命题、充分与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3.充要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔qpq 且qp1.下列命题是真命题的为( ) A .若1x =1y ,则x =y B .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =yD .若x <y ,则x 2<y 2解析:选A 由1x =1y 易得x =y ;由x 2=1,得x =±1;若x =y <0,则x 与y 均无意义; 若x =-2,y =1,虽然x <y ,但x 2>y 2. 所以真命题为A.2.已知集合A ={1,m 2+1},B ={2,4},则“m =3”是“A ∩B ={4}”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A A ∩B ={4}⇒m 2+1=4⇒m =±3,故“m =3”是“A ∩B ={4}”的充分不必要条件.3.已知命题:若m >0,则方程x 2+x -m =0有实数根.则其逆否命题为________________________________________________________________________.答案:若方程x 2+x -m =0无实根,则m ≤01.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同.[小题纠偏]1.设x ∈R ,则“x >1”是“x 3>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C ∵x >1,∴x 3>1,又x 3-1>0,即(x -1)(x 2+x +1)>0,解得x >1,∴“x >1”是“x 3>1”的充要条件.2.“在△ABC 中,若∠C =90°,则∠A ,∠B 都是锐角”的否命题为:________________.解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C =90°, 结论:∠A ,∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角”. 答案:在△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A ,∠B 不都是锐角考点一 命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是()A.若a2>b2,则a≤b B.若a2≤b2,则a≤bC.若a≤b,则a2>b2D.若a≤b,则a2≤b2解析:选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.2.命题“若x2+3x-4=0,则x=-4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.(易错题)给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)解析:①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.答案:①③[谨记通法]1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.如“题组练透”第3题②易忽视.2.命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.设a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A a·b=|a||b|cos〈a,b〉.而当a∥b时,〈a,b〉还可能是π,此时a·b=-|a||b|,故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.2.设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A|x-2|<1⇔1<x<3,x2+x-2>0⇔x>1或x<-2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<-2}的真子集,所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.3.已知条件p:x+y≠-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A因为p:x+y≠-2,q:x≠-1,或y≠-1,所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1,因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q,所以綈q是綈p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.[即时应用]1.若p:|x|=x,q:x2+x≥0.则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A设p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0或x≤-1}=B,∵A B,∴p是q的充分不必要条件.2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A当四边形ABCD为菱形时,必有对角线互相垂直,即AC⊥BD;当四边形ABCD中AC⊥BD时,四边形ABCD不一定是菱形,还需要AC与BD互相平分.综上知,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用………………………(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题]已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S 的必要条件,求m的取值范围.[解]由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.则{1-m≤1+m,1-m≥-2,1+m≤10,∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键:先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.[越变越明][变式1] 母题条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解:若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9,即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.[变式2] 母题条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 解:由母题知P ={x |-2≤x ≤10}, ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件, ∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[-2,10][1-m,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10.∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).本题运用等价法求解,也可先求綈P ,綈S ,再利用集合法列出不等式,求出m 的范围.的必要不充分条件,求m 的取值范围.解:记P ={x |(x -m )2>3(x -m )}={x |(x -m )(x -m -3)>0}={x |x <m 或x >m +3},S ={x |x 2+3x -4<0}={x |(x +4)(x -1)<0}={x |-4<x <1},p 是s 成立的必要不充分条件,即等价于SP .所以m +3≤-4或m ≥1,解得m ≤-7或m ≥1. 即m 的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x -1)x =0”是“x =0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[破译玄机]解析:选B 若(2x -1)x =0,则x =12或x =0,即不一定是x =0;若x =0,则一定能推出(2x -1)x =0.故“(2x -1)x =0”是“x =0”的必要不充分条件.2.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( )A .若α≠π4,则tan α≠1B .若α=π4,则tan α≠1C .若tan α≠1,则α≠π4D .若tan α≠1,则α=π4解析:选C 命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.3.原命题p :“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .4解析:选C 当c =0时,ac 2=bc 2,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设a ,b ,c ∈R ,若ac 2>bc 2,则a >b ”,它是正确的;由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题.综上所述,真命题有2个.4.已知p :|x |<2;q :x 2-x -2<0,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由x 2-x -2<0,得(x -2)(x +1)<0,解得-1<x <2;由|x |<2得-2<x <2.注意到由-2<x <2不能得知-1<x <2,即由p 不能得知q ;反过来,由-1<x <2可知-2<x <2,即由q 可得知p .因此,p 是q 的必要不充分条件.5.已知集合A ,B ,全集U ,给出下列四个命题: ①若A ⊆B ,则A ∪B =B ; ②若A ∪B =B ,则A ∩B =B ; ③若a ∈(A ∩∁U B ),则a ∈A ; ④若a ∈∁U (A ∩B ),则a ∈(A ∪B ) 其中真命题的个数为( ) A .1B .2C.3D.4解析:选B①正确;②不正确,由A∪B=B可得A⊆B,所以A∩B=A;③正确;④不正确.二保高考,全练题型做到高考达标1.已知复数z=a+3ii(a∈R,i为虚数单位),则“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C z=a+3ii=-(a+3i)i=3-a i,若z位于第四象限,则a>0,反之也成立,所以“a>0”是“z在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件.2.命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是()A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0解析:选D a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0.3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选C设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然C D,所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.4.下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-x-2=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题是真命题D.“tan x=1”是“x=π4”的充分不必要条件解析:选C由原命题与否命题的关系知,原命题的否命题是“若x2≠1,则x≠1”,即A不正确;因为x2-x-2=0,所以x=-1或x=2,所以由“x=-1”能推出“x2-x-2=0”,反之,由“x 2-x -2=0”推不出“x =-1”,所以“x =-1”是“x 2-x -2=0”的充分不必要条件,即B 不正确;因为由x =y 能推得sin x =sin y ,即原命题是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故C 正确;由x =π4能推得tan x =1,但由tan x =1推不出x=π4,所以“tan x =1”是“x =π4”的必要不充分条件,即D 不正确. 5.若条件p :|x |≤2,条件q :x ≤a ,且p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A .a ≥2B .a ≤2C .a ≥-2D .a ≤-2解析:选A 因为|x |≤2,则p :-2≤x ≤2,q :x ≤a ,由于p 是q 的充分不必要条件,则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集,所以a ≥2.6.在命题“若m >-n ,则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.解析:若m =2,n =3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m =-3,n =-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.