二次根式基础训练(含答案)-

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专题05 二次根式(原卷版)-备战2024年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练

专题05二次根式

【专题目录】

技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值

技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧

【题型】一、二次根式有意义的条件

【题型】二、利用二次根式的性质化简

【题型】三、二次根式的乘除运算

【题型】四、最简二次根式

【题型】五、同类二次根式

【题型】六、二次根式的加减

【题型】七、二次根式乘除混合运算

【考纲要求】

1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a)2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质a2＝|a|来化简根式．

2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.【考点总结】一、二次根式

【考点总结】二、二次根式的运算

【注意】

1、化简二次根式的步骤（易错点）

（1）把被开方数分解因式(或因数)；

（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a)2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

2、二次根式运算中的注意事项

（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。

【技巧归纳】

技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值

【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式

1．下列式子中为二次根式的是()

A.3

8 B.－1 C.2 D.x(x＜0)

【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围

2009级数学专题复习——二次根式

马井中学

2009级数学专题复习——二次根式

复习要求：

1、理解二次根式的含义，会利用)0a ≥有意义确定被开方数中字母的取值范围。

2、熟练掌握二次根式的性质：（1）

)()20a a =≥（2a

（3)0,0a b =≥≥ （4)0,0a b

=≥〉 能利用二次根式的性质进行计算或化简。

3、掌握最简二次根式、同类二次根式的定义。

4、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除四则运算。

一. 基础训练

1. 若a 的算术平方根是

12，则a ＝________ 2. 64的平方根为__________；--=2723_________

3. 若x ≤0时，则||12--=x x _______

4. 当a<1且a ≠0时，化简a a a a

2221-+-=__________ 5. 请你观察思考下列计算过程： 11121121112=∴=，；

同样 11112321123211112=∴=，，

由此猜想12345678987654321=_________

6. 已知xy ＝3，那么x y x y x y

+的值为_________ 7. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简||()a a -+-=122________

8. 计算

123

27613++-=_______ 9. 若y x x x =-+-+36633，则10x ＋2y 的平方根为_________ 10. 根式：y 2

，mn 2，23xy ，622()a b -，7533x y ，x y 22+，22

a a 中，最简根式有__________个

数的开方与二次根式(含答案)

数的开方与二次根式

【回顾与思考】

【例题经典】

理解二次根式的概念和性质例1 （1）（20062x

-x 取值范围是________．【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负．（2）已知a 3

1a a a

【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．

掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法

例2（20063 ） A 324

.12.

.182

B C D 【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．

掌握二次根式化简求值的方法要领

例3 （2006年长沙市）先化简，再求值: 若33b

a ab

a b

【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．

【基础训练】

116_______，-

64的立方根为_______． 2．当x_______25x +1x 有意义；当x________2

x -无意义．

3．（2006a ．

4．（2005）=_________．

5．（2006年烟台市）若x+1

x =5=______．

6．下列叙述中正确的是（）

A ．正数的平方根不可能是负数

B ．无限小数都是无理数

C ．实数和实数上的点一一对应

D ．带根号的数是无理数 7．（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（）

A C

8．（2006年恩施自治州）若m 的值为（） A ．20511315.

..3

B C D

9．（2006=成立的x 的取值范围是（） A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x>2 D ．x ≥2

10．（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：；105a a =；

二次根式章节知识点题型及巩固习题

知识点一：二次根式的概念

定义：一般地，形如V a (a >0的代数式叫做二次根式。I 「”称为二次根号。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a > 0是亦为二次根式的前提条件，如

，JJ+1，> 1)等是二次

根式，而

等都不是二次根式。

例1 •下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:

V 2、晅、丄、仮(x>0)、V 0

、近、-V 2、

1 ________

----- 、J x + y (x >0，y?>0) •

X +y

知识点二：取值范围

次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

例2•当x 是多少时，J 3R 在实数范围内有意义?

例3•当X 是多少时， +丄在实数范围内有意义?

