线性代数B复习资料

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线性代数B复习资料

线性代数复习资料1．dcb a0430021000=（）(A) （bc －ad ） (B ) 2（bc －ad ） (C) 2（bc+ad ） (D) （bc+ad ）2．1111111111111111--+---+--x x x x =（）(A) －4x (B) 3x (C) 24x (D ) 4x4．0000000004321a a a a =（）(A) 4321a a a a (B ) －4321a a a a (C) 24321a a a a (D)－24321a a a a 6．设A 为n 阶行列式，则kA =（） (A)A k (B)Ak⋅ (C ) A kn(D) A kn⋅7．设A ，B 均为n (n>2) 阶行列式，则（）(A)B A B A +=+ (B) B A B A -=-(C ) B A AB ⋅= (D) B A OBA O ⋅=8．下列行列式哪一个不等于零（）(A)11011000111001(B )11011000111001-(C)11011000111001-- (D)11011000111001----9．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，则232333132222321221123111352352352a a a a a a a a a a a a ---=（） (A) 18 (B ) －18 (C) －9 (D)2710．41332211000000a b a b b a b a =（）(A) 4321a a a a －4321b b b b (B) 4321a a a a +4321b b b b (C) (21a a －21b b )(43a a －43b b ) (D ) (41a a －41b b )(32a a －32b b )11．记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为f(x)，则方程f(x)=0根的个数为(A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D)4 12．设A 为n 阶方阵，则A =0的必要条件是 (A) A 的两行元素对应成比例(B ) A 中必有一行为其余行的线性组合 (C) A 中有一行元素全为零(D) A 中任一行为其余行的线性组合13．是A 三阶矩阵，A =2，A 的伴随矩阵为*A ，则*A2=（）(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D ) 3215．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =M ≠0， 2322213332311312111222222222a a a a a a a a a D =，那么1D =（） (A) 2M (B)－2M (C) 8M (D ) －8M16．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a =1，1D = 333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a ---，那么1D =（） (A) 8 (B )－12 (C) 24 (D) －2417．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为（） (A) -1 (B) 2 (C) 3 (D ) 118．行列式=200220012000199919981997199619951994(A) -1 (B) 2 (C) 1 (D ) 019．已知a ，b 为整数，且满足081100000=-a bb a，则（） (A) a=1，b=0 (B )a=0，b=0 (C)a=0，b=1 (D) a=1，b=1 20．设A 为三阶矩阵，A =a, 则其伴随矩阵*A 的行列式*A=（）(A) a (B ) 2a (C) 3a (D) 4a 21．设A ，B ，C 为n 阶方阵，且ABC=I ，则（）(A) ACB=I (B)CBA=I (C) BAC=I (D ) BCA=I 22．设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则（）（A ）A A =* （B ）1-*=n AA （C ）nA A=*（D ）1-*=AA23．设A ，B 均为n ×n 阶矩阵，则必有（）（A ）B A B A +=+ （B ）AB=BA（C ）BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A24．设A ，B 为n 阶方阵，且AB= O ，则必有（）（A ）若r(A)=n, 则B=O （B ）若A ≠O, 则B=O （C ）或者A= O , 或者B=O （D ）O B A =+25．设A 是n ×m 阶矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，r(A)=r ，B=AC ，r(B)= 1r ,则( ) （A ） r >1r （B ） r<1r（C ） r =1r （D ）1r 和r 的关系依而定 26．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）（A ）112)2(--=A A （B ）O AA ≠*（C ）AAA 11)(--*=（D ）T T T A A ])[(])[(111---=27．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n28．设n 阶方阵A 经初等变化后所得方阵记为B ，则（） (A) B A = (B) B A ≠(C) B A ⋅>0 (D ) ，若0=A 则0=B 29．A ，B 均为n 阶矩阵，下列各式中成立的为（） (A) 2222)(B AB A B A ++=+ (B) T T T B A AB =)((C) O B O A O AB ===或则, (D ) ，若0=+AB A 则00=+=B I A ，或30．设A ，B ，B A +，11--+B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+B A 等于（A ）11--+B A （B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A31．设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（）(A) r=n (B ) r<n (C) r ≥n (D) r>n 32．设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 伴随矩阵，则（） (A ) 1-*=n AA(B) A A=*(C) nA A=*(D) 1-*=AA33．设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2)，*A 是A 伴随矩阵，则（） (A ) ()A A A n 2-**= (B) ()A A A n 1+**= (C) ()A AAn 1-**= (D) ()A AAn 2+**=34．设n 维向量⎪⎭⎫⎝⎛=21,0,0,21 α, 矩阵A=I －αα'，B=I+2αα'，其中I 为n 阶单位矩阵，则（A ）0 （B ）－Ｉ（C ）I （D ）I+αα'35．设A ，B 为同阶可逆矩阵，则 (A) AB=BA(B) 存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 (C) 存在可逆矩阵C 使得B AC C =' (D) 存在可逆矩阵P 和Q 使得B PAQ = 36．下列命题中不正确的是( ) (A) 初等矩阵的逆也是初等矩阵 (B ) 初等矩阵的和也是初等矩阵 (C) 初等矩阵都是可逆的(D) 初等矩阵的转置仍初等矩阵38．设A 是任一阶方阵，*A 是A 伴随矩阵，又k 为常数，且k ≠0，±1，则必有()*kA =(A) *A k (B ) *-A k n 1 (C) *A k n (D) *-A k 1 39．设A ，B ，C 为n 阶方阵，若AB=BA ，AC=CA ，则ABC 等于（A ） BAC （B ）CBA （C ）BCA （D ）CAB40．622211211=a a a a 若，则12020221221112--a a a a 的值为（） (A) －12 (B )12 (C) 18 (D) 041．设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB ＝Ｏ，则下列一定成立的为（）（A ）A= O , 或者B=O （B ）A ，B 都不可逆（C ）A ，B 中至少有一个不可逆（D ）A+B=O42．设A ，B 均为n 阶矩阵，且满足等式AB ＝Ｏ，则必有（）（A ），0=A 或0=B （B ）A= O , 或B=O （C ）A+B=O （D ）O B A =+43．D=01110212=-k k的充分必要条件是（） (A) k=2 (B) k=0 (C ) k=3 (D) k=－344．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则AB 的伴随矩阵*)(AB = (A) **B A (B) 11--B A AB(C) 11--A B (D ) **A B45．行列式A==84703362205010（）(A) －12 (B) －24 (C) －36 (D ) －7246．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有（）（A ）A= B （B ）A=I （C ）AB=BA （D ）B=I 47．设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A=（）（A ）1-n a （B ）1+n a （C ）n a （D ）a。

