2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津理科数学试题及全解析
2013年天津卷理科数学试题一、选择题【1】（A ，天津，文理1）已知集合{}{}2,1,A x R x B x R x =∈≤=∈≤则AB =错误！未找到引用源。
A. (],2-∞B. []1,2C. []2,2-D. []2,1-考点名称：【1】集合【1】（A ，天津，文理1）D 集合[](]2,2,,1A B =-=-∞，所以[]2,1AB =-【2】（A ，天津，文理2）设变量x,y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z=y-2x 的最小值为错误！未找到引用源。
A. -7B. -4C.1D. 2考点名称：简单的线性规划【2】（A ，天津，文理2）A 如图，当目标函数经过可行域内点A(5，3)时，z 的最小值为-7.【3】（B ，天津，理3）阅读右边的程序框图，运行相应程序，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为错误！未找到引用源。
A. 64B. 73C.512D. 585考点名称：【24】算法初步与框图【3】（B ，天津，理3）B 根据程序框图，列表如下错误！未找到引用源。
【4】（B ，天津，理4）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线10x y ++=与圆2212x y +=相切， 其中真命题的序号是A. ① ② ③B. ① ②C. ① ③D. ② ③考点名称：【2】常用逻辑用语——命题【4】（B ，天津，理4）C ①设球的半径为R ，则体积343R V π=；若球的半径为2R ，体积为34()1238R V π=，所以①为真命题②A 组数据:1,2,3 ，平均数2，标准差为1；B 组数据：2，2，2，平均数2，标准差0. 所以②为假命题 ③圆心(0,0)半径r =，圆心到直线的距离d r ==，直线与圆相切.所以③为真命题 【5】（B ，天津，理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB ∆p = 错误！未找到引用源。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭。
2013年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
3
的线段长为 4 3 . 3
(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
AC·DB AD·CB 8 , 求 k 的值.
(19) (本小题满分 14 分)
已知首项为
3 2
的等比数列
{an} 不是递减数列,
(Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 , 求线段 AM 的长. 6
(18) (本小题满分 13 分)
设椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的左焦点为 F, 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得
a2 b2
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回.
时, 1 | a | 取得最小值. 2|a| b
三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x)
2
sin
2x
4
6 sin
x
cos
x
2 cos2
x
1,
x
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分，共40分.参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高。
·如果事件A, B相互独立，那么·球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A = {x∈R｜|x｜≤2}，A = {x∈R| x≤1｝，则（A）(B）[1，2] (C) [－2，2］（D) ［－2，1］（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（A）－7 (B) －4(C）1 （D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为(A) 64 （B）73(C) 512 （D）585（4) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x + y + 1 = 0与圆相切。
其中真命题的序号是：(A) ①②③(B）①②（C）②③（D）②③（5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =(A）1 （B）(C）2 （D) 3（6）在△ABC中, 则=（A）（B) （C）（D)（7）函数的零点个数为(A) 1 (B）2 （C）3 （D) 4（8) 已知函数。
2013年天津高考数学理试题（含答案）
2013年(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。
2013年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
第1页，总16页………○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____………○…………装…………○………2013年高考理数真题试卷（天津卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ） A.（﹣∞，2] B.[1，2] C.[﹣2，2] D.[﹣2，1]2.设变量x ，y 满足约束条件 {3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A.﹣7B.﹣4C.1D.23.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）A.64B.73C.512D.5854.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的 12 ，则其体积缩小到原来的 18 ； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆 x 2+y 2=12 相切． 其中真命题的序号是（ ） A.①②③ B.①②答案第2页，总16页C.①③D.②③5.在△ABC 中， ∠ABC =π4,AB =√2,BC =3 ，则sin∠B AC=（ ）A.√1010 B.√105C.3√1010D.√556.函数f （x ）=2x |log 0.5x|﹣1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若 [−12,12]⊆A 则实数a 的取值范围是（ ） A.(1−√52,0) B.(1−√32,0) C.(1−√52,0)∪(0,1+√32)D.(−∞,1−√52)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8. (x −√x)6的二项展开式中的常数项为 ．9.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C ，点P 的极坐标为 (4,π3) ，则|CP|= ． 10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若 AC →⋅BE →=1 ，则AB 的长为 ．第3页，总16页…………装…………○…………订……线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考…………装…………○…………订……线…………○…11.如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．若AB=AC ，AE=6，BD=5，则线段CF 的长为 ．12.设a+b=2，b ＞0，则当a= 时， 12|a|+|a|b取得最小值． 三、解答题（题型注释）13.已知函数 f(x)=−√2sin(2x +π4)+6sinxcosx −2cos 2x +1,x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值和最小值．14.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A⊥底面ABCD ，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA 1=AB=2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE；（2）求二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值．