常微分期末考试试题和答案a

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《常微分方程》考试参考答案（A卷）

《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。

福师《常微分方程》期末试卷解析

福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。

8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。

将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。

9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。

10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。

将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

2019-2019学年常微分方程(A)考试标准答案5页

安徽大学20 11 —20 12 学年第一学期《常微分方程》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共20分）（1） (a)；（2） (d)；（3） (d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确 …………………………2分事实上，(),f x y 在H 上满足局部L -条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一 . ……5分（2）正确 …………………………2分事实上，作变换1x x ydt =⎰，则原方程可化为()111120x a t x dy y dt x '+⎡⎤⎣⎦+= …………………………4分然后用常数变易法知可解 ……………5分（3）错误 …………………………2分事实上，二阶线性方程()()()12x a t x a t x f t '''++=与一类特殊的线性微分方程组()()()()()21010,,x Ax f t A f t a t a t f t ⎛⎫⎛⎫'=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭v v v v 矛盾. …………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为()2222sin 1x y x x y x '+=++，令2u x y =+，则2u y x ''=+， ………………5分可得22sin 1x u u x '=+，求解得()2csc cot 1u u C x -=+，………………7分由初始条件22y π⎛= ⎝⎭知，22C π=+。

……………………10分（2）解：方程320dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可写为32,dy y p xp p dx =+= 两边关于x 求导数，得到()2320p x dp pdx ++=当0p ≠时，计算11,2,,M N p x M N p x M p∂∂∂∂-∂∂===∂∂-因此()p p μμ== ……5分上式两边乘以p 并积分之，得到4234p xp c += …………………………7分得到方程的通解为22334, 0212c x p p p c y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ ……………9分当0p =时，由方程可以直接得到0y =也是方程的解. ……………10分（3）解：作极坐标cos ,sin x r y r θθ== ……………2分2222220004222t t x y t r r f dxdy d rf dr rf dr πθπ+≤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ……………5分将原式两边关于t 求导数，得()()2488t f t tf t te πππ'-= ……………7分其通解为()()2244t f t t c e ππ=+ ……………9分由初始条件()01f =求得特解为()()22441t f t t e ππ=+ ……………10分（4）解：对应的齐次线性微分方程为90y y ''+=其通解为12sin 3cos3y c x c x =+ 当02x π≤≤时，求得9sin y y x ''+=有一特解为11sin 8y x =，于是其有121sin 3cos3sin 8y c x c x x =++ 由初始条件()()00,00y y '==代入，有特解为11sin 3sin 248y x x -=+。

常微分期末考试试题和答案

《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果。

5、当时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程的解。

9、如果),(y x f 在R 上且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。

常微分方程期末考试试题A卷

常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。

1、当_______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、________________ 称为齐次方程。

3、求dy =f(x,y)满足穴x o) = y。

的解等价于求积分方程____________________ 的dx连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x, y)dx 的解y=cp(x,x。

，y。

)作为x,x。

，y。

的函数在它的存在范围内是。

5、若x i(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是06、方程组x/ =A(t)x的_________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。

7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。

8、满足____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部__________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二、计算题(共6小题，每题10分)。

1、求解方程：dy=x7”dx x y 32、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ +3x = e A cost, ……，一一一一 1 「12、5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算e At,其中A为3J6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么■：（t）二e A（t」0）十答案一、填空题。

常微分期末考试试题与答案a

《常微分方程》期终考试试卷（A ）（适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩_______一、填空（每小题3分，共30分）1、形如方程当的通解为_______________。

2_____________ _________________________3、________________________________________，可化为伯努利方程。

4、存在常使____________________则称5。

6__________________。

7、__________________。

8、则该方程的通解为____________________________________________。

9一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

10_________________。

二、求下列方程的解（每题8分，共24分）123三、计算题（每题8分，共24分）123四、求下列方程组的基解矩阵（8分）（8分）2、/米）向前滑动，牛顿。

试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）《常微分方程》期终考试试卷（A）参考答案一、12345678910、稳定结点。

