北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第五章 1.1 数的概念的扩展含解析

合集下载

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-2 1.1数的概念的扩展》

数系的扩充和复数的概念教材分析教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：1数学史引入提出问题用什么方法解决方程在实数集中无解的问题，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；2回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点添加新数，满足原来的运算律；3类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件使i2＝－1成立，满足原来的运算律．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．教学目标1．知识与技能了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等．2过程与方法通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用教学重难点重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类实数、虚数、纯虚数和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．错误! 错误!取什么数值时，复数＝m2－1（m-1）i是1实数；2虚数；3纯虚数．错误!本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．。

新培优北师大数学选修22练习：第五章 §1 数的概念的扩展含解析

05第五章数系的扩充与复数的引入§1数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.在下列各数中,纯虚数的个数是()i,0i,8+3i,(2+√3)i,0.6183+√7,23A.0B.1C.2D.3答案:C2.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;②2i-1的虚部是2i;③2i的实部是0;④若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应;⑤实数集的补集是虚数集.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:①中令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确;1②中2i-1的虚部应是2,故②不正确;④当a=0时,a i=0为实数,故④不正确.所以只有③⑤正确.答案:C3.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足()A.x=−12B.x=−2或x=−1 2C.x≠-2D.x≠1,且x≠-2解析:由题意,得x2+x-2≠0,解得x≠1,且x≠-2.答案:D4.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±3解析:由题意,知{m+2>0,m2-9=0,解得m=3.答案:B5.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.-1解析:根据复数的分类知,若已知复数为纯虚数,需满足{a2-3a+2=0,a-1≠0,23解得{a =1或a =2,a ≠1,即a=2.答案:B6.已知复数z=a 2+(2a+3)i(a ∈R )的实部大于虚部,则实数a 的取值集合是( )A .{-1,3}B .{a|a>3或a<-1}C .{a|a>-3或a<1}D .{a|a>3或a=-1}解析:由a 2>2a+3,得a 2-2a-3>0,得a>3或a<-1.答案:B7.若复数z=(m 2-5m+6)+(m-3)i 是实数,则实数m= .解析:根据复数的分类知复数为实数时,其虚部为0,即m-3=0,m=3.答案:38.若sin 2θ-1+(√2cos θ+1)i 是纯虚数,则θ的值为_____________.解析:由题意,得{sin2θ-1=0,√2cosθ+1≠0,解得{θ=kπ+π4,θ≠2kπ±3π4(k ∈Z ),所以θ=2k π+π4(k ∈Z ).答案:2k π+π4(k ∈Z )9.若复数(a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈R )不是纯虚数,则a 的取值范围是 .解析:若复数(a 2-a-2)+(|a-1|-1)i(a ∈R )是纯虚数,则{a 2-a -2=0,|a -1|-1≠0,解得a=-1.4故所求a 的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(-1,+∞)10.当实数m 为何值时,复数z =m 2+m -6m +(m2−2m)i 为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解:(1)当{m 2-2m =0,m ≠0,即m=2时,复数z 是实数.(2)当m 2-2m ≠0,且m ≠0,即m ≠0,且m ≠2时,复数z 是虚数.(3)当{m 2+m -6m =0,m 2-2m ≠0,即m=-3时,复数z 是纯虚数.11.★已知复数z =a 2-7a+6a 2-1+(a 2−5a −6)i(a ∈R ).当实数a 取什么值时,z 是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解:(1)当z 为实数时,有{a 2-5a -6=0,a 2-1≠0,所以{a =-1或a =6,a ≠±1.所以当a=6时,z 为实数.5 (2)当z 为虚数时,有{a 2-5a -6≠0,a 2-1≠0,所以{a ≠-1,且a ≠6,a ≠±1,即a ≠±1,且a ≠6.所以当a ∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.(3)当z 为纯虚数时,有{a 2-5a -6≠0,a 2-7a+6a 2-1=0,a 2-1≠0.所以{a ≠-1,且a ≠6,a =6,a ≠±1.故不存在实数a 使得z 为纯虚数.。

