江苏省泰州中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题

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2016-2017年江苏省泰州中学高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析

数学附加题
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21．在平面直角坐标系 xoy 中，已知定点 F（l，0），点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，点 N 为平面内的动点，且满足可的轨迹 C 的方程． 22．某小组有 4 名男生，3 名女生．（1）若从男，女生中各选 1 人主持节目，有多少种不同的选法？（2）若从男，女生中各选 2 人，组成一个小合唱队，要求站成一排且 2 名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ 23．如图，已知三棱柱 ABC﹣﹣﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB ⊥AC，M，N 分别为 CC1，BC 的中点，点 P 为直线 A1B1 上一点，且满足，（1）λ= 时，求直线 PN 与平面 ABC 所成角 θ 的正弦值（2）若平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角为 45°，求 λ 的值．．求动点 N
二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（14 分）（1）计算（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，并且经过点 P（3，的双曲线方程． 16．（14 分）已知 a∈R，命题 p：“∀ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题 q：“∃ x∈R， x2+2ax+2=0”．（1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范围． 17．（14 分）已知函数 f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣ （1）若 a=l，求 f（x）的极值；（2）若存在 x0∈[1，e]，使得 f（x0）＜g（x0）成立，求实数 a 的取值范围． 18．（16 分）某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以 AB 为直径的半圆，点 O 为圆心，下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，DE，DF 是两根支杆，其中 AB=2 米，∠EOA= ∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧 EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧 AE、（a＞0））和 Q（，5）

2016-2017学年江苏省泰州二中高二上学期期中数学试卷与解析

2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为．5．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1；故答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=2+e．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+e x，则f′（1）=2+e，故答案为：2+e．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【解答】解：∵a与b都是偶数⇒a+b是偶数为真命题，但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，故a+b是偶数⇒a与b都是偶数为假命题故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为 5.5．【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，故f（4）+f'（4）=5.5．故答案为：5.55．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为6x﹣6y+3﹣π=0．【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+，可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1，切点为（，），可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣，即为6x﹣6y+3﹣π=0，故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是2，渐近线方程是y=．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为0≤a≤1．【解答】解：∵对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，∵f（x）=x2﹣8lnx，∴f′（x）=2x﹣∵函数f（x）是单调递减函数，∴f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立∴（0，2]⊇（a，a+1）∴0≤a≤1，故答案为：0≤a≤1．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．【解答】解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f （﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

江苏省泰州市高二上学期期末数学试卷(理科)

江苏省泰州市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）下列角中，终边在y轴正半轴上的是（）A .B .C . πD .2. （2分）(2017·武邑模拟) 已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A .B .C .D .3. （2分）已知点M（x,y）在不等式组，所表示的平面区域内，则的值域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·宝安期中) 在△ABC中，若a=7，b=8，cosC= ，则最大角的余弦值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·海南期中) 已知等比数列{an}满足anan+1=4n ，则其公比为（）A . ±4B . 4C . ±2D . 26. （2分）(2018·衡水模拟) 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，记，，，则，，的大小关系为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高三上·唐山期末) 圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A . （x﹣1）2+（y﹣2）2=5B . （x﹣2）2+（y﹣1）2=5C . （x﹣1）2+（y﹣2）2=25D . （x﹣2）2+（y﹣1）2=258. （2分）(2018·南阳模拟) 已知双曲线的右焦点为 ,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A .B . 4C . 2D .10. （2分） (2016高二上·河北期中) 有一个袋子中装有标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）在正方体中，直线和平面所成角的余弦值大小为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·河南期末) 已知点M（，0），椭圆 +y2=1与直线y=k（x+ ）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A . 4B . 8C . 12D . 16二、填空题：） (共4题；共4分)13. （1分）计算：sin80°cos55°+cos80°cos35°=________．14. （1分） (2017高一下·濮阳期末) 阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于________．15. （1分） (2016高一下·潮州期末) 在区间[﹣1，4]内任取一个实数a，则方程x2+2x+a=0存在两个负数根的概率为________16. （1分） (2016高二上·诸暨期中) 设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分） k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．18. （10分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）=2x+1，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），数列{bn}的前n 项和为Tn ，且b1=2，Tn=bn+1﹣2（n∈N）．（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn．19. （5分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率．20. （10分）已知函数f（x）=2cos2x﹣ sin2x．（1）求f（x）的最大值及取得最大时x的值和单调减区间；（2）若α为第二象限角，且，求的值．21. （10分）(2019·恩施模拟) 如图所示，在直三棱柱中，，，其中为棱上的中点，为棱上且位于点上方的动点.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.22. （10分）(2016·温岭模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点为（﹣2，0），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l过点S（4，0），与椭圆C交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P′，P′与Q两点的连线交x轴于点T，当△PQT的面积最大时，求直线l的方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：） (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、18、答案：略20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年江苏省泰州中学高二期末复习试题数学(理)(附解析)

2017-2018学年江苏省泰州中学高二期末复习试题数学（理）（附解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．总体由编号为的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为__________．66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1175 73 88 05 9052 27 41 14 862．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差_______________.3．已知为坐标原点，，若，则的坐标是__________．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调査了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调査，则月收入在 (元）内应抽出__________人.5．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________．6．如图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值为__________．7．如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是__________．8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于55的概率为__________．9．若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有__________．10．从0,1,2,3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是__________．11．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是__________．（答错任意一个均不给分）12．在不等式组，所表示的平面区域内的所有格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角的三个顶点的概率为.13．将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为__________．14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有___________种（以数字作答）二、解答题15．某校100名学生其中考试语文成绩的频率分布直方图所示，其中成绩分组区间是：.（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数.16．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（1）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 min的概率．（注：将频率视为概率）17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于底面，，点为线段（不含端点）上一点.（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；（2）已知二面角的正弦值为，求的值.18．己知关于的一次函数(1)设集合和分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数是增函数的概率；(2)实数满足条件求函数的图象经过一、二、三象限的概率.19．如图，圆锥的高，底面半径，为的中点，为母线的中点，为底面圆周上一点，满足.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.20．如图，在三棱柱中，平面，，且.（1）求棱与所成的角的大小；（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.数学（理）答案1．09【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14，05，11，09，∴第四个数字是09.故答案为：09.2．【解析】3．【解析】为坐标原点，，则..故答案为; .4．25【解析】由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人。

