第二章 第四节 指数与指数函数课时提升作业(七)
2019大一轮高考总复习文数课时作业提升7 指数与指数函数 含解析 精品
课时作业提升(七) 指数与指数函数A 组 夯实基础1．(2018·张家口模拟)下面式子中， ①4(3－π)4＝3－π；②无理数e 是自然对数的底数，可以得log π 1＋ln e ＝1； ③若a ＞b ，则a 2＞b 2； ④若a ＞b ，则⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b . 正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 对于①，∵3＜π，∴4(3－π)4＝|3－π|＝π－3，命题错误；对于②，∵无理数e 是自然对数的底数，∴log π 1＋ln e ＝0＋1＝1，命题正确；对于③，∵0＞a ＞b 时，a 2＜b 2，∴命题错误；对于④，y ＝⎝⎛⎭⎫13x是R 上的减函数，∴a ＞b 时，⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b ，命题正确．综上，以上正确的命题有②④两个．故选B.2．化简()a 12b －1－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1a解析：选D 原式＝a－13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a.3．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.4．(2018·柳州模拟)设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)＞f (－1)B ．f (－1)＞f (－2)C ．f (1)＞f (2)D ．f (－2)＞f (2)解析：选A 由a －2＝4，a ＞0，得a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |.又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|，即f (－2)＞f (－1)．5．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 方法一(排除法) 当a ＞1时，y ＝a x 是增函数，函数y ＝a x －a 的图象可以看作是把y ＝a x 的图象向下平移a 个单位，且过(1,0)，故A ，B 均不符合；当0<a ＜1时，y ＝a x 是减函数，把y ＝a x 的图象向下平移a 个单位，又0<a <1，观察图象可知D 不正确．方法二(特殊值法) 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以y ＝a x －a 的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C.6．(2018·山西联考)设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝⎛⎭⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >bD ．c >b >a解析：选A ∵a ＝21.6，b ＝21.38，c ＝21.2，函数y ＝2x 在R 上单调递增，且1.2<1.38<1.6，∴21.2<21.38<21.6，即c <b <a .7．(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A 由题知A (1,1)．把点A (1,1)代入四个选项，选项A ，y ＝1－x 的图象不经过点A .8．(2018·广西百色月考)614－(π－1)0－⎝⎛⎭⎫33813＋⎝⎛⎭⎫164－13＝____________.解析：原式＝52－1－⎝⎛⎭⎫27813＋(4－3)－23＝32－32＋42＝16.答案：169．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为____________.解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n10．(2018·赣州模拟)函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是____________.解析：∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3，∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)11．求不等式a2x－7＞a4x－1(a＞0，且a≠1)中x的取值范围．解：设y＝a x(a＞0且a≠1)，若0＜a＜1，则y＝a x为减函数，∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＜4x－1，解得x＞－3；若a＞1，则y＝a x为增函数，∴a2x－7＞a4x－1⇔2x－7＞4x－1，解得x＜－3.综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是(－3，＋∞)；当a＞1时，x的取值范围是(－∞，－3)．12．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．∴(1＋k)(2x＋2－x)＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k>0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．B组能力提升1．函数y＝2x－2－x是()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减解析：选A根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C，D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x －2－x是R上的增函数，故选A.2．(2018·绵阳月考)已知函数f(x)＝a x，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.3．(2018·兰州模拟)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}解析：选B f (x )＝1＋2x －11＋2x－12＝12－11＋2x .∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是⎝⎛⎭⎫－12，12.∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．4．(2018·济宁模拟)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝____________.解析：若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．答案：145．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是____________.解析：f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x－2|，y ＝b ，有两个交点(如图)，可知0<b <2. 答案：(0,2)6．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为R.又f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)．所以f(x)min＝f(－1)＝aa2－1(a－1－a)＝aa2－1·1－a2a＝－1.所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，只需b≤－1. 故b的取值范围是(－∞，－1]．。
高中数学课时提升作业(十七)2.1.2 指数函数及其 第2课时 习题课——指数函数及其性质的应用1
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课时提升作业(十七)指数函数及其性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列判断正确的是( )A.1.72.5>1.73B.0.82<0.83C.π2<D.0.90.3>0.90.5【解析】选D.令f(x)=0.9x,则f(x)是减函数,又因为0.5>0.3,所以0.90.3>0.90.5.2.(2013·大连高一检测)设<<1,则( )A.a<b<1B.1<a<bC.a>b>0D.a<b<0【解析】选C.因为<<,所以a>b>0.【举一反三】若条件“<<1”换为>>1,则结论又如何呢? 【解析】因为>>,所以a<b<0.3.若32x>3x-2,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)【解析】选C.因为32x>3x-2,所以2x>x-2,即x>-2.4.(2014·宿州高一检测)若指数函数f(x)=a x的图象过点(2,4),则满足a2x+1<a3-2x 的x的取值范围是( )A.x<B.x>C.x>2D.x<2【解题指南】解答本题可先求出指数函数的底数a的值,然后根据指数函数的单调性求x的取值范围.【解析】选A.因为f(2)=4,所以a2=4,所以a=2(或a=-2舍),所以22x+1<23-2x,所以2x+1<3-2x,所以x<.5.若-1<x<0,那么下列各不等式成立的是( )A.2-x<2x<0.2xB.2x<0.2x<2-xC.0.2x<2-x<2xD.2x<2-x<0.2x【解析】选D.因为-1<x<0,所以由指数函数的图象和性质可得:2x<1,2-x>1,0.2x>1.又因为0.5x<0.2x,所以2x<2-x<0.2x.故选D.6.(2013·新课标全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)【解题指南】将2x(x-a)<1,转化为x-a<=2-x,然后分别画出f(x)=x-a,g(x)=2-x的图象,数形结合分析求解.【解析】选D.因为2x>0,所以由2x(x-a)<1得x-a<=2-x,在坐标系中,作出函数f(x)=x-a,g(x)=2-x的图象,当x>0时,g(x)=2-x<1,所以如果存在x>0,使2x(x-a)<1,则有-a<1,即a>-1,所以选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高一检测)已知>1,则x的取值范围为.【解析】因为>1⇔>⇔x<0.答案:x<08.比较大小:(1)2-1_______.(2)______.【解析】(1)因为2>1,所以y=2x在R上是增函数.又因为-1<-,所以2-1<.(2)因为y=在R上是减函数,所以>.答案:(1)< (2)<9.(2014·成都高一检测)已知a=,函数f(x)=a x,若实数m,n满足f(m)<f(n),则m,n的大小关系是.【解析】因为0<a=<1,所以f(x)=a x在R上是减函数.又因为f(m)<f(n),所以m>n.答案:m>n【举一反三】本题中条件a=,若换为a=,其他条件不变,则结论又如何呢?【解析】因为a=,所以a>1.所以f(x)=a x在R上是增函数.又f(m)<f(n),所以m<n.三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知22x≤24-2x,求函数y=2x的值域.【解析】因为22x≤24-2x,所以2x≤4-2x,解得x≤1,所以0<2x≤21=2,所以函数y=2x 的值域是(0,2].11.为了预防感冒,某中学计划对教室用熏蒸的办法消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕,y与t的函数关系式为y=(a为常数),如图所示.(1)写出从药物开始释放到完毕,y与t的函数关系式.(2)据测定,当空气中每立方米的药量降低至0.25毫克以下时学生方可进教室.从药物开始释放,至少需要经过几个小时学生才能回教室?【解析】(1)当0≤t≤0.1时,设y=kt(k≠0),由t=0.1时,y=1,得y=10t;当t≥0.1时,由=1,得a=0.1,所以y=(2)由题意知≤0.25,所以2-4(t-0.1)≤2-2,所以t≥0.6.故至少经过0.6小时学生才能回教室.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知>,则a,b的大小关系是( )A.1>a>b>0B.a<bC.a>bD.1>b>a>0【解析】选B.因为y=是减函数,所以a<b.2.已知c<0,下列不等式中成立的一个是( )A.c>2cB.c>C.2c<D.2c>【解析】选C.根据指数函数的性质,2c>0,>0,而c<0,故A,B均不正确.对于C,D,由于指数相同,而底数不同,故构造指数函数f(x)=2x,在R上f(x)=2x是增函数.因为c<0,所以-c>c,f(-c)>f(c),即=2-c>2c.3.(2014·兰州高一检测)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗的次数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的;经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的,也就是原来的;经过第三次漂洗,存留量为原来的,…,经过第x次漂洗,存留量为原来的,故解析式为y=.由题意,≤,4x≥100,2x≥10,所以x≥4,即至少要漂洗4次.4.(2014·枣庄高一检测)定义运算a*b=例如1*2=1,若函数f(x)=1*2x,则f(-1)与f(1)的大小关系为( )A.f(-1)>f(1)B.f(-1)=f(1)C.f(-1)<f(1)D.无法确定【解题指南】利用y=2x的单调性,数形结合,得出f(x)=1*2x在不同范围内的解析式,再比较大小.【解析】选C.如图,由函数y=2x的图象可知,f(x)=1*2x=故f(-1)=2-1=,f(1)=1,所以f(-1)<f(1).【举一反三】若本题条件不变,将“函数f(x)=1*2x”改为“f(x)=1*”,那么f(-1),f(1)的大小又如何呢?【解析】由函数y=的图象可知,f(x)=1*=故f(-1)=1,f(1)==,所以f(-1)>f(1).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·淮阴高一检测)已知函数f(x)=为奇函数,则n的值为.【解析】因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,即=0,解得n=2.答案:26.若a x-2≤且a>1,则x的取值范围是.【解析】a x-2≤等价于a x-2≤a3,化简得x-2≤3,解得x≤5.答案:x≤5三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·广州高一检测)已知f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y轴对称,且f(2x-1)>f(3x),求x的取值范围.【解析】因为f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y轴对称,所以f(x)=,因为f(2x-1)>f(3x),所以>,所以2x-1<3x,所以x>-1.8.(2014·海口高一检测)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调增区间.(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-2,+∞)上递减,y=在R上是减函数,所以f(x)在(-2,+∞)上是增函数,即f(x)的单调增区间是(-2,+∞).(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1;因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.关闭Word文档返回原板块。
高中数学《指数函数》针对练习及答案
第二章函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．(1)a222．计算或化简下列各式：（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0. 3．计算：(1)1111242 114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a ba b a b->>⎛⎫⎪⎝⎭4．计算：(1)10132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯5．(1)()2163278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x8．下列函数中为指数函数的是（ ） A ．23x y =⋅ B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠110．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A．1 B ．2C D ．3针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，5413．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,120．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,222．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0 C ．5 D ．923．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,225．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4037．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-第二章 函数2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习针对练习一 指数与指数幂的运算1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)．(1)a2 2．【答案】(1)52a ； (2)136a ； (3)7362a b ； (4)76a . 【解析】 【分析】由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可. (1)原式＝11522222a a a a +⋅==. (2)原式＝22313333262a a a a +⋅==． (3)原式＝1221711333233332622222()()a ab a a b a b a b +⋅===.(4)原式＝55722666a a a a --⋅==． 2．计算或化简下列各式： （1）(a －2)·(－4a －1)÷(12a －4)(a >0)；（2）213-233+0.0028-⎛⎫- ⎪⎝⎭－2)－1＋0.【答案】（1）－13a ；（2）－1679.【解析】 【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】(1)原式21434114(12)33a a a a ----+=-÷=-=-(2)原式213227118500--⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213323()5002)12-⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦＝49＋20＋1＝－ 1679. 3．计算：(1)1111242114310.7562)164300---⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)-16 (2)(0,0)a a b b>> 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可； （2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果. (1)原式=111222411010233-⎫⎫⎛⎫⨯⨯++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(12410223⎫=⨯-⨯+⎝⎭220216=-+=-(2)原式543311233(0,0)a baa b bab a b-==>> 4．计算：(1)1132114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)2932)-⨯【答案】(1)196(2)【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解. (1)原式1111924()1218236=-⨯-+=++-=. (2)原式24119555636333222221[(8)](10)10(2)1010102---=⨯÷=⨯÷=⨯721102=⨯=== 5．(1)()21603278()[2]8---；(2)()())1213321()0040.1a b a b ---＞，＞.【答案】(1)8π+；(2)85. 【解析】 【分析】(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算； 【详解】(1)原式233(2)=-1＋|3﹣π|162(2)+=4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.(2)原式3332223322248510a b a b--⋅==.针对练习二 指数函数的概念6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4xy =-；①()121,12xy a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭中，y 是关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【详解】根据指数函数的定义，知①①中的函数是指数函数， ①中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ①中4x 的系数是1-，所以不是指数函数； ①中底数40-<，所以不是指数函数． 故选：B ．7．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝()2x πB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数定义判断． 【详解】B 中底数90-<，C 中指数是1x -，不是x ，D 中5x 前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A 中函数是指数函数， 故选：A.8．下列函数中为指数函数的是（ ）A ．23x y =⋅B ．3x y =-C ．3x y -=D ．1x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，可得函数23x y =⋅不是指数函数；函数3x y =-不是指数函数；函数3x y -=是指数函数；函数1x y =不是指数函数. 