数学北师大选修22教材基础第五章§1数系的扩充与复数的引入含答案

第五章数系的扩充与复数的引入走进学科思想“数形结合思想”是本章最具代表性的数学思想,借助复平面使复数与复平面上的点建立起一一对应关系,从而使复数实现数形转化,为解决复数问题搭建起了一个极其重要的学习平台,比如复数可以用复平面内的点来表示,同时还可用平面向量来表示.其次,“化归思想”也是本章中极为重要的一个数学思想.在处理复数问题时,通常设复数z=x+yi(x,y∈R),它在复数与实数之间架起桥梁,把复数问题实数化.本章导读复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的.现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用.复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内,它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便. 高手支招1细品教材一、虚数单位i 状元笔记i 就是-1的一个平方根,-i 是-1的另一个平方根.1.我们把平方等于-1的数用i 表示,规定i 2=-1,其中的i 叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x 2+1=0,即x 2=-1有解,使实数的开方运算总可以实施（即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始. 2.i 可与实数进行四则运算,且原有的加、乘运算仍然成立.i 可以与实数进行四则混合运算,是扩充数集的原则之一,这里只提加、乘运算,不提减、除运算,并不是对减、除运算不成立,这和后面在讲复数的四则运算时,只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理,分清了主次. 二、复数的概念 1.复数与复数集我们把形如a+bi(a,b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b ∈R }叫做复数集. 2.复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示,即z=a+bi(a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz.【示例】写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数. 4,2-3i,0,21-+34i,5+2i,6i. 思路分析:要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2-3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4,6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4,虚部为0;6i=0+6i,则我们马上可知其实部是0,虚部是6. 解:4的实部为4,虚部为0; 2-3i 的实部为2,虚部为-3; 0的实部为0,虚部为0;21-+34i 的实部为21-,虚部为34;5+2i 的实部为5,虚部为2; 6i 的实部为0,虚部为6.4，0是实数， 2-3i,21-+34i,5+2i,6i 是虚数,其中6i 是纯虚数. 状元笔记1.实数集R 和虚数集都是复数集C 的真子集,且R ∪虚数集=C ,R ∩虚数集=∅.2.z=a+bi(a,b ∈R )的虚部是b,而不是bi.3.实数也是复数,但是复数不一定是实数,它可能是虚数.(2)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.即:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠≠∈+)0()0()0()0(),(a a b b R b a bi a 非纯虚数纯虚数虚数实数复数【示例】实数m 取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数.思路分析:由m ∈R 可知，m(m-1)和m-1都是实数,根据复数a+bi 是实数,虚数和纯虚数的条件可以分别确定m 的值.解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数z 是实数. (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z 是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z 是纯虚数. 状元笔记学习复数概念时,要注意复数是“实数部分”与“虚数部分”的复合体,这是一种二元化的记数形式的数.三、复数相等的条件 1.复数相等(1)两个复数a+bi 与c+di 相等,当且仅当它们的实部和虚部分别相等(a=c 、b=d).记作a+bi=c+di.即a+bi=c+di ⎩⎨⎧==⇔.,d b c a(2)根据两个复数相等的定义知,在a=c 且b=d 两式中,如果有一个不成立,那么a+bi≠c+di. (3)一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部均为零.即a+bi=0⎩⎨⎧==⇔.0,0b a【示例】已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y 的值.思路分析:要求实数x,y 的值,我们只要根据两个复数相等的充要条件,使等式两边的实部与虚部分别相等,列出方程组,从而解得实数x,y 的值. 解:根据两个复数相等的充要条件,可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+.2,3,32,52v x v x v x x y x 解得状元笔记复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据,是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充. 2.复数的大小两个实数可以比较大小,但是两个复数至少有一个为虚数时,不可以比较大小. 如果两个复数可以比较大小,那么,这两个复数必定全是实数. 四、复平面1.用点来表示复数根据复数相等的定义可知,任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.因此,可以用直角坐标系中的点Z(a,b)来表示复数z=a+bi.如右图,原点O（0，0）表示实数0,x轴上的点A(-2,0)表示实数,y轴上的点B(0,1)表示纯虚数i,点C(1,2)表示复数1+2i等.状元笔记复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,这种对应关系架起了联系复数和解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法来解决,而几何问题可以用复数方法来解决(即数形结合法).复平面内,一对共轭复数所对应的点关于实轴对称.2.复平面的定义当直角坐标平面用来表示复数时,就叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数集C与复平面的对应每一个复数在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,在复平面内每一个点也都有唯一的复数和它对应.复数集C和复平面内的所有的点构成的集合是一一对应的,即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)是对应的.状元笔记复数与复平面内的点及向量三者之间建立起了一一对应的关系,这种对应关系是给予复数几何解释的依据.这里要特别注意到向量是以原点为起点的,否则,就谈不上一一对应,因为平面上与OZ相等的向量有无穷多个.五、复数的向量表示1.复数、复平面内的点与向量三者之间的一一对应关系因为复数与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,而复平面内的点Z(a,b)与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量OZ一一对应，所以复数z=a+bi也与向量OZ是一一对应的.复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量OZ之间的关系可用下图来表示.这样,复数z=a+bi就可以用向量OZ来表示.为方便起见,常把复数z=a+bi 说成点Z 或向量OZ ,并且规定,相等的向量表示同一个复数.【示例】在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.解:如下图,点A,B,C,D,E 分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.与之对应的向量可用OA ,OB ,OE OD OC ,,来表示.2.复数的模设复数z=a+bi 在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z 到原点的距离叫做复数的模或绝对值,记作|z|.由向量长度的计算公式得|z|=|a+bi|=22b a +.两个不全为实数的复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 【示例】已知复数z 1=3+4i,z 2=-1+5i,试比较它们模的大小.思路分析:要比较两复数模的大小,只要先分别求出它们的模,然后进行比较大小. 解:因为|z 1|=2243+=5,|z 2|=265)1(22=+-,所以，|z 1|<|z 2|.高手支招2基础整理本节内容主要阐述了虚数单位的概念、复数的概念、复数的实部和虚部概念,同时阐述了复数相等的充要条件.并且从两方面阐述了复数的几何意义,一是从复平面上的点与复数的一一对应关系,二是从复数与从原点出发的向量建立起的一一对应关系,同时还阐述了复数模及复数加减法的几何意义.。