2017届江苏省泰州二中高三(上)期初数学试卷(解析版)(理科)

2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．2．（5分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M=．3．（5分）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是．4．（5分）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为．5．（5分）函数y=的定义域是．6．（5分）函数y=的值域为．7．（5分）已知f（+1）=lg x，则f（x）=．8．（5分）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是．9．（5分）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为．10．（5分）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是．12．（5分）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B （﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．13．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．14．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是（填序号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）求下列函数的值域：（1）；（2）．16．（14分）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．17．（14分）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．18．（16分）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．（5分）（2010•江苏）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型．2．（5分）（2010•奉贤区一模）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4≤0}，则∁U M={x|x＞2或x＜﹣2} ．【分析】由题意全集U=R，先化简集合M，然后根据交集的定义“两个集合A 和B 的交集是含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合”进行计算即可．【解答】解：因为M={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，全集U=R，所以C U M={x|x＜﹣2或x＞2}，故答案为：{x|x＞2或x＜﹣2}．【点评】本题考查集合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识，属基础题．3．（5分）（2014•天心区校级模拟）命题“任意偶数是2的倍数”的否定是存在偶数不是2的倍数．【分析】分别对题设和结论进行否定即可．【解答】解：题设的否定为∀偶数，结论的否定为不是2的倍数∴原命题的否定为：存在偶数不是2的倍数．【点评】本题考查了命题的否定，注意题设和结论否定时的写法．4．（5分）（2014•邳州市校级模拟）若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为﹣1．【分析】因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的最大值．【解答】解：因x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．6．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数y=的值域为{y∈R|y≠3} ．【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．【解答】分离常数法：解：化简函数∵∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=⇔y（x﹣2）=3x+1⇔x（y﹣3）=1+2y⇔分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．7．（5分）（2016秋•泰州校级月考）已知f（+1）=lg x，则f（x）=lg（x＞1）．【分析】用换元法令+1=t（t＞1）解x=代入f（+1）=lg x求得．【解答】解：令+1=t（t＞1），则x=，∴f（t）=lg，f（x）=lg（x＞1）．【点评】本题主要考查换元法求函数解析式．8．（5分）（2012秋•靖江市期中）若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．【分析】由f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，可求p，结合二次函数的性质可求函数的单调递减区间【解答】解：∵函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，∴p﹣1=0即p=1∴函数f（x）=﹣x2+2函数的单调递减区间是（0，+∞）故答案为（0，+∞）【点评】本题主要考查了偶函数的对称性的应用，及二次函数的单调区间的求解，属于基础试题9．（5分）（2015秋•丹阳市校级期中）若f（x）表示﹣2x+2与﹣2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为2．【分析】先在直角坐标系中分别画出函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，再利用函数f （x）的定义，取函数图象靠下的部分作为函数f（x）的图象，由图数形结合即可得f（x）的最大值【解答】解：如图，虚线为函数y=﹣2x+2和y=﹣2x2+4x+2的图象，粗线为f（x）的图象由图可知函数f（x）在x=0时取得最大值2故答案为2【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象的画法和新定义型函数图象的画法，数形结合求函数的最值10．（5分）（2016•湖南二模）设函数f（x）满足f（x）=1+f（）log2x，则f（2）=．【分析】通过表达式求出f（），然后求出函数的解析式，即可求解f（2）的值．【解答】解：因为，所以．，∴．∴=．故答案为：．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力．11．（5分）（2016秋•泰州校级月考）函数f（x）=x2﹣2ax+2在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围是a≥1．【分析】二次函数解析式配方变形后，利用二次函数的性质确定出a的范围即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=x2﹣2ax+a2﹣a2+2=（x﹣a）2﹣a2+2，∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，且在区间（﹣∞，1]上递减，∴a的范围是a≥1，故答案为：a≥1【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．12．（5分）（2016秋•泰州校级月考）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B（﹣2，2），则矩阵M的逆矩阵为．【分析】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵．【解答】解：由题意，=∴，∴sinα=1，cosα=0，∴M=∵=1≠0，∴M﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，属于基础题．13．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．【分析】由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．14．（5分）（2012秋•徐州期中）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①若f（x）是奇函数，则c=0②b=0时，方程f（x）=0有且只有一个实根③f（x）的图象关于（0，c）对称④若b≠0，方程f（x）=0必有三个实根其中正确的命题是①②③（填序号）【分析】由奇函数定义结合比较系数法，可得f（x）是奇函数时c=0，故①正确；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；取b=1，c=0时，利用函数单调性可证出方程f（x）=0只有一个实根，故④错．【解答】解：对于①，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c=﹣f（x）对任意x ∈R恒成立，可得c=0，故①正确；对于②，b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，所以方程f（x）=0有且只有一个实根，故②正确；对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；对于④，当b=1，c=0时，f（x）=x|x|+x在R上为增函数，此时方程f（x）=0有且只有一个实根，故④错．故答案为：①②③【点评】本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（2011秋•泰兴市校级期中）求下列函数的值域：（1）；（2）．【分析】（1）由于函数y=1﹣，且0＜≤1，故有0≤1﹣＜1，由此求得函数的值域．（2）由于函数在它的定义域{x|x≥﹣1}内是增函数，当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，从而得到函数的值域．【解答】解：（1）由于==1﹣，∵0＜≤1，∴0≤1﹣＜1，故函数的值域为[0，1）．（2）由于函数的定义域为{x|x≥﹣1}，且函数在其定义域内是增函数，故当x=﹣1时，函数有最小值等于﹣2，当X趋于+∞时，y趋于+∞，故函数的值域为[﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查利用常数分离法求函数的值域，以及利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．16．（14分）（2014•武进区校级三模）已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的特征值及特征向量．【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．【解答】解：（1）由=，得a+1=﹣3∴a=﹣4（2）由（1）知，则矩阵A的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3当λ=﹣1时二元一次方程∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为当λ=3时，二元一次方程∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．【点评】本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题．17．（14分）（2014春•如皋市校级期末）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．【分析】先圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：p2=2pcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以=1，解得：a=2，或a=﹣8．【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．18．（16分）（2013秋•徐州期中）已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．【分析】（1）由题意可得函数的对称轴为x=1，结合已知函数在x轴上截得线段长为8，可得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），可设函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a ＜0），将（1，16）代入可求（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]，结合题意可得，代入可求【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），∴函数的对称轴为x=1∵在x轴上截得线段长为8，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（5，0），…（2分）又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x﹣5）（a＜0）…（4分）将（1，16）代入得a=﹣1，…（6分）∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=﹣x2+2x+15．…（7分）（2）g（x）=f（x）﹣（t﹣x）x﹣3=（2﹣t）x+12，x∈[0，2]…（9分）由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得，…（12分）即﹣2t+16＞0解得t＜8 …（14分）【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的函数解析式，解题的关键是利用对称轴找出二次函数与x轴的交点坐标19．（16分）（2011秋•苏州期末）已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．20．（16分）（2015•浙江）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，则，由于0≤b﹣2a≤1，由此≤s≤（﹣1≤t≤1），当0≤t≤1时，≤st≤，由﹣≤≤0，由=9﹣[（2（t+2）+]≤9﹣2，得﹣≤≤9﹣4，所以﹣≤b≤9﹣4；当﹣1≤t＜0时，≤st≤，由于﹣2≤＜0和﹣3≤＜0，所以﹣3≤b＜0，故b的取值范围是[﹣3，9﹣4]．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．。