二、1……4分由一阶线性方程的求解公式得：……7分……8分2……3分……6分……8分（注：用公式或用其它方法均可）3……2分……4分……5分……6分……8分三、1……4分……8分……2分……5分……7分故原方程的一个特解为： (8)分3 (2)分0不是方程的特征根，故可设方程的一个特解为……5分……7分故方程的通解为……8分……1分……2分4分……6分……7分所以原方程的基解矩阵为……8分五、1……3分……5分7分所以所求的函数为：……8分2……2分……3分……4分……5分……6分。

数学系常微分方程期末试卷及答案

数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。

2.求通过点(0,1)的特解。

3.求满足初值条件y(0)=2的特解。

解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。

设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。

对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。

由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。

将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。

将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。

临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案

15、满足初值条件的解称为它的（2.0）
A、阶 B、解 C、通解 D、特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间（2.0）
A、必为(-∞,+∞) B、必为(0,+∞) C、必为(-∞, 0) D、将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、判断题（共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案：正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案：正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案：错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分方程期末考试试题与答案

[解](1) x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0texp(a(t-s) f(s)ds.[10分]
(2)首先，用分离变量法求得dx/dt=ax有通解x(t)=c exp(at)。
设方程有形如x(t)=c(t) exp(at)的解。代入方程得dc/dt= exp(-as) f(s),
从而得到特解x(t)= exp(at)exp(-as) f(s)ds和通解
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c) f连续且对x可微，(d) f连续且对x连续可微。
(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是__c___。
(a)f连续，(b) f连续且对x有界，
(c)连续且对x是Lipschitz的，(d) f连续且对x可微。
(6)设系统dx/dt=f(x)的初值问题具有存在唯一性且满足f(0)=0。系统关于初值x(0)=x0的解记为x(t,x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且__d__。
[解](1)特征方程为2+1=0,=i, -i。通解为x(t)=C1exp(it)+C2exp(-it).
实通解为x(t)=C1cos(t)+C2sin(t).[5分]
(2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而
z(t)= exp(it){1/( (D+i)2+ 1)}1= exp(it)(1/( (D2+2iD))1
=(x/y) d(xy3)+ 4x2d(xy)
=(x/y) {d(xy3)+ 4xy d(xy) }
=(x/y) d{xy3+ 2(xy)2}，[4分]
从而得到xy3+ 2(xy)2=C。[1分]

