圆与椭圆综合题
圆与椭圆综合题
1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .（1）求椭圆G 的方程；（2）求21F F A k ∆的面积； （3）问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由.2.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．:3.在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图，已知圆C ：222x y +=与x 轴交于A1、 A 2两点，椭圆E 以线段A 1A 2为长轴，离心率2e =． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的左焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ，判断直线PQ 与圆C 关系，并给出证明．{5.已知平面直角坐标系中，A 1(—2，0)，A 2(2,0)、A 3(1,3)，△A 1A 2A 3的外接圆为C ；椭圆C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率.22=e （I ）求圆C 及椭圆C 1的方程；（II ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF的垂线交直线22=x 于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明。
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题 【答案】(1)22198x y ；(2)220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】（1）由已知可求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点G 的坐标，由题意可知EG AB ⊥，可得1EG k k=-，可得出m 关于k 的表达式，分0k <、0k >两种情况讨论，结合基本不等式可求得m 的取值范围.(1)解：由已知得1322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，1c =，3a =，2228b a c =-=，因此，椭圆C 的方程为22198x y .(2)解：根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ， 线段AB 的中点为()00,G x y ，设点(),0E m ，使得AE BE =，则EG AB ⊥．联立222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，()()22223614498288940k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得1223698k x x k +=-+，所以，021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+， 因为EG AB ⊥，所以，1EGk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+， 则2228989k m k k k--==++，当0k >时，89298122k k +≥⨯=22k =20m ≤<； 当0k <时，()()8889929122k k k k k k⎡⎤+=--+≤--⋅-⎢⎥--⎣⎦ 当且仅当22k =20m <≤综上所述，点E 的横坐标的取值范围为220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 10k 的值． 【答案】（1）22142y x +=；（2）3k = 【解析】（1）由题意：()212y x =-(2，焦距为22故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，22b =，所以C 的方程为：22142y x +=； （2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，故直线l 垂直AB ，所以k t =，联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,P x y ，则()228240k m∆=+->，022km xk =-+，00222my kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以2221022km km k k -++=++，即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，()()()2222222212122k k AB k k k k +-∆=+=++，O 到直线AB 的距离()222211m d k k k ==++，()2241102AOBk SAB d -===，解得：23k =，3k =类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）由222a =，得2a =由2c e a ==，得1c =，所以1b =.所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l 的斜率不存在时，22MN =2PQ =这时11222222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，22PQ =， 这时112222222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y .由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m +=+，12212y y m -=+. 所以())222212121222211142m m y m y y y y m PQ +=+-=++-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l 的距离21d mm =+所以2222222211m m MN m m +=-=++22211122221222PMQN m S MN PQ m m +===-++由222m +>，得2122122m->+，即(2,22PMQN S ∈. 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2.【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率6e ．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意可知1b =，又63c e a ==，即22123a a -=．解得23a =．即3a =． 所以222c a b =-=．所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±．（Ⅱ）由221330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m R ∈． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则12122222,33m y y y y m m --+==++，()113,E y ，()123,F y ，因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为22221212121[2]()42S y y y y y y =⨯-=+-()22224833m m m =+++()222248243m m m ++=+()22212243m m +=+．所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++． 类型三 面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题 【答案】(1)3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)323,2⎛-- ⎝⎭. 【解析】（1）设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，可求得点C 的坐标，将点C 的坐标代入抛物线的方程，可得出()223214k b k +=，结合0∆>可得出2k 的取值范围，进而可求得b 的取值范围，即可得解；（2）设点()23,3D t t ，计算得出PCD 的面积239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()f u '，分析可知函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于t 的不等式组，解出t 的取值范围，即可得出点D 的横坐标的取值范围.