（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为 √26 ，求线段AM 的长．15.设椭圆 x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 √33 ，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． （1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，求k 的值．16.已知首项为 32 的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n（n∈N *），且S 3+a 3 ， S 5+a 5 ， S 4+a 4成等差数列．答案第4页，总16页（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 T n =S n −1S n(n ∈N ∗) ，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．17.已知函数f （x ）=x 2lnx ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t=f （s ）．（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为s=g （t ），证明：当t ＞e 2时，有 25<lng(t)lnt<12 ．第5页，总16页…………装…………○…………订……………………线……校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________…………装…………○…………订……………………线……参数答案1.D【解析】1.解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1} 故选D ． 【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立． 2.A【解析】2.解：设变量x 、y 满足约束条件 {3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y ﹣2x=0经过点A （5，3）时，y ﹣2x 最小，最小值为：﹣7， 则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为﹣7． 故选A ．3.B【解析】3.解：经过第一次循环得到S=0+13 ， 不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23 ， 不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73． 故选B ．答案第6页，总16页…………○…………线…………○※※答※※题※※…………○…………线…………○【考点精析】本题主要考查了程序框图的相关知识点，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明才能正确解答此题． 4.C【解析】4.解：①由球的体积公式V= 43πR 3 可知，若一个球的半径缩小到原来的 12 ，则其体积缩小到原来的 18 ；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆 x 2+y 2=12 的圆心到直线x+y+1=0的距离d=√2=√22=半径r ，故直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12 相切，③正确．故选C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5.C【解析】5.解：∵∠ABC= π4 ，AB= √2 ，BC=3，∴由余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5， ∴AC= √5 ，则由正弦定理 AC sin∠ABC = BC sin∠BAC 得：sin∠BAC= 3×√22√5 = 3√1010 ．故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:第7页，总16页订…………○…………线…………○…__考号：___________订…………○…………线…………○…)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．6.B【解析】6.解：函数f （x ）=2x |log 0.5x|﹣1，令f （x ）=0， 在同一坐标系中作出y=（ 12 ）x ． 与y=|log 0.5x|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选B ．7.A【解析】7.解：取a=﹣ 12 时，f （x ）=﹣ 12 x|x|+x ， ∵f（x+a ）＜f （x ），∴（x ﹣ 12）|x ﹣ 12|+1＞x|x|， （1）x ＜0时，解得﹣ 34 ＜x ＜0； （2）0≤x≤ 12 时，解得0 ≤x ≤12；（3）x ＞ 12 时，解得 12<x <54 ，综上知，a=﹣ 12 时，A=（﹣ 34 ， 54 ），符合题意，排除B 、D ；取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，∵f（x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|， （1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ， 故选A ．【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题． 8.15答案第8页，总16页…………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※…………○…………装…………○……【解析】8.解；设 (x−√x )6的二项展开式中的通项为T r+1 ， 则T r+1= C 6r•（﹣1）r• x6−32r，由6﹣ 32 r=0得：r=4． ∴ (x −√x)6 的二项展开式中的常数项为 C 64•（﹣1）4= C 62=15．所以答案是：15． 9.2√3【解析】9.解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x 2+y 2=4x ，圆心为C （2，0），点P 的极坐标为 (4,π3) ，所以P 的直角坐标（2，2 √3 ），所以|CP|= √(2−2)2+(2√3−0)2 =2 √3 ．所以答案是：2 √3． 10.12【解析】10.解：∵ BC →=AD →， EC →=12AB → ． ∴ AC →⋅BE →= == AD →2+ 12AB →⋅AD →﹣ 12AB →2 ==1，化为，∵ |AB →|≠0 ，∴ |AB →|=12． 所以答案是 12 ．11.83【解析】11.解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC ，所以∠EAB=∠ABC， 所以直线AE∥直线BC ，又因为AC∥BE，所以是平行四边形． 因为AB=AC ，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6． △AFC∽△DFB，第9页，总16页………○…………线…………○…__________………○…………线…………○…AC BD=CFFB即： 45=CF6−CF ， CF= 83 ，所以答案是： 83 ．12.﹣2【解析】12.解：∵a+b=2，b ＞0， ∴ 12|a|+|a|b= 12|a|+|a|2−a ，（a ＜2）设f （a ）= 12|a|+|a|2−a ，（a ＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a ＜0时，f （a ）=﹣ 12a + a2−a， f′（a ）= 12a 2−2(a−2)2 =−(3a−2)(a+2)2a 2(a−2)2，当a ＜﹣2时，f′（a ）＜0，当﹣2＜a ＜0时，f′（a ）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时， 12|a|+|a|b 取得最小值 34． 同样地，当0＜a ＜2时，得到当a= 23 时， 12|a|+|a|b 取得最小值 54． 综合，则当a=﹣2时， 12|a|+|a|b取得最小值． 所以答案是：﹣2．