故选：C.9．函数()244xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a ＞0且a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确选项. 【详解】由已知得244101a a a a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，即2301a a a a ⎧+=⎪⎨⎪≠⎩，解得3a =．故选：C10．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3，则(1)f -=（ ） A ．1 B ．2 CD ．3【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数所过的点求解析式，进而求(1)f -的值. 【详解】由题意，21(2)3f a ==，又a >0，则a =①()x f x =，故1(1)f --== 故选：C针对练习三 指数函数的图像11．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式可得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，且函数为减函数，故D 选项符合题意. 故选：D.12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．5413，12 B 54，12，13C ．12，1354D ．13，12，54【答案】C 【解析】 【分析】由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，511423>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是12，1354， 故选：C.13．若0a >且1a ≠，则函数()11x f x a -=+的图象一定过点（ ）A ．()0,2B ．()0,1-C ．()1,2D ．()1,1-【答案】C 【解析】 【分析】令10x -=求出定点的横坐标，即得解. 【详解】解：令10,1-=∴=x x .当1x =时，()1111=2f a -=+，所以函数()f x 的图象过点()1,2. 故选：C.14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．()1,1a +【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数过定点的性质进行求解. 【详解】()x f x a =的图象恒过定点()0,1，所以()1x f x a =+的图象恒过定点()0,2故选：B15．对任意实数01a <<，函数()11x f x a -=+的图象必过定点（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()0,1D ．()1,1【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当10x -=，即1x =时，()12f =， 所以()f x 过定点()1,2. 故选：B针对练习四 指数函数的定义域16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数y 则390x -≥，39x ≥，233x ≥，解得2x ≥.故函数y [2,)+∞. 故选：D.17．函数()22f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞【答案】D 【解析】求出使函数式有意义的自变量的范围即得、 【详解】由21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩得02x x ≥⎧⎨≠⎩，即[0,2)(2,)x ∈⋃+∞.故选：D.18．设函数f （x ），则函数f （x 4）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]0,4D ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】求得4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0，结合指数函数的性质求解即可． 【详解】因为()f x =所以4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因为44440,44,1,44x x x x -≥≤≤≤，所以4xf ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为(],4-∞，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．()(),00,1-∞⋃C ．()0,∞+D ．[)0,1【答案】B 【解析】 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】()y f x =的定义域为()0,1，1021x-∴<<，即121121x x ⎧-<-<⎨≠⎩，10x x <⎧∴⎨≠⎩，解得：1x <且0x ≠， ()()21x F x f ∴=-的定义域为()(),00,1-∞⋃.故选：B .20．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得10x a -≥，对a 讨论，分1,01a a ><<,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到a 的范围. 【详解】要使函数0y a >且1)a ≠有意义, 则10x a -≥, 即01x a a ≥=, 当1a >时，0x ≥；当01a <<时，0x ≤，因为y =的定义域为(],0-∞ 所以可得01a <<符合题意，a ∴的取值范围为01a <<，故选C.【点睛】本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.针对练习五 指数函数的值域21．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,2【答案】D 【解析】 【分析】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转求二次函数与指数函数的值域即可.【详解】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①()222111t x x x =-=--≥-，①(],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，①函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故选：D22．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0C ．5D ．9【答案】A 【解析】 【分析】设23x t =，则2()21=-+f t t t 利用函数()f t 单调性可得答案. 【详解】设23x t =，则()22()211=-+=-f t t t t （3t ）， 对称轴为1t =，所以()f t 在[)3,+∞上单调递增，所以2min ()(3)32314f t f ==-⨯+=.故选：A.23．函数2121x x y -=+的值域是（ ）A ．()(),11,-∞--+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()(),11,-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为121xyy+=-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】设2121x x y -=+，由原式得121xy y +=-，20x >, 101yy+∴>-， ①11y -<<，即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C24．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出12x y -=在[)1,+∞上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．【详解】因为12x y -=在[)1,+∞上单调递增， 所以当1≥x 时，1022=1x y -=≥， 若函数()f x 的值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩， 解得102a ≤<． 故选：A.25．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数=a （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．23或32【答案】C 【解析】当0a >且1a ≠时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当1a >时，函数2x y a =-是增函数；当01a <<时，函数2x y a =-是减函数，由此结合条件建立关于a的方程组，解之即可求得答案． 【详解】当1a >时，2xy a =-在[]1,1-上为增函数， 211523a a-=⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得3a =；当01a <<时，2xy a =-在[]1,1-上为减函数，523121a a⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得13a =．综上可知：3a =或13． 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.针对练习六 指数函数的单调性26．函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性“同增异减”来解题. 【详解】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞. 故选：A.27．函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可. 【详解】解：因为函数2231y x x =-+在区间3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：D28．若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥-【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性来求得a 的取值范围. 【详解】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-. 故选：C29．若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，以及函数()f x 在R 上单调递减，结合指数函数的性质，可知011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，求解不等式，即可得到结果. 【详解】①函数()f x 在R 上单调递减，①011305133a a a a⎧⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1233a <≤，实数a 的取值范围是12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：A.30．已知函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．()01，B ．()13，C ．423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】 函数()()4211xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，，若()f x 在R 上为单调递增函数，则()14201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩，解得423a ≤<；若()f x 在R 上为单调递减函数，则()142001421a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯≥⎩，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 故选：C针对练习七 比较大小与解不等式31．已知412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124b =，122c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系. 【详解】由题设，42a -=，2b =，122c =，又2x y =在定义域上递增， ①a c b <<. 故选：C.32．已知1313422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】4x y =在R 上递增，14y x =在()0,∞+上递增.123111334442422893c a b ==<==<==.故选：B33．若2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以2141122a a+-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于214a a +<-，解得1a <，即原不等式的解集为(,1)-∞ 故选：A34．若x 满足不等式221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域. 【详解】 由221139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭可得2212(2)1339x x x -+--⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3x y =在R 上单调递增， 所以2124x x +-+即x 2+2x -3≤0， 解得：31x -≤≤ ， 所以31222x y -=，即函数2x y =的值域是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选:B .35．若1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列正确的是（ ）A ．33a b <B ．ac bc >C ．11a b<D ．b c a c -<-【答案】D 【解析】 【分析】先根据题干条件和函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性得到a b >，A 选项可以利用函数的单调性进行判断，BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断. 【详解】因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b >，对于选项A ：若a b >，因为()3f x x =单调递增，所以33a b >，故A 错误；对于选项B ：当a b >时，若0c ，则ac bc =，故B 错误；对于选项C ：由a b >，不妨令1a =，2b =-，则此时11ab>，故C 错误； 对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.针对练习八 指数函数的应用36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)1()1t f t e--=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40【答案】A 【解析】 【分析】根据()0.1f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】解：因为()0.1f t =，0.22(340)1()1t f t e--=+，所以0.22(340)10.11t e--=+，即0.22(340)011t e --=+，所以0.22(340)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈， 所以0.22(23).240t e e --≈，所以()0.22340 2.2t --≈，解得10t ≈. 故选：A.37．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果 【详解】因为0 3.22R =，10T =，01R rT =+，所以可以得到01 3.2210.22210R r T --===0.2220(0)1I e ⨯==，由题意可知0.2224t e >，ln 42ln 220.696.20.2220.2220.222t ⨯>=≈≈ 所以至少需要7天，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍 故选：B38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【详解】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===， 所以51e 3k =，所以151e 27k =，所以15151ee e 10804027k bk b +=⋅=⨯=. 故选：C ．39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，进而解出11e ,e b k ，然后将22代入即可求得答案. 【详解】由题意，331133e 1922411e e 19282e24b k k k b+⎧=⇒==⇒=⎨=⎩，所以该食品在22C ︒的保鲜时间是2222e e e 1192484k b k b +=⋅=⨯=.故选：D.40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e ktθθθθ-=-+，其中为时间（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 220B ．ln 320C ．ln 210-D ．ln 310-【答案】A 【解析】 【分析】把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+可求得实数k 的值.【详解】由题意，把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e ktθθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201e2k-=， 所以，20ln 2k -=-，因此，ln 220k =. 故选：A.。
高考一轮复习课时作业(人教版)：2-4指数与指数函数word版含答案
2-4指数与指数函数A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析 (数形结合法)如图所示．由1<x <2，可知1<x 3<8； －1＜x －2＜0,1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<2.答案 B4．(2011·四川)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )．解析 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A.答案 A5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20D ．100解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2，解得m ＝10. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法)由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，127．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －18．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点； 若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞) 三、解答题(共23分)9．(11分)设函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围． 解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥2 2 等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1<x <1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ， ①式化为2x ≥32，即34≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．(12分)已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718 28…) (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．解 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2 ＝(e 2x －2＋e －2x )－(e 2x ＋2＋e －2x )＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y ) ＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y＝[e x ＋y ＋e －(x ＋y )]－[e x －y ＋e －(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y ) ∴g (x ＋y )－g (x －y )＝4①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8， ② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2， ∴g (x ＋y )g (x －y )＝3. B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州模拟)定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，如1]( )．A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x*2－x＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，2－x (x ＞0)，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＜f (x )≤1. 答案 C2．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )．A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1} 解析 由f (x )＝2x 1＋2x －12＝1－11＋2x －12＝12－11＋2x，由于(2x＋1)在R上单调递增，所以－11＋2x在R上单调递增，所以f(x)为增函数，由于2x＞0，当x→－∞，2x→0，∴f(x)＞－12，当x→＋∞，11＋2x→0，∴f(x)＜12，∴－12＜f(x)＜12，∴y＝[f(x)]＝{0，－1}．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·安庆模拟)若f(x)＝a－x与g(x)＝a x－a(a＞0且a≠1)的图象关于直线x＝1对称，则a＝________.解析g(x)上的点P(a,1)关于直线x＝1的对称点P′(2－a,1)应在f(x)＝a－x上，∴1＝a a－2.∴a－2＝0，即a＝2.答案 24．(★)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.答案－1≤b≤1【点评】本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围.三、解答题(共22分)5．(10分)已知f(x)＝10x－10－x 10x＋10－x.(1)判断函数奇偶性；(2)证明：f(x)是定义域内的增函数．(1)解∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)证明 法一 f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1.令x 2＞x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0. 又∵102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0， 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)．所以f (x )是增函数． 法二 考虑复合函数的增减性． 由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1. ∵y 1＝10x 为增函数， ∴y 2＝102x ＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x ＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．6．(12分)若函数y ＝a ·2x －1－a2x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．解 ∵函数y ＝a ·2x －1－a 2x －1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即 a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x 1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0.∴函数y＝－12－12x－1的定义域为{x|x≠0}．(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x－1＞12或－12－12x－1＜－12.即函数的值域为{y|y＞12或y＜－12}．。
