塑性本构关系PPT
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材料工程塑性理论(本构关系)
L
d
p i
用来描述硬化程度
i
H(
L
d
p i
)
对上式求导，有：
H
di
d
p i
d 3dip 3di 2i 2iH
等效塑性应变总量：沿应变路径累积
Levy-Mises方程：
d ij
d ij '
3d i 2 iH
ij
'
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x
3d i 2 iH
x
dy 23diHi y
d z
3d i 2 iH
z
d ij
3d
2
i
iH
ij
4. 全量理论（形变理论）
Hencky 全量理论，1924 应力偏量分量与塑性应变偏量分量（不含弹性部分）应相似且同轴：
p x
p y
p z
p xy
p yz
p zx
' x
' y
' z
xy
yz
zx
或
ij
' ij
物理概念： 1）塑性应变全量与应力主轴重合 2）塑性应变全量的分量与应力偏量分量成比例
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。 （2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。 （3）若两正应力相等，则由于应力偏量分量相同，相 应的应变增量也相同，反之亦然。 （4）若某一方向的应变增量为零，则该方向的正应力 应等于平均应力。
塑性力学03-塑性本构关系
3-2 广义Hooke定律 • 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 S 3 S ij m ij ij m ij m ij E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
因为应力强度和应变强度的公式为:
3 i Sij Sij 2 2 i eij eij 3
把 eij Sij 代入上面右式并考虑上面左式得到
(3)应力强度是应变强度的强度函数 i i 线假定的硬化条件.
3 i 2 i , 即按单一曲
综上所述, 全量型塑性本构方程为 3 i 1 2 eij Sij i i ii ii 2 i E 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加 载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过 程, 它时服从增量Hooke定律.
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力 主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
d ij d Sij
d 0
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是 Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为 Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以 只适用刚塑性体. 2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中 的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对 于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主 轴重合. 即 1 e e deij deij deij dSij d Sij 这就是 2G Prandtl1 2 又由塑性不可压缩性, Reuss流 d ii d ii 体积变化式弹性的,有 E 动法则
第三章 塑性状态下的本构关系
⎧d ε p1 = (σ 1 − σ m ) ⋅ d λ ⎪ p ⎨d ε 2 = (σ 2 − σ m ) ⋅ d λ ⎪ p ⎩d ε 3 = (σ 3 − σ m ) ⋅ d λ
（3.26）
同济大学水利工程系
李遇春编
由（3.26）式得：
( dε
p 1
2 2 2 − d ε p 2 ) + ( d ε p1 − d ε p 3 ) + ( d ε p 2 − d ε p 3 ) = ( d λ ) ⎡ ⎣(σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤ ⎦ 2 2 2 2
复杂应力状态
同济大学水利工程系
李遇春编
′+ + σ s′− = 2σ s 单向应力状态 σ s
复杂应力状态
f * (σ ij ) − c = 0
（初始屈服面）
m ) − c = 0 （后继屈服面） f * (σ ij + σ ij
m ：应力位移 σ ij
， c 不变。见图 3.9,屈服面作平移，位置改变，大小与形状不变。
N
d ε p ij
（塑性应变）
2 产生塑性变形为 d ε 过程○
p ij
，其塑性功为： (σ ij + dσ ij − σ ij )d ε
o
p ij
o = (σ ij − σ ij )d ε p ij
若
塑性功满足下式：
同济大学水利工程系
李遇春编
o (σ ij − σ ij )d ε p ij = dσ ij d ε p ij ≥ 0
⇓
平均弹性正应变增量
dsij deeij
= 2G
（3.26）
同济大学水利工程系
李遇春编
由（3.26）式得：
( dε
p 1
2 2 2 − d ε p 2 ) + ( d ε p1 − d ε p 3 ) + ( d ε p 2 − d ε p 3 ) = ( d λ ) ⎡ ⎣(σ 1 − σ 2 ) + (σ 1 − σ 3 ) + (σ 2 − σ 3 ) ⎤ ⎦ 2 2 2 2
复杂应力状态
同济大学水利工程系
李遇春编
′+ + σ s′− = 2σ s 单向应力状态 σ s
复杂应力状态
f * (σ ij ) − c = 0
（初始屈服面）
m ) − c = 0 （后继屈服面） f * (σ ij + σ ij
m ：应力位移 σ ij