答案:37.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,则“|q |=1”是“S 4=2S 2”的________条件.解析:∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,又S 4=2S 2, ∴a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 2),∴a 3+a 4=a 1+a 2,∴q 2=1⇔|q |=1,∴“|q |=1”是“S 4=2S 2”的充要条件. 答案:充要8.已知p (x ):x 2+2x -m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________.解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,解得m ≥3;又p (2)是真命题,所以4+4-m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8).答案:[3,8)9.已知α:x ≥a ,β:|x -1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a 的取值范围为________. 解析:α:x ≥a ,可看作集合A ={x |x ≥a }, ∵β:|x -1|<1,∴0<x <2, ∴β可看作集合B ={x |0<x <2}. 又∵α是β的必要不充分条件, ∴B A ,∴a ≤0. 答案:(-∞,0]10.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,∴716≤y ≤2, ∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.下列结论错误的是( )A .命题“若x 2-3x -4=0,则x =4”的逆否命题为“若x ≠4,则x 2-3x -4≠0”B .“x =4”是“x 2-3x -4=0”的充分条件C .命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆命题为真命题D .命题“若m 2+n 2=0,则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0,则m ≠0或n ≠0”解析:选C C 项命题的逆命题为“若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0”. 若方程有实根,则Δ=1+4m ≥0,即m ≥-14,不能推出m >0,所以不是真命题.2.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,-2x+a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A .a <0 B .0<a <12C.12<a <1 D .a ≤0或a >1解析:选A 因为函数f (x )过点(1,0),所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y =-2x+a (x ≤0)没有零点⇔函数y =2x (x ≤0)与直线y =a 无交点.数形结合可得,a ≤0或a >1,即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1,应排除D ;当0<a <12时,函数y =-2x +a (x ≤0)有一个零点,即函数f (x )有两个零点,应排除B ;同理,排除C.3.已知集合A ={x |x 2-4mx +2m +6=0},B ={x |x <0},若命题“A ∩B =∅”是假命题,求实数m 的取值范围.解:因为“A ∩B =∅”是假命题,所以A ∩B ≠∅.设全集U ={m |Δ=(-4m )2-4(2m +6)≥0},则U =⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤-1或m ≥32. 假设方程x 2-4mx +2m +6=0的两根x 1,x 2均非负,则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,x 1+x 2≥0,x 1x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ,4m ≥0,2m +6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤-1},所以实数m 的取值范围是(-∞,-1].。
充分和必要条件的概念
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充分和必要条件的概念一、引言充分和必要条件是数学中的重要概念,它们在证明定理和推理过程中起着至关重要的作用。
在数学中,我们常常需要判断某个命题是否成立,而充分和必要条件就是帮助我们做出这种判断的工具。
本文将从定义、性质、应用等方面分析充分和必要条件的概念。
二、定义1. 充分条件:如果一个命题P能够推出另一个命题Q,则称P是Q的充分条件。
2. 必要条件:如果一个命题Q成立是P成立的前提,则称P是Q的必要条件。
三、性质1. 充分必要条件:如果P是Q的充分条件,同时P也是Q的必要条件,则称P与Q等价。
2. 充分非必要条件:如果P是Q的充分条件,但不是Q的必要条件,则称P比Q强。
3. 非充分必要条件:如果P不是Q的充分条件,但是Q的必要条件,则称P比Q弱。
4. 非充非必要条件:如果既不满足P是Q的充分条件,也不满足P是Q的必要条件,则称两者无关。
四、应用1. 定理证明:在证明定理时,我们需要找到该定理的充分条件和必要条件,从而得出结论。
2. 推理过程:在推理过程中,我们需要判断某个命题是否成立,这时就可以利用充分和必要条件来进行判断。
3. 实际问题:在实际问题中,我们常常需要找到某个条件对于结果的影响,这时就可以利用充分和必要条件进行分析。
五、举例说明1. 定理证明:对于一个正整数n,如果n是偶数,则n的平方也是偶数。
其中,“n是偶数”是n平方为偶数的充分条件,“n的平方是偶数”是n为偶数的必要条件。
2. 推理过程:如果一个人能够通过高考,则他一定具备高中文化水平。
其中,“通过高考”是“具备高中文化水平”的充分条件,“具备高中文化水平”是“通过高考”的必要条件。
3. 实际问题:如果一辆汽车速度超过80公里/小时,则其行驶距离会增加。
其中,“速度超过80公里/小时”是“行驶距离增加”的充分条件,“行驶距离增加”是“速度超过80公里/小时”的必要条件。
六、总结在数学中,充分和必要条件是重要的概念,它们在定理证明、推理过程和实际问题中都有广泛的应用。
命题及充分条件和必要条件
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命题及其关系(学生版)高考明方向1.理解命题的概念,了解“若P,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。
2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。
知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.注意:命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系.(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 逆命题与否命题互为逆否命题。
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关.注意: 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题2、常见词语的否定原词语例1. 命题“若x, y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数变式训练1.下列命题中正确的是( )①"若a≠0,则ab≠0”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;④“若x- 312是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④例2.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则”,关于其逆命题,否命题,逆否命题的真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B. 假,假,真C. 真,真,假D. 假,假,假变式训练2.已知,原命题是“若,则m,n中至少有一个不小于0”,那么原命题与其逆命题依次是()A:真命题、假命题B:假命题、真命题C:真命题、真命题D:假命题、假命题例3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A. 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B. 若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C. 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D. 若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3变式训练3.命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否定是:知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念(1)充分条件: 则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,亦即要使q成立,有p成立就足够了,即有它即可。
命题的充分条件与必要条件
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命题的充分条件与必要条件命题是我们日常生活中经常遇到的一种表达方式,它是陈述一个观点或者提出一个问题,并要求判断该观点的真假或者回答该问题的正确性。
在逻辑学中,命题可以分为真命题和假命题,而判断一个命题的真假则需要借助充分条件和必要条件的理论。
本文将围绕命题的充分条件与必要条件展开论述,探讨其概念、关系以及应用。
一、充分条件的概念充分条件是指在某个关系中,当满足该条件时,命题成立。
从逻辑学的角度来看,充分条件可通过蕴涵关系来表示。
蕴涵是指如果一个命题A蕴涵另一个命题B,那么当A成立时,B一定成立。
因此,在一个蕴涵关系中,A是充分条件,而B是必要条件。
例如,命题A:“一个人是成年人的充分条件是年满18岁”,在这个命题中,年满18岁是成为成年人的充分条件,也就是说,只要一个人年满18岁,就可以确定其是成年人。
二、必要条件的概念必要条件是指在某个关系中,当满足该条件时,命题才能成立。
与充分条件相对应,必要条件可以通过逆否命题来表示。
逆否命题是指将命题的否定和倒置进行推理得到的新命题。
例如,命题B:“一个人是成年人的必要条件是不是未成年人”,在这个命题中,不是未成年人是成为成年人的必要条件,也就是说,只有一个人不是未成年人,才能确定其是成年人。
三、充要条件的关系充要条件是指一个命题既是充分条件也是必要条件,也就是说充分条件和必要条件同时满足。
例如,命题C:“一个人是成年人的充要条件是年满18岁并且不是未成年人”,在这个命题中,年满18岁并且不是未成年人即是成为成年人的充分条件,也是必要条件。
四、应用举例命题的充分条件与必要条件在数学和科学领域有着广泛应用。
在数学中,例如研究一个数是素数的命题,其充分条件是这个数只能被1和它本身整除,而必要条件是这个数不是任何其他数的因子。
在科学研究中,命题的充分条件与必要条件常用于推理和验证理论。
总结:在判断命题的真假以及进行推理过程中,充分条件和必要条件是两个重要的概念。
高考数学 复习《充分条件、必要条件与命题的四种形式》
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若 A B=A ,则 A B 真
(3) 若 x y 5,则x 2且y 3
若 x=2或y=3,则x y=5 假
典型例题 例5、已知p :|1 x 1 | 2; q : x2 2x 1 m2 0(m 0),
3 若p是q的必要不充分条件,求实数m的范围.
⑶充要条件
( p q)
⑷既不充分也不必要条件 ( p q 且q p )
练习: 在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的_充__分__不__必__要_条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必 __要 ___不__充__分_条件;
典型例题
例 3、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
(1)若 x2 y2 0 ,则 x, y 全为 0
(2)正偶数不是质数
(3)若 a 0 ,则 a b 0
(4)相似的三角形是全等三角形
(1) (2) (3) (4) 原命题 真 假 真 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 假 真 假
既不充分也不必要条件 4)若A=B ,则甲是乙的充要条件。
典型例题
例 1、指出下列命题中,p 是 q 的什么条件.
⑴p: x 1 0 ,q: x 1 x 2 0 ; 充分不必要
⑵p:两直线平行,q:内错角相等; 充要 ⑶p: a b ,q: a2 b2 ; 既不充分也不必要 ⑷p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.
