高等数学第三节格林公式及其应用
高数格林公式例题解析
格林公式是高等数学中一个重要的定理，它提供了沿闭曲线的积分与向量场在闭曲线所围区域的积分之间的联系。以下是一个格林公式的例题解析，供您参考：
问题描述：给定一个二维区域D，以及一条从点A到点B的曲线L。求向量场φ在D内，且垂直于L时的通量。
一、知识点
1. 格林公式
2. 散度定理
3. 向量场的通量
二、问题分析
为了求解向量场的通量，我们需要找到一个合适的向量场φ，使得它在D内垂直于L。然后，根据格林公式，我们可以将曲线L上的积分转化为向量场φ在D内积分的差值。
三、解法
步骤1：选取向量场φ
选取一个垂直于L的向量场φ，它应该满足在D内满足散度定理的条件。通常选择单位外法线向量，即在D的边界上垂直于L的向量。
步骤2：计算格林公式
将曲线L分成若干个小段，对每个小段应用格林公式，得到曲线L上的积分与向量场φ在D 内积分的差值。由于φ满足散度定理，这个差值应该等于向量场φ在D内与L所围区域的面积分。
步骤3：求解通量
根据面积分的结果，我们可以得到向量场φ在D内垂直于L时的通量。
四、代码实现（伪代码）
假设区域D的方程为x(x, y) = 0，曲线L的起点为(x(a), y(a))，终点为(x(b), y(b))。以下是一个可能的代码实现：
```pseudo
function calculate_flux(L, φ):
// 将曲线L分成若干个小段
for each segment of L:
// 计算小段的起点和终点坐标
start = (x1, y1) = segment.start_point
end = (x2, y2) = segment.end_point
高等数学 格林公式及其应用
3. 简单应用
(1) 计算平面的面积
y x
格林公式
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
得 2dxdy Lxdyydx
D
闭区域D的面积 A 1 xdy ydx.
2L
12
10.3 格林公式及其应用
例 求椭圆 x a c t ,y o b s s t , 0 i t n 2 π
所围成的面积.
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(QP)dxdy
(QP)dxdy
D x y
x D1D2D3 y
D1 (Q(xQ Py)Pdx)ddxydyD2(Qx Py)dxdy D3 x y
PdxQdy PdxQdy PdxQdy
L1
L2
L3
LPdxQdy
D3 L3
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
y
解 由公式
A
1 2
L
xdy
ydx
D
O
x
得 A 12πa(bc2tossi2tn )d t 20
abπ.
13
10.3 格林公式及其应用
L
Pdx
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,
同济版大一高数第十一章第三节格林公式
所围区域为D , 则
I
(x2 3y) dx ( y2 x) dy
L AO
Q P 1 3 4 x y
(x2 3y) dx ( y2 x) d y OA
2 d
4cos r 2cosdr 4 64
2 cos4 d 16
0
0
30
11
例4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2x y, Q x2 , 则
利用格林公式 , 得
2xy dx x2 dy L
0 dx dy
0
D
12
注意: 应用格林公式要注意其条件.
x2 y2 1和 x y 1所围成的逆时针方向。(x 0, y 0).
y
B
D
y 1 x
解法2
P y2 Q x2
Q P 2x y
x y
0
A x I 2 x yd xd y
D
4
xd xd y ( 4
yd xd y)
4
1
xd x
1x2 d y 2
D
D
0
1 x
3
轮换对称法
高等数学
第二十二讲
1
第三节 格林公式及其应用
第十一章
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
第三节格林公式及其应用.
A
D
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
d d c c
o a
C
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y
CBE
Q( x, y )d y
EAC
o
x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
当(0,0) D 时, 在D 内作圆周 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
4 2 x dx 0
4 d xd y
D
y
L D
64 8 3
o
Ax
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例5. 计算
的分段光滑正向闭曲线.