江苏省泰州中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷含解析

2016—2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题(每题5分，共70分）1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1"的否定是．2．双曲线的渐近线方程为．3．若f（x）=1﹣cosx,则f'（α)等于．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在［0，3］上的最大值是．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为．6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）8．函数f(x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．10．设直线x=t与函数f(x)=x2,g（x）=lnx的图象分别交于点M，N,则当｜MN｜达到最小时t的值为．11．已知双曲线C:﹣=1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x﹣2）2+y2=1相交,则双曲线C离心率的取值范围是．12．若函数f(x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA 的斜率为．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点）,且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：(1）与椭圆有公共焦点，且过M（3,﹣2)；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上,且经过两点和．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1)上单调递减，命题q：实数m 满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．(1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，求m的取值范围．17．设函数f(x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1)求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．(1）求椭圆C的标准方程；(2）若∠FPA为直角,求P点坐标；(3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．19．已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1,）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．20．已知函数f（x）=lnx．（1)求函数g（x）=f(x+1)﹣x的最大值;（2）若对任意x＞0，不等式f(x）≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．2016—2017学年江苏省泰州中学高二（上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分)1．命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R，cosx＜﹣1．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题,即∀x∈R,cosx＜﹣1，故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．2．双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线,∴双曲线的渐近线方程为=0，即．故答案为．3．若f（x)=1﹣cosx，则f’（α）等于sinα．【考点】导数的运算．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为:sinα．4．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是5．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置,求值即可．【解答】解:由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在(0，2）单调递减,在（2，3)上单调递增，因为f（0)=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3］上最大值是5,故答案为：5．5．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1)．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4,即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4,∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0,1）故答案为:(0，1）6．P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是k≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．【解答】解:设切点P（x0，y0）,在此点的切线的斜率为k．∵，∴f′（x）=3x2+1，∴f′(x0）=3x02+1，（x0∈R）．∴斜率k=3x02+1≥1，故答案为：k≥1．7．“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件．(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．【解答】解：若m=3，则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，椭圆的焦距是2,是充分条件,若椭圆的焦距是2，则c=1，故m﹣4=1或4﹣m=1，解得:m=5或m=3，不是必要条件,故答案为：充分不必要条件．8．函数f（x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值又有极小值，则a的范围是｛a｜a＜﹣1或a＞2｝．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x)=x3+3ax2+3(a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′(x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f(x)有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：｛a|a＜﹣1或a＞2｝9．若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出该点的坐标,根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值,代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3,代入抛物线方程求得y=±2,∴A点坐标为：（3，±2),∴A到坐标原点的距离为=．故答案为:．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当｜MN｜达到最小时t的值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x)，利用导数求此函数的最小值,确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x)﹣g（x)=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=,令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0,函数在（0，)上为单调减函数,当时，y′＞0,函数在（，+∞)上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为:=，则所求t的值为，故答案为：．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系,进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径,即＜1∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：12．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(﹣∞，2ln2﹣2）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解,转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x)max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x)=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间,∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′(x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）13．已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA 的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的离心率e====,求得a=2b,椭圆方程为：，整理得：=﹣，则tanα=,tanβ=,tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,x=，则tanα=，即可求得直线PA的斜率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0),P（x，y）,椭圆的离心率e====,整理得：a=2b,∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣,直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1,∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根,解得：x=,∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为:．14．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y轴上,则实数a的取值范围是（0，］．【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x)上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t，f(t）)（t＞0）,则Q（﹣t，t3+t2）,运用向量垂直的条件:数量积为0，构造函数h（x）=（x+1)lnx （x≥e）,运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P(t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,∴•=0，即﹣t2+f（t）(t3+t2)=0（＊)若方程（＊）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t)=﹣t3+t2代入(*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）(t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0,而此方程无解，因此t≥e，此时f(t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）(t3+t2）=0，即=（t+1)lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x)=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e,+∞)上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h(e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞)．∴对于0＜a≤，方程（＊*)总有解，即方程（*)总有解．故答案为：（0，］．二、解答题（共90分）15．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点,且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；（2)利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．【解答】解:(1）椭圆的焦点坐标为（,0）,∵椭圆过M（3，﹣2）,∴2a=+=2，∴a=,b=,∴椭圆的标准方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0）．∵椭圆经过两点和，∴，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为．16．已知命题p：函数在区间（m，m+1)上单调递减，命题q:实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．(1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用;利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当p为真命题时，f′(x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题,“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：（1）∵∴，当x∈(0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，,解得：0≤m≤2…（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0,解得：1＜m＜3…若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故,或解得:0≤m≤1或2＜m＜3…17．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1)求f（x）的单调区间和极值;(2）求曲线f(x）过点（1，0)的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】(1)求导f(x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值;（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．【解答】解：（1)f’(x）=3（x2﹣2)，令f'（x）=0,得，∴当或时，f’（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x)的单调递增区间是和，单调递减区间是；当x=﹣，f(x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；(2）设切点为（m，n)，则切线的斜率为3(m2﹣2）,切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），代入（1,0)，可得﹣（m3﹣6m+5）=3(m2﹣2)（1﹣m)，化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣,则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的左焦点为F,右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2)若∠FPA为直角,求P点坐标;（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2,求k1•k2的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】(1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程;(2）由∠FPA为直角,以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x，±)，求得圆心为O（,0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y 的值，即可求得P点坐标；（3)设点P（x1，y1)（﹣2＜x1＜3）,点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标,．,则．由此可导出k1•k2的取值范围．【解答】解：(1)由题意可知：离心率e==，准线方程x==，解得：a=3，c=2,由b2=a2﹣c2=5，∴求椭圆C的标准方程为;…（2）由∠FPA为直角，∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P(x，±）,∴圆心为O（，0），半径为，∴丨PO丨=，即=,整理得：4x2﹣9x﹣9=0,解得：x=﹣或x=3(舍去），∴y=±=±,∴P点坐标为:…（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3)，点，∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，∴，即，∴，…∵，∴，…又∵点P在椭圆C上，∴，∴，…∵﹣2＜x1＜3，∴，故k1•k2的取值范围为…19．已知左焦点为F(﹣1，0)的椭圆过点E(1，）．过点P（1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD,设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程;（2）若P为线段AB的中点,求k1；(3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．【分析】(1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；(2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值;（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解:设A（x1,y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣;（3）证明：由题意，k1≠k2,设M（x M,y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1)，即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得(）x2+6k1k2x+=0∴，同理，,当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点(0,﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0，﹣）综上，直线MN恒过定点,且坐标为（0，﹣）．20．已知函数f（x)=lnx．(1）求函数g(x）=f（x+1）﹣x的最大值;（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln(x﹣1）﹣x（x＞﹣1）,然后求导确定单调区间，极值,最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u(t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0,由此能够证明＞．【解答】解：(1）∵f（x）=lnx，∴g(x）=f(x+1）﹣x=ln(x+1）﹣x，x＞﹣1,∴．当x∈（﹣1，0）时,g′（x)＞0，∴g(x)在（﹣1，0）上单调递增；当x∈(0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x)在（0,+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0)=0．(2)∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h(x)=，则，当x∈（1，e)时,h′(x）＞0；当x∈（e,+∞)时，h′（x)＜0，∴h(x）．要使f（x)≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+,要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2,∴满足条件的a的取值范围是［，2]．（3)当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u(t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在(1，+∞)上单调递增，∴u（t）＞u（1)=0,∴＞．2016年12月20日。