北师版数学高二-选修2-2教案5.1.1数的概念的扩展

1.1数的概念的扩展学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法．知识点一复数的概念及复数的表示思考为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？梳理复数及其表示(1)复数的定义①规定i2＝________，其中i叫作________；②若a∈R，b∈R，则形如________的数叫作复数．(2)复数的表示①复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)；②对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z表示，即a＝Re z，b＝Im z.知识点二复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：类型一复数的概念例1 (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题：①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号)类型二复数的分类引申探究1．若本例条件不变，当m 为何值时，z 为实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z 为纯虚数．例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．反思与感悟当利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±2i D．±2i2．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是()A．1B．－1C．±1D．以上都不对3．以i＋3i2的实部为虚部，以(－2i＋4)i2的虚部为实部的新复数为()A．2－3i B．－2－3iC．－2＋3i D．3－4i4．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．对复数分类的两点说明(1)0是实数，因此也是复数，写成z＝a＋b i(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都为0.(2)当a＝0，且b≠0时，z＝a＋b i(a，b∈R)才是纯虚数．答案精析问题导学知识点一思考设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i ＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理 (1)①－1 虚数单位 ②a ＋b i题型探究例1 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确；②中2i －1的虚部应是2，故②不正确；④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确；∴只有③⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5. 跟踪训练1 ①④例2 解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．(2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．解由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6.复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．3或－2跟踪训练2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.当堂训练1．C 2.A 3.A 4.－2。

高中数学 5.1.1 数的概念的扩展学案北师大选修2-2

5.1.1 数的概念的扩展学习目标1、经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

学习过程：一、预习：1、思考：我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0，当b2－4ac ＜0时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2、引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：(1)i 2＝；(2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．3、复数的一般形式：4、叫做复数集，一般用字母C 表示。

自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 以及复数集C 之间有如下的关系：5、理解数的分类：6、注意对虚部(z ＝a ＋bi ，b 叫做z 的虚部，它是一个实数)和纯虚数(z ＝a ＋bi ，当a ＝0，b ≠0时，z ＝bi 叫做纯虚数)、零(z ＝a ＋bi ，当a ＝b ＝0时，z ＝0)和纯虚数以及虚数(z ＝a ＋bi ，b ≠0时，z 叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆，请同学们辨析清楚。

7、若复数z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，则z 1＝z 2⇔这是复数相等的定义，也就是说，它是一项规定．由这个定义可以得出一个推论：练一练：1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与部。

0.618， 0， 5i+8，4，2－3i ，0，i 3421+-，i 25+，6i. 2、计算i ＋i 2＋i 3＋i 4．,72+,72i ,2i (),31-i ,293i -二、课堂训练：例1、实数m 取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是(1)实数 (2)纯虚数？ (3)虚数？例2、已知，其中求x 与y.练习：1、m 是什么实数时，复数 ,(1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.2、当m 为何实数时，复数（1）实数（2）虚数（3）纯虚数3、若x ，y 为实数，且，求x ，y 。

