离散型随机变量的方差PPT教学课件
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离散型随机变量的方差 课件
X0.2 b
(2)计算X1和X2的均值和方差,并以此分析甲、乙两射手 的技术状况． 【解】 (1)由分布列的性质知,0.1＋a＋0.4＝1, 0．2＋0.2＋b＝1.即a＝0.5,b＝0.6.
(2)E(X1)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3, E(X2)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.6＝1.4, D(X1)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4 ＝0.41, D(X2)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.2＋(2－1.4)2×0.6 ＝0.64. 由上述计算知,乙的平均水平较甲好一点,但乙的稳定性 不如甲．
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏 离于均值的__平_均__程__度___,方差或标准差越小,则随机变 量偏离于均值的平__均__程__度_____越小． (3)D(aX＋b)＝_a_2D_(_X_)____． 想一想 离散型随机变量的均值E(X)和方差D(X)都反映了X取值 的平均水平,这种说法对吗？ 提示:不对．E(X)反映的是X取值的平均水平,D(X)刻画 了X与E(X)的平均偏离程度．
【名师点评】 离散型随机变量的期望反映了离散型 随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变 量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实 际决策问题中,需先运算均值,看一下谁的平均水平高,然 后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定,当然不 同的模型要求不同,应视情况而定．
【名师点评】 求离散型随机变量的方差常分为以下三
步:①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③
求出随机变量的方差．
题型三 应用均值和方差分析实际问题
例3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随
机变量,分别记为X1和X2,它们的分布列分别为
离散型随机变量的期望及方差课件
02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
7.3.2离散型随机变量的方差PPT课件(人教版)
X DX 1.2 1.095
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
学以致用：
2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX 解： 离散型随机变量X的散布列为：
Xc P1
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
学以致用：
3.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款
期数 的散布列为：
1
2
3
4
5
则称 DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。 i 1
称 X DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
1.已知随机变量X的散布列为
请看课本P70：练习1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
解：E( X ) 1 0.2 2 0.3 3 0.4 4 0.1 2.4.
D( X ) (1 2.4)2 0.2 (2 2.4)2 0.3 (3 2.4)2 0.4 (4 2.4)2 0.1 0.84
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3 ，3，4；则这组数据的方差是多少？
反应这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [(x1
x)2
([(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
离散型随机变量的方差 课件
2．(1)一出租车司机从饭店到火车站途中有 6 个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率 都是13，则这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的方差为________；
(2)篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分．已知某 运动员罚球命中的概率为 0.7，求他一次罚球得分的方差．
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任 取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
解析： 由题意，得 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，所以 P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8. D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16. (2)由题意知，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y～B(10,0.8)． ∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8， D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
[规律方法] 正确认识二项分布及在解题中的应用
___
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
为
这
些
偏
离
程
度
的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程
度．称D(X)为随机变量X的____方__差____． n 2．标准差的概念：方差为 D(X)＝ (xi－E(X))2pi，其 i＝1
____算_术 __平__方__根____D__X_______为随机变量 X 的__标__准__差_____．
离散型随机变量的方差教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
3.已知随机变量 X 的分布列是
X
1
P
a
C 若 E(X ) 0 ，则 D(X ) ( )
1
A.0
B.
3
0 1 3
2 C.
3
1 b
D.1
解析：由已知可得
a b a
b
1 3
1, 0,
解得
a
b
1 3
，因此，
D( X
)
1 3
(1
0)2
(0
0)2
(1
0)2
2 3
.
4.小智参加三分投篮比赛，投中 1 次得 1 分，投不中扣 1 分，已知小智投篮命中
B.0.4
C.0.6
D.0.8
解析：因为随机变量 X 的分布列为
P X 0 0.2, P X 1 a , P X 2 b , E X 1,
所以
a b 1 00.2 a
0.2 0.8 2b 1
,解得
a
0.6
,
b
0.2
,
所以 D X 0.2(0 1)2 0.6(11)2 0.2 (2 1)2 0.4 .
计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据
x1，x2，…，xn，设其均值为 ， 则其方差即为 x1 x 2 ， x2 x 2 ，…， xn x 2 的 平均值，即
பைடு நூலகம்s2
1 n
x1
x2
x2 x 2
xn x 2 ．
一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平
例 1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差和标准差．
解：
掷出点数 X 的分布列如下：
离散型随机变量的均值与方差ppt课件市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
A1 )
1 2
,
P ( B2
)
1 3
,
P(C3 )
1 6
.
(1)他们选择旳项目所属类别互不相同旳概率
P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)
6 11 1 1. (2)设32名工3 人6中选6 择旳项目属于民生工程旳人数为
η,由已知, ~ B(3, 1), 且 3 ,
所以P(
解析 X ~ B(3, 1), D( X ) 3 1 3 9 .