1.互为逆否关系的一对命题,同真或同假。 2.互逆关系的一对命题,不一定同真假。 3.互否关系的一对命题,不一定同真假。
典型例题
充分条件假言命题和必要条件假言命题
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充分条件假言命题和必要条件假言命题1. 引言在逻辑学中,条件命题是一种形式为“如果…,那么…”的命题。
充分条件假言命题和必要条件假言命题则是对条件命题进行进一步的分类和分析。
本文将详细介绍充分条件假言命题和必要条件假言命题的概念、特点以及它们在逻辑推理中的应用。
2. 充分条件假言命题2.1 概念充分条件假言命题是指一个复合命题,其形式为“如果p,则q”,表示p是q发生的充分条件。
其中,p称为前件(antecedent),q称为后件(consequent)。
2.2 特点充分条件假言命题具有以下特点:•前件与后件之间存在因果关系:p作为触发某种结果q发生的原因或先决条件。
•后件蕴含前件:即当后件q成立时,前件p必然成立;反过来并不一定成立。
•表示一种可能性:充分条件假言命题描述了某种情况下的可能结果。
2.3 示例以下是一些典型的充分条件假言命题示例:•如果下雨,那么地面湿润。
•如果你不好好学习,那么考试会不及格。
•如果我饿了,我会吃饭。
2.4 应用充分条件假言命题在逻辑推理和证明中具有重要的应用。
通过分析充分条件假言命题的前件和后件之间的关系,可以得出结论或进行推理。
例如,在数学证明中,常常使用充分条件假言命题来说明定理的充要条件。
通过证明定理的充分条件成立,可以得出结论定理也成立。
3. 必要条件假言命题3.1 概念必要条件假言命题是指一个复合命题,其形式为“只有当p时,才能q”,表示p是q发生的必要条件。
其中,p称为充分条件(sufficient condition),q称为必要条件(necessary condition)。
3.2 特点必要条件假言命题具有以下特点:•前件与后件之间存在因果关系:只有满足前件p时才能发生后件q。
•前件蕴含后件:即当前件p成立时,后件q必然成立;反过来并不一定成立。
•表示一种限制或约束:必要条件假言命题描述了发生某种结果q所必需的条件p。
3.3 示例以下是一些典型的必要条件假言命题示例:•只有当你学习努力,才能取得好成绩。
充分性和必要性
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充分性和必要性概念解释充分性和必要性是逻辑学中的重要概念,用于描述命题间的关系和条件。
在推理过程中,充分性和必要性是非常重要的概念,能够帮助人们更好地分析问题和进行逻辑推理。
充分性(Sufficiency)是指一个命题作为条件能够推出另一个命题。
如果一个条件命题的充分性成立,那么当条件命题为真时,结论命题一定为真。
例如,命题A→B中的A为充分条件,B为必要条件。
当A为真时,B一定为真,但当A为假时,B可能为真也可能为假。
必要性(Necessity)是指一个命题作为结论能够推出另一个命题。
如果一个条件命题的必要性成立,那么当结论命题为真时,条件命题一定为真。
例如,命题A→B中的B为必要条件,A为充分条件。
当B为真时,A一定为真,但当B为假时,A可能为真也可能为假。
充分性和必要性的关系充分性和必要性是相对的关系,两者互为逆否命题。
充分条件是条件命题中能够推导出结论命题的部分,而必要条件是结论命题中能够推导出条件命题的部分。
在命题逻辑中,充分性和必要性是非常重要的概念,能够帮助人们进行逻辑推理,判断命题的真假。
应用举例在现实生活中,充分性和必要性的概念被广泛应用于各个领域。
以下是几个应用举例:1. 数学推理:在数学中,充分性和必要性的概念被广泛运用。
例如,在证明一个数学定理时,人们常常需要提供充分条件和必要条件。
只有当充分条件和必要条件都满足时,才能够得出该定理的结论。
2. 科学研究:在科学研究中,充分性和必要性的概念也非常重要。
科学家们通过收集大量的数据和进行实验,确定因果关系,并找出充分条件和必要条件。
只有当充分条件和必要条件满足时,才能够得出科学结论。
3. 法律判决:在法律领域中,充分性和必要性的概念被广泛应用于判断一个行为是否违法,以及对犯罪嫌疑人的审判和判决。
法官和律师需要找出充分条件和必要条件,以确定罪行和相应的刑罚。
4. 经济决策:在经济学中,充分性和必要性的概念也非常重要。
经济学家通过分析各种因素,找出影响经济决策的充分条件和必要条件。
充分条件必要条件与命题的四种形式
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若 原 命 题 为 “ 若 p , 则 q” , 则 其 逆 命 题 是 __若__q_,__则__p_____;否命题是 _若__非__p_,__则__非__q__;逆 否命题是__若__非__q_,__则__非__p___.
(2)四种命题间的关系
思考感悟 “否命题”与“命题的否定”有何不同? 提示: “否命题”与“命题的否定”是两个不 同的概念,如果原命题是“若p,则q”,那么这 个原命题的否定是“若p,则非q”,即只否定结 论,而原命题的否命题是“若非p,则非q”,即 既否定命题的条件,又否定命题的结论.
考点探究•挑战高考
考点突破
考点一 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的 条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的 关系,要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命 题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“ 否命题”和“逆否命题”.
例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、
.
∴这样的 m 不存在.
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的必要条件,则 S⊆P. ∴11- +mm≥ ≤-102 ,∴m≤3. 综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条 件.
【误区警示】 (2)中“x∈P”是“x∈S”的必 要条件,是由S⇒P即S是P的子集,并不一定是 真子集.
互 动 探 究 本 例 中 条 件 不 变 , 若 (2) 小 题 中 “x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,如 何求解? 解:∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件,
(3)∵ff-xx=1,
∴f(-x)=f(x),
∴y=f(x)是偶函数.
∴p⇒q.