高中数学：5.1.1 数的概念的扩展(一) 教案 (北师大选修2-2)

5.1.1 数的概念的扩展教学过程：通过回顾，学生能够对数的发展过程和其必然性有一个初步认识，但对扩展的新数集具有的一些性质和特点是如何构造和发现的，常常缺少应有的思考，探索和创新。

当然这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关，而这一点，恰恰是现代社会对人的基本要求，也是目前提倡素质教育的核心。

所以本节课力图从发展的角度，由实数集具有的一些性质和特点出发，借助于类比的思想对复数集的性质和特点做一些理性的探究和研究。

同时在学习应用过程中，对转化思想和方程思想进行理性认识。

1、创设情景【问题1】：在我们学习的解一元二次方程0c bx ax 2=++中，如果判别式0ac 4b 2<-=∆，我们就说方程无解。

你能解释原因吗？思考：联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一个方法，使这种形式的方程有解吗？创设问题情境的意图就是使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向。

把问题解决作为教学源动力，本节课通过类比的方法，提出了一些学生能够进行思考但常常不够清晰的问题，使学生的注意，记忆，思维凝聚在一起，达到学习活动的高潮。

师生共同回顾实数系的扩充过程。

2、探究新知【问题2】：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？意图通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始。

【问题3】：如何合理地对实数系进行扩充？类比无理数的引入，希望引入的新数要满足原来数系中的加、乘运算律。

3、构建概念【问题4】：引入的新数i 是个什么数呢？它有什么特征？引入虚数单位的概念及性质 i 2 =－1 ，强调i 不同于任何实数，它是一种新的数。

此时学生解决了方程无解问题，达到了第一个兴奋点。

【问题5】：现在我们引入了虚数单位i ，那么当i 与实数进行了加乘运算后，得到了什么样的数？合理引入复数的代数形式。

引入复数集{}R b ,a bi a C ∈+=。

北师大版数学选修第5章 §1 1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念

③若 y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则 y＝1．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知 x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求 x，y.
思路探究：根据复数相等的充要条件求解．
栏目导航
(1)B [命题①②中未明确 a，b，x，y 是否为实数，从而 a，x 不一定
栏目导航
4．复数 z＝x－2＋(3－x)i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数 x 的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴x3－－2x＞＜00，，解得 x＞3.]
C．± 3i
D．± 3
(2)求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－12－ 2i 的模，并比较它们模的大小．思路探究：(1)设出复数 z 的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
栏目导航
(1)D [设复数 z 的虚部为 b，∵|z|＝2，实部为 1，∴1＋b2＝4， ∴b＝± 3，选 D.]
栏目导航
思考：虚数为什么不能比较大小？ [提示] 引入虚数单位 i 后，规定 i2＝－1，但 i 与 0 的大小关系不能确定．理由如下：若 i>0，则 2i>i，两边同乘 i，得 2i2>i2，即－ 2>－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若 i<0，则－2<－1⇒－2i> －i⇒－2i·i<－i·i⇒2<1，与实数系中数的大小规定也是相矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
栏目导航
利用复数相等解题的基本思路 1．复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中 a，b，c，d∈R，则 z1＝z2⇔a＝c 且 b＝d. 2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是： ①等式两边整理为 a＋bi(a，b∈R)的形式； ②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； ③解方程组，求出相应的参数．

