线性代数B复习资料

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线性代数第三章(B)1

从而: 从而:
即: 行向量组 A 被 B 表示
.反之也然. 反之也然. 存在 D , 使得
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2. 初等变换与向量组等价的关系
初等行变换存在非异阵C 存在非异阵使得线性表示行向量组 B 被 A 线性表示存在非异阵C 存在非异阵使得线性表示行向量组 A 被 B 线性表示
xi 表示第 i 个分量个分量.
没有指明是行(列向量时向量时, 没有指明是行列)向量时都当作列向量
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3. 几个特殊的向量 1) 零向量： ) 零向量： 2)负向量： )负向量： 3)标准单位向量： )标准单位向量：
标准单位列向量
标准单位行向量
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结论: 结论:
初等行变换初等列变换
行向量组 A 与 B等价等价
存在非异阵D 存在非异阵使得线性表示列向量组 B 被 A线性表示线性
存在非异阵D 存在非异阵使得线性表示列向量组 A 被 B 线性表示
结论: 结论:
初等列变换
列向量组 A 与 B等价等价
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结束
【例5】证明任何维向量】证明任何n维向量单位向量线性表示. 线性表示
均可由n维均可由维
证明: 证明因为

《线性代数》复习题B

厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期

《线性代数》课程复习题（ B ）

一、选择题

1．设行列式 1

112

223

3a b c a b c d a b c =，则111111

2222223

333

223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（）。 A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。 1．B 。解：由行列式的性质可知

111111111111

222222222223

33333

223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3

A O =，则（）。 A ．A E +不可逆，E A -不可逆；

B ．A E -不可逆，A E +可逆；

C ．A E +可逆，E A -可逆；

D ．A

E +不可逆，E A -可逆。

2．C 。解：由于2

()()E A E A A E A E -++=-=，2

()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。 A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

《线性代数》复习要点及练习

第一章行列式

复习要点：

1. 会计算逆序数，余子式，代数余子式

2. 熟练掌握行列式的性质，并能利用性质计算行列式

3. 掌握克莱姆法则

练习题：

1. 排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（）.

A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6

2.431235

-的代数余子式12A 是（）.

A 21

- B

- C 412

4125-

3. 排列32514的逆序数是（）.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

4.关于行列式，下列命题错误的是（）.

A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ．行列式可以按任意一行展开 5. 关于行列式，下列命题正确的是（）.

A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等

B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等

C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零

D ．以上命题都不对

6. 关于行列式，下列正确的是（）.

A. 如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零.

B. 互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等.

C. 行列式中有两行对应成比例，则此行列式为零.

D. 行列式与它的转置行列式互为相反数.

7. 下列命题错误的是（）.

A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解 C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解 D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解

线性代数b真题

线性代数是数学中一门重要而有用的学科，也是高等教育中许多学科中一门必修课程。线性代数作为一门研究线性空间及其上的向量、矩阵和系数的数学学科，其应用非常广泛，从工程学、物理学、统计学到金融数学等都有重要的作用。对于研究和学习线性代数，考生们需要多做一些真题练习，以加强理解能力。

本文以《线性代数b真题》为例，针对线性代数b真题进行练习，以帮助考生更好地掌握线性代数相关知识。首先，介绍下【线性代数

b真题】：

【线性代数b真题】

1、证明：设A为m×n矩阵，若A的秩等于n，则A有n个线性无关的列向量。

2、设A、B是n×n非奇异矩阵，证明：AB=BA时，A和B的特征多项式一样。

3、设A是n×n矩阵，A的特征多项式为(x-λ1)(x-λ2) (x)

λn)，证明：A的行列式等于(λ1-λ2)(λ2-λ3)…(λn-1-λn)。

4、设A是n×n对称矩阵，半正定矩阵，证明A是正定矩阵并且有n个正实特征值。

5、设A是m×n矩阵，A的特征多项式为(x-λ1)(x-λ2) (x)