江苏省泰州市高二上学期期末考试数学(理科)试题 Word

泰州市2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学(理科)试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1. 命题“若，则”的逆命题为______．【答案】若，则【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．【答案】【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.3. 抛物线的准线方程为______．【答案】y=-2【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填4. 函数在处的切线的斜率为______．【答案】【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为. 5. 双曲线的渐近线的方程为______．【答案】【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．【答案】【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是. 点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．【答案】4【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得. 点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.9. 已知，若（），则______．【答案】63【解析】由归纳，得，即，即.10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．【答案】10【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．【答案】【解析】设，则，，即线段长度的最小值为.12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，得，..................点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．【答案】⑴⑵【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.试题解析：⑴⑵∵∴∵为实数∴∴∴∴16. 已知：，；：方程表示双曲线．⑴若为真命题时，求实数的取值范围；⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．【答案】⑴⑵【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.试题解析：⑴∵，∴，解得⑵∵方程表示双曲线∴，解得∵为假命题，且为真命题∴∴17. ⑴当时，求证：；⑵用数学归纳法证明．【答案】⑴见解析⑵见解析【解析】试题分析：（1）利用作差法进行证明；（2）利用数学归纳法的步骤进行证明.试题解析：⑴∵∴∴⑵①当时，左边所以当时，命题成立；②假设当时，命题成立则有则当时，左边所以当时，命题也成立综上①②可知原命题成立点睛：本题考查利用作差法和数学归纳法证明不等式；在利用数学归纳法证明不等式时，其关键步骤是研究当到时，不等式的左边和右边各多了几项，多了哪些项，如何合理进行放缩.18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．⑴求的表达式；⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．【答案】⑴⑵见解析【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：⑴整理得，⑵由得所以在上单调递减，在上单调递增故当时，取得最小值答：⑴⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．⑴求椭圆的标准方程；⑵当直线的斜率为时，求的面积；⑶试比较与大小．【答案】⑴⑵⑶见解析【解析】试题分析：（1）利用离心率、左顶点坐标求解即可；（2）根据直线过原点且斜率为写出直线方程，联立直线和椭圆方程，求出，再写出直线的方程，求出点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解；（3）设直线的方程为，，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式及椭圆的对称性进行求解.试题解析：⑴因为左顶点为，所以因为椭圆的离心率为，所以，解得又因为，所以故所求椭圆的标准方程为⑵因为直线过原点，且斜率为所以直线的方程为代入椭圆方程解得因为，所以直线的方程为从而有故的面积等于⑶方法一：设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则有，解得从而由椭圆对称性可得所以于是故从而所以因为点在第二象限，所以，于是有方法二：设点，则点因为，所以直线的方程为所以从而从而有20. 已知函数的最小值为．⑴设，求证：在上单调递增；⑵求证：；⑶求函数的最小值．【答案】⑴见解析⑵见解析⑶见解析【解析】试题分析：（1）先求导求出，再求导，利用导数的符号变换得到函数的单调区间；（2）由⑴可知在上单调递增，再利用零点存在定理及函数的单调性进行求解；（3）分离参数，合理构造，利用导数研究函数的最值.试题解析：⑴∵∴在上单调递增⑵由⑴可知在上单调递增∵∴存在唯一的零点，设为，则且当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以的最小值∵∴∴∴（当且仅当时取等号）∵∴（第二问也可证明，从而得到）⑶同⑴方法可证得在上单调递增∵∴∴存在唯一的零点，设为，则且所以的最小值为∵∴∴，即由⑵可知∴=∵在上单调递增∴所以的最小值为。

泰州市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年江苏省泰州市高二（上)期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．写出命题“∃x∈R，使得x2＜0"的否定：．2．设复数z=2﹣i(i为虚数单位）,则复数z2= ．3．抛物线y2=8x的准线方程是．4．命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为．5．已知p:x=1,q：x2﹣3x+2=0，则p是q的条件（从“充分不必要”、“必要不充分"、“充要"、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）6．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为．7．已知函数f(x）=e2x+x2，则f'（0)= ．8．在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，则线段AB中点M的轨迹方程为．9．若复数z满足｜z﹣2i｜=1（i为虚数单位），则｜z|的最小值为．10．设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9是等差数列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论:设T n是公比为2的等比数列｛b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是．11．已知椭圆与双曲线，设C1与C2在第一象限的交点为P,则点P到椭圆左焦点的距离为．12．已知，把数列{a n｝的各项按如图的规律排成一个三角形数阵，记F（p，q）表示第p行从左至右的第q个数,则F（8，6）的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆(a＞b＞0）的左焦点,点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M(异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为,则椭圆的离心率为．14．设函数f（x）=+xlnx，g(x)=﹣4x3+3x，对任意的s，t∈［，2］，都有f(s）≥g（t）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．(14分)已知m∈R，命题p：复数z=(m﹣2）+mi(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，命题q:复数z=（m﹣2）+mi的模不大于．(1）若p为真命题,求m的取值范围；（2）若命题￢p，命题q都为真,求m的取值范围．16．（14分）（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x﹣y﹣4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．17．(14分）设，数列{a n｝满足（a＞0），a n+1=f （a n)(n∈N*）(1）求a2,a3，a4,并猜想数列｛a n｝的通项公式；（2)用数学归纳法证明（1）中的猜想．18．(16分)运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心,AB 是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发,沿着线段AP游泳至半圆上某点P处,再从点P沿着弧PB跑步至点B处,最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m,小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．（1）若，求弧PB的长度；(2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围;（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．（参考公式:弧长l=rα,其中r为扇形半径,α为扇形圆心角．）19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点和动点Q （m,n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，。