数学北师版选修22第五章1数系的扩充与复数的引入

数学北师版选修22第五章1数系的扩充与复数的引入学习目的重点难点 1.了解数系的扩大进程，体会实践需求与数学外部的矛盾在数系扩大中的作用．2．能说出双数的有关概念及两双数相等的充要条件．3．了解复平面的概念，了解并掌握双数的几何意义. 重点：双数的概念及代数方式，双数的几何意义．难点：双数相等的充要条件，双数几何意义的运用.平方等于－1的数用符号______表示，规则________，我们把______叫作虚数单位．形如________的数叫作双数(a ，b 是实数，i 是虚数单位)．a 与b 区分叫作双数的______与______．依据双数a ＋b i 中a ，b 的取值不同，双数可以有以下的分类：双数a ＋b i ⎩⎨⎧ 实数( )虚数( )⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数( )非纯虚数( )双数的全体组成的集合叫作________，记作C ，显然________．预习交流1议一议：你能用Venn 图表示双数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？2．双数的有关概念两个双数a ＋b i 与c ＋d i 相等，当且仅当它们的________与________区分相等，记作a ＋b i ＝c ＋d i.即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当________．当用直角坐标平面内的点来表示双数时，我们称这个直角坐标平面为________，x 轴称为________，y 轴称为________．双数集C 和复平面内一切的点构成的集合是________的，即任一个双数z ＝a ＋b i 与复平面内的点________是对应的．点Z 到原点的________|OZ |叫作双数z 的模或相对值，记作________，显然________．两个双数普通__________，但__________它们模的大小．预习交流2想一想：引进虚数单位之后，两数还能比拟大小吗？答案：预习导引1．i i 2＝－1 i a ＋bi 实部虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0 a ≠0 双数集 R C 预习交流1：提示：双数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如以下图所示：2．实部虚部 a ＝c ，且b ＝d 复平面实轴虚轴逐一对应 Z (a ，b ) 距离 |z | |z |＝a 2＋b 2 不能比拟大小可以比拟预习交流2：提示：两个双数不全是实数时不能比拟大小，只能说相等或不相等．假定两个双数都是实数那么可以比拟大小．两个双数可以比拟它们模的大小．一、双数的概念及分类实数k 为何值时，双数(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 区分是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．思绪剖析：依据双数的有关概念停止求解．双数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2－3m －4)i 为纯虚数，那么实数m 的值为( )．A ．m ＝4B ．m ＝－2C ．m ＝－1D ．m ≠－1且m ≠4研讨一个双数在什么状况下是实数，虚数或纯虚数时，首先要保证这个双数的实部、虚部有意义．关于纯虚数，除了虚部不为0外，勿忘实部必需为零．二、双数相等2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，务实数x ，y 的值．思绪剖析：应用双数相等的性质，列出方程组，再解方程组．假定a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )，i 为虚数单位，那么a 2＋b 2＝( )．A ．0B ．2 C.52 D ．5两个双数相等时，应分清两双数的实部和虚部，然后让其实部和虚部区分相等，列出方程组求解．假定z ＝x ＋y i ＝a ＋b i ，未说明x ，y ，a ，b 为实数时，就不能这样处置．三、双数的几何意义假定双数z ＝(m －2)＋m i 的模等于2，务实数m 的值．思绪剖析：应用双数模的定义求解．z 1＝2－2i ，|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．双数的模表示该双数在复平面内对应的点到原点的距离，因此|z 1－z 2|表示z 1，z 2两双数表示的两点之间的距离．答案：活动与探求1：解：z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i ，(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6，或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6，且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上所述：当k ＝6，或k ＝－1时，z 是实数；当k ≠6，且k ≠－1时，z 是虚数；当k ＝4时，z 是纯虚数；当k ＝－1时，z ＝0.迁移与运用：B 解析：当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＝0，m 2－3m －4≠0时，z 为纯虚数，解得m ＝－2. 活动与探求2：解：∵x ，y 为实数，(2x －1)＋(y ＋1)i ＝(x －y )＋(－x －y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.迁移与运用：D 解析：∵a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴a 2＋b 2＝(－1)2＋22＝5. 活动与探求3：解：由题意得(m －2)2＋m 2＝2，即2m 2－4m ＋4＝4，解得m ＝2或0.即实数m 的值为0或2.迁移与运用：解：z 对应的点可看成以原点为圆心，以1为半径的圆O ，而z 1对应的点是Z 1(2，－2)， ∴|z －z 1|就是点Z 1(2，－2)到圆O 上点的距离，∴|z －z 1|的最大值为|OZ 1|＋1＝22＋1.1．假定双数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，那么实数x 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．－1或12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的双数z 在复平面上对应点的轨迹是( )．A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆3．双数z 满足|z ＋3－3i|＝3，那么|z |的最大值和最小值区分是__________．4．双数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求双数z .5．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．答案：1．A 解析：∵z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1. 2．B 解析：∵|z －i|＝32＋42＝5，∴z 在复平面上对应点的轨迹是到(0,1)的距离为5的圆． 3．33，3 解析：|z |表示z 的对应点到原点的距离，|z ＋3－3i|＝3，表示以(－3，3)为圆心，以3为半径的圆，那么|z |的最大值为(－3)2＋3＋3＝33，最小值为(－3)2＋3－3＝ 3.4．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i. 5．解：双数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0时，z 为实数，∴m ＝－2.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为虚数， ∴m ≠－3，且m ≠－2.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6＝0，m ＋3≠0，m 2＋5m ＋6≠0时，z 为纯虚数，∴m ＝3.综上所述：m ＝－2时，z 为实数；m ≠－3，且m ≠－2时，z 为虚数；m ＝3时，z 为纯虚数．。