常微分方程(A)答案

《常微分方程》(A)答案：（省去了作题的详细步骤）一. 填空题（每小题3分, 共15分）1. );())()(()(121x y x y x y c x y +-=;2. 1||,<∈y R x ;3. tttee22,--; 4. n ; 5. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t te te e 0.二．单项选择题（每小题3分, 共15分）1. A2.B3. C 4 . D 5. A 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1. 分离变量：2211xdx ydy -=- （3分）积分，得通解 ,arcsin arcsin c x y += （６分）特解： 1±=y （７分）2. 令 ,1-=y z 则（２分）,2x z xdx dz --= （３分） ,422x x c z -= （５分）得通解：4244x c x y -=．（６分）有特解： .0=y （７分）３．令 ,2,2x y x N y x M -=+= （１分）,2x N x Ny M -=∂∂-∂∂ 积分因子 .1)(2xx u = （4分）通解： ,||ln 2c xyy x =-+ （7分）４．02'3''=++x x x 的特征根：,2,121-=-=λλ 通解：.221t te c e c x --+=（３分）原方程特解设为：t C t B Atex tcos sin 1++=-，（５分）代入原方程，可得： .103,101,1-===C B A 即.cos 103sin 1011t t tex t-+=- （７分）所求通解为：.cos 103sin 101221t t te e c e c y tt t -+++=--- （８分）５．令 ,'2yt y =- 代入原方程，可得：（２分）.1'12t y t ty -=⇒+= （3分）.11'2c t x dt ty dy dx +=⇒-==（5分）故通解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11 消去 ,t 得 .1c x c x y -+-= （6分）2±=y 为特解. （7分）四．特征根：.2,121=-=λλ （２分）11-=λ 对应特征向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；22=λ 对应特征向量：⎪⎪⎭⎫⎝⎛21；（４分）基解矩阵： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Φ--t tt te e e e t 222)(， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Φ---t t t t e ee e s 221231)(，（６分） ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--=ΦΦ=ΦΦ+ΦΦ=-----⎰⎰t t t t tt e e t t e e t t dss f s t dss f s t t t 22101013435cos 3sin 3235cos sin 2)()()()()()()0()0()()(ϕϕ （１０分）五．,222)24(24242by by ax xy b a ax dtdV----+-= （２分）取 ,2,1==b a 则 222),(y x y x V += 定正．（４分）42424422y y x x dtdV----= 定负，（６分）故零解渐近稳定． (8分)六．),)(exp()'( ))(exp()''''()(0222⎰⎰-=++='xx xx dt t p qy y dt t p p yy yy y x f （４分）由于)(x y y =为非0解, 可得y 与'y 在区间],[b a 上任何点处不同时为0 (否则与解的唯一性矛盾), 又 ,0<q 故 )(0)('],,[x f x f b a x ⇒>∈∀在],[b a 上严格单增.(8分)七.作逐步逼近序列: ),()(0x f x =ϕ0,1,2,n ,)(),()()(01 =+=⎰+xx n n d x K x f x ξξϕξλϕ(2分)记 ⎰===≤≤≤≤baba b x a dx x f M x f x K M ,|)(| ),(|),(|max2,1ξξ由 ,|||)(),(||||)()(|21001M M d x K x x b aλξξϕξλϕϕ≤=-⎰以及数学归纳法可得)(|||)()(|1211-+-≤-n nn n n a b M M x x λϕϕ. (4分)取 ,)(1||1a b M -<λ则∑∞=--1121)(||n n nn a b M M λ收敛，故 )(x n ϕ在],[b a 上一致收敛. 设 ],,[),()(b a x x x n ∈→ϕϕ 则 )(x ϕ为连续解. (5分) 设 )(x ψ为另一连续解, )()(x x ϕψ≠. 记 ,0||max ],[>-=∈ψϕb a x Q 由,1)(||)(|| )(||||||||1111≥-⇒-≤⇒-≤-≤-⎰a b M a b Q M Q a b Q M dx M baλλλψϕλψϕ矛盾. 故 ),()(x x ϕψ= 即解唯一. (8分)。

数学系常微分方程期末试卷A与答案

（A）试卷份数考试本科考试科目常微分方程第 1 页（共 5页）年月日第2页（共 5 页）年月日第 3 页（共 5 页）年月日第4页（共 5 页）年月日12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷审核一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin3．xoy 平面4．充分必要 5．开二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．A 9．D 10．D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11．解分离变量得x y xyd e d e = （3分）等式两端积分得通积分C xy+=e e （6分）12．解方程化为x yx y 21d d += (2分) 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入上式，得 u xux +=1d d (4分) 分量变量，积分，通解为1-=Cx u (5分)原方程通解为x Cx y -=2(6分)13．解对应齐次方程dy y dx x=的通解为Cx y = （2分）令非齐次方程的特解为x x C y )(= （3分）代入原方程，确定出/1()c x x=（4分）再求初等积分得C x x C +=ln )( （5分）因此原方程的通解为Cx y =+x x ln （6分）14．解：由于xNy M y ∂∂==∂∂e ，所以原方程是全微分方程．（2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x yxy =+⎰⎰d 2de （4分）即 C y x y=+2e （6分）15．解：令dxy dt=，则：32dy y x dt =-- 2分因为01023≠--，又由1023λλ-=+得2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

6分四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解：对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ （1分）特征根为：1,121-==λλ （2分）故齐次方程的通解为： xxC C y -+=ee 21 （4分）因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAx x y e )(1= （6分）代入原方程，有xx x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+，（7分）可解出41=A ．（8分）故原方程的通解为xx x x C C y e 41e e 21++=- （10分）17．解：特征方程为 0121=--=-λλλE A即 022=--λλ特征根为 21=λ，12-=λ （2分） 21=λ对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--002121211b a可确定出 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a （5分）同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122b a （8分）所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）18．证明设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由维尔公式 ⎰=-x0d )(0e)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）)(e)()(x0d )(0x p x W x W x ss p ⎰='-由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．（10分） 19．证明：由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞．（2分）显然，该方程有零解0)(≡x y ．（5分）假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(0101x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)这是因为零解也满足初值条件)()(0101x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾．（10分）。

