逆变换与逆矩阵 (6)
2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.2二阶行列式与逆矩阵课件
-3 10
∴det(AB)= -5 12 = (−5) × 10 − (−3) × 12 = −14. ∴
-3 10
(AB)-1=
-
5 7
-
3 14
6
7 5
.
14
答案:
-
5 7
-
3 14
6
7 5
14
1234 5
5.判断所给矩阵是否有逆矩阵,若有,则求出逆矩阵.
31
m2
(1)A=
; (2)B=
.
0 -1
������ ������
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det������ -������
det������
-������
det������ .
������ det������
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
行列式的计算
【例 1】
计算下列行列式:(1)
3 -1
2 5
;
(2) 7 -9 . 84
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
解:(1)
32 -1 5
= 3 × 5 − (−1) × 2 = 17.
(2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 84
题型一 题型二 题型三 题型四
反思二阶行列式 ������ ������
������ ������
的展开式为ad-bc,它是位于两条对角线
上的元素的乘积之差.若行列式的两行或两列元素相同或对应成比
-������ ������-2������
-2
������-2������ .
������ ������-2������
逆矩阵的三个基本公式
逆矩阵的三个基本公式逆矩阵是矩阵理论中重要的概念之一，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论逆矩阵的三个基本公式，包括逆矩阵的定义、逆矩阵的计算方法以及逆矩阵的性质。
1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B使得它们的乘积等于单位矩阵I，即 AB = BA = I，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵可以看作是原矩阵在矩阵乘法下的“倒数”。
2. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A要求其逆矩阵，有以下两个常用的计算方法：2.1 初等变换法（高斯-约旦消元法）通过对A做初等变换，将矩阵A化为n阶单位矩阵I，此时经过一系列初等变换得到的矩阵B 就是逆矩阵A^-1。
具体做法是将矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，然后利用行变换将矩阵A转化为单位阵I，此时变换后的单位阵就是逆矩阵。
2.2 公式法（伴随矩阵法）设A为一个可逆矩阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则逆矩阵A^-1可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵adj(A)的计算方法是，将A的元素的代数余子式组成的矩阵转置得到。
3. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 逆的逆仍为原矩阵如果矩阵A有逆矩阵A^-1，那么A^-1的逆矩阵是A，即(A^-1)^-1 = A。
3.2 乘积的逆等于逆的乘积对于可逆矩阵A和B，(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
简单来说，如果两个矩阵的乘积是可逆矩阵，那么它们的逆矩阵是分别取逆然后交换顺序。
3.3 逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵对于可逆矩阵A，(A.T)^-1 = (A^-1).T。
即逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵理论中具有重要的地位，它不仅可以帮助我们解决线性方程组的求解问题，还可以应用于矩阵的分解、特征值计算和矩阵的变换等许多领域。
《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 【考情分析】考试要求 1. 二阶逆矩阵，B 级要求；2. 二阶矩阵的特征值与特征向量，B 级要求；3. 二阶矩阵的简单应用，B 级要求．理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，会利用矩阵求解方程组．掌握矩阵特征值与特征向量的定义，会求二阶矩阵的特征值与特征向量，利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题．理解矩阵的简单应用． 【知识清单】 1. 逆变换与逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 2．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量. (3)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征方程． (4)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．【课前预习】1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式． 解析：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4. 2. （选修4-2P 65习题2.4第7题）已知可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值． 解析：由题意，知AA －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3.（选修4-2P 54例4改编）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解析：因为 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 所以 (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 012－10. 4. (选修4-2P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－2 －6 的特征值．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.，求矩阵A .解析：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 【典型例题】目标1 求逆矩阵与逆变换例1求矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 35 6的逆矩阵． 解析：（法一）设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. （法二）注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－3 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23. 【借题发挥】变式1 (2016·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －122，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－2·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1540 －1. 解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d c d ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 变式2 已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1，试求出(AB )－1. 解析：反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1，(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. 【规律方法】求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 【同步拓展】(2017·常州期末)已知矩阵，列向量，若AX=B ，直接写出A ﹣1，并求出X ．解析：解法一∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ，∴X=A ﹣1B==．解法二：∵矩阵，∴A ﹣1=，∵AX=B ， ∴=，∴，解得，∴X=．目标2 特征值与特征向量的计算与应用例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解析：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0，x ＋y ＝0，∴矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.【借题发挥】变式1 已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 变式2 （2015·江苏高考）已知R y x ∈,，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值.解析：由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，，所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0． 从而矩阵A 的特征多项式()()()21f λλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【规律方法】1．求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．2．根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．