；对于C 选项，由B 选项可知，椭圆2C 的方程为221164x y +=，()002,2N x y ，则01201222ON y y y k x x x +==+，1212AB y y k x x -=-，由已知可得2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得2212221214AB ON y y k k x x -==--，C 对；对于D 选项，显然四边形OANB 为平行四边形，其面积记为1S ，OAB 的面积记为2S ，因为000x y ≠，所以，直线l 与y 轴必有交点，不妨设为P ，且010,P y ⎛⎫⎪⎝⎭，212012S x x y =⋅-，故1212012S S x x y ==-，由韦达定理可得1202x x x +=，2120416x x y =-且220014x y +=，所以，1S ====，D 对.故选：ACD.三、填空题13．已知()1,2,3a =- ，()2,,6b m =- ，若//a b r r，则m =________．【正确答案】4-【分析】根据空间向量共线的坐标表示可求得实数m 的值.【详解】因为()1,2,3a =- ，()2,,6b m =- ，若//a b r r ，则26123m -==-，解得4m =-.故答案为.4-14．已知数列{}n a 满足21a =，且()()*113nn na n a +-=+∈N ，则13a a =________．【正确答案】2【分析】根据递推公式求出1a 、3a 的值，进而可求得13a a 的值.【详解】因为数列{}n a 满足21a =，且()()*113nn na n a +-=+∈N ，则21131a a =-+=，可得112a =，32134a a =+=，因此，132a a =.故答案为.215．已知圆22:220C x y x y +--=，点P 在直线20x y ++=上运动，过P 作C 的两条切线，切点分别为A 、B ，当四边形PACB 的面积最小时，ACB =∠________．【正确答案】120【分析】证明出Rt Rt PAC PBC ≌△△，计算出PC 的最小值，可得出PA 的最小值，可得出四边形PACB 的面积最小值，可求得APC ∠的值，进而可得出ACB ∠的值.【详解】如图所示：由圆的几何性质可得PB BC ⊥，PA AC ⊥，由切线长定理可得PA PB =，又因为AC BC =，PC PC =，所以，Rt Rt PAC PBC ≌△△，圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1C ，半径为r =所以，PA ==当PC 与直线20x y ++=垂直时，PC 取最小值，且min PC ==，所以，min PA =所以，2PAC PACB S S PA AC ==⋅≥△四边形30BPC APC ∠=∠= ，因此，()2290120ACB ACP APC ∠=∠=-∠=.故答案为.12016．如图，在直角ABC 中，1AB =，2BC =，D 为斜边AC 上异于A 、C 的动点，若将ABD △沿折痕BD 翻折，使点A 折至1A 处，且二面角1A BD C --的大小为π3，则线段1AC 长度的最小值为________．【分析】过点1A 在平面1A BD 内作1A M ⊥直线BD ，垂足为点M ，过点C 在平面BCD 内作CN ⊥直线BD ，垂足为点N ，记1A BD α∠=，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用空间数量积的运算性质可得出2153sin 2AC α=- ，即可求得1A C 的最小值.【详解】过点1A 在平面1A BD 内作1A M ⊥直线BD ，垂足为点M ，过点C 在平面BCD 内作CN ⊥直线BD ，垂足为点N ，如下图所示：11AC A M MN NC =++ ，10A M MN NC MN ⋅=⋅= ，记1A BD α∠=，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2NBC α∠=-，则1sin A M α= ，π2sin 2cos 2NC αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为二面角1A BD C --的大小为π3，则 NC 、1MA 的夹角为π3，111πcos sin cos 3NC A M NC MA NC A M αα⋅=-⋅=-⋅=- ，且π2cos cos 2sin cos 2MN BN BM αααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭ ，所以，()2222211112AC A M MN NC A M MN NC NC A M=++=+++⋅()222sin 2sin cos 4cos 2sin cos 53sin 22ααααααα=+-+-=-≥，即12A C ≥ sin 21α=时，即当π4α=时，等号成立，因此，线段1AC 2故答案为2方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.四、解答题17．已知圆1C 的圆心为()1,0-，且经过坐标原点O ．(1)求1C 的标准方程；(2)设圆2C ：()()()222240x y r r -+-=>，若1C 与2C 相交，求r 的取值范围．【正确答案】(1)22(1)1x y ++=(2)46r <<【详解】（1）由题意可知，圆1C 的半径为11OC =，所以，1C 的标准方程为22(1)1x y ++=.（2）易知，圆2C 的圆心为2(2,4)C ，半径为r ，根据两圆相交可知，12-11r C C r +<<，又125C C ==，解得46r <<，即r 的取值范围是46r <<18．已知数列{}n a ，满足14a =，41a =，且()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求20T ．【正确答案】(1)5n a n =-(2)130【分析】（1）首先证明{}n a 是等差数列，求出其公差，写出通项即可；（2）当5n =时，0n a =，则()()2012512202T a a a a a a =+++-+++ ，利用等差数列求和公式即可.【详解】（1）由题可知,*n ∀∈N ,都有211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 是等差数列,设{}n a 的公差为141,4,3431,1d a a a d d d ==+=+=∴=- ,1(1)4(1)(1)5.n a a n d n n ∴=+-=+-⨯-=-（2）由(1)可知5n a n =-，令0n a =，则5n =,∴当5n >时，0,n n n a b a <=-，当5n ≤时,0,n n n a b a ≥=,()()2012201256720T b b b a a a a a a ∴=+++=+++-+++ ()()12512202a a a a a a =+++-+++ 5(40)20(415)213022⨯+⨯-=⨯-=19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且AB AD ⊥，2AD BC =uuu r uu u r，已知侧棱AP ⊥平面ABCD ，设点E 为棱PD 的中点．(1)证明：//CE 平面ABP ；(2)若2AB AP AD ===，求点P 到平面BCE 的距离．【正确答案】(1)见解析【分析】（1）设F 为PA 的中点,连接BF ,EF ，利用中位线的性质证明四边形EFBC 是平行四边形，则可得//CE 平面ABP .（2）点A 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量(0,1,2)n =，利用点到平面的距离公式即可.【详解】（1）设F 为PA 的中点，连接BF ,EF ，E 是PD 的中点，1//,2EF AD EF AD ∴=，2,//AD BC AD BC =∴ ,且12BC AD =，//,EF BC EF BC ∴=，∴四边形EFBC 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂ 平面,ABP CE ⊂/平面ABP ,//CE ∴平面ABP .（2）由于侧棱AP ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，,AP AB AP AD ∴⊥⊥，AB AD ⊥ ，则以点A 为坐标原点,以AD ,AB ,AP 所在的直线为x轴,y 轴,z 轴建立如图空间直角坐标系,2AD = ，112BC AD ∴==，(0,0,2)P ∴，(0,2,0)B ，(1,2,0)C ，(1,0,1)E ，(1,0,0)BC ∴= ，(0,2,1)CE =- ，(0,2,2)PB =-，设平面BCE 的法向量(,,)n x y z =,则有00n BC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =,则(0,1,2)n =，∴点P 到平面BCE的距离||||||||||||PB n PB n d PB n PB n ⋅⋅=⋅=⋅.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221y x a b-=0a >0b >的一条渐近线为y x =，且点P 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且7AF BF =，求l 的斜率．【正确答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）利用渐近线方程可得b =，再将点P代入即可求得结果；（2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并根据向量定比即可求得l 的斜率．【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为a y x b =±a b=，可得223b a =，将P代入可得22231a b-=，解得221,3a b ==；所以双曲线C 的方程为2213x y -=.