(1)解：由题意可设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214220k x kbx b +++-=， ()()()2222221682118210k b k b k b ∆=-+-=+->，可得2221b k <+，① 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得122421kb x x k +=-+，21222221b x x k -=+，设点()00,C x y ，则12022221x x kb x k +==-+，00221by kx b k =+=+， 将点C 的坐标代入抛物线2Γ的方程得224630k b k --=，则()223214k b k+=，代入①可得()22249212116k k k +<+，可得42161890k k -->，解得232k >， 因此()222321333,24242k b k k +⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭. 因此，点P 的纵坐标的取值范围是3,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：设点()23,3D t t，则点D 到直线l 的距离为22223311tk t bd k k -+==++，221kb k PC +=PCD 的面积()22331221kb t tk b S PC d k --=⋅=+，② 将()223214k b k +=代入②得239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭， 令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()22342f u u t '=-+-， 因为()f u '在6⎛ ⎝⎭上单调递减，所以，函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，()2204206440f t f t ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎭'⎝⎩'，可得2112t <<，③ 因为点D 在椭圆1Γ的左上方，则2409182t t t <⎧⎨+>⎩，④ 由③④可得21t -<<D 的横坐标的取值范围是323,⎛- ⎝⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题 【答案】(1)22184x y +=；(2)12 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）结合根与系数关系求得D 点坐标，进而求得,,E G H 点坐标，利用“中点”求得面积比.(1)依题意2222242a c a c ca b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22,2a b c ===，所以椭圆方程为22184x y +=. (2)右焦点()2,0F .直线():0m y kx t t =+≠，由于线段AB 的垂直平分线与,x y 轴都相交，所以0k ≠，由22184y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124280k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 则()1212122242,21212kt tx x y y k x x t k k -+=+=++=++， 所以222,1212ktt D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.线段AB 的垂直平分线的方程为22121212t kt y x k k k ⎛⎫-=-⋅+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得22,01212E kt kt x E k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 令0x =，解得220,1212G t t y G k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭. 所以,D G 关于E 点对称，所以DE EG =， 所以ADEAEGSS=.直线GF 的方程为()20120220tk y x --+-=--，令4x =，解得224,1212H t t y H k k ⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 所以,G H 关于F 对称，所以GF FH =， 所以AGFAFHSS=.结合图象可知：1212S S =.【点睛】本题求四边形AEGF 和四边形ADGH 的面积比，常规的方法是借助弦长公式和点到直线距离来求面积，但本题用这个方法很难.在解题的过程中，求出,,,,D E G F H 的坐标后，要注意观察坐标间的对称性，结合对称性来求面积比，将问题求解大大简化.类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【答案】(1)22163x y +=；(2)22,3⎡⎤⎣⎦ 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.(1)依题意22222224116,3c aa b c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(2)圆222x y +=的圆心为()0,0，半径2r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x 2x = 2222163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163x y x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为2y 2y =-2222163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163y x x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=， 由于直线AB 和圆222x y +=()2222211b b k k =++.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+- ()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++， 所以()2222212122242614141212kb b AB k x x x x k k k --⎛⎫=++-=+-⋅ ⎪++⎝⎭()2422224242232845112222144144112k k k k k k k k k k ++++++++++2212122144k k=+>++另一方面，由于22221144448k k k k +⋅+≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立. 所以2211212131844k k++=++，即223AB ≤. 综上所述，AB 的取值范围是22,3⎡⎤⎣⎦.【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,)+∞． 【解析】（1）椭圆2222:1(0) x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，则2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，22221c y a b ∴+=，解得2b y a =±，222b a∴=，即2b a =，∴2222a b c a =+=+， 解得2a =，∴椭圆的方程为22142x y +=，（2）设直线l 的方程为y kx t =+．由221? 42x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -=+， 而121212*********y y kx t kx tk k k t x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++ ⎪⎝⎭1222124422242x x kt kk t k t x x t t +--=+⋅=+⋅=--， 由12k k k λ+=，242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-． 由题意得点(0,)P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥，故实数λ的取值范围为[2,)+∞．