取 f(x)=x2 为 R 上的偶函数,
但f-x在 fx
【高中数学】命题及其关系、充分条件与必要条件
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命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题,要么是假命题,不能模棱两可.2.四种命题及其相互关系3.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;①A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A;②A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.充要关系与集合的子集之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.③若A=B,则p是q的充要条件.二、常用结论1.四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明.2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于非q是非p的充分不必要条件.其他情况以此类推.考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题:①“若xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题;④“若A ∩B =B ,则A ⊆B ”的逆否命题.其中真命题是()A .①②B .②③C .④D .①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ,y 互为倒数,则xy =1”,是真命题;②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题;③若m ≤1,Δ=4-4m ≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题;④由A ∩B =B ,得B ⊆A ,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题,故①②③正确.[答案]D [题组训练]1.(2019·长春质监)命题“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是()A .若x 2≥1,则x ≥1或x ≤-1B .若-1<x <1,则x 2<1C .若x >1或x <-1,则x 2>1D .若x ≥1或x ≤-1,则x 2≥1解析:选D命题的形式是“若p ,则q ”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若非q ,则非p ”的形式,所以“若x 2<1,则-1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤-1,则x 2≥1”.2.已知集合P |x =k +12,k ∈Z|x =k2,k ∈Zx ∈P ,则x ∈Q”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A .0B .1C .2D .4解析:选C 因为P =|x =k +12,k ∈Z=|x =2k +12,k ∈Z ,Q =|x =k2,k ∈Z 所以P Q ,所以原命题“x ∈P ,则x ∈Q”为真命题,则原命题的逆否命题为真命题.原命题的逆命题“x ∈Q ,则x ∈P ”为假命题,则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ,b ,c ,d ∈R ,则“a +d =b +c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ,则“|x -12|<12”是“x 3<1”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(3)已知p :x +y ≠-2,q :x ,y 不都是-1,则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a =-1,b =0,c =3,d =4时,a +d =b +c ,但此时a ,b ,c ,d 不成等差数列;而当a ,b ,c ,d 依次成等差数列时,由等差数列的性质知a +d =b +c .所以“a +d =b +c ”是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的必要不充分条件,故选B.(2)集合法由|x -12|<12,得0<x <1,则0<x 3<1,即“|x -12|<12”⇒“x 3<1”;由x 3<1,得x <1,当x ≤0时,|x -12|≥12,即“x 3<1”“|x -12|<12”.所以“|x -12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件.(3)等价转化法因为p :x +y ≠-2,q :x ≠-1或y ≠-1,所以非p :x +y =-2,非q :x =-1且y =-1,因为非q⇒非p但非p非q,所以非q是非p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件.[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.[题组训练]1.[集合法]已知x∈R,则“x<1”是“x2<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B若x2<1,则-1<x<1,∵(-∞,1)⊇(-1,1),∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件.2.[定义法](2018·南昌调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则π2<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件.3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A设p:xy≠1,q:x≠1或y≠1,则非p:xy=1,非q:x=1且y=1.可知非q⇒非p,非p非q,即非q是非p的充分不必要条件.故p是q的充分不必要条件,即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件.考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x ∈S的必要条件,则m的取值范围是________.[解析]由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.-m≤1+m,-m≥-2,+m≤10,所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.解:若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,所以{1-m=-2,1+m=10,解得{m=3,m=9,即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:由例题知P={x|-2≤x≤10},∵非P是非S的必要不充分条件,∴S是P的必要不充分条件,∴P⇒S且S P.∴[-2,10][1-m,1+m].-m≤-2,+m>10-m<-2,+m≥10.∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).[课时跟踪检测]1.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析:选B命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.2.命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假解析:选B当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+b i(a,b∈R),则z2=a-b i,则|z1|=|z2|=a2+b2,所以原命题为真,故其逆否命题为真.取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假.4.(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B a,b,c,d是非零实数,若a<0,d<0,b>0,c>0,且ad=bc,则a,b,c,d不成等比数列(可以假设a=-2,d=-3,b=2,c=3).若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知ad=bc.所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件.5.已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③解析:选A本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.6.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由|a -3b |=|3a +b |,得(a -3b )2=(3a +b )2,即a 2+9b 2-6a ·b =9a 2+b 2+6a ·b .因为a ,b 均为单位向量,所以a 2=b 2=1,所以a ·b =0,能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a -3b |=10,|3a +b |=10,能推出|a -3b |=|3a +b |,所以“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件.7.如果x ,y 是实数,那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选C设集合A ={(x ,y )|x ≠y },B ={(x ,y )|cos x ≠cos y },则A 的补集C ={(x ,y )|x =y },B 的补集D ={(x ,y )|cos x =cos y },显然C D ,所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件.8.(2019·湘东五校联考)“不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A .m >14B .0<m <1C .m >0D .m >1解析:选C若不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立,则Δ=(-1)2-4m <0,解得m >14,因此当不等式x 2-x +m >0在R 上恒成立时,必有m >0,但当m >0时,不一定推出不等式在R 上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m >0.9.在△ABC 中,“A =B ”是“tan A =tan B ”的________条件.解析:由A =B ,得tan A =tan B ,反之,若tan A =tan B ,则A =B +k π,k ∈Z.∵0<A <π,0<B <π,∴A =B ,故“A =B ”是“tan A =tan B ”的充要条件.答案:充要10.在命题“若m >-n ,则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.解析:若m =2,n =3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m =-3,n =-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.答案:311.已知p (x ):x 2+2x -m >0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________.解析:因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0,解得m ≥3.又p (2)是真命题,所以4+4-m >0,解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8).答案:[3,8)12.(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法:①“若x +y =π2,则sin x =cos y ”的逆命题是假命题;②“在△ABC 中,sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题;③“a =1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0互相垂直”的充要条件;④命题“若x <-1,则x 2-2x -3>0”的否命题为“若x ≥-1,则x 2-2x -3≤0”.以上说法正确的是________(填序号).解析:对于①,“若x +y =π2,则sin x =cos y ”的逆命题是“若sin x =cos y ,则x +y=π2”,当x =0,y =3π2时,有sin x =cos y 成立,但x +y =3π2,故逆命题为假命题,①正确;对于②,在△ABC 中,由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ,②正确;对于③,“a =±1”是“直线x -ay =0与直线x +ay =0互相垂直”的充要条件,故③错误;对于④,根据否命题的定义知④正确.答案:①②④13.写出命题“已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:(1)逆命题:已知a ,b ∈R ,若a 2≥4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,则a 2<4b ,为真命题.(3)逆否命题:已知a ,b ∈R ,若a 2<4b ,则关于x 的不等式x 2+ax +b ≤0没有非空解集,为真命题.。
充分条件、必要条件与命题的四种形式