（2）由（1）可知，上焦点(0,2)F ，设直线l 的斜率为k ，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为2y kx =+，联立22132x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得()22311290k x kx -++=；所以121222129,3131k x x x x k k +=-=--又7AF BF =，即()()1122,27,2x y x y --=--，可得127x x =，所以122221222128319731k x x x k x x x k ⎧+==-⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩，即()()22239231731k k k ⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎣⎦，解得k =所以直线l的斜率为21．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧面11ADD A 为菱形，且平面11ADD A ⊥平面ABCD ．(1)证明：11AD AC ⊥；(2)设点P 在棱11A B 上运动，若1π3A AD ∠=，且2AB =，记直线1AD 与平面PBC 所成的角为θ，当1sin 4θ=时，求1A P 的长度．【正确答案】(1)见解析(2)1【分析】（1）连接1A D ，利用面面垂直性质定理得CD ⊥平面11ADD A ，则1AD CD ⊥，根据菱形对角线互相垂直有11AD A D ⊥，则可证1AD ⊥平面1ACD ，则11AD AC ⊥.（2）以点A 为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设1(02)A P m m =≤≤，求出平面平面PBC 的一个法向量，则可求出线面夹角的正弦值，则可求得1A P 的值.【详解】（1）连接1A D ，平面11ADD A ⊥平面,ABCD AD =平面ABCD ⋂平面11,ADD A CD AD ⊥,CD \^平面11ADD A ,1A D ⊂Q 平面11ADD A ，1AD CD ∴⊥,1A D 与1AD 为菱形的对角线，11AD A D ∴⊥，1CD A D D = ，1,CD A D ⊂面1ACD1AD ∴⊥平面1ACD ，又1AC ⊂ 平面1ACD ,11AD A C ∴⊥.（2）以点A 为坐标原点,以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设1(02)A P m m =≤≤，则1(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(A B C D P m,1(2,1,(0,2,0),PB m BC AD ∴=--==设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z = ,则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即(2)020m x y y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，令x =2)n m =-,111sin 4||n AD n AD θ⋅∴==⋅，2(2)1m ∴-=，又02,1m m ≤≤∴=,即1A P 的长度为1.22．已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，定点()1,A a （其中常数a 满足22a p <），动点P 在C 上，且PF PA +的最小值为2．(1)求C 的方程；(2)过A 作两条斜率分别为1k 、2k 的直线1l 、2l ，记1l 与C 的交点为B 、D ，2l 与C 的交点为E 、G ，且线段BD 、EG 的中点分别为M 、N ．（i ）当0a =，且121k k =-时，求AMN 面积的最小值；（ii ）当121k k +=时，证明：直线MN 恒过定点．【正确答案】(1)24y x=(2)（i ）4；（ii ）证明见解析.【分析】（1）过点P 作PA l '⊥，垂足为点A '，由抛物线的定义可知PF PA '=，数形结合可求得PF PA +的最小值，可求得p 的值，可得出抛物线C 的方程；（2）（i ）分析可知10k ≠，20k ≠，设直线1l ，2l 的方程，将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立，结合韦达定理求出点M 的坐标，可得出点N 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得AMN 面积的最小值；（ii ）将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立，结合韦达定理求出点M 的坐标，可得出点N 的坐标，可求得直线MN 的方程，可得出直线MN 所过定点的坐标.【详解】（1）解：易知抛物线C 的准线l 的方程为2px =-，过点P 作PA l '⊥，垂足为点A '，由抛物线的定义可知PF PA '=，所以，12pPF PA PA PA AA ''+=+≥=+，当且仅当A 、A '、P 三点共线时，等号成立，所以，122p+=，可得2p =，抛物线C 的方程为24y x =.（2）解：若1l 与x 轴平行，则1l 与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，10k ≠，同理可知20k ≠，设直线1l 的方程为()11x m y a -=-，直线2l 的方程为()21x m y a -=-，易知111k m =，221k m =，且12m m ≠.（i ）因为0a =，且121k k =-，所以，121m m =-，且12l l ⊥，不妨设()11,B x y 、()22,D x y ，联立2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩得21440y m y --=，2116160m ∆=+>恒成立，由韦达定理可得1214y y m +=，且()2121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，所以，点()21121,2M m m +，同理可得点()22221,2N m m +，所以，12S AM AN =⋅=4=，当且仅当11m =±时，等号成立，所以，AMN 面积的最小值为4.（ii ）联立()2141y x x m y a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩可得2114440y m y m a -+-=，所以，1214y y m +=，且()2121111211121111122422x x m y am m y am m y y am m am +=-++-+=++-=+-，所以，点()211121,2M m am m +-，同理可得点()222221,2N m am m +-，所以，12m m ≠，所以，直线MN 的方程为12221122222121m y m ym am x m am x--=-+--+-，整理可得()()()12121242120m m m m x y m m ay -+--++=⎡⎤⎣⎦，()()121242120m m x y m m ay ∴+--++=，①因为1212111k k m m +=+=，可得1212m m m m +=，当2y =时，①等价于()2120x a -+=，即1x a =-，所以，直线MN 恒过定点()1,2a -.方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

南山区期末考高二数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2 - 1B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^2 + x2. 已知函数f(x) = 2x + 1，则函数f(-x)的图像是（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位3. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. x^2 < 4C. x > 2 或 x < -2D. x^2 > 44. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列的前10项和S10为（）A. 95B. 100C. 105D. 1105. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值cosθ为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 16. 下列方程中，无实数解的是（）A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 + 4x + 4 = 07. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数f(x)的图像的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -28. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项an为（）A. 19B. 20C. 21D. 229. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则函数f(x)的定义域为（）A. x > -1B. x ≥ -1C. x < -1D. x ≤ -110. 已知直线l的方程为3x - 4y + 12 = 0，则直线l与x轴的交点坐标为（）A. (4, 0)B. (-4, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(2)的值为______。

广东省深圳市2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题及答案

准线上一点， AM 平行于 x 轴， O 为坐标原点，若 | OM | = 4 ，则 l 的斜率为（） | OB |
A. − 4 3
B. − 3 4
3
4
C.