线性代数复习要点

线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。

线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。

下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。

-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。

-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。

-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。

-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。

2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。

矩阵的大小由行数和列数确定。

-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。

-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。

-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。

-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。

3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。

-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。

-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。

-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。

-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。

4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。

-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。

-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。

-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。

-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。

5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。

-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。

-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。

-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。

-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。

线性代数B(部分)第四部分小结

(5) 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax＝b 的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系,k1, k2为任意常数，则方程组Ax＝b的通解必是（）． β1 − β 2 β1 + β 2 (a)k1α1 + k2 (α1 + α 2 ) + ;(b)k1α1 + k2 (α1 − α 2 ) + ; 2 2 β1 − β 2 β1 + β 2 (c)k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + ;(d )k1α1 + k2 ( β1 − β 2 ) + . 2 2 解由非齐次线性方程组解的结构知， Ax b Ax＝b的通解为其一个特解与对应的齐次线性方程组的通解之和．由此对照4个选项，因
其中 ξ1, ξ2,…, ξn-r为Ax = 0的基础解系；η*是Ax =b的一个特解.
四、典型例题
1、填空、选择题、填空、例1 填空（1）设向量组α1＝（1，1，1）, α2＝（1，2，3）, α3＝（1，3，t）线性相关，则t＝_________．解本题有多种解法，可以用由向量组组成的行列式等于零，也可以用由向量组组成的矩阵的小于3．由于
解因为β，α1，α2线性相关，所以β，α1，α2， α3也线性相关，而β，α2，α3线性无关,由定理知α1可用β, α2, α3 线性表示．故选(C). (2)设A为n阶方阵，且R(A)=n－1， α1，α2是Ax＝0的两个不同的解向量, k为常数, 则Ax＝0的通解[ ]． (A) kα1; (B) kα2; (C) k(α1－α2); (D) k(α1+ α2).
β1－β 2
2 β1 + β 2 解，所以可排除(a)、(c),在(b) 、 (d)中是Ax＝b 2