【同步拓展】已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 目标3 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)例3 给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. (1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .解析： (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【规律方法】已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为：(1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝s α1＋t α2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.【同步拓展】已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β. 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.【归纳分析】1.不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2.逆矩阵的性质：(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的．(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .3.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．4. 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果. 【课后作业】 1．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵B A 1-. 解析：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a -b 2c 2d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1, 故a =-1,b =0,c =0,d =21∴矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12. 所以B A1-=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1 -20 3 . 2. 求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 41－1的特征值及对应的特征向量． 解析：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－4－1λ＋1＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)，令f(λ)＝0，得到M 的特征值λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤41；当λ2＝－2时，矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3. 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值． 解析：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1434 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12001，试求曲线y ＝cos x 在矩阵M－1N 变换下的函数解析式．解析：由M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，得M －1N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12002，即在矩阵M －1N 的变换下有如下过程，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2y ，则12y ′＝cos2x ′，即曲线y ＝cos x 在矩阵M －1N 的变换下的解析式为y ＝2cos2x .5. 已知二阶矩阵A 的属于特征值－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解析：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝－2，c －3d ＝6，a ＋b ＝2，c ＋d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，c ＝3，d ＝－1，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 13 －1. 6. 已知α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2b ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，且a ＋b ＋m ＝3，求a ，b ，m 的值． 解析：因为α是矩阵M 的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a m 2 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 5，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋5m ＝－3，－2＋5b ＝15，由a ＋b ＋m ＝3，解得a ＝16，b ＝175，m ＝－1730.7. (2016·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1的一个特征值为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1.解析：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以 A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120－11. 8. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解析：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知 M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1， 又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2， 同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y ·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e 1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.9. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解析：(1)因为2×4－1×3＝5≠0，所以M 存在逆矩阵M －1，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 45 －15－35 25. (2)矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－3 λ－4＝(λ－2)(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5， 令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0， 令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.10.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程．解析：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，从而M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132－12. (2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，且m ：2x ′－y ′＝4， 所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.11. 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解析：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0. 【提优训练】1．利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8. 解析：设M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53.。
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵
矩阵的变换与运算矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的变换与运算：矩阵的乘法与逆矩阵矩阵在数学中扮演着重要的角色，它可以用于描述线性变换或者表示线性系统的方程组。
本文将讨论矩阵的变换与运算，重点介绍矩阵的乘法与逆矩阵两个关键概念。
一、矩阵的乘法（Matrix Multiplication）矩阵的乘法是矩阵运算中的一种基本运算，表示为A * B，其中A 和B分别为两个矩阵。
在进行矩阵乘法时，需要满足乘法的条件：A 矩阵的列数等于B矩阵的行数。
矩阵乘法的计算方法是将A矩阵的每一行与B矩阵的每一列进行内积运算，并将结果填入一个新的矩阵C中。
具体计算过程如下：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]其中，C[i][j]表示矩阵C中第i行第j列的元素，A[i][k]表示矩阵A 中第i行第k列的元素，B[k][j]表示矩阵B中第k行第j列的元素。
矩阵乘法的重要性在于可以描述线性变换的复合效果，同时也有利于解决线性方程组。
在实际应用中，矩阵乘法广泛运用于计算机图形学、信号处理、最优化等领域。
二、逆矩阵（Inverse Matrix）逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A * B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