2016-2017学年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷

2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．3．（5分）若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于．4．（5分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为．6．（5分）P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是．7．（5分）“m=3”是“椭圆的焦距为2”的．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）8．（5分）函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．9．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．12．（5分）若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．14．（5分）设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．（14分）根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．17．（14分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．19．（16分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．20．（16分）已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．2016-2017学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，cosx≥﹣1”的否定是∀x∈R，cosx＜﹣1．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，cosx＜﹣1，故答案为：∀x∈R，cosx＜﹣1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．2．（5分）双曲线的渐近线方程为．【分析】双曲线的渐近线方程为=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程为=0，即．故答案为．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．（5分）若f（x）=1﹣cosx，则f'（α）等于sinα．【分析】运用余弦函数的导数，计算即可得到．【解答】解：f（x）=1﹣cosx的导数为f′（x）=sinx，则f'（α）=sinα．故答案为：sinα．【点评】本题考查导数的运算，正确求导是解题的关键，属于基础题．4．（5分）函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是5．【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律，确定函数在区间[0，3]上最大值的位置，求值即可．【解答】解：由题意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）单调递减，在（2，3）上单调递增，因为f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值是5，故答案为：5．【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．6．（5分）P在曲线上移动，在点P处的切线的斜率为k，则k的取值范围是k≥1．【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由二次函数的值域求法即可得到．【解答】解：设切点P（x0，y0），在此点的切线的斜率为k．∵，∴f′（x）=3x2+1，∴f′（x0）=3x02+1，（x0∈R）．∴斜率k=3x02+1≥1，故答案为：k≥1．【点评】本题考查了导数的几何意义，二次函数的值域；熟练掌握导数的几何意义和正确求导是解题的关键．7．（5分）“m=3”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可．【解答】解：若m=3，则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2，椭圆的焦距是2，是充分条件，若椭圆的焦距是2，则c=1，故m﹣4=1或4﹣m=1，解得：m=5或m=3，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题考查了充分必要条件，裤衩椭圆的性质，是一道基础题．8．（5分）函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2} ．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．9．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y，最后利用两点的距离公式解之即可．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，∴A点坐标为：（3，±2），∴A到坐标原点的距离为=．故答案为：．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．属于基础题．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为．【分析】根据题意构造函数y=f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），则y′=2x﹣=，令y′=0得，x=或x=舍去，所以当时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：=，则所求t的值为，故答案为：．【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相交，则双曲线C离心率的取值范围是．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3b2＜a2，∴c2=a2+b2＜a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜．故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．12．（5分）若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2）．【分析】根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2）【点评】本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．【分析】由椭圆的离心率e====，求得a=2b，椭圆方程为：，整理得：=﹣，则tanα=，tanβ=，tanα•tanβ=•==﹣，由tanα+tanβ=1，tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，x=，则tanα=，即可求得直线PA的斜率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），椭圆的离心率e====，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，解得：x=，∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线的斜率公式，直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．14．（5分）设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，] ．