答案第10页，总16页…………订…………○…………线…………○订※※线※※内※※答※※题※※…………订…………○…………线…………○【考点精析】通过灵活运用基本不等式，掌握基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）；变形公式：即可以解答此题．13.（1）解：∵sinxcosx= 12 sin2x ，cos 2x= 12 （1+cos2x ）∴f （x ）=﹣ √2 sin （2x+ π4 ）+6sinxcosx ﹣2cos 2x+1=﹣sin2x ﹣cos2x+3sin2x ﹣（1+cos2x ）+1=2sin2x ﹣2cos2x=2 √2 sin （2x ﹣ π4 ） 因此，f （x ）的最小正周期T= 2π2 =π；（2）解：∵0≤x≤ π2 ，∴﹣ π4 ≤2x﹣ π4 ≤ 3π4∴当x=0时，sin （2x ﹣ π4 ）取得最小值﹣ √22 ；当x= 3π8 时，sin （2x ﹣ π4 ）取得最大值1由此可得，f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值为f （ 3π8 ）=2 √2 ；最小值为f （0）=﹣2．【解析】13.（1）利用两角和的正弦公式将sin （2x+ π4 ）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f （x ）=2sin2x ﹣2cos2x ，再利用辅助角公式化简得f （x ）=2 √2 sin （2x…………线…………○……………线…………○…﹣ π4 ），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f （x ）的最小正周期；（2）根据x∈ [0,π2] ，得﹣ π4 ≤2x﹣ π4 ≤ 3π4 ．再由正弦函数在区间[﹣ π4 ， 3π4 ]上的图象与性质，可得f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值为与最小值．【考点精析】利用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．14.（1）证明：以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A （0，0，0），B （0，0，2），C （1，0，1），B 1（0，2，2），C 1（1，2，1），E （0，1，0）．则 B 1C 1→=(1,0,−1),CE →=(−1,1,−1) ， 而 B 1C 1→⋅CE →=(1,0,−1)⋅(−1,1,−1) =0． 所以B 1C 1⊥CE；（2）解： B 1C →=(1,−2,−1) ， 设平面B 1CE 的法向量为 m →=(x,y,z) ， 则 {m →⋅B 1C →=0m →⋅CE →=0，即 {x −2y −z =0−x +y −z =0，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以 m →=(−3,−2,1) ．由（1）知B 1C 1⊥CE，又CC 1⊥B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面CEC 1， 故 B 1C 1→=(1,0,−1) 为平面CEC 1的一个法向量， 于是 cos〈m →,B 1C 1→〉=m →⋅B 1C 1→|m →|⋅|B 1C 1→|= √14×√2=−2√77． 从而 sin〈m →,B 1C 1→〉 = √1−(−2√77)2= √217 ．所以二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值为 √217．（3）解： AE →=(0,1,0),EC 1→=(1,1,1) ， 设 EM →=λEC 1→=(λ,λ,λ) 0≤λ≤1，答案第12页，总16页…○…………外…………○……………………○…………※※请※※不※要※※在※※装※※订※※线※※…○…………内…………○……………………○…………有 AM →=AE →+EM →=(λ,λ+1,λ) ．取 AB →=(0,0,2) 为平面ADD 1A 1的一个法向量， 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角， 则 sinθ=|cos〈AM →,AB →〉| = AM →⋅AB→|AM →|⋅|AB →|=√λ+(λ+1)+λ×2=√3λ2+2λ+1．于是√3λ2+2λ+1=√26．解得 λ=13．所以 AM →=|AM →|=√(13)2+(43)2+(13)2=√2 ．所以线段AM 的长为 √2 ．【解析】14.（1）由题意可知，AD ，AB ，AA 1两两互相垂直，以a 为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 B 1C 1→ 和 CE → ，由 B 1C 1→⋅CE →=0 得到B 1C 1⊥CE；（2）求出平面B 1CE 和平面CEC 1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD 1A 1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值，代入 √26 求出λ的值，则线段AM 的长可求．【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．15.（1）解：根据椭圆方程为 x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0） ．∵过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 4√33， ∴当x=﹣c时， a 2−b 2a 2+y 2b 2=1 ，得y=± b 2a ，∴ 2b 2a = 4√33 ，∵离心率为 √33 ，∴ c a = √33 ， 解得b= √2，c=1，a= √3 ．∴椭圆的方程为 x 23+y 22=1 ；（2）解：直线CD ：y=k （x+1）， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 由 {y =k(x +1)x 23+y 22=1消去y 得，（2+3k 2）x 2+6k 2x+3k 2﹣6=0，∴x 1+x 2=﹣6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A （﹣ √3 ，0），B （ √3 ，0），∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=（x 1+ √3 ，y 1）•（ √3 ﹣x 2．﹣y 2）+（x 2+ √3 ，y 2）•（ √3 ﹣x 1．﹣y 1）， =6﹣（2+2k 2）x 1x 2﹣2k 2（x 1+x 2）﹣2k 2， =6+ 2k 2+122+3k 2=8，解得k= ±√2 ．【解析】15.（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c 代入求出弦长使其等于4√33，再由离心率为 √33 ，可求出a ，b ，c 的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD ：y=k （x+1），设C （x 1 ， y 1），D （x 2 ， y 2），由 {y =k(x +1)x 23+y 22=1消去y 得，（2+3k 2）x 2+6k 2x+3k 2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得 AC →⋅DB →+AD →⋅CB →，利用 AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，即可求得k 的值．【考点精析】利用一般式方程和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知答案第14页，总16页…………○线…………○直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．16.（1）解：设等比数列的公比为q ， ∵S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列． ∴S 5+a 5﹣（S 3+a 3）=S 4+a 4﹣（S 5+a 5） 即4a 5=a 3， 故q 2= a 5a 3= 14又∵数列{a n }不是递减数列，且等比数列的首项为 32 ∴q=﹣ 12∴数列{a n }的通项公式a n = 32 ×（﹣ 12 ）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1• 32n（2）解：由（1）得S n =1﹣（﹣ 12 ）n = {1+12n ,n 为奇数1−12n，n 为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1= 32 故0＜ S n −1S n≤ S 1−1S 1= 32 ﹣ 23 = 56当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以1＞S n ≥S 2= 34 故0＞ S n −1S n≥ S 2−1S 2= 34 ﹣ 43 = −712综上，对于n∈N *，总有 −712 ≤ S n −1S n≤ 56故数列{T n }的最大项的值为 56 ，最小项的值为 −712【解析】16.