人教A版高中数学必修五上学期第一次月考考试
高中数学人教A版必修第一册全册测试卷(含答案)
……○…………学校:_________装…………○…………订绝密★启用前2021-2022学年度XXX 学校测试卷高中数学试卷考试范围：必修第一册；考试时间：120分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则UA =（ ）A ．∅B ．{}1,3C ．{}2,4,5D ．{}1,2,3,4,52．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a4．设全集U =R ，{}220A x x x =-<，{}10B x x =->，则如图阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}1x x ≥B ．{}1x x ≤C ．{}01x x <≤D ．{}12x x ≤<5．直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π6．设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ） A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}1D ．{}0,17．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞8．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．12二、多选题9．已知0<a <b <1<c ，则下列不等式不成立的是（ ） A ．ac <bc B ．cb <ca C ．log log a b c c >D ．sin a >sin b10．已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．1≥ab B ．2a b +≤ C ．lg lg 0a b +≤D ．112a b+≤11．已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=12．将函数3tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ）A ．函数()y g x =的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增…………外……………内…………○…………装D ．函数()y g x =的图象关于直线512x π=对称 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅=________.14．已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)15．关于函数()12log 1f x x =-，有以下四个命题：①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；①函数()f x 的图象关于直线1x =对称；①函数()f x 的定义域为()1,+∞；①函数()f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是________.16．设区间[]()1221,x x x x >的长度为21x x -，当函数2x y =的定义域为[,]a b 时，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的和为____________．四、解答题17．（1）计算：2310227-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋23log 2－34log 9－525log 9； （2）已知角α的终边经过点M (1，－2)，求()5sin()cos()22cos ππααπα+-+的值． 18．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边与单位圆交于点P .（1）若点P 的横坐标为35，求cos2sin cos θθθ-⋅的值.（2）若将OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α(即4παθ=+)，若1tan 2α=，求tan θ的值.20．（1）求关于x 的一元二次不等式260x x --<的解集；（2）若一元二次不等式20x bx c ++≥的解集为{}21x x x ≥≤-或，求不等式210cx bx ++≥的解集．21．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（①）求ω；（①）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.22．已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5UA =，故选C.【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．B 【解析】 【分析】根据题意把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，转化为函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，由题可得()f x 关于1x =对称，由()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，可得()f x 的周期为4，根据函数图像，即可得解. 【详解】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称， 由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-， 所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，○…………线…………○…___○…………内…………○…………装…………○由图像可得共有3个交点，故共有3个零点， 故选：B. 3．C 【解析】 【分析】根据函数是偶函数求得参数m ，再结合对数运算求得,,a b c ，即可比较大小. 【详解】①函数f (x )为偶函数，则()()2121x mx mf x f x ---=-=-=-，故m ＝0，①f (x )＝2|x |－1.①a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝2log 32－1＝2， b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝4， c ＝f (0)＝20－1＝0. ①c <a <b . 故选：C ． 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属基础题. 4．D 【解析】解出集合A 、B ，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果. 【详解】{}{}22002A x x x x x =-<=<<，{}{}101B x x x x =->=<.图中阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题. 5．B 【解析】先由已知求得函数的周期，得到ω，再整体代入正切函数的单调区间，求得函数()f x 的单调区间，可得选项. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以12Tπω==，()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由12242k x k πππππ-<+<+，得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z ，所以()f x 在3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆-⎪⎝⎭，得02m π<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查正切函数的周期性，单调性，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可. 【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤ 所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =. 故选D. 【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 7．D 【解析】 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k > 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞. 故选：D.…装…………○…………订…………○…………线…………○…___姓名：___________班级：___________考号：___________订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 8．A 【解析】根据函数||2x y =的图像，可知,a b 的长度最小时，此时函数单调，区间长度是1，区间长度最大时，1,1a b =-=，区间长度是2,从而得出答案. 【详解】若函数2xy =单调，则,a b 的长度最小，若函数单调递增，0,1a b ==，此时区间长度是1，若函数单调递减，……○…………线…_________……○…………内…………○…则1,0a b =-=，此时区间长度是1，所以区间,a b 的长度的最小值是1， 若函数在区间,a b 不单调，值域又是[]1,2，则区间的最大值1,1a b =-=， 此时区间长度是()112--=，则区间,a b 的长度的最大值和最小值的差是211-=.故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是区间的概念，函数的定义域和值域，对数函数的单调性，属于基础题型. 9．BD 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断即可. 【详解】 对于A ，c y x =在0,1上是增函数，01a b <<<，cc a b ，故不等式成立，故A 不符合题意； 对于B ，1c >，x y c 在0,1上是增函数，01a b <<<，a b c c ，故不等式不成立，故B 符合题意；对于C ，01a b <<<，根据对数函数的性质在同一坐标系下画出log a y x =和log b y x =的图象，可以根据图象判断，当1c >时，log log a b c c >，故不等式成立，故C 不符合题意；………○…………线…………○…：___________…………○…………内…………○…………装…………○对于D ，sin y x =在0,1上是增函数，∴当01a b <<<时，sin sin a b <，故不等式不成立，故D 符合题意. 故选：BD. 【点睛】本题考查指数式、对数式、正弦值的大小判断，利用函数的单调性判断是解决问题的关键，属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】对于AD ，举例判断，对于BC ，利用基本不等式判断 【详解】解：对于A ，令2a b ==222a b +=，则12ab ==<，所以A 错误，对于B ，因为22222()22224a b a b ab ab a b +=++=+≤++=，所以2a b +≤，当且仅当1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为22lg lg lg lg lg102a b a b ab ++=≤==，当且仅当1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，令a b ==222a b +=，则11 1.4140.81652a b +=≈+>，所以D 错误， 故选：BC 11．ABD 【解析】 【分析】 对1sin cos 5θθ+=两边平方，利用同角关系化简可得2sin cos θθ，在根据θ范围，确定sin 0θ>，cos 0θ<；根据()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，将其与1sin cos 5θθ+=联立，求出sin ,cos θθ，再根据三角函数同角的基本关系，结合各选项，即可得到结果． 【详解】1sin cos 5θθ+=①，()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，242sin cos 25θθ∴=-， (0,)θπ∈，sin 0θ∴>，cos 0θ<，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-=， 7sin cos 5θθ∴-=①，故D 正确；①加①得4sin 5θ=，①减①得3cos 5θ=-，故B 正确；4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--，故C 错误.故选：ABD ． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了三角函数同角的基本关系的应用，解题的关键是正确利用平方关系进行化简． 12．AC先根据函数图像的变换求得()g x 的解析式，再求其函数性质即可. 【详解】由题可知，()3tan 23tan 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为06g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；因为()g x 的周期为2T π=，故B 错误；因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故可得2,,33622x πππππ⎡⎤⎛⎫-∈-⊆- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故C 正确；因为正切函数不是轴对称函数，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查函数图像的变换以及正切型函数的性质，属综合基础题. 13．1； 【解析】根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：22(lg 2)(lg5)lg 4lg5++⋅ 222(lg 2)(lg 5)lg 2lg 5=++⋅ 22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5=++⋅()2lg 2lg5=+ ()2lg 25=⨯⎡⎤⎣⎦21=1=故答案为：1 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 14．[0,4]先得到命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，根据一元二次不等式恒成立，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题， 所以命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题， 即不等式20x ax a ++≥对任意x ∈R 恒成立， 所以只需240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤， 即实数a 的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4]. 15．①①① 【解析】 【分析】利用函数的单调性判断①的正误；利用函数的对称性判断①的正误；求出函数的定义域判断①的正误；由函数的值域判断①的正误. 【详解】函数()12log 1f x x =-在区间(1,)+∞上单调递减，在区间(,1)-∞上单调递增，所以①正确；函数()12log 1f x x =-，函数的图象关于直线1x =对称，所以①正确；函数()12log 1f x x =-的定义域是{}|1x x ≠，所以①不正确；函数()12log 1f x x =-，函数的值域是实数集，所以①正确.故答案为：①①①. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域、值域与最值和单调区间，考查对基础知识、基本技能的理解和掌握，属于常考题. 16．2 【解析】 【分析】根据函数2x y =的单调性，可求出其值域，再结合其值域为[1,2]，可确定,a b ，从而可求出区间[,]a b 的长度的最大值与最小值. 【详解】因为函数2x y =的定义域为[,]a b ，而函数2x y =在[,]a b 上是单调增函数； 所以函数2x y =的值域为[2,2]a b ，由已知函数2x y =的值域为[1,2]，所以2122a b ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以函数()f x 的定义域为[0,1]，所以区间[0,1]的长度的最大值和最小值均为1， 所以区间[0,1]的长度的最大值与最小值的和为2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：破解新型定义题的方法是：紧扣新定义的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利解决. 17．（1）－716；（2．【解析】 【分析】（1）直接利用分数指数幂的运算和对数的运算求解即可；（2）由三角函数的定义可求得sin α，再对()5sin()cos()22cos ππααπα+-+利用诱导公式化简可得结果 【详解】（1）原式＝6427⎛⎫ ⎪⎝⎭－23＋2log 32－2log 323－55log 3＝34⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2－3＝－716．（2）①角α的终边经过点M (1，－2)， ①sin α，①()5sin()cos()22cos ππααπα+-+ ＝cos sin cos ααα-＝－sin α【点睛】此题考查对数的运算，考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题18．（1）5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5912π. 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数化简得()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由最小正周期为π，可求得1ω=，从而可得函数的解析式，然后由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可求出函数的增区间；（2）由三角函数图像变换求出()y g x =的解析式，令()0g x =，求出其零点712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈，再由()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，可求出b 的最小值【详解】解：（1）)2()2sin cos 2sin 1f x x x x ωωω=-sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，整理得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，可得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+．令()0g x =，得712x k ππ=+或11(Z)12x k k ππ=+∈， 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[]0,b 上至少有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可， 所以b 的最小值为115941212πππ+=. 19．（1）15（2）13-【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义知，3cos 5θ=-，4sin 5θ=，又2cos22cos 1θθ=-，代入即可得到答案；（2）利用公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⋅计算即可.【详解】（1）P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35，则3cos 5θ=-，4sin 5θ=，2cos 2sin cos 2cos 1sin cos θθθθθθ∴-⋅=--⋅93412125555⎛⎫=⨯---⨯= ⎪⎝⎭.（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则1tan tan1142tan tan 1431tan tan 142παπθαπα--⎛⎫=-===- ⎪⎝⎭+⋅+. 【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容易题.20．（1）{}23x x -<<；（2）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【解析】 【分析】（1）直接解不含参数的一元二次不等式即可；（2）由题意可知2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根，结合韦达定理求出,b c 的值，进而解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）因为260x x --<，则(3)(2)0x x -+<，即23x -<<， 故260x x --<的解集为{}23x x -<<；（2）不等式的解集为20x bx c ++≥的解集{}21x x x ≥≤-或,∴2和1-是方程20x bx c ++=的两个实数根,即1212bc -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得，1b =-，2c =-,则不等式210cx bx ++≥等价于2210x x --+≥， 即2210x x +-≤，因此()()2110x x -+≤，解得112x ≤≤-, 故所求不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．21．(①) 2ω=. (①) 32-.【解析】 【详解】试题分析：（①）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知(06f π=及03ω<<可得.（①）由（①）得())3f x x π-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（①）因为()sin()sin(62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=-- 3cos 2x x ωω- 1sin )2x x ωω)3x πω-由题设知(06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.（①）由（①）得())3f x x π-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22．（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性. 【详解】（1）因为函数()1ln1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln 1x f x x -=+的定义域关于原点对称． 所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1-∞，()1,+∞上均为增函数． 证明：由（1）知()1ln1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则 ()()()()()()11212222111111ln 111ln 1lnx x x x f x f x x x x x --+=+--=++--， 因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->， 所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-， 即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数． 同理，()f x 在(),1-∞上为增函数． （3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x mmx x -=-+的两实根， 问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =- 则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩， 即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定答案第17页，共17页 区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
人教版高二上学期数学第一次月考文试题(解析版)
因为 ，所以解得 ，
所以 的方程为 ，
（2）由题意可得直线方程为 ，设直线与椭圆交于 ，
将 代入椭圆方程得， ，即 ，
所以 ，
所以
【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的应用，考查计算能力，属于基础题
22.已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝ .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P在这个椭圆上且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得： ，解得 ，从而可得椭圆的方程；
（2）由椭圆 定义得： ，结合题意可得： ，再根据余弦定理可求得结果
【详解】解：（1）由已知设椭圆方程为 ，
【详解】由不等式 的解集为 ，得 无解，即对 , 恒成立，①当 时，显然满足题意，②当 时，有 ，解得： ，综上，
故答案为：
【点睛】本题结合二次函数得性质，考查命题的真假，属于容易题.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17.当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假．
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
15.若椭圆 的离心率为 ，则 的短轴长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
判断出椭圆的焦点在 轴上，得出 的值，根据离心率的概念可得 ，解出 的值可得短轴长.