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．【点评】本题考查分段函数的运用，注意向量垂直条件的运用和中点坐标公式，考查构造法和函数的单调性运用，属于中档题．二、解答题（共90分）15．（14分）根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；（2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0），∵椭圆过M（3，﹣2），∴2a=+=2，∴a=，b=，∴椭圆的标准方程为；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）．∵椭圆经过两点和，∴，∴m=，n=，∴椭圆的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的定义，属于中档题．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．【分析】（1）当p为真命题时，f′（x）＜0恒成立，可得m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到答案．【解答】解：（1）∵∴，当x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当p为真命题时，，解得：0≤m≤2…（6分）（2）若q为真命题，则：5﹣m＞m﹣1＞0，解得：1＜m＜3…（10分）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p，q一真一假，故，或解得：0≤m≤1或2＜m＜3…（14分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，利用导数研究函数的单调性，椭圆的方程等知识点，难度中档．17．（14分）设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线f（x）过点（1，0）的切线方程．【分析】（1）求导f（x）导数，可得极值点，导数大于0可得增区间；导数小于0可得减区间；进而得到极值；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率，切线方程，代入（1，0），解方程可得切点，进而得到所求切线方程．【解答】解：（1）f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，得，∴当或时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；当x=﹣，f（x）有极大值5+4；当x=，f（x）有极小值5﹣4；（2）设切点为（m，n），则切线的斜率为3（m2﹣2），切线的方程为y﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（x﹣m），代入（1，0），可得﹣（m3﹣6m+5）=3（m2﹣2）（1﹣m），化为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=﹣，则斜率为﹣3或﹣，可得切线的方程为y=﹣3x+3或y=﹣x+．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．【分析】（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=5，即可求得椭圆C的标准方程；（2）由∠FPA为直角，以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），求得圆心为O（，0）及半径为，根据点到直线的距离公式，即可求得a的值，代入求得y的值，即可求得P点坐标；（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点M，由点F、P、M三点共线，求得点M的坐标，．，则．由此可导出k1•k2的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：离心率e==，准线方程x==，解得：a=3，c=2，由b2=a2﹣c2=5，∴求椭圆C的标准方程为；…（4分）（2）由∠FPA为直角，∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点，设P（x，±），∴圆心为O（，0），半径为，∴丨PO丨=，即=，整理得：4x2﹣9x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3（舍去），∴y=±=±，∴P点坐标为：…（8分）（3）设点P（x1，y1）（﹣2＜x1＜3），点，∵点F，P，M共线，x1≠﹣2，∴，即，∴，…（10分）∵，∴，…（12分）又∵点P在椭圆C上，∴，∴，…（14分）∵﹣2＜x1＜3，∴，故k1•k2的取值范围为…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题，属于中档题．19．（16分）已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．【解答】（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）∴2a=EF+EF′=，b2=a2﹣c2=2∴所求椭圆方程为；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②②﹣①，可得k1==﹣=﹣；（3）证明：由题意，k1≠k2，设M（x M，y M），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得（）x2+6k1k2x+=0∴，同理，，当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==直线MN的方程为y﹣=（x﹣）即此时直线过定点（0，﹣）当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣）综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．【点评】本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．。

【最新题库】2016-2017年江苏省泰州市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

∈N* ）
（ 1）求 a2， a3，a4，并猜想数列 { an} 的通项公式；（ 2）用数学归纳法证明（ 1）中的猜想．
18．（16 分）运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（ O 为圆心， AB 是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点 A 出发，沿着线段 AP 游泳至半圆上某点 P 处，再从点 P 沿着弧 PB 跑步至点 B 处，最后沿着线段 BA 骑自行车回到点 A
【分析】 t∈[ ，2] 时， g（t ）的最大值为 1，若对任意的 s， t∈[ ，2] ，都有 f（ s）≥ g（ t）成立，则在 [ ，2] 上 +xlnx≥1 恒成立，构造函数 h（x） =﹣ x2lnx+x，求其最大值，可得答案．
．
7．（5 分）已知函数 f（ x） =e2x+x2，则 f'（0）=
．
8．（ 5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，A，B 是圆 x2+y2=4 上的两个动点，且 AB=2，
则线段 AB 中点 M 的轨迹方程为
．
9．（5 分）若复数 z 满足| z﹣ 2i| =1（i 为虚数单位），则 | z| 的最小值为
形数阵，记 F（ p， q）表示第 p 行从左至右的第 q 个数，则 F（8，6）的值为 110 ．
【分析】观察发现：是连续的项的排列，且第 m 行有 2m﹣1 个数，根据等差数列求和公式，得出 F（ 8， 6）是数列中的项数，再利用通项公式求出．
【解答】解：三角形数阵第 m 行有 2m﹣1 个数，根据等差数列求和公式， F（8， 6）是数列中的
∵ | z﹣2i| =1，
∴ | x+（ y﹣ 2） i| =1，
∴
=1，∴ x2=1﹣（ y﹣ 2） 2（y∈[ 1，3] ）．