高中数学北师大版选修2-2教案-1.1数的概念的扩展_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

2. 教学重点/难点
重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四、教学过程
（一）、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复
数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数
都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
(二)、探析新课：
1. 复数的几何意义：
①讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对
应呢？
（分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）
结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

2．应用
例2、在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。

练习：在复平面内画出所对应的向量。

（三）、小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。

（四）、课堂练习：
（五）、课后作业：
五、教后反思。

北师大版高中数学选修2-2第五章1.1-1.2

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1．1 数的概念的扩展1．2 复数的有关概念课时目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.4.理解用复平面来描述复数．1．把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作________，其中i 叫作____________，复数的全体组成的集合C 叫作__________．2．复数通常用z 表示，z ＝____________叫作复数的代数形式，其中________分别叫复数z 的实部与虚部．3．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当且仅当________时，z 为实数．当________时，z 为虚数，当____________时，z 为纯虚数．4．实数集R 是复数集C 的__________，即__________．这样复数包括实数和虚数．5．a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )的充要条件是_____________________________________．6．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点________或向量________表示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：7．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫作复数z 的模，记作|z |，且|z |＝__________.一、选择题1．“a ＝0”是“复数a ＋b i (a ，b ∈R )为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a ，b ∈R ，若(a ＋b )＋i ＝－10＋ab i (i 为虚数单位)，则(a －b )2等于( )A ．－12B ．－8C ．8D ．103．若z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或14．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若z ＝a ＋b i ，则当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；③x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；④若a ＋b i ＝0，则a ＝b ＝0.其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．06．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)二、填空题7．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为________、________.8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．9．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．三、解答题10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．11．(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小； (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．【能力提升12．已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．对于复数z ＝x ＋y i 只有当x ，y ∈R 时，才能得出实部为x ，虚部为y (不是y i)，进而讨论复数z 的性质．2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．3．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．4．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答案知识梳理1．复数虚数单位复数集2．a ＋b i(a ，b ∈R ) a 与b3．b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠04．真子集 R C5．a ＝c 且b ＝d6．Z (a ，b ) OZ →7.a 2＋b 2作业设计1．B [复数a ＋b i (a ，b ∈R )为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.]2．A [由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－10ab ＝1，可得(a －b )2＝a ＋b －2ab ＝－12.]3．A [∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.] 4．A5．D [由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0；m 2－2m ＝0.解得m ＝0.故选D.] 6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．2 0解析两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＝n ＋72n －1＝－(m －1)，解得m ＝2，n ＝0.8．2解析因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i ，故④错；当a ＝－1时，(a ＋1)i 是实数0，故⑤错；⑥正确．故答案为2.9．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i.10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32， ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|. (2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．12．解由题知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 13．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6b ＝－3. 因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。

5.1.1数的概念的扩展教案(高中数学选修2-2 北师大版)