λn)，证明：A的秩等于n，且λ1=λ2=…=λn=0。

证明：

1、由A的秩等于n得知矩阵A可以经过初等行变换将A变为阶

梯型矩阵，由此可以判断矩阵A的列向量之间满足线性无关性，即A 有n个线性无关的列向量。

2、首先，根据AB=BA得到A和B有同样的特征值，假设特征值为{λ1,λ2,…,λn}，根据定义可知，A和B的特征多项式分别为(x-λ1)(x-λ2)…(x-λn)，去除公因子可得A和B的特征多项式完全一致，即AB=BA时，A和B的特征多项式一样。

线性代数B(答案)

一、填空。（3×8=24分）

1.设A 为三阶方阵，且4=A ，则=-1A 4

2.设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=310220002A ，则=A 8

3.设A 是5⨯p 阶矩阵，B 是4⨯m 阶矩阵，AB 是q ⨯7阶矩阵，则=p 7，=m 5，=q 4

4.设B A ,为n 阶方阵，若0≠A ，且0=AB ，则=B 0

5.若*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则有=*A A E A

6.非齐次线性方程组b Ax =有解的充要条件为),()(b A r A r =

7.设n 维向量组321,,∂∂∂中，32,∂∂线性相关，则向量组321,,∂∂∂线性相关（填“线性相关”或“线性无关”）

8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。

二、计算行列式的值。（10分）

531003

722131203122

130120031202

0110121

120011022011

-=---=---=---=----=----=

GDOU-B-11-302

三、已知矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=321122101A ，求1-A 。（10分）

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111100345020112001101420012320001101100321010122001101),(E A

⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---

-→111

10023225010112001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---

-=-1112322511

四、设矩阵⎪⎪⎪

⎭

赵树源线性代数复习题四(B)题目和答案

1．三阶矩阵A 的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[ ]。

()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -

【解】应选择答案()A 。因为：

由已知及特征值定义，A 的特征方程

0I A λ-=的根为－2，1，3，

应有2I A --=I A -=30I A -=，

即有32(1)20I A I A +=---=，知2I A +为奇异矩阵；

由0I A -=知I A -为奇异矩阵；

33(1)30A I I A -=--=，知3A I -为奇异矩阵；

而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是A 的特征值，从而20I A -≠，即

2I A -为非奇异矩阵。

2．设02λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵21

1()3

A -必有一个特征值为[ ]。

()43A ()34B ()34C - ()43

D - 【解】应选择答案()B 。因为：

02λ=是矩阵A 的一个特征值，即有2A αα=，

于是211()33

A A A αα=1(2)3A α=23A α=2

(2)3α=，

亦即214

A αα=，

对上式两端左乘211()3A -，得212211114

()()()()3333A A A αα--=，

亦即 21

41()33I A αα-=，

整理得2113

()34A αα-=，

这说明34是矩阵21

1()3

A -的一个特征值。

3．设1λ，2λ都是n 阶矩阵A 的特征值，12λλ≠，且1α与2α分别是A 的对应于1λ与2λ的

特征向量，则[ ]。

()10A c =且20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10B c ≠且20c ≠时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()120C c c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量 ()10D c ≠而20c =时，1122c c ααα=+必是A 的特征向量

线性代数复习提纲

第一章行列式

本章重点是行列式的计算，对于n阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。

1、行列式的性质

D D。（1）行列式与它的转置行列式相等，即 T （2）互换行列式的两行（列），行列式变号。

（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。

（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。

（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数k，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。

（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

2、行列式的按行（按列）展开

（1）代数余子式：把n 阶行列式中(),i j 元ij a 所在的第i 行和第j 列划掉后所剩的1-n 阶行列式称为(),i j 元ij a 的余子式，记作ij M ；记()1+=-i j ij ij A M ，则称ij A 为(),i j 元ij a 的代数余子式。

（2）按行（列）展开定理：

n 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第i 行展开：1122...,(1,2,...,)=+++=i i i i in in D a A a A a A i n 也可按第j 列展开：

1122...,(1,2,...,)=+++=j j j j nj nj D a A a A a A j n

《线性代数B》复习题

一、填空题：

1.行列式 8

435917

12-中元素21a 的代数余子式等于_________.