（1）设等比数列的公比为q ，由S 3+a 3 ， S 5+a 5 ， S 4+a 4成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为 32 的等比数列{a n }不是递减数列，求出q 值，可得答案．（2）由（1）可得S n 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 S n −1S n在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n…………○……………○…项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系．17.（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x ）=2xlnx+x 2• 1x =2xlnx+x=x （2lnx+1）， 令f′（x ）=0，可解得x= √e ，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0， √e ），单调递增区间为（ √e ，+∞）（2）证明：当0＜x≤1时，f （x ）≤0，设t ＞0，令h （x ）=f （x ）﹣t ，x∈[1，+∞）， 由（1）可知，h （x ）在区间（1，+∞）单调递增，h （1）=﹣t ＜0，h （e t ）=e 2t lne t ﹣t=t （e 2t ﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f （s ）成立；（3）证明：因为s=g （t ），由（2）知，t=f （s ），且s ＞1， 从而lng(t)lnt = lns lnf(s) = lns ln(s 2lns) = lns 2lns+lnlns = u2u+lnu ，其中u=lns ，要使 25<lng(t)lnt <12 成立，只需 25<u 2u+lnu <12 ，即2＜ u2u+lnu <25，即2＜2+ lnu u <25， 只需 0<lnu u<12，变形可得只需0＜lnu ＜ u2 ，当t ＞e 2时，若s=g （t ）≤e，则由f （s ）的单调性，有t=f （s ）≤f（e ）=e 2，矛盾，所以s ＞e ，即u ＞1，从而lnu ＞0成立，另一方面，令F （u ）=lnu ﹣ u2 ，u ＞1，F′（u ）= 1u −12 ，令F′（u ）=0，可解得u=2，当1＜u ＜2时，F′（u ）＞0，当u ＞2时，F′（u ）＜0，故函数F （u ）在u=2处取到极大值，也是最大值F （2）=ln2﹣1＜0， 故有F （u ）=lnu ﹣ u2 ＜0，即lnu ＜ u2 ， 综上可证：当t ＞e 2时，有 25<lng(t)lnt<12 成立．答案第16页，总16页…订…………○…………线………※※内※※答※※题※※…订…………○…………线………【解析】17.（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x ）=0，可解得x= √e ，由导数在（0， √e ），和（ √e，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f （x ）≤0，设t ＞0，令h （x ）=f （x ）﹣t ，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h （x ）的单调性，可得结论；（3）令u=lns ，原命题转化为0＜lnu ＜ u2 ，一方面由f （s ）的单调性，可得u ＞1，从而lnu ＞0成立，另一方面，令F （u ）=lnu ﹣ u 2 ，u ＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证． 【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）及解析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]解析：本题主要考察不等式的解法，和集合的简单应用，属于简单题。
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2解析：本题主要考查不等式中的线性规划，属于简单题。
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585解析：本题主要考察程序框图，属于简单题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．V=V=可知，若一个球的半径缩小到原来的；故的圆心到直线=相切，5．（5分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB求出双曲线的渐近线方程与抛物线的面积为，±x，±，双曲线的离心率为，所以则±=的面积为，，得6．（5分）（2013•天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）BABC=AB=，=得：BAC=x（8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．﹣﹣|+1≤讨论，可得时，﹣﹣＜时，解得0＞时，解得，时，（﹣）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得10．（5分）（2013•天津）的二项展开式中的常数项为15．=解；设•r=0的二项展开式中的常数项为=1511．（5分）（2013•天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．的极坐标为|CP|==2．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．=﹣，=，当取得最小值时，取得最小值三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合=2）∈，得﹣﹣≤﹣，）在区间sinxcosx=x=2x+2cos2x=2﹣T==≤，∴﹣≤≤﹣）取得最小值﹣时，﹣）在区间上的最大值为）=216．（13分）（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．张的所有可能结果数有=的卡片的概率为====17．（13分）（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．标系，标出点的坐标后，求出和，由求出（Ⅱ）解：，，即．=．=．的正弦值为（Ⅲ）解：=．所以．的长为．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．的方程，结合首项为的等比数列=不是递减数列，且等比数列的首项为﹣（﹣）﹣（﹣）=≤﹣==≥﹣=，总有≤，最小项的值为20．（14分）（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．，由导数在（，，一方面由﹣•，，（，，===成立，只需，2+，＜，＜，时，有成立．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S 的值为(A) 64(B) 73 (C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③ (5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分) 已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013 National English Contest for College Students.- 11 -。