第一章充分条件、必要条件与命题的四种形式(总12页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§充分条件、必要条件与命题的四种形式2014高考会这样考 1.考查对充分条件、必要条件、充要条件的理解应用,主要以客观题形式出现;2.和其他数学知识相结合,考查充要条件的推理判断和命题的等价性.复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时,要理解命题的含义,准确地分清命题的条件与结论;2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反;3.注意等价命题的应用.1.充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p,则q”形式的命题为真时,记作p⇒q,称p是q的充分条件,q是p的充要条件.(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件.p是q的充要条件又常说成q当且仅当p,或p与q等价.2.命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假);互逆或互否的两个命题不等价.[难点正本疑点清源]1.等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题;(2)互为逆否命题的两个命题同真假;(3)当判断原命题的真假比较困难时,可以转化为判断它的逆否命题的真假.2.集合与充要条件设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若A B,则p是q的充分不必要条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若B A,则p是q的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A ⃘B ,且B ⃘A ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.1.下列命题:①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“若ab =0,则a =0”的否命题;③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题.其中真命题的序号是________.(把所有真命题的序号填在横线上) 答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,显然该命题为假命题;②“若ab =0,则a =0”的否命题为“若ab ≠0,则a ≠0”,而由ab ≠0,可得a ,b 都不为零,故a ≠0,所以该命题是真命题;③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题,故其逆否命题也是一个真命题. 2.“x >2”是“1x <12”的________条件.答案 充分不必要 解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12, ∴“x >2”是“1x <12”的充分条件.②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件.3.已知a ,b ∈R ,则“a =b ”是“a +b2=ab ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 因为若a =b <0,则a +b2≠ab ,所以充分性不成立;反之,因为a +b2=ab⇔a =b ⇔a =b ≥0,所以必要性成立,故“a =b ”是“a +b2=ab ”的必要不充分条件.4.(2011·天津)设集合A ={x ∈R |x -2>0},B ={x ∈R |x <0},C ={x ∈R |x (x -2)>0},则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为A={x|x-2>0}={x|x>2}=(2,+∞),B={x|x<0}=(-∞,0),所以A∪B=(-∞,0)∪(2,+∞),C={x|x(x-2)>0}={x|x<0或x>2}=(-∞,0)∪(2,+∞).即A∪B=C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.(2012·天津)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由条件推结论和结论推条件后再判断.若φ=0,则f(x)=cos x是偶函数,但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一命题的四种形式及其关系例1已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题思维启迪:根据定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式.当命题较简单时,可直接判断其真假,若命题本身复杂或不易直接判断时,可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断.答案D解析 命题“若函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m >1,则函数f (x )=e x-mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.探究提高 (1)熟悉概念是正确书写或判断命题的四种形式真假的关键;(2)根据“原 命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)认真仔细读题,必要时举特 例.命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆否命题是( )A .若x +y 是偶数,则x 与y 不都是偶数B .若x +y 是偶数,则x 与y 都不是偶数C .若x +y 不是偶数,则x 与y 不都是偶数D .若x +y 不是偶数,则x 与y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x ,y 都是偶数”的否定表达是“x ,y 不都是偶数”,“x +y 是偶数”的否定表达是“x +y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x +y 不是偶数,则x ,y 不都是偶数”,故选C. 题型二 充要条件的判断例2 已知下列各组命题,其中p 是q 的充分必要条件的是( )A .p :m ≤-2或m ≥6;q :y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点 B .p :f -xf x=1;q :y =f (x )是偶函数C .p :cos α=cos β;q :tan α=tan βD .p :A ∩B =A ;q :A ⊆U ,B ⊆U ,∁U B ⊆∁U A思维启迪:首先要分清条件和结论,然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题,做出判断. 答案 D解析 对于A ,由y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点,可得Δ=m 2-4(m +3)>0,从而可得m <-2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件; 对于B ,由f -xf x=1⇒f (-x )=f (x )⇒y =f (x )是偶函数,但由y =f (x )是偶函数不能推出f -xf x=1,例如函数f (x )=0,所以p 是q 的充分不必要条件;对于C ,当cos α=cos β=0时,不存在tan α=tan β,反之也不成立,所以p 是q 的既不充分也不必要条件;对于D ,由A ∩B =A ,知A ⊆B ,所以∁U B ⊆∁U A ; 反之,由∁U B ⊆∁U A ,知A ⊆B ,即A ∩B =A . 所以p ⇔q .综上所述,p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高 判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p 能否推得条件q ;二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a =2”是“函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件; ③“m =3”是“直线(m +3)x +my -2=0与直线mx -6y +5=0互相垂直”的充要条件;④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,则“A =30°”是“B =60°”的必要不充分条件. 其中真.命题的序号是________. 答案 ①④解析 对于①,当数列{a n }为等比数列时,易知数列{a n a n +1}是等比数列,但当数列{a n a n +1}为等比数列时,数列{a n }未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当a ≤2时,函数f (x )=|x -a |在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m =3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m=3,也可能m =0.因此③不正确;对于④,由题意得b a =sin B sin A=3,若B =60°,则sin A =12,注意到b >a ,故A =30°,反之,当A =30°时,有sin B =32,由于b >a ,所以B =60°或B =120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④. 题型三 充要条件的应用例3 已知集合M ={x |x <-3或x >5},P ={x |(x -a )·(x -8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的充要条件;(2)求实数a 的一个值,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件. 思维启迪:解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 解 (1)由M ∩P ={x |5<x ≤8},得-3≤a ≤5, 因此M ∩P ={x |5<x ≤8}的充要条件是{a |-3≤a ≤5}.(2)求实数a 的一个值,使它成为M ∩P ={x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a |-3≤a ≤5}中取一个值,如取a =0,此时必有M ∩P ={x |5<x ≤8};反之,M ∩P ={x |5<x ≤8}未必有a =0,故“a =0”是“M ∩P ={x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件.探究提高 利用充要条件求参数的值或范围,关键是合理转化条件,准确地将每个 条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算,一定要注意区间端点值的 检验.已知p :x 2-4x -5≤0,q :|x -3|<a (a >0).若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围.解 设A ={x |x 2-4x -5≤0}={x |-1≤x ≤5},B ={x |-a +3<x <a +3},因为p 是q 的充分不必要条件,从而有AB .故⎩⎪⎨⎪⎧-a +3<-1,a +3>5, 解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例:(12分)已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0 (m >0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.审题视角 (1)先求出两命题的解集,即将命题化为最简.(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组,得出结论. 规范解答解 方法一 由q :x 2-2x +1-m 2≤0, 得1-m ≤x ≤1+m ,[2分]∴綈q :A ={x |x >1+m 或x <1-m ,m >0},[3分]由p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,解得-2≤x ≤10,[5分]∴綈p :B ={x |x >10或x <-2}.[6分]∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件.∴A B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m <-2,1+m ≥10,或⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件, ∴p 是q 的充分而不必要条件,[2分]由q :x 2-2x +1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m , ∴q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m },[4分]由p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,解得-2≤x ≤10, ∴p :P ={x |-2≤x ≤10}.[6分]∵p 是q 的充分而不必要条件,∴P Q ,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m <-2,1+m ≥10,或⎩⎪⎨⎪⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题 的关键.方法与技巧1.当一个命题有大前提而要写出命题的其他三种形式时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个(或几个)作为大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的. 3.命题的充要关系的判断方法(1)定义法:直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法:利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ,B ⇒A 与綈A ⇒綈B ,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件. 失误与防范1.判断命题的真假及写命题的四种形式时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式.2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2012·湖南)命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( )A .若α≠π4,则tan α≠1B .若α=π4,则tan α ≠1C .若tan α≠1,则α≠π4D .若tan α≠1,则α=π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题:若tanα≠1,则α≠π4.2.(2012·福建)已知向量a =(x -1,2),b =(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( )A .x =-12B .x =-1C .x =5D .x =0答案 D解析 ∵a =(x -1,2),b =(2,1),∴a ·b =2(x -1)+2×1=2x . 又a ⊥b ⇔a ·b =0,∴2x =0,∴x =0.3.已知集合M ={x |0<x <1},集合N ={x |-2<x <1},那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B解析 因为M N ,所以a ∈M ⇒a ∈N ,反之,则不成立,故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件.故选B. 4.下列命题中为真命题的是( )A .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题B .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题 C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题 D .