典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题 【答案】(1)22:1126x y C +=；(2)证明见解析【解析】（1）由椭圆的性质得出b c =，再将(10,1)P 代入椭圆方程，结合222a b c =+得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x =，根据距离公式得出12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由韦达定理结合点(,)R s t 在椭圆上，得出12k k ⋅为定值．(1)解：由已知有222222,(10)11,,b c b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22212,6,6,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22:1126x y C +=.(2)证明：设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x = 又直线OP 为圆R 12121k s t k -=+，化简可得()222114240s k stk t --+-=，同理可得()222224240s k stk t --+-=，∴12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由()240,0s -≠∆>，可知212244t k k s -⋅=-， 又(,)R s t 在椭圆上，即22162t s =-，∴22122212412442s t k k s s --⋅===---，∴12k k ⋅为定值12-． 【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【答案】(1)22143x y +=(2)点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4 【解析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出,a b 的值，确定椭圆方程（2）设P A 与PB 直线与椭圆联立，求出E 、F 两点的坐标表达式，写出直线EF 方程，求出与x 轴的交点H 点的坐标，联立两条直线求出P 点的坐标，计算乘积判断是否为定值(1)将,M N 点坐标代入椭圆方程得：222233141421216a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩ ，所以椭圆方程为22143x y +=(2)根据圆方程为224x y +=可知，AB 为圆的直径，点P 在圆上，所以PA PB ⊥，设直线PA 方程为：()2,0y k x k =+≠，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2222341616120k x k x k +++-=，所以221612234A E E k x x x k -⋅=-=+，所以228634E k x k -+=+，代入直线得：21234E k y k =+；同理设直线PB 方程为：()12y x k =--，联立()2212143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222416163120x x k k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则22221612161224343B F F k k x x x k k--⋅===++， 所以228643F k x k -=+，21243Fk y k =+， 所以2337E F EFE F y y k k x x k --==- ，直线EF 的方程为：222212338634734k k k y x k k k ⎛⎫--+-=- ⎪++⎝⎭，令0y =得：()()()()222222222234661278666343334333433H k k k k k k x k k k k k k -++-++=-⋅+==+-+-+-， 联立直线PA ，PB ()()212y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩得：22221P k x k -=+，所以222222664133P H k k x x k k -+⋅=⋅=+-，所以点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题【答案】（1）2231,1,432x y A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）||||TM TN ⋅为定值94 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=，此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
双曲线、椭圆、圆专题训练与答案
圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 （A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
圆和椭圆练习题
圆和椭圆练习题练习1：圆的面积和周长计算已知一个圆的半径为6cm，请计算该圆的面积和周长。
解析：根据圆的定义，我们知道圆的半径为6cm。
圆的面积可以通过公式S=πr²来计算，其中π取近似值3.14。
将半径r=6cm代入公式，可得：S = 3.14 × 6² = 3.14 × 36 ≈ 113.04（cm²）所以，该圆的面积约为113.04平方厘米。
圆的周长可以通过公式C=2πr来计算，将半径r=6cm代入公式，可得：C = 2 × 3.14 × 6 ≈ 37.68（cm）所以，该圆的周长约为37.68厘米。
练习2：椭圆的长轴、短轴计算已知一个椭圆的离心率为0.6，焦点之间的距离为8cm，请计算该椭圆的长轴和短轴的长度。
解析：通过已知条件可知，椭圆的离心率为0.6，焦点之间的距离为8cm。
椭圆的长轴和短轴与焦点之间的距离和离心率之间存在关系。
椭圆的长轴长度可以通过公式a=2eF来计算，其中a为长轴长度，e 为离心率，F为焦点之间的距离。
将离心率e=0.6和焦点之间的距离F=8cm代入公式，可得：a = 2 × 0.6 × 8 = 9.6（cm）所以，该椭圆的长轴长度为9.6厘米。
椭圆的短轴长度可以通过公式b=√(a²-c²)来计算，其中b为短轴长度，a为长轴长度，c为焦点到圆心的距离，c可通过c²=e²-a²计算。
将长轴长度a=9.6cm和离心率e=0.6代入公式，可得：c² = (0.6)² - (9.6)² ≈ 0.36 - 92.16 ≈ -91.8由于c为焦点到圆心的距离，距离不能为负值，因此该椭圆不存在实数解。
说明我们的计算结果有误。
练习3：椭圆方程的推导已知一个椭圆的焦点分别为（2，0）和（-2，0），过原点的准线方程为y=√3x，请推导该椭圆的方程。
(完整版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．—16〈m 〈25B ．—16〈m 〈29 C ．29〈m<25 D ．m>292 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）A B ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=yD ．离心率是54 5 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ) A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 ( ） A ．100 B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是( ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1 D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网( ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 ( )A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ )A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ，2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=5 15．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ )A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 ( ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径,则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21。