判断矩阵A是否可逆的条件是行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
若矩阵A可逆，则可以通过一系列行变换将其转化为单位矩阵，对应的变换矩阵为逆矩阵。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵法或者初等行变换法。
例如，对于一个2x2的矩阵A：A = [a b][c d]若|A| ≠ 0，即ad - bc ≠ 0，则A的逆矩阵存在，并可表示为：A^-1 = 1/(ad - bc) * [d -b][-c a]逆矩阵的应用广泛，例如求解线性方程组、计算矩阵的行列式与秩、求解微分方程等。
三、矩阵的变换（Matrix Transformation）矩阵的变换是指通过矩阵的乘法，对向量进行线性变换。
逆矩阵的知识点总结
逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。
只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。
1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。
其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。
这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。
如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。
二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。
2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。
2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。
2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。
如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。
2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。
伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。
与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
-1
0 ù A22 ú û
两边求逆得
é I - A11-1 A12 ù é A11 ê ú ê I ë0 û ë0
A12 ù é A11-1 =ê A22 ú û ë 0 0 ù ú A22 -1 û 0 ù ú A22 -1 û
所以
é A11 ê0 ë
A12 ù é I - A11-1 A12 ù é A11-1 =ê úê A22 ú I û ë0 ûë 0 é A11 -1 =ê ë 0
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。
本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要明确什么是逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。
接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。
在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。
一、初等行变换法。
初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。
我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。
2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。
二、伴随矩阵法。
另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。
其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。
需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。
如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。
初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。
总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。
矩阵的逆与逆矩阵的应用
矩阵的逆与逆矩阵的应用在数学中，矩阵是一个经常被使用的概念，它在线性代数、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
而矩阵的逆与逆矩阵的应用则是解决线性方程组、求解线性变换的关键步骤之一。
本文将详细介绍矩阵的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A与B 的乘积等于单位矩阵I。
即AB=BA=I。
如果一个矩阵无法找到满足条件的逆矩阵，则称该矩阵为奇异矩阵。
逆矩阵的存在性是解决线性方程组的重要前提。
1.1 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下性质：- 逆矩阵的逆矩阵仍然是原矩阵本身，即(A的逆)的逆=A。
- 矩阵的逆是唯一的，如果存在逆矩阵，那么它一定是唯一的。
- 矩阵乘积的逆等于逆矩阵的乘积，即(AB)的逆=B的逆A的逆。
- 矩阵转置的逆等于逆矩阵的转置，即(A的转置的逆)=(A的逆)的转置。
1.2 求解逆矩阵的方法求解逆矩阵的方法有多种，其中最常用的方法是利用伴随矩阵和行列式的关系求解。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则A可逆，且其逆矩阵为A* = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍逆矩阵在线性方程组、线性变换和行列式求导等方面的应用。
2.1 解线性方程组逆矩阵可以用来解决线性方程组。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，那么方程组的解可以表示为x = A^-1 * b。
通过求解逆矩阵，我们可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题。
2.2 线性变换逆矩阵在线性变换中也有重要的应用。
对于一个线性变换T:R^n→R^m，如果其对应的矩阵A可逆，那么存在一个逆变换T^-1:R^m→R^n，满足T(T^-1(x))=x，其中x为任意向量。
也就是说，逆矩阵能够将变换后的结果重新映射回原始空间。
2.3 行列式求导在微积分中，行列式也是一个重要的工具。
1.逆矩阵与逆变换
逆变换与逆矩阵教学目标1.逆矩阵的概念；2.逆矩阵的性质。
教学重点及难点逆矩阵的概念与简单性质。
教学过程一、逆变换与逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：1A-，读作Ａ的逆。
一般地，设A是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。
【应用】1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】1.A＝3142⎛⎫⎪⎝⎭，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。
2. A＝2142⎛⎫⎪⎝⎭，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。
由以上两题，总结一般矩阵A＝a bc d⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。
二、逆矩阵的性质1.二阶矩阵可逆的唯一性。
性质1：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
性质2：.设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。
【练习：P 50】补充练习：1.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。
B.60o R 变换。
C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。
D.以y 轴为反射变换2.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）A. 0110⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0.5001⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 0110-⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ）A.111()AB A B ---=B. 111()AB B A ---=C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 4.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是5.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1将（1，0）变成点6.矩阵0111⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为7.设ρ：''x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点（－2，3）在ρ－1的作用下的点的坐标为8.A ＝1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭12122⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 答案：1.A 2.D 3.A 4. 1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 5.（3，2） 6. 1110-⎛⎫ ⎪⎝⎭7.（1，3）8. 1122122⎛+ -- ⎝⎭。
逆变换与逆矩阵
题型一
题型二
题型三
题型三
题型四
逆矩阵的性质及其应用
1
2
1
3
,B=
【例 3】 已知 A=
2 3
a b
解:方法一:设 A-1=
, 求(AB)-1.