X +1

知识点三：二次根式薦(a>0的非负性

V a (a >0表示a 的算术平方根，也就是说， J a (a >0)是一个非负数，即爲 >(a 》0。

注：因为二次根式 j a (a >0表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0的算术平方根是0,

所以非负数(a >0的算术平方根是非负数，即 J a >(a >0，这个性质也就是非负数的算术平方根的性

质，和绝对值、偶次方类似。

例 4(1)已知 y= J 2-X + J x -2 +5，求-的值.

⑵若+、百=0,求a

2004

的值

二次根式

1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当

a 仝0时，j a 有意义，是二次根式，所以要使二

2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当

八年级下册数学期末考试基础复习题

a 二次根式基础训练

一、判断题：（每小题1分,共5分)

1．2)2(＝2．（） 2．21x --是二次根式．（）

3．221213-＝221213-＝13－12＝1．（）

4．a ，2ab ，a

c 1是同类二次根式．（ ) 5．b a +的有理化因式为b a -．（）

二、填空题：（每小题2分，共20分）

6．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 7．当x ____________时，二次根式32-x 有意义．

8．比较大小：3－2______2－3．

9．计算：22)2

1()213(-=__________． 10．计算：92131·3114a ＝______________． 11．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示：则3a －2)43(b a -＝______________．

12．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_________________． 13．3－25的有理化因式是____________．

14．当21＜x ＜1时，122+-x x －24

1x x +-＝______________． 15．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式,则a ＝______， b ＝

____．

三、选择题：（每小题3分,共15分)

16．下列变形中，正确的是( ）

（A ）(23)2＝2×3＝6 （B)2)5

2(-＝－52 （C)169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯

17．下列各式中，一定成立的是( ）

二次根式基础训练

一、化简：

1、12= = ；

2、8= = ；

3、18= = ；

4、20= = ；

5、24= = ；

6、32= = ；

7、44.1= = ； 8、48= = ；

9、27= = ； 10、72= = ； 11、31

= = = ；

12、21= = = ； 13、51

= = = ；

14、32= = = ； 15、53

= = = ；

16、254= = = ； 17、95

= = = ；

18、81= = = ； 19、121

= = = ；

20、412= = = ；二、计算：

1、183⨯

2、2484554+-+

3、43

122⨯

4、2)5235(+

5、()2332)2332(-+

6、12315520∙-+

7、323232

6-- 8、811621432+-

9、40

620⨯ 10、2188+

11、31

621212--

12、31268-⨯

13、227

318⨯÷

14、18325⨯

15、31

1÷

16、)1523(63-

17、1040

5104+ 18、61

211÷

初二下册二次根式专题(所有题型)

二次根式专题

题型一：二次根式的概念

【例题1】

当为实数时，下列各式，，，

属于二次根式的有

________个.

【练一练】

1. 下列式子中二次根式的个数有（）（1）

；（

2）

；（3）

；（4）

；（5）

；（6）

（x ＞1）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个 2. 下列各式①

；②

；③

；④

；⑤

，其中二次根式的个数有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

题型二：二次根式的意义（取值范围）

【例题2】

x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）（2）y=－；

【练一练】 1. 若使二次根式

有意义，则x 的取值范围是；

2. 使式子

211

-有意义的x 的取值范围为______________________； 3. 代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是__________________；

4. 函数x

x y 2

的自变量x 的取值范围是_____________________； 5. 函数2

-+=

x x y 中，自变量x 的取值范围是___________________； 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义，则x 满足的条件是______________________.

x ()