椭圆单元测试题(含答案)
椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质？A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案：D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积？A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案：B3. 一个椭圆的长轴长度是6，短轴长度是4，则该椭圆的离心率是多少？A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案：C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。
答案：焦距差，长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。
答案：$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10，短轴长度是8，求它的面积。
解：由公式$S = \pi ab$可得，该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。
答案：$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12，离心率是$\frac{1}{2}$，求它的短轴长度。
解：由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得，$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。
代入数据，可得$b = 6\sqrt{3}$。
答案：$6\sqrt{3}$。
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)
完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。
2B。
2/3C。
1/2D。
1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。
2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。
(x²/81)+(y²/72)=1B。
(x²/81)+(y²/9)=1C。
(x²/81)+(y²/45)=1D。
(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。
3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。
2/3B。
2C。
1/2D。
3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。
2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。
中职数学-椭圆习题(最新整理)
椭圆习题姓名：得分： 一、选择题(每题6分)1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是( )A.(-1,0)､(1,0)B.(-6,0)､(6,0)C.(-,0)､(,0)D.(0,-)､(0,)66662.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是( )A.(0,-)、(0,) B.(-1,0)、(1,0) C.(2,0)、(-,0) D.(0,2)、(0,－2)424222223.椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是( )A.(0,－)、(0,)B.(0,-1)、(0,1)C.(-1,0)、(1,0)D.(-,0)、(,0)666666664.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( )23A. B.或 C. D.或1422=+y x 1422=+y x 1422=+y x 14122=+y x 1422=+y x 116422=+y x 5.椭圆和(k >0)具有( )12222=+b y a x k b y a x =+2222A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长､短轴6.点A (a ,1)在椭圆的内部,则a 的取值范围是( )12422=+y x A.-<a < B.a <-或a > C.-2<a <2 D.-1<a <12222二、填空题(每题6分)1.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是__ ____.2.已知F 1､F 2是椭圆的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值192522=+y x 是__ ____.3.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .4.★如图，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为的正三角形，12222=+b y a x 3则b 2的值是 .5.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是______.6.方程表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是11222=--m y m x ______.三、解答题已知椭圆C 的焦点F 1（－，0）和F 2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C 于A 、B 两点，22222+=x y 求1.此椭圆的标准方程(8分)2.此椭圆的离心率e 的值(8分)3.★线段AB 的中点坐标(12分)。
椭圆练习题与答案
椭圆习题1.圆6x 2+ y 2=6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)､(1,0) B.(-6,0)､(6,0) C.(-6,0)､(6,0)D.(0,-6)､(0,6)2.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)3.椭圆3x 2+2y 2=1的焦点坐标是A.(0,－66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66,0)4.椭圆12222=+a y b x (a >b >0)的准线方程是A.222b a a y +±=B.222b a a y -±=C.222b a b y -±= D.222b a a y +±=5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.55146.已知F 1、F 2为椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y xD.141622=+y x7.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y xC.14122=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x 8.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长､短轴9.点A (a ,1)在椭圆12422=+y x 的内部,则a 的取值范围是A.-2<a <2B.a <-2或a >2C.-2<a <2D.-1<a <110.设F 是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，P (x ,y )是椭圆上一点，则|FP |等于A.ex ＋aB.ex －aC.ax －eD.a －ex11.已知椭圆12222=+b y a x (a >b >0)的离心率等于53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新椭圆的一条准线的方程y =316，则原来的椭圆方程是A.14812922=+y x B.16410022=+y xC.1162522=+y xD.191622=+y x12.椭圆145222++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是A.