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 +a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 -2013高考真题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张,编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2013年高考天津卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷） 第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案 D解析 A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝[－2,2]，B ＝{x ∈R |x ≤1}＝(－∞，1]，∴A ∩B ＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A 解析可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得A (5,3)． ∴z 最小＝3－2×5＝－7，选A.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585 答案 B解析 第1次运行：S ＝0＋13＝1<50 第2次运行：x ＝2，S ＝1＋23＝9<50 第3次运行：x ＝4，S ＝9＋43＝73>50 ∴输出S ＝73，选B. 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切，其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 答案 C解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 e ＝2，⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝4，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴|AB |＝2·p2tan 60°又S △AOB ＝3，即12·p 2·2·p 2tan 60°＝3，∴p 24＝1，∴p ＝2，选C.6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010，选C.7．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.另法：0.52log 10xx -=⇒ 0.51log 2x x =⇒0.51log ()2xx =，画这两个函数的图像，看图可知选B8．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 答案 A解析 f (x )＝x (1＋a |x |)，f (x ＋a )＝(x ＋a )(1＋a |x ＋a |)， 由f (x ＋a )<f (x )得，x ＋a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<x ＋ax |x |， 而a ＋a (x ＋a )|x ＋a |<ax |x |，(1)当a ＝0时，不合题意． (2)当a >0时有1＋(x ＋a )|x ＋a |<x |x |由于当x ＝0时1＋|a |<0无解，故a <0，去掉C. (3)当a <0时，1＋(x ＋a )|x ＋a |>x |x | 取a ＝－12，则1＋⎝⎛⎭⎫x －12⎪⎪⎪⎪x －12>x |x |* ①当x ≤0时，由*得－34<x ≤0②当0<x ≤12时，由☆得0<x ≤2＋279>12此时⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A 符合题意，由于－12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0， －12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52去掉B 、D ，故选A. 第Ⅱ卷二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.∴a ＋b i ＝1＋2i.10.⎝⎛⎭⎫x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．答案 15解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r (－x －12)r ＝(－1)r C r 6x 6－3r 2(r ＝0,1，…，6)， 由题意得6－3r2＝0，∴r ＝4.故常数项为T 4＋1＝C 46(－1)4＝C 26＝6×52×1＝15. 11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x 2＋y 2＝4x ， ∴(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2,0)， 点P ⎝⎛⎭⎫4，π3的直角坐标为P (2,23)．∴|CP |＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________． 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.另法：如图建系:由题意AD=1，60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,212(-xB ， 1(2,22AC x =+,1(,22BE x =-由题意 .1AD BE = 得：143)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为21。
2013天津高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.1．已知{}|||2A x x =∈…R ，{}|1B x x =∈…R ，则AB = ( )A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----⎧⎪⎨⎪⎩………则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )A. 7-B.4-C. 1D. 2【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,min 3257Z =-⨯=-.第2题图 jxq563．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）第3题图 jxq57 A. 64 B. 73C. 512D. 585【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===<⇒==<⇒==>，跳出循环，输出73S =.4．已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则33414ππ,3283R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭故体积缩小到原来的18，命题正确；(步骤1)对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）对于命题③，圆2212x y +=的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离2d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = （ ） A. 1 B.32C. 2D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由已知得2c a =，所以2224a b a +=，解得ba=y =.（步骤1） 而抛物线的方程为2px =-，于是,,22p p A B ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭， 从而AOB △的面积为13=322pp，可得2p =.（步骤2） 6．在△ABC 中, π,3,4AB BC ABC =∠==则sin BAC ∠ = （ ）A.B.C.D.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易【参考答案】C 【试题解析】由余弦定理可得AC ===（步骤1） 于是由正弦定理可得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，于是3sin 10BAC ∠== （步骤2）7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 4【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=，可得0.51|log |2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设()()0.51|log |,2xg x x h x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()f x 有2个零点.第7题图 jxq58。