《线性代数》复习题B

厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（）。

A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。

1．B 。

解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（）。

A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。

2．C 。

解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。

A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。

4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（）。

A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。

《线性代数》复习重点内容-(详细版)

10. 方阵 A 是可逆矩阵 ⇐⇒ A 是非奇异矩阵 ⇐⇒ A 是满秩矩阵 ⇐⇒ |A| ̸= 0. 方阵 A 是不可逆矩阵 ⇐⇒ A 是奇异矩阵 ⇐⇒ A 是降秩矩阵 ⇐⇒ |A| = 0.
11. n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是
;
(ii) 有唯一解的充要条件是
(iii) 有无穷多个解的充要条件是
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...
...
3. ak1 · · · akk
=
c11 · · · c1k b11 · · · b1n
...
...
...
...
cn1 · · · ank bn1 · · · bnn
. 【P. 7 例 5】 . 【P. 7 例 6】 . 【P. 14 例 10】
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三、16 个重要概念 1. 行列式【P. 6 定义】 2. 余子式、代数余子式【P. 16】 3. 矩阵【P. 29 定义 1】 4. 伴随矩阵【P. 41 例 9】 5. 逆矩阵【P. 43 定义 7】
6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】 7. 两个矩阵的等价【P. 59】 8. 矩阵的秩【P. 66】 9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】 10. 线性相关、线性无关【P. 87 定义 4】 11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90 定义 5、P. 91 推论】 12. 基础解系【P. 95】 13. 正交矩阵【P. 115 定义 4】 14. 特征值、特征向量【P. 117 定义 6】 15. 两个矩阵的相似【P. 121 定义 7】 16. 两个矩阵的合同【P. 129 定义 9】
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线性代数B考试大纲

《线性代数B》考试大纲总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解线性代数中行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、相似矩阵；学会、掌握或熟练掌握上述各部分知识的结构、知识的内在联系及本课程中的基本方法；应具有一定的抽象思维能力、培养和提高逻辑思维以及分析问题解决问题的能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算，能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