(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、考试所用时间：120分钟。

3、考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 ________________ 条件是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A ）上半平面（B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月日9、微分方程xlnx y y 的通解（）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间（D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间年月日dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e x dx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝U u x-du ，代入上式，得dx dxdu x 1 u dx分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解：由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

2 0 0 3级常微分方程期末试题(A卷)答案及评分标准.doc

2 0 0 3级常微分方程期末试题（A卷）答案及评分标准%1.填空题（每题2分，共1 0分）1.y2 +x2 =c（c为任意常数）,y2 + x2 = 12.y = ce^x］＜，x c为任意常数3.r~i=o4.x = n（/） + c2x2（/） + ... + c n x n⑴ + x（r）,其屮C］心，…,c“ 是任意常数5・①⑴①"O o）7 +①⑴［①（$）心%1.选择题（每题2分，共10分）1、（C）2、（B）3、（A）4、（C）5、（D）%1.判断题（每题2分，共10分）1.错，2.对，3・对，4.对，5・错%1.计算题（每题6分，共30分）z/v /+3x I y2+3x , ,1.由空+ ——=0,分离变量得型=一一-ye~y~dy = e ix dx.dx y dx y（2分）1 2 1, , ，积分有-厂 =一产+C,即通解为2庄一3厂=c, c为任意常数2 3（4分）2.◎ — "），= £*〃为常数，对应齐方程为—--y = 0 ,即dx x dx x吐聖y,0 = 心,积分得y=cx"（2分）.应用常数变易法，dx x y x令y = c（x）x n微分整理得虫⑷c（x） = ^x+c （2分），dx设原方程的通解为c/(z) = 1-sinr £‘(()=cos/-c/gf积分得3. 由（x + 2y ）dx + xdy = 0 , 知积分因了为兀（2分），从而Ixyclx + x~dy - -x~dx , clx 2 y = -d - A *3 （ 2 分），通解为 . 1 2X 2）? + -X 3=c, c 为任意常数（2分）（］2 *Y4. 对应齐方程 r-2 —-3兀=0,特征方程A 2-2A-3 = 0有两个根clt cltA =3,入=一1,因此，通解为% =（2分）.再求原方程的一个特解，令元=A te il ,带入原方稈得44启=0，则A =丄， 4于是x=-te 3t （ 2分）. 从而原方程的通解为 4x = c }e 3r +c 2e~f » q,c 、2 为任意常数（2 分）.5. 特征方稈为才+1 = 0,特征根为A = ±i ,从而齐方程的通解为x = c } cosr + c 2sinz ( 2 分)，兀=q(f)cosf+ C2(f)sinf“("cos/ + c 、2‘⑴ sin/ = 0 -c/(r)sinf+ c/(r)cosr = 1——-—sinzG (f) = / + cosf + G[ t *.. (3分)故原方程的通解为c 2(r) = sinr-ln | sinr | +c 2x = c 1cosz + c 2sin/ + l + /cosr-sinrln|sinr|, ,c 2 为任意常数五（1分）解答题（第1题12分，第2题13,L = max Sf=2 (2 分) 1. M = max |/(兀y)\ = 2丿2=（2 分）（3 分）从而误并I®⑷-如I《詈詁”叫（3分）2.det(/lE-A)=2-1-4-22-3= A 2-4/l-5 = (A-5)(A + l) = 0对应入=5的特征向量为“=/ \ll x-a<r（3分）=0(T 丿%（兀）=0x30（兀）=J ［F+亦U ）］话亡o3x3 7化（兀）二”孑+0；（§）］〃歹=丁 +畐得特征根人=5,易=—1,（2分）/ 、对应入=-1的特征向量为V =儿「b 丿取入=5,入=一1的两个线性无关的特征向量1 |^n- 2 -10(F)二①⑴①_1(0)7 =1、-1_ 1‘2疋T丿~ 3(2分)六.证明题(第1题8分，第2题7分)1.①(f)为基解矩阵，故①T(r)存在,令3(r)T(0 = X(t), a<t<b, 即屮(r) = 0(r) X⑴,则X⑴是nxn阶矩阵dctx⑴工0, a<t<b. (2^)A(t)^(t)=屮'(/)三^f(t)X(t) + ①⑴ X '⑴三X(r)(D(r)X(f) + ①⑴X f(t), dS/Sb,得①(f)X'(/) = 0(3 分)，由① T(f)存在，知X'(/)二0,即X(/) 为常数矩阵，记为C.故屮⑴=①⑴C,且C为非奇异的n^n阶常数矩阵.(3分) 2.设0(兀)，肖(x)是方程y" + p(x)y f + q(x)y = 0的两个解且在点兀。