江苏省泰州中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试题Word版含答案

数学试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定是_____________．2.双曲线2212y x -=的两条渐近线方程为___________． 3.抛物线214y x =的焦点坐标是____________． 4.若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围__________． 5.已知()():44,:230p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是__________．6.不等式2313x x a a ++-≥-对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 7.抛物线()220y px p =>上的点()4,M y 到焦点F 的距离为5，O 为坐标原点，则OM =___________．8.已知椭圆22142x y +=的两个焦点是12,F F ，点P 在该椭圆上，若12=2PF PF -，则12PF F ∆的面积是____________．9.若点P 6=所表示的曲线上的点，点P 又是直线4y =上的点则点P 的横坐标为____________．10.已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--，若椭圆C 的离心率e =k 的所有取值构成的集合为___________．11.已知函数()421f x a x a =-+，若命题：“()()000,1,0x f x ∃∈=”是真命题，则实数a 的取值范围为____________．12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22211x y a a+=>的右顶点为A ，直线y x =与椭圆交于,B C 两点，若ABC ∆____________． 13.已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．14.设函数()()11,0,42,sin 1,0611,,12x x f x g x a x a a x x π⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫==-+>⎨⎪⎝⎭⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩工，若存在[]12,0,1x x ∈，使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为____________．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知命题22:114x y p m m +=--表示双曲线，命题22:124x y q m m+=--表示椭圆．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围及双曲线的焦距长；（2）判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）．16.（本小题满分14分）抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是2,33M ⎛ ⎝⎭，求抛物线与椭圆的标准方程．17.（本小题满分15分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式20x a x a+-≤-的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分15分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为，要求通行车辆限高4.5m ，隧道全长为2.5km ，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使隧道的土方工程量最小？（注： 1.半个椭圆的面积公式为4S lh π=；2.隧道的土方工程量=截面面积⨯隧道长）19.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2212x y +=，直线:2l x =-，过右焦点F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ．（1）求弦长AB 的最小值；（2）在直线AB 上任取一点D ，当AB 的斜率1k =时，求PD PC 的值．20.（本小题满分16分）已知椭圆22184x y +=，过点()1,1P 作直线l 与椭圆交于,M N 两点．（1）若点P 平分线段MN ，试求直线l 的方程；（2）设与满足（1）中条件的直线l 平行的直线与椭圆交于,A B 两点，AP 与椭圆交于点C ，BP 与椭圆交于点D ，求证：//CD AB ．参考答案一、填空题1. 2,20x R x ∃∈+≤ 2. y = 3．()0,1 4. ()1,3- 5. []1,6- 6. []1,4- 7.9. -{}2,8 11. 12a >(]0,2二、解答题15.解：（1）∵命题22:114x y p m m +=--表示双曲线为真命题，则()()140m m --<， ∴14m <<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴双曲线的焦距长为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴p 是q 的必要不充分条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 16.解：由题意可设抛物线方程为()220y px p =>，∵点23M ⎛ ⎝⎭在抛物线上，∴2223p =⨯⎝⎭， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴抛物线的焦点为()1,0F -，从而椭圆的一个焦点为()1,0F -，∴1c =，．．．．．．．．．．．．．．．8分∴椭圆方程为222211x y a a +=-，∵点2,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上， ∴()224241991a a +=-，解之得24a =或219a =（舍去）．．．．．．．．．．．．．13分∴椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 17.解：（1）由题意知，方程20x x m --=在()1,1-上有解，即m 的取值范围就是函数2y x x =-在()1,1-上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，所以M N ⊆且M N ≠．．．．．．．．．．．．6分若M N ⊆，分以下几种情形研究；①当1a =时，解集N 为空集，不满足题意，．…………………7分 ②当1a >时，2a a >-，此时集合{}|2N x a x a =-≤<，则1242a a ⎧-≤-⎪⎨⎪≥⎩解得94a ≥，且94a =时，M N ≠，故94a ≥满足题意，．．．．．．．．．．．．．．．．11分③当1a <时，2a a <-，此时集合{}|2N x a x a =<≤-，则1422a a ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩，解得14a <-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分综上，94a ≥或14a <-时x N ∈是x M ∈的必要不充分条件．．．．．．．．．．．．．．15分 18.解：（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系，则()P ，设椭圆的方程为22221x y a b +=，则(22264.51b b ab =⎧⎪⎨⎪+=⎩解之得：166a b =⎧⎨=⎩，．．．．．．．．．．．．5分此时232l a ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）由(22224.51a b +=，可知(22224.51a b =+≥，故ab ≥42S lh ab ππ==≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当且仅当62l h ==>时取等号，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分19.解：（1）①当AB x⊥轴时，AB=；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为()()()11221,,,,y k x A x y B x y=-，将AB的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k+-+-=，则1,2x C=的坐标为2222,1212k kk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，且)22112kABk+===>+．．．．．．．．．．．7分综合①、②知，弦长AB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）若1k=，则C的坐标为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分P点的坐标为72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分∴3PC=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分∴()21289PD PC PC CD PC PC=+==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分20.解：（1）设()(),,,M M N NM x y N x y，则22184M Mx y+=，①22184N Nx y+=，②①-②得222284M N M Nx x y y--+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分即()()()()84M N M N M N M Nx x x x y y y y+-+-+=，又2,2M N M Nx x y y+=+=，∴12M NM Ny yx x-=--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分故直线l的方程为()1112y x-=--，即230x y+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x yB x yC x yD x y，且12,AP PC BP PDλλ==，则有()()11311311,11x x y y λλ-=--=-，即1112331111,x y x y λλλλ+-+-==，将点,A C 的坐标分别代入椭圆方程：2211184x y +=，①()()221111221111184x y λλλλ+-+-+=，② ②21λ⨯-①得()()()()11111121112112184x y λλλλλ++-++-+=-，易知10λ>，故约去11λ+得111111212184x y λλλ+-+-+=-，③．．．．．．．．．．．．．．．．10分同理有222221212184x y λλλ+-+-+=-，④由④-③得()()21122112212284x x y y λλλλλλ-+--+-+=-，由已知AB 斜率为12-，有()()121222084x x y y --+=，得21212184λλλλλλ--+=-，即()21508λλ-=，即12λλ=，所以//CD AB ．．．．．．．．．．16分。