内容一、行列式1. 知识范围（1）二、三阶行列式及其对角线法则（2）全排列的概念，对换，排列的逆序数，排列的奇偶性（3）行列式的概念（4）行列式的性质，行列式按行（列）展开定理（5）余子式、代数余子式的概念2.考试要求（1）了解二、三阶行列式的对角线法则（2）了解全排列的概念，会计算排列的逆序数，会判断排列的奇偶性（3）了解行列式的定义（4）熟练掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开定理，并能熟练运用计算低阶行列式及简单的高阶行列式（5）了解行列式的余子式、代数余子式的概念，会计算行列式的余子式、代数余子式二、矩阵1. 知识范围（1）矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵，对角矩阵，纯量矩阵，上（下）三角矩阵（2）矩阵加法和数与矩阵的乘法，矩阵的乘法，矩阵的转置，方阵的行列式，及其运算规律（3）对称矩阵的定义，性质（4）方阵的伴随矩阵的定义，伴随矩阵的性质（5）逆矩阵的概念，逆矩阵存在的充分必要条件，逆矩阵的运算规律，逆矩阵的求法（6）矩阵的初等变换的定义，初等变换的逆变换，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，矩阵的标准形，及其应用（7）初等矩阵的概念，初等矩阵的逆矩阵，初等矩阵的性质，及其应用（8）等价矩阵的定义，性质（9）矩阵的秩的定义，矩阵的秩的求法，矩阵的秩的性质（10）满秩矩阵的定义（11）分块矩阵的定义，分块矩阵的运算法则，运算规律，分块对角矩阵的性质2. 考试要求（1）理解矩阵的概念，掌握单位矩阵、对角矩阵与对称矩阵的性质（2）掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律（3）理解伴随矩阵的定义，会运用伴随矩阵的性质（4）理解逆矩阵的概念及其性质，熟练掌握逆矩阵的求法（5）熟练掌握矩阵的初等变换及其应用，理解等价矩阵的定义，性质（6）理解矩阵的秩的概念并掌握其求法，会运用矩阵的秩的性质证明一些相关结论（7）了解满秩矩阵的定义（8）了解分块矩阵的定义、运算法则和运算规律三、向量组的线性相关性1. 知识范围（1）n维向量的概念及其运算（2）向量组的定义，向量的线性组合的定义，向量的线性表示的定义及其判别定理（3）向量组的线性相关的定义、性质、判别（4）向量组的线性无关的定义、性质、判别（5）向量组的秩的定义，向量组的极大无关组的定义，向量组的秩和极大无关组的求法，向量组的秩的性质（6）向量的内积、长度与正交的概念，规范向量组，施密特（Schimidt）正交化过程 2. 考试要求（1）了解n维向量的概念及其运算（2）理解向量组的线性相关、线性无关与线性表示的概念、性质和判别，了解与之有关的重要结论，会用这些结论证明一些命题（3）了解向量组的极大无关组和秩的概念，会求向量组的秩和极大无关组（4）了解向量的内积、长度与正交的概念，了解规范向量组的概念，会用施密特正交化过程把向量组正交规范化四、线性方程组1. 知识范围（1）克莱默（Crammer）法则（2）非齐次线性方程组无解、有惟一解、有无穷多解的充分必要条件；齐次线性方程组有非零解、只有零解的充分必要条件（3）齐次（非齐次）线性方程组解的性质，齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组解的结构（4）用矩阵的初等行变换法求解线性方程组的方法（5）用计算机解线性方程组的基本方法2. 考试要求（1）理解克莱默法则（2）理解非齐次线性方程组无解、有惟一解、有无穷多解的充分必要条件；理解齐次线性方程组有非零解、只有零解的充分必要条件；会运用线性方程组的理论讨论线性方程组解的情况（3）理解齐次（非齐次）线性方程组解的性质；理解齐次线性方程组的基础解系和通解；理解非齐次（齐次）线性方程组解的结构，会运用线性方程组解的结构求线性方程组的通解（4）熟练掌握用矩阵的初等行变换法求解线性方程组的方法和基本步骤（5）了解用计算机解线性方程组的基本方法五、相似矩阵1. 知识范围（1）矩阵的特征值与特征向量的定义，矩阵特征值与特征向量的性质（2）相似矩阵的定义，相似矩阵的性质，矩阵相似对角化的条件（3）矩阵的相似对角化方法，实对称矩阵的相似对角阵的求法（4）正交矩阵的定义，正交矩阵的性质2. 考试要求（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念，熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量，熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的性质（2）了解相似矩阵的概念、性质和矩阵相似对角化的条件，会判断一个矩阵在什么条件下可以相似对角化（3）熟练掌握矩阵的相似对角化和实对称矩阵的相似对角阵的求法（4）了解正交矩阵的概念，及其性质试卷结构试卷总分：100分考试时间：120分钟试卷内容比例：行列式约12%矩阵约28%向量组的线性相关性约16%线性方程组约24%矩阵的特征值与特征向量约20%试卷题型比例：选择题：约24%填空题：约24%计算题：约42%证明题：约10%试题难易比例：容易题：约50%中等难度题：约40%较难题：约10%制定日期：2008.10。

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复习重点：第一部分行列式1．排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2．行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3．行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1．矩阵的运算性质2．矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3．伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4．矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15）第三部分线性方程组1．线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P .80第16、17、18题）2．齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3．非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值 5. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O，则： Ⅰ、12s A A A A =L ；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nE OF OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ :； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X :，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x :，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭Oλλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B :，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A -=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话） ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L ； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M L（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m αααL 构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =L ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T Tm βββL 构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4. ()()T r A A r A =；(101P 例15) 5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s αααL 线性相关，则121,,,,s s αααα+L 必线性相关；若12,,,s αααL 线性无关，则121,,,s ααα-L 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔= 向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P L ，使12l A P P P =L ；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c A B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯L 可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯L 线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =L L （B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=Q ；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；。