【详解】由椭圆 得焦点在 轴上， ， ， ，
10.已知△ABC的顶点B、C在椭圆 ＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
高中数学人教(A)版高一必修第一册 第五章《5.4 三角函数的图形与性质》 练习题
5.4 三角函数的图形与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象基础过关练习题组一 正弦函数、余弦函数的图象1、用“五点法”作1cos 2-=x y 在[]π2,0上的图象时，应取的五点为（ ）A 、()()()120231-021,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛B 、()()()121-233-1-21,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ C 、()()()()()143-3123-1,0，，，，，，，，ππππ D 、()⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2-321-2031-361,0，，，，，，，，ππππ 2、函数y=−sinx ，x ∈[23,2-ππ]的简图（ ） A 、 B. C. D.3、已知函数()x cos 23+-=x f 的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛b ，3π，则b= 。
4、用“五点法”作函数x y cos 311-=图象的简图。
题组二 正弦、余弦曲线的运用5、使不等式0sin 22≥-x 成立的x 的取值集合是（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,43242|ππππ B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,47242|ππππ C 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,25-2|ππππ D 、⎬⎫⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,7252|ππππ6、已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21cos |αα，B={}παα<<0|，且C B A = ,则C=（ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<60|παα B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<23|παπα C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<30|παα D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<παπα3|7、函数()x x f 4log =的图象与函数()x x g πsin =的图象的交点个数是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 8、（多选）下列x 的取值范围能使x x sin cos >成立的是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛40π，B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛454ππ，C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ245，D 、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛4524ππππ，， 9、函数x y cos =，[]π2,0∈x 的图象与直线21-=y 的交点有 个。
高中数学 第五章 三角函数检测试题(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
第五章检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度． 解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435， 所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3， 令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。
【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一章测试卷
第一章 集合与常用逻辑用语考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{2,3}，则集合A ∪B ＝( B ) A ．{1,2,3} B ．{0,1,2,3} C ．{2}D ．{0,1,3}[解析] 依题意得A ∪B ＝{0,1,2,3}，故选B ． 2．命题“∀x >0，x 2－2x ＋1>0”的否定是( A ) A ．∃x >0，x 2－2x ＋1≤0 B ．∀x >0，x 2－2x ＋1≤0 C ．∃x ≤0，x 2－2x ＋1≤0 D ．∀x ≤0，x 2－2x ＋1≤0[解析] 含有量词的命题的否定，一改量词将“∀”改为“∃”，二否结论将“>”改为“≤”，条件不变，故选A ．3．设a ∈R ，则a >3是|a |>3的( D ) A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．充分不必要条件[解析] 由“a >3”能推出“|a |>3”，充分性成立；反之由|a |>3无法推出a >3，必要性不成立．故选D ．4．已知M ＝{x |y ＝x 2＋1}，N ＝{y |y ＝x 2＋1}，则M ∩N ＝( A ) A ．{x |x ≥1} B ．∅ C ．{x |x <1}D ．R[解析] 因为M ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2＋1}＝|y |y ≥1|，所以M ∩N ＝{x |x ≥1}，故选A ．5．已知m ，n ∈R ，则“mn －1＝0”是“m －n ＝0”成立的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由m n －1＝0得mn ＝1，得m ＝n ，m －n ＝0，即充分性成立；当m ＝n ＝0时，满足m －n ＝0，但m n －1＝0无意义，即必要性不成立，即“mn －1＝0”是“m －n ＝0”成立的充分不必要条件，故选A ．6．集合{y ∈N |y ＝－x 2＋6，x ∈N }的真子集的个数是( C ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6[解析] x ＝0时，y ＝6；x ＝1时，y ＝5；x ＝2时，y ＝2；x ＝3时，y ＝－3.所以{y ∈N |y ＝－x 2＋6，x ∈N }＝{2,5,6}共3个元素，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C ．7．命题“∀n ∈N ，f (n )∈N 且f (n )>n ”的否定形式是( C ) A ．∀n ∈N ，f (n )∉N 且f (n )≤n B ．∀n ∈N ，f (n )∉N 且f (n )>n C ．∃n ∈N ，f (n )∉N 或f (n )≤n D ．∃n ∈N ，f (n )∉N 或f (n )>n[解析] 命题“∀n ∈N ，f (n )∈N 且f (n )>n ”的否定形式是∃n ∈N ，f (n )∉N 或f (n )≤n ，故选C ．8．已知全集U ＝R ，M ＝{x |x <－1}，N ＝{x |x (x ＋2)<0}，则图中阴影部分表示的集合是( A )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |－2<x <－1}D ．{x |x <－1}[解析] 题图中阴影部分为N ∩(∁U M )， 因为M ＝{x |x <－1}， 所以∁U M ＝{x |x ≥－1}，又N ＝{x |x (x ＋2)<0}＝{x |－2<x <0}， 所以N ∩(∁U M )＝{x |－1≤x <0}．故选A ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列命题中，是全称量词命题的有( BC ) A ．至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立 B ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立 C ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立 D ．存在x 使x 2＋2x ＋1＝0成立[解析] A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题．故选BC ．10．下列命题中真命题的是( AB ) A ．“a >b >0”是“a 2>b 2”的充分条件 B ．“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件 C ．“a >b ”是“|a |>|b |”的充分条件 D ．“a >b ”是“ac 2≤bc 2”的必要条件[解析] 当a >b >0时a 2>b 2，A 正确；B 正确；对于C ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但|a |<|b |，故C 不正确；对于D ，“a >b ”与“ac 2≤bc 2”没有关系，不能相互推出，因此不正确．故选AB ．11．定义集合运算：A ⊗B ＝{z |z ＝(x ＋y )×(x －y )，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{2，3}，B ＝{1，2}，则( BD )A ．当x ＝2，y ＝2，z ＝1B ．x 可取两个值，y 可取两个值，z ＝(x ＋y )×(x －y )有4个式子C ．A ⊗B 中有4个元素D ．A ⊗B 的真子集有7个[解析] 当x ＝2，y ＝2时，z ＝(2＋2)×(2－2)＝0，A 错误；由于A ＝{2，3}，B ＝{1，2}，则z 有(2＋1)×(2－1)＝1，(2＋2)×(2－2)＝0，(3＋1)×(3－1)＝2，(3＋2)×(3－2)＝1四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A ⊗B 有3个元素，C 错误；集合A ⊗B 的真子集个数为23－1＝7，D 正确．故选BD ．12．在下列命题中，真命题有( BC ) A ．∃x ∈R ，x 2＋x ＋3＝0 B ．∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数C ．∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10D ．∀x ∈R ，x 2>|x |[解析] A 中，x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114>0，故A 是假命题；B 中，x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故B 是真命题；C 中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故C 是真命题；对于D ，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故D 为假命题；故真命题有BC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{a ，－1}，若A ∪B ＝{－1，a,1}，则a ＝__0__.[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ≠1，a ≠－1，解得a ＝0.14．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |－3x ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅，则a 的值为__3或6或9__. [解析] 由题意可知B ＝{x |x ＝a 3}．若A ∩B ≠∅，则a 3＝1或a 3＝2或a3＝3，得a ＝3或6或9.15．某校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 的范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)．[解析] 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”，而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”为真命题，所以两位同学题中m 的范围是一致的．16．在下列所示电路图中，下列说法正确的是__(1)(2)(3)__(填序号)．(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的充要条件；(4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件．[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件，因此正确；(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件，因此正确；(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件，因此正确；(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件，因此错误．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．[解析] 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3，因此M ＝{2，－3}． ①当a ＝2时，N ＝{2}，此时N ⊆M ； ②当a ＝－3时，N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；③当a ≠2且a ≠－3时，得N ＝{2，a }，此时，N M .故所求实数a 的值为2或－3. 18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (2)末位是0的实数能被2整除； (3)∃x >1，x 2－2>0；(4)存在实数没有算术平方根； (5)奇数的平方还是奇数．[解析] (1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题． (2)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题． (4)命题“存在实数没有算术平方根”，是存在量词命题，真命题． (5)命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题．19．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－5<x <32}，C ＝{x |1－2a <x <2a }．(1)若C ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若C ≠∅且C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围． [解析] (1)因为C ＝{x |1－2a <x <2a }＝∅，所以1－2a ≥2a ，所以a ≤14，即实数a 的取值范围是{a |a ≤14}．(2)因为C ＝{x |1－2a <x <2a }≠∅， 所以1－2a <2a ，即a >14.因为A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |－5<x <32}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <32}，因为C ⊆(A ∩B )，所以⎩⎨⎧1－2a ≥－1，2a ≤32，a >14，解得14<a ≤34，即实数a 的取值范围是{a |14<a ≤34}．20．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |4x －1>x ＋2}，B ＝{x |－1<x <2m －3}．(1)当m ＝4时，求(∁U A )∩B ；(2)若A ∩B 恰好包含了两个整数，写出这两个整数构成的集合的所有子集． [解析] (1)因为全集U ＝R ，集合A ＝{x |4x －1>x ＋2}＝{x |x >1}， 当m ＝4时，∁U A ＝{x |x ≤1}，集合B ＝{x |－1<x <5}， 所以(∁U A )∩B ＝{x |－1<x ≤1}． (2)因为A ＝{x |4x －1>x ＋2}＝{x |x >1}， B ＝{x |－1<x <2m －3}．A ∩B 恰好包含了两个整数，则这两个整数是2,3， 则集合{2,3}的所有子集为：∅，{2}，{3}，{2,3}．21．(本小题满分12分)若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |bx >1}，其中b 为实数且b ≠0，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件； (2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件； (3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．[解析] 若b >0，则集合B ＝{x |x >1b }，若b <0，则集合B ＝{x |x <1b}．(1)若A ∪B ＝R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1b >－2，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，b <－12，所以b <－12. 故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b <－12.(2)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b <－12.所以A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件可以是b <0. (3)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b <－12.所以A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件可以是b <－1.22．(本小题满分12分)(1)已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；(2)已知p ：A ＝{x |－1≤x ≤5}，q ：B ＝{x |－m <x <2m －1}，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． (2)因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ， 如图：则⎩⎪⎨⎪⎧－m <－1，2m －1>5，解得m >3.。
人教A版数学必修一湖南省岳阳市湘阴一中高一上学期第一次月考试题(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}3．已知：a∈R，b∈R，若集合{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2015+b2015的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）A．A=R，B={x|x是正实数}，f：A中的数的绝对值B．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方C．A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数D．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方5．化简：=（）A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π6．函数的定义域为（）A．（﹣∞，0）∪（0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1）7．（4分）（2013秋九龙坡区校级期中）已知函数f（x）=x2+ax是偶函数，则当x∈[﹣1，2]时，f （x）的值域是（）A．[1，4]B．[0，4]C．[﹣4，4]D．[0，2]8．已知函数，若f（x）=5，则x的值是（）A．﹣2 B．2或C．2或﹣2 D．2或﹣2或9．（4分）（2014博山区校级模拟）函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称D．直线y=x对称10．（4分）（2015秋保定期末）函数的图象是（）A． B．C．D．11．已知函数f（x）=，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（2，3）B．[2，3）C．（1，3）D．[1，3]12．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．[0，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上.13．设函数，若f（a﹣1）=2，则实数a=．14．若函数f（x）的定义域是（1，3），则函数f（2x﹣1）的定义域是．15．（4分）（2012秋思明区校级期中）计算：=．16．函数f（x）=|x+2|的单调递增区间是．三、解答题：本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}（a∈R）．（1）若a=2，求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．18．（8分）（2013春平邑县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．19．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数．（1）用定义证明：f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数；（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．20．（10分）（2001北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？21．（10分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数y=x+（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．22．