， c 不变。见图 3.9,屈服面作平移，位置改变，大小与形状不变。
N
d ε p ij
（塑性应变）
2 产生塑性变形为 d ε 过程○
p ij
，其塑性功为： (σ ij + dσ ij − σ ij )d ε
o
p ij
o = (σ ij − σ ij )d ε p ij
若
塑性功满足下式：
同济大学水利工程系
李遇春编
o (σ ij − σ ij )d ε p ij = dσ ij d ε p ij ≥ 0
⇓
平均弹性正应变增量
dsij deeij
= 2G
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E
[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。
本构方程(塑性应力-应变关系)
d ij
(3 2
d
p
)
' ij
1 2G
d
' ij
1 2
E
d mij
材料全量塑性本构关系
➢ 材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际情况比较 接近。但是在实际应用时需要沿加载路径积分，从 工程应用的角度讲是不方便的
➢ 许多学者（例如Hencky、Nadai、伊留申）相继提 出了描述应力与全量应变之间的关系，称为全量理 论，也称为形变理论
➢适合于弹性变形不可忽
略，且塑性变形的硬化
率接近于不变的材料。
例如合金钢、铝合金等
O e
等效应力—等效应变简化模型
➢ 刚塑性线性硬化材料模
型
如果弹性变形可以忽略，
材料的硬化认为是线性
的。其数学表达式为
s
s k2
➢适合于经过较大的冷
变形量之后，并且其加
工硬化率几乎不变的金
属材料
O
材料弹性本构关系
d
e ij
其中塑性应变增量dijp由Levy—Mises理论
给出
d
p ij
d
' ij
3 2
d
p
' ij
材料增量塑性本构关系
➢ Prandtl-Reuss理论
其中弹性应变增量dije 由广义虎克定律的微
分形式给出
d
e ij
1 2G
d
' ij
1 2
E
d mij
可以得到Prandtl-Reuss本构方程为
➢ 增量本构理论又称为流动理论
材料增量塑性本构关系
➢ Levy—Mises理论
材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为零， 塑性应变增量就是总应变增量；
塑性力学03-塑性本构关系ppt课件
dii
1 2
E
d ii
这就是
PrandtlReuss流 动法则
11
3-8 理想弹塑性材料的增量本构方程
• 对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若
采用Mises条件, 则应有
i
3 2
求微分有
Sij Sij s
SijdSij 0
又因为应变比能的增量为
dW ijdij mij Sij dmij deij
d Sij Sij
d
2 3
2 i
所以有
d
3dWd
2
2 i
12
• 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3dWd
2
2 s
Sij
3-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程
• 理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为 dij dSij
其中(1)和(3) 在第二章已经解决, 本章要解决第(2)点.
2
3-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为
ij
1 E
1
ij
ij kk
• 也可以表示为:
ii
1 2
E
ii
eij
1 2G
Sij
我们来证明一下:
由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ijm
o
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
工程弹塑性力学·塑性位势理论
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
工程弹塑性力学·塑性位势理论
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
弹塑性力学本构关系
1
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(1) 稳定材料与非稳定材料
塑性力学--第四章 塑性本构关系
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
(2) 材料是不可压缩的.
(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系,
3i 2 i
(3)应力强度是应变强度的函数 i i , 即按单一曲线假
定的硬化条件.
综上所述, 全量型塑性本构方程为
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加
载的标志是应力强度 i 成单调增长. i 下降时为卸载过
程, 它时服从增量Hooke定律.
y
些基本未知量的基本方程有
x
Su : ui
平衡方程 ij, j Fi 0
几何方程
ij
1 2
ui. j u j,i
本构方程
ii
1 2
E
ii
eij
3i 2 i
Sij
i i
其中
i
3 2
Sij Sij
i
2 3
eij eij
这就是对于全量 理论的塑性力学
边界条件 S : ijl j pi , Su : ui ui
(1)全量理论, 又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力 和应变全量之间的关系. 有Hencky(亨奇)理论和Il’yushin (伊柳 辛)理论.
(2)增量理论, 又称为流动理论, 它认为在塑性状态下是塑性应 变增量和应力及应力增量之间有关系.有Levy-Mises(莱维-米泽 斯)理论和Prandtl-Reuss(普朗特-罗伊斯)理论.