命题“若x 2>0,则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ,其逆命题:若x >|y |,则x >y ,是真命题,这是因为x >|y |=⎩⎪⎨⎪⎧y y ≥0-y y <0,必有x >y ;对于B ,否命题:若x ≤1,则x 2≤1,是假命题.如x =-5,x 2=25>1;对于C ,其否命题:若x ≠1,则x 2+x -2≠0,因为x =-2时,x 2+x -2=0,所以是假命题;对于D ,若x 2>0,则x >0或x <0,不一定有x >1,因此原命题的逆否命题是假命题,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分) 5.下列命题:①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a =0”是“直线x -2ay =1和直线2x -2ay =1平行”的充要条件; ④若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④解析 对于①,ac 2>bc 2,c 2>0,∴a >b 正确;对于②,sin 30°=sin 150°D ⇒/30°=150°,所以②错误;对于③,l 1∥l 2⇔A 1B 2=A 2B 1,即-2a =-4a ⇒a =0且A 1C 2≠A 2C 1,所以③对;对于④显然对.6.已知p (x ):x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为________. 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题,所以1+2-m ≤0, 解得m ≥3;又因为p (2)是真命题,所以4+4-m >0, 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7.(2011·陕西)设n ∈N +,一元二次方程x 2-4x +n =0有整数..根的充要条件是n =________. 答案 3或4解析 ∵x 2-4x +n =0有整数根, ∴x =4±16-4n 2=2±4-n ,∴4-n 为某个整数的平方且4-n ≥0,∴n =3或n =4. 当n =3时,x 2-4x +3=0,得x =1或x =3; 当n =4时,x 2-4x +4=0,得x =2. ∴n =3或n =4. 三、解答题(共22分)8.(10分)判断命题“若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根”的逆否命题的真假. 解 原命题:若a ≥0,则x 2+x -a =0有实根. 逆否命题:若x 2+x -a =0无实根,则a <0. 判断如下:∵x 2+x -a =0无实根,∴Δ=1+4a <0,∴a <-14<0,∴“若x 2+x -a =0无实根,则a <0”为真命题.9.(12分)已知p :|x -3|≤2,q :(x -m +1)(x -m -1)≤0,若綈p 是綈q 的充分而不必要条件,求实数m 的取值范围. 解 由题意得p :-2≤x -3≤2,∴1≤x ≤5. ∴綈p :x <1或x >5.q :m -1≤x ≤m +1,∴綈q :x <m -1或x >m +1.又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -1>1,m +1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧m -1≥1m +1<5,解得2<m ≤4或2≤m <4,∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升(时间:25分钟,满分:43分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2012·上海)对于常数m 、n ,“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0,n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,n <0,当m >0,n >0且m ≠n 时,方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆, 当m <0,n <0时,方程mx 2+ny 2=1不表示任何图形, 所以条件不充分;反之,当方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆时有mn >0,所以“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 2.已知p :1x -2≥1,q :|x -a |<1,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,3] B .[2,3] C .(2,3]D .(2,3)答案 C 解析 由1x -2≥1,得2<x ≤3; 由|x -a |<1,得a -1<x <a +1.若p 是q 的充分不必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1≤2a +1>3,即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3],故选C.3.集合A ={x ||x |≤4,x ∈R },B ={x |x <a },则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 A ={x |-4≤x ≤4},若A ⊆B ,则a >>4D /⇒a >5,但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件.二、填空题(每小题5分,共15分)4.设有两个命题p 、q .其中p :对于任意的x ∈R ,不等式ax 2+2x +1>0恒成立;命题q :f (x )=(4a -3)x 在R 上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数a 的取值范围是____________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1∪(1,+∞) 解析 当a =0时,不等式为2x +1>0,显然不能恒成立,故a =0不适合; 当a ≠0时,不等式ax 2+2x +1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=22-4a <0,解得a >1.即p :{ a |a >1}.由f (x )在R 上为减函数,得0<4a -3<1,解得34<a <1.即q :{a |34<a <1},由题意,可知p ,q 一真一假.当p 真q 假时,a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}={a |a >1};当p 假q 真时,a 的取值范围是 {a |a ≤1}∩{a |34<a <1}={a |34<a <1};所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34,1∪(1,+∞).5.若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题,则x 的取值范围是________. 答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题.由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5,1≤x ≤4,得1≤x <2.6.“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的____________条件.答案 充分不必要解析 x 2+x +m =0有实数解等价于Δ=1-4m ≥0, 即m ≤14,∵m <14⇒m ≤14,反之不成立.故“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的充分不必要条件.三、解答题7.(13分)已知全集U =R ,非空集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -2x -3a +1<0,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -a 2-2x -a <0.(1)当a =12时,求(∁U B )∩A ;(2)命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =12时,A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x -2x -52<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52, B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x -94x -12<0=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94, ∴∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2+2>a ,∴B ={x |a <x <a 2+2}. ①当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}.∵p 是q 的充分条件,∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a +1≤a 2+2,即13<a ≤3-52.②当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意;③当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2},由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1a 2+2≥2,∴-12≤a <13.综上所述,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.。
命题及其关系、充分条件与必要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件‖知识梳理‖1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;②如果p⇒q,但q⇒/p,则p是q的充分不必要条件;③如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;④如果q⇒p,且p⇒/q,则p是q的必要不充分条件;⑤如果p⇒/q,且q⇒/p,则p是q的既不充分也不必要条件.(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”;②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).| 微点提醒|1.否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.4.充要关系与集合的子集之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)“x2+2x-3<0”是命题.(×)(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(×)(3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(√)(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)(5)q不是p的必要条件时,“p⇒/q”成立.(√)‖自主测评‖1.命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是()A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤bC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c解析:选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”,故选A.2.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数B.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数C.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数解析:选D依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”,注意“都是”的否定为“不都是”,所以原命题的逆否命题应为“若x+y不是偶数,则x与y 不都是偶数”,故选D.3.(教材改编题)“x>1”是“x2+2x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A由x2+2x>0,得x>0或x<-2,所以“x>1”是“x2+2x>0”的充分不必要条件,故选A.4.有下列四个命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为________(填写所有真命题的序号).解析:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题,故①正确;②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故②正确;③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故③正确;④若A∩B=B,则B⊆A,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故④错误.答案:①②③5.(教材改编题)命题p:x2=3x+4,命题q:x=3x+4,则p是q的________条件.解析:当x2=3x+4时,x=-1或4,当x=-1时,x=3x+4不成立,即p⇒/ q.当x=3x+4时,x≥0,3x+4≥0,则x2=3x+4,即q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.答案:必要不充分………考点一四种命题的相互关系及其真假判断……|自主练透型|……………|典题练全|1.命题“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题是()A.若x≠y≠0,x,y∈R,则x2+y2=0B.若x=y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0C.若x≠0且y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠0D.若x≠0或y≠0(x,y∈R),则x2+y2≠0解析:选D x2+y2=0的否定为x2+y2≠0,x=y=0的否定为x≠0或y≠0.故“若x2+y2=0,x,y∈R,则x=y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0”.2.下列命题中为真命题的是( )A .命题“若x >1,则x 2>1”的否命题B .命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题C .命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题D .