223,1,,,

x x x x x --y =2+x x 23-

题型三：二次根式的性质（)0()(22≥==a a a a a ，

）【例题2】 1. 计算下列各式：

(1) （3）

（4）

2. 已知a ，b ，c 在数轴上如图所示，化简：

．

3. 已知a 、b 都是实数，且b ，化简

精编二次根式

例5、 1、计算： 2( 2－ 3)＋ 6.
2、计算：2 1 － 8 1 －( 18＋ 2－2 2 1 )． 3
3、 2 3 - 1 - 1 3 1 - 3

2

例6 1 已知x 3 1, 求x 2 x 3的值
2
x x2＋2x＋1 1 1 （2）先化简，再求值：－ ( )· 2 2， x x＋1 x＋1 －x－1 1 其中 x＝ . 2
拓展与提高
（3）
拓展与提高
拓展与提高
A、 2与 2 3 2 1 1 2 4 B、与3 C、与 D、与 2 3 5 5 2 8 7 7
3、下列计算错误的是( ) A. 2· 3＝ 6 B. 2＋ 3＝ 6 C. 12÷ 3＝2 D. 8＝2 2 1 4、计算：4 － 8＝____________. 2
2＋ 2 5、计算的结果是__________ 2
的值为多少？
考点3
a (a 0) 公式 a a 的应用 a (a 0)
2
基础训练 1、化简 A．3
- 3
2
的结果是 C．±3
(
) D．9
)
B．－3
2、若 a<1，化简 a－1 2－1 的结果是( A．a－2 B．2－a C．a D．－a
3、若（x 2） 2 x

2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-二次根式(原卷版)

专题05 二次根式

【专题目录】

技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧【题型】一、二次根式有意义的条件【题型】二、利用二次根式的性质化简【题型】三、二次根式的乘除运算【题型】四、最简二次根式【题型】五、同类二次根式【题型】六、二次根式的加减【题型】七、二次根式乘除混合运算【考纲要求】

1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质(a )2＝a (a ≥0)，能用二次根式的性质a 2＝|a |来化简根式．

2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算. 【考点总结】一、二次根式

【考点总结】二、二次根式的运算

二次根式

概

念

二次根式的概念

形如a (a ≥0)的式子.

二次根式有意义的条件

要使二次根式a 有意义，则a ≥0.

最简二次根式

①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；

①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式性质

双重非负性

①被开方数是非负数，即a ≥0；

②二次根式的值是非负数，即a ≥0. 两个重要性质

①(a )2＝a (a ≥0)；

①a 2＝|a |＝()()

00a a a a ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩；

【注意】

1、化简二次根式的步骤（易错点）（1）把被开方数分解因式(或因数) ；

（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；

（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a )2＝a (a ≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。

1.2二次根式的性质第1课时同步练习

1.2 二次根式的性质（第1课时）

课堂笔记

二次根式的性质：（a ）2= （a ≥0）；2a =a =⎩⎨

⎧≤-≥.0;0)(）（a a•••••••a •••a••• 课时训练

A 组基础训练

1. 下列计算正确的是（）

A. 4=±2

B. 2)3(-=-3

C. （-5）2=5

D. （3-）2=-3

2. 化简2)3(-的结果是（）

A. 3

B. -3

C. ±3

D. 0.9

3. 下列各式中一定成立的是（）

2243+=23+24=3+4=7 B. 2)32(-=2-3

C. （-212

）2=2)212(- D. 911-=1-31=3

2 4. 如果2)2(-x =x-2，那么x 的取值范围是（）

A. x ≤2

B. x ＜2

C. x ≥2

D. x ＞2

5. 下列说法错误的是（）

A. 如果2x =5，则x=5

B. 若a （a ≥0）为有理数，则a 是它的算术平方根

C. 化简2

)3(π-的结果是π-3

D. 在直角三角形中，若两条直角边长分别是5，25，那么斜边长为5

6. 当x ≤0时，化简1-x-2x 的结果是 .

7. 已知P 是直角坐标系内一点，若点P 的坐标为（-3，7），则它到原点的距离是 .

8. 实数a 在数轴上的位置如图所示：

化简：2a -a -1= .

9. 若a ，b ，c 为△ABC 三边长，且222b ab a +-+c b -=0，则△ABC 是三角形.

10. 化简：（14.3-π）2-π= .