课时提升作业(十七) 2.1.2.2
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课时提升作业(十七)习题课——指数函数及其性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·佳木斯高一检测)函数f(x)=a x+(a>0且a≠1)是( )A.奇函数也是偶函数B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数D.奇函数【解析】选B.因为f(-x)=a-x+=a x+=f(x),故该函数为偶函数.2.已知函数f(x)=,则函数在(0,+∞)上( )A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值【解析】选A.由于3x>0,则3x+2>2,0<<,故函数f(x)=在(0,+∞)上既无最大值也无最小值,而y=3x单调递增,故f(x)=在(0,+∞)上单调递减.3.(2015·烟台高一检测)函数y=a x-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )【解析】选C.若a>1,则y=a x-a应为增函数,且与y轴的交点为(0,1-a),因为a>1,所以1-a<0,即与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确,当y=0时,x=1,即与x轴的交点为(1,0),故选项B不正确.当0<a<1时,函数为减函数,且与y轴的交点为(0,1-a)且0<1-a<1,故选项C正确.4.已知f=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( )A.a>0B.a>1C.a<1D.0<a<1【解析】选D.因为f=a -x=,f(-2)>f(-3),所以>1,解得0<a<1.5.已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2,且g(b)=a,则f(2)的值为( )A.a2B.2C.D.【解题指南】由奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2,知f(x)+g(x)=a x-a-x+2,g(x)-f(x)=a-x-a x+2,故g(x)=2,f(x)=2x-2-x,由此能够求出f(2).【解析】选D.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(x)=g(-x),因为f(x)+g(x)=a x-a-x+2,①所以f(-x)+g(-x)=a-x-a x+2,所以g(x)-f(x)=a-x-a x+2,②①+②,得2g(x)=4,所以g(x)=2.因为g(b)=a,所以a=2.所以f(x)=2x-2-x+2-g(x)=2x-2-x.所以f(2)=22-2-2=4-=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一片树林中现有木材30000m3,如果每年增长5%,经过x年树林中有木材ym3,那么x,y间的函数关系式为.【解析】经过1年树林中有木材30000(1+5%)m3,经过2年树林中有木材30000(1+5%)2m3,经过x年树林中有木材30000(1+5%)x m3.故x,y间的函数关系式为y=30000(x∈N*).答案:y=30000(x≥0)【补偿训练】一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批设备的价值为.【解析】经过1年后设备的价值为a(1-b%)万元;经过2年后设备的价值为a(1-b%)2万元;经过3年后设备的价值为a(1-b%)3万元;故经过n年后设备的价值为a(1-b%)n万元.答案:a(1-b%)n(n∈N*)7.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是.【解析】因为函数y=0.8x是R上的单调减函数,所以a>b.又因为a=0.80.7<0.80=1,c=1.20.8>1.20=1,所以c>a.故c>a>b.答案:c>a>b【补偿训练】,34,的大小关系为( )A. 34>>B.>34>C.34>>D.>>34【解析】选A.因为=,=32,而34>32>,故34>>.8.已知f(x)=x2,g(x)=-m.若对任意x1∈[-1,3],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,则实数m的取值范围是.【解题指南】由对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),可知f(x)min≥g(x)min,结合二次函数及指数函数的性质可求.【解析】因为对任意x1∈[-1,3],f(x)min=0,因为x2∈[0,2],g(x)=-m∈,因为对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),所以f(x)min≥g(x)min,所以0≥-m,所以m≥.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.比较下列各组值的大小:(1)1.8-0.1,1.8-0.2.(2)1.90.3,0.73.1.(3)a1.3,a2.5(a>0,且a≠1).【解析】(1)由于 1.8>1,所以指数函数y=1.8x在R上为增函数.所以1.8-0.1>1.8-0.2.(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1,所以1.90.3>0.73.1.(3)当a>1时,函数y=a x是增函数,此时a1.3<a2.5;当0<a<1时,函数y=a x是减函数,此时a1.3>a2.5,故当0<a<1时,a1.3>a2.5;当a>1时,a1.3<a2.5.10.(2015·福州高一检测)若a x+1>(a>0,且a≠1),求x的取值范围. 【解题指南】由于a>0,且a≠1,可对a分为0<a<1和a>1两种情况讨论求解. 【解析】因为a x+1>,所以a x+1>a3x-5,当a>1时,可得x+1>3x-5,所以x<3.当0<a<1时,可得x+1<3x-5,所以x>3.综上,当a>1时,x<3;当0<a<1时,x>3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·杭州高一检测)若-1<x<0,则下列不等式中成立的是( )A.5-x<5x<B.5x<<5-xC.5x<5-x<D.<5-x<5x【解析】选B.因为-1<x<0,所以5x<1,>1,故5x<,又因为5-x=,-1<x<0,所以<,即<5-x,所以5x<<5-x.【补偿训练】已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( ) A.c<a<b B.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a【解析】选D.对于指数函数y=a x,若x<0,则当0<a<1时,有a x>1;当a>1时,有0<a x<1.所以0<<1,>1,>1.又因为函数y=在R上是减函数,且-<-,所以>.综上知>>,即c<b<a.2.(2015·黄石高一检测)f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[2,+∞)D.(-∞,2]【解析】选B.由于f(x)=在R上是增函数,所以当x=0时,0+a≤1,所以a≤1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南昌高一检测)已知函数f=a x在x∈[-2,2]上恒有f<2,则a的取值范围为.【解题指南】对a分为a>1和0<a<1两种情况讨论求解.【解析】当a>1时,函数f=a x在[-2,2]上单调递增,此时f≤f=a2,由题意可知a2<2,所以1<a<.当0<a<1时,函数f=a x在[-2,2]上单调递减,此时f≤f(-2)=a-2,由题意可知a -2<2,所以<a<1.综上所述,所求a的取值范围是∪(1,).答案:∪(1,)4.(2015·厦门高一检测)对于函数f的定义域中的任意的x1,x2(x1≠x2),有如下的结论:①f(x1+x2)=f·f;②f=f+f;③>0;④<0.当f=10x时,上述结论中正确的是(填序号).【解题指南】利用指数幂的有关运算以及指数函数的单调性进行判断.【解析】因为f=10x ,且x1≠x2,所以f(x1+x2)=1=1·1=f·f,所以①正确;因为f=1≠1+1=f+f,所以②不正确;因为f=10x是增函数,所以f-f与x 1-x2同号,所以>0,所以③正确,④不正确.答案:①③三、解答题(每小题10分,共20分)5.求函数y=的定义域、值域和单调区间.【解析】定义域为R.令t=x2-3x+2=-,t∈,所以值域为.因为y=在R上是单调减函数,所以y=在上为单调增函数,在上是单调减函数. 【拓展延伸】指数型复合函数的单调性的求解步骤(1)求定义域:依据题意明确研究范围.(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.(3)定性质:分层逐一求单调性.(4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.6.(2015·长沙高一检测)已知函数f(x)=1+.(1)求函数f(x)的定义域.(2)证明函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.【解析】(1)由f(x)=1+可得,2x-1≠0,所以x≠0.所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(2)设x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2.f(x1)-f(x2)=-=因为x1,x2∈(-∞,0)且x1<x2,所以>且<1,<1.所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数.关闭Word文档返回原板块。
课时作业(八) 指数与指数函数 (3)
课时作业(八) 指数与指数函数基础过关组一、单项选择题1．化简4a 23b－ 13÷(－23a － 13 b 23)的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8a bC ．－6a b D ．－6ab解析 原式＝4÷(－23)a 23－(－ 13)·b － 13－ 23＝－6ab －1＝－6a b。
故选C 。
答案 C2．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |<2 B ．|a |<1 C ．|a |>2D ．|a |<2解析 由已知得a 2－1>1，则a 2>2，即|a |>2。
故选C 。
答案 C3．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝(12)x －1D ．y ＝3|x |解析 A 项中y <0，C 项中y ≥0，D 项中y ≥1，只有B 项正确。
故选B 。
答案 B4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称解析 g (x )＝(12)x －1，分别画出f (x )，g (x )的图象(图略)，知f (x )与g (x )的图象关于y 轴对称。
故选A 。
答案 A5．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )解析 |f (x )|＝|2x －2|＝Error!易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，(－1，32)。
又|f (x )|≥0。
故选B 。
答案 B6．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1) C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析 因为函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)。
高考数学一轮复习 指数与指数函数课时作业7 文 北师大版
2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业7指数与指数函数一、选择题1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－2；－342＝4－4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解析：36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0， 6－2＝622＝32>0，∴3－2≠6－2；－342<0，－4×2>0，∴－342≠4－4×2.答案：A2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：如图所示． 由1<x <2，可知1<x 3<8； －1<x －2<0,1<(12)x －2<2.答案：B3．已知函数 f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在区间[－2,2]上的值域不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )A ．(－∞，－12)∪(0，12]B ．[－12，0)∪(0，12]C ．[－12，12]D ．[－12，0)∪[12，＋∞)解析：本题考查指数函数的性质，(ⅰ)当a >1时，a 2≤2⇒1<a ≤2；(ⅱ)当0<a <1时，a－2≤2⇒22≤a <1.则g (a )＝log 2a 的值域为：g (a )∈[－12，0)∪(0，12]，故选B. 答案：B4．函数y ＝0.3|x |(x ∈R )的值域是( ) A ．R ＋B ．{y |y ≤1}C ．{y |y ≥1}D ．{y |0<y ≤1}解析：y ＝0.3|x |∈(0,1]，故选D. 答案：D5．已知函数y ＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( ) A ．[2,4] B ．(－∞，0] C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]解析：y ＝(2x )2－3×2x＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －322＋34∈[1,7]，∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －322∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，254.∴2x－32∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52.∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]． 答案：D6．（2011年湖南高考文8）已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ）A ．[2B ．(2C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <+答案：B二、填空题7．(2010年广东省粤西北九校模拟)若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1.答案：(－2，－1)∪(1，2) 8．设函数 f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是________．解析：由f (2)＝a －2＝4，解得a ＝12，∴ f (x )＝2|x |，∴f (－2)＝4>2＝f (1)． 答案：f (－2)>f (1)9．下列结论中正确的是________．(填序号)答案：④ 三、解答题 10．∴x 2－(m ＋1)x ＋m ＋4>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋4)<0. ∴m 2－2m －15<0.∴－3<m <5.11．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求 f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值． 解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3(2x－16)2＋2512.∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x<2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时， f (x )最大，最大值为2512， f (x )没有最小值．12．(2011年江苏省江阴高级中学高三第一学期开学学情调研考试)已知函数 f (x )＝2|x－m |和函数g (x )＝x |x －m |＋2m －8.(1)若m ＝2，求函数g (x )的单调区间；(2)若方程 f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有惟一解，求实数m 的取值范围； (3)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[4，＋∞)，使得 f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m的取值范围．解：函数g (x )的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调减区间为(1,2)．(2)由 f (x )＝2|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有惟一解，得|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)恒有惟一解．当x －m ＝－m 时，得x ＝0∈[－4，＋∞)；当x －m ＝m 时，得x ＝2m ，则2m ＝0或2m <－4，即m <－2或m ＝0.综上，m 的取值范围是m <－2或m ＝0.则 f (x )的值域应是g (x )的值域的子集．①当4≤m ≤8时， f (x )在(－∞，4]上单调递减，故 f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m ]上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得4≤m ≤5或m ≥6.②当m >8时， f (x )在(－∞，4]上单调递减，故 f (x )≥f (4)＝2m －4，g (x )在[4，m2]单调递增，[m2，m ]上单调递减，[m ，＋∞)上单调递增，g (4)＝6m －24>g (m )＝2m －8，故g (x )≥g (m )＝2m －8，所以2m －4≥2m －8，解得4≤m ≤5或m ≥6.③0<m <4时， f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故 f (x )≥f (m )＝1.g (x )在[4，＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即72≤m <4.④m ≤0时， f (x )在(－∞，m ]上单调递减，[m,4]上单调递增，故 f (x )≥ f (m )＝1.g (x )在[4＋∞)上单调递增，故g (x )≥g (4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即m ≥72(舍去)．综上，m 的取值范围是[72，5]∪[6，＋∞)．(4)＝8－2m ，所以8－2m ≤1，即m ≥72(舍去)．综上，m 的取值范围是[72，5]∪[6，＋∞)．。
高中数学必修一第二章 基本初等函数 2-1 指数函数课时提升作业及解析
a>0 且 a≠1.