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
y
D2
D1
L
高等数学(同济大学)课件下第10_3格林公式
∫
dy + C
y
(x, y)
1 5 = x + 2x2 y3 − y5 + C 5
作业 P153 2 (1); 3 ;
4 (3) ;
o
(x,0) x
5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
x2 + y2 = a2 从点 (0, a) 依逆时针 备用题 1. 设 C 为沿 到点 (0,−a) 的半圆, 计算 2 y dx + [ ax + 2y ln(x + a2 + x2 ) ]dy ∫ a2 + x2 C y 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . a C −∫ D C′ 原式 = ∫ C+C′ C′ ox 2y = ∫∫ − −a d xd y 2 2 D a +x a − ∫ (2y ln a) d y
L+ L+ AO
(x2 + 3y) dx + ( y2 − x) dy
OA
+ ∫ (x2 + 3y) dx + ( y2 − x) dy = 4∫∫ dxdy + ∫
D
4 2 x dx 0
y
L D Ax
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o
机动 目录
高等数学10-3
( x+x, y) ( x, y)
Pd x + Qdy = ∫
Pd x
u xu ∴ = lim = lim P(ξ , y) = P( x , y) x→0 x x→0 x 同理可证 u = Q( x , y), 因此有 du = P dx + Qdy y
- 17 -
= P(ξ , y)x
第三节
-4-
第三节
格林公式及其应用
2) 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 不满足以上条件, 不满足以上条件
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
o
为有限个上述形式的区域 , 如图
y
F
D D1
y
B A E
L
D2
x o x
Q P Q P Q P ∫∫ ( x y )dxdy = ∫∫ ( x y )dxdy +∫∫ ( x y )dxdy D1 D2 D =
l
o D 1
L
x
=∫
2π 0
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ dθ = 2π 2 r
- 13 -
第三节
格林公式及其应用
二 平面上曲线积分与路径无关的条件
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 具有一阶连续偏导数 则以下四个条件等价
格林公式讲解精编-文档资料33页
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
D Q x P ydxdyLPdxQ dy( 格林公式 )
或
x y dxdy PdxQdy
DP Q
L
高等数学
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D:1(xa)yx b2(x)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
高等数学
取圆弧 AB: x π c o ,ys π s in (:π 0 )
2
2
2
WAB rk2(ydxxdy)
y
A
L
πk
O Bx
2
思考: 积分路径是否可以取 AOOB?为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
y
y
(x 0 ,y 0 )
x
y
x0 P(x, y0)dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
y
x
u(x,y)y0Q(x0,y)dy
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
高等数学 定理2
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有 AP B (x,y)dxQ (x,y)dy
2
第三节 格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点
格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容
一．格林公式及其应用
微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。
定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。 定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则
⎰⎰⎰
+=∂∂-∂∂L
Qdy Pdx d y
P
x Q σ)(
⑴
其中符号
⎰
L
表示沿L 正方向的曲线积分。公式⑴称为格林公式。
证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。
设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。因为
y
P
∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a D
高等数学讲义课件 第3节 格林公式及其应用
x y Q P
x y PQ
C Pdx Qdy x y dxdy
DP Q
例1 计算曲线积分 I (2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy , L
其中 L 为 x2 y2 4, 顺时针.
解 P 2xy 2 y, Q x2 4x Q P 2x 4 2x 2 2 x y
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
或
y dy 0 1 y2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0) x
例6. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, )移动到
2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
内容小结
1. 格林公式
L
P
d
x
Q
d
y
D
Q x
P y
d
x
d
y
2. 等价条件
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L 对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L 在 D 内有 Q P x y
高等数学：格林公式
写成和式极限的形式，应用柯西不等式
从向量a往单位向量b做垂直投影，投影长度小于斜边 （就是向量a）的长度。
三、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
oA
F
Bx
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
思考题解答
L 由两部分组成 外边界：BCDAB 内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
六、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2
y
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy
L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
说明：
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
注意：当f ( x, y)较繁，L较复杂，而Q P 较简单， x y
D10.3 格林公式及其应用
135 第三节 格林公式及其应用
一、填空题
1．设函数(,)P x y ，(,)Q x y 在 上具有 ，则有格林公式 ，其中L 是 ．
2．若G 为单连域，(,),(,)P x y Q x y 在G 内有一阶连续的偏导数，则d d L P x Q y +⎰在G 内
与路径无关的充要条件为 ，或 ，或 ．
3．设(,),(,)P x y Q x y 在单连域G 内有一阶连续的偏导数且P Q y x
∂∂=∂∂，则 (1,2)
(0,0)(,)d (,)d P x y x Q x y y +⎰= （化为定积分）
． 4．设d (,)(2)d (2)d u x y x y x x y y =+++则(,)u x y = ．
二、单项选择题
1．设分段光滑正向闭曲线L 围成的平面区域的面积为σ，则在下列曲线积分中， ① d L y x -⎰ ② (e )d x L y x +⎰ ③ 1d d 2L y x x y -⎰
结果等于σ的个数是 ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．222d d L x y x x y y -⎰ = ，其中L 为正向圆周222x y R +=．
A ．
42R π B ．4R π C ．42
R π- D ．4R π- 三、计算题 1．
22d d 2()L y x x y x y -+⎰
，其中L 为xoy 面内的任意一条无重点光滑闭曲线的负向．
136 2．计算(e sin )d (e cos )d x x L I y my x y my y =-+-⎰其中L 为22x y ax +=从点(,0)A a 到
高等数学格林公式
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶连 续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D
(1)
其中 L是 D 的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式.