4
4 4 16
题型分类 深度剖析
题型一 离散型随机变量旳均值与方差旳求法 【例1】 (2023·湖南理,17)为拉动经济增长,某市决
定新建一批要点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目旳个数分 别占总数旳 1 , 1 , 1 , 既有3名工人独立地从中任选一
解 (1)ξ旳全部可能取值有6,2,1,-2.
P( 6) 126 0.63, P( 2) 50 0.25,
200
200
P( 1) 20 0.1, P( 2) 4 0.02.
200
200
故ξ旳分布列为
6
2
1
-2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02
随机变量ξ1、ξ2分别表达对甲、乙两项目各投资
10万元一年后旳利润.
(1)求ξ1、ξ2旳概率分布和数学期望E(ξ1)、 E(ξ2); (2)当E(ξ1)<E(ξ2)时,求p旳取值范围. 解 (1)措施一 ξ1旳概率分布列为
1 1.2 1.18 1.17
离散型随机变量的方差 课件
(1)在A,B两个投资项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表 示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2). (2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A,(100-x)万元投资 项目B,f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目 B所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何 值时,f(x)取得最小值.
所以D(Y)= (yi-E(Y))2pi= (xi+b-E(Y))2pi
n
n
= (xi+b-E(X)-b)2pi= (xi-E(X))2pi=D(X).
i1 n
i1 n
i1
i1
2.设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,试用D(X)表
示D(Y).
提示:因为Y=aX+b,所以E(Y)=aE(X)+b,
结论: 离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则_(_x_i-_E_(_X_)_)_2_描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)
的偏离程度,而D(X)=__n (_x_i－__E__X__)2_p_i 为这些偏离程度的加 i1
【解析】由题意知,ξ服从二项分布B(n,p),
P(ξ=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n. Ckn
(1)由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)= , 3
得1-p= ,从而n=6,p= .
2
1
1
ξ的分布2列为
2
(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(ξ≤3),
得P(A)=1 6 15 20 21, 或P(A)=1-P(6ξ4>3)=13-125 6 1 21, 所以需要补种沙柳的概率6为4 . 32
离散型随机变量的方差 课件
() A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环， 且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数 变量为ξ，乙射击时射中的环数变量为η. (1)求ξ，η的分布列. (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
【知识点拨】 1.对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同 的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳 定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中 应用更广泛．
2.已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环， 且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中 10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数 变量为ξ，乙射击时射中的环数变量为η. (1)求ξ，η的分布列. (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋ (7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2 ＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
【知识点拨】 1.对随机变量X的方差、标准差的理解 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同 的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳 定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中 应用更广泛．
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
7.3.2离散型随机变量的方差课件(人教版)
X
1
2
3
4
5
6
1
P
6
1 6
1
1
6
6
1 6
1 6
E X 1 1 +2 1 +3 1 +4 1 +5 1 +6 1 = 7 .
6 6 6 6 6 62
6
k 1
k
2
1 6
1 6 (k2 1) (7)2 35.
k 1
i 1
为避免正负偏 差相互抵消
学习目标
新课讲授
概念生成
课堂总结
设离散型随机变量X的散布列如表所示:
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称 D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (x2 E( X ))2 p2 ... (xn E( X ))2 pn
n
(xi E( X ))2 pi i 1
乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如 何定量刻画随机变量取值的离散程度？
样本数据的离散程度
随机变量的离散程度
所有数据与样本均值的 “偏差平方的平均值”
(样本方差)
可能取值与均值的 “偏差平方的平均值” (随机变量的方差)
i 1
n
n
n
a2xi2 pi 2abxi pi b2 pi a2 (E( X ))2 2abE( X ) b2
i 1
i
i
n
n
n
a2 xi2 pi 2ab xi pi b2 pi a2 (E ( X ))2 2abE ( X ) b2
离散型随机变量的方差 课件
E3X＋2＝3EX＋2， D3X＋2＝9DX，
即3np＋2＝
np1－p＝12.96，
解得 n＝
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
p＝0.4，
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B5，13 所以E(X)＝5×13＝53. 故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为 什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)． 3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5，3a，a,0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.
，所以X的均值E(X)＝(－1)×
1 2
＋0×
1 4
＋
1×14＝－14.
故X的方差D(X)＝－1＋142×12＋0＋142×14＋1＋142×14＝1116.
法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝
－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.
品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
高中数学选修2-3.2离散型随机变量的方差人教版ppt课件
0 1 2
1 1 3
x p
[解题过程]
1 1 1 由 ＋ ＋p＝1，得 p＝ ， 2 3 6
1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋ x＝ ，∴x＝2. 2 3 6 3
2 2 2 1 1 1 15 2 2 2 ∴ (1)D(ξ) ＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ ＝ 2 3 6 27
2
3 1 2 1.5) × ＋(4－1.5) × ＝2.75. 20 5
2
(2)由 D(aξ＋b)＝a2Dξ＝11， E(aξ＋b)＝aEξ＋b＝1， 及 Eξ ＝1.5，Dξ＝2.75，得 2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得 a＝2，b ＝－2 或 a＝－2，b＝4.