(1)求 a 的值.
(2)求函数 y=f (x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象经过点
,所以 a2-1= ,则 a= .
,其中
(2)由(1)知函数为 f(x)=
(x≥0),由 x≥0,得 x-1≥-1.于是 0<
≤
=2,所以函数的值域为(0,2].
(20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·南昌高一检测)函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 均为常数,则 下列结论正确的是 ( )
【解题指南】从直线位置得出 b 与 1 的大小及 a 的正负,从而判断 y=bax 的增减性. 【解析】选 A.选项 A 中,由直线位置可知 a>0,0<b<1,所以 y=bax 为减函数,故 A 正确.选项 B 中 a>0,b>1,所以 y=bax 为增函数,故 B 项不正确.选项 C 中,a<0,b>1,
2.(2015·昆明高一检测)化简[
的结果为 ( )
A.5
B.
C.-
D.-5
【解析】选 B.[
=(
= == .
【补偿训练】计算[(- )2 的结果是 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选 C.[(- )2 =(
=( )-1= = ,故选 C.
3.
+(-1)-1÷0.75-2+
=( )
A.
B.
C.-
D.-
所以
= =.
的值.
课时提升作业(2)
指数幂及运算
(15 分钟 30 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)
2023年一轮复习《指数函数》提升训练(含解析)
2023年一轮复习《指数函数》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.2.（5分）已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a+ b=( )A. −12B. −32C. −52D. −12或−523.（5分）已知A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−2,0]4.（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|⩽1,x∈R}，集合B={x|2x⩾1,x∈R}，则集合A∪B=()A. (−∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞)5.（5分）函数y=ln(5−x)+√2x−8的定义域是()A. [2,3)B. [3,5)C. (−∞,3)D. (2,3)6.（5分）设集合A={ x|e x>1}，B={ x||x|>2}，则A∩B=()A. (−2,0)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (1,+∞)7.（5分）已知实数a，b，c满足不等式0<a<b<c<1，且M=2a，N=5−b，P=(17)c，则M、N、P的大小关系为()A. M>N>PB. P<M<NC. N>P>MD. P>N>M8.（5分）若2x+5y⩽2−y+5−x，则有()A. x+y⩾0B. x+y⩽0C. x−y⩽0D. x−y⩾09.（5分）设集合A ={ x |2x ⩾4)，集合B ={ x |−1⩽x ⩽5)，则A ∩B =( )A. { x |−1⩽x ⩽2}B. { x |2⩽x ⩽5}C. { x |x ⩾−1}D. { x |x ⩾2}10.（5分）函数y =3|log 3x|的图象是( )A. B. C. D.11.（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)=f(−x)，当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，则f(x)在区间(1,32)内是( )A. 减函数且f(x)>0B. 减函数且f(x)<0C. 增函数且f(x)>0D. 增函数且f(x)<012.（5分）已知a =log 23+log 2√3，b =log 29−log 2√3，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a =b <cB. a =b >cC. a <b <cD. a >b >c二 、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知实数x ，y 均大于零，且x +2y =4，则log 2x +log 2y 的最大值为______． 14.（5分）已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x)+2，则f(≶3)+f(≶13)= ______ ．15.（5分）已知存在实数x ，y ∈(0,1)，使得不等式1x +11−x <2y 2−y+t 成立，则实数t的取值范围为__________.16.（5分）设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，若f(12)=0，若f(log 14x)>0，那么x 的取值范围是 ______ .三 、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知函数f(x)=3x ，且f(a +2)=18，g(x)=3ax −4x 的定义域为[－1，1].（1）求3a 的值及函数g(x)的解析式； （2）试判断函数g(x)的单调性；（3）若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围. 18.（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a.(1)若a >0，判断并证明函数f(x)的单调性；(2)若a ≠0，函数f(x)在区间[m,n ](m <n)上的取值范围是[k2m ,k2n ](k ∈R)，求ka 的范围．19.（12分）已知函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ，集合B={x |2⩽2x ⩽16}，非空集合C={x |m +1⩽x ⩽2m −1}，全集为实数集R. (1)求集合A ∩B 和∁R B;(2)若A ∪C =A ，求实数m 取值的集合．20.（12分）f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，a>0在区间[−1,2]上最大值9，最小值0．(1)求a，b的值(2)求不等式f(x)⩾1的解集．21.（12分）已知奇函数f(x)=12x−1+a．(1)求f(x)的定义域；(2)求a的值；(3)证明x>0时，f(x)>0．22.（12分）已知函数f(x)=2xa +a2x−1(a>0)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)解方程f(x)=134.答案和解析1.【答案】B;【解析】这道题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．2.【答案】B;【解析】当a>1时，f(x)单调递增，有f(−1)=1a+b=−1，f(0)=1+b=0，无解；当0<a<1时，f(x)单调递减，有f(−1)=1a+b=0，f(0)=1+b=−1，解得a=12，b=−2，所以a+b=−32．故选B．3.【答案】D;【解析】该题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩(∁R B)即可．解：A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}={ x|x>0}，∴∁R B={ x|x⩽0}，∴A∩(∁R B)=(−2,0]．故选：D ．4.【答案】D;【解析】【试题解析】此题主要考查集合的并集及其运算，考查指数不等式的求解，属于基础题. 先分别求出集合A 、B ，再根据集合的并集定义求解即可.解：集合A =\left{ x ||x|⩽1,x ∈R }=\left{ x |−1⩽x ⩽1,x ∈R }， 集合B =\left{ x |2x ⩾1,x ∈R }=\left{ x |x ⩾0,x ∈R }， 所以A ∪B =[−1,+∞). 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了函数的定义域及其求法，属基础题． 根据对数的真数大于0，和偶次根式被开方非负列式解得．解：由{5−x >02x −8⩾0，解得：3⩽x <5，故选B.6.【答案】C; 【解析】此题主要考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={ x |x >0}，B ={ x |x <−2或x >2}； ∴A ∩B =(2,+∞). 故选C.7.【答案】A;【解析】解：∵0<a <b <c <1， ∴1<2a <2，15<5−b <1，17<(17)c <1， 5−b =(15)b >(15)c >(17)c ， 即M >N >P ， 故选：A根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．这道题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键8.【答案】B;【解析】此题主要考查指数幂的运算性质，函数的单调性，是中档题．由已知构造函数f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，利用单调性即可得解.解：由已知可得2x−5−x⩽2−y−5y，令f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，因为2x−5−x⩽2−y−5y，即2x−5−x⩽−(5y−2−y)，所以f(x)⩽f(−y)所以x⩽−y，即x+y⩽0.故选B.9.【答案】B;【解析】此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.解：由A={ x|2x⩾4}={ x|x⩾2}，集合B={ x|−1⩽x⩽5}，则A∩B={ x|2⩽x⩽5}.故选：B.10.【答案】B;x|>0，则y>1，【解析】解：当0<x<1，|log3x|⩾0，则y⩾1，当x⩾1时，|log3故选：B根据对数函数和指数函数的图象的性质即可判断．该题考查了函数图象的识别和对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(−x)，所以f(x+1)=−f(x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，所以函数的周期是2，则f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同， 设x ∈(−1,−12)，则x +1∈(0,12)， 又当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，所以f(x +1)=log 12(−x)，由f(x +1)=f(−x)得，f(−x)=log 12(−x)，所以f(x)=−f(−x)=−log 12(−x)，由x ∈(−1,−12)得，f(x)=−log 12(−x)在(−1,−12)上是减函数，且f(x)<f(−1)=0，所以则f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0， 故选：B ．根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论． 此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．12.【答案】B;【解析】解：∵a =log 23+log 2√3=log 23√3，b =lo g 29−lo g 2√3=lo g √3=lo g 23√3>1，∴a =b >1，又0<c =log 32<1， ∴a =b >c ． 故选：B ．利用对数的运算性质可求得a =log 23√3，b =log 23√3>1，而0<c =log 32<1，从而可得答案．该题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．13.【答案】1; 【解析】该题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题． 利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解：∵实数x ，y >0，且x +2y =4，∴4⩾2√2xy ，化为xy ⩽2，当且仅当x =2y =2时取等号． 则log 2x +log 2y =log 2(xy )⩽log 22=1． 因此log 2x +log 2y 的最大值是1．故答案为：1．14.【答案】4;【解析】解：∵f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=ln1+4=4，∴f(≶3)+f(≶13)=f(≶3)+f(−≶3)=4．故答案为：4．利用f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=4，即可得出．该题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】(3,+∞);【解析】此题主要考查基本不等式的运用，不等式恒成立问题，属于中档题.求出1x +11−x的最小值为4，得到t>4−2y2−y，由0<y<1得到4−2y2−y>3，即可得到答案.解：∵1x +11−x=(x+1−x)(1x+11−x)=2+1−xx+x1−x⩾2+2√1−=4，当x=0.5时，显然等号成立，∴1x +11−x的最小值为4，∴只需存在实数y∈(0,1)，使得2y2−y+t>4成立即可，即t>4−2y2−y，易知当0<y<1时，y²−y<0，∴4−2y2−y>3，∴t>3，∴实数t的取值范围为(3,+∞).故答案为：(3,+∞).16.【答案】（12，2）;【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∴f(log14x)=f(|log14x|)，又∵f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，∴f(|log14x|)>0=f(12)，∴|log14x|<12，∴−12<12log2x<12，∴−1<log2x<1，∴12<x<2，故答案为：(12,2).首先，根据偶函数的性质，得到f(log 14x)=f(|log 14x|)，然后，根据函数的单调性得到∴−12<12log 2x <12，从而得到相应的范围．此题主要考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．17.【答案】解：（1）f (a +2)=3a+2=32⋅3a =18，所以3a =2，所以g (x )=(3a )x −4x =2x −4x . （2）g (x )=2x −4x =−(2x )2+2x ， 令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 又t =2x 为单调递增函数， 所以g (x )在x ∈[−1,1]上单调递减.（3）由（2）知g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减， 所以g (x )∈[−2,14]，即m ∈[−2,14].;【解析】（1）将a +2代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得3a =2，再代入即可得g (x )的解析式；（2）令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14，根据二次函数的性质可得μ(t )单调递减，t =2x 为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果； （3）利用二次函数的性质求出g (x )的范围即可.18.【答案】解：(1)当a >0时，因为2x >0，所以2x +a >0 所以函数f(x)=2x −a 2x +a 的定义域为R ， 结论：函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)是增函数.证明：设对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则：f(x 1)−f(x 2)=2x 1−a2x 1+a −2x 2−a2x 2+a ， =(2x 1−a)(2x 2+a)−(2x 2−a)(2x 1+a)(2x 1+a)(2x 2+a)，=2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)，因为x 1<x 2，所以2x 2>2x 1，即2x 1−2x 2<0，又因为2x 1+a >0，2x 2+a >0，a >0，所以2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，即证.(2)因为m <n ， 所以2m <2n ，从而12m >12n . 又由[k 2m,k 2n]知，k2m<k 2n，所以k <0，因为a ≠0，所以a <0或a >0. ①当a >0时，由(1)知，函数f(x)=2x −a 2x +a是增函数.因为函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是 [k 2m,k 2n](k ∈R)，所以{f(m)=k2m ,f(n)=k 2n ，即： {2m −a2m +a =k2m2n −a 2n+a=k2n， 从而关于x 的方程2x −a 2x +a=k 2x有两个互异实根.令t =2x ，则t >0，所以方程t 2−(a +k)t −ak =0(k <0)有两个互异正根， 所以 \matrixLatexcasesFa+k2>0,a+k)^{2}+4ak>0,\\-ak>0\end{cases}从而：-3+2\sqrt{2}< \frac{k}{a}< 0.<br/>②$当a <0时，函数$f(x)=1-\frac{2a}{2^{x}+a}在区间(-\infty,\log_{2}(-a))，(\log_{2}(-a),+\infty)上均单调递减，<br/>若[m,n]⊆(\log_{2}(-a),+\infty)，则f(x)>1，于是\frac{k}{2^{m}}>0$，这与k <0矛盾，故舍去$;<br/>若[m,n]\subseteq(-\infty,\log_{2}(-a))，则f(x)< 1，<br/>于是\left{ \begin{array}{l}f(m)=\frac{k}{{2}^{n}}\\ f(n)=\frac{k}{{2}^{m}}\end{array}\right.,\;\;\;\;\;即：\;\left{ \begin{array}{l}\frac{{2}^{m}-a}{{2}^{m}+a}=\frac{k}{{2}^{n}}\;\;\;\;➀\\ \frac{{2}^{n}-a}{{2}^{n}+a}=\frac{k}{{2}^{m}}\;\;\;\;\;②\end{array}\right.,.<br/>所以\left{ \begin{array}{ll}{2}^{n}({2}^{m}-a)=k({2}^{m}+a)\\ {2}^{m}({2}^{n}-a)=k({2}^{n}+a)\end{array}\right.，两式相减并整理得，(k-a)(2^{n}-2^{m})=0，<br/>又2^{m}< 2^{n}，故2^{n}-2^{m}>0，从而k-a=0.$因为a <0，所以$\frac{k}{a}=1.<br/>综上，\frac{k}{a}的范围是(-3+2\sqrt{2},0)∪{ 1}.$;【解析】此题主要考查函数的单调性，函数定义域与值域以及指数函数的性质，属于难题.(1)利用函数单调性的定义求证即可；(2)依题意，函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是[k 2m ,k 2n](k ∈R)，分别讨论a的范围即可求解.19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ， ∴\mathopA={x |−x 2+5x −6⩾又由2⩽2x ⩽16得B=[1,4].∴ A ∩B =[2,3]，∁R B =(−∞,1)∪(4,+∞). (2)∵A ∪C =A. ∴C ⊆A则{&m +1⩾2 2m −1⩽3 ，即1⩽m ⩽2.又要使集合C={ x|m+1⩽x⩽2m−1}为非空集合，则必须m+1⩽2m−1即m⩾2，综上可得m=2，所以实数m的取值集合为{2}.;【解析】此题主要考查集合的运算以及集合中参数的取值范围问题．属于基础题.(1)首先求出集合A与集合B，再求交集、补集；(2)由题意可知C⊆A，因此可建立不等式组，即可解出实数m的取值集合．20.