4 5
1 1
a
b
,则
c
d
+ = 1,
= 3,
2 + 3 = 0,
= -1,
即
∴
+ = 0,
= -2,
2 + 3 = 1.
是唯一的.
如果B1,B2都是A的逆矩阵,则B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2,从而
B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1)=B2E2=B2,即B1=B2.所以如果矩阵A是
可逆的,则A的逆矩阵也是唯一的.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型四
逆变换
' = ,
【例 1】 切变变换 ρ:
' = -2 +
1
a
-2
b
1
, 则AA-1=E2,即 AA-1=
c
0
=
0
1
c
d
d
,
0
1
1 2
-2 = 1,
= 1,
= 2,
则 -2 = 0, 即
故A-1=
.
=
0,
= 0,
= 1.
0 1
= 1.
(2)矩阵 B 对应的是投影变换,不存在逆矩阵.
反思除利用AA-1=E2求A-1外,也可利用线性变换的逆变换求解.
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质
可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在研究线性变换和矩阵的性质时，我们经常会遇到可逆变换和可逆矩阵，它们具有很多重要的性质和应用。
本文将深入探讨可逆线性变换与可逆矩阵的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、可逆线性变换的定义与性质1. 定义：一个线性变换T称为可逆的，如果存在另一个线性变换S，使得TS = ST = I，其中I为恒等变换。
简单来说，可逆线性变换存在一个逆变换，使得它们的乘积等于恒等变换。
2. 性质1：如果线性变换T可逆，那么它的逆变换是唯一的。
换句话说，如果TS = ST = I，那么逆变换S就是唯一的，记作T^{-1}。
3. 性质2：可逆线性变换的逆变换也是可逆的。
如果T可逆，则T^{-1}也可逆，且(T^{-1})^{-1} = T。
4. 性质3：可逆线性变换的转置也是可逆的。
如果T可逆，则其转置T^T也可逆，且(T^T)^{-1} = (T^{-1})^T。
5. 性质4：可逆线性变换的乘积也是可逆的。
如果T和U都是可逆的线性变换，则TU也是可逆的，且(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}。
二、可逆矩阵的定义与性质1. 定义：一个n阶方阵A称为可逆的，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB = BA = I。
类似于可逆线性变换，可逆矩阵存在一个逆矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵。
2. 性质1：如果矩阵A可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。
换句话说，如果AB = BA = I，那么逆矩阵B就是唯一的，记作A^{-1}。
3. 性质2：可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的。
如果A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A。
4. 性质3：可逆矩阵的转置也是可逆的。
如果A可逆，则其转置A^T也可逆，且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
5. 性质4：可逆矩阵的乘积也是可逆的。
如果A和B都是可逆的矩阵，则AB也是可逆的，且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}。
最新人教版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵
-1 3 ∴ A = 3 c= , 2 2 1 d=- . 2 7 2 5 B-1= 110 . 1 10 5
.