《线性代数B》复习题

一、填空题：1.行列式 843591712-中元素21a 的代数余子式等于_________.2. 若,8=d c b a ,2=c f ae 则=++f d c e b a ___________.3. 交换行列式中两行的位置行列式 .4.行列式 00 (00)0...10 02 (001)0...00n n -= .5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .6. =00000000a b b a b a ab ______________.7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2324B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =__________.8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1A -=______________.9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .10. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.《线性代数B 》复习题12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．（填线性相关，线性无关或不能确定）16.向量组123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===、、的秩是______.17.设η是非齐次线性方程组Ax =b 的解，ξ是方程组0=Ax 的解，则ξη2+为方程组________________的解.18.齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数_____________.19.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .20.若非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，则方程组0=Ax ___________.21.齐次线性方程组0AX =一定有解.22. 设12143314A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则t = .23．线性方程组AX =B ，其增广矩阵经初等行变换化为100101020013A ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，此方程组的解为．24.设1x=η及2x=η都是方程Ax =b 的解，则12x =ηη-为线性方程组______的解.25.设A 为6阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有_______个线性无关的解向量.26.λ是A 的特征值，则___________是kA 的特征值.27.设可逆方阵A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为___________.28. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值___________.29.若矩阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值121,2,λλ=-=则A 的第3个特征值3λ= .30.设n 阶方阵()ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ ，则有12n λλλ= .二、单项选择题：1.若行列式a a a a a =222112110≠，则行列式222112115522a a a a=（）.A ．10aB ．2aC ．5aD ．7a2.若,8=d c b a ,2=a e cf 则=++f d c eb a （）.A ．10 B. 6 C. -6 D. -103. 设A 是6阶方阵，则=A 3( ).A ．63AB ．A 3C ．A 63D ．6A4. 二阶行列式θθθθcos sin sin cos -的值为（）A ．-1B ．1C ．θ2sin 2D ．θ2cos 25. 111334211=---k 时，k 的取值是( ).A ．2=kB ．1=kC ．1-=kD ．3=k6.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵*A =( ).A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11117．下列说法正确的是( )A. A 和B 为两个任意矩阵，则A-B 一定有意义.B ．任何矩阵都有行列式.C ．设AB 、BA 均有意义，则AB=BA.D ．矩阵A 的行秩=A 的列秩=A 的秩.8.设A 与B 是等价矩阵，则下列说法错误的是（）.A ．齐次线性方程组AX=0与BX ＝0同解 B. 秩)()(B r A r =C. 非齐次线性方程组AX=b 与BX ＝b 同解D. A 经有限次初等变换得到B9.下列矩阵为初等矩阵的是（）.A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210010001 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321213 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000000110.若矩阵A =1131422711⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩是（）.A . 3B ．2C ．1D ．011.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a aa A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y a x a 2111B ，且2,3==A B ，则=+BA （）. A ．4 B ．5 C ．10 D ． 612.设A ,B 是n 阶可逆矩阵，那么（）不正确.A ．111()AB B A ---= B ．T A A =C ． 112)2(--=A AD ．AB BA =13.对n 阶可逆方阵,A B ，数0λ≠，下列说法正确的是（）.A. AB BA =B. 111)(---=B A ABC. 11()A A --=D. 11()A A λλ--=14. 对任意同阶方阵A,B ，下列说法正确的是（）.A ．T T T AB AB =)( B. |A+B|=|A|+|B| C. 111)(---=B A AB D. BA AB =15.设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（）.A ．若02=A ，则0=AB ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．若AC AB =，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+16.设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有（）.A ．