(0,51)B.(51,55)]C.⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,55 13.椭圆1)6(4)3(22=++-m y x 的一条准线为7=x ，则随圆的离心率e 等于A.21B.22 C.23 D.4114.已知椭圆的两个焦点为F 1､F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ､B ,则三角形ABF 1的周长是 A.20 B.24 C.32 D.40 15.已知椭圆的长轴为8，短轴长为43，则它的两条准线间的距离为A.32B.16C.18D.6416.已知（4，2）是直线L 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则L 的方程是A.x -2y =0B.x +2y -4=0C.2x +3y+4=0D.x +2y -8=0 17.若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为A.21B.32C.43D.4118.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为A.1010B.1717C.13132D.373719.椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1－x 交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾角为30°，则b a的值为A.43 B.33 C.23 D.320.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的中心的弦为PQ ，焦点为F 1，F 2，则△PQF 1的最大面积是A. a bB. b cC. c aD. a b c21.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上,其投影呈椭圆形,若此椭圆的离心率为21,则光线与地平面所成的角为A.3πB.6πC.arccos 31D.4π22.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为49,则椭圆的离心率为A. 54B. 43C.32D.-4323.线段A 1A 2、B 1B 2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F 2是椭圆的一个焦点（|A 1F 2|＞|A 2F 2|）,若该椭圆的离心率为215-，则∠A 1B 1F 2等于A.30°B.45°C.120°D.90°24.已知椭圆1222=+y a x (a >1)的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上一点,且∠F 1PF 2=60o,则|PF 1|·|PF 2|的值为A.1B.31C.34D.3225.椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222（k >0）具有A..相同的长短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点26.椭圆125922=+y x 的准线方程是A.x =425±B.y =425±C.x =49±D.y =49±27.若椭圆13422=+y x 上一点P 到右焦点的距离为3，则P 到右准线的距离是A.43B.23C.6D.1228.自椭圆12222=+b y a x （a >b >0）上任意一点P ，作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是14.A 2222=+by a x14.B 2222=+b y a x14.C 2222=+b y a x 14.D 2222=+b y a x29.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是A.51B.43 C.33 D.2130.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为A.41B.22 C.42 D.2131.椭圆121322=++m y m x 的准线平行于x 轴,则m 的取值范围是A.m >0B.0<m <1C.m >1D.m >0且m ≠1 32.椭圆x 2+ 9y 2=36的右焦点到左准线的距离是A.2217B.217C.217D.22933.到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程是A.1121622=+y x B.1161222=+y xC.568222=-++x y x D.688222=+-+x y x34.直线x -y -m =0与椭圆1922=+y x 且只有一个公共点,则m 的值是A.10B.±10C.±10D.10 35.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)36.椭圆192522=+y x 上点P 到右准线等于4.5,则点P 到左准线的距离等于A.8B.12.5C.4.5D.2.2537.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于A.3 B.23 C.33D.4338.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x =4,则此椭圆的方程是A.131222=+y x B.1422=+y x C.1422=+y x D.112322=+y x39.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是A.21B.2333 D.不能确定40.函数y ＝2sin(arccos x )的图象是 A.椭圆 B.半椭圆 C.圆 D.直线41.若F (c ,0)是椭圆12222=+b y a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2mM +的点的坐标是 A.(c ,±ab 2) B.(－c ,±ab 2) C.(0,±b ) D.不存在42.已知点P (233,25)为椭圆92522y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│,那么Q 分F 1P 之比是A.43B.34C.52D.3543.若将离心率为43的椭圆)0( 12222>>=+b a b y a x 绕着它的左焦点按逆时针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是3y +14=0椭圆的另一条准线方程是A. 3y -14=0B. 3y -23=0C. 3y -32=0D. 3y -50=0 44.如图，直线l ：x -2 y +2=0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为A.51B.52C.55D.55245.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0，2)C.(1，＋∞)D.(0，1) 46.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||2PF PQ =，那么动点Q 的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线47.以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F １，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为A.22B.23C.２－3D.3－１48.圆2122=-+++ab by ax y x 与椭圆)0(1)2()2(2222>>=+++b a b by a a x 的公共点的个数为A.0B.2C.3D.449.P 是椭圆16410022=+y x 上的点，F 1，F 2是焦点，若321π=∠PF F ，则△F 1 P F 2的面积是A.)32(64+B.)32(64-C.64D.336450.下列各点中,是曲线14)2(9)1(22=++-y x 的顶点的是A.(1,-2)B.(0,-2)C.(1,-4)D.(-2,-1)51.已知椭圆E 的离心率为e ，两焦点为F 1,F 2，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，P 为两曲线的一个交点，若12PF PF e =，则e 的值为 A.22B.33 C.21 D.3252.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 A.5 B.6 C.4 D.1053.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是A.