2. 若,8=d c b a ,2=c f a

e 则=++

f d c e b a ___________.

3. 交换行列式中两行的位置行列式 .

4.行列式 0

0 (00)

0...10 0

2 (001)

0...00n n -= .

5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .

6. =0

0000

000a b b a b a a

b ______________.

7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，

324B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，则AB =__________.

8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1

A -=______________.

9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .

10. 矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.

11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.

《线性代数B 》复习题

12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.

13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.

14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .

15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．

（填线性相关，线性无关或不能确定）

线性代数期末复习知识点参考

行列式

1. 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.

推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.

如11

121311121321

222321

222331

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．

性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.

如11

12131112131112

2121

2222

2323

21222321

222331

3233

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.

如11

121311121321

222321222331

3111

3212

3313

a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++

例1 已知，那么（）

A.-24

B.-12

C.-6

D.12 答案 B

解析

2. 余子式与代数余子式

在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j

线性代数资料大全(临阵必备)

线性代数资料大全

1、行列式

1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ij A 和ij a 的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

4. 设n 行列式D ：

将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2

1(1)

n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2

2(1)n n D D -=-；

将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2

(1)

n n -⨯ -；

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -⨯ -；

⑤、拉普拉斯展开式：

A O A C A

B C

B O

==、

(1)m n C

A O

A A

B B O

B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n

k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

7. 证明0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

沈阳理工大学线性代数B部分复习题答案

线性代数B 部分复习题答案

一、填空题

1、的符号为（正）项在四阶行列式中42342311a a a a ，；注意项的行标排成标准排列，项的符号取决列标排列的逆序数。

2、由自然数1～9组成的排列213i 69j 85为偶排列，试确定i =7，j =4.

3、;1)(212

3)(2）项的系数是（的，则函数x x f x

x x x x

x f -=

用对角线法则，仅挑出项2

x ，注意副对角线以及与副对角线平行线上元素之积取负号。

4、若;210412

）或（，则==x x x

这是范德蒙行列式，套用其结果

5、设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=012,121y x B A ，若AB =BA ，则1=x ，y=2； 6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3142A ，⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=-12

1223

A ； 7、;8

14 *

-=-=A A A A ，则的伴随阵，且阶方阵是设

8、设n 阶行列式D =det(a ij )中，元素a ij 的代数余子式是A i j ，则

⎩

⎨⎧≠==∑=j i j

i D a jk n

k ik 01A ；这是代数余子式重要性质。

9、若n 元齐次线性方程组Ax =O 有n 个线性无关的解向量，则A =O ；

因Ax =O 有n 个线性无关的解向量，故基础解系所含解向量个数n-R(A)=n ，从而R(A)=0 10、若()()()T

1,3,5,1,3,1,0,1,1t =-==ααα 线性相关，则1=t

11、设A 是5×6阶矩阵，如果A 有一个3阶子式不为零，而所有4阶子式全为零，则A 的秩是3；

【资料】线性代数B复习题

【关键字】资料

线性代数B复习资料

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且，则下列各式中可能不成立的是（A ）

(A) (B) (C) (D)

2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C ）(A)A≠O (B)A=O (C) (D)

3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D ）

(A) B为单位矩阵(B) B为零方阵(C) (D) 不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )

(A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合

(B) A的各行向量中至少有一个为零向量

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合

(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比率

5．设向量组线性无关的充分必要条件是( D )

(A) 均不为零向量

(B) 任意两个向量的对应分量不成比率

(D) 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示

6．向量组的秩就是向量组的(C )

(A) 极大无关组中的向量

(B) 线性无关组中的向量

(D) 线性无关组中的向量的个数

7．下列说法不正确的是( A )

(A) 如果r个向量线性无关，则加入k个向量后，仍然线性无关

(B) 如果r个向量线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量组仍然线性无关

(C)如果r个向量线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

(D)如果r个向量线性相关，则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n阶方阵A的秩r<n，则在A的n个行向量中( A )

线性代数复习资料

以下是一些线性代数的复习资料：

1. 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）：这是一本经典的线性代数教材，由Gilbert Strang 所著。书中详细介绍了线性代数的概念、定理和运算，配有大量的例题和习题。