（12分）（2011秋罗定市期中）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．2015-2016学年湖南省岳阳市湘阴一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选C．【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题．2．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}【分析】根据补集意义先求C U M，再根据交集的意义求N∩（C U M）．【解答】解：（C U M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C U M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，5}．故选C【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．3．已知：a∈R，b∈R，若集合{a，，1}={a2，a+b，0}，则a2015+b2015的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据两集合相等，对应元素相同，列出方程，求出a与b的值即可．【解答】解：∵a∈R，b∈R，且{a，，1}={a2，a+b，0}，∴分母a≠0，∴b=0，a2=1，且a2≠a+b，解得a=﹣1；∴a2015+b2015=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．4．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）A．A=R，B={x|x是正实数}，f：A中的数的绝对值B．A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方C．A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数D．A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方【分析】利用映射概念逐一核对四个命题得答案．【解答】解：对于A，集合A中的元素0取绝对值在B中没有对应元素，故A不是映射；对于B，集合A中的元素1开方后在B中对应元素不唯一，故B不是映射；对于C，集合A中的元素0取倒数在B中没有对应元素，故C不是映射；对于D，集合A中的元素﹣1，1的平方都是1，0的平方为0，符合映射概念．故选：D．【点评】本题考查映射概念，是基础题．5．化简：=（）A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π【分析】由π＜4，得，由此能求出原式的值．【解答】解：=4﹣π+π=4．故选：A．【点评】本题考查根式的化简运算，解题时要注意被开方数的符号，合理地选取公式．6．函数的定义域为（）A．（﹣∞，0）∪（0，1]B．（0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）∪（0，1）【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴，解得x≤1且x≠0；∴函数y的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．故选：A．【点评】本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．7．（4分）（2013秋九龙坡区校级期中）已知函数f（x）=x2+ax是偶函数，则当x∈[﹣1，2]时，f （x）的值域是（）A．[1，4]B．[0，4]C．[﹣4，4]D．[0，2]【分析】首先根据函数是偶函数，求出a的值，得到函数f（x）的解析式，借助于图象可求得f（x）的值域．【解答】解：因为函数f（x）=x2+ax是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即（﹣x）2+a（﹣x）=x2+ax，所以2ax=0对任意实数恒成立，所以a=0，则f（x）=x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的值域是[0，4]．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性质与函数值域的求法，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是运用奇偶性求a的值，是常规题型．8．已知函数，若f（x）=5，则x的值是（）A．﹣2 B．2或C．2或﹣2 D．2或﹣2或【分析】分别令x2+1=5，或﹣2x=5，解出即可．【解答】解：若x2+1=5，解得：x=﹣2或x=2（舍），若﹣2x=5，解得：x=﹣（舍），故选：A．【点评】本题考察了求函数值问题，考察分段函数，是一道基础题．9．（4分）（2014博山区校级模拟）函数的图象关于（）A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称D．直线y=x对称【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．10．（4分）（2015秋保定期末）函数的图象是（）A． B．C．D．【分析】本题考查的知识点是分段函数图象的性质，及函数图象的作法，由绝对值的含义化简原函数式，再分段画出函数的图象即得．【解答】解：函数可化为：当x＞0时，y=1+x；它的图象是一条过点（0，1）的射线；当x＜0时，y=﹣1+x．它的图象是一条过点（0，﹣1）的射线；对照选项，故选D．【点评】本小题主要考查函数、函数的图象、绝对值的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．11．已知函数f（x）=，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（2，3）B．[2，3）C．（1，3）D．[1，3]【分析】由一次函数与二次函数的单调性可得：，解出即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴，解得2≤a＜3．∴实数a的取值范围为[2，3）．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＜0的解集是（）A．[0，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）【分析】利用偶函数的定义可得f（﹣x）=f（x）=f（|x|），及f（x）在[0，+∞）上是增函数，对数运算性质即可得出．【解答】解：∵f（2）=0，∴不等式f（x+1）＜0可化为f（x+1）＜f（2），又∵定义域为R的偶函数f（x），∴可得f（|x+1|）＜f（2），∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴|x+1|＜2，解得﹣3＜x＜1．故选：D．【点评】熟练掌握函数的奇偶性、单调性及对数运算性质是解题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上.13．设函数，若f（a﹣1）=2，则实数a=．【分析】由f（a﹣1）=2，得=2，解出即可．【解答】解：∵函数，若f（a﹣1）=2，则=2，解得：a=，故答案为：．【点评】本题考察了求函数值问题，是一道基础题．14．若函数f（x）的定义域是（1，3），则函数f（2x﹣1）的定义域是（1，2）．【分析】问题转化为解不等式1＜2x﹣1＜3，解出即可．【解答】解：由题意得：1＜2x﹣1＜3，解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．【点评】本题考察了求函数的定义域问题，是一道基础题．15．（4分）（2012秋思明区校级期中）计算：=10．【分析】利用分数指数幂的运算性质进行运算．【解答】解：原式=═．故答案为：10．【点评】本题主要考查指数幂的运算，要求熟练掌握指数幂的运算公式．16．函数f（x）=|x+2|的单调递增区间是[﹣2，+∞）．【分析】去绝对值号得到，根据一次函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为[﹣2，+∞）．【解答】解：；∴x≥﹣2时，f（x）=x+2单调递增；∴f（x）的单调递增区间为[﹣2，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及一次函数的单调性，分段函数的单调性．三、解答题：本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知全集U=R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}（a∈R）．（1）若a=2，求A∩（∁U B）；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．【分析】（1）利用补集的定义求出C U B，再利用两个集合的交集的定义，求出A∩（C U B）．（2）利用A∩B=∅，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）∵全集U=R，集合B={x|x＞2}，∴C U B={x|x≤2}，∴A∩（C U B）={x|1＜x＜3}∩{x|x≤2}={x|1＜x≤2}．（2）∵集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x＞a}，A∩B=∅，∴借助数轴得a≥3．【点评】本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，其中根据已知条件求出C U B是解答的关键．18．（8分）（2013春平邑县校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合．【分析】由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a 的值所组成的集合．【解答】解：A={1，2}，由A∪B=A得：B⊆A．﹣﹣﹣﹣（3分）①若a=0，则B=∅，满足题意．﹣﹣﹣﹣（6分）②若a≠0，则，由B⊆A得：，∴a=1或a=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴a的值所组成的集合为{0，1，2}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．19．（8分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数．（1）用定义证明：f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数；（2）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值．【分析】（1）按取值，作差，化简，判号，下结论五步骤证明；（2）可判断函数在[﹣1，2]上单调递减，从而求最大值．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（﹣3，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1，x2∈（﹣3，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+3＞0，x2+3＞0，∴＞0，故f（x1）＞f（x2），故f（x）在（﹣3，+∞）上是减函数；（2）易知函数在[﹣1，2]上单调递减，故．【点评】本题考查了函数的单调性的证明与函数的最值的求法与应用．20．（10分）（2001北京）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【分析】（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．【解答】解：（1）由题意得y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分）（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即（9分）解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜0.33．（12分）【点评】本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．21．（10分）（2015秋岳阳校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数y=x+（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．【分析】（1）根据所给函数性质得=3；（2）判断f（x）在[1，2]上的单调性，利用单调性得出最值．【解答】解：（1）由已知得，∴b=2．（2）∵c∈[1，4]，∴∈[1，2]，∴f（x）在[1，]上是减函数，在[，2]上是增函数．∴当时，函数f（x）取得最小值f（）=2．又，当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是；当2＜c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．【点评】本题考查了函数单调性的应用，属于基础题．22．（12分）（2011秋罗定市期中）二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=﹣1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．【分析】（1）利用条件①②③，可确定解析式中的参数，从而可得函数f（x）的解析式；（2）y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．【解答】解：（1）∵f（x）的对称轴为x=﹣1，∴=﹣1，即b=2a…（1分）又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分）由条件③知：a＞0，且，即b2=4ac…（3分）由上可求得…（4分）∴…（5分）（2）由（1）知：，图象开口向上．而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…（7分）∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…（8分）即1，m是的两根，…（9分）由1是的一个根，得（t+2）2=4，解得t=0，或t=﹣4…（11分）把t=0代入原方程得x1=x2=1（这与m＞1矛盾）…（12分）把t=﹣4代入原方程得x2﹣10x+9=0，解得x1=1，x2=9∴m=9…（13分）综上知：m的最大值为9．…（14分）【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式，考查函数的最值问题，将问题转化为y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大是关键，属于中档题．。
高中数学第五章三角函数5-7三角函数的应用课时作业新人教A版必修第一册
5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．简谐运动y ＝4sin (5x －π3)的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3 B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π32．如图，为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin (ωx ＋φ)＋2，则有( )A.ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A4．音叉是呈“Y ”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P 离开平衡位置的位移y 与时间t 的函数关系为y ＝11 000sin ωt .图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为( )A ．200B ．400C ．200πD ．400π5．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )A ．该质点的运动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5C ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8 s6．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin (5π12t －π6)，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m.7．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t 秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h 厘米满足下列关系：h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)，则每秒钟小球能振动________次．关键能力综合练 1.如图，一个质点在半径为2的圆O 上以P 点为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是( )A ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t －π4）B ．y ＝2sin (2π3t －π4)C ．y ＝2sin (2π3t ＋π4)D ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin （2π3t ＋π4） 2．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设甲某的血压满足函数式p (t )＝102＋24sin (160πt )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，对于甲某而言，下列说法正确的是( )A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值C ．收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D ．收缩压低于标准值、舒张压高于标准值3．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港．如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．104．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t2(0≤t ≤20) 给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]5．(多选)如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O 到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q ，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是( )A ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数为h (t )＝50sin (πt 15＋π3)＋10B ．点Q 距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为(15k ，60)(k ∈Z )C ．经过10分钟点Q 距离地面35米D ．摩天轮从开始转动一圈，点Q 距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟 6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x －6)](A >0，x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.7．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动．习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的高潮叫潮，发生在晚上的高潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系(夜间零点开始计时).A －B ＝________.8．某一天6～14时某地的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin (π8x ＋3π4)＋20(x ∈[6，14])，其中，x 表示时间，y 表示温度．求这一天中6～14时的最大温差，并指出何时达到最高气温．9．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2).(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．核心素养升级练1．小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状(雨棚的厚度忽略不计)，已知入口高度AB 和出口处高度CD 均为H ，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的23，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为( )A ．H 3B ．H4C ．H 5D ．H62．[2022·福建厦门高一期末]在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．一个回归年定义为从某年春分到次年春分所经历的时间，也指太阳直射点回归运动的一个周期．某科技小组以某年春分为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y ，该小组通过对数据的整理和分析，得到y 与x 近似满足y ＝23.439 391 1·sin (0.017 202 5x )，则一个回归年对应的天数约为________(精确到0.01)；已知某年的春分日是星期六，则4个回归年后的春分日应该是星期________．(π0.017 202 5≈182.624)3．“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y (米)与时间t (0≤t ≤24)(单位：小时)的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度(船底与水面的距离)为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．5．7 三角函数的应用必备知识基础练1．答案：C解析：相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．答案：A解析：由题目可知最大值为5，∴ 5＝A ×1＋2⇒A ＝3.T ＝604＝15，则ω＝2πT ＝2π15. 3．答案：B解析：将t ＝1200代入I ＝5sin (100πt ＋π3)得I ＝2.5 A ．