点、直线、平面之间的关系

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点线面之间的关系

不在平面上的直线平行于平面内的一条直线，则这条线平行于平面。一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行。两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面。一条直线与平面平行，则过直线的平面与已知平面的交线平行于已知直线。在已知平面内的直线若平行于两平面的相交直线，则平行于已知直线。

扩展资料

线垂直与面的两条相交直线，则线垂直与面。

线垂直于一个平面，则过这条线的平面垂直已有平面。

两平面垂直，一个平面的的'直线若垂直于两平面的相交直线，则县垂直于平面。

线垂直于面，则线垂直于平面内所有直线。

两直线同垂直于一个平面则两直线平行。

两平面垂直则他们的法向量也垂直，其内积为0。

直线垂直于平面，则平行于平面的单位法向量。

两条直线平行，则两条直线一定共面。

两个平面平行，则一个平面上的任意直线在另一个平面内找得到无穷条直线与其平行。

两平面平行，则两平面的法向量也平行。

零向量和任意直线平行，和任意平面平行。

两向量内积为0，不能说明两向量垂直，当两向量均非0时，两向量垂直。

高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点

高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。下面将详细介绍该知识点的内容。

一、直线与平面的位置关系

1.平面方程：

平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。

2.直线与平面的位置关系：

(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。

(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。

(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。

(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。

二、点与直线的位置关系

1.点与直线的距离：

点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，

/√(A^2+B^2)。

2.点到线段的距离：

点P到线段AB的距离：

(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。

(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。

(3)如果P在线段AB上，则距离为0。

三、点与平面的位置关系

1.点在平面上：

点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是

Ax0+By0+Cz0+D=0。

2.点到平面的距离：

点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，

点、直线、平面之间的位置关系

（一）、立体几何网络图：

1、线线平行的判断：

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

判定定理：

性质定理：

2线面斜交和线面角：l ∩α=A

2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。

2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；

当直线垂直于平面时，θ=90°

4、（重点）线面垂直的判断：

证明面外直线分别平行于两条面内支线，常用方法：

1中垂线平行于底边

2三垂线定理及其逆定理

3 欲证线a ⊥线b ，线c 所在平面，可证线b ⊥线a 所在平面→线b ⊥线a ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

空间点、直线、平面之间的关系

又 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC.
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，
∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面 ABC.
整理ppt
8
以 H 为坐标原点，H→B为 x 轴正向， H→F为 z 轴正向，建立如图所示坐标系．设 BH＝1，则 A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)， E(0，－1,1)，F(0,0,1) .
整理ppt
7
又 EF∥DC，∴∠KEF＝∠EDC.
∴sin ∠EDC＝sin ∠KEF＝ 2. 3
∴FK＝EFsin ∠KEF＝
2，tan 3
∠FKB＝BFFK＝
3，
∴∠FKB＝60°.∴二面角 B－DE－C 为 60°.
解法二：∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB⊥BC.
又 EF∥AB，∴EF⊥BC.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
整理ppt
6
(2)证明：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD，∴FH⊥AC. 又 FH∥EG，∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. (3)解：EF⊥FB，∠BFC＝90°， ∴BF⊥平面 CDEF. 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角．设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝ 2，DE＝ 3.

点、直线、平面之间的关系

点、直线、平面之间的位置关系

一、空间点、直线平面之间的位置关系

几何里所说的“平面”（plane ）就是从一些物体抽象出来的。但是，几何里的平面式无限延展的，而现实中的平面是固定大小的。

我们常常把水平的平面画成一平面四边形，用平行四边形表示平面时，通常把平行四边形的锐角画成 45，且横边长等于其邻边长的2倍。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把遮挡部分用虚线画出来，为了表示平面，我们常把希腊字母γβα、、等写在代表平面的平行四边形的一个角上，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。

平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。点A 在平面α内，记作A ∈α；点B 在平面α外，记作B ∉α。

公里1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

此公里可以用来判断直线是否在平面内。

点动成线，线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点P 在直线l 上，记作P ∈l ；点P 在直线l 外，记作P ∉l 。如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内。或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。公里1也可以用符号表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ∈α

公里2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

不在一条直线上的三个点A 、B 、C 所确定的平面，可以记成“平面ABC ”。

公里3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条通过该点的公共直线。

点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

点、直线、平面之间的位置关系

【考纲要求】

1、了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关系，

2、掌握直线平面之间的位置关系，理解并掌握直线、平面之间垂直的判定定理与性质定理以及它们之间的转化，会求线面角及二面角.