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
第十一章塑性本构关系
其中：k
E
31 2
0
2 3
-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生 任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则 为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载
,
E
2 1
8
当ξβ固定时，（3）式
11
1 E
11
22
33 ,23
1
E
23
化为应力率与应变率之 间的弹性关系：
11
1 E
22
33
11 ,31
1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力： （按弹性计算） e M pr
Mp
2R3 s
3
1
1 4
rp R
I
3
p
4r s
3R
1
ijp ，相应的应力为
3
ij
2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由
3回到初值
ij
4
ij
1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：
2
ij
塑性力学第三章
•
弹性应变增量偏张量与应力增量偏张量成线 性关系： dee 1 dS ij ij 2G
且：
e deij deijp deij
•
1 dSij d Sij 所以有：deij 2G
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（1）1924年，L.Prandtl将Levy-Mises关系 式推广应用于塑性平面应变问题。
－－－（i）：考虑塑性状态下的弹性变形部 分，并认为弹性变形服从Hooke定律。
－－－（ii）：假定塑性应变增量张量和应力 偏张量相似且同轴线。
3 塑性本构关系_3.7
Levy-Mises 流动 法则和Prandtl-Reuss流动法则
Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则
•
（2）1930年，A.Reuss把L.Prandtl应用在 平面应变的这个假设推广到一般三维问题。
边界条件：
•
按位移求解和按应力求解。
•在弹性和塑性交界处还要满足连续条件。
3 塑性本构关系_3.5
•
•
全量理论的适用 范围简单加载定律
全量理论适用于： （1）小变形＋（2）简单加载
简单加载：在加载过程中物体内每一点的各个应力分 量按比例增长的。即在简单加载时，各应力分量与一个 共同的参数成比例，即：
3 塑性本构关系_3.2
达为：
广义Hooke定律
第十一章塑性本构关系详解
Lijlk lij
4
满足互逆关系：Mijkl Lklpq
L M ijkl klpq
1 2
ip jq iq jp
5
Lijkl不仅与应变有关，且与内变量有关； Mijkl不仅与应力有关，且 与内变量有关。即弹性性质与塑性性质上耦合的。为简化，仅考虑无
耦合的情况。
ij
1 0
组称为内变量ξβ（β=1,2,…,n）的参量来刻划这一变形历史。应力可表示
为：
ij ij kl ,
1
当ξβ固定时，应力与应变之间具有单一的对应关系，即弹性关系，
这时，应变也可通过应力来表示：
ij ij kl ,
2
仅在直角坐标系中讨论， 应力和应变的增量或变化率 可写为：
ij
Lijkl kl
Drucker将单轴中材料稳定性概念推广到复杂应力状态，提出了塑性 力学中十分重要的假定，称为Drucker公设。
考虑硬化材料中的一个微单元体，受某一初始应力作用处于平衡状态， 通过“外部机构”在这个微单元体上施加附加应力，然后缓慢地移去。
Drucker提出两个假设： （1）在加载过程中附加应力做正功； （2）在加载和卸载的一个应力循环中，如产生塑性变形，则附加应力
二、硬化材料的加卸载准则
加载面
当应力状态处于当前加载面上，再施加应力增量会 出现3种可能性并由此产生3种不同的变形情况。
加载
f
d ij ij
ij
d ij 卸载
ij
中性变载
f
d ij ij
ij
d ij 加载
d ij卸载
ij
1、加载：应力增量指向加载面外，应力状态到达新的加载面上； 2、中性变载：应力增量与加载面相切，不产生新的塑性变形； 3、卸载：应力增量指向加载面内，变形从塑性状态回到弹性状态。
第三章弹塑性本构关系
O
张量（应力偏张量）的主方向保持不变，
这种加载方式称为简单加载或比例加载。 后继屈服曲面
在简单加载过程中，一点的应力状态在
(加载曲面)
应力空间中将沿矢径 移动，如图所示。
在复杂加载时，一点的应力张量各
分量不按比例增加， 在改变，应力张量
和应力偏张量的主方向也随之改变。一
点应力状态在应力空间中的运动轨迹就
第三章 弹塑性本构关系
3.1塑性位势理论 3.2硬化规律 3.3 弹塑性本构关系
3.1 塑性位势理论流动法则
模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
本节内容
3.1.1 加载与卸载准则
1 加载曲面(后继屈服面)
0 ij
)d
e
ij
0
0 ij
于是有：
WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
化时，称之为卸载过程，如果用φ (σij,Hα)=0表示后继屈服
条件，则：
卸载：ddH
0 0
ij
d ij
0
d
n
0
中性变载：ddH0 0 ijd ij
0
d
n