4．答案：D解析：由图象可得，ω>0，T ＝4×1800＝1200，即2πω＝1200，则ω＝400π.5．答案：BCD解析：由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，所以A 错，D 正确； 该质点的振幅为5，所以B 正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s 和0.7 s 时运动速度最大，在0.1 s 和0.5 s 时运动速度为零，故C 正确．综上，BCD 正确．6．答案：1解析：当t ＝12时，f (12)＝2sin (5π－π6)＝2sin 5π6＝1，即12点时潮水的高度是1 m ． 7．答案：12π解析：函数h ＝2sin (t ＋π6)，t ∈[0，＋∞)的周期T ＝2π，故频率为12π.所以每秒钟小球能振动12π次．关键能力综合练1．答案：A解析：由于y 表示距离，为非负数，所以BC 选项错误．P 点的初始位置为(2，－2)，在第四象限，所以A 选项符合，D 选项不符合． 2．答案：C解析：∵p (t )＝102＋24sin (160πt )， ∴p (t )min ＝102－24＝78，p (t )max ＝102＋24＝126.所以，甲某血压的收缩压为126 mmHg ，舒张压为78 mmHg. 因此，收缩压高于标准值、舒张压低于标准值． 3．答案：C解析：从图象可以看出，函数y ＝3sin (ωx ＋φ)＋k 最小值为2，即当sin (ωx ＋φ)＝－1时，函数取得最小值，即－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以y ＝3sin (ωx ＋φ)＋5，当sin (ωx ＋φ)＝1时，函数取得最大值，y max ＝3＋5＝8，这段时间水深(单位：m)的最大值为8.4．答案：C解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，所以函数F (t )＝50＋4sin t2在[4k π－π，4k π＋π](k ∈Z )上单调递增，当k ＝1时，t ∈[3π，5π]⊆[0，20]，此时[10，15]⊆[3π，5π].故选C.5．答案：CD解析：由题意知∠xOQ ＝π2，OQ 在t 分钟转过的角为2π30t ＝π15t ，所以以OQ 为终边的角为π15t ＋π2，所以点Q 距离水平地面的高度与时间的关系为h (t )＝50sin (πt 15＋π2)＋60＝50cos πt15＋60，故A 错误； 由πt 15＝k π＋π2，k ∈Z ，得t ＝15t ＋152，k ∈Z ，所以(15k ，60)(k ∈Z )不是对称中心，故B 错误；经过10分钟，h (10)＝50cos 10π15＋60＝35，故C 正确；由50cos πt 15＋60≤85，得cos πt 15≤12，得π3≤πt 15≤5π3，解得5≤t ≤25，共20分钟，故D 正确．6．答案：20.5解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos [π6(x －6)]，当x ＝10时，y ＝23＋5cos (π6×4)＝20.5.7．答案：－4.2或写成－215解析：由表中某市码头某一天水深与时间的关系近似为函数y ＝A cos (ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈[0，24])，从表中数据可知，函数的最大值为5.0，最小值为4.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝5.0－A ＋B ＝4.2，解得A ＝0.4，B ＝4.6，故A －B ＝－4.2.8．解析：由x ∈[6，14]，得3π2≤π8x ＋3π4≤5π2，所以当π8x ＋3π4＝3π2，即x ＝6时，y 取得最小值10，当π8x ＋3π4＝5π2，即x ＝14时，y 取得最大值30， 所以这一天中6～14时的最大温差为20，且14时达到最高气温． 9．解析：(1)最大用电量为50万kW ·h ，最小用电量为30万kW ·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin (wx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πw ＝14－8， ∴w ＝π6.∴y ＝10sin (π6x ＋φ)＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin (π6x ＋π6)＋40，x ∈[8，14].核心素养升级练1．答案：C解析：雨棚横截面正弦曲线振幅为A ，则雨棚的最低点到地面的距离为H －A ，雨棚的最高点到地面的距离为H ＋A ，由题意有H －A ≥23(H ＋A )，解得A ≤H5，所以横截面正弦曲线振幅的最大值为H5.2．答案：365.25 四解析：因为周期T ＝2πω＝2π0.017 202 5≈182.624×2＝365.248≈365.25，所以一个回归年对应的天数约为365.25；一个回归年对应的天数约为365.25，则4个回归年经过的天数为365.25×4＝1 461. 因为1 461＝208×7＋5，且该年的春分日是星期六，所以4个回归年后的春分日应该是星期四．3．解析：(1)画出散点图，连线如下图所示：设y ＝A sin ωt ＋b ，根据最大值13，最小值9，可列方程为⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝13－A ＋b ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3b ＝10， 再由T ＝2πω＝12，得ω＝π6，y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24).(2)3sin π6t ＋10－8≥3.5⇒sin π6t ≥12.∵0≤t ≤24， ∴0≤π6t ≤4π，∴π6≤π6t ≤5π6，或π6＋2π≤π6t ≤5π6＋2π， 解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．。
人教A版高中数学必修五高二第一次月考试题
南阳一中2012——2013学年秋期第一次月考高二数学试题命题人：宋起克刘明江审核：李建寅考试时间：2012、10 注意事项：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分160分。
2、将第Ⅰ卷答案涂在答题卡上，考试结束只交答题卡和答题卷。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1、某数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列为（）A 、常数列B 、公差为零的等差数列C 、公比为1的等比数列D 、这样的数列不存在 2、下列数列中是递增数列的是（）A ．1，3,5，2，4,6B ．42-=n a nC ．nn a n 1+=D ．na n 1=3、已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第几项（）A ．23B ．24C ．19D ．25 4.已知数列11110，21110，31110，…，1110n ，…，使数列前n 项的乘积不超过510的最大正整数n 是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 5、数列11111,2,3,4,24816⋅⋅⋅前n 项的和为（ ）A ．2212nn n ++ B ．22121n n n -+-+C ．2212n n n ++-D ．12212+++-nn n 6、若数列}{n a 的前n 项的和32n n S =-，那么这个数列的通项公式为（）A.13()2n n a -=B.113()2n n a -=⨯ C.32n a n =- D.11,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 7、在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S =，8a 为（）A.3B.4C.6D.128、数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =an+b(a ≠0，a 、b ∈R)，b n =q n-1(q>1)，则数列{a n }、{b n }中，使a n =b n 的n 值的个数是（）A 、2B 、1C 、0D 、可能为0，可能为1，可能为29、在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（）Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．210、设2a =3,2b =6,2c=12,则数列a,b,c 成()A.等比B.等差C.非等差也非等比D.既等差也等比11、某厂去年产值是a 亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是10%．则从今年起到第5年末的该厂总产值是()A 、11×(1.15-1)a 亿元B 、10×(1.15-1)a 亿元C 、11×(1.14-1)a 亿元D 、10×(1.14-1)a 亿元解：（Ⅰ）当2n时，11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，得12(2,3,4,)n n a a n --==⋅⋅⋅.所以数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列.……5分 所以2 1.n a n =-…………………………………6分 （Ⅱ）12231111n n nT a a a a a a -=++⋅⋅⋅+()()11111335572121n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ 111111111[()()()()]21335572121n n =-+-+-++--+ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+……………10分由10021209n n T n =>+，得1009n >，满足100209n T >的最小正整数为12.…………………12分 22.解：（Ⅰ）由已知可得，n n n q a a )41(11==-，n b n n 3)41(log 3241==+23-=∴n b n 13,n n b b +-=}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==.-------4分（Ⅱ）1(32)()4n n n n c a b n ==-23111114()7()(32)()4444nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅①23411111111()4()7()(35)()(32)()444444n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-⋅② ① -②得234131111113[()()()()](32)()4444444n n n S n +=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⋅ 112)41)(23(411])41(1[)41(341+-----⋅+=n n n1)41()23(21+⋅+-=n n 1)41(381232+⋅+-=∴n n n S . （Ⅲ）nn n c )41()23(⋅-=n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++11311()[(32)]9()(1)444n n n n n ++=--=-⋅- 当1n =时，n n c c =+1，当2n ≥时，1n n c c +<121()4n max c c c ∴===. 若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，则211144m m +-≥即可 2450m m ∴+-≥，即5-≤m 或1≥m .四．附加题：解：⑴232=a ，253-=a ⑵当2≥n 时，21222212(22)1212n n n n a a n a a n ---=--⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 121222+=∴-n n a a )2(212121222222-=-+=-∴--n n n a a a}2{2-∴n a 是一个以2122-=-a 为首项，以21为公比等比数列，则n n n a 21)21()21(212-=⋅-=--n n a 2122-=∴⑶13599S a a a a =+++⋅⋅⋅+奇12498(22)(24)(298)a a a a =+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 12498()2(2498)a a a a =+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+4802)21(49-=。
人教A版高中数学必修五高二(上)期中试卷
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集为（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2}=1+2a n，则数列{a n}前10项的和为3．在数列{a n}中，若a1=﹣2，且对任意的n∈N*有2a n+1（）A．2 B．10 C．D．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．27．若关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]8．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}：， +， ++，…， +++…+，…，若b n=，那么数列{b n}的前n项和S n为（）A． B． C． D．12．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知数列{a n}中，a1=1且=+（n∈N*），则a10=．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，则角B=．15．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为．16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．19．己知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？22．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=n•f（n），n∈N*，求证a1+a2+a3+…+a n＜2；（3）设b n=（9﹣n），n∈N*，S n为b n的前n项和，当S n最大时，求n的值．2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a ＞b ，c ＞d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是（ ） A ．ad ＞bc B ．ac ＞bd C ．a ﹣c ＞b ﹣d D ．a +c ＞b +d 【考点】不等关系与不等式．【分析】a ＞b ，c ＞d ，根据不等式的性质即可得到答案． 【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6， 则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A 2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B ； 2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C ， ∵a ＞b ，c ＞d ，∴a +c ＞b +d （不等式的加法性质）正确． 故选D ．2．不等式（x ﹣1）（2﹣x ）≥0的解集为（ ）A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ＜1或x ＞2} 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】此题是x 的系数不为正的二次不等式，可转化为x 的系数为正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解． 【解答】解：∵（x ﹣1）（2﹣x ）≥0， ∴（x ﹣2）（x ﹣1）≤0∴结合二次函数的性质可得解集为1≤x ≤2． 故选A ．3．在数列{a n }中，若a 1=﹣2，且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ，则数列{a n }前10项的和为（ ）A ．2B ．10C ．D ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n }是公差为的等差数列，代入等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：由2a n +1=1+2a n ，得2a n +1﹣2a n =1，则，∴数列{a n }是公差为的等差数列，又a 1=﹣2，∴．故选：C．4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B5．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【考点】正弦定理的应用．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选C6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A．B．C．2D．2【考点】余弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sinA，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=1+4﹣2=3，则BC=．故选：B．7．若关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D．[﹣2，5]【考点】函数恒成立问题．【分析】利用基本不等式求出不等式x+的最小值为4，转化4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，∴不等式x+=4，当且仅当x=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+≥a2﹣3a对任意实数x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故选：A．8．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC 等于120（﹣1）m ．故选：B ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cosAcosB=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先根据A ，B ，C 成等差数列和三角形内角和定理求出B 的值，根据等比中项的性质可知b 2=ac 代入余弦定理求得a 2+c 2﹣ac=ac ，整理求得a=c ，即得A=C ，最后利用三角形内角和定理求出A 和C ，最后求出式子的值．【解答】解：由A ，B ，C 成等差数列，有2B=A +C （1） ∵A ，B ，C 为△ABC 的内角，∴A +B +C=π（2）．由（1）（2）得B=．由2a ，2b ，2c 成等比数列，得b 2=ac ， 由余弦定理得，b 2=a 2+c 2﹣2accosB把B=、b 2=ac 代入得，a 2+c 2﹣ac=ac ，即（a ﹣c ）2=0，则a=c ，从而A=C=B=，∴cosAcosB==，故选A ．11．已知数列{a n }：， +， ++，…， +++…+，…，若b n =，那么数列{b n }的前n 项和S n 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】先确定数列{a n }的通项，再确定数列{b n }的通项，利用裂项法可求数列的和．【解答】解：由题意，数列{a n }的通项为a n ==，∴b n ==4（﹣）∴S n =4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故选B ．12．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由 a 7=a 6+2a 5 求得q=2，代入求得m +n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7=a 6+2a 5，可得，∴q 2﹣q ﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m +n ﹣2=16，∴2m +n ﹣2=24，∴m +n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知数列{a n }中，a 1=1且=+（n ∈N *），则a 10=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由数列递推式可知数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，由此求得数列{a n }的通项公式，则答案可求．【解答】解：由=+，得﹣=，∴数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴．则．故答案为：．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +bsinC ﹣a ﹣c=0，则角B= ． 【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到cosB=，结合B 的范围即可得解B 的值．【解答】证明：在△ABC 中，∵bcosC +bsinC ﹣a ﹣c=0，∴利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinBsinC ﹣sinA ﹣sinC=0，即sinBcosC +sinBsinC=sinA +sinC=sin （B +C ）+sinC=sinBcosC +cosBsinC +sinC=sinBcosC +sinC （cosB +1），∴sinB=cosB +1，即sin （B ﹣）=，∵0＜B ＜π，∴﹣＜B ﹣＜，∴B ﹣=，即B=．故答案为：．15．设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax +by （a ＞0，b ＞0）的最大值为10，则a 2+b 2的最小值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a ，b 的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax +by （a ＞0，b ＞0）得y=， 作出可行域如图：∵a ＞0，b ＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z 也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A 时，直线的截距最大，此时z 也最大．