一、空间点、直线、平面之间的位置关系

【思维导图】

一、平面的基本性质

(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

(2)基本事实2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．二、空间两直线的位置关系 1.位置关系的分类

⎩⎨

⎧

共面直线⎩⎪⎨

⎪⎧

相交直线

平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

2.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．三、异面直线所成的角 1.异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：.

2.异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．四、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系

一、线、面之间的平行、垂直关系的证明

书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：

1、平行关系与平行关系互推；

3以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。

线面垂直判定定理

线面垂直的定义

两平面的法线垂

直则两平面垂直面面垂直判定定理

线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化

面面平行判定定理

面面平行性质定理

线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭

⎬⎫；面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭

⎬⎫；线面垂直、线面垂直⇒线面平行：

ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥；线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭

⎬⎫⊥⊥αα；线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭

⎬⎫⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //；线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a //；线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //。备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。

符号化语言一览表

①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α

βαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、知识要点：

1.平面的基本性质：

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

2.空间中直线与直线之间的位置关系：

空间两条直线的位置关系有且只有三种：

如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3.空间中直线与平面之间的位置关系：

（1）直线在平面内……有无数个公共点；

（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；

（3）直线与平面平行……没有公共点。

其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

注意，我们不提倡如下画法．

4.平面与平面之间的位置关系：

（1）两个平面平行……没有公共点；

（2）两个平面相交……有一条公共直线。

二、例题讲解：

例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．

图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．

图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．

分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．

解：图1可以用几何符号表示为：

高中数学点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系

知识回顾

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．空间两条直线的位置关系

（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．

（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

3. 线面、面面的位置关系

1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)

2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．

题型讲解

题型一概念

例1、下列命题：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；

④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．

其中正确命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：A

例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()

A．M∈b∈β B．M∈b⊂β

C．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β

答案：B

例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结

1.直线在平面内的判定

1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.

2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.

3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.

4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.

5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.

2.存在性和唯一性定理

1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

3.射影及有关性质

1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.

2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.

和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

高中数学必修2《点、直线、平面之间的

位置关系》知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系

一、平面及其表示

平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。

平面的基本性质可以通过三条公理来描述：

①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。

②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。

③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。

二、点与面、直线位置关系

1、点与平面有两种位置关系：

①点A在平面α上；

②点B不在平面α上。

2、点与直线有两种位置关系：

①点A在直线l上；

②点B不在直线l上。

三、空间中直线与直线之间的位置关系

1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。

2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。

3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那

么这两个角相等或互补。

四、空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

五、空间中平面与平面之间的位置关系

平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。

其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。

直线、平面平行的判定及其性质

直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。

其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。

证明面面平行的常用方法有以下几种：

①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；

点、直线、平面之间的位置关系

α l α

l α

α β

l β α ,////,//a b a b P a b ββαβαα⊂⊂⎫

⎪

=⇒⎬⎪⎭

点、直线、平面之间的位置关系

一、点、直线、平面之间的位置关系：

1、平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。点与直线的位置关系、点与平面的位置关系：属于的关系。直线与平面的位置关系：包含的关系。

2、平面的基本性质：

公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这

条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面

内）。公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.(不共线的三点有且只有一个平面) 推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。

推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。

推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么

这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。

（两个平面相交，有且只有一条公共直线。） 2、直线与平面的位置关系： ①、直线l 上的所有点都在平面α上，称直线l 在平面α内，或称平面α通过直线l.记为：l α⊆

②、直线l 与平面α只有一个公共点

A 时，称直线l 与平面α相交。记为：l A α= ；

③、直线l 与平面α没有公共点时，称直线l 与平面α平行。记为：l α=∅ 或l α 。 3、平面与平面的位置关系： ①、当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合。 ②、当两个不同平面α与平面β有

公共点时，它们的公共点组成集合

l ，称平面α与平面β相交。记： α∩ β＝l 。(l 为这两个平面的公共直线) ③、当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β平行。记： α∩ β＝φ或α∥β。

点、线、面之间的位置关系——平行关系 - 简单 - 讲义

点、线、面之间的位置关系——平行关系

知识讲解

一、空间间位置关系的集合语言

集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：

点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉；点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉；直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂；直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄；直线l 和m 相交于点A ，记作{}l

m A =，简记为l

m A =；

平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．

二、平面的三个公理及推论

1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面

内．

图形语言表述：如右图：

符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 用途：证明“点在面内”、“线在面内”.

