2015第6章 控制系统的设计和校正第3讲

的要求，
取
（5）过sd作射线，使其与ζ线的夹角小于10°，
此线与负实轴交于0.1处，即为校正装置零点的坐
标，再由β值求得校正装置极点zc/β=0.01 ，则
滞后校正装置
（6）校正后系统开环传递函数
6.4.3 滞后－超前校正
从上述可看到，超前校正适用于改善系统动 态特性，而对稳态性能只能提供有限的改进，如 果稳态性能相当差，超前校正就无能为力。而滞 后校正常用于改善系统的稳态性能，而保持原系 统的动态特性不变。如果系统的动态和稳态特性 均较差时，通常采用滞后－超前校正。
对于根轨当迹系描统述的性能指二标阶是系以统时中域的指阻标尼给比定时增，加采零用极根点轨，迹使法其 根
系定设使了统系计系零统和统极的校闭点性的正环能分较极布为点决有位效于与 定 零。根了极自采平系点然用面统分振根上的布荡轨希性不角迹望能同频法的率， ，进位决 而 这行置校，轨 应 荡正使的角迹，系阻频穿实统尼率过质满比决系上足与定统就所自的性是提然主能
6.4.2 串联滞后校正
用于当系统具有满意的动态特性，但其稳态 性能不令人满意时。校正的目的主要是为了增大 开环增益，且不应使瞬态特性有明显的变化，故 常采用滞后校正。
滞后校正的设计步骤为： （1）做出原系统的根轨迹； （2）根据要求的瞬态响应指标，确定希望的闭环 主导极点；
（4）确定满足性能指标，而应增大的误差系数值；
校正装置产生的超前相角 用图形来表示超前校正装置零、极点应提供的超 前相角如图6－21所示。
图6－21 确定校正装置零、极点
应当指出，对于给定的 值，校正装置的零、 极点位置不是唯一的。在此常采用使系数a为最 大可能值的方法确定零、极点位置。由图可得
则
令
得 由此确定了超前校正装置的零、极点位置。而开 环增益可通过根轨迹幅值条件来确定。
本例校正前和校正后系统的开环传递函数分 别为
MATLAB给出单位阶跃响应曲线如图6-22 图6-22 已校正和未校正系统的单位阶跃响应曲线
% Unit-Step Response % >>numg=4; >>deng=[1,2,0]; >>[num,den]=cloop(numg,deng); >>numc=18.7*[1,2.9]; >>denc=conv([1,0],conv([1,2],[1,5.4])); >>[num1,den1]=cloop(numc,denc); >>t=0:0.01:10; >>[c1,x1,t]=step(num,den,t); >>[c2,x2,t]=step(num1,den1,t); >>plot(t,c1,'--',t,c2,'-'); >>grid
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THE END !
补偿放大器的增益 静态速度误差系数
第三个闭环极点由
求得s3 =－3.4 ，其与校正装置的零点 s=2.9靠
得很近，因此该极点对瞬态响应的影响甚小。上 述设计满足要求。
小结
通过此例可归纳出用根轨迹法设计超前校正装 置的步骤为：
（1）根据要求的性能指标，确定希望主导极点 的位置；
（2）绘制原系统根轨迹，如果根轨迹不能通过 希望的闭环主导极点，则表明仅调整增益不能满 足给定要求，需加校正装置。如果原系统根轨迹 位于期望极点的右侧，则应串入超前校正装置；
回顾
在开环传递函数上增加零点:
可以导致根轨迹向左方面移动，从而增加系统 的稳定性，减小系统响应的过渡时间。
在系统中增加微分作用，其实质是增加开环零点。
微分作用加大（即开环零点更靠近虚轴）有助 于改善系统性能，但微分作用并不是越大越好。
在开环传递函数上增加极点: 使根轨迹向右方移动，降低系统的稳定性，增加 系统的过渡时间。 在系统中增加积分作用，其实质是增加开环极点。