由，解得，即A （4，6）．此时z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即（a，b）在直线2x+3y﹣5=0上，a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d=，则a2+b2的最小值为d2=，故答案为：．16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割.06180339887．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2016项的值是0．【考点】数列的应用．【分析】根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，=b6=0，∴b2016=b236×6故答案为：0．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知关于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）根据不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集为∅，讨论k的取值，求出结果即可．【解答】解：（1）由不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，可知k＜0，﹣3和﹣1是一元二次方程kx2﹣2x+3k=0的两根，所以，解得k=﹣；（2）因不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集为∅，若k=0，则不等式﹣2x＜0，此时x＞0，不合题意；若k≠0，则，解得；综上，实数k的取值范围是（0，]．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=219．己知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2a n+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）求得首项，再由n换为n﹣1，相减可得数列的通项公式；（2）求得b n=2n+（﹣1）n•n，n为奇数时，b n=n；n为偶数时，b n=3n．运用等差数列的求和公式计算即可得到所求．【解答】解：（1）S n=，n∈N*，可得a1=S1=1，=﹣=n，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1综上可得，a n=n，n∈N*；（2）b n=2n+（﹣1）n•n，n为奇数时，b n=n；n为偶数时，b n=3n．即有数列{b n}的前2n项和为（1+3+5+…+2n﹣1）+（6+12+…+6n）=n（1+2n﹣1）+n（6+6n）=3n2+4n．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．【解答】解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，每万件销售价为，∴年销售收入为=，∴年利润=．（2）令x+1=t（t≥1），则．∵t≥1，∴，即W≤42，当且仅当，即t=8时，W有最大值42，此时x=7．即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．22．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=．（1）当n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设a n=n•f（n），n∈N*，求证a1+a2+a3+…+a n＜2；（3）设b n=（9﹣n），n∈N*，S n为b n的前n项和，当S n最大时，求n的值．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．【分析】（1）由于函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=得到f（n）的表达式；（2）由（1）知，a n=n•f（n）=，故可用错位相减法求出a1+a2+a3+…+a n的表达式，即可得证；（3）由（1）和b n=（9﹣n），n∈N*可求b n的表达式，进而求出S n，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到S n最大时的n值．【解答】解：（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=f（n），所以{f（n）}是首项为、公比为的等比数列，即f（n）=；（2）∵，，，两式相减得：，整理得．（3）∵f（n）=，而b n=（9﹣n），n∈N*，则b n=，当n≤8时，b n＞0；当n=9时，b n=0；当n＞9时，b n＜0；∴n=8或9时，S n取到最大值．2016年11月24日。
(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题
解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 2mD. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（ ） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
人教A版高中必修二试题第一次月考数学试卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共13小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题3分，共39分）1．（3分）有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对考点：由三视图还原实物图．分析：根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状．解答：解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台．故选A．点评：本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化．2．（3分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．一条直线和一个点确定一个平面考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：不共线的三点确定一个平面；四边形有可能是空间图形；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形；直线与直线外一点确定一个平面．解答：解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故A不正确；四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故B不正确；梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C正确；直线与直线外一点确定一个平面，直线与直线上一点确定无数个平面，故D不正确．故选C．点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意平面的公理及其推论的灵活运用．3．（3分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．解答：解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A点评：本题考查棱锥的面积，是基础题．4．（3分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50π．故选B．点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．5．（3分）经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个考点：平面的基本性质及推论．专题：综合题．分析：当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，结论不唯一，得到结果．解答：解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，∴这样的平面可能有，可能没有，故选C．点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查过两个点的平面与已知平面的关系，本题要考查学生的空间想象能力，是一个基础题．6．（3分）（2009•天河区一模）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．2+B．C．D．1+考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．解答：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选A点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查．7．（3分）已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：结论A是不完备的；结论C．D是不对的，只有结论B是正确的，得到结论．解答：解：结论A是不完备的；结论C．D是不对的，只有结论B是正确的．故选B．点评：本题考查直线与平面之间的位置关系，是一个基础题，这种题目在高考卷中出现的就比较多．8．（3分）平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行考点：平面与平面平行的判定．专题：证明题．分析：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选D．解答：解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选B．当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β时，直线a 和直线b可能平行，也可能是异面直线，故不选C．当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D．点评：本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．9．（3分）若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A．平面α内所有的直线都与a异面B．平面α内不存在与a平行的直线C．平面a内所有的直线都与α相交D．直线α与平面α有公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直线a不平行于平面α，直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α，由此能求出结果．解答：解：∵直线a不平行于平面α，∴直线a与平面α相交，或直线a⊂平面α．∴直线α与平面α有公共点．故选D．点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（3分）（2000•天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．解答：解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选A．点评：本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．11．（3分）给出下列四个命题，其中正确的是（）①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．A．①②③B．②④C．③④D．②③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面；②由平行公理知②正确；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面；④由平行公理知④正确．解答：解：①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面，故①不正确；②由平行公理知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面，故③不正确；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥d，所以b∥c．故④正确．故选B．点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理的合理运用．12．（3分）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题．分析：由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P必在直线AC上．解答：解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．点评：本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（3分）（2005•陕西）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A．B．C．D．考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题．分析：把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点求出底面面积高，即可求出四棱锥B﹣APQC的体积．解答：解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1则V=S ABC•h=•1•1••1=认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点则V B﹣APQC=S APQC•=（其中表示的是三角形ABC边AC上的高）所以V B﹣APQC=V故选B点评：本题考查几何体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解题中有独到效果，本题还可以再特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）14．（3分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为16π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析： Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体是圆锥，推出底面半径和高，即可求出几何体的体积．解答：解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16π点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，正确推测几何体的图形形状，求出有关数据，是本题的关键．15．（3分）已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为28．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．解答：解：故答案为：28．点评：本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．16．（3分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求出此角即可得到所求．解答：解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，根据余弦定理可知∠A1BC1的余弦值为，故答案为：．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17．（3分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是16cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：数形结合．分析：由三视图可得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积公式可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，其底面积S=（2+4）×4=12高h=4故其体积V=Sh=×12×4=16故答案为：16点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．18．（3分）过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为1：3：5．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：应用锥体平行于底面的截面性质，面积之比等于相似比的平方，容易得到结果．解答：解：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S侧1：S侧2：S侧3=1：4：9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1：3：5．故答案为：1：3：5．点评：本题考查棱锥的结构特征，是基础题．19．（3分）设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的是③④①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．考点：命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据公理1及直线在平面内的涵义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．解答：解：对于①：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α不一定成立，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；对于④：两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故答案为：③④．点评：本题依托平面的基本性质及推论，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象力，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，满分43分）20．（10分）已知E、F、G、H是所在线段上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．考点：平行公理．专题：空间位置关系与距离．分析：根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论．解答：证明：∵点E、F、G、H为空间四边形边AB、BC、CD、DA上的点∴直线EH⊄平面BCD，直线FG⊂平面BCD又EH∥FG∴直线EH∥平面BCD又∵EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD∴EH∥BD点评：本题考查线与面平行的判断，线与面平行的性质，考查线面平行的判定和性质的综合应用，本题是一个考查知识点比较集中的题目，只考线与面的平行，是一个目标很明确的题目．21．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积和体积．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：画出几何体的图形，通过三视图的数据说明几何体的棱长，然后利用表面积与体积公式求解即可．解答：解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=2mm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2mm．（4分）∴正三角形ABC的边长为4mm．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×2+2××4×2=24+8（mm2）．（10分）体积为V=S底•|AA′|=×4×2×2=8（mm3）．（14分）故这个三棱柱的表面积为（24+8）mm2，体积为8mm3．点评：本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．22．（10分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1 （1）求异面直线A1B与B1C所成的角；（2）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．考点：平面与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．解答：解：（1）连接A1D、DB．由正方体可得，∴对角面A1B1CD是一个平行四边形，∴B1C∥A1D．∴∠BA1D或其补角即为异面直线A1B与B1C所成的角，∵△A1BD是一个等边三角形，∴∠BA1D=60°即为异面直线A1B与B1C所成的角；（2）证明：由（1）可知：A1D∥B1C，而A1D⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，∴A1D∥平面B1CD1，同理可得A1B∥平面B1CD1，又∵A1D∩A1B=A1，∴平面A1BD∥平面B1CD1．点评：熟练掌握线面、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角是解题的关键．23．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底ABCD，，E、F分别是BC、AP的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F﹣ABE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；证明题．分析：（1）取PD的中点G，连接FG、CG，由FG是△PAD的中位线，可得FG∥且FG=；由公理4可得CE∥FG且CE=FG，可得四边形EFGC是平行四边形，从而有EF∥CG，进而由线面平行的判定得到结论．（2）取AO的中点M，连FM，则FM∥OP，又OP⊥面ABCD，所以FM⊥面ABCD，FM是三棱锥F﹣ABE的高，再求得△ABE的面积，最后由棱锥的体积公式求解．解答：解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG（2分）∵FG是△PAD的中位线，∴FG∥且FG=在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，又E为BC的中点，∴CE∥FG且CE=FG∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG（4分）又EF⊄面PCD，CG⊂面PCD，∴EF∥面PCD（6分）（2）取AO的中点M，连FM，则FM∥OP，，又OP⊥面ABCD，∴FM⊥面ABCD．∴FM是三棱锥F﹣ABE的高，（8分）又（10分）∴（12分）点评：本题主要考查线线，线面，面面平行，垂直关系的转化与应用，还考查了几何体的体积求法，关键是论证高及几何体的底，属中档题．。