【答案】解：（1）f（x）=a•4x-a•2x+1+1-b，a＞0，设t=2x（12≤t≤4），则g（t）=a t2-2at+1-b=a（t-1）2-a-b+1，当t=1时，取得最小值1-a-b，即有1-a-b=0，①又t=4时，取得最大值8a-b+1=9，②由①②解得a=1，b=0；（2）f（x）≥1，即为4x-2x+1+1≥1，即有2x（2x-2）≥0，由于2x＞0，则2x≥2，解得x≥1，则解集为{x|x≥1}．;【解析】(1)可令t=2x(12⩽t⩽4)，则g(t)=at2−2at+1−b=a(t−1)2−a−b+1，考虑对称轴和区间关系，可得t=1取得最小值，t=4取得最大值，解a，b的方程组，即可得到所求值；(2)由指数不等式的解法，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．该题考查指数函数的性质和运用，考查可化为二次函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及不等式的解法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2x-1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+a∴f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0∴a=12（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x-1＞0∴12x−1+12＞0，即x＞0时，f（x）＞0;【解析】(1)根据2x−1≠0，即2x≠1，求解．(2)根据奇函数的概念，f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0，求解．(3)根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．该题考查了函数的概念，性质，属于容易题．22.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立，∴2xa +a2x=2−xa+a2−x恒成立，即(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，∴1a−a=0，解得a=±1，∵a>0，∴a=1.(2)由(1)知f(x)=2x+2−x−1=134，∴4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，解得2x=4或14，∴x=±2，所以原方程的解为x=±2.;【解析】【试题解析】此题主要考查了偶函数的定义，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据f(x)为偶函数可得出f(−x)=f(x)恒成立，从而可得出(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，从而可求出a=1；(2)根据(1)即可得出4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，然后解出x的值即可．。
课时提升作业(七) 2.4
整理可得a(2x-2-x)=0,
因为2x-2-x不恒为0,所以a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;
若f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)对任意x均成立,所以 =- ,
整理可得a2-1=0,所以a=±1,
因为a>0,所以a=1,
(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小.
4.(2015·济南模拟)若函数y=ax+b的图像如图所示,则函数y= +b+1的图像为
( )
【解析】选C.由图可知0<a<1,-2<b<-1.
又因为函数y= +b+1的图像是由y= 向左平移a个单位,向下平移|b+1|单位而得到的.结合四个选项可知C正确.
B.f <f <f
C.f <f <f
D.f <f <f
【解题提示】根据f(x)的图像关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f ,f 转化为[1,+∞)上的函数值.
【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).
所以f =f ,f =f .
又因为f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增,
【解析】选A.原式=[(-3)×4×(-2)] · =24x0y0=24.
2.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图像经过点(2,1),则f(x)的值域为
( )
A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)
【解析】选C.由f(x)的图像经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增加的,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.可知C正确.
2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练七指数与指数函数课时作业
课时作业梯级练七指数与指数函数一、选择题(每小题5分,共25分)1.设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A. B. C. D.【解析】选C.由题意==.2.若2m>2n>1,则( )A.>B.πm-n>1C.ln(m-n)>0D.m>n【解析】选B.因为2m>2n>1=20,所以m>n>0,所以πm-n>π0=1,故B正确;而当m=,n=时,检验可得,A、C、D都不正确.3.(a2-a+2 021)-x-1<(a2-a+2 021)2x+5的解集为( )A.(-∞,-4)B.(-4,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)【解析】选D.因为a2-a+2 021>1,所以-x-1<2x+5,所以x>-2.4.函数f(x)=3-a x+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点( )A.(-1,2)B.(1,2)C.(-1,1)D.(0,2)【解析】选A.依题意,由x+1=0得,x=-1,将x=-1代入f(x)=3-a x+1得,f(x)=3-a0=2,所以函数f(x)=3-a x+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(-1,2).5.(2021·北京模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A.y=sin xB.y=x3C.y=D.y=log2x【解析】选B.y=2x-2-x是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x不是单调递增函数,不符合题意;y=是非奇非偶函数,不符合题意;y=log2x的定义域是(0,+∞),不符合题意;y=x3是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.【加练备选·拔高】定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为( )A.(2,7]B.(-2,0)∪(2,7]C.(-2,0)∪(2,+∞)D.[-7,-2)∪(2,7]【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7,因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021·昭通模拟)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为____________.【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]7.函数y=-+1在区间[-3,2]上的值域是________.【解析】令t=,因为x∈[-3,2],所以t∈,故y=t2-t+1=+.当t=时,y min=;当t=8时,y max=57.故所求函数的值域为.答案:8.设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-4)=1,则a=__________. 【解析】因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-4)=1;故(-1,4)在y=2x+a的图象上,故4=2-1+a⇒a=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·商丘模拟)已知函数f(x)=(a2-2a-2)a x是指数函数.(1)求f(x)的表达式;(2)判断F(x)=f(x)+的奇偶性,并加以证明.【解析】(1)由a2-2a-2=1,可得a=3或a=-1(舍去),所以f(x)=3x.(2)F(x)是偶函数,证明如下:F(x)=f(x)+=3x+3-x,x∈R.因为F(-x)=3-x+3x=F(x),所以F(x)是偶函数.10.已知函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值;(2)判断函数f(x)的单调性,并加以证明.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a=-1.(2)由(1)知f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2,所以<,所以-<0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.1.(5分)(2021·海南模拟)已知f(x)=是定义在R上的奇函数,则不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集为( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-4,3)D.(-3,4)【解析】选C.因为f(x)=是定义在R上的奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,解得a=1,则f(x)==1-,易知f(x)在R上为增函数.又f(x-3)<f(9-x2),必有x-3<9-x2,解得-4<x<3,即不等式的解集为(-4,3).2.(5分)对于给定的函数f(x)=a x-(x∈R,a>0,且a≠1),下面给出五个命题,其中真命题是______________(填序号).①函数f(x)的图象关于原点对称;②函数f(x)在R上不具有单调性;③函数f(|x|)的图象关于y轴对称;④当0<a<1时,函数f(|x|)的最大值是0;⑤当a>1时,函数f(|x|)的最大值是0.【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①是真命题;当a>1时,f(x)在R上为增函数,当0<a<1时,f(x)在R上为减函数,②是假命题;y=f(|x|)是偶函数,其图象关于y轴对称,③是真命题;当0<a<1时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为增函数,在[0,+∞)上为减函数,所以当x=0时,y=f(|x|)的最大值为0,④是真命题;当a>1时,f(|x|)在(-∞,0)上为减函数,在[0,+∞)上为增函数,所以当x=0时,y=f(|x|)的最小值为0,⑤是假命题.综上,真命题是①③④.答案:①③④【加练备选·拔高】若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]【解析】选B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.3.(5分)若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以=0,解得a=1,f(x)==1-.因为2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,所以f(x)的值域为(-1,1).答案:1 (-1,1)4.(10分)已知a>0,且a≠1,若函数y=|a x-2|与y=3a的图象有两个交点,求实数a的取值范围. 【解析】①当0<a<1时,作出函数y=|a x-2|的图象如图(1).若直线y=3a与函数y=|a x-2|(0<a<1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,所以0<a<.②当a>1时,作出函数y=|a x-2|的图象如图(2),若直线y=3a与函数y=|a x-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<3a<2,此时无解.所以实数a的取值范围是.5.(10分)已知函数f(x)=.(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)有最大值3,求a的值.(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2].(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.(3)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由指数函数的性质知要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故f(x)的值域为(0,+∞)时,a的值为0.【加练备选·拔高】已知定义在R上的函数f(x)=2x-,(1)若f(x)=,求x的值;(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,故f(x)=无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-,因为2x>0,所以2x=2,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(-1)≥-(-1),因为-1>0,所以m≥-(+1),因为t∈[1,2],所以-(+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).1.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义f K(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有f K(x)=f(x),则( )A.K的最大值为0B.K的最小值为0C.K的最大值为1D.K的最小值为1【解析】选D.根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],若恒有f K(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1.2.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),所以所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在(-∞,1]上恒成立.又因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值. 所以m≤.即m的取值范围是.。
新课标.指数与指数函数同步练习题及答案(北师大版)
指数与指数函数同步练习一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（ ）A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2<a C、a < D、1a <》5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x - 6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是（ ）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞>10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -= 。
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 指数函数课时提升作业 理
课时提升作业七指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·宜春模拟)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( )A.5B.7C.9D.11【解析】选B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=9-2=7.2.(2016·长沙模拟)下列函数中值域为正实数的是( )A.y=-5xB.y=错误!未找到引用源。
C.y=错误!未找到引用源。
D.y=错误!未找到引用源。
【解析】选B.A中,y=-5x≤0,B中,因为1-x∈R,y=错误!未找到引用源。
的值域是正实数,所以y=错误!未找到引用源。
的值域是正实数,C中,y=错误!未找到引用源。
≥0,D中,y=错误!未找到引用源。
,由于2x>0,故1-2x<1,又1-2x≥0,故0≤y<1,故符合条件的只有B.3.函数y=2x-2-x是( )A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减【解析】选A.令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C,D.又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数,故y=2x-2-x在R上为增函数.4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a【解析】选A.由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=错误!未找到引用源。
高考数学 2.6 指数、指数函数课时提升作业 文(含解析)
2.6 指数、指数函数课时提升作业 文一、选择题1.(2013·玉林模拟)函数y=(a 2-3a+3)a x是指数函数,则有( ) (A)a=1或a=2 (B)a=1 (C)a=2(D)a>0且a ≠12.化简[(-2)6错误!未找到引用源。
-(-1)0的结果为( ) (A)-9(B)7(C)-10 (D)93.已知函数f(x)=4+a x-1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标是( ) (A)(1,5) (B)(1,4) (C)(0,4)(D)(4,0)4.(2013·杭州模拟)函数y=a |x|(a>1)的图象是( )5.函数f(x)=a x(a>0且a ≠1)对于任意的实数x,y,都有( ) (A)f(xy)=f(x)f(y) (B)f(xy)=f(x)+f(y) (C)f(x+y)=f(x)f(y) (D)f(x+y)=f(x)+f(y)6.若102x=25,则10-x等于( ) (A)-错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
(C)错误!未找到引用源。
(D)错误!未找到引用源。
7.(2013·河池模拟)函数y=21x 112（）错误!未找到引用源。
的值域为( ) (A)(-∞,1)(B)(错误!未找到引用源。
,1)(C)[错误!未找到引用源。
,1)(D)[错误!未找到引用源。
,+∞)8.定义运算a ⊗b=错误!未找到引用源。
则函数f(x)=1⊗2x的图象是( )9.(2013·玉林模拟)已知f(x)=错误!未找到引用源。
则f(8)等于( )(A)4 (B)0 (C)错误!未找到引用源。
(D)210.(2013·钦州模拟)设y1=40.9,y2=80.48,y3=(错误!未找到引用源。
)-1.5,则( )(A)y3>y1>y2(B)y2>y1>y3(C)y1>y2>y3(D)y1>y3>y211.(2013·柳州模拟)函数y=a x-(b+1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有( )(A)0<a<1,b>0 (B)0<a<1,b<0(C)a>1,b<1 (D)a>1,b>012.下列各式正确的是( )(A)错误!未找到引用源。
指数与指数函数