(±5，0)B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)54.已知椭圆的方程为18222=+m y x ,焦点在x 轴上,则其焦距为A.228m - B.2m-22 C.282-mD.222-m55.若椭圆11622=+m y x 的离心率为31,则m 的值是A.9128B.9128或18C.18D.3128或656.已知椭圆13422=+y x 内有一点P (1,-1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M ,使|MP |+2|MF |取得最小值,则点M 的坐标为A.(362,-1) B.)23,1(),23,1(- C.)23,1(- D.)1,362(),1,362(--- 57.设F 1､F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是A.椭圆B.直线C.圆D.线段58.椭圆171622=+y x 的左右焦点为F 1､F 2,一直线过F 1交椭圆于A ､B 两点,则△ABF 2的周长为 A.32 B.16 C.8 D.459.设α∈(0,2π),方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则α∈A.(0,4π]B.(4π,2π4π) D.[4π,2π60.P 为椭圆12222=+b y a x 上一点,F 1､F 2为焦点,如果∠PF 1F 2=75°,∠PF 2F 1=15°,则椭圆的离心率为A.22 B.23 C.32 D.36二、填空题1.椭圆的焦点F 1(0,6),中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.2.椭圆14922=+y x 上的点到直线03332=+-y x 距离的最大的值是 .3.已知F 1､F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱F 2B ︳的值是 A.16 B.12 C.14 D.84.若A 点坐标为（1，1），F 1是5x 2+9y 2=45椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则|PA|+|PF 1|的最小值是__________. 5.直线y =1-x 交椭圆mx 2+ny 2=1于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，若K OP ==n m 则,22_______________. 6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.7.已知椭圆的准线方程是y =±9,离心率为32，则此椭圆的标准方程是_______________.8.到定点（1，0）的距离与到定直线x =8的距离之比为22的动点P 的轨迹方程是 .9.已知椭圆x 2+2 y 2=2的两个焦点为F 1和F 2，B 为短轴的一个端点，则△BF 1F 2的外接圆方程是______________.10.已知点A (0，1)是椭圆x 2+4y 2=4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________________.11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .12.P 是椭圆162722y x +=1上的点,则点P 到直线4x +3y -25=0的距离最小值为 .13.如图，F 1，F 2分别为椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是.14.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，A （-a ,0）,B(0,b )是两个项点，如果占F 到直线AB 的距离等于7b，则椭圆的离心率为___________.15.椭圆x 2＋4y 2＝4长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.16.椭圆122222=+a y a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是 .17.设F 1(-c ,0)､F 2(c ,0)是椭圆2222b y a x +=1(a >b >0)的两个焦点,P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为A.23 B.36C.22 D.3218.椭圆131222=+yx 焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的______________.19.已知椭圆192522=+y x,左右焦点分别为F 1､F 2,B (2,2)是其内一点,M 为椭圆上动点,则|MF 1|+|MB |的最大值与最小值分别为______________.20.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是______.21.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是______. 三、解答题1.已知，椭圆在x 轴上的焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的顶点距离为510-，求椭圆的标准方程.2.点M （x,y ）与定点F （c ,0）的距离和它到定直线cax l 2:=的距离的比是常数a c（a >c >0），求点M 的轨迹.3.椭圆9x 2+25 y 2=225上有一点P ，若P 到左准线的距离是2.5，求P 到右焦点的距离.4.F 是椭圆1121622=+y x 的右焦点，M 是椭圆上的动点，已知点A （－2，3），当MFAM 2+取最小值时，求点M 的坐标.5.已知：椭圆13610022=+y x 上一点P 到左焦点的距离为15，则P 点到此椭圆两准线的距离分别是多少？6.设AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦，F 1为左焦点.求：△A B F 1的最大面积.7.AB 是过椭圆14522=+y x 的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长8.已知椭圆中心在原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且此焦点与长轴较近的端点的距离为510-，求椭圆方程.9.设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为23，并且椭圆与圆x 22y +-4x -2y +025=交于A,B 两点,若线段AB 的长等于圆的直径。
椭圆的几何性质及综合问题
椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（ ）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++ =【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝12.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(3，163)C ．(0，3)∪(163，＋∞) D ．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A ．22B ．12C ．32D ．334.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（ ）A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（ ）A.25B.33C.21D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当A F PF 11⊥，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 313．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝114.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300时，a =16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．17．椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为 （A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53 B ．23 C ．22 D ．