人教A版高中数学必修五儋州市民族中学—学年高二第一学期段考
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作儋州市民族中学2010—2011学年高二第一学期段考数学科（答题时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1、某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，现拟用分层抽样的方法，从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应从三年级的学生中抽取的人数为（ B ）。
A 、80B 、40C ．60D 、20 2、下列变量具有线性相关关系的是（ C ）。
A 、人的身高与视力B 、正方形的面积与边长C 、收入水平与消费水平D 、人的年龄与身高3、若,a b d c <<,并且()()0,()()<0c a c b d a d b --<--,则a b c d 、、、的大小关系是（ D ）。
A 、<a c d b <<B 、 a c b d <<<C 、 a d b c <<<D 、a d c b <<<4、在数列{}n a 中，13a =且对于任意大于1的正整数n ，点1(,)n n a a -在直线60x y --=上，则n S 的值为（ A ）。
A 、23nB 、231n+ C 、232n + D 、233n +5、若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为（ A ）。
A 、)()(x g x f =B 、)()(x g x f >C 、)()(x g x f <D 、随x 值变化而变化6、甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙 两人的平均成绩分别是x x 乙甲、，则下列结论正确的是（ A ）。
A 、x x <乙甲，乙比甲成绩稳定B 、x x >乙甲，甲比乙成绩稳定C 、x x >乙甲，乙比甲成绩稳定D 、x x <乙甲，甲比乙成绩稳定7、在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于（ D ）。
高中数学人教A版选择性必修一 模拟检测卷 第一次月考(10月)(空间立体几何、直线与圆)
高二第一次月考（10月）模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：选择性必修一 第一、二章)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与向量(1,1,2)n =-反向的单位向量的坐标为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎝⎭C ．(1,1,2)--D ．11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】利用与向量n 反向的单位向量为n n-求解即可.【详解】因为11n =++=，所以与向量n 反向的单位向量为nn -=⎛= ⎝⎛ ⎝⎭． 故选：A2．已知直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，若12l l ⊥，则=a （ ） A ．6 B ．6-C ．2D ．2-【答案】A【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.【详解】解：因为直线1:230l ax y -+=与直线()2:310l x a y +-+=，且12l l ⊥， 所以()()1230a a ⨯+-⨯-=，解得6a =， 故选：A.3．若点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()2-+∞，B ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案. 【详解】解：因为点()1,1P 在圆220x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<.故选：C ．4．如图，三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN =（ ）A ．()12a b c -++ B ．()12a b c +- C ．()12a b c -+ D ．()12a b c --+ 【答案】D【分析】结合向量线性运算即可求得【详解】M ，N 分别是AB ，OC 的中点，()()111222O O M N O N OM OA B a b c C +-==--=-+++.故选：D.5．某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） A ．43-B ．12-C ．43或12-D ．43-或12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为12x ym m+=，代入点(3,4)B -，则3412m m -+=，解得52m =， 所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D6．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=最小值为（ ） AB ．5C．D ．10【答案】A【解析】由直线过圆心得,a b 满足的关系式，说明点(,)a b 在一条直线上，由点到平面的距离公式可得最小值．【详解】由题意直线l 过已知圆的圆心，圆心为(2,1)--，∴210a b --+=，即210a b +-=， 点(,)a b 在直线210x y +-=上，210x y +-=的点(,)a b 到点(2,2)的距离，∴=故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查二元函数的最值问题．解题方法是利用其几何意义：两点间距离求解，解题关键是求出,a b 满足的条件，得点(,)a b 在一条直线210x y +-=上，从而只要求得定点到直线的距离即可得．7．正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足22PB PC +=AP PD ⋅的取值范围为（ ）A．4⎡-+⎣B．C．4⎡-⎣D ．[]14,2-【答案】D【分析】分别取BC ，AD 的中点E ，F，由题意可得点P 的轨迹是以E 的球面，又AP PD ⋅=24PF -，再求出PF 的最值即可求解 【详解】分别取BC ，AD 的中点E ，F ，则222PB PC PE +==所以2PE =故点P 的轨迹是以E 为球心，以2为半径的球面，()()()()AP PD PF FA PF FD PF FA PF FA ⋅=-+⋅+=-+⋅-2224FA PF PF =-=-，又ED =EF =所以min PF EF =max PF EF == 所以AP PD ⋅的取值范围为[]14,2-． 故选：D ．8．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan∴ANB 的最大值为（ ） A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【分析】分析出AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，2AB ≤， 当M 的坐标为()1,0时，2AB =，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅ 由余弦函数的单调性确定3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，此时tan ANB ∠最大，最大值为43. 【详解】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且AB ≤2AB ≤， 当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大， 又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，所以当ANB ∠最大时，tan ANB ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（ ） A ．11AB =B ．AB AC ⊥C ．cos ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线【答案】AB【详解】易得()1,1,3AB =--，()2,2,0AC =-，()1,3,3CB =-，11AB ∴=A 正确; 因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos 11AB CB ABC AB CB⋅∠===⋅C 错误.故选: AB.10．若直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形，则m 的取值为（ ） A ．23B ．23-C ．29D ．29-【答案】ABD【分析】分1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况讨论即可.【详解】因为直线123:34,:0,:234l x y l x y l x my +=-=-=不能构成三角形， 所以存在1323,////l l l l ，3l 过1l 与2l 的交点三种情况， 当13//l l 时，有314234m =≠-，解得29m =-； 当23//l l 时，有110234m -=≠-，解得23m =； 当3l 过1l 与2l 的交点，则联立340x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，代入3l ，得21314m ⨯-⨯=，解得23m =-；综上：29m =-或23m =或23m =-.故选：ABD.11．已知曲线E 的方程为22x y x y +=+，则（ ）A ．曲线E 关于直线y x =对称B ．曲线E 围成的图形面积为2π+C ．若点00(,)x y 在曲线E 上，则0x ≤≤D ．若圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则r 【答案】ABC【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.【详解】对于A ，曲线E 上任意点(,)x y 有：22x y x y +=+，该点关于直线y x =的对称点(,)y x 有22y x y x +=+，即曲线E 上任意点(,)x y 关于直线y x =的对称点仍在曲线E 上，A 正确；对于B ，因点(,)x y 在曲线E 上，点(,)x y -，(,)x y -也都在曲线E 上，则曲线E 关于x 轴，y 轴对称，当0,0x y ≥≥时，曲线E 的方程为22111()()222x y -+-=，表示以点11(,)22为半径的圆在直线1x y +=上方的半圆(含端点)，因此，曲线E 是四个顶点为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，所以曲线E 围成的图形面积是211224222ππ⨯⨯+⨯⨯=+，B 正确；对于C ，点00(,)x y 在曲线E 上，则2200002200111(||)(||)222x y x y x y ⇔-+-+=+=，则有2011(||)22x -≤，即01||2x +≤，解得01122x -≤≤，而[[⊆，C 正确；对于D ，曲线E =圆222(0)x y r r +=>能覆盖曲线E ，则min r D 不正确. 故选：ABC12．已知P 是圆O ：224x y +=上的动点，点Q (1，0)，以P 为圆心，PQ 为半径作圆P ，设圆P 与圆O 相交于A ，B 两点．则下列选项正确的是（ ） A ．当P 点坐标为(2,0)时，圆P 的面积最小 B ．直线AB 过定点C ．点Q 到直线AB 的距离为定值D 4AB ≤≤ 【答案】ACD【分析】A 由题意圆P 的面积最小只需||PQ 最小，结合圆的性质判断；B 应用特殊点，讨论P 为圆O 在x 轴交点分别判断直线AB 的位置即可判断；C 由两圆相交弦所在直线的求法确定直线AB，再由点线距离公式判断；D由OP垂直平分AB，结合弦心距、半径、弦长关系得到||AB关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围.【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时||PQ最小，此时圆P的面积最小，正确；B：若圆P的半径为r且13r≤≤，如下图，当P为圆O在x轴右侧交点，此时1r=，显然直线AB垂直于x轴，在Q点右侧；如下图，当P为圆O在x轴左侧交点，此时3r=，显然直线AB也垂直于x轴，在Q点左侧；所以直线AB不可能过定点，错误；C：由对称性，不妨设(P m，则222(1)452r m m m=-+-=-，所以圆P方程为22()(52x m y m-+=-，又直线AB为两圆相交弦，则圆P、圆O相减并整理得：直线:2230AB mx m+--=，所以Q到直线AB的距离34d==为定值，正确；D：由题意，OP与AB交于C且OP垂直平分AB，令PC m =，则2224(2)m r m --=-，可得24r m =，故||AB =所以||AB =，正确； 故选：ACD【点睛】关键点点睛：选项C 利用两圆相交求相交弦所在直线方程，结合点线距离公式求距离，选项D 通过弦心距、弦长、半径的几何关系得到||AB 关于圆P 半径的表达式.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．把直线210x y -+=绕点(顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．【答案】310x y +-=【分析】利用差角正切公式求旋转后直线斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】若α为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为45α-︒，而1tan 2α=，故11tan tan 4512tan(45)11tan tan 453112ααα--︒-︒===-+︒+⨯，所以旋转后直线为1(1)3y x --，则310x y +-=.故答案为：310x y +-=14．已知,A B 分别是221:(1)(3)1C x y -+-=，222:(5)(1)4C x y ++-=上的两个动点，点M 是直线0x y -=上的一个动点，则||||MA MB +的最小值为_____________.【答案】5【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可. 【详解】如图，圆3C 是圆1C 关于直线 0x y -=的对称圆，所以圆3C 的方程为()()22311x y -+-=，圆心为 ()33,1C ，且由图知，1MA MB MA MB +=+213,,,,C B M A C ∴五点共线时， 1MA MB +有最小值，此时，()231235min MA MB C C +=--== 所以MA MB +的最小值为5. 故答案为：5.15．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.【答案】⎡⎣【分析】建立空间直角坐标系，设α与棱1CC 的交点为P ，利用空间向量计算P 到1BD 的最小距离和最大距离可得面积的最值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()12,2,2,0,0,0B D ，设α与棱1CC 的交点为P ，与棱1AA 的交点为G ，则四边形1BGD P 为平行四边形.在面α内过P 作1BD 的垂线，垂足为Q ，则截面的面积为123S BD PQ PQ ==. 设(),,Q x x x ，()0,2,P y ，则()12,2,2D B =，(),2,PQ x x x y =--.因为1·0D B PQ =，故()()22220x x x y +-+-=即320x y --=，故32y x =-. 因0322x ≤-≤，故2433x ≤≤.又2PQ x ===2433x ≤≤，263PQ ≤≤S ≤≤⎡⎣. 【点睛】空间中点到直线的距离的计算，可把距离放在可解的几何图形中，利用解三角形等方法计算该距离，如果找不到合适的几何图形“安置”该距离，则可以建立空间直角坐标系，通过空间向量的方法计算该距离.16．已知直线l ：40x y -+=与x 轴相交于点A ，过直线l 上的动点P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为C ，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为__________．【答案】【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理. 【详解】由题意设点(),4P t t +，()11,C x y ，()22,D x y ， 因为PD ，PC 是圆的切线，所以OD PD ⊥，OC PC ⊥， 所以,C D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为:()222244()()224t t t t x y +++-+-=，又,C D 在圆224x y +=上， 将两个圆的方程作差得直线CD 的方程为：()440tx t y ++=－，即()()410t x y y ++=－，所以直线CD 恒过定点()1,1Q －， 又因为OM CD ⊥，M ，Q ，C ，D 四点共线，所以OM MQ ⊥， 即M 在以OQ 为直径的圆22111()()222x y ++-=上，其圆心为11',22O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为22r，如图所示:所以'minAMAO r ===－所以AM 的最小值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆C 经过()0,2A ，()0,8B 两点，且与x 轴的正半轴相切. (1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l ：30x y -+=与圆C 交于M ，N ，求MN .【答案】(1)22(4)(5)25x y -+-=；(2)【分析】（1）由题意，设圆心(,)C m n 且半径||r n =，由圆所过的点列方程求参数，结合与x 轴的正半轴相切确定圆的方程；（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求MN . （1）若圆心(,)C m n ，则圆的半径||r n =，即222()()x m y n n -+-=，又圆C 经过()0,2A ，()0,8B ，则222222441664m n n nm n n n ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩，可得45m n =±⎧⎨=⎩， 所以22(4)(5)25x y -+-=或22(4)(5)25x y ++-=，又圆与x 轴的正半轴相切， 故圆C 的标准方程为22(4)(5)25x y -+-=. （2）由（1）知：(4,5)C 到直线l==5r ，所以MN =18．（12分）如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,AB A C 的中点.(1)证明：1EF A CD ⊥平面； (2)求点1C 到平面1A CD 的距离.【答案】(1)见解析【分析】（1）建立坐标系求出点的坐标，利用向量的坐标运算求平面法向量即可求解， （2）利用向量法求解点面距离即可． （1）建立以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0D ，0，2)E ，F 分别为AB ，1A C 的中点，(2E ∴，1，0)，(1F ，1，1)，1(2DA =，0，2)，(0DC =，2，0)，设平面1A CD 的法向量为(),,m x y z =，则100m DA m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22020x z y +=⎧⎨=⎩，令1x =，则()1,0,1m =-因为()=101，，EF -，=EF m -，所以//EF mEF ∴⊥平面1A CD ．（2）()10,0,2CC =,()1,0,1m =-,设点1C 到平面1A CD 的距离为d，所以12CC m d m⋅=== 19．（12分）已知ABC 中，点()1,5A -，边BC 所在直线1l 的方程为7180x y --=，边AB 上的中线所在直线2l 的方程为y x =. (1)求点B 和点C 的坐标；(2)以()3,2M 为圆心作一个圆，使得A ，B ，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.【答案】(1)()2,4B -，()3,3C (2)()()223225x y -+-=【分析】（1）由题意，设所求点的坐标，结合中点坐标公式，代入对应直线方程，解得答案； （2）由题意，分别求点M 到,,A B C 的距离，比较大小，可得答案. （1）设()11,B x y ，()22,C x y ，AB 的中点1115,22x y D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得直线CD 的直线方程：2:l y x =，则22227180y x x y =⎧⎨--=⎩，解得2233x y =⎧⎨=⎩，111115227180x y x y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩，解得1124x y =⎧⎨=-⎩，故()2,4B -，()3,3C .（2） 5AM ==，BM ==1CM ==，由15<<()()223225x y -+-=.20．（12分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AD AB ===，M ，N分别为AB ，PC 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求PD 与平面PMC 所成角的正弦值； (3)求平面PMC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，易证AMNE 为平行四边形，则//MN AE ，根据线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，求PD 的方向向量与平面PMC 的法向量，应用向量夹角坐标表示求线面角的正弦值；（3）由(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，结合（2）并应用向量夹角坐标表示求面面角的余弦值； （1）若E 为PD 中点，连接,NE AE ，又M 、N 为AB 、PC 的中点，底面ABCD 为矩形，所以//NE CD 且12NE CD =，而1122AM AB CD ==且//AM CD ，所以//NE AM 且NE AM =，故AMNE 为平行四边形，故//MN AE ，又MN ⊄面PAD ，AE ⊂面PAD ，则//MN 面PAD . （2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，2PA AD AB ===，所以(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(1,0,0)M ，(2,2,0)C ，则(0,2,2)PD =-，(1,0,2)PM =-，(2,2,2)PC =-，若(,,)m x y z =是面PMC 的一个法向量，则202220m PM x z m PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2x =，故(2,1,1)m =-，所以PD 与平面PMC 所成角的正弦值为|||cos ,|||||2PD m PD m PD m ⋅<>===（3）由（2）知：(2,1,1)m =-是面PMC 的一个法向量，又(1,0,0)n =是面PAD 的一个法向量，所以2cos ,||||6m n m n m n ⋅<>===PMC 与平面PAD 21．