y
证明(1)
D {( x, y) c y d , 1 ( y) x 2 ( y)}
d 2 ( y )Q Q 2 ( y) d x dxdy c dy 1 ( y ) x dx c dy Q[ x, y] 1 ( y) D d
Q( 2 ( y ), y ) Q( 1 ( y ), y )dy
应用格林公式,得
o
l
r
D1
x
L l
xdy ydx Q P dxdy 0 2 2 x y x y D
y
L
xdy ydx xdy ydx 即 0 2 2 2 2 L x y l x y xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
x y 例7 计算椭圆D {( x , y ) : 2 2 1}的面积。 a b y 1 解：A xdy ydx ， 2L x
11-(3)格林公式及其应用
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 2 0 d xd y 0 2 L l D1 x y
高等数学A(下）
y
L
l
D1
o
r2
r
x
2π 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2
Monday, January 25, 2016
41 - 21
Leabharlann Baidu
Monday, January 25, 2016
证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
(3)
在 D 内是某一函数 d u( x, y) P d x Q d y 即 P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
Chapter 11
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的 等 价 条件
三、全微分方程
一、 格林公式
1、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的 部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为 多连通区域.
D
D
单连通区域
多连通区域
单连通区域 ( 无“洞”区域 )，多连通区域 ( 有“洞” 区域 ) 41 - 2 高等数学A(下） Monday, January 25, 2016
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
dy
34 - 28
Monday, January 25, 2016
xd y yd x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例7. 验证 2 2 x y y ( x, y ) 数 , 并求出它. y x , Q 2 证: 令 P 2 2 x y x y2 O (1,0) ( x,0 ) x P y2 x2 Q 2 ( x 0) 则 2 2
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.
高等数学A(下）
34 - 3
Monday, January 25, 2016
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
4 2 x dx 0
4 d xd y
D
y
L D Ax
64 8π 3
高等数学A(下）
O
34 - 27
Monday, January 25, 2016
例6. 验证 出这个函数.
2 2
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原式 Q xPydxdyDyexdxdy
0exD dx0sin xydy12
exsin2xdx
0
1 40 ex(co2xs1)dx
1 5
e
1
7
例 3 .计 I L ( x s 算 2 y i y n ) d ( x 2 x c 2 y o 1 ) d , sy
其 L 为 中 x 2 圆 y 2 R 周 2 上A ( 从 R ,0 )经 点
(线积分与路,才 径可 无以 关这) 样记
PdxQdyyy0x
AB
x0
Hale Waihona Puke Baidu
P(x,
y0)dx
BCPdxQ x dyx不变yy0Q(y x, y)dy
A ( x0, y0 )
B(x, y0)
G
u ( x ,y ) x 0 P ( x ,y 0 ) d y x 0 Q ( x ,y ) dy ( 9 )
即 PQ. y x
证毕 .
2u P x y y
2u Q y x x
15
例 解3 PI(x, yL )xxxd22 yyyyy2d2,xQL(x为, y包)围x2原x点y2的任y意光D曲滑L线
这两个函数在原点无定义, 以原点
为 ,画 圆 r 的 半 心 ,( r 充 圆 径 )L分 和为 小 x
a2b02 d ab.