命题“若1x>1,则x >1”的逆否命题 解析:选B 对于A ,命题“若x >1,则x 2>1”的否命题为“若x ≤1,则x 2≤1”,易知当x =-2时,x 2=4>1,故为假命题;对于B ,命题“若x >y ,则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |,则x >y ”,分析可知为真命题;对于C ,命题“若x =1,则x 2+x -2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x -2≠0”,易知当x =-2时,x 2+x -2=0,故为假命题;对于D ,命题“若1x >1,则x >1”的逆否命题为“若x ≤1,则1x≤1”,易知为假命题,故选B. 3.给出命题:若函数y =f (x )是幂函数,则函数y =f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A .3B .2C .1D .0解析:选C 易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题只有一个.4.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a =0,则ab =0”的否命题是“若a ≠0,则ab ≠0”;③命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”等价.解析:对于①,若log 2a >0=log 21,则a >1,所以函数f (x )=log a x 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x +y 是偶数,则x 、y 都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但1和3均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.判断命题真假的两种方法2.由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将原命题的条件与结论互换即得到逆命题,将原命题的条件与结论同时否定即得否命题,将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.…………考点二 充分条件、必要条件的判定……………|讲练互动型|…………|互动探究|【典例】 (1)(2018年北京卷)设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2018年天津卷)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(3)设a ,b 均为单位向量,则“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)a ,b ,c ,d 是非零实数,若a <0,d <0,b >0,c >0,且ad =bc ,则a ,b ,c ,d 不成等比数列(可以假设a =-2,d =-3,b =2,c =3).若a ,b ,c ,d 成等比数列,则由等比数列的性质可知ad =bc .所以“ad =bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的必要而不充分条件.(2)由⎪⎪⎪⎪x -12<12得0<x <1,则0<x 3<1,即“⎪⎪⎪⎪x -12<12”⇒“x 3<1”;由x 3<1得x <1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x -12≥12,即“x 3<1”⇒/“⎪⎪⎪⎪x -12<12”.所以“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件.故选A.(3)由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2,即a2+9b2-6a·b=9a2+b2+6a·b.又a,b均为单位向量,所以a2=b2=1,所以a·b=0,能推出a⊥b.由a⊥b得|a-3b|=10,|3a+b|=10,能推出|a-3b|=|3a+b|,所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.[答案](1)B(2)A(3)C『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|1.充分条件、必要条件的判断方法(1)利用定义判断:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么.(2)从集合的角度判断:利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围是解决充分性问题;大范围推得小范围是解决必要性问题.(3)利用等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断真假.2.判断充要条件需注意三点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.(3)直接判断比较困难时,可举出反例说明.|变式训练|1.(2019届河南郑州模拟)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选C由A∩B=A可得A⊆B,由A⊆B可得A∩B=A.所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选C.2.(2018届湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由log 2(2x -3)<1⇒0<2x -3<2⇒32<x <52,4x >8⇒2x >3⇒x >32,所以“log 2(2x -3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件,故选A.………考点三 充分条件、必要条件的探求与应用…………|典例迁移型|…………|研透母题|【典例】 (1)命题“∀x ∈[1,3],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A .a ≥9B .a ≤9C .a ≥10D .a ≤10(2)已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件,则m 的取值范围为________.[解析] (1)命题“∀x ∈[1,3],x 2-a ≤0”⇔“∀x ∈[1,3],x 2≤a ”⇔9≤a .则a ≥10是命题“∀x ∈[1,3],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.(2)由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10,∴P ={x |-2≤x ≤10}.∵“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件,则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-2,1+m ≤10,解得m ≤3. 又∵S 为非空集合,∴1-m ≤1+m ,解得m ≥0.综上,可知当0≤m ≤3时,“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件.[答案] (1)C (2)[0,3][迁移探究1] (变设问)本典例(2)条件不变,问是否存在实数m ,使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件?并说明理由.[解] 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}.若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件,则P =S ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =3,m =9, 这样的m 不存在.[迁移探究2] (变设问)本典例(2)条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.[解] 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴P 是S 的充分不必要条件,∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴[-2,10][1-m ,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10, ∴m ≥9,则m 的取值范围是[9,+∞).『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|利用充要条件求参数应关注2点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.[提醒]含有参数的问题,要注意分类讨论.|变式训练|1.(2019届广东江门一模)若a ,b 都是正整数,则a +b >ab 成立的充要条件是( )A .a =b =1B .a ,b 至少有一个为1C .a =b =2D .a >1且b >1解析:选B ∵a +b >ab ,∴(a -1)(b -1)<1.∵a ,b ∈N *,∴(a -1)(b -1)∈N ,∴(a -1)(b -1)=0,∴a =1或b =1.故选B.2.圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是( )A .k ≤-22或k ≥2 2B .k ≤-22C .k ≥2D .k ≤-22或k >2解析:选B 若直线与圆有公共点,则圆心(0,0)到直线kx -y -3=0的距离d =|-3|k 2+1≤1,即k 2+1≥3,∴k 2+1≥9,即k 2≥8,∴k ≥22或k ≤-22,∴圆x 2+y 2=1与直线y =kx -3有公共点的充分不必要条件是k ≤-22,故选B.核心素养系列 逻辑推理——等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知p :⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),綈p 是綈q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________.[解析] ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴q 是p 的必要不充分条件,即p 是q 的充分不必要条件.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),得1-m ≤x ≤1+m (m >0).∴q 对应的集合为{x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}.设M ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}.又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,得-2≤x ≤10, ∴p 对应的集合为{x |-2 ≤x ≤10}.设N ={x |-2≤x ≤10}.由p 是q 的充分不必要条件知,NM , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <-2,1+m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-2,1+m >10, 解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9,+∞).[答案] [9,+∞).[点评] 充要条件问题中常涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决,充分体现“逻辑推理”的核心素养.。
命题及其关系和充分条件与必要条件
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命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及相互关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.1.易混否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.2.注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A);与A的充分不必要条件是B(B ⇒A且A⇒/B)两者的不同.[试一试]1.(2013·福建高考)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A“x=2且y=-1”满足方程x+y-1=0,故“x=2且y=-1”可推出“点P在直线l:x+y-1=0上”;但方程x+y-1=0有无数多个解,故“点P在直线l:x+y -1=0上”不能推出“x=2且y=-1”,故“x=2且y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的充分不必要条件.2.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为:____________________.解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”.答案:“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐角”1.判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法:设“若p,则q”为原命题,那么:①原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件;②原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;③原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;④原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法:从集合的观点看,建立命题p,q相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么:①若A⊆B,则p是q的充分条件;若A B时,则p是q的充分不必要条件;②若B⊆A,则p是q的必要条件;若B A时,则p是q的必要不充分条件;③若A⊆B且B⊆A,即A=B时,则p是q的充要条件.(3)等价转化法:p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件.2.转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.[练一练]1.(2014·济南模拟)设x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B由x2-3x>0得x>3或x<0,此时得不出x>4,但当x>4时,不等式x2-3x>0恒成立,所以正确选项为B.2.与命题“若a∈M,则b∉M”等价的命题是________.解析:原命题与其逆否命题为等价命题.答案:若b∈M,则a∉M考点一 命题及其相互关系1.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) A .若α≠π4,则tan α≠1 B .若α=π4,则tan α≠1 C .若tan α≠1,则α≠π4 D .若tan α≠1,则α=π4解析:选C 命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”. 2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a =0,则ab =0”的否命题是“若a ≠0,则ab ≠0”;③命题“若x ,y 都是偶数,则x +y 也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”等价.解析:对于①,若log 2a >0=log 21,则a >1,所以函数f (x )=log a x 在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x +y 是偶数,则x 、y 都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a ∈M ,则b ∉M ”与命题“若b ∈M ,则a ∉M ”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.答案:②④[类题通法]在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二 充分必要条件的判定[典例] (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ,q .若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ=π”是“曲线y =sin(2x +φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析](1)由q⇒綈p且綈p ⇒/q可得p⇒綈q且綈q ⇒/p,所以p是綈q的充分而不必要条件.(2)由sin φ=0可得φ=kπ(k∈Z),此为曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件,故“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分.[针对训练]下列各题中,p是q的什么条件?(1)在△ABC中,p:A=B,q:sin A=sin B;(2)p:|x|=x,q:x2+x≥0.解:(1)若A=B,则sin A=sin B,即p⇒q.又若sin A=sin B,则2R sin A=2R sin B,即a=b.故A=B,即q⇒p.所以p是q的充要条件.(2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或x≤-1}=B,∵A B,∴p是q的充分不必要条件.考点三充分必要条件的应用[典例]已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件,若存在,求出m的范围;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,若存在,求出m的范围.[解](1)由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},∵x∈P是x∈S的充要条件,∴P=S,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m =3,m =9, 这样的m 不存在. (2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≥-2,1+m ≤10,∴m ≤3. 综上,可知m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件.保持本例条件不变,若綈P 是綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.解:由例题知P ={x |-2≤x ≤10},∵綈P 是綈S 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且S ⇒/P . ∴[-2,10][1-m,1+m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-m ≤-2,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m <-2,1+m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是:(1)若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q 且q ⇒/ p ;(2)若p 是q 的必要不充分条件,则p ⇒/q ,且q ⇒p ; (3)若p 是q 的充要条件,则p ⇔q .[针对训练](2013·浙江名校联考)一次函数y =-m n x +1n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A .m >1,且n <1B .mn <0C .m >0,且n <0D .m <0,且n <0解析:选B 因为y =-m n x +1n 经过第一、三、四象限,故-m n >0,1n<0,即m >0,n <0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn <0.[课堂练通考点]1.(2013·安徽高考)“(2x -1)x =0”是“x =0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 由(2x -1)x =0可得x =12或0,因为“x =12或0”是“x =0”的必要不充分条件.2.(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是( )A .“若x <y ,则x 2<y 2”B .“若x >y ,则x 2>y 2”C .“若x ≤y ,则x 2≤y 2”D .“若x ≥y ,则x 2≥y 2”解析:选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ,则x 2≤y 2”.3.(2014·福建质检)已知向量a =(m 2,4),b =(1,1),则“m =-2”是“a ∥b ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 依题意,当m =-2时,a =(4,4),b =(1,1),所以a =4b ,a ∥b ,即由m =-2可以推出a ∥b ;当a ∥b 时,m 2=4,得m =±2,所以不能推得m =-2,即“m =-2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.4.(2013·聊城期末)设集合A ,B 是全集U 的两个子集,则A B 是(∁U A )∪B =U 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 如图所示,A B ⇒(∁U A )∪B =U ;但(∁U A )∪B =U ⇒/A B ,如A =B ,因此A B 是(∁U A )∪B =U 的充分不必要条件.5.命题“若a >b ,则a -1>b -1”的否命题是________.答案:若a ≤b ,则a -1≤b -16.(创新题)已知集合A ={x |y =lg(4-x )},集合B ={x |x <a },若P :“x ∈A ”是Q :“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.解析:A ={x |x <4},由题意得A B 结合数轴易得a >4.答案:(4,+∞)。
充分条件必要条件命题l联言选言命题
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充分条件必要条件命题l联言选言命题Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】充分条件必要条件命题一、充分条件假言命题1、充分条件假言命题的语言标志如果…那么…/只要…就…/若…必…/一…就…2、充分条件假言命题的性质如果A,那么B。
符号表达:A=> B。
有前件就必有后件(如果一个充分条件假言命题为真,则:如果肯定其前件,则必然可以得到后件。
简称:有前必有后。
)无前件未必有后件(否前未必否后)有后件未必有前件(肯后未必肯前)无后件则必无前件(否后必肯前)——逆否命题(原命题与逆否命题同真假)3、充分条件假言命题的矛盾命题如果A,那么B。
符号表达:A=> B。
并非(A=>B)= A且非B(A=>B)=非A或B(一个充分条件假言命题如果我们知道前件为假,后件不管真假,整个充分条件假言命题一定是真的;当我们知道后件为真的的时候,前件不管真假,整个充分条件假言命题一定是真的)二、必要条件假言命题1、必要条件假言命题的语言标志:只有…才...2、必要条件假言命题的性质只有A,才B。
符号表达:B => A。
有条件未必有结果无条件则必无结果(逆否命题)有结果则必有条件无结果未必无条件3、必要条件假言命题的矛盾命题只有A,才B。
符号表达:B=> A。
并非(B=> A)=B且非A(B=> A)=非B或A(一个必要条件假言命题如果我们知道前件为真,后件不管真假,整个必要条件假言命题一定是真的;当我们知道后件为假的的时候,前件不管真假,整个必要条件假言命题一定是真的)等值命题:只有A,才B=如果B,就A。
三、特殊语言标志1、不…不…如果不A,那么不B。
-A=》-B B=》A2、没有…没有…如果没有A,那么没有B。
-A=》-B B=》A3、除非…否则…等于必须…否则…例:除非调查,否则就没有发言权。
以下各项都符合题干的断定,除了A.如果调查,就一定有发言权。
命题及其关系、充分条件与必要条件
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目
CONTENCT
录
• 命题及其关系 • 充分条件 • 必要条件 • 充分条件与必要条件的联系与区别 • 命题逻辑在现实生活中的应用
01
命题及其关系
命题的定义与分类
总结词
命题是陈述句,分为简单命题和复合命题。
详细描述
简单命题是只包含一个主语和谓语的命题,例如“小明是医生”。复合命题由多个简单命题通过逻辑联结词(如 “且”、“或”、“非”)组合而成,例如“小明是医生且小李是律师”。
03
必要条件
必要条件的定义
必要条件是指为了使某一结果发生所必须满足的条件。如果没有 这个条件,该结果就不会发生。
必要条件通常用于逻辑推理和数学证明中,以确定某个结论是否 成立。
必要条件的判定
02
01
03
判断一个条件是否是必要条件,可以通过逻辑推理和 反证法来进行。
如果一个条件是某个结论的必要条件,那么当这个条 件不满足时,该结论一定不会成立。
THANK YOU
感谢聆听
在法律和伦理领域,必要条件 的概念也经常被用来判断某个 行为是否合法或道德。
04
充分条件与必要条件的联系与区别
联系
充分条件与必要条件都是描述命题之间的逻辑关系。
在某些情况下,一个充分条件可能也是另一个命题的必要条件,反之亦然。 充分条件与必要条件在逻辑上具有对称性,即如果P是Q的充分条件,则Q 是P的必要条件。
02
充分条件
充分条件的定义
充分条件的定义
如果条件A存在,则会导致结果B发生,那么我们说A是B的充分条 件。
例子
如果下雨(条件A),则地面会湿(结果B)。在这个例子中,“下 雨”是“地面湿”的充分条件。
充分条件和必要条件的判断
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充分条件和必要条件的判断一、必要和充分条件怎么判断充分条件:如果A能推出B,那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集,即属于A的一定属于B,而属于B的不一定属于A,具体的说若存在元素属于B的不属于A,则A为B的真子集;若属于B 的也属于A,则A与B相等。
必要条件:必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A,则必然没有B;如果有A而未必有B,则A就是B的必要条件,记作B→A,读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A,我们就说A是B的必要条件。
二、充分条件和必要条件的关系1、充分条件:如果条件A是结论B的充分条件:A与其他条件是并连关系,即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立(就像是个人英雄主义)。
2、必要条件:条件A是结论B的必要条件:A与其他条件是串联关系,即条件A必须存在,且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
(团结的力量)。
3、充分必要条件,又称充要条件,是数学中的一种关系形式,即如果能从命题p推出命题q,而且也能从命题q推出命题p,则称p是q的充分必要条件,且q也是p的充分必要条件。
三、充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大,充分条件:有A这个条件一定能推出B这个结果,但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件:有B这个结果一定能推出A这个条件,但是A这个条件不能推出B 这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”,范围比两者都要更大,而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同:“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”;“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”;“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
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命题、充分与必要条件
命题的基本概念:
原命题:若p,则q; 否命题:若非p ,则非q ; 逆命题:若q 则p; 逆否命题:若非q ,则非p;
1、下列四个命题其中真命题为:
(1)“若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题; (2)“面积相等的三角形全等”的否命题;
(3)“若02,12=+-≤m x x m 则有实数解”的逆否命题; (4)“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题; 2、命题“若4
π
α=
,则1tan =α”的逆否命题是:
3、命题“若x 、y 都是偶数,则x+y 也是偶数”的逆命题是:
4、下列三个命题其中真命题为:
(1)“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题; (2)“若1≤q ,则022=++q x x 有实根”的逆否命题; (3)“直角三角形有两个锐角”的逆命题;
5、在原名题及逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数可以使
6、判断哪些命题中的p 是q 的充分条件、必要条件、充要条件 (1)若x>1,则-3x<-3 ; (2)若x=1,x 2-3x+2=0; (2)若()3
x f x -=则()x f 为单调递减; (4)若2121,k k l l =则平行; (4)若02,12-x 2>-+<x x 则; (6)若x>1,则0log )2(2
1<+x
(7)若q>1,则{}n a 为递增数列; (8)若集合φ=⋂⊆⊆B A C C B C A 则u ,;
7、已知p:02082>--x x ,)0(012:22>>-+-a a x x q 若p 是q 的充分不必要条件,求a 的范围;
8、已知026)1(3:,12:22≤+++-+≤≤a x a x q a x a p ,若p 是q 的充分条件求a 的范围;。