第四章 塑性本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 d 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 d 加载 f ( ij ) 0, 弹性状态
d
n
f ( ij ) 0, f df d ij 0 ij
(5 37)
对理想塑性材料，比例系数d要联系屈服条件来确定。 1 dw sij ( dsij d sij ) 2G 1 dJ 2 2 J 2 d dWe dW p 2G
给出了塑性应变增量d ijp与加载函数 之间的关系。 将（4-31）、（4-32）代入（4-30）得： 增量形式的塑性本构关系：
d ij d ij 2G 3 d m ij d E ij
（4-33）
本构关系
塑性位势理论 将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。
由（4-5）
I2
1 1 1 1 eij eij sij sij J2 2 2G 2 2G
由等效应力和等效应变的关系：
3G
可得：
பைடு நூலகம்
或
G
（4-8）
2 sij eij 3
当应力从加载面（后继屈服面）卸载时，应力和应变的全量 不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。
图4-1
以 ij 表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。 0 按Drucker公设，附加应力 ij ij）在应力循环中所作的功非负。 （
本构关系
0 WD （ ij ij）d ij 0 0
ij
（4-17）
在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即
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厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-15
（3）塑性势理论
畸变能屈服函数就是塑性势
厦门大学土木工程系 张灿辉
流动法则
ij
U 0 ( ij ) ij
PM-ch03.5-16
1 U 0 ( ij ) Lijkl ij kl 2
塑性位势理论：Mises将弹性位势理论推广到塑性理论，提出 塑性流动方向（塑性应变增量矢量的方向）与塑性势函数的 梯度方向一致： g d ijp d ij 关联流动法则 非关联流动法则
又
3J 2
3d p d 2
当理想弹塑性材料 s ，强化材料 根据塑性变形历史 （实验）得到 ( p ) ，上述结果是在主轴方向。
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-9
Prandtl-Resuss理论
Prandtl (1924年)-Resuss(1930年)
Ludwig Prandtl
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-6
塑性应变增量与应力关系
为了确定塑性应变增量与应力的关系，需要以实验为基 础找出它们的关系。 Lode曾用受轴向拉伸和内压同时作用的金属薄壁管作实验， 所采用的参数为 和 d p
S 2 S3 2 3 1 2 1, 2 S1 S3 1 3
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-21
应力点在非交点上
f n n f
当应力点位于f1=0上
f1 p p p d d 1 ( d : d : d 1 2 3 ) = (0 d1 d1) ij
p ij
当应力点位于f2=0上
p d ij d 2
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-7
相同的比值
d 1p d 2p ( S1 S 2 )d
d 1p d 3p d 2p d 3p d 或 S1 S3 S 2 S3
d 2p d 3p ( S 2 S3 )d d 3p d 1p ( S3 S1 )d
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-3
弹性应变与塑性应变
弹塑性物体内任一点处应力状态进入塑性状态以后，相应的应 e 变 ij 总可以分解成为两部分：弹性应变部分 ij 和塑性应变 p e ij ij ijp 部 ij ，即： 当外载荷有微小增量时，总应变也要有微小增量 d ij ，同理可得
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-1
3.5 塑性本构关系
1 增量理论 2 全量理论
厦门大学土木工程系 张灿辉
1 增量理论
PM-ch03.5-2
前已阐明材料的塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性 和不唯一性。所谓非线性是指应力应变关系不是线性比例关 系；所谓不唯一性是指应变不能由应力唯一确定。 因此，在塑性变形阶段，应变不仅和应力状态有关，而且还 和变形历史有关。如果不知道变形的历史，便不能只根据即时 应力状态唯一地确定塑性应变状态。而且只知道最终的应变状 态，也不能唯一地确定应力状态。 考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，以这种关 系为基础的理论称为增量理论(或流动理论)。
d
p
d 2p d 3p 2 p 1 p d 1 d 3
通过实验结果，得出大致结论为: d p 则认为 可写为 S2 S3 d 2p d 3p S1 S3 d 1p d 3p d 1p d 3p d 2p d 3p d S1 S3 S 2 S3
e d ijp d ij d ij