D.
4
3
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13. 在正项等比数列an 中， a2a4a6a8 = 25 ，则 a1a9 = __________.
面积等于__________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知数列an （ n N * ）是公差不为 0 的等差数列， a1 =1，且 a2 , a4 , a8 成等比数列. （1）求数列an 的通项公式；
（2）设数列
an
1 an+1
的前
n
项和为
14. 在长方体 ABCD − 1D1 中， AB = BC = 1, AA1 = 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为
__________.
15.
已知数列an 满足 a1
= 1, an+1
=
an 3an +
1
，则
an
=
__________.
16. 直三棱柱 ABC − A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC = AA1 = 2, BAC = 120 ，则此球的表
B. 0
C. −2
D. 1
5. 与圆 C : x2 + y2 − 4x = 0 外切，又与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）
A. y2 = 8x
B. y2 = 8x(x 0) 和 y = 0

深圳2019年高二数学上册期末考试含答案及下册暑假提高习题

深圳市高二数学（上）期末试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合} |{ , } 21 |{a x x B x x A <=<<=，若A ≠⊂B ，则实数a 的取值范围是（）A ．) , 2 [∞+B ．) , 2 (∞+C ．] 1 , (∞-D ．) , 1 (∞+ 2. 关于x 的方程1||+=kx x 有负根，而无正根，则实数k 的取值范围是（） A ．1≥k B ．12≤≤-k C ．11≤≤-k D ．1->k3．下列命题正确的是（）A ．////a bb a αα⎧⇒⎨⊂⎩ B ．//a a b b αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩C ．//a b a bαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩D ．//a b a bαα⎧⇒⊥⎨⊥⎩4．过点M （－2，4）作圆C ：25)1()2(22=-+-y x 的切线l ，直线023:1=++a y ax l 与l 平行，则l 1与l 之间的距离是（）A ．528B ．512 C ．58 D ．52 5. 与直线2470x y -+=垂直，且过点(0，5)的直线l 的方程为A. 250x y +-=B. 2100x y -+=C. 250x y -+=D. 2100x y +-=6．直线10Ax By +-=在y 轴上截距为1-y -=的倾斜角的2 倍，则,A B 的值分别为：（）AB ．1-C 1-D ．7．若双曲线的一个顶点到两条准线的距离和等于4，一个焦点到两条渐近线的距离和等于8，则双曲线的离心率的值是（）A ．2B ．3C ．5D ．228．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则⋅的值是（）A ．43 B ．43-C ．3D ．－39．,a b 是异面直线，,αβ表示平面，,,a b αβ⊂⊂甲：//,//,a b βα乙：//αβ，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件10．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点F 作弦AB ，若1||d AF =，2||d BF =，则2111d d + 的数值为（）A ．22a bB ．22b a C ．2a ba + D ．与a 、b 斜率有关11．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）A ．221≥e eB ．42221≥+e eC ．2221≥+e eD ．2112221=+e e 12. 对于抛物线 y 2 ＝4x 上任意一点Q ，点P ( a, 0 )都满足 | PQ | ≥ | a |，则a 的取值范围是A. （－∞，0）B. （－∞，2 ]C. [ 0，2 ]D. （0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上13. 已知10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则函数22448U x y x y =+--+的最小值为 .14．设中心在原点的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 ;15．椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值是 ; 16．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为棱AB 、CD 的中点，α为EF 与AC 所成的角，β为EF 与BD 所成的角，为使2πβα=+，须添加条件 .（（必须写出两个答案）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知异面直线a 、b 的公垂线段AB 的长为10，点a AM a M a A ,5,,=∈∈点、b 所成的角为60°，求点M 到直线b 的距离.20．（12分）设F 1、F 2为椭圆 14922=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且 | PF 1 | > | PF 2 |，求||||21PF PF 的值.20．（本小题满分12分）已知抛物线x y =2的弦AB 与直线1y =有公共点，且弦AB 的中点N 到y 轴的距离为1，求弦AB 长度的最大值，并求此直线AB 所在的直线的方程.21．（本小题12分）已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，且PA=AD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点. 求证：（1）MN//平面ADP ；（2）MN ⊥PC.22．（本小题14分）已知双曲线M 过点)26,4(P ,且它的渐近线方程是02=±y x (1) 求双曲线M 的方程;(2) 设椭圆N 的中心在原点,它的短轴是双曲线M 的实轴,且N 中斜率为4-的弦的中点轨迹恰好是M 的一条渐近线截在N 内的部分,试求椭圆N 的方程.2019学年度第一学期期末高二数学试卷参考答案一、选择题1—6：BBBCBB 7—12：CABBDA二、填空题13．13422=+x y 14．1222=+y x 15．22 16．BD AC ⊥;AB=ADCB=CD （若其它正确答案）三、解答题：17．解：设过B 点与a 平行的直线为c 、b 、c 所确定的平面为α.由于AB 是异面直线a 、b 的公垂线α⊥⊥∴AB c AB 于是…………2分过点M 作MN ⊥c 垂足为N ，则AB//MN α⊥∴MN ，四边形ABMN 是矩形 5==∴AM BN在α内过N 作NC ⊥b ，垂足为C ，连MC ，由三垂线定理知MC ⊥b∴MC 即为点M 到b 的距离………………7分又a 、b 所成的角为︒=∠︒6060CBN ………………9分在Rt △BCN 中，32560sin =︒=BN NC 192522=+=∴NC MN MC …………12分18．解: 设组装x 件X 产品,y 件Y 产品,利润为z 万元由题意得目标函数: y x z 2.01.0+= 2分约束条件:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≤≤≤+≤+Ny x y x y x y x ,1200250012000821400064 6分作出可行域 10分作出直线02:0=+y x l ,平移0l 到点A 处z 取最大值;由⎩⎨⎧=+=+12000821400064y x y x 得⎩⎨⎧==10002000y x ∴最优解为)1000,2000( 11分∴当组装2000件X 产品,1000件Y 产品时,该月利润最高,最高是400万元. 12分19．解: (1)设原点O 关于L ：52+=x y 的对称点),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=-=5222210000x y xyL x '∴-=∴40的方程4-=x …………4分（2）设c a y x P y x P 4)1(),,(),,(2222111=知由又)(),(22221211c x c OF P F c x c OF P F -=⋅+=⋅，………………6分由940,910)()(21221-=+-=-++x x a c x c c x c 得…………8分又⎪⎩⎪⎨⎧=-++=14452222cc y c x x y 消去041610080)20(22=+-++-c c x x c y 得…………10分 0,29402080208021>∆=-=--∴--=+∴此时c c cx x∴椭圆的方程为14822=+y x ………………12分20．解：设),(11y x A 、),(22y x B ，中点),1(0y N当AB 直线的倾斜角90°时，AB 直线方程是.2||,1==AB x （2分）当AB直线的倾斜角不为90°时，222211,y x y x ==相减得))((212121y y y y x x -+=-所以ky k y AB 211200==即（4分）设AB 直线方程为：)1(21)1(0-=--=-x k ky x k y y 即，由于弦AB 与直线y=1有公共点，故当y=1时21021112112≥∴≥-≥+-k k k k k 即（6分） 0121)1(21222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kk y y y x x k k y 故所以121122121-==+k y y ky y ，故 )14)(11(]4))[(11(||11||22212212212kk y y y y k y y k AB -+=-++=-+=（8分） 014,011],41,0(1,21222≥->+∴∈∴≥kk k k 25)21411()14)(11(||22222=-++≤-+=∴k kkk AB 故当25||,361411max 22==-=+AB k k k 时即（12分）21、证明：取PD 中点为Q ，连接AQ 、QN①∵N 为PC 的中点，M 为AB 的中点，2,2,//ABAM DC QN DC QN ==∴…………2分 ∵四边形ABCD 为矩形，DC AB DC AB =∴,//，AMNQ AM QN 即,=∴为平行四边形，MN AQ //∴…………4分ADP MN ADP AQ 闰面平面⊄⊂,ADP MN 平面//∴…………6分②⊥PA 矩形ABCD 所在平面，DC PA ⊥∴，A AP AD DC AD =⊥ ,AQ DC PAD DC ⊥⊥∴,平面………………9分 PDC AQ D PD DC PD AQ 平面⊥∴=⊥∴,, ，PC MN MN AQ PC AQ ⊥∴⊥∴,//, ………………12分22、（1）设双曲线M 的方程为)0(422≠=-λλy xM 过点)26,4(P λ=⨯-∴46416 10=∴λ 双曲线M 的方程为10422=-y x 4分（2）由题意可设椭圆的方程为)10(110222>=+a x ay 设斜率为-4的直线与椭圆交于点),(11y x A ，),(22y x B AB 中点),(00y x P 则有2212121010a y x a =+ ① 2222221010a y x a =+②①-②得 0))((10))((212121212=-++-+y y y y x x x x a022121221212102)(10)(y x a y y x x a x x y y ⋅⋅-=++-=--∴ 8分 002104y x a -=-∴ 00240x y a =∴ 10分又2100=x y2021402=⨯=∴a ∴椭圆的方程为1201022=+y x 14分高二暑期数学综合训练题各位同学，紧张且具挑战的高三生活还有一个月就要开始了。