2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共

线的三点确定一个平面．

图形语言表述：如右图，

符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈．用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”.

3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共

直线．

图形语言表述：如右图：

符号语言表述：,A a A a α

βαβ∈⇒=∈．

用途：证明“多点共线”、“多线共点”.

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．

点直线平面之间的位置关系

以点、直线和平面之间的位置关系为题，我们来探讨一下它们之间的联系和特性。

一、点与直线的位置关系：

1. 在一个平面上，点与直线可以有三种位置关系：点在直线上、点在直线外、点在直线内。

- 当一个点在直线上时，我们说该点与直线重合。

- 当一个点在直线外时，我们说该点与直线相离。

- 当一个点在直线内时，我们说该点与直线相交。

2. 判断点与直线的位置关系有多种方法：

- 使用坐标系：设直线方程为 Ax + By + C = 0，点的坐标为 (x0, y0)，将点的坐标代入直线方程，若等式成立，则点在直线上，否则点在直线外。

- 使用向量：设直线上两点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，点的坐标为 (x0, y0)，计算向量 (x0 - x1, y0 - y1) 和 (x2 - x1, y2 - y1) 的叉积，若叉积为0，则点在直线上，否则点在直线外。

3. 点到直线的距离：

- 设点的坐标为 (x0, y0)，直线的方程为 Ax + By + C = 0，点到直线的距离为d。可以使用以下公式计算点到直线的距离：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。

二、点与平面的位置关系：

1. 在三维空间中，点与平面可以有四种位置关系：点在平面上、点在平面外、点在平面内、点在平面上方或下方。

- 当一个点在平面上时，我们说该点与平面重合。

- 当一个点在平面外时，我们说该点与平面相离。

- 当一个点在平面内时，我们说该点与平面相交。

- 当一个点在平面上方或下方时，我们说该点与平面平行。

点、直线、平面之间的位置关系

方法点评：证明平面与平面垂直，关键是将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直”问题，证明“面面垂直”一般有两种方法，一是利用定义，证明二面角的平面角是直角；二是利用判定定理．
专题四空间角的计算一是两条异面直线所成的角．求两条异面直线所成的角一般通过平移(在所给形体内平移一条直线或平移两条直线)，或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算；平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体、正棱柱、正棱锥等)．二是直线和平面所成的角．当直线为平面的斜线时，它是斜线和斜线在平面内的射影所成的角，可按照定义作出线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．三是二面角．二面角是通过其平面角的大小来度量的．作二面角的平面角主要有定义法、垂面法．
专题三垂直问题无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线垂直，这种“降维”的思想方法很重要．在处理实际问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论“反探”所需的关系，从而架设已知和未知的桥梁．如下图是垂直相互转化的示意图．
在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．空间中的垂直关系是比平行关系更重要更灵活多变的一种重要关系．“转化”、“降维”是重要的思想方法和解题技巧，应在学习中提炼这些方法．

高中数学-点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系

一、平面的基本性质

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 注意: 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的

二、空间直线与直线的位置关系

1、位置关系: ①共面与否 ②公共点个数

2、公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.

3、公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

. 4、异面直线的夹角:

①定义:已知两条异面直线a 、b 经过空间任意一点O 作直线a ′∥a,b ′∥b,我

们把两相交直线a ′,b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).

②范围:θ∈ 特别地:如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直线互相垂直,记作a

⊥b.

三、空间中的直线与平面的位置关系

四、平面与平面的位置关系有两种

【例1】下列命题中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面

C.两两相交的三条直线一定在同一平面内

D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内

解析:A 、B 、C 均不满足公理2及其推论,故D 正确. 【例2】若A 表示点,a 表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误的是( ) A.a ?α,A ∈a ?A ∈α B.a ?α,A ∈a ?A ?α

(1)(2)⎫

⎪⎬过一条直线和直线外一点经过两条相交直线均有且只有一个平面

⎧

⎧⎪⎨

⎨⎩⎪

⎩平行共面相交

异面

:⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪⎩⎩一个公共点相交

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