§1 数系的扩充与复数的引入1．1数的概念的扩展(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现数系扩充的必要性及数系的扩充过程；(2)能在数系的扩充过程中理解复数的概念及复数的分类．2．过程与方法通过对数的探究，在数系的扩充过程中，培养学生发现数学规律的思维方法和能力，培养学生创新意识．3．情感、态度与价值观(1)通过对数系的扩充，经历数学中的创造过程，体会矛盾是促进学科发展的有力因素，培养探索精神和创造意识；(2)通过本节的学习和运用实践，体会数系扩充的必要性和科学价值及应用价值，体会分类讨论思想．●重点难点重点：复数的概念，复数的代数形式．难点：实数系扩充到复数系的过程，及虚数单位同实数的运算．教学时从学生熟悉的一元二次方程切入，研究一元二次方程有实根无实根的根源，从而抓住数系扩充的关键，即“创造一个数，使其平方等于－1”，并进一步研究，推广从而化解难点．引导学生思考复数的构成及数系的分类，并通过例题与练习让学生在应用复数的概念解决问题的过程中更深入地理解复数，以强化重点．(教师用书独具)●教学建议回顾从自然数逐步扩充到实数系的过程，不仅为实数系的扩充提供了类比对象，而且也为怎样扩充实数指引了方向．从希望方程x2＝－1有解开始，设想引入一个数，使其为方程x2＝－1的根，并进一步研究该数能像实数系那样进行加法、乘法的运算，且原有的运算律仍然成立．因此，本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在问题的指引下，通过类比→分析→探究→创造→完善，将数系进行扩充．●教学流程创设情境，提出问题：方程x2＝2有有理数解吗？方程x2＝－1有实数解吗？⇒学生探究、尝试解决：类比有理数的扩充需将实数扩充.⇒师生交流，揭示规律：引入虚数单位i，并将实数扩充到复数.⇒通过例1及变式训练，掌握复数的代数形式以及虚数、纯虚数的概念.⇒通过例2及变式训练，弄清复数的分类以及各数集间的关系.⇒探究复数的特征，研究其可比较性，完成例3及其变式训练，从而解决复数大小可比问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解数系的扩充过程．(难点)2.理解复数的概念及复数的代数表示法．(重点)数的概念的扩展1．方程x 2＝－1在实数范围内有解吗？为什么？若使其有解，则必须解决什么问题？【提示】无解；因为任何实数的平方不可能为负数；需要一个数的平方为－1.2．若规定i 2＝－1，则方程x 2＝－1有解吗？这里，数i 可以同实数进行运算吗？请举例说明．【提示】有解；可以，例如3i,2－3i,5＋12i 等．1．复数的概念我们把形如a ＋b i(a ，b 是实数，i 是虚数单位)的数叫作复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．2．复数的分类根据复数中a ，b 的取值不同，复数a ＋b i 可以分类如下：复数a ＋b i ⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0)，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，a 与b 分别叫作复数z 的实部与虚部，并且分别用Re z与Im z 表示，即a ＝Re_z ，b ＝Im_z .复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C ，显然有：NZQRC.复数的概念①5－2i 的实部为5，虚部为2； ②若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ③3不是复数；④两个虚数不能比较大小．其中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【思路探究】利用所学概念，对以上四个命题一一辨析．【自主解答】对于①由复数的代数形式知虚部为－2，故①错误；对于②，a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0是实数，故②不正确；对于③中，实数也是复数，故③也不正确；对于④，正确，故选B.【答案】 B1．复数的有关概念，都是围绕着实部、虚部定义的，因此要能熟练、准确地判断实部、虚部．另外，虚部同实部一样为实数．2．两个复数不全是实数时，不能比较大小．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ≠0且b ＝0 D ．a ≠0且b ≠0【解析】由纯虚数的概念可知：a ＝0且b ≠0是复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由“且”字连接的命题“a ＝0且b ≠0”的子命题，“a ＝0”或“b ≠0”．对照各选择项的情况，我们可以发现应选择A.【答案】已知复数z ＝a a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路探究】对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，当且仅当b ＝0时，z 为实数；当且仅当b ≠0时，z 为虚数；当且仅当a ＝0、b ≠0时，z 为纯虚数，利用上述定义来解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1. ∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．1．本题考查复数的概念，根据复数的概念构造方程，不等式(组)是解决本题的关键． 2．解答此类问题的主要依据是复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件．要注意是纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0，再者注意存在分式时，分式的分母不为零．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0. 即【思路探究】由不等式成立可知，两边的复数都是实数，据此列出方程与不等式组可求得m 的值．【自主解答】 ∵不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧－(m 2－3m )＝0， ①m 2－4m ＋3＝0， ②m 2＜10. ③由①得m ＝0或m ＝3，由②得m ＝1或m ＝3，由③得－10＜m ＜10. ∴m ＝3.因此实数m 的值为3.虚数没有大小之分，只有等与不等两种情况，只有当两个复数均为实数时才能比较大小．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【解】 ∵x 2－1＋(y ＋1)i ＞2x ＋3＋(y 2－1)i ， ∴(x 2－1)＋(y ＋1)i 与2x ＋3＋(y 2－1)i 均为实数．即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，且x 2－1＞2x ＋3. ∴y ＝－1且x ＜1－5或x ＞1＋ 5.即实数x ，y 的取值范围分别是{x |x ＜1－5或x ＞1＋5}，{y |y ＝－1}.忽视纯虚数的虚部不为0致误已知复数z ＝(m 2－1)＋(m 2－m －2)i(m ∈R)为纯虚数，则实数m ＝( ) A ．±1 B ．－1 C ．1 D ．2或－1【错解】 ∵z 为纯虚数，故m 2－1＝0，即m ＝±1，故选A.【错因分析】本题的解答只注重纯虚数的实部为0，而忽视了虚部应该不为0，从而致误．【防范措施】解答复数的分类问题时，一定要将条件等价转化不能只注重等量关系，而忽视不等关系的约束．【正解】由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－m －2≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－1，m ≠2且m ≠－1故m ＝1，选C.1．复数中包含实数与虚数，不要误认为复数就是虚数．2．一个复数a ＋b i(a ，b ∈R)要为纯虚数，则需a ＝0且b ≠0，不要误认为形如b i 的数便是纯虚数．3．两个复数若为实数可以比较大小，若为虚数则不能比较大小.1．下列说法中正确的个数是( ) ①实数是复数； ②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集； ④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由复数的分类可知①②④正确；实数集和虚数集的交集为空集．【答案】 C2．(改编题)若复数z 1＝2＋a 2i ，z 2＝1＋a (a －1)i(a ∈R)，满足z 1>z 2，则( ) A ．a ＝0 B ．a ＝1 C ．a <0 D ．a >0【解析】 ∵z 1>z 2，故z 1，z 2均为实数，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝0，a (a －1)＝0，所以a ＝0.【答案】 A3．已知i 为虚数单位，则i ＋i 2＋i 3＋i 4＝________. 【解析】原式＝i －1－i ＋1＝0. 【答案】 04．实数m 取什么值时，复数(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．【解】设z ＝(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i. (1)要使z 为实数，必须有m 2－3m ＝0，得m ＝0或m ＝3，即m ＝0或m ＝3时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，必须有m 2－3m ≠0，即m ≠0且m ≠3.故m ≠0且m ≠3时，z 为虚数．(3)要使z 为纯虚数，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ≠0，m 2－5m ＋6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≠3且m ≠0，m ＝3或m ＝2. ∴m ＝2.∴m ＝2时，z 为纯虚数．(4)要使z ＝0时，依复数相等的充要条件有：。