121,,,-s ααα 线性相关 B. 121,,,+s ααα 线性相关C ．121,,,-s ααα 线性无关 D. 121,,,+s ααα 线性无关17.向量组),0,0,1(1=α),0,1,0(2=α)1,0,0(2=α的秩为（）.A ．0 B. 1 C. 2 D. 318.设向量组αα1,, m 线性相关,则必可推出（ ) .A ．αα1,, m 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合B ．αα1,, m 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合C ．αα1,, m 中至少有两个向量成比例D ．αα1,, m 中至少有一个向量为零向量19.设321a a a ,,线性相关,则以下结论正确的是（）.A. 12,a a 一定线性相关B. 13,a a 一定线性相关C. 12,a a 一定线性无关D. 存在不全为零的数k 1,k 2,k 3使1122330k a k a k a ++=20.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.21. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kxx 有非零解，则k =( ) .A. -1B. -2C.1D.222. 若()r A r n =<，则n 元齐次线性方程组0=AX （）.A. 有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定23.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.A. 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解B. 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（）.A. 若12,x =x =ξξ都是方程0Ax =的解，则12x =ξξ+也是方程0Ax =的解B. 若1x=ξ是方程0Ax =的解，则13x =ξ也是方程0Ax =的解C. 若1x=ξ是方程Ax b =的解，则13x =ξ也是方程Ax b =的解D. 0Ax =的基础解系中的解向量线性无关25.设12,u u 是非齐次线性方程组b AX =的两个解,则以下正确的是( ) .A ．12u u +是b AX =的解B ．12u u -是b AX =的解C ．12u u -是0Ax =的解D ．12u 是b AX =的解26.含有5个未知量的齐次线性方程组0AX =系数矩阵的秩是3, 则此齐次线性方程组0AX =（）.A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解27.设n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，则必有（）.A ．|A|=0 B. 秩0)(=A r C. 秩n A r =)( D. 秩n A r <)(28.n 元非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是（）.A ．n A r =)( B. )()(A r A r < C. n A r =)( D. )()(A r A r =29. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则其逆1-A 必有一个特征值等于（）.A ．14 B ．12 C ．2 D ．430. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3113A 的特征值为（）.A ．4,221==λλ B. 4,221-==λλ C. 4,221=-=λλ D. 4,221-=-=λλ三、判断正误：1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零．（）2.行列式0111101111011110=-3（）.3.两个n 阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等. （）4.设2阶方阵A 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111.（）5.若,AB BA 均有意义，则必有AB BA =.（）6. 矩阵的初等变换改变矩阵的秩. （）7.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中所有3阶子式都为零.（）8.设,A B 是n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++ （）.9.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出．（）10.向量组123,,ααα线性无关的充分必要条件是123,,ααα中任二向量线性无关（）.11. 5个4维向量线性相关. （）12.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（）13.若12,ξξ都是Ax b =的解，则()112ξξ+也是Ax b =的解. （）14.若齐次线性方程组0AX =有非零解，则它一定有无数个解.( )15. 若非齐次线性方程组AX b =的导出组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有无穷多解. （）16. 若1x =ξ，2x =ξ为Ax b =的解，则1232x =ξ+ξ也是它的解.（）17. 若λ是方阵A 的特征值，则λ也是2A 的特征值．（）18. 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值. （）19. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．（） 20. 特征向量可以是零向量.（）四、计算题：1.求4阶行列式 1013112513014112的值.2.求4阶行列式0022110112112110-----的值.3.设矩阵X 满足等式 1212+410T X -⎛⎫= ⎪⎝⎭0117232213-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 4.解矩阵方程，设AX B X -=，求X ，其中A =20133121,2001111B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311010211A ,求逆矩阵1-A .6. 解齐次线性方程组12341234123412344032023503560x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 求通解.7.解方程组124512351234521222225x x x x x x x xx x x x x +++=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-+=⎩.8. 当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++1432131321321ax x x x x x x x 有无穷多解？此时，求出方程组的通解。