1．如何理解离散型随机变量的方差、标准差？ (1)随机变量 X 的方差和标准差都反映了随机变量 X 取值 的稳定与波动， 集中与离散的程度， D(X)(或 DX)越小， 稳 定性越高，波动越小，显然 D(X)≥0( DX≥0)
[题后感悟] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有 时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看 随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明 随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利 用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．
2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分 别记为X1和X2，它们的分布列分别为
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重 点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样 品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下；
ξ P
η
110 0.1
100
120 0.2
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记为 X
2. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散
程度的量.如果 DX 值大, 表示X 取值分散程度大, EX 的代表性差;而如果 DX 值小, 则表示X 的取 值比较集中,以 EX 作为随机变量的代表性好.
3. 随机变量方差的计算
(1) 利用定义计算
离散型随机变量的方差
n
DX (xi EX )2 pi , i 1
Names
LucyBiblioteka Do you have a…?
Yes, I do.
Balls you have
basketball
What balls do you have? I have ….
• 1. 你有一个排球吗？ 是的，我有。
Do you have a volleyball? Yes, I do.
• 2. 你有表兄妹吗? 不, 我没有。
更稳定一些，看来甲无话可说了．
二、知识点
1.已知离散型随机变量 X 的分布列：
X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
n
DX (xi EX )2 pi , 刻画了随机变量X与其均值EX的 i 1
平均偏差程度，称DX为随机变量X的方差.
称 DX为X的标准差（Standard Deviation）或均方差,
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 E X EX
就可以了.
为什么这样可以？
E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射
手发挥愈不稳定．
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
• 6. 让我看一看。
Let’s have a look.
Does he have a tennis racket?
Yes, he does. /No, he doesn't.
Does she have a soccer ball? Yes, she does. / No, she doesn't.
Do you have any cousins? No,I don’t.
• 3. 她有网球拍吗？ 是的，她有。
Does she have a tennis racket? Yes, she does.
• 7. 咱们去踢球吧。
Let’s play soccer.
• 4. 他有英英字典吗？ 不，他没有。他有一 本英汉字典。
table tennis
golf
Do you have an American football / rugby?
Yes, I do. / No, I don’t.
Golf club
Do you have a golf ball? Yes, I do. / No, I don’t.
Group work
离散型随机变量的方差
配人民教育出版社选修2-3 连平中学数学组 伟凡
一、引例： 有一项赛事要派一人去。现有甲、乙 两位射手，甲射手射击中命中的环数用X表示，乙射 手射击中命中的环数用Y表示，甲、乙两射手射击中 命中的环数分布分别为：
现在要判断甲、乙两位射手谁的射击水平谁更稳定些？ 我的想法：算他们命中的平均环数(均值)
甲、乙两位射手每次射击命中的平均环数分别为
EX 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9（环） EY 8 0.1 9 0.8 10 0.1 9 (环)
看来分不出谁好坏了， 谁能帮我？
x 我的想法是，看谁命中的环数 i 与其平均环数
EX 偏差的绝对值 xi EX 最小.
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
其中 P{ X xi } pi , i 1,2,L 是 X 的分布列.
(2) 利用公式计算 D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 .
证明
D( X ) E{[X E( X )]2} E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
初一英语第二学期同步串讲 第七讲
Do you have an eraser?
Do you have a soccer ball?
ball games soccer
basketball
badminton
baseball
tennis (racket)
volleyball
Ping pong (ball)
6
6
6
6
6
6
EX 2 12 1 22 1 32 1
6
6
6
42 1 52 1 62 1 15.17
6
6
6
DX EX 2 EX 2 15.17 3.52 2.92
练习：78页 1 2.设随机变量X的均值EX=2，方差DX=4，求EX 2 课本例5
四、小结：
作业：79页A组 4
Does he have a basketball?
Yes, he does.
Do they have a puck? Yes, they do. /No, they don’t.
Does he have an English English dictionary? No,he doesn’t. He has an English Chinese dictionary?
• 5. 他们有笔记本吗？ 是的，他们有。
Do they have any note books? Yes, they do.
E( X 2 ) [E( X )]2
E( X 2 ) E2( X ).
三、例题
例4. 随机抛掷一枚均匀的骰子，求向上一面的点数 X 的均值 、方差和标准差.
解：抛掷骰子点数 X 的分布列为：
X1 2 3 4 5 6
P111111
666666
EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5