若认为球应力作用下物体只产生弹性的体变（即体积改变）； 而偏应力作用下物体只产生畸变（即形状的改变），但畸变包 括有弹性畸变和塑性畸变两部分。这就是说塑性变形仅由应力 偏量所引起。且在塑性状态，若认为材料不可压缩，则体积变 形为零，即：
deij d ij ij d m
f g f , d d ij
p ij
g f
厦门大学土木工程系 张灿辉
Mises形式的塑性势能函数
g ( ij ) J 2 k 0
p d 由流动法则得： ij Sij d
PM-ch03.5-17
p d kk S kk d 0 不会产生塑性体积变化：
Prandtl-Reuss 增量理论 （理想弹塑性材料）
Levy-Mises增量理论 （理想刚塑性材料）
可以看出，增量理论的本构方程与广义虎克定律式在形式上十分 相似，除含应变增量外，所不同的是系数部分。这反映了塑性变 形过程的不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依 赖性等。在此方程中，若应变增量为已知，则可唯一地求出应力 偏量。
这就是Prandtl-Reuss方程。
厦门大学土木工程系 张灿辉
Levy-Mises方程
d ij d ijp Sij d
PM-ch03.5-18
在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到Levy-Mises方程：
相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程 （屈服条件） 理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程＋物理方程＋ 屈服条件
p d ij deijp 塑性应变增量是一个偏量
p p p p d xp d y d zp d xy d yz d zx d Sx Sy Sz 2 xy 2 yz 2 zx
展开为
e deij deij deijp 考虑弹性应变，得到： dsij Sij d deij 2G
f 2 p p (d1p : d 2 : d3 ) = (d2 0 d2) ij
PM-ch03.5-8
比值的大小
d ijp d ijp Sij Sij (d ) 2 2 J 2 (d ) 2
2 eij eij 3
类比
d p
2 p p 2 p p d ij deij d ij d ij 3 3 3 Sij Sij 2
p 3 d d ijp Sij d Sij 2
3 2 s d ij d ij d ij , Sij 2 3 d ij d ij
d ij d ij 1 2 1 1 J 2 Sij Sij s , d 2 s 2 2(d ) 3
应变Lode参数
d
p
2d 2p d 1p d 3p d 1p d 3p
d 1p d 2p d 3p d S1 S2 S3
d 1p S1d
Hale Waihona Puke d 2p S 2 d d 3p S3 d
在变形的瞬间，主轴方向的塑性应变的增量与相应的应力偏量 分量的比值都是相同的，比值为d。 d ijp Sij d
厦门大学土木工程系 张灿辉
（2）Levy-Mises理论
理想刚塑性
e d ij 0, d ij d ijp
——理想刚塑性
1 , d m 0, de 0 2 1 3 d p deij dSij Sij 2G 2 1 1 d kk d kk where 3K 2
1 J2 2 3
而
3J 2
1 2 2 dW p dJ 2 2 J 2 d 2 J 2 d d 2G 3
3 dW p d 2 2
Prandtl-Resuss 理论的全部关系： 1 3 dW p deij dSij Sij 2 2G 2 1 1 d kk d kk where 3K 2
PM-ch03.5-5
（1）Prandtl-Resuss理论
——理想弹塑性
普朗特( L. Prandtl ) 1875 年生于 德国, 1953 年逝世。曾任哥廷根 大学力学教授, 是一位优秀的应 用力学专家,他的研究工作推动了 塑性力学的发展, 给出了一种有 效的塑性本构关系。此外, 他在 空气动力学方面也有重要贡献。
3 d d ij Sij 2 d m d kk 0 Levy-Mises 理论的全部关系
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-13
比较
p 3 d d ijp Sij d Sij 2 p d 1 p d x x ( y z ) 2 1 x x ( y z ) E
1 3 d p deij dSij sij 2G 2 1 1 d kk d kk where 3K 2
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-10
转换形式
1 deij dSij Sij d 令 2G 1 J 2 Sij Sij 又 2 1 dW p Sij deij Sij dSij Sij Sij d 2G dJ 2 Sij dSij 0
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-4
弹性应变增量
e d ij d ij d ijp
由广义 Hooke 定律，deij 与应力增量 dij 之间为：
(1 ) 3 d d ij d m ij E E
e ij
d ijp ?
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展开
广义胡克定律
厦门大学土木工程系 张灿辉
PM-ch03.5-14
说明
1 3 d p deij dSij Sij 2G 2 1 1 d ii d ii , ( ) 3K 2 3 d d ij Sij 2 d m 0