2.4指数与指数函数【考试大纲】(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幕的含义，了解实数指数蓦的意义，掌握蓦的运算.(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.【基础知识】一、指数式，指数函数：(1)根式的概念①如果x"=a,a e R,xe R,n>l,且n&N+,那么x叫做。
的"次方根.当〃是奇数时，a的"次方根用符号沥表示；当〃是偶数时，正数。
的正的〃次方根用符号沥表示，负的〃次方根用符号-％表示；0的乃次方根是0;负数。
没有〃次方根.②式子沥叫做根式，这里〃叫做根指数，a叫做被开方数.当〃为奇数时，a为任意实数；当〃为偶数时，a>0.③根式的性质：(*)"=a；当〃为奇数时，即=a；当〃为偶数时，即=|a|=<a(a>0)-a(q<0) (2)分数指数蓦的概念①正数的正分数指数幕的意义是:m___M，且〃>1).(口决：母在夕卜)ma n②正数的负分数指数幕的意义是:(-)7=J(-)m(a>0,m,〃c M，且乃>1).a V a(3)分数指数幕的运算性质①a r•"=a r+s(€z>0,r,5g R)②(o')'=a rs(a>0,r,5g/?)③(ab)r=a r b r{a>0,b>0,r g7?)(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y=a"a〉0且。
？1)叫做指数函数图象一a>l\Ovovlj=iAy=^7(0,1)\,\\y=^J(0,1)0X 0X定义域R值域(0,+oo)过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况a x>l(x>0)a x=1(x=0)a x<1(x<0)a x<\(%>0)a x=1(x=0)a x>1(x<0)。
人教版高中数学必修一第二章教案和练习
高中数学必修一第二章教案和练习§2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为 ；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 ； 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2t P . 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的 ；3327=，那么3就叫27的 ；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 .依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根 ( n th root )，其中1n >,n *∈N .例如：328=2=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？33=-, 记：x =当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是 ，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00=.试试：4b a =，则a 的4次方根为 ；3b a =，则a 的3次方根为 .新知：根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被开方数（radicand ）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a =. 当n a =；当n (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1） ； （2） ；（3； （4）a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1 （2推广：=（a ≥0）.※ 动手试试练1.练2. 化简三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.1. ）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 625的4次方根是（ ）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（ ）.A. b -B. bC. b ±D. 1b4. = .5. 计算：31. 计算：（1（2）2. 计算34a a-⨯和3(8)a+-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n nab a b=与()n nna ab b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a=，则x叫做a的，其中1n>,n*∈N. 简记为：.像的式子就叫做，具有如下运算性质：n= ；= ；= .（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学※ 学习探究探究任务：分数指数幂引例：a >01025a a ==，则类似可得= ；23a = = .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mna a m n N n =>∈>； *1(0,,,1)mnmn a a m n N n a -==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ； = ；= (0,)a m N *>∈.（2）求值：238； 255； 436-； 52a -.反思：① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 .② 分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质： （0,0,,a b r s Q >>∈）r a ·r r s a a +=； ()r s rs a a =； ()r r s ab a a =．※ 典型例题例1 求值：2327；4316-； 33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >：（1）2b b ； （2）533b b ； （3例3 计算（式中字母均正）： （1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算.例4 计算：（1334a a(0)a >； （2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）÷小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？练1. 把851323x --⎫⎪⎪⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（1443327； （2三、总结提升 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. m m n na a a ÷= B. m n mn a a a ⋅= C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷= 2. 化简3225的结果是（ ）.A. 5B. 15C. 25D. 1253. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）.A B ． Ｃ．2 D ．2- 4. 化简2327-= .5. 若102,104m n ==，则3210m n -= .1. 化简下列各式：（1）3236()49； （2.2.1⎛-⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）1. 掌握n次方根的求解；2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备（复习教材P48~ P53，找出疑惑之处）复习1：什么叫做根式? 运算性质？像的式子就叫做，具有性质：n=；=；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？①mna=；mna-=. 其中*0,,,1a m n N n>∈>②r sa a =；()r sa=；()sab=.复习3：填空.①n为时，(0)||...........(0)xxx≥⎧==⎨<⎩.②求下列各式的值：= ；=；= ；= ；= ；=；= .二、新课导学典型例题例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1a a-+；（2）22a a-+；（3）33221122a aa a----．小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质=（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. .变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a-+；（2）3322a a--.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答. ※ 动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y -÷-.练2. 已知x +x -1=3，求下列各式的值.（1）1122x x -+； （2）3322x x -+.练3. 已知12(),0x f x x x π=⋅>.三、总结提升 学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.知识拓展1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++.2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-.1.）.A. B. C. 3 D. 729 2. 354a a (a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15a D. 1710a3. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()n n m m= B ．C 34()x y =+D ．4. 化简3225()4-= . 5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .课后作业1. 已知32x a b --=+, .2. 2n a =时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）0a = ；（2）n a -= ；（3）m n a = ；m na -= .其中*0,,,1a m n N n >∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .二、新课导学 学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .反思：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =讨论：（1）函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？a >1 0<a <1图象性 质 (1)定义域：R(2)值域：（0，+∞）(3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数典型例题例1函数()x f x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ；② 待定系数法.例2比较下列各组中两个值的大小：（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式 01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 . 课后作业1. 求函数y =1151x x --的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识.学习过程一、课前准备（预习教材P 57~ P 60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是 ，复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2x y =,1()2x y =,5x y =,1()5x y =, 10x y =,1()10x y =.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？二、新课导学典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型.设原有量N ，每次的增长率为p ，则经过x 次增长后的总量y = . 我们把形如x y ka = (,0,1)k R a a ∈>≠且的函数称为指数型函数.例2 求下列函数的定义域、值域：（1）21x y =+; （2）y = （3）110.4x y -=.变式：单调性如何？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.试试：求函数y =.练1. 求指数函数212x y +=的定义域和值域，并讨论其单调性.练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小.（1）33m n <； （2）0.60.6m n >；（3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<.练3. 一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3.三、总结提升学习小结1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；2. 定义域与值域；知识拓展形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ϕ进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.1. 如果函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象与函数y =b x (b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（ ）.A. a >bB. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x －1的定义域、值域分别是（ ）.A. R ， RB. R ， (0,)+∞C. R ，(1,)-+∞D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.A. y =a x 的图象与y =a －x 的图象关于y 轴对称B. 函数f (x )=a 1－x (a >1)在R 上递减C. 若a 2>a 21-，则a >1D. 若2x >1，则1x >4. 比较下列各组数的大小：122()5- 320.4-（）； 0.763（） 0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x ,y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .课后作业1. 已知函数f (x )=a －221x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标1. 理解对数的概念；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程一、课前准备（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （只列式）二、新课导学学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数log N 简记为lg Nlog e N 简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，x a N =⇔ .（2）负数与零是否有对数？为什么？（3）log 1a = ， log a a = .典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）35125= ；（2）712128-=；（3）327a =； （4） 2100.01-=； （5）12log 325=-；（6）lg0.001=3-； （7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =； （2）log 86x =-； （3）lg 4x =； （4）3ln e x =.练1. 求下列各式的值.（1）5log 25 ； （2）21log 16； （3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.：1. 若2log 3x =，则x =（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 92.log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4. 计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.课后作业1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=； （2）51232-=； （3）430a = （4）1() 1.032m =； （5）12log 164=-； （6）2log 1287=； （7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27； （2）3log 243； （3）；（3）(2log (2； （4）.§§2.2.1 对数与对数运算（2）学习目标1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..学习过程一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-； （3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy z ； （2） log a .例2计算：（1）5log 25； （2）0.4log 1；（3）852log (42)⨯； （4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m=；（2）1log log a b b a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b N N a=； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a n N N=，log log log 1a b c b c a =. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35ab x c= C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 3 3. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+=；（2）2121log log 22+= . 5. 计算：15lg 23=.1. 计算：（1； （2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.一、课前准备（预习教材P 66~ P 69，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ； （3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t 的指数函数(x P =，则t 关于P 的函数为 . ※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-； （2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()x x f x f x f ++≤.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 25()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（ ）.A. 3B.C.D.3. 已知35a b m ==，且112a b+=，则m 之值为（ ）.A ．15BC ．D ．2254. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5= ；1102= ．