5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率等于( )A ．2B ．12C ．4D ．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率21=e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.变式：过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用m1替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1k2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32 D ． 33．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足57-=，求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且长轴长为12，过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列. （1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .10． 如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q ．(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ， （文）求线段AB 长度的最小值．（理）试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”. 一、 最值问题 【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.1.已知椭圆C ：1222=+y ax （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ； （Ⅲ）从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C 上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆144:2222=+by a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OPOQ 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值。
椭圆相关的综合题
椭圆相关的综合题基础训练：1.一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，形成一个离心率为2的椭圆，则这束光线与水平面的入射角大小为________2.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________3.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =_________4.椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是 .5．若直线l :与圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为 ．6.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 4mx ny +=22:4O x y +=(,)m n 22194x y +=典型例题：如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=则点P 到该椭圆左准线的距离为 .3.如图，已知椭圆C：2221(2x y a a +=>的左右焦点分别为F 1、F 2，点B 为椭圆与y 轴的正半轴的交点，点P 在第一象限内且在椭圆上，且PF 2与x 轴垂直，51=∙F ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点B 关于直线m x y L +-=:的 对称点E （异于点B ）在椭圆C 上，求m 的值。
圆形和椭圆的周长应用题
圆形和椭圆的周长应用题
场景描述
在一个建筑项目中，设计师需要计算两个不同形状的地块的周长，分别为圆形地块和椭圆地块。
设计师希望得到准确的结果，以便进行后续规划和施工。
圆形地块的周长计算
圆形地块的周长可以通过以下公式进行计算：
周长= 2 * π * 半径
设计师需要首先测量圆形地块的半径，然后应用上述公式即可计算出圆形地块的周长。
椭圆地块的周长计算
椭圆地块的周长并没有直接的公式可以使用。
设计师需要采用
逼近法进行计算。
1. 首先，设计师需要测量椭圆地块的长轴和短轴长度。
2. 设计师可以选择将椭圆切割成许多小的扇形片段，使得每个
扇形的角度非常小。
3. 对于每个扇形片段，设计师可以将其视为一个近似的弧形，
然后使用圆形的周长计算公式来计算该扇形的周长。
4. 最后，将所有扇形片段的周长累加起来，并进行适当的调整，以得到椭圆地块的近似周长。
结论
通过使用合适的公式和逼近法，设计师可以准确计算圆形和椭
圆地块的周长。
这将有助于确保建筑项目的规划和施工更加精确和
顺利。
注：本文档中的数学公式使用了一些符号，如π表示圆周率，
半径用r表示。
具体的数值应根据实际情况进行测量和计算。
针对圆形和椭圆形知识要点及复习题,给出10个例子。
针对圆形和椭圆形知识要点及复习题，给出10个例子。
针对圆形和椭圆形知识要点及复题1. 圆形的定义圆形是一个平面上所有到一个定点距离相等的点的轨迹。
圆形的每条线段从中心到圆上的点都是半径。
2. 圆的特征- 圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离。
- 圆的半径是圆的中心到圆上任意一点的距离。
- 圆的周长是围绕圆的一条线段的长度。
- 圆的面积是圆内的所有点所组成的区域的大小。
3. 椭圆的定义椭圆是平面上所有到两个定点之和恒定的点的轨迹。
这两个定点称为焦点。
4. 椭圆的特征- 椭圆的长轴是连接椭圆的两个焦点，并且通过椭圆的中心。
- 椭圆的短轴是连接椭圆的两个顶点，并且垂直于椭圆的长轴。
- 椭圆的离心率是由椭圆的焦点与椭圆中心之间的距离比上椭圆长轴的一半所得的比值。
5. 圆形和椭圆形的相似性圆形和椭圆形都是平面几何中常见的曲线形状。
它们都具有旋转对称性，即可以通过旋转来重叠到自身。
此外，圆和椭圆都具有轴对称性，即可以通过镜像来重叠到自身。
复题1. 什么是圆形的直径和半径？2. 圆形的周长如何计算？3. 什么是椭圆的长轴和短轴？4. 椭圆的离心率是什么？5. 圆形和椭圆形有哪些相似性？6. 如果给定一个圆形的直径，如何计算其半径？7. 如何计算一个椭圆的周长？8. 椭圆的焦点与中心之间的距离比上长轴的一半得到的值是什么？9. 你能举一个圆形的实际应用示例吗？10. 椭圆在日常生活中的应用有哪些？参考答案：1. 圆形的直径是连接圆上任意两点的线段的长度，半径是圆的中心到圆上任意一点的距离。
2. 圆形的周长可以通过公式C = 2πr计算，其中r是圆的半径。
3. 椭圆的长轴是连接椭圆的两个焦点，并且通过椭圆的中心。
短轴是连接椭圆的两个顶点，并且垂直于椭圆的长轴。
4. 椭圆的离心率是由椭圆的焦点与椭圆中心之间的距离比上椭圆长轴的一半所得的比值。
5. 圆形和椭圆形都具有旋转对称性和轴对称性。
6. 圆形的半径等于直径的一半。
一道直线、圆与椭圆综合题
一道直线、圆与椭圆综合题
已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点(2,)(0)M t t >在椭圆的准线上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，
求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。
解：（1）由已知，椭圆的焦点在x 轴上，且2222b a c
=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22, 1.a b ==
∴椭圆的标准方程为2
2 1.2
x y += （2）若OM 为直径，则圆心坐标为(1,)2t
，r =， 圆心到直线3450x y --=的距离为
3252255
t t --+=， 由勾股定理，得
22222()1(52
t ++=， 整理得2
932160t t --=，
解得 4.t = ∴
圆心为(1,2),r = ∴圆的方程为22(1)(2) 5.x y -+-=
（3）(1,0)F ，若OM 为直径，则圆心坐标为(1,)2t
，r =， 过点F 作OM 的垂线的方程为22y x t t
=-+即220x ty +-=。
圆心(1,)2t 到垂线220x ty +-=
的距离为2
2t d ==，
由圆的性质知22
22222
4()222224t ON r d r d r rd +=-+-=-=⋅-=， 2ON ∴=，即线段ON 的长为定值。