（12分）如图，已知圆22:430M x x y -++=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B(1)求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标； (2)求线段AB 中点的轨迹方程；(3)若两条切线,PA PB 与y 轴分别交于,S T 两点，求ST 的最小值.【答案】(1)5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭【分析】（1）把直线AB 看成圆P 和圆M 公共弦所在的直线，求出直线方程即可得到定点； （2）利用几何的知识得到AB 中点的轨迹，根据轨迹求方程即可；（3）设切线方程，利用圆心到切线的距离为半径得到12k k +，12k k ，再把ST 表示出来求最小值即可. （1）因为PA ，PB 为圆M 的切线，所以90PBM PAM ∠=∠=︒，所以点,A B 在以PM 为直径的圆P 上，又点,A B 在圆M 上，所以线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，因为圆M ：22430x x y -++=①，所以()2,0M ，PM =，PM 中点为1,22t ⎛⎫⎪⎝⎭，则圆P ：22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2220x x y ty -+--=②，②-①得直线AB 的方程为350x ty --=，所以(35)0x ty --=，所以直线AB 过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）∵直线AB 过定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭，AB 的中点为直线AB 与直线MP 的交点，设AB 的中点为F 点，直线AB 过的定点为H 点，易知HF 始终垂直于FM ，所以F 点的轨迹为以HM 为直径的圆，5,03H ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,0)M ，∵点F 的轨迹方程为22111(2)636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭；（3）设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=， 故(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，则()1212ST k t k t k k =+-+=-=故当0=t 时，ST 取得最小值为2． 22．（12分）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）连接1O O ，利用1Rt OO T ∆可求1OO T ∠的正弦值.（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标.【详解】（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT O T ⊥.又1OO在1Rt OO T ∆中，1OT =，故1sin OOT ∠ （2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等，46130a b +-=，故,a b 的关系为46130a b +-=. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等， 所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l的距离，()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，所以()()()()22222322320m n k mn m n k n m ⎡⎤---+--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦对无穷多个k 恒成立. 故()()()()22223023020m n mn m n n m ⎧--=⎪⎪+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者1252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 17．故M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
人教A版数学必修一湖南省岳阳市临湘市二中高一上学期第一次月考试题(解析版).docx
高中数学学习材料唐玲出品湖南省岳阳市临湘市二中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合C U A∪B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．83．（5分）下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C． D．5．（5分）已知y=ax2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的范围是（）A．B．C．或a=0 D．a≤06．（5分）函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上7．（5分）函数y=是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．是奇函数又是偶函数8．（5分）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（）A．﹣13 B．13 C．﹣19 D．1910．（5分）设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本答题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．12．（5分）若集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5 }，B={x|3≤x≤22 }，则能使A⊆B成立的所有a的集合是．13．（5分）已知f（x）=，则f（7）=．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且在（﹣2，2）上的减函数，若函数f （x）满足：f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，则实数m的取值范围是．15．（5分）如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则=．三、解答题：（满分75分，要求写出详细的解题过程）16．（12分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．（12分）设x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个实根，又y=x12+x22．（1）求y=f（m）的解析式；（2）求y=f（m）的值域．18．（12分）函数f（x）=，（1）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值．（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．19．（13分）已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．20．（13分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．21．（13分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．湖南省岳阳市临湘市二中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．解答：解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．点评：本题较简单，注意到集合的元素特征即可．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合C U A∪B的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由并集运算结合已知求得C U A，再由并集运算求得C U A∪B，则集合C U A∪B的子集个数可求．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，则集合C U A={4，5}，又B={3，4，5}，∴C U A∪B={3，4，5}．∴集合C U A∪B的子集个数为23=8．故选：D．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合子集个数的求法，含有n个元素的子集个数为2n，是基础题．3．（5分）下列各图中，可表示函数y=f（x）的图象的只可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数的概念及其构成要素．专题：数形结合．分析：根据函数的概念得：因变量（函数），随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应，结合图象特征进行判断即可．解答：解：根据函数的定义知：自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应．∴从图象上看，任意一条与x轴垂直的直线与函数图象的交点最多只能有一个交点．从而排除A，B，C，故选D．点评：本小题主要考查函数的图象、函数的图象的应用、函数的概念及其构成要素等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应．简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数．精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y 与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x）．4．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C． D．考点：一元二次不等式的解法；函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：函数f（x）=ax2﹣x﹣c，且f（x）＞0的解集为（﹣2，1），可得a为负数，﹣2，1是不等式对应方程的根，求出a、c，确定函数y=f（﹣x），然后可以得到图象．解答：解：由ax2﹣x﹣c＞0的解集为（﹣2，1），所以a＜0得∴∴f（x）=﹣x2﹣x+2．∴f（﹣x）=﹣x2+x+2，图象为D．故选D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，函数的图象，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．5．（5分）已知y=ax2+2（a﹣2）x+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的范围是（）A．B．C．或a=0 D．a≤0考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：由解析式对a分类：当a=0时和当a≠0时，再由一次函数和二次函数的单调性求解．解答：解：当a=0时，y=﹣4x+5，则在区间（4，+∞）上是减函数，符合条件；当a≠0时，y=ax2+2（a﹣2）x+5的对称轴是，由题意得，，解得a＜0，综上得，a的范围是a≤0．故选D．点评：本题考查了二次函数的单调性，当解析式含有参数时，需要对二次项的系数进行讨论．6．（5分）函数y=f（x）的图象与直线x=a的交点个数为（）A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上考点：函数的概念及其构成要素．专题：常规题型．分析：求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．解答：解：联立，当x=a有定义时，把x=a代入函数y=f（x），根据函数的定义：定义域内每一个x对应惟一的y，当x=a在定义域范围内时，有唯一解，当x=a无定义时，没有解．所以至多有一个交点．故选C．点评：本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数y=f（x）的图象与直线x=a至多有一个交点．7．（5分）函数y=是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．是奇函数又是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题．分析：先求函数的定义域，定义域关于原点对称，再用偶函数的定义验证f（x）=f（﹣x），即可．解答：解：要使函数有意义，只需：，解得：{x|﹣1≤x≤1}，所以函数的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，{x|﹣1≤x≤1}关于原点对称．函数f（x）可化为：，则：，所以为偶函数．故选B．点评：本题重点考查判断函数的奇偶性，用到了解一元二次不等式，注意先求函数的定义域，并判是否关于原点对称．8．（5分）下列每组函数是同一函数的是（）A．B．C．D．考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：计算题．分析：观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域不同则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同．解答：解：A选项中，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[1，+∞），定义域不同，它们的对应法则也不同；故不是同一函数；B选项中两个函数的定义域相同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，，两个函数的对应法则相同，是同一函数；C选项中两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，2）∪（2，+∞），g（x）的定义域是R；故不是同一函数；D选项的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，1]∪[3，+∞），g（x）的定义域是[3，+∞），故不是同一函数；只有B选项符合同一函数的要求，故选B．点评：本题考查判断两个函数是否是同一个函数，考查根式的定义域，主要考查函数的三要素，即定义域，对应法则和值域．9．（5分）已知f（x）=x5﹣ax3+bx+2且f（﹣5）=17，则f（5）的值为（）A．﹣13 B．13 C．﹣19 D．19考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：函数f（x）可看成是有一个奇函数与一常数的和，根据这一奇函数的性质进行求解即可．解答：解：∵g（x）=x5﹣ax3+bx是奇函数∴g（﹣x）=﹣g（x）∵f（﹣5）=17=g（﹣5）+2∴g（5）=﹣15∴f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13故选A．点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值的求解等有关知识，属于基础题．10．（5分）设函数f（x）=，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得bc的方程组，解之可得bc的值，令f（x）=x化为方程组解之可得．解答：解：由f（﹣4）=f（0）可得16﹣4b+c=c，解之可得b=4，再由f（﹣2）=﹣2可得4﹣2b+c=﹣2，解之可得c=2，故f（x）=，令f（x）=x可得，或，解之可得x=3，或x=﹣1，或x=﹣2故选C点评：本题考查根的存在性及个数的判断，涉及待定系数法求二次函数的系数，属中档题．二、填空题：（本答题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．解答：解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，令﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤，故答案为：．点评：本题考查知f（ax+b）的定义域求f（x）的定义域只要求ax+b的值域即可、知f（x）的定义域为[c，d]求．f（ax+b）的定义域只要解不等式c≤ax+b≤d的解集即可．12．（5分）若集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5 }，B={x|3≤x≤22 }，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（﹣∞，9]．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：A=∅时满足A⊆B，此时2a+1＞3a﹣5，即a＜6；A≠∅时，要使A⊆B，则a应满足，所以解该不等式组并合并a＜6即得使A⊆B成立的所有a的集合．解答：解：若A=∅，则2a+1＞3a﹣5，∴a＜6，满足A⊆B；若A≠∅，要使A⊆B，则：，解得6≤a≤9；∴能使A⊆B成立的所有a的集合是（﹣∞，9]．故答案为：（﹣∞，9]．点评：考查空集的概念，空集和所有集合的关系，描述法表示集合，子集的概念，不要漏了a=∅的情况．13．（5分）已知f（x）=，则f（7）=6．考点：函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据自变量的取值或范围，代入相应的解析式求得对应的函数值，重复以上过程，得出最终结果．解答：解：∵7＜9，∴应代入第二段解析式求解．得f（7）=f[f（7+4）]=f[f（11）]，而11＞9，∴f（11）=11﹣3=8．∴f（7）=f（8）继续应用第二段解析式f（8）=f[f（12）]∵12＞9，∴f（12）=9，∴f（8）=f（9）=9﹣3=6．故答案为：6点评：本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值．分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念．14．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且在（﹣2，2）上的减函数，若函数f （x）满足：f（m﹣1）+f（2m﹣1）＞0，则实数m的取值范围是﹣．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性单调性即可得出．解答：解：∵函数f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，函数f（x）满足：f（m﹣1）+f（2m ﹣1）＞0，∴f（m﹣1）＞﹣f（2m﹣1）=f（1﹣2m），∵函数f（x）在（﹣2，2）上的减函数，∴﹣2＜m﹣1＜1﹣2m＜2，解得﹣．∴m的取值范围是﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了函数的奇偶性单调性，属于基础题．15．（5分）如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则=2010．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题．分析：先有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，得到=1，再把所求结论代入即可求出结果．解答：解：因为f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，所以f（a+1）=f（a）f（1）=f（a），故有=1．∴=1+1+1+…+1=2010．故答案为：2010．点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．三、解答题：（满分75分，要求写出详细的解题过程）16．（12分）已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，C={x|x＞a}，U=R．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，能求出A∪B．（2）由A={x|2≤x≤8}，U=R．知∁U A={x|x＜2，或x＞8}，再由B={x|1＜x＜6}，能求出（∁U A）∩B．（3）由A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，A∩C≠∅，能求出a的取值范围．解答：解：（1）∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1＜x＜6}，∴A∪B={x|1＜x≤8}．（2）∵A={x|2≤x≤8}，U=R．∴∁U A={x|x＜2，或x＞8}，∵B={x|1＜x＜6}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x＜2}．（3）∵A={x|2≤x≤8}，C={x|x＞a}，A∩C≠∅，∴a＜8．故a的取值范围（﹣∞，8）．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17．（12分）设x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个实根，又y=x12+x22．（1）求y=f（m）的解析式；（2）求y=f（m）的值域．考点：根与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得x1+x2=2（m﹣1），x1•x2=m+1，而由△≥0，可得m≥3或m≤0．由于=，利用二次函数的性质以及m的范围可得的值域．解答：解：∵x1，x2是于x的一元二次方程，x2﹣2（m﹣1）x+m+1=0的两个根，∴x1+x2=2（m﹣1），x1•x2=m+1，而△=4（m﹣1）2﹣4（m﹣1）≥0，m2﹣3m≥0，…（5分）∴m≥3或m≤0．