线性代数B复习资料

一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）；（C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【】（1）若有唯一解，则仅有零解。

（2）若有非零解，则有无穷多解。

（3）若无解，则仅有零解。

（4）若有无穷多解，则有非零解；（A ）（1）、（3）；（B ）（1）、（4）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【】（A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2）；（B ）（1）、（3）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【】也是Ax b =的解。

《线性代数B》各章知识点整理

《线性代数B 》各章知识点整理第一章行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。

沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案

线性代数B 部分复习题答案一、填空题1、的符号为（正）项在四阶行列式中42342311a a a a ，；注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。

2、由自然数1～9组成的排列213i 69j 85为偶排列，试确定i =7，j =4.3、;1)(21243)(2）项的系数是（的，则函数x x f xx x x xx f -=用对角线法则，仅挑出项2x ，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。

4、若;21041211112）或（，则==x x x这是范德蒙行列式，套用其结果5、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=012,121y x B A ，若AB =BA ，则1=x ，y=2； 6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3142A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1212231A ； 7、;81214 **-=-=A A A A ，则的伴随阵，且阶方阵是设8、设n 阶行列式D =det(a ij )中，元素a ij 的代数余子式是A i j ，则⎩⎨⎧≠==∑=j i ji D a jk nk ik 01A ；这是代数余子式重要性质。

9、若n 元齐次线性方程组Ax =O 有n 个线性无关的解向量，则A =O ；因Ax =O 有n 个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n ，从而R(A)=0 10、若()()()T3T2T1,3,5,1,3,1,0,1,1t =-==ααα 线性相关，则1=t11、设A 是5×6阶矩阵，如果A 有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A 的秩是3；12、设齐次线性方程组AX =O 的同解方程组为⎩⎨⎧=++=--042052432431x x x x x x ，则方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1045,0122. 13、当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==321321321)1(k k k A 时，的秩为1. 14.设方阵A 满足O E A A =--322，则；331EA -=-A 据教材P 43推论15、在矩阵A 的左端乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵A 施行了一次相应的初等行变换. 16、=-=-*1*73313 A A A A A ）（，计算的伴随阵，若阶方阵是设-2417、()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-=8041,8,4,4,12,02,0,12T21T1ααa a 则，二、是非题1、设A 、B 为n 阶方阵，且AB =O ，则必有0=A 或0=B ；（ √ ）据方阵行列式性质，注意：方阵取行列式后变成数了。

线性代数B(第一章)

5
二阶行列式的计算
主对角线副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记系数行列式
D
a11 a21
a12 a22
,
.
6
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
( 32514) 2 1 2 0 0 5 .
24
例题与讲解

例：判断排列135…(2k-1)246…(2k）的奇偶性。解：(2k)的前一个数是(2k-2),故,(2k-1)与246…(2k-2)
k (k 1) =t 0 1 2 3 (k 1) 2 当k=4n时， t = 2n(4n-1)为偶数当k=4n+1时, t =2n(4n+1)为偶数当k=4n+2时, t =(2n+1)(4n+1)为奇数当k=4n+3时, t =(2n+1)(4n+3)为奇数
经济数学基础(二)
线性代数
第一章
行列式
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开 §1.4 克莱姆法则
1
§1.1 n阶行列式

一. 二、三阶行列式二. 排列与逆序数三. n阶行列式行列式的概念来源于解线性方程组的问题。中学里曾用二、三阶行列式解二、三元线性方程组。在一定条件下,该方法可推广到解n元线性方程组。同时行列式也是研究线性代数的一个重要工具。在这一章，我们从二、三阶行列式的复习开始，进一步探讨更一般的n阶行列式定义及性质。 .

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数xx 乘积之和，即1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n = 例1、计算行列式二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：若系数矩阵可逆，则切记不能写成或求逆矩阵的方法：1、待定系数法2、伴随矩阵法其中叫做的伴随矩阵，它是的每一行的元素的代数xx 排在相同序数的列上的矩阵。

112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法例2、解矩阵方程例3、解矩阵方程，其中三、解齐次或非齐次线性方程组设，元齐次线性方程组有非零解元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组只有零解。

当时，元齐次线性方程组有非零解。

当时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组的解满足：（1）线性无关，（2）的每一个解都可以由线性表示。

则叫做的基础解系。

定理1、设，齐次线性方程组，若，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于。

齐次线性方程组的通解设，元非齐次线性方程组有解。

唯一解。

无数解。

无解。

非齐次线性方程组的通解，例4、求齐次线性方程组的通解例5、求非齐次线性方程组的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组，问当为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性线性相关中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结「篇一」第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幕知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化。

工程数学B 复习大纲

工程数学B 层次线性代数部分1. 排列的逆序数。

如：53214,52134,3412等1. 二阶行列式的求法如：131013241214，等2. 三阶行列式的求法如：123123100234435430321842842，，等3. 二阶，三阶矩阵的加，减，乘法，转置的运算。

如：1254,3438A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2,B A AB A B '-，4. 三阶矩阵秩的求法。