本例中，原系统在希望主导极点上的相角
因此，为使根轨迹通过希望的闭环极点，超
前校正装置应在该点（sd点）上产生 角。
的相
而 所以有
故校正装置的传递函数为
为补偿超前校正装置的幅值衰减，再串入一 个放大倍数为Kc的补偿放大器。校正后系统的开 环传递函数为
校正后系统根轨迹如图6－20所示。
由幅值条件求取K值
（5）由应增大的误差系数值确定校正装置β值， 通常取β不超过10；
（6）确定滞后校正装置的零、极点。原则是使零、 极点靠近坐标原点，且二者相距β倍；
（7）绘出校正后系统的根轨迹，并求出希望的主 导极点；
（8）由希望的闭环极点，根据幅值条件，适当 调整放大器的增益；
（9）校验校正后系统各项性能指标，如不满足 要求，可适当调整校正装置零、极点。 例6-3 已知单位反馈系统的开环传递函数
6.4 采用根轨迹法进行串联校正
6.4.1 串联超前校正
适用场合
系统在所要求的增益下是不稳定的，或虽 稳定，但系统的瞬态响应特性较差（超调 量过大、调节时间过长）时，可串联超前 校正。
6.4.1 串联超前校正
例6－2 设单位反馈系统开环传递函数为
要 求 系 统 超 调 量 Mp ≤16.3% ， 过 渡 过 程 时 间 ts≤1.5s，试确定校正装置Gc(s) 。
小结
（3）计算超前校正装置应提供的超前相角
（4）按式（6-33）—（6-37）求校正装置零、极点 位置； （5）由幅值条件，确定校正后系统增益； （6）校验系统的性能指标，如果系统不能满足要求 指标，适当调整零、极点位置。如果需要大的静态误 差系数，则应采用其他方案。
本例利用MATLAB来校验已校正系统和未 校正系统的单位阶跃响应曲线和单位斜坡响应曲 线或频率特性曲线。
（1）根据要求的性能指标，确定希望主导极点sd
的位置； （2）为使闭环极点位于希望的位置，计算滞后-超 前校正中超前部分应产生的超前相角:
（3）滞后－超前校正装置的传递函数
（4）对滞后－超前校正中滞后部分的T2选择要 足够大，即使得
①
②
③
（5）利用求得的β值 ，选择T2 ，使
（6）检验性能指标。
要求系统满足阻尼比ζ=0.5，无阻尼自然振荡频率 ，静态速度误差系数 Kv ≥5s-1 ，
试确定校正装置。
图6-23 系统根轨迹
解 （1）作出原系统根轨迹如图6-23所示。 （2）求得希望的闭环极点
其在根轨迹上，其系统动态特性满足要求。 （3）由幅值条件，确定原系统在希望极点上
的增益
（4）为满足静态速度误差系数 采用滞后校正，计算
对 振 导
出的性能指标 和 两个的参要数求不同。。
极点。
回顾
等ζ线越靠近虚轴，ζ越小，系
统越振荡，超调量越大，衰减
比越小，相对的稳定性变差。
i
等α线
等频线
等α线离虚轴越远，它所
对应的过渡过程时间ts越 短。ts与实部值成反比。
合格区 0
等频线离实轴越远，则tp越短， 振荡频率越高，tp反比于虚部
值。
解：原系统根轨迹如图6-20所示。K=4时，系统的
闭环极点 无阻尼自然频率
闭环系统的阻尼比ζ=0.5， ，静态速度误差系
数
Hale Waihona Puke 。图6-20 系统根轨迹
求得满足题给条件的闭环极点为
由此看到原系统根轨迹需要加以修正，可在系 统的前向通道中串入超前校正装置。校正装置的确 定，应使串入超前校正装置后的根轨迹通过希望的 闭环主导极点，也就是必须满足相角条件，
6.4 采用根轨迹法进行 串联校正
经典控制理论的主要思想
性能描述
性能分析
系统校正
系统能否正常工作 （稳定性）；
稳定后能否达到期望 值（稳态性能）；
过渡过程是否满意 （动态性能）；
用恰当的方式建立系 统参数与性能描述之 间的关系
调整系统参数或改变 系统结构（如串入某 些环节）使之达到所 需性能要求。