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案

2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a ，则βα⊥是β⊥a 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111D CB A ABCD -中平面11D B A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图俯视图侧视图.下列结论错误的是（）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥ 7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b 不共线. 则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3，则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（） A ．43 B ．34 C ．41D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=，若α∥β，则=+y x __________________.15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ，求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分）在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ； (2)求二面角C EF A--的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）．在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b ya x , 椭圆的离心率23=e ，坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ，由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19．解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -，可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分（2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r rb y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为: 24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=- -------12分21.解解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0，即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=，解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分11。

【精品】2015-2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．【分析】直接利用复数的概念，写出结果即可．【解答】解：复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2；故答案为：﹣2．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=2016．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f′（x）=75x2+26x+2016，∴f′（0）=2016，故答案为：2016．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为11．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=11时，不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【分析】集合A，B满足A∩B=B且A≠B，可得：B⊊A，可得x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．即可判断出结论．【解答】解：集合A，B满足A∩B=B且A≠B，∴B⊊A，∴x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是①②．（写出所有不正确命题的序号）【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．【解答】解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．【分析】对两边求导，令x=可得f′（），再令x=即可求得f′（）．【解答】解：由，得f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，则f′（）=f′（）•cos﹣sin，解得f′（）=﹣1，∴=﹣cosx﹣sinx=﹣cos﹣sin=﹣=，故答案为：﹣．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为8x+25y﹣58=0．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是k≥1．【分析】求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而求出满足条件的k的范围即可．【解答】解：令f（x）=sinx﹣kx，x∈[0，π]，f′（x）=cosx﹣k，k≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[0，π]递减，f（x）的最大值是f（0）=0，符合题意，结合y=sinx和y=kx的图象，如图示：，k＜0时，不合题意，故答案为：k≥1．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为2．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d==﹣1，根据抛物线的定义可知d=﹣1，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2（两边之和大于第三边且A，B，F 三点共线时取等号）故答案为：2．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为（﹣3，0）．【分析】直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：直线的方程为y=k（x+4），由，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴x1=4，x2=，…（6分）∴C（，），又∵点P为AC的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，则k OP•k DQ=﹣1，即﹣•=﹣1，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【分析】（1）由题意可知y=2x（1﹣p）﹣px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润．【解答】解：（1）由题意可知，…（4分）（2）考虑函数当1≤x≤9时，，令f'（x）=0，得．…（6分）当时，2B，函数f（x）在上单调增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调减．所以当时，a取得极大值，也是最大值，又x是整数，，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．…（10分）当10≤x≤20时，，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．…（12分）答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．…（14分）18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．（2）利用（1）的结论即可得出．（3）由于，可，利用（1）的结论．【解答】（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=coskθ+isinkθ，则当n=k+1时，（cosx+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ．]（2）解：∵，∴，（3）解：，∵，∴，记，∴z n=r n（cosnθ+isinnθ），∴|z n|=r n=|z|n．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．【分析】（1）桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，即可得出结论；（2）①求出点A，B的坐标均满足方程，即可证明直线l AB恒过一定点；②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，由事实现象（2）知：直线PI⊥l，即可得出结论．【解答】解：（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以S=2（a﹣c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]（2）①设，则…[（5分）]，…[（6分）]代入，得，…[（7分）]则点A，B的坐标均满足方程，…[（9分）]所以，直线AB恒过定点；…[（10分）]②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，…[（11分）]由事实现象（2）知：直线PI⊥l，∴…[（13分）]令y=0，得点N的横坐标为，…[（5分）]∵x0∈（0，2），∴．…[（16分）]20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f'（x）=2ae2ax，∴，…[（2分）]∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；…[（4分）]（2）由（1）知f（x）=e x，g（x）=kx，…[（5分）]因为当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，所以∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，…[（6分）]∵x=0时，k∈R，∴，…[（7分）]记，则，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），∴h（x）在（﹣1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，…[（8分）]∴，∵，∴，…[（9分）]综上，所求实数k的取值范围是；…[（10分）]（3）由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），…[（11分）]∵，∴，…[（12分）]，∴，…[（13分）]要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，，∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ（μ）＜φ（1）=0，所以，x1•x2＜1…[（16分）]。

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。

3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。

4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。

为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。

已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。

A。

100B。

150C。

200D。

2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。

无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。

A。

2B。

3C。

5D。

3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。

A。

$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。

$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。

$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。

$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。