南山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(1)

南山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知集合A={x|log 3x ≥0}，B={x|x ≤1}，则（） A ．A ∩B=∅ B ．A ∪B=R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．已知x ，y 满足，且目标函数z=2x+y 的最小值为1，则实数a 的值是（）A ．1B ．C ．D ．3．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）111]A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．已知点M 的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（）A ．（1，，）B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）6．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-17．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（） A ．1 B ．12 C. 34 D ．588．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A． B．C． D．10．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．3B．2C．3D．411．满足下列条件的函数)(xf中，)(xf为偶函数的是（）A.()||xf e x= B.2()x xf e e= C.2(ln)lnf x x= D.1(ln)f x xx=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.12．函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称二、填空题13．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，则实数x的取值范围为．14．设函数()xf x e=，()lng x x m=+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x∈，关于x的不等式()()f xg x>恒成立，则m e<；②若存在[1,2]x∈，使得不等式00()()f xg x>成立，则2ln2m e<-；③若对任意1[1,2]x∈及任意2[1,2]x∈，不等式12()()f xg x>恒成立，则ln22em<-；④若对任意1[1,2]x∈，存在2[1,2]x∈，使得不等式12()()f xg x>成立，则m e<．其中所有正确结论的序号为.【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.15．给出下列命题：①存在实数α，使 ②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是．16．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．17．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ）．18．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是．三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ；（2）证明：AF ⊥EF ．20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；（2）求线段MN 的长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.21．已知双曲线C ：与点P （1，2）．（1）求过点P （1，2）且与曲线C 只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．23．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．24．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；（2）证明：B1F∥平面A1BE．南山区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：A={x|x≥1}，B={x|x≤1}；∴A∩B={1}，A∪B=R，A，B没有包含关系；即B正确．故选B．2．【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知A（a，a），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．【答案】D【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．【答案】B 【解析】试题分析：三棱锥P ABC -中，则PA 与BC 、PC 与AB 、PB 与AC 都是异面直线，所以共有三对，故选B ．考点：异面直线的判定． 5．【答案】B【解析】解：设点M 的直角坐标为（x ，y ，z ），∵点M 的球坐标为（1，，），∴x=sincos=，y=sinsin=，z=cos=∴M 的直角坐标为（，，）．故选：B ．【点评】假设P （x ，y ，z ）为空间内一点，则点P 也可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 与点P 间的距离，θ为有向线段OP 与z 轴正向的夹角，φ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到OM 所转过的角，这里M 为点P 在xOy 面上的投影．这样的三个数r ，φ，θ叫做点P 的球面坐标，显然，这里r ，φ，θ的变化范围为r ∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，6．【答案】D 【解析】试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以42224==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.考点：等比数列的性质. 7．【答案】B 【解析】8．【答案】A【解析】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．9．【答案】A【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A．10．【答案】A【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，∴两直线的距离为=，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，故选：A【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．11．【答案】D.【解析】12．【答案】C【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C．二、填空题13．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，S n==2﹣（）n﹣1，对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，∴x2+tx+1≥2，x2+tx﹣1≥0，令f（t）=tx+x2﹣1，∴，解得：x≥或x≤，∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．14．【答案】①②④【解析】15．【答案】②③．【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，②函数=cosx是偶函数，故②正确，③当时， =cos （2×+）=cos π=﹣1是函数的最小值，则是函数的一条对称轴方程，故③正确，④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，故答案为：②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．16．【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.17．【答案】cm 3 ．【解析】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：cm3【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．18．【答案】．【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，∵mn﹣m﹣n=3，∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，∴m+n≥6，则d=≥3．故答案为：．【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．三、解答题19．【答案】【解析】（1）证明：如图，∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF ∥平面PAC ．