6
例 2e x (1 cy o )d x s (y siy )d n y
L
其 L 是 中 D 域 0 x ,0 y sx i 的 n 正 .
解 P (x ,y)ex(1co y)sQ (x,y) ex(ysiy)n
Q xex(ysiny)
P ex siny y
高等数学第三节格林公式及其应用
例 1求椭 x y 圆 b ascio ns的面 A. 积
解 A D xd 0 y 2aco b sc o ds ab02co2sd4ab02cos2 d
4ab
4
ab.
或 A12Dxdyydx
1 2 0 2 a c o b c s o b s i( n a s i)n d
(由2)
L 1Pd Q x dL 2 yPd Q xd Ly 1(PL2d) xQdy0
L 1P d Q x d L 2y P d Q xdy
12
3 4在 G 内任 A (x 0 取 ,y 0 )和 C 两 (x ,y ) 点
令u(x,y)(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
D C(x, y)
BO
OA
14R2R.
10
一 G 公 r : P ( e x ,y 式 ) e Q ( ,x n ,y ) 在 D 内 ( 单连通或多 连通闭区域)有连续偏导数, 则
Q x P y dxdyD P dxQ dy (1 ) D
二 P (x,y)Q ,(x,y)在 单连通区域 G内有连续偏导数,
2 0 rr s2in ( rsi)n rc r2 ors c o d s
2
0
d
2
此例 ,在XY平面上除原点Q x外 处 Py,处有
但是闭曲线的积分却是 不零! 除去原 X点 Y平 的 面不
是单连 !原 通点 域是 "洞 一 ". 个
17
例 4 I ( 3 , 4 ) 6 x 2 y y 3 d x 6 x 2 y 3 x 2 d y y ( 1 , 2 )
则下列四个命题等价:
1. PyQ x 在G内处处,成立
2 . 对 G 内 于任L 有 意 L P d 闭 x Q d y 曲 0 , 线 3. LPdxQdy在 G内与路,径无关
4 . 存 u u 在 (x ,y )使 d u P d x Q d y 在 G 内恒 .
u (x ,y)称P d 为 x Q dy的一个 11 原
证明1 过 2 程 3 4 为 1: 12: 在G内任取一条 L,L闭 围曲 成线 D L
一闭域D, 在 D上应 Gr 用 定 ee:理 n G
LPdQ x d y Q xP ydx (d由 1 y)0 . B
2 3在 G 内 D 任A 取 和 B .用 两两 点 LG2条 A L1 曲 L 1 和 线 L 2 联 A 和 结 B ,则
第一象B 限 (0,R 到 )的点 一.段弧
y
B
解 . 记 P x s2 iy n y , Qx2co2ys1,
D
则 QxPy 2xco2ys(2xco 2ys 1 )
O
Ax
1.
J (xsi2nyy)dx (x2co2ys1)dy
LBO OA
QxPydxdy
dxdy
D
1 4
R2
.
9
D
(xsi2nyy)dx(x2co2sy1)dy
1 4
R2
.
LBO OA
y
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
B
D
O
Ax
BO x0
yy
0
0 dy R
R
(xsi2y n y)d x (x2co 2y s1 )dy
OA x x
y0
R
0 dx
0
0
I1 4 R 2P d Q x d P y d Q xdy
同理 (经路A径 D)C
x
y
u ( x ,y ) x0P(x,y)dxy 0 Q ( x 0 ,y ) dy ( 1 )0
由(9) uQ(x,y) 由 (1)0uP(x,y)
y
x
13
duudxudy x y
u Q(x, y) y
P (x ,y ) d Q x (x ,y ) dy uP(x, y)
(x,y)
x
即u(x,y) Pd Q x dy (x0,y0)
为PdxQd的 y 一个原. 函数
4 1设有 G 上 定的 义 u (x,函 在 y) 数
使 d u P d x Q d y,
则有u xP(x,y),
u Q(x, y) y
进一步2u P,
2u Q
xy y y x x
14
由P及Q的连续性立得 y x 2u 2u x y y x
围成多连通区域D, 在 D上应 Gr 