2013年天津市高考数学试卷(理科)最新修正版
2013年天津市高考数学试卷（理科）一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．23．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．5854．（5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．36．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．10．（5分）的二项展开式中的常数项为．11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=时，取得最小值．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1]【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D．【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．故选：A．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A．64 B．73 C．512 D．585【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求．【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】对于①由球的体积公式V=可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．故选：C．【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（）A．B．C．D．【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选：C．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，在同一坐标系中作出y=（）x．与y=|log0.5x|，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B．【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想．8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x ＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi，所以a﹣1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i．故答案为：1+2i．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．10．（5分）的二项展开式中的常数项为15．【分析】利用二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r•中x的幂指数为0即可求得答案．【解答】解；设的二项展开式中的通项为T r+1，则T r+1=•（﹣1）r•，由6﹣r=0得：r=4．∴的二项展开式中的常数项为•（﹣1）4==15．故答案为：15．【点评】本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|==2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力．12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．△AFC∽△DFB，即：，CF=，故答案为：．【点评】本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力．14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．【分析】由于a+b=2，b＞0，从而=，（a＜2），设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）设f（a）=，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）==，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，取得最小值．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=时，取得最小值．综合，则当a=﹣2时，取得最小值．故答案为：﹣2．【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin （2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B 1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD 1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．18．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为．∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1．﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质．19．（14分）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n ∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n=S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为的等比数列{a n}不是递减数列，求出q值，可得答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵数列{a n}不是递减数列，且等比数列的首项为∴q=﹣∴数列{a n}的通项公式a n=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1•（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1=故0＜≤=﹣=当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以1＞S n≥S2=故0＞≥=﹣=综上，对于n∈N*，总有≤≤故数列{T n}的最大项的值为，最小项的值为【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=，由导数在（0，），和（，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h （x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•=2xlnx+x=x（2lnx+1），令f′（x）=0，可解得x=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（e t）=e2t lne t ﹣t=t（e2t﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立；（Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1，从而====，其中u=lns，要使成立，只需，即2＜，即2＜2+，只需，变形可得只需0＜lnu＜，当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾，所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣，u＞1，F′（u）=，令F′（u）=0，可解得u=2，当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0，故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0，故有F（u）=lnu﹣＜0，即lnu＜，综上可证：当t＞e2时，有成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。