（2）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，又ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ， ∵PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ． ∵AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥CD ．∵PA=AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ．又CD ∩PD=D ，∴AF ⊥平面PDC ． ∵EF ⊂平面PDC ， ∴AF ⊥EF ．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．20．【答案】【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=，BP 的斜率0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===-.（4分）21．【答案】【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．…当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0 （*）（ⅰ）当2﹣k2=0，即k=±时，方程（*）有一个根，l与C有一个交点所以l的方程为…（ⅱ）当2﹣k2≠0，即k≠±时△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k），①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点．所以l的方程为3x﹣2y+1=0…综上知：l的方程为x=1或或3x﹣2y+1=0…（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）…又∵x1+x2=2，y1+y2=4，∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）即k AB==，…∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…代入双曲线方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，由于判别式为482﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在．…【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x ＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因f （x ）=2x 3+ax 2+bx+1，故f ′（x ）=6x 2+2ax+b从而f ′（x ）=6y=f ′（x ）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f ′（x ）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）=2x 3+3x 2﹣12x+1f ′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x ﹣1）（x+2）令f ′（x ）=0，得x=1或x=﹣2当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x ∈（﹣2，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（﹣2，1）上是减函数；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（1，+∞）上是增函数．从而f （x ）在x=﹣2处取到极大值f （﹣2）=21，在x=1处取到极小值f （1）=﹣6．24．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，a BG 25=，a GE BG BE 2322=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=θsin 32=BE GE ；……6分（2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ． ∵H 为AB 1的中点，且B 1H =21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =21C 1D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ，又∵B 1F ⊄平面A 1BE 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1F ∥平面A 1BE ． ……12分。

广东省深圳市高级中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析

广东省深圳市高级中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）第I 卷一、选择题：1.已知复数z满足()1z i +=，则z =（）2i -2i +4i4i + 【答案】D 【解析】【分析】首先根据所给的等式表示出z ，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．【详解】解：()13i z i +=1i z ∴===故选：D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘法运算，合并同类项，得到结果． 2.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|lg 0B x x =<，则AB =（）A. {}|11x x -<<B. {}1|0x x <<C. {}3|1x x <<D. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【详解】解：{}2|230A x x x =--≤，{}|13A x x ∴=-≤≤，{}|lg 0B x x =<， {}|01B x x ∴=<<，{}|01A B x x ∴=<<，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于中档题．3.若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)=A. lg101B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】【详解】因为101>，所以()10lg101f ==. 所以2((10))(1)112f f f ==+=,故选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且144a a +=，258a a +=，则20202020S =（） A. 2017 B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B 【解析】【分析】首先根据已知条件构造关于1a ，d 方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；【详解】解：因为144a a +=，258a a +=，所以11113448a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得112a d =-⎧⎨=⎩，()1123n a a n d n ∴=+-=-，()1222n n a a n S n n +∴==-22020202022020201820202020S -⨯∴== 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 5.已知40.5=a ，40.5=b log ，0.54c =，则,,a b c大小关系是（） A. b a c <<B. ac b <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出,,a b c 的大致范围，即可得出结果．【详解】∵()410.50,=∈a ，440.510<==b log log ，0.50441c =>=．∴b a c <<．故选A【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题型．6.已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ，则直线l 的方程为（）A. 20x -+=B. 40x -+=C. 40x +-=D.20x +-=【答案】A 【解析】【分析】利用点P 与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点(P 与圆C 相切的直线方程；【详解】圆22:40C x y x +-=可化为：()2224x y -+= ，显然过点()1,3P 的直线1x =不与圆相切，则点P 与圆心连线的直线斜率为033-=- ，则所求直线斜率为3 ，代入点斜式可得()331y x -=- ，整理得320x y -+=．故选A.【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2，易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角，在GEF ∆中，2EF =，2EG =，6FG =，由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=，所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．8.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（） A. B. C.D.【答案】A 【解析】试题分析：x x x xe e y e e --+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，故选A .考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（）A. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.10.函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点(),a b 为（） A. ()3,3-B. ()4,11-C. ()3,3-或()4,11-D. 不存在【答案】B 【解析】【详解】试题分析：2'()32f x x ax b =++，则()()110{10f f ='=，2110{320a b a a b +++=++=解得4{11a b ==-或3{3a b =-=，当3,3a b =-=时，22'()3633(2)0f x x x x =-+=-≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，舍去.