11. 计算：

（1）（

23）2；

（2）（-7）2；

（3）（-2

1）2；

二次根式基础训练(含答案)-

二次根式基础训练

一、判断题：（每小题1分，共5分）

1．2)2(＝2．（）

2．21x --是二次根式．（）

3．221213-＝221213-＝13－12＝1．（）

4．a ，2ab ，a

c 1是同类二次根式．（） 5．b a +的有理化因式为b a -．（）

二、填空题：（每小题2分，共20分）

6．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 7．当x ____________时，二次根式32-x 有意义．

8．比较大小：3－2______2－3．

9．计算：2

2)21

()21

3(-=__________． 10．计算：92131·3114a ＝______________． 11．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示：则3a －2)43(b a -＝______________．

12．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_________________． 13．3－25的有理化因式是____________．

14．当2

1＜x ＜1时，122+-x x －241x x +-＝______________． 15．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝______， b ＝____．

三、选择题：（每小题3分，共15分）

16．下列变形中，正确的是（）

（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)52

(-＝－5

2 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-⨯-＝49⨯

17．下列各式中，一定成立的是（）

二次根式的加减练习题

12．7二次根式的加减

知识回顾:：

1.什么叫同类项？

__________________________________________________________________

2.(1)4x+5x=_____; (2)._____5422=+y y

3.判断下列各组二次根式是否是同类二次根式.

（1）

271,48,31; （2）45,15,451.

4.计算.（1）3112-

; （2）5

12545204-+.

目标解读:：

1.知道二次根式加减运算的步骤.

2.能熟练地进行二次根式的混合运算.

3.能从实际例子认识二次根式加减法运算法则的合理性.

4.会进行带入求值的计算.

基础训练:

一、选择题

1. 是同类二次根式的是（）

A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（）

A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

D. 同类二次根式是根指数为2的根式

3. ）

B. C. D.

4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）

B. C. D.

5. 若1<x <2 ）

A. 21x -

B. 21x -+

C. 3

D. -3

6. 10=，则x 的值等于（） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±

7. x ，小数部分为y y -的值是（）

A. 3-

C. 1

D. 3

8. 下列式子中正确的是（）

A. =

B. a b =-

C. (a b =-

2== 二、填空题

9. 是同类二次根式的是 .

10.若最简二次根式____,____a b ==.

11. ，则它的周长是 cm.

16.1二次根式-二次根式的定义基础训练+课件+2023—2024学年人教版数学八年级下册

∴
＋ − = ，
= ��，
解得
− − = ，
＝ − .
∴7x＋y2 024＝7×2＋(－1)2 024＝15.
训练2：利用二次根式被开方数的非负性求含字母式子的值
12.(1)若x，y为实数，且y＞ − ＋ − ＋2，化简：
｜−｜
.
−
【解】由
− ≥ ，
＋ − ≥ ，
【解】由题意得
− − ≥ ，
＋ ≥ ，
即
��＋ ≤ ，
∴a＋b＝2 024.
(2)7x＋y2 024的值.
【解】由(1)知，＋ − × − − ＝0，
∴ ＋ − ＋ − − ＝0.
【点拨】
依题意得
＋ − = ，
解得
+ + = ，

所以x－y＝－

−

＝＝9.

＝，

＝ − ，

.
⁠
7.使 −（ − ）有意义的a的值有( B )
A.0个
B.1个
C.无数个
D.以上都不对
【点拨】
由题意得－(a－2)2≥0，而(a－2)2≥0，则a－2＝0，
【解】存在.
− ≥ ，
由条件①，可得
解得13≤a≤20.