天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A, B互斥, 那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.·如果事件A, B相互独立, 那么·球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则(A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序,若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =(A) 1 (B) (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC中, 则=(A) (B) (C) (D)(7) 函数的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是(A) (B)(C) (D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .(10) 的二项展开式中的常数项为.(11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为.(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为.(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD,AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.。
(完整版)2013天津理科高考试题(含解析)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．·如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )．·棱柱的体积公式V ＝Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·球的体积公式V ＝34π3R .其中R 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，理1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．故选D.2．(2013天津，理2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0过点A (5,3)，此时z 最小为－7，故选A.3．(2013天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )．A ．64B ．73C ．512D ．585答案：B解析：由程序框图，得x ＝1时，S ＝1；x ＝2时，S ＝9；x ＝4时，S ＝9＋64＝73，结束循环输出S 的值为73，故选B.4．(2013天津，理4)已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切， 其中真命题的序号是( )．A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案：C解析：设球半径为R ，缩小后半径为r ，则r ＝12R ，而V ＝34π3R ，V ′＝33344114πππ33283r R R ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，所以该球体积缩小到原来的18，故①为真命题；两组数据的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆x 2＋y 2＝12的圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d=，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命题．故选C. 5．(2013天津，理5)已知双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB则p ＝( )．A ．1B ．32 C ．2 D ．3 答案：C解析：设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|抛物线y 2＝2px 的准线为2p x =-，所以02p x =-，代入双曲线的渐近线的方程b y x a =±，得|y 0|＝2bp a .由2222,,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b，所以|y 0|p .所以S △AOB2p =解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．6．(2013天津，理6)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )． A．10B．5 CD答案：C解析：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝2923+-＝5，即得AC由正弦定理sin sin AC BC ABC BAC=∠∠，即3sin 2BAC=∠，所以sin ∠BAC. 7．(2013天津，理7)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点也就是方程2x |log 0.5x |－1＝0的根，即2x |log 0.5x |＝1，整理得|log 0.5x |＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作g (x )，h (x )的图象如图所示．因为两个函数图象有两个交点，所以f (x )有两个零点．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.- 11 - 2013高考真题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A, B 互斥, 那么)()()(B P AP A P B⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ， 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1},则A B⋂=(A) (,2]-∞(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切.其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y=>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积3则p = (A) 1 (B) 32(C) 2(D) 3 (6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =10 103105 (7) 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15⎫-⎪⎪⎝⎭(B) 13⎫-⎪⎪⎝⎭(C) 1513⎛+⋃ ⎝⎫-⎪⎝⎭⎪⎭(D)51⎛-- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 +i ) = bi , 则a + bi = .(10)6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r,则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 已知函数2()226sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC, AB⊥AD, AD = CD =1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为2, 求线段AM的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F, 离心率为3, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}na 不是递减数列, 其前n 项和为(*)nS n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}na 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1nn nTS n S ∈=-N , 求数列{}nT 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。