当4,11a b ==-,2'()3811f x x x =--,1x =为极小值点,符合,故选B考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，'()0f x =是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当3,3a b =-=时，'()0f x ≥，此时()f x 在定义域R 上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A ，认为两组解都符合，一定要注意检验.11.已知12,F F 分别为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点，其中点2F 为抛物线()22:20C y px p =>的焦点，设1C 与2C 的一个交点为P ，若212PF F F =，则1C 的离心率为( ) A. 51- B. 21+C. 322+D. 51+【答案】B 【解析】设()P m n ，位于第一象限，则00m n >>，由题意可得202p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，且双曲线的2p c =抛物线的焦点为准线方程为2p x =- 由抛物线的定义可得：21222pm PF F F c +=== 即有2242m c n pm c c ====，即()2P c c ，代入双曲线的方程可得：222241c c a b -= 即为222411e e e -=-，化为42610e e -+=解得)2322322e =+-舍去可得21e =故选B点睛：，本题主要考查的是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质．设()P m n ，位于第一象限，求出抛物线的焦点和准线方程，可得2pc =，再由抛物线的定义，求得m ，代入抛物线的方程可得n ，代入双曲线的方程，再由双曲线a b c ，，和离心率公式，化简整理计算即可得到所求的值．12.已知0a >且1a ≠，若当1x ≥时，不等式x a ax 恒成立，则a 的最小值是（）A. eB.1ee C. 2D. ln 2【答案】A 【解析】【分析】推导出1x a x -，从而(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，则1x 时，()0p x ，1()p x lna x'=-，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值．【详解】解：0a >且1a ≠，当1x 时，不等式x a ax 恒成立，1x a x -∴，两边取自然对数，得：(1)x lna lnx -，令()(1)p x lnx x lna =--，则1x 时，()0p x ， 1()p x lna x'=-，当0lna <，即(0,1)a ∈时，()0p x '>，()p x 递增，当1x 时，()()10p x p =，与()0p x 矛盾；当0lna >，即(1,)∈+∞a 时，令)0(p x '=，得1x lna=， 10,x lna ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0p x '>，()p x 递增； 1,x lna ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0p x '<，()p x 递减．若11lna >，即(1,)a e ∈，当11,x lna ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()p x 递增，()()10p x p =，矛盾；若11lna，即[),a e ∈+∞，当[)1,x ∈+∞时，()()10p x p =，成立．综上，a 的取值范围是[),e +∞．故a 的最小值是e ．故选：A ．【点睛】本题考查实数值的最小值的求法，考查导数与函数的单调性、极值、最值，着重考查学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：13.曲线xy xe =在点()0,0处的切线方程为______．【答案】y x = 【解析】【分析】利用导数求出曲线xy xe =在点()0,0处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】依题意得xxy e xe '=+，因此曲线xy xe =在0x =处的切线的斜率等于1，所以函数xy xe =在点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为：y x =．【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.已知椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，椭圆上的点P 满足12||||2PF PF -= ，则12PF F ∆ 的面积为_______.【解析】由椭圆定义得12224PF PF +=⨯=，由122PF PF -=得1231PF PF ==，，因为12|F F =，所以223=+1（，即12PF F ∆为直角三角形，其面积为12⨯15.已知sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=________【答案】2425【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2cos 2cos 224ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21210⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭2425=故答案为：2425【点睛】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题.16.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'>xf x f x ，若()20f =，则不等式()0x f x ⋅>的解集为________ 【答案】()()2,02,-+∞【解析】【分析】()f x 是定义在R 上的偶函数，说明()f x x 奇函数，若0x >时，2()()0xf x f x x '->，可得()f x x 为增函数，若0x <，()f x x为增函数，根据()()220f f -==，求出不等式的解集；构造函数()()f x g x x=，利用导数可得函数的单调性，结合()20f =及函数的奇偶性即可求得不等式()0x f x >的解集．【详解】解：由题意，令()()f x g x x=， 0x 时，2()()()0xf x f x g x x '-'=>．()g x ∴在(0,)+∞递增，()()f x f x -=，()()g x g x ∴-=-，则()g x 是奇函数，且()g x 在(,0)-∞递增，又()()2202f g ==， ∴当02x <<时，()0<g x ，当2x >时，()0>g x ；根据函数的奇偶性，可得当20x -<<时，()0>g x ，当2x <-时，()0<g x ．∴不等式()0x f x >的解集为{|20x x -<<或2}x >．故答案为：()()2,02,-+∞．【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，构造函数是关键，属于中档题．三、解答题： 17.ABC ∆中，222a c b ac +=+．（1）求cos B 的值；（2）若1,87cosA a ==，求b 以及ABC S ∆的值．【答案】（1）12；（2）7，【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求cos B 的值；（2）先利用同角三角函数关系式求出角,A B 的正弦值，再借助于正弦定理求出b ，代入已知条件求出c ，进而求出三角形的面积．【详解】（1）由余弦定理及已知得：2221 cos22a c bBac+-==.（2）因为,A B为三角形内角，所以sin7A===，sin2B===，由正弦定理得：8sin7sina BbA⋅===，又∵2221cos72b c aAbc+-==．22150c c∴--=，解得5c=或3c=-（舍）．1sin2ABCS bc A∆∴=⋅=．【点睛】本题主要考查余弦定理以及同角三角函数基本关系式，并涉及到三角形的面积公式和计算能力，属于中档题目．18.已知数列{}n a满足11a=，且112nnnaaa+=+．（1）求证：数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nb a a+=⋅，求数列{}n b的前n项和n S．【答案】（1）证明见解析；（2）21nnSn=+【解析】【分析】（1）根据112nnnaaa+=+，得到1112n na a+=+，根据等差数列的定义，即可得出结论成立；（2）先由（1）得*1,21na nn=∈-N，推出11(21)(21)+=⋅=-+n n nb a an n，根据裂项求和的方法，即可得出结果. 【详解】（1）因为112n n n a a a +=+，所以112112n n n na a a a ++==+，即1112n n a a +-= ，又11a =，所以111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）得*121,n n n a =-∈N ，所以*1,21n a n n =∈-N ，所以11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ∴数列{}n b 的前n 项和21n nS n =+．【点睛】本题主要考查由递推关系证明等差数列，以及数列的求和，熟记等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消的方法求数列的和即可，属于常考题型.19.如图,ABCD 是平行四边形，已知24,23AB BC BD ===，BE CE =,平面BCE ⊥平面ABCD .（1）证明：BD CE ⊥；（2）若10BE CE ==，求平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)见解析21. 【解析】【分析】（1）推导出BD BC ⊥，取BC 的中点F ，连结EF ，可推出EF BC ⊥，从而EF ⊥平面ABCD ，进而EF BD ⊥，由此得到BD ⊥平面BCE ，从而BD CE ⊥；（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，以过点B 且与EF 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE 与平面BCE 所成二面角的余弦值．