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++； （2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.2. 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.一、课前准备（预习教材P 70~ P 72，找出疑惑之处）复习1：画出2x y =、1 ()2x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：对数函数的概念讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.反思：（（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域： （1）2log a y x =；（2）log (3)a yx =-；变式：求函数y =的定义域.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--； （2）y .练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和； （2）0.30.2log 4log 0.7和； （3）0.70.7log 1.6log 1.8和； （4）23log 3log 2和．三、总结提升※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x xf ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x xf ++≥.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8. 5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.一、课前准备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处）复习1：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图象和性质.复习2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ； （2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.复习3：求函数的定义域.（1）311log 2y x=- ； （2）log (28)a y x =+.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ） 例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？反思： （1）如果000(,)P x y 在函数2x y =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =； （2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？ （2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）其反函数的图象过点（2，0），求()f x 的表达式.练2. 求下列函数的反函数.（1） y =x (x ∈R )；（2）y =log a 2x(a ＞0,a ≠1,x ＞0)三、总结提升※ 学习小结① 函数模型应用思想；② 反函数概念.※ 知识拓展函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量x 的值，y 都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y 值，x 也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义域与值域 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数0.5log y x =的反函数是（ ）. A. 0.5log y x =- B. 2log y x =C. 2x y =D. 1()2x y =2. 函数2xy =的反函数的单调性是（ ）. A. 在R 上单调递增 B. 在R 上单调递减C. 在(0,)+∞上单调递增D. 在(0,)+∞上单调递减3. 函数2(0)y x x =<的反函数是（ ）. A. (0)y x x =±> B. (0)y x x => C. (0)y x x =-> D. y x =±4. 函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .5. 右图是函数1log a y x =，2log a y x =3log a y x =， 4log a y x =的图象，则底数之间的关系为 .课后作业有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细1. 现有某种细胞100个，其中胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301==）.。
指数函数(提高部分).docx
（高三）指数函数（提高部分）一、选择题1、 函数y=—2卞的图象一定过哪些象限（）A. 一、二象限B.二、三象限C.三、四象限D. 一、四象限 2、 若一 1<兀<0,则不等式中成立的是（）A. 5~x <5x <0.5xB. 0.5x <5~x <5xC. 5x <5~x <0.5xD. 5x <0.5x <5~x3、 设全集为/?,且A = {x|V^2<0},B = {x|10x2-2=10v }> 贝IJARKM ）为（ ）•A. {2}B. {-1}C. {x\x<2}D. 0 4、 设0<a< 1,则下列不等式正确的是（）A. （l — d ）3 > （l + a ）2 B ・（l-d ）我 >1 C. （14-a ）l ~a > 1 D. （1 —〉（1 + °卢 5、 已知 f （x ） = cr x （a>O,Ra ^\\ _ft/（-2） > /（-3），则 a 的取值范围是 （ ）=4,则 a 2 + a'2 的值是（7、若0〉1小<0,且/+a"=2血，则Q "的值等于（8、函数y=a v 在［0, 1］上的最大值与最小值和为3,则函数丁=3・。
如在［0, 1］上的 授大值是（）A. 3B. 1C. 63D. 一 29、下列函数中值域为 (0 , +8)的是 ( )1•尸($A. y= 5XBc. y =2~x +1 D. y=-110、化简2«如）—2七i ）+2⑵等于（）.A. 2~2kB. 2_（2A_,）C. _2一如）D . 211、函数/（劝=夕（d 〉0,口dHl ）对任意正实数兀y 都有（ ）.A 、a>0B> a>lC 、a<lD 、 0<a<lA. 14B. 16C. 18D. 20A 、A /6B 、±2 C> -2 D 、2c. f(x+y) = /(x)/(y) D. /(x + y) = f(x) + f(y) 12、若函数y = /—（b + l ）（Q>0卫Hl ）的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A. Q 〉1 且/? > 0 C. 0<a< 1H/? >0中恒成立的冇（15、函数y = 02”-22的单调增区间是1、计算：（0.064）刁—（—圭尸一 16皿十（*_g ）o= ______________13、下列函数式中，满足/（x+］） = -/（%）的是（ B 、x H —A 、尹+ 1)C. TD 、T x 14.已知下列不等式(1) a 2>b 2； (2) 2a>2h；⑶丄V 丄;a b£ 2 ⑷ ci 3 >b 3 ；A 、1个B 、2个C 、D 、A. [l,+oo)B ・(一di] C. (3,+8)D. (-00,-1)2一丫 一1止 016、函数 f\x) =1 x^9x > 0的兀的収值范围A. (-1,1)C. [x\x> OlSx < -2} 17、函数y = J —的值域是(2V -1 B. (_l,+oo)D. {x\x> 1 或x < -1}Bx (-8,0)U(0,+oo)C 、（―l ，+oo ） A> (-ocj)D 、(—oo,—l) U (0，+°o)二、填空题2、 若31 =9, 3一” 二 ____________ .3、 V 2,V2,V4,V8,V16从小到大的排列顺序是 _____________________________ 1 + 3一"4、 方程一=3的解是 __________________ .1 + 3"5、 函数尸3-x 的图象少函数 ________________ 的图象关于y 轴对称.6、 比较大小1.73, O.8'01 1.2502, 1.7030.931, 4.54」 3.7"丄从小到人排列为4丿8、比较a 二0・7°・7、b 二0.7°・8、c =0. 8°- 7三个数的大小关系是 __2V , XG (-OO,1］ 10、 设函数f(x) = \ 1 则满足f(x)=-的/值为 _______________P ，G (1,4-00) 4 lx 11、 已知函数/(x) = log 3(x + l) + x 2+2的定义域是［2, 8］,则函数f (X )的反函数的定义域为 _________________12、 已知％ +兀一［=3,则x 2 - %-2值为 ____________3 V513、已知/⑴ 是指数函数，11/(--) = — ,则/(3) = _________________________2 25 14、若函数y = 2X + m 的图像不经过笫二象限，则加的収值范围是15、函数y = 2x + k-l 的图像不经过第四彖限的条件是_________________16、 若11 > 1-1 <b <0，则函数的图象-定不在第 ________________________ 象限.17、 函数y =的定义域是［一00，。
4.6函数的应用-高一数学人教B版(2019)必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数课时作业
(教师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．教学难点：建立函数模型解决实际问题.知识点用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：□01弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：□将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)求模：□03求解函数模型，得到数学结论．(4)还原：□04利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：1．人口数的计算设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.2．复利及应用(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．3．半衰期及应用(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(0<r<1)．t年后，这种元素的质量w的表达式是w＝a(1－r)t.这种元素的半衰期t＝lg 0.5lg 1－r.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )2．做一做(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )A．(1＋P)11B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．题型一指数函数模型应用题例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?[跟踪训练1]某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)题型二对数函数模型应用题例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?[跟踪训练2]某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？题型三幂函数模型应用题例 3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．[跟踪训练3]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？．1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )A．前5分钟温度增加的速度越来越快B．前5分钟温度增加的速度越来越慢C．5分钟后温度保持匀速增加D．5分钟后温度保持不变4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝12log3x100，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．一、选择题1．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )A.m 11B.m 12C.12m －1 D.11m －13．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,164．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg I I 0(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的( )A.76倍 B ．10倍 C ．1076倍D ．ln 76倍5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系：y ＝a t 的图像如图所示．则下列说法正确的是( )A ．第5个月时浮萍面积就会超过30 m 2B ．浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2要经过1.5个月C ．浮萍每月增加的面积相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3二、填空题6．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，则成本y 随经过的年数x 变化的函数关系式为________．7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg 、火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg 之间的函数关系是v ＝2000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌的总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．三、解答题9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a ，通过x 块这样的玻璃后的强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下(lg3≈0.4771)?10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)(教师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题．教学难点：建立函数模型解决实际问题.知识点用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：□01弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：□将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)求模：□03求解函数模型，得到数学结论．(4)还原：□利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：1．人口数的计算设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x.2．复利及应用(1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．(2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)．3．半衰期及应用(1)放射性元素剩留量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期．(2)放射性元素最初质量为a g．按每年r衰减(0<r<1)．t年后，这种元素的质量w的表达式是w＝a(1－r)t.这种元素的半衰期t＝lg 0.5lg 1－r.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品2019年提价25%,2020年要恢复原价则应降价25%.( )(2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．( )答案(1)×(2)√2．做一做(1)某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( )A．(1＋P)11B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1(2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)．答案(1)C (2)8题型一指数函数模型应用题例1 某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)?[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由此可见，5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，多得利息3.86万元．金版点睛可以用指数函数模型来解决的几类问题在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[跟踪训练1]某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)解由题意，得21000×⎝⎛⎭⎪⎫23n≤110000，即⎝⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n≥log23120＝lg120lg23＝－lg 2－1lg 2－lg 3≈7.4.所以至少要过滤8次才能达到市场要求．题型二对数函数模型应用题例2 20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)?[解] (1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg200.001＝lg 20000＝lg 2＋lg104＝4＋lg 2≈4.3.因此这是一次约里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可知M ＝lg A A 0，所以A A 0＝10M ，所以A ＝A 0·10M ，当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6.当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0·107.6A 0·105＝107.6－5＝102.6≈398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．金版点睛对数型函数应用题的基本类型和求解策略1基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.2求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.[跟踪训练2] 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解 (1)由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励，当销售利润超过8万元时，若超出A 万元，则超出部分按log 5(2A ＋1)进行奖励，∴当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ；当x >8时，y ＝1.2＋log 5(2x －15)．∴奖金y 关于销售利润x 的关系式为y ＝⎩⎨⎧ 0.15x ，0≤x ≤8，1.2＋log 52x －15，x >8.