章末整合提升
自主探究 自我检测 重难点拨 思悟升华
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1
2
3
4
5
2 0 1 0 ,B= ,求矩阵乘积 AB 的逆矩阵. 0 1 0 4 1 1 0 0 -1 -1 1 , 解:∵ A = 2 ,B = 0 0 1 5.已知 A=
2 0 . -2 1
2 0 答案: -2 1
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1
2
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x' = 4x, 的逆变换把点(1,4)变换成点的坐标是 y' = y x' = 4x, 4 0 a b 解析:伸缩变换 对应的矩阵为 A= ,设 A-1= , y' = y 0 1 c d 4 0 a b 1 0 4a 4b 则 AA-1= = = , 0 1 c d 0 1 c d 1 4a = 1, a= , 4 1 4b = 0, 1 ∴ ∴ b = 0, ∴ A = 4 0 , c = 0, c = 0, 0 1 d = 1. d = 1. 3.伸缩变换 则A
第三讲
逆变换与逆矩阵
内容提要
本讲共三节,第一节主要介绍逆变换与逆矩阵的概念,给出了可逆矩阵 的两条性质;第二节主要是利用二阶行列式求二阶逆矩阵;第三节是利 用逆矩阵解二元一次方程组,二元一次线性方程组有唯一解的充要条 件是方程组的系数矩阵可逆.
可逆线性变换与可逆矩阵的判定
可逆线性变换与可逆矩阵的判定可逆线性变换与可逆矩阵是线性代数中非常重要的概念。
在本文中，我们将解释什么是可逆线性变换和可逆矩阵，并介绍如何判定它们的性质。
1. 可逆线性变换可逆线性变换是指一个线性变换，它既是一对一的（injective），又是满的（surjective）。
换句话说，对于一个可逆线性变换 T，存在另一个线性变换 T'，使得 T(T'(v)) = v 对于所有的向量 v 成立。
我们可以用一个方程来表达可逆线性变换：Tv = u，其中 T 是一个n×n 的矩阵，v 和 u 是 n 维列向量。
如果存在另一个矩阵 S，使得 ST =I 和 TS = I（I 是单位矩阵），那么 T 是可逆的。
2. 可逆矩阵可逆矩阵是指一个方阵，存在一个矩阵使得它们的乘积等于单位矩阵。
如果一个 n×n 的矩阵 A 可逆，那么存在另一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
一个矩阵 A 可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
也就是说，如果det(A) ≠ 0，那么 A 是可逆的。
3. 判定可逆线性变换和可逆矩阵为了判定一个线性变换或矩阵是否可逆，我们可以使用以下方法：3.1. 行化简对于矩阵 A，通过行变换将其化为阶梯形矩阵。
如果阶梯形矩阵的每一行都不全为零，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.2. 行列式计算矩阵 A 的行列式 det(A)，如果det(A) ≠ 0，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
3.3. 逆矩阵计算矩阵 A 的逆矩阵 A^{-1}。
如果 A^{-1} 存在，则 A 是可逆的。
否则， A 不可逆。
需要注意的是，可逆矩阵和可逆线性变换具有相同的性质。
如果一个线性变换可逆，则对应的矩阵也是可逆的，反之亦然。
4. 应用可逆线性变换和可逆矩阵在许多领域都有重要应用，例如图像处理、密码学和通信系统等。
在图像处理中，我们可以使用可逆线性变换来进行图像的旋转、缩放和平移等操作。
逆矩阵知识点总结
逆矩阵知识点总结1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个给定的n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A是可逆的或非奇异的；如果矩阵A不存在逆矩阵，则称矩阵A是奇异的或不可逆的。
2. 逆矩阵的性质（1）若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证明：设B1和B2均为矩阵A的逆矩阵，则AB1=BA=B2。
因此，AB1=AB2，由矩阵乘法的消去律可知B1=B2。
（2）若矩阵A和矩阵B均为可逆矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
证明：首先，计算(AB)(B^-1A^-1)和(B^-1A^-1)(AB)，得到(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=In和(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(AA^-1)B=B^-1IB=B^-1B=In。
因此，矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
（3）若矩阵A可逆，则矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。
证明：由矩阵A的定义可知，存在矩阵A^-1使得AA^-1=In。
因此，(A^-1)^-1A^-1A=(A^-1)^-1=InA^-1=A^-1。
由此可知，矩阵A^-1的逆矩阵是矩阵A本身。
（4）对角矩阵D的逆矩阵是其对角线上每个非零元素的倒数构成的对角矩阵。
证明：设D是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，且di≠0(i=1,2,...,n)。
那么D的逆矩阵为D^-1=diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)。
因为DD^-1=diag(d1, d2, ...,dn)×diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)=diag(d1×1/d1, d2×1/d2, ..., dn×1/dn)=diag(1, 1, ..., 1)=In。
人教版A版高中数学选修4-2逆矩阵与二元一次方程组
系数矩阵
a
c
b d
中主对角线上的两数之积减去副对角线上的两数之
积得到的结果.