如：123234369⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 135234469⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭5. A 为n 阶方阵，则=kA6. 方程组的求解. 如：123123123+6243+28x x x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩7. 齐次方程组与非齐次方程组解的关系。

概率论部分1．事件的表示。

都不，不都2．事件的独立性，互不相容的条件下，事件的加法，减法计算如：在事件的独立性，互斥的条件下且()0.5P A =，(B)0.6P =，求()()P A B P B A ⋃-，? 3．简单的古典概型计算。

如：见书上简单例题4．条件概率公式。

如：P(B)=0.5，P(A B )=0.4,求P(AB)5．全概率与贝叶斯公式。

如：见书上的例题。

6．离散型的期望与方差.如： X -2 1 3 P 0.3 0.3 0.2 求：E(X)与D(X)的值7．泊松分布的概率分布。

(=1)=(=2)P x P x ，求λ8. 二项分布的期望与方差。

线性代数B总复习

第五章
相似矩阵
用施密特正交化法将线性无关向量组化为正交向量组求特征值与特征向量求方阵多项式的特征值及行列式
★向量的内积，正交性 ★方阵的特征值的定义 ★方阵的特征值的性质 ★方阵可相似对角化的条件
会求含参数的方阵的相似对角化问题会将实对称阵正交相似对角化
6
注1：矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB BA. 注2：矩阵乘法一般不满足消去律, 即
AX AY X Y .
注3： AB O A O, or B O.性方程组
逆矩阵求解矩阵方程矩阵的秩
★矩阵的初等变换
会判别初等矩阵 ★初等矩阵会求初等矩阵的逆矩阵讨论秩的问题
★矩阵秩的性质（8条） ★线性方程组解的判定条件
讨论含参数的线性方程组的解的存在问题
4
第四章
向量组的线性相关性
★用矩阵的初等变换求解向量组的线性表示判别向量组的线性相关性求最大无关组及线性表示求线性方程组的基础解系，通解 ★线性方程组的解的结构讨论解的问题（课本109页：27,30）
5
线性代数复习
(1)中心课题：求解多元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
空间为体，矩阵为用
(2)主要内容：行列式理论与矩阵论 (3) 研究对象：向量
研究工具：矩阵运算（矩阵的初等变换）
1
第一章
行列式
★行列式的性质(6条) 计算行列式 ★行列式按行(列)展开
2
第二章
矩阵及其运算

线代b知识点总结

线代b知识点总结向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一。

向量可以看作是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，而矩阵则是由数个数排成矩形阵列的数学对象。

在实际应用中，向量和矩阵可以用来表示各种物理量，如力、速度、位移、电场强度、磁场强度等。

线性代数中的向量和矩阵可以进行加法和数乘运算，定义了向量空间和矩阵空间的概念。

在线性代数中，向量和矩阵的运算规律和性质是非常重要的。

向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是指具有向量加法和数乘运算的集合，并满足一定的运算规律和性质。

向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的，例如实数空间和复数空间就是无限维的向量空间。

线性代数中的向量空间可以用来描述各种物理量的性质和运算规律，是分析和求解问题的重要工具。

线性变换是线性代数中的一个基本概念，它指的是一个向量空间到另一个向量空间的映射，并满足一定的线性性质。

线性变换可以用矩阵来表示，而且线性变换的性质和运算规律与矩阵的性质和运算规律有着密切的联系。

线性变换在物理、工程、计算机图形学等领域有着广泛的应用，是线性代数中的一个重要概念。

特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们可以用来求解线性变换的性质和本征问题。

特征值和特征向量可以用来描述线性变换的旋转、拉伸、压缩等性质，是线性代数中的一个重要内容。

特征值和特征向量的性质和运算规律与矩阵的性质和运算规律有着密切的联系，它们在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。

线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域都有着广泛的应用，它研究向量空间和线性变换的性质和运算规律，是现代科学和工程技术的基础之一。

线性代数的基本知识包括向量、矩阵、向量空间、线性变换、特征值和特征向量等方面，它们的性质和运算规律对于分析和求解问题都有着重要的意义。

通过对线性代数的学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高我们的分析和解决问题的能力。

线性代数复习总结(重点精心整理)

线性代数复习总结大全第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。