高中数学第五章数系的扩充与复数的引入 5.1.1 数的概念的扩展课件北师大版选修2-2

3344
【习练·破】
已知m∈R，复数z= m (m +(2m) 2+2m-3)i，当m为何值
m 1
时，
(1)z∈R.
(2)z是虚数.
(3)z是纯虚数.
3355
【解析】(1)m满足
m2 2m 3 0,
m 1 0.
解得m=-3.
(2)m满足m2+2m-3≠0且m-1≠0，
解得m≠1且m≠-3.
1188
【内化·悟】 0是实数，还是虚数？提示：0是实数，也是复数，但不是虚数.因为0写成 z=a+bi(a，b∈R)的形式为0=0+0i，即0的实部和虚部都是0.
1199
【类题·通】判断复数a+bi的实部、虚部的关键
(1)看形式：看复数的表示是否是a+bi的形式. (2)看属性：看a，b是否都是实数. (3)看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
1111
2.复数-2+3i的实部与虚部分别是 ( )
A.-2，3i
B.2，3
C.-2，3
D.2，3i
1122
【解析】选C.复数-2+3i的实部是-2，虚部是3.
1133
3.若复数(a-2)+(a+3)i是纯虚数，则实数a的值为
()
A.-2
B.-3
C.3
D.2
【解析】选D.由题意可得a-2=0且a+3≠0，
m 1＞ 0,
m应满足的条件是 5 m ＞ 0 ,
5 m 1 ,
解得1<m<5，且m≠4.
3399
(2)因为z是纯虚数，故其实部 l o (g m1 -1)=0，
2

高中数学选修2-2北师大版教案：5.1.1数的概念的扩展

课时教案科目：数学授课时间：第7周星期2 年3月28日（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．x+=有解，就引进了负数，数系扩充到了②解方程的需要．为了使方程40整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2、复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数。

全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 来表示，即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N Z Q R C ．3、复数的有关概念：1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数。

北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第五章 1.1 数的概念的扩展 含解析

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-2 1.1数的概念的扩展》

新培优北师大数学选修22练习：第五章 §1 数的概念的扩展 含解析

数学北师大选修22教材基础 第五章§1数系的扩充与复数的引入 含答案