我们将矩阵A=
a c
b d
两边的“
”改为“|
|”,引进以下定义：
我们把 a b 称为二阶行列式，它的运算结果是一个 cd
数值（或多项式），记为det(A)= a
b ad bc.
cd
6
D 2 2 D 2
该方程组的解为
x
13 2
,
y 4.
例2：利用行列式的方法求解矩阵A
5 7
13的逆矩阵。
解：设矩阵A=
5 7
13的逆矩阵为B
a
c
b d
，
由AB=E有
5 7
1 a 3 c
b
d
1 0
m
n
,
A
a
c
b d
则
左乘A-1
AX B
得到X A1B
d
其中A1
ad
bc
-c
ad bc
-b
ad
bc
a
ad bc
解
记A=
1
0
1 2 1
，X=
x y
,B
32，
=-7, 0
a 3,c 7.
8
8
同理可得：b 1 , d 5 . 88
3
矩阵A的逆矩阵B
人教版高中数学选修4-2课件：2.4 逆变换与逆矩阵 (共49张PPT)
4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
－y＋2w＝1.
x＝25， 解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2
逆矩阵的条件
逆矩阵的条件逆矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
在矩阵论中，逆矩阵是指与一个给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
要判断一个矩阵是否存在逆矩阵，需要满足以下条件：1. 方阵：只有方阵（行数等于列数的矩阵）才有可能存在逆矩阵。
对于非方阵，不存在逆矩阵。
2. 行列式非零：矩阵A的行列式（det(A)）不等于零时，才存在逆矩阵。
行列式为零意味着矩阵A的行向量是线性相关的，无法通过矩阵的乘法逆运算得到单位矩阵。
3. 乘法逆运算：如果矩阵A存在逆矩阵A^-1，则有A * A^-1 = A^-1 * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵是唯一的，即如果矩阵A 存在逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
满足这些条件的矩阵被称为可逆矩阵或非奇异矩阵，而不满足条件的矩阵被称为奇异矩阵。
逆矩阵的计算方法有多种，其中最常用的方法是高斯-约当消元法和伴随矩阵法。
高斯-约当消元法是一种基于矩阵的初等行变换和初等列变换的方法，通过对矩阵A进行一系列变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后再进行进一步的变换，得到其逆矩阵。
伴随矩阵法是一种基于代数余子式和伴随矩阵的计算方法。
对于一个给定的方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，通过求解代数余子式和转置矩阵的乘积来得到逆矩阵。
逆矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
它可以用于解线性方程组、计算线性变换的逆变换、求解矩阵方程等。
在机器学习和人工智能领域，逆矩阵也被广泛应用于求解最小二乘法、矩阵分解和数据降维等问题。
然而，逆矩阵并不是所有矩阵都存在的。
当一个矩阵不满足逆矩阵的条件时，它被称为奇异矩阵。
奇异矩阵在某些情况下可能会导致问题的发散或无解，因此在实际应用中需要格外注意。
总结一下，逆矩阵是指与一个给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
判断一个矩阵是否存在逆矩阵需要满足方阵、行列式非零和乘法逆运算等条件。
逆矩阵在线性代数和许多应用领域中都有重要的作用，但并不是所有矩阵都存在逆矩阵。
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2.4.1 逆矩阵的概念1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质.3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.[基础·初探]1.逆变换二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′).反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换.2.逆矩阵对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .3.逆矩阵的性质(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的.(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A－1.(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .4.逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－bad －bc －c ad －bca ad －bc . [思考·探究]1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.2.是否每个二阶矩阵都可逆？【提示】 不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立， 故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆. 3.若二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝[]（AC ）B －1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：解惑：求出来；若不存在，请说明理由.(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.【导学号：30650035】【精彩点拨】 矩阵→对应的几何变换→判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y ).它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩阵记为B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. (3)矩阵C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y ＝x 上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y ＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y ＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C 不存在逆矩阵.(4)矩阵D 对应的是绕原点逆时针方向旋转90°的旋转变换，因此它存在逆变换：绕原点顺时针旋转90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为D－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1)弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；(3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵.若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－121232； (2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0； (3)C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1； (4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002.【解】 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 30° －sin 30°sin 30° cos 30°，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°的旋转变换，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 12－12 32.(2)矩阵B 表示的是将平面内所有点垂直投影到x 轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵.(3)矩阵C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y 的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y 的切变变换，故C －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. (4)矩阵D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x 轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故D －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12.求矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥56的逆矩阵. 【精彩点拨】 思路一：设出A －1，利用AA －1＝E ，构建方程组求解.思路二：利用公式A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－bad －bc－c ad －bca ad －bc 求解.【自主解答】 法一 设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23.法二 注意到2×6－3×5＝－3≠0，故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－32－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 153 －23.求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法. 法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法.法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ： ①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在.②若ad －bc ≠0，则A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bca ad －bc.判断下列矩阵是否可逆，并当它可逆时求出逆矩阵. (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b . 【解】(1)行列式Δ＝1×1－(－1)×1＝2，矩阵可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 12－1212 (2)行列式Δ＝ab ，当且仅当a ，b 都不为0时可逆，逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤bab 00 a ab ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －1 00 b －1已知A ＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥0 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵. 【导学号：30650036】【精彩点拨】（AB ）－1AB →（AB ）－1【自主解答】 法一 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，且1×12－0＝12≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212 012012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，同理B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2. 法二 因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1， ∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×1＋0×10×1＋12×0 0×1＋12×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12. 且1×12－0×1＝12≠0， ∴(AB )－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.已知矩阵A ，B ，求矩阵AB 的逆矩阵的一般思路：先求A －1，B －1，再求(AB )－1＝B －1A －1或先求AB ，再求(AB )－1.已知关于直线y ＝2x 的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，切变变换对应的矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21，试求出(AB )－1.【解】反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 45 35，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1， (AB )－1＝B －1A －1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45 4535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－35 45－25115. [真题链接赏析](教材第65页习题2.4第5题)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，试求A －1.已知矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫2143，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 10 －1. 求A 的逆矩阵A －1.【命题意图】 通过矩阵转换求逆矩阵. 【解】 因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －12－42 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －12－2 1.1.对任意的二阶非零矩阵A ，B ，C ，考察下列说法： ①(AB )－1＝B －1A －1； ②A (BC )＝(AB )C ； ③若AB ＝AC ，则B ＝C . 其中正确的是________.【解析】 ①中只有当A ，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确.②为矩阵乘法的结合律故正确.③中只有当A 存在逆矩阵方可，故③不正确. 【答案】 ② 2.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b 0d 可逆的条件是________. 【解析】 当1×d －0×b ＝d ≠0时可逆. 【答案】 d ≠03.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1(k ≠0)，则A －1等于________.【导学号：30650037】【解析】 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b ak ＋c bk ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，k ＋c ＝0，d ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－k ，d ＝1.∴A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－k 1. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－k 1 4.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 12，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－1 13，则x ＋y ＝________. 【解析】 ∵AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 13－113＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x －y 13x ＋13y 0 1＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，11 ∴⎩⎨⎧2x －y ＝1，13x ＋13y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－13.∴x ＋y ＝0.【答案】我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。