=4（m﹣1）2﹣2（m+1）=4m2﹣10m+2=，…（10分）∵m≥3或m≤0，∴．∴y的值域[2，+∞）．…（14分）点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．18．（12分）函数f（x）=，（1）若f（x）的定义域为[﹣2，1]，求实数a的值．（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）结合二次函数的性质，得不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得出结论．解答：解：（1）由题意得：，解得：a=2或a=﹣5；（2）由题意得：①当a=1时，f（x）=，符合题意，②1﹣a2＞0时，△=9（1﹣a）2﹣24（1﹣a2）≤0，无解，③a=﹣1时，f（x）=，定义域不是R，不合题意，综上：a=1．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道中档题．19．（13分）已知奇函数（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象．（2）若函数f（x）在区间[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数的图象．专题：计算题；数形结合；转化思想；待定系数法．分析：（1）由奇函数的定义，对应相等求出m的值；画出图象．（2）根据函数的图象知函数的单调递增区间，从而得到|a|﹣2的一个不等式，解不等式就求得a 的取值范围．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x又f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x2﹣2x，∴f（x）=x2+2x，∴m=2y=f（x）的图象如右所示（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，要使f（x）在[﹣1，|a|﹣2]上单调递增，只需解之得﹣3≤a＜﹣1或1＜a≤3点评：考查奇函数的定义，应用转化的思想求值；作函数的图象，求a的取值范围，体现了作图和用图的能力，属中档题．20．（13分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数，再用换元法，将函数转化为二次函数，即可求出函数的最值．解答：解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）=k1x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）由图知f（1）=，∴k1=又g（4）=，∴k2=从而f（x）=，g（x）=（x≥0）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），令，∴（0≤t≤）当t=，y max≈4，此时x=3.75∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．21．（13分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．解答：解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得（4分）所以，所求的区间为[﹣1，1]；（5分）（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（9分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根（11分）当k≤﹣2时，有，解得，（13分）当k＞﹣2时，有，无解，（15分）综上所述，．点评：考查函数的单调性及新定义型函数的理解，以及问题的等价转化能力．。
人教A版高中数学必修5：终结性评价笔试试题(1)【含答案解析】
数学必修5终结性评价笔试试题（一）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考生应在开始答题之前将自己的姓名、考生好和座位号填写在答题卷指定的位置上．2．应在答题卷上作答，答在试卷上的答案无效．3．选择题每小题选出答案后，应将对应题目的答案标号填涂在答题卷指定的位置上． 4．非选择题的答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．本次考试不允许使用函数计算器．6．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回．一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1、在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63 2、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（ ）A ．12699B ．13266C ．13833D ．14400 3、等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2—11x +9=0的两个根，则a 6=（ ）A ．3B ．611C ．± 3D ．以上皆非4、四个不相等的正数a ,b,c,d 成等差数列，则（ ）A ．bc d a >+2 B ．bc d a <+2 C ．bc da =+2D ．bc d a ≤+2 5、在ABC ∆中，已知︒=30A ，︒=45C ，2=a ，则ABC ∆的面积等于（ ） A ．2 B ．13+ C ．22 D ．)13(21+ 6、在ABC ∆中，a,b,c 分别是C B A ∠∠∠,,所对应的边，︒=∠90C ，则cba +的取值范围是（ ） A ．（1,2） B ．)2,1( C ．]2,1( D ．]2,1[7、不等式1213≥--xx 的解集是（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243|x x C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432|x x x 或D ．{}2|<x x 8、关于x 的方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正的实根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－19、在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥1||31x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23C ．223 D ．210、已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1C ．[－1，2]D ．[1，2]二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
人教A版高中数学必修五解三角形答案
望江中学高一数学单元知识与能力检测解三角形（A 卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分考试时间：120分钟 全卷满分：150分一 、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCADAACDCC二、填空题（每小题5分，共25分）11. 30或150 12. 9 13. 7 14. 403 15. 解法1三、解答题：（本大题共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）16. 解：由S △ABC ＝21bc sin A ，得123＝21×48×sin A ∴ sin A ＝23 ∴ A ＝60°或A ＝120°a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A＝(b -c )2＋2bc (1-cos A )＝4＋2×48×(1-cos A )当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝213当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝23717. 解: 设A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在B 处追上, 则有120cos 240)10(12)14(.120,10,14222x x x ACB x BC x AB -+=∴=∠==,.143528120sin 20sin ,20,28,2=====∴ αBC AB x所以所需时间2小时, .1435sin =α 18. 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++即 222a b c b c =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-。
【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册测试卷
本册检测考试时间120分钟，满分150分.一'单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21.已知集合A={L2）, B={2,〒},若则实数《的值为（D ）A.1或2 B・*C・1 D・22［解析I ••集合A={1,2}2・•・由集合元素的互异性及子集的概念可知〒二1 ,解彳导斤二2•故选D・2.下列关于命题"3xGR・使得F+x+l<0”的否泄说法正确的是（B ）A・VxGR,均有.F+x+lvO,假命题B・V A ER.均有Q+X+120,真命题C・3A均有F+x+l^O,假命题D・R,均有.¥2+x4-1 =0>真命题［解析I根据存在呈词命题的否走是全称星词命题，対筛在量词改为全称呈词，然后1 3 否走结论，故该命题的否走为“也WR ,均有W十x + 1 M0”，因为％2十x十1二Cv十护十訐0恒成立,所以原命题的否定是真命题•3・sink cosl, tanl的大小关系为（A ）A. tanl>sinl>cosl B・ sinl>tanl>coslC・ sinl>cosl>tanl D・ tanl>cosl>sinl兀胚<2 兀［解析］\*sinl>sin^= 2 / coslvcos^ 二吉-,tanl>tan^= 1 r.\tanl>sinl>cos 1.i ［丄_______4. lg2 —lg§—曲2 —切迄+寸(_2)2的值为(A )A. — 1B. yC・3 D・一 5［解析］原式= lg2 + lg5-2-2 + 2 = lglO-2=l -2= - 1.故选 A ・5•设角a=35TI2sin(n+a )cos(7r—a)—cos(兀+a)1 + sin2a+sin(n—a)—cos2(n -F的值为（B.一sinaA.c.、2sin(兀十a)cos(n - a) - cos(n + a) 所以 .=.1 + siira + sin(7r - a) - cos■(兀 + a)2sinacosa + cosa 2sinacosa + cosa cosa1 十sin2a + sina - cos% 2sin2a 十sina35兀7Tcos（ - —） COS- 二「二萌•故选D.sin（ - sin-6.若关于x的方程•心）一2=0在（一P 0）内有解，则）=九）的图象可以是（D ）【解析］因为关于x的方程沧）・2二0在（・8,0）内有解,所以函数y二心）与y二2的图象在（-8,0）内有交点，观察题中图象可知只有D中图象满足要求•7・泄义在R上的偶函数/U）在［0, +8）上单调递增，且肩）=0,贝IJ满足/（tog! x）＞0的X的取值范用是（B ）A. （0, +8）B・（0, |）U（2, +oo）c. （0, |）U（|, 2） D. （0, |）［解析］由题意知/U）=J（ - X）二他I）,所以./（llogi X I）＞A|）•因为.心）在［0 ,十8）上单调递8增r所以llogi则＞£ /又人＞0・解得0＜Y|或入＞2・8 3 28.具有性质卅：）=一心）的函数，我们称为满足“倒负”变换.给岀下列函数：D0<v <l ♦B.①③D.①［解析］①用）二X In -- 二In—; ./U)1-X1+x1不满足二-人尤），满足“倒负”变换.1 +x21 "~*X 1 """F①尸山币：<§）y=7^2：③y其中满足“倒负”变换的是（CA.①②C.②③变换.③当0<y 1 时，+> 1 ,心）=.¥，.用）=-x=-.心）；当Q1 时,0<+<1 ,.心）二-£ ,几弓二£ 二- f（X）；当X二1 时，+二1 , f（x） = 0，用）二夬1）二0 二 + 二-A'） r 满足“倒负”变换•综上，②③是符合要求的函数，故选C•二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.将函数y=sin（A-|）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平移竽个单位长度得g（x）的图象，则下列说法正确的是（ACD ）A.g（x）是奇函数B.x=j是g（x）图象的一条对称轴C.g（x）的图象关于点（3兀，0）对称D.2吶=1【解析I将函数y二sin（.r -予的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得y 二sin（f -为的图象,再向左平移弓个单位长度得曲）二_ n = s确的图象,所以A. B. C. D.A 正确；因为g （彳）H±1 ■所以B 错；因为g （3jr ） = sin n = 0 ,所以C 正确；又g （0）二0 ,所以 2?（0）= 1 ,所以D 正确•综上，ACD 正确.10. 已知0<a<b<\<c,则下列不等式不成立的是（BD ） A. a c<b （B."<出C ・ log fl c>log/x-D ・ sin a>sin b［解析］取 a = ^ , b = ^ , c = 2 ,则（扌）2<（*）2 , A 成立；2? >2 彳 朋不成立；log’2二log ］ 2 二・ 1 ■・\logi 2>logj 2 f C 成立；*/0<6/</xl<z . .\sin t/<sin h t D 不成立.故选 BD . 2 "4 211. 将函数y=sin （2r+0）的图象沿x 轴向左平移頁个单位后，得到一个偶函数的图象，则 卩的一个可能取值为（AB ）3 c 71A ・一卩B ・4C ・0D.—睿【解析|将函数y = sin （2r + °）的图象沿x 轴向左平移外单位,得到函数y = sin （2（x +殳）十卩］二sin （2v 十扌十卩），因为此时函数为偶函数，所以扌十卩二号十航，kWZ ，即+ kn , kE. Z,k = 0 时,(p = ^ , k= -1 时，0 二-竽.12.下列命题正确的是（CD ）VxG （2, +8）,都有 %2>2X=$'是函数“尸COS22" — Si22w 的最小正周期为7T”的充要条件命题 p ： 3x<）R> /（x （））=ax3+xo+d = 0 是假命题，则“丘（一°°,—㊁）U （y + °°）已知％ pg 则 *=矿是细皿=帥八的既不充分也不必要条件［解析］A 错，当 x 二 4 时,42= 24，故不等式不成立；B 错,y = cos 22<u- - sin 22t/.v = cos4t/x#当"二抽，y = cosZr ,当"二冷时, y = cos( - 2v) = cos2.v ,其最小正［解周期为兀,故说法不正确；C 正确，因为〃为假命题f 所以"为真命题,即不存在xoER , 使./Uo ）二0 ,故J= 1 - 4"2<0 ,且“H0 '解得或</< - | ； D 正确，如果两个角为直角,那么它们的正切值不存在,反过来，如果两个角的正切值相等，那么它们可能相差 WeZ ）, 故反之不成立・综上,CD 正确.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)2sin47°-V3sin 17° 丄门・ 2cos 17° =—2—•2sin( 17° + 30。
人教A版高中数学选修一高二年级第一次月考试卷.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作翠园中学高二年级第一次月考数学试卷本试卷共20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填涂在答题卷上． 2．选择题将答案代号用2B 铅笔填在答题卷的选择题答案栏中，不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，只将答题卷交回．一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1. 己知4,,1--x 成等比数列,则x 的值为A.2 ;B.25 C. 2或-2 D. 25或25- 2.在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，32BC =，则AC =A. 43B. 23C. 3D. 323．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A.10B.12C.15D. 30 5.在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506.在等比数列{}n a 中，如果,8,44231=+=+a a a a 那么该数列的前8项和为 A ．12 B ．24 C ．48 D ．204 7．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[- 8.已知数列{}n a 中,12,211-==+n n a a a , 则数列{}n a 的通项公式=n a A. 12-n B. n 2 C. 121--n D. 121+-n9．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是 A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 10.定义在-00+∞⋃∞（，）（，）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。
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（1）求 、 的值及数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
22、数列 中， 且满足 ， .
⑴求数列 的通项公式；
⑵设 ，求 ；
数学参考答案：
一、选择题：1--5 D B A B B6--10AB A A B 11--12 CC
二、填空题：
13.a＞b＞c．
10、等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为
A．81 B．120 C．168 D．192
11、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=1，S8=4，则a13+a14+a15+a16=
A．7B．16C．27D．64
12、等差数列{an}中， ， 为第n项，且 ，则 取最大值时，n的值
首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，
∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．
20、解：（1）由正项数列{an}满足： ﹣（2n﹣1）an﹣2n=0，
可有（an﹣2n）（an+1）=0
∴an=2n．
（2）∵an=2n，bn= ，
∴bn=
=
= ，
Tn=
A．9 B． C．9或10 D．10或11
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设a= ﹣ ，b= ﹣ ，c= ﹣ ，则a、b、c的大小顺序是．
14．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是
．
15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为（1），（3，5），（7，9，11），（13），（15，17），（19，21，23），（25），…，则第100个括号内的数为．
根据题意得到方程组
由①得a＝6.将a＝6代入②，得d＝±2.
当a＝6，d＝2时，所求三个数为4,6,8；
当a＝6，d＝－2时，所求三个数为8,6,4.
19、证2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．
=
= ．
数列{bn}的前n项和Tn为 ．
21、解：（1） 时， .而 为等比数列，得 ，
又 ，得 ，从而 .又 .
（2） ，
），得 ，
.
22、解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ，
由题意得 ， .
（2）若 ，
时，
故
A. B. C. D.
7、已知等差数列 的公差为2，若 ， ， 成等比数列，则 等于
A. B. C. D.
8、设 为等差数列 的前项和，若 ，则
A. 15 B.45 C. 192 D. 27
9、在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为
A．26B．13C．52D．156
甘肃省天水市秦安县第二中学2015—2016学年上学期第一次月考考试
高二数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A．a3＞b3B． ＜ C．a2＞b2D．0＜b﹣a＜1
2．在△ABC中，a=2，b= ，A= ，则B=（）
A． B、 C D．
14.（﹣ ，﹣ ）
15.397
16.（1）（3）（4）
三解答题（共70分）
17、（1）∵在等比数列 中, , , 也成等比数列,∵ ， ∴ .
（2）解析 设公差为d，则由a5＝11，a8＝5，得
解得
∴an＝19＋(n－1)(－2)，即an＝－2n＋21.
18、解析 设所求三个数为a－d，a，a＋d，
3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）
A．﹣ B C．﹣ D．
4．x＞1，y＞1且lgx+lgy=4，则lgxlgy最大值为（）
A．2B．4C．8D．16
5．（5设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）
A．12B．10C8D．2
6、在等比数列 中, 则
18、三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．
19、已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.
20、正项数列{an}满足 ﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．
16在三角形ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，则下列结论中正确的是（填上所有正确结论的序号）
（1）b2≥ac（2） （3）b2≤ （4）tan2 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17、（1）等比数列 中，已知 ， ，求 .
（2）已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a8＝5，求an.