椭圆练习题
一、选择题1. 椭圆的标准方程是（）A. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1B. x^2/a^2 y^2/b^2 = 1C. x^2/b^2 + y^2/a^2 = 1D. x^2/b^2 y^2/a^2 = 12. 在椭圆 x^2/25 + y^2/16 = 1 中，焦距为（）A. 3B. 5C. 8D. 93. 椭圆的离心率e的取值范围是（）A. 0 < e < 1B. e > 1C. e < 0D. e = 0二、填空题1. 椭圆的标准方程为 x^2/4 + y^2/9 = 1，其长轴长度为______。
2. 椭圆的离心率 e = 0.6，则椭圆的焦距与长轴的比值为______。
3. 在椭圆 x^2/25 + y^2/16 = 1 中，焦点坐标为______。
三、解答题1. 已知椭圆的长轴为10，离心率为0.8，求椭圆的标准方程。
2. 求椭圆 x^2/36 + y^2/25 = 1 在第一象限的面积。
3. 设椭圆的方程为 x^2/4 + y^2/3 = 1，求过椭圆右焦点且与x 轴平行的直线方程。
4. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(4, 0)和F2(4, 0)，且经过点P(0, 3)，求椭圆的标准方程。
5. 在椭圆 x^2/25 + y^2/16 = 1 上任取一点M，求点M到直线x + 2y 10 = 0的距离的最小值。
四、应用题1. 一椭圆的长轴长度为20米，短轴长度为10米，小明从椭圆的一个焦点出发，沿着椭圆边缘跑一圈，求小明跑的总路程。
2. 一块椭圆形状的土地，其长轴为100米，短轴为60米，如果要在这块土地上修建一条通过两个焦点的道路，求这条道路的长度。
3. 某天文观测站发现一颗行星的轨道是一个椭圆，已知该椭圆的半长轴为5个天文单位，离心率为0.2，求该行星距离其最近和最远恒星的距离。
五、综合题（1）长轴的端点；（2）短轴的端点；（3）两个焦点的坐标。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
2
3
，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :021422
2
=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
（1）求椭圆G 的方程；（2）求21F F A k ∆的面积； （3）问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由.
2.已知椭圆2
2
21(01)y x b b
+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C
三点作
P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．
(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；
（2）若P 的圆心在直线
0x y +=上，求椭圆的方程．
3.在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于
坐标原点O ．椭圆22
219
x y a +
=与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． "
(1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
4.如图，已知圆C ：2
2
2x y +=与x 轴交于A
1、 A 2两点，椭圆E 以线段A 1A 2为长轴，离心
率2
e =
． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E 的左焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ，判断直线PQ 与圆C 并给出证明．
5.已知平面直角坐标系中，A 1(—2，0)，A 2(2,0)、A 3(1,3)，△A 1A 2A 3的外接圆为C ；椭圆
C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率.2
2=
e （I ）求圆C 及椭圆C 1的方程；
（II ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的
垂线交直线22=x 于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明。
6.离心率为4
5
的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10.
以椭圆C 的右焦点)0,(c F 为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足||||PB PT =（B 为椭圆C 的上顶点）。
（Ｉ）求椭圆的方程；
（II ）求点P 所在的直线方程l .。
7.已知椭圆22
2210x y C a b a b
+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA
的距离为
． （1）求椭圆C 的离心率e ；
（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．
8.. 如图，已知椭圆2
22:1(1)+=>x C y a a 的上顶点为A
:M 226270+--+=x y x y 相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q
两点，且0,⋅=AP AQ 求证：直线l 过定点，并求出该定点N
:
第21题图
9..给定椭圆C ：22
221x y a b
+= ()0a b >>
，称圆心在坐标原点O 是椭圆C 的“伴随圆”．
已知椭圆C
的两个焦点分别是())
12,00F F 、
，
椭圆C 上一动点1M 满足11122M F M F += （Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ） 过点P ),0(m ()0<m 作直线l ,使得直线l 与椭圆C 只有一个交点，且l 截椭圆
C 的“伴随圆”所得的弦长为22．求出m 的值．
10.已知圆2
2
:5
0C x t y t ++=>()()和椭圆22
22:1x y E a b
+=0a b >>()的一个公共点为02B (，)．F 为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B ．
（Ⅰ）求t 值和椭圆E 的方程；
（Ⅱ）圆C 上是否存在点M ，使MBF ∆为等腰三角形若存在，求出点M 的坐标．
、。
11..若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直
径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(2
2
=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；（5分）
[
(Ⅲ)求OB OA ⋅的最大值与最小值.
12.如图：已知直线l ：2y kx =+（k 为常数）过椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的上顶点
B 和左焦点F ，直线l 被圆224x y +=
（圆过椭圆的上顶点B ）截得的弦长为d
（Ⅰ）若d =，求k 的值；
（Ⅱ）若d ≥e 的取值范围．
13.
已知椭圆(222:13x y E a a +
=>的离心率1
2
e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． !
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.
14.已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1M . （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知圆O :12
2
=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运
动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．
15.设椭圆22
2:12
x y M a +
=(a >的右焦点为1F ，直线2
:2
2-=
a a x l 与x 轴交于点A ，
若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任意一条直径（E 、
F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．。