2. MIT 开放课程：麻省理工学院开设了一门名为《线性代数》的公开课，由 Gilbert Strang 教授讲授。这门课程提供了视频讲座、讲义、习题和解答等资源，可以帮助你巩固线性代数的基础知识。

3. 线性代数的本质（The Essence of Linear Algebra）：该系列视频由 3Blue1Brown 制作，以图形化的方式讲解线性代数的概念。这些视频可以帮助你更好地理解线性代数的核心概念，并提供了一些直观的解释。

4. 网络课程平台：Coursera、edX、Khan Academy 等平台上有许多线性代数的在线课程，可以根据自己的学习需求选择适合的课程进行学习。

5. 习题集：各种线性代数习题集可以帮助你巩固和应用所学知识。你可以在书店或网上购买一本练习册，或者在网上搜索线性代数习题进行练习。

希望以上资料能够帮助你进行线性代数的复习。祝你学习进步！

线性代数B复习资料

一

一、选择题

1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【】

101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）；（C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【】

（1）若有唯一解，则仅有零解。（2）若有非零解，则有无穷多解。（3）若无解，则仅有零解。（4）若有无穷多解，则有非零解；（A ）（1）、（3）；（B ）（1）、（4）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）. 3.设1212101

0,,,24000021B C P A ⎡⎤

⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

可用矩阵乘法表示为【】（A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.

4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【】

111(1)()();

(2)()(3)()T T T

AB C A BC AB A B AB B A ---===

线性代数B总复习

★矩阵秩的性质（8条） ★线性方程组解的判定条件
讨论含参数的线性方程组的解的存在问题
4
第四章
向量组的线性相关性
★用矩阵的初等变换求解向量组的线性表示判别向量组的线性相关性求最大无关组及线性表示求线性方程组的基础解系，通解 ★线性方程组的解的结构讨论解的问题（课本109页：27,30）
5
第五章
相似矩阵
用施密特正交化法将线性无关向量组化为正交向量组求特征值与特征向量求方阵多项式的特征值及行列式
★向量的内积，正交性 ★方阵的特征值的定义 ★方阵的特征值的性质 ★方阵可相似对角化的条件
会求含参数的方阵的相似对角化问题会将实对称阵正交相似对角化
6
空间为体，矩阵为用
(2)主要内容：行列式理论与矩阵论 (3) 研究对象：向量
研究工具：矩阵运算（矩阵的初等变换）
1
第一章
行列式
★行列式的性质(6条) 计算行列式 ★行列式按行(列)展开
2
第二章
矩阵及其运算
(1)加法，数乘 (2)乘法 (3)逆矩阵 (4)分块矩阵逆矩阵会求矩阵方程
★矩阵的运算
注1：矩阵乘法一般不满足交换律，即 AB BA. 注2：矩阵乘法一般不满足消去律, 即
AX AY X Y .
注3： AB O A O, or B O.

线性代数总复习

表示法唯一，
解设
用克莱姆法则即
当
方程组解唯一，即表示法唯一。
当
同解方程当
表示法不唯一。
1 4 7 2 例9 设 1 2 2 5 3 8 1 3 6 10 2 1、证明 1 , 2 , 3 是 R3 的一组基。
例6（续）对角化---
4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化
例6（续）对角化---
例7---对角化例7 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q，
将矩阵B对角化。
例7（续）---对角化
4）将每个基础解系Schmidt正交化、再单位化
由于是单根，所以已经正交化，故只需单位化，令
1 6 1 2 1 3 令Q 1 , 2 , 3 1 6 1 2 1 3 , 2 6 0 1 3 则Q是正交矩阵, 并且
初等变换
R(A) =2
线性方程组的解法与解的结构线性方程组
解的存在性定理
各种解法
解的结构
定理1 设有非齐次线性方程组
方程组---1---存在性
定理2 设有齐次线性方程组
设
R(A)=r,则
方程组---2---通解、基础解系定理1 设有齐次线性方程组（2）
方程组---2---通解、基础解系定理2 设有非齐次线性方程组（1）