16.3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减同步练习

16.3 二次根式的加减

第 1 课时二次根式的加减

基础训练

知识点1 被开方数相同的最简二次根式

1.下列各式化成最简二次根式后被开方数与错误!未找到引用源。的被开方数相同的是( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

2.(2016·龙岩)与-错误!未找到引用源。是同类二次根式的是( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

3.以下二次根式:①错误!未找到引用源。;②错误!未找到引用源。;③错误!未找到引用源。;④错误!未找到引用源。中,化简后被开方数相同的是( )

A.①和②

B.②和③

C.①和③

D.③和④

4.(2015·凉山州)下列根式中,不能与错误!未找到引用源。合并的是( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

5.下列根式中,化成最简二次根式后不能与错误!未找到引用源。

(a>0,b>0)合并的是( )

A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6.若最简二次根式 4错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。可以进行合并,则m的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

知识点2 二次根式的加减

7.(2016·桂林)计算3错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用源。的结果是( )

A.错误!未找到引用源。

B.2错误!未找到引用源。

C.3错误!未找到引用源。

二次根式的混合运算专题训练1

八年级数学上--《二次根式的混合运算》专题训练

【知识要点】

1. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算 ___________，最后算__________，有括号的要先算___________，计算结果中的二次根式必须是______________。

【知识点基础训练】

1. 化成最简二次根式：

（1）8＝______ （2）a 4＝______ （3）411＝_____（4）7

7＝_______ 2.计算：

（1）)38(2- （2）2)1832(÷+ （3）)86(2+

（4）5)9080(÷+ （5）()38512+ （6）()()23322332-+

（7）

()()2212-+ （8）()2

3223- （9）（21-）2013 ×（21+）2014

（10）（2412+）（3232-）（11）（3

22215324+-）×2

（12）已知53+的整数部分为a,小数部分为b ，求b （25+）的值。

3.能力提高：

1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．；7．； 8．； 9．．

10．；11．； 12．；

13．； 14．； 15．；16．； 17．． 18．

4、化简求值

1．，其中； 2．，其中；

3．，其中； 4．，其中．

八年级数学上---二次根式的混合运算小测验

一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．如果x ＜－8，那么|4－2)4(x +|等于（）

A ．8＋x ；

B ．－x ；

C ．－8－x ；

D ．x ；

2．已知x ＝)57(21+），y ＝)57(2

1-，则代数式x 2－xy ＋y 2的值为（） A ．13； B ．2

(完整版)二次根式乘除法练习题

12． 6 二次根式的乘除法

知识回首 :：

1、（1）

4 9 = =

； 4 9 = = ；

（ 2） 9 16 =

；

9 16 =

；

（ 3）

（ a ≥0， b ≥0）．

2、（1）

=_________；（ 2）

4 a

=_________;（3）

（a ≥0， b ＞0）．

目标解读 :：

1.理解并掌握二次根式乘法和除法法例，并会进行简单的二次根式的乘除法运算 .

2.理解最简二次根式的意义及条件，把所给的二次根式化为最简二次根式 .

3.理解分母有理化的意义，并会进行分母有理化

基础训练 :

一、选择题

1. 以下二次根式中是最简二次根式的是（）

Ａ． 8

Ｂ．

1 Ｃ．

Ｄ．

3a 2

2. 化简

3 时，甲的解法是：

5 2)

2 ，乙的解

2 5

2 ( 5

2)( 5

法是：

( 5

2)( 5

2 ，以下判断正确的选项是（

）

Ａ．甲的解法正确，乙的解法不正确Ｂ．甲的解法不正确，乙的解法正确

Ｃ．甲、乙的解法都正确

Ｄ．甲、乙的解法都不正确

3. 已知 a

1 2 ， b 1 2，则 a 2 b 2 7 的值为（

）

Ａ． 5

Ｂ． 6

Ｃ． 3 Ｄ． 4

1 x

1 x 建立的条件是（

）

4. 式子

Ａ． x 1且 x 0 Ｂ． x 0 且 x 1

Ｃ． 0 x ≤ 1

Ｄ． 0 x 1

5. 式子

2x 成立刻， x ， y 知足的条件为（

）

3 y

x ≥ 0 x ≤ 0 x ≤ 0 x ≥ 0

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

y 0

6. 计算

3 4

；结果为（

）

Ａ． 3

Ｂ． 4 2 Ｃ． 5 2 Ｄ． 6 2

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