【详解】（1）∵ABCD是平行四边形，且24,CD AB BC BD ====∴222CD BD BC =+，故90o CBD ∠=，即BD BC ⊥ 取BC 的中点F ，连结EF . ∵BE CE =∴EF BC ⊥ 又∵平面BCE ⊥平面ABCD∴EF ⊥平面ABCD ∵BD ⊂平面ABCD∴EF BD ⊥ ∵,,EF BC F EF BC ⋂=⊂平面BCE ∴BD ⊥平面BCE ， ∵EC ⊂平面BCE ∴BD CE ⊥（2）∵BE CE ==由（Ⅰ）得3EF ==以B 为坐标原点，,BC BD 所在直线分别为,x y 轴,建立空间直角坐标系(如图)，则()()()2,,0,,1,0,3A D E ---∴()()3,23,3,AE DE =-=-设平面ADE 的法向量为(),,a x y z =，则·0·0a AE a DE ⎧=⎨=⎩，即33030x z x z ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩得平面ADE 的一个法向量为()0,3,2a =- 由（1）知BD ⊥平面BCE ，所以可设平面BCE 的法向量为()0,1,0b =设平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角为θ，则·031021cos 71·a b a bθ+⨯+===⨯即平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值为217.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论． 20.已知函数21()ln 2f x x a x =-. （1）当1a =，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，1()2f x ≥在定义域内恒成立，求实数a 的值. 【答案】（1）1()2f x =极小值，不存在极大值；（2）1a = 【解析】【分析】（1）求出1a =的函数的导数，求出单调增区间和减区间，从而得到函数的极值；（2）利用转化思想，当0a >时，1()2f x 在定义域内恒成立，即10a alna --进而求解；【详解】解：（1）因为21()ln 2f x x a x =-的定义域为()0,∞+ 所以当1a =时，21()ln 2f x x x =-， ()()()21111x x x f x x x x x-+-'∴=-== 令()0f x '>解得1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增，令()0f x '<解得01x <<，即()f x 在()0,1上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极小值，1()2f x =极小值，不存在极大值，（2）因为21()ln 2f x x a x =-定义域为()0,∞+， 2()a x af x x x x-'∴=-=因为0a >，令()0f x '>，解得x ()f x 在)+∞上单调递增，令()0f x '<，解得0x <<()f x 在(上单调递减，所以()min 12f x f a a ==-要使1()2f x ≥在定义域内恒成立，即()min 1122f x f a a ==-即10a alna --，令()1g a a alna =--， ()11()g a a lna lna a'=-⨯+=-，当(0,1)a ∈时，()0g a '>，当(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，∴当1a =时()g a 在1a =处取极大值， ()()10max g g a ==，()()1g a g ∴≤，若使10a alna --，只能取1a =，故答案为1a =【点睛】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.21.设椭圆方程22221x y a b+=（0a b >>），1F ，2F 是椭圆的左右焦点，以1F ，2F 及椭圆短轴. （1）求椭圆方程；（2）过1F 分别作直线1l ，2l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于A ，C 两点，2l 与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）22143x y +=；（2）()min 28849ABCD S = 【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得23a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，计算可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积，综合即可得答案．【详解】解：（1）由题设可得：23a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩，222a b c -=，24a ∴=，23b =，故椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）可知椭圆22143x y +=的焦点()11,0F当其中一条直线斜率不存在时，令4AC =，则223b BD a==162S AC BD ∴== 当直线斜率存在时，设直线:()i l y k x m =+，代入椭圆方程得：22222(34)84120k x k mx k m +++-=，则2122834k m x x k -+=-+，2212241234k m x xk -=+；所以弦长12|x x =-==设直线AC 的斜率为k ，不妨设0k >，则2212(1)||43k AC k +=+，2212(1)||43k BD k +=+，∴2222112(1)12(1)24343ABCD k k S k k ++=++222472(1)122512k k k +=++ 2222272(1)12(1)k k k +=++ 2227212(1)k k =++272288[,6)149121kk =∈+⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为0k >，12k k ∴+≥=，241k k ⎛⎫+ ⎪⎝≥⎭，211041k k <≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2149121241k k <+≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2288726149121k k ≤<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 272288[,6)149121k k ∴∈+⎛⎫+ ⎪⎝⎭综上，四边形ABCD 面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故()min 28849ABCD S =【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在，属于中档题． 22.已知函数2()ln (1)f x x a x x =-+-.（1）当1a ≥-时，讨论函数()f x 的单调性.（2）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，对a 分类求解原函数的单调区间；（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明0lnx lnx x x +-成立，即证lnxx lnx x-．令()lnxg x x=，()h x x lnx =-，由导数求出()g x 的最大值和()h x 的最小值，由()g x 的最大值小于()h x 的最小值得答案．【详解】（1）解：由2()(1)f x lnx a x x =-+-定义域为()0,∞+，得212(1)1()2(1)1(0)a x x f x a x x x x-+-+'=-+-=>，当1a =-时，1()xf x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数；当1a >-时，2(1)0a -+<，二次方程22(1)10a x x -+-+=有两根，10x =<，20x =>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数．综上可得，当1a >-时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减；当1a =-时，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）证明：要证2()(1)1lnxf x a x a x<--+-+，即证22(1)(1)1lnxlnx a x x a x a x-+-<--+-+，即1lnxlnx x a x+-<-， 1a <，10a ∴->，也就是证0lnxlnx x x+-，即证lnxx lnx x-．令()lnxg x x =，则21()lnx g x x -'=，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，∴1()()max g x g e e==；令()h x x lnx =-，11()1x h x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， ()()11min h x h ∴==，∴lnxx lnx x-成立，故对任意的(0,)x ∈+∞，有2()(1)1lnxf x a x a x<--+-+．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。

南山区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

南山区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（）A ．10B ．40C ．50D ．802．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（）A ．B ．C ．D ．3．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假　5．不等式≤0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B ．[﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D ．（﹣1，2]6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）7．若a ＜b ＜0，则（）A ．0＜＜1B ．ab ＜b 2C ．＞D ．＜8．曲线y=x 3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A ．3x+y+3=0B ．3x ﹣y+3=0C ．3x ﹣y=0D ．3x ﹣y ﹣3=09．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<10．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（）A ．1B ．3C ．5D ．911．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A ．B ．C ．D ．12．设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（）A ．