数学系常微分方程期末试卷A及答案

(A)试卷说明：1、该门考试课程的考试方式：闭卷;2、考试所用时间：120分钟。

3、考试班级：数计学院数 11级一、填空题（每小题3分，本题共15分）1.方程x （y 2 1）dx y （x 2 1）dy 0所有常数解是2.方程y 4y 0的基本解组是3 .方程dy x 2 siny 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ___________________________ . 4•线性齐次微分方程组的解组 Y,X ）,Y 2（X ）, ,Y n （x ）为基本解组的 _______________ 条件是它们的朗斯基行列式 W （x ） 0 .5 .一个不可延展解的存在在区间一定是区间.、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6 .方程—x 3 y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）.（A ）上半平面（B ） xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面7. 方程dy y 1（）奇解.dx（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个8. n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个. （A ） n（B ） n -1（ C ） n +1（D ） n +2系院学计数考试本科考试科目常微分方程人题审师教课任号学一一名姓班试卷份数年月日9、微分方程xlnx y y 的通解（）B 、y c 1x l n x 1 D 、y GX In x 1c 2）.（B ）构成一个n 1维线性空间（D ）不能构成一个线性空间三、简答题（每小题6分，本题共30分） “解方程dy e x y12•解方程（x 2y ）dx xdy 0A 、y c 1xln x c 2 C 、y xlnx10. n 阶线性非齐次微分方程的所有解（（A ）构成一个线性空间 C ）构成一个n 1维线性空间dy y13.解方程1dx x14•解方程e y dx (xe y 2y)dy 0d x dx15•试求 3 2x 0的奇点类型及稳定性dt2dt四、计算题（每小题10分，本题共20分）1 X16.求方程y y _e的通解217.求下列方程组的通解dxdt dy dt2x y五、综合能力与创新能力测试题(每小题10分，本题共20分)18.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.19 .在方程y p(x)y q(x)y 0中，已知p(x)，q(x)在(，)上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.12-13-2学期期末考试《常微分方程》A 参考答案及评分标准（数学与计算机科学学院）制卷____ 审核 _____________、填空题（每小题3分，本题共15分）1. y 1, x 12. sin 2x, cos2x3. xoy 平面 4 .充分必要5 .开、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6. D7. C8. A 9. D 10. D三、简答题（每小题6分，本题共30分）11•解分离变量得e y dy e xdx等式两端积分得通积分e y e x C12.解方程化为业1 2》 dx x令y xu ，贝Uu x-du ，代入上式，得 dx dxdu x 1 u dx 分量变量，积分，通解为u Cx 1原方程通解为y Cx 2 x13.解对应齐次方程 d ' 的通解为dx xy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为y C （x ）x（3 分）（3分）（6分）（2分）（4分）（5分）代入原方程，确定出// \ 1 c （X ）-X再求初等积分得C （x ） ln x C因此原方程的通解为y Cx + xl nx14 •解：由于卫 e y —，所以原方程是全微分方程.y x取（X 0, y 。

常微分方程A卷及答案

安庆师范学院《常微分方程》A 卷一、判断题（8分，每题2分）1、阶常微分方程的通解包含了它的所有解。

（）2、函数221c x e c y +=是微分方程02=-'-''y y y 的通解。

（）3、阶线性齐次微分方程的个解12(),(),,()n x t x t x t 在],[b a 上线性无关的充要条件是()0,[,]W t t a b ≠∈。

（）4、设)(t Φ为X t A X )(='的基解矩阵，则)(t ψ为其基解矩阵存在阶常数矩阵，使C t t )()(Φ=ψ。

（）二、选择题（10分，每题2分）1、微分方程24()cos y y y y ''''''+-=是（）。

A 三阶非线性方程 B 三阶线性方程C 四阶非线性方程D 四阶线性方程2、下列方程中为齐次方程的是（）。

A ()y xy y ϕ''=+B tany xy y x x '=+C ()y xy f y '''=+D cos cos ydx xdy = 3、阶齐次线性微分方程的所有解构成一个（）维线性空间。