(2)由题意，1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20，故小江的销售利润是20万元．题型三 幂函数模型应用题例 3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．(1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式；(2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；(3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)．[解] (1)由题意可得流量速率R与管道半径r的函数解析式为R＝kr4(k>0)．(2)当r＝3，R＝400时，则k＝Rr4＝40081，所以流量速率R的表达式为R＝40081r4.(3)当气体通过的管道半径r＝5 cm时，该气体的流量速率为R＝40081×54＝25000081≈3086.4 cm3/s.金版点睛利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤1设出函数关系式.2利用待定系数法求出函数关系式.3根据题意，利用得出的函数关系式解决问题.[跟踪训练3]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k 1x(x≥0)，g(x)＝k2x(x≥0)，结合已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)，令t＝20－x(0≤t≤25)，则x＝20－t2，所以y＝20－t28＋t2＝－18(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，y max＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过( )A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时答案 C解析设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次为15分钟，∴共15×12＝180分钟，即3个小时．2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( )答案 B解析设原来的蓄积量为a，则a(1＋10%)y＝a·x，∴y＝log1.1x，故选B.3. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示，下列说法正确的是( )A．前5分钟温度增加的速度越来越快B．前5分钟温度增加的速度越来越慢C．5分钟后温度保持匀速增加D．5分钟后温度保持不变答案BD解析由图像分析单位时间内y的变化量可知，选BD.4．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度是________．答案8 ℃解析由12：00时，t＝0，且12：00以后t为正值，可知12：00以前t 为负值，即上午8时应t＝－4，故T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8 ℃.5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝12log3x100，单位是m/s，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数；(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由．解(1)将x＝8100代入函数关系式，得y＝12log381＝12×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2 m/s.(2)令y＝0，得12log3x100＝0，即x100＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位．(3)由y A>y B，得12log3xA100>12log3xB100，即log3xA>log3xB，则x A>x B，所以鲑鱼A的耗氧量较大．一、选择题1．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，第七年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 答案 A解析 由x ＝1时，y ＝100，得a ＝100，∴当x ＝7时，y ＝100·log 28＝300.2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )A.m 11B.m 12C.12m －1D.11m －1答案 D解析 设1月份产值为a ，月平均增长率为x ，则有a (1＋x )11＝ma ，∴x ＝11m －1.3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D 解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg II(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )A.76倍B．10倍C．1076倍D．ln76倍答案 B解析依题意可知，η1＝10·lg I1I，η2＝10·lgI2I，所以η1－η2＝10·lgI 1 I 0－10·lgI2I，则1＝lg I1－lg I2，所以I1I2＝10.故选B.5. (多选)某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝a t的图像如图所示．则下列说法正确的是( )A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月C．浮萍每月增加的面积相等D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3答案AD解析把点(1,2)代入y＝a t，得a＝2，∴y＝2t.当t＝5时，y＝25＝32，∴A 正确；由2t＝4，得t＝2；由2t＝12，得t＝log212，而log212－2≠1.5，∴B不正确；C可通过1月到2月，2月到3月增加的面积验证不正确；∵2t1＝2，∴t1＝1，∵2t2＝3，∴t2＝log23，∵2t3＝6，∴t3＝log26，显然t1＋t2＝1＋log23＝log 26＝t 3，∴D 正确．故选AD.二、填空题6．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，则成本y 随经过的年数x 变化的函数关系式为________．答案 y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )解析 成本经过x 年降低到y 元，第一年为y ＝a (1－p %)，第二年为y ＝a (1－p %)(1－p %)＝a (1－p %)2，第三年为y ＝a (1－p %)(1－p %)(1－p %)＝a (1－p %)3，…第x 年为y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )．故答案为y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )．7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg 、火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg 之间的函数关系是v ＝2000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.答案 e 6－1解析 设M ＝tm ，则有2000ln (1＋t )＝12000，即ln (1＋t )＝6，解得t ＝e 6－1.8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌的总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．答案 2ln 2 1024解析 由题意知，当t ＝12时，y ＝2，即2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln 2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.三、解答题9．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来．设光线原来的强度为a ，通过x 块这样的玻璃后的强度为y .(1)写出y关于x的函数关系式；(2)至少通过多少块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下(lg3≈0.4771)?解(1)y＝a(1－10%)x(x∈N*)．(2)由题意，得y<13a，即a(1－10%)x<13a，解得0.9x<13，得x>log0.913＝－lg 32lg 3－1≈10.4.所以至少通过11块这样的玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下．10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入v＝5log2Q10可得：0＝5log2Q10，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入v＝5log2Q10得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.1．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg 时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．解 (1)当0≤t <1时，y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ， 此时M (1,4)在曲线上，故4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ， 解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3. 故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1. (2)因为f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧ 4t ≥0.25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25. 解得⎩⎨⎧ t ≥116，t ≤5.所以116≤t ≤5， 因此服药一次治疗疾病有效的时间为5－116＝41516(h)． 2．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)解(1)由已知，得当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－15ln 0.9(或k≈0.022)．(2)由(1)，知P＝P0e ⎝⎛⎭⎫15ln 0.9t，当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e ⎝⎛⎭⎫15ln 0.9t，解得t＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×－0.11＝4.600.11≈42(h)．故污染物减少到40%至少需要42 h.。
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课时提升作业(七)一、选择题1.(2013·烟台模拟)若点(a,9)在函数y=3x的图像上,则tan错误！未找到引用源。
的值为( )(A)0 (B)错误！未找到引用源。
(C)1 (D)错误！未找到引用源。
2.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=( )(A)5 (B)7 (C)9 (D)113.(2013·韶关模拟)设a=22.5,b=2.50,c=(错误！未找到引用源。
)2.5,则a,b,c的大小关系是( )(A)a>c>b (B)c>a>b(C)a>b>c (D)b>a>c4.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=(错误！未找到引用源。
)x在x∈[0,4]上解的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图像可能是( )6.(2013·渭南模拟)函数y=(错误！未找到引用源。
的值域为( )(A)[错误！未找到引用源。
,+∞) (B)(-∞,错误！未找到引用源。
](C)(0,错误！未找到引用源。
] (D)(0,2]7.若函数f(x)=(a+错误！未找到引用源。
)cosx是奇函数,则常数a的值等于( )(A)-1 (B)1 (C)-错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
8.函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则k的取值范围是( )(A)(-1,+∞) (B)(-∞,1)(C)(-1,1) (D)(0,2)9.当x∈[-2,2]时,a x<2(a>0且a≠1),则实数a的范围是( )(A)(1,错误！未找到引用源。
)(B)(错误！未找到引用源。
,1)(C)(错误！未找到引用源。
,1)∪(1,错误！未找到引用源。
)(D)(0,1)∪(1,错误！未找到引用源。
)10.已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是( )(A)a>1 (B)0<a<1(C)a>2 (D)a<0二、填空题11.(2013·衡水模拟)若x>0,则(2错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
)(2错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
)-4错误！未找到引用源。
(x-错误！未找到引用源。
)= .12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x)>0的解集为.13.(2013·杭州模拟)已知0≤x≤2,则y=错误！未找到引用源。
-3·2x+5的最大值为.14.(能力挑战题)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x ≤1时,f(x)=2x-1,则f(错误！未找到引用源。
)+f(1)+f(错误！未找到引用源。
)+f(2)+f(错误！未找到引用源。
)= .三、解答题15.(能力挑战题)已知定义域为R的函数f(x)=错误！未找到引用源。
是奇函数.(1)求a,b的值.(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的范围.答案解析1.【解析】选D.由题意知,3a=9,≨a=2,≨tan错误！未找到引用源。
=tan错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.2.【解析】选B.≧f(a)=2a+2-a=3,≨22a+2-2a+2=9,≨22a+2-2a=7,即f(2a)=7.3.【解析】选C.b=2.50=1,c=(错误！未找到引用源。
)2.5=2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c<b<a.4.【解析】选D.由f(x-1)=f(x+1)把x-1换为x,则f(x)=f(x+2)可知T=2.≧x∈[0,1]时,f(x)=x.又≧f(x)为偶函数,≨可得图像如图:≨f(x)=(错误！未找到引用源。
)x在x∈[0,4]上解的个数是4.5.【解析】选B.|f(x)|=|2x-2|=错误！未找到引用源。
易知函数y=|f(x)|的图像的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),又|f(x)|≥0,故选B.【误区警示】本题易误选A或D,出现错误的原因是误以为y=|f(x)|是偶函数.6.【解析】选A.≧2x-x2=-(x-1)2+1≤1,又y=(错误！未找到引用源。
)t在R上为减函数,≨y=(错误！未找到引用源。
≥(错误！未找到引用源。
)1=错误！未找到引用源。
,即值域为[错误！未找到引用源。
,+≦).7.【解析】选D.设g(x)=a+错误！未找到引用源。
,t(x)=cosx,≧t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+错误！未找到引用源。
)cosx为奇函数,≨g(x)=a+错误！未找到引用源。
为奇函数,又≧g(-x)=a+错误！未找到引用源。
=a+错误！未找到引用源。
,≨a+错误！未找到引用源。
=-(a+错误！未找到引用源。
)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=错误！未找到引用源。
.8.【解析】选C.由于函数y=|2x-1|在(-≦,0)上是减少的,在(0,+≦)上增加的,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有k-1<0<k+1,解得-1<k<1.9.【解析】选C.x∈[-2,2]时,a x<2(a>0且a≠1),若a>1时,y=a x是增加的,则有a2<2,可得a<错误！未找到引用源。
,故有1<a<错误！未找到引用源。
;若0<a<1,y=a x是减少的,则有a-2<2,可得a>错误！未找到引用源。
,故有错误！未找到引用源。
<a<1,综上知a∈(错误！未找到引用源。
,1)∪(1,错误！未找到引用源。
).10.【解析】选A.方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图像有且只有一个交点,由函数图像可知a>1.【方法技巧】有关指数型、对数型方程,不等式的解法能画出图像的,一般要画出图像,用数形结合法求解,但要注意画出的函数图像的基本特征必需准确,尤其是特殊点和特殊直线的位置,否则易出现失误.11.【解析】原式=4错误！未找到引用源。
-33-4错误！未找到引用源。
+4=-23.答案:-2312.【解析】当x≥0时,由f(x)>0知2x-4>0,≨x>2.又函数f(x)是偶函数,所以当x<-2时f(x)>0,综上知f(x)>0的解集为(-≦,-2)∪(2,+≦).答案:(-≦,-2)∪(2,+≦)13.【解析】令t=2x,≧0≤x≤2,≨1≤t≤4.又y=22x-1-3〃2x+5,≨y=错误！未找到引用源。
t2-3t+5=错误！未找到引用源。
(t-3)2+错误！未找到引用源。
.≧1≤t≤4,≨t=1时,y max=错误！未找到引用源。
.答案:错误！未找到引用源。
14.【思路点拨】根据条件先探究函数的奇偶性、周期性,再将所求函数值转化为已知函数值求解.【解析】依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,≨f(错误！未找到引用源。
)+f(1)+f(错误！未找到引用源。
)+f(2)+f(错误！未找到引用源。
)=f(错误！未找到引用源。
)+f(1)+f(-错误！未找到引用源。
)+f(0)+f(错误！未找到引用源。
)=f(错误！未找到引用源。
)+f(1)-f(错误！未找到引用源。
)+f(0)+f(错误！未找到引用源。
)=f(错误！未找到引用源。
)+f(1)+f(0)=错误！未找到引用源。
-1+21-1+20-1=错误！未找到引用源。
.答案:错误！未找到引用源。
15.【解析】(1)≧f(x)为R上的奇函数,≨f(0)=0,b=1.又f(-1)=-f(1),得a=1.经检验a=1,b=1符合题意.(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.≧x1<x2,≨错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
>0,又≧(错误！未找到引用源。
+1)(错误！未找到引用源。
+1)>0,≨f(x1)-f(x2)>0,≨f(x)在(-≦,+≦)上为减函数.(3)≧t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,≨f(t2-2t)<-f(2t2-k).≧f(x)为奇函数,≨f(t2-2t)<f(k-2t2),≧f(x)为减函数,≨t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3(t-错误！未找到引用源。
)2-错误！未找到引用源。
≥-错误！未找到引用源。
,≨k<-错误！未找到引用源。
.。