（0，1）B ．（e ﹣1，1）C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ）13．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A ．B ．C ．D ．14的倾斜角为（）10y -+=A ． B ．C ．D ．150120603015．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x ，则该双曲线的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣y 2=1C ．x 2﹣=1D ．﹣=1二、填空题16．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点；③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点；④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．17．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线；②若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹所在曲线是圆；③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是（写出所有真命题的序号）18．已知i是虚数单位，复数的模为．19．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为．三、解答题20．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围．21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．22．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．23．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．24．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3， (10)十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？25．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？南山区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，故展开式中x k的系数不可能是50故选项为C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．2．【答案】A【解析】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．3．【答案】D【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】D【解析】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．6．【答案】C【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．7．【答案】A【解析】解：∵a＜b＜0，∴0＜＜1，正确；ab＜b2，错误；＜＜0，错误；0＜＜1＜，错误；故选：A．8．【答案】B【解析】解：y′=3x2y′|x=1=3，切点为（﹣1，0）∴曲线y=x3+1在点（﹣1，0）切线方程为y﹣0=3[x﹣（﹣1）]，即3x﹣y+3=0故选B．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．　9．【答案】D10．【答案】C【解析】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．11．【答案】A【解析】解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．12．【答案】D【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，所以f（x）=lnx+e，f′（x）=，x＞0．∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，∴x0∈（1，e），g（x0）=0，∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．13．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．14．【答案】C 【解析】，可得直线的斜率为，故选C.110y -+=k =tan 60αα=⇒= 考点：直线的斜率与倾斜角.15．【答案】B【解析】解：已知抛物线y 2=4x 的焦点和双曲线的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为（，0），即c=，又因为双曲线的渐近线方程为y=±x ，则有a 2+b 2=c 2=10和=，解得a=3，b=1．所以双曲线的方程为：﹣y 2=1．故选B ．【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．　二、填空题16．【答案】　①②⑤　【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳定点，故②正确；对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2+2x ﹣1）=0还有另外两解，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾；假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾；故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．【答案】　①②④　【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②正确；对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．18．【答案】．【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．19．【答案】．【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣1=，且sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα===．故答案为：．三、解答题20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）e x，f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e．又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1），即．ex﹣y﹣4=0（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x，①若a=﹣，f′（x）=﹣x2e x≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），②若a＜﹣，当x＜﹣或x＞0时，f′（x）＜0；当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x2+x﹣1）e x在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1，由，得g′（x）=2x2+2x．当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0．∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．故g（x）在x=﹣1处取得极大值，在x=0处取得极小值g（0）=m，∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．　21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；故全为女生的概率为=．…（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==；P（X=4）==．…故X的分布列为X01234PEX=0×+1×+2×+3×+4×=．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．22．【答案】【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，所以，10＜10a+10，解得a＞0，所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，则＞1恒成立，即＞1，所以，a a﹣b＞b a﹣b，将该不等式两边同时乘以a b b b得，a ab b＞a b b a，即证．【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1），令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x ）→﹣∞∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）即f（x）有2个零点；②当，即a=1时，f（x）有1个零点；③当，即a＞1时f（x）没有零点；（2）由得（0＜x1＜x2），=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0即，又，∴f'（x0）=＜0．【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．24．【答案】【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C103=120，奖金的可能取值是0，30，60，240，∴一等奖的概率P（ξ=240）=，P（ξ=60）=P（ξ=30）=，P（ξ=0）=1﹣∴变量的分布列是ξξ03060240P∴E ξ==20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣四次抽奖是相互独立的∴中奖次数η～B（4，）∴Dη=4×【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．25．【答案】【解析】（1）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

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