AB 1n +C 1n -D 2n +4、Lipschitz 条件是一阶微分方程初值问题存在唯一解的（）条件。

A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 既不是充分也不是必要条件 5. 方程dx y dt dy x dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的奇点(0,0)的类型是（）。

A 结点 B 焦点 C 中心 D 鞍点三、填空题（12分，每空2分）1、向量函数12(),(),,()n X t X t X t 是线性方程组()X A t X '=的基本解组的充要条件是：（1）；（2）。

2、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy+=存在只与有关而与无关的积分因子的充分必要条件是。

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题目录《常微分方程》期末考试题（一） (1)《常微分方程》期末考试题（二） (6)《常微分方程》期末考试题（三） (13)《常微分方程》期末考试题（四） (18)《常微分方程》期末考试题（五） (24)《常微分方程》期末考试题（六） (31)《常微分方程》期末考试题库 (36)《常微分方程》期末考试题（一）一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x x y+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d 的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y +=6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d yp x y q x x+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=xx q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y (C)1±=y , 1±=x (D)1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分期末考试题及答案

常微分期末考试题及答案**常微分期末考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 微分方程 $ y' = 2x $ 的通解是（）A. $ y = x^2 + C $B. $ y = 2x + C $C. $ y = 2x^2 + C $D. $ y = x^2 + 2C $2. 微分方程 $ y'' + 4y = 0 $ 的特征方程是（）A. $ r^2 + 4 = 0 $B. $ r^2 - 4 = 0 $C. $ r^2 + 4r = 0 $D. $ r^2 - 4r = 0 $3. 微分方程 $ y' = \frac{y}{x} $ 的通解是（）A. $ y = Cx $B. $ y = Cx^2 $C. $ y = Cx^{-1} $D. $ y = Cx^{-2} $4. 微分方程 $ y' + 2y = 0 $ 的通解是（）A. $ y = Ce^{-2x} $B. $ y = Ce^{2x} $C. $ y = Cxe^{-2x} $D. $ y = Cxe^{2x} $5. 微分方程 $ y' = 3y $ 的通解是（）A. $ y = Ce^{3x} $B. $ y = Ce^{-3x} $C. $ y = 3Ce^{3x} $D. $ y = 3Ce^{-3x} $6. 微分方程 $ y'' - 5y' + 6y = 0 $ 的特征方程是（）A. $ r^2 - 5r + 6 = 0 $B. $ r^2 + 5r + 6 = 0 $C. $ r^2 - 5r - 6 = 0 $D. $ r^2 + 5r - 6 = 0 $7. 微分方程 $ y' = 2xy $ 的通解是（）A. $ y = Cxe^{x^2} $B. $ y = Cxe^{-x^2} $C. $ y = Cx^2e^{x^2} $D. $ y = Cx^2e^{-x^2} $8. 微分方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解是（）A. $ y = C_1 \cos x + C_2 \sin x $B. $ y = C_1 \sin x + C_2 \cos x $C. $ y = C_1 \cosh x + C_2 \sinh x $D. $ y = C_1 \sinh x + C_2 \cosh x $9. 微分方程 $ y' = \frac{1}{y} $ 的通解是（）A. $ y = Cx + 1 $B. $ y = Cx - 1 $C. $ y = \frac{1}{Cx + 1} $D. $ y = \frac{1}{Cx - 1} $10. 微分方程 $ y'' + 4y' + 4y = 0 $ 的特征方程是（）A. $ r^2 + 4r + 4 = 0 $B. $ r^2 - 4r + 4 = 0 $C. $ r^2 + 4r - 4 = 0 $D. $ r^2 - 4r - 4 = 0 $**答案：**1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. A9. C10. A二、填空题（每题5分，共30分）1. 微分方程 $ y' = 3x^2 $ 的通解是 $ y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ $。