量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第6章-1

ψ
100
1 = πa 3 0
1
2
e
− r
• •
（1’）
• m r + m2 r2 总动量 P = M R = ( m1 + m2 ) 1 1 = p1 + p 2 m1 + m2 总轨迹角动量 L = L1 + L2 = r1 × p1 + r2 × p 2
（2’）
(5)
u = R+ m 1
第六章 中心力场
P307 1.证明下列关系式：
• 1 ( m2 p p= µ r = 1 − m1 p 2 ) M • 总动量 P = M R = p1 + p 2 总轨迹角动量 L = L1 + L2 = r1 × p1 + r2 × p 2 = R × P + r × p
P +
2
1 2 1 1 p + 2 m1 m2
（ 4’）
2 P2 p = + 2M 2 µ
［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.
P308
2.同上题，求坐标表象中 p 、 P 和 L 的算符表示
p = − i∇ r ， P = − i∇ R ， L = R × P + r × p
R
^ ∂ ∂ ∂ P= i + j + k = ∇ i ∂X i ∂Y i ∂Z i
(b)总角动量 L = l1 + l 2 =
^

^ ^
(r1 × ∇ 1 + r2 × ∇ 2 ) i
^ L x = (r1 × ∇ 1 + r2 × ∇ 2 ) x i
+ (Y +
− (Z +
= {
m1 ∂ ∂ ∂ ∂ (Y − Z ) − (Y − Z ) i m ∂Z ∂Y ∂z ∂y − m1 m2 m ∂ ∂ ∂ ∂ (y − z ) + 2 (y − z ) m ∂Z ∂Y m ∂z ∂y + m2 ∂ ∂ ∂ ∂ (Y − Z ) + (Y − Z ) m ∂Z ∂Y ∂z ∂y
+ i
m1 m2 m ∂ ∂ ∂ ∂ (y − z ) + 2 ( y − z )} m2 ∂Z ∂Y m ∂z ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ − Z ) + ( y − z )} ∂Z ∂Y ∂z ∂y
R
= {(Y
=( R× ∇
i
+
r × ∇ r )x i + r× ∇ i
r
因而
^ L = R× ∇ i
解：
p= ∇
1 − i m2 p1 − m1 p2 = m 2∇ M M ∂ ∂ ∂ + j + k ， ∂ x1 ∂ y1 ∂ z1
(
)
(
r1
− m1∇
r2
)
（1）
其中
r1
= i
而
∂ ∂X ∂ ∂x ∂ m ∂ ∂ = + = 1 + ， ∂ x1 ∂ x1 ∂ X ∂ x1 ∂ x M ∂ X ∂ x ∂ m ∂ ∂ = 1 + ， ∂ y1 M ∂ Y ∂ y ∇ = m1 ∇ M ∂ m ∂ ∂ = 1 + ； ∂ z1 M ∂ Z ∂ z = m1 ∇ M
m= − 1
∑
1
Y * lm (θ , ϕ )Ylm (θ , ϕ )
（8）
依据以上结论，假写我们要计算有心力场中电子在核周围形成的电荷密度分布，就可以按几率密度 一样计算(§6.3,P.222 几率密度随角度的变化一段) 径向电荷密度
dω ∞ Ylm (θ , ϕ ) = 常量 dΩ dω 是指在方位(θ , ϕ )上单位立体角内电子出现的总几率q是电子电荷, 可见电 q. 荷分布是各向同性的
p 2 (1,θ 2 , ϕ 2 )
考察下述谐函数积的总和工：
I≡
m= − 1
∑
m= 1
Ylm (θ 1ϕ 1 )Ylm (θ 2ϕ 2 )
（1）
ˆ 后，对新座标来说该总和仍是不变的。按么正变换理论，若 能够证明，若将参考系施行一次旋转 R
座标系 x,y,z 被旋转成为 x ′ , y ′ , z ′ ，原来的一个函数 ϕ
R
P332 证明
m= − 1
∑
m= 1
Y * lm (θ , ϕ )Y lm (θ , ϕ ) = 常数 (与θ , ϕ 无关 ) 由此证明能级上满布电子的情况下，电荷分
布是各向同性的。
（证明）题给的关系式是“球谐函数加法定理”，设想原来有一叁考系（ xyz），以原点为中心的 单位球面上有二点：
p1 (1,θ 1 , ϕ 1 )
r = r1 − r2 ， （18）
（6）
以上各式中， M = m1 + m2 , 证：
R=
m1 r1 + m2 r2 ， （17） m1 + m2
• p= µ r =
相对动量
m1 m2 m1 + m2
• • r1 − r2 = 1 ( m2 p − m p 1 1 2) M
2l + 1 σ om又Y lm(θ 2 , ϕ 2 ) 4π 2
Ylm (θ
2′ ,
0) =
2l + 1 (l − m)! m ′) • (ϖ θ 2 4π (l + m)! P1
1
I=
于是有：
m= − 1
∑
′ )Ylm (θ 2 ′ϕ ′) Y * lm (θ 1′ϕ 1 2l + 1 • 4π 2l + 1 (l − m)! m ′) • (ϖ θ 2 4π (l + m)! P1
= R × p1 + p 2 + r ×
(1)( 2 )
(
r × p1 +
)
u R − r × p2 m 2 1 m2 p1 − m1 p 2 M
(
)
=
R× P + r× p
2
µ P + p 2 2 总动能 m2 p1 p2 ( 6) + T= + = 2m1 2m2 2m1
P338——5.5 6.1——5.1 6.2——5.24 6.3——5.27 6.4——5.7 6.5——5.16 6.5 对于氢原子基态，计算 ∆ x ⋅ ∆ p 。 解： * 在求坐标系中，空间反演： r → − r （ r → − r ,θ → π − θ , ϕ → π + ϕ ）。
氢原子基态波函数为
则在 X1 0 z1 座标面上，根据公式（课本）
( p • 30) : Ylm (θ , ϕ ) = (− 1) m
(l − m)!(2l + 1) (l + m)!4π
P
m
1
(ϖ θ ) eiϕ
再利用
P
m
1
(ω θ ) = (ω θ ) m
dm P1 (ω θ ) d (ω θ ) m
得 Ylm (θ 1 ′ ′, ϕ 1 ) = Ylm (0, ϕ 1 ′) =
lm
−1
lm
mm′
D
ψ
lm
(θ , ϕ )
系进行变换时，总和工被变换成的结果，可用（3）代入（1）得到
I=
m= − 1
∑
l
ˆ − 1Y (θ ϕ )}{R ˆ − 1Y (θ ′ κ ′ )} = {R lm 1 1 lm 2 2
∑ ∑
m1
{∑
m2
D D
mm 2
l
l
mm1
}
（4）
Y
* lm1
′ )Ylm2 (θ 2 ′ϕ 2 ′) (θ 1′ϕ 1 ˆR ˆ+ = I ˆ ，因而 R



(2)
试求总动量 P = p1 + p 2 及总角动量 L = l1 + l 2 在 R , 算符表示。 1.







r 表象中的
[解] （a）合动量算符 P = p1 + p 2 。根据假设可以解出 r1 ， r2





令 m ≡ m1 + m2 ： r1 = R −


m2 r （３） m1
（４）
m r2 = R + 1 r m2
设各个矢量的分量是 r 1 ( x1 ,

y1 , z1 ) ， r2 ( x 2, y 2 , z 2 ) ,

r ( x, y, z ) 和 R ( X , Y , Z ) 。为了计算动量的变换式先求对 x1 ， x 2 等的偏导数： m ∂ ∂ ∂X ∂ ∂x ∂ ∂ = + = 1 − ∂ x1 ∂ x1 ∂ X ∂ x1 ∂ x m ∂ X ∂ x m ∂ ∂ ∂X ∂ ∂x ∂ ∂ = + = 2 + ∂ x2 ∂ x2 ∂ X ∂ x2 ∂ x m ∂ X ∂ x
同理，
（利用上题（17）（18）式。）
∴
r1
R
+ ∇ r ；仿此可设 ∇ − i m1m2 ∇ M M
r
r2
R
−∇
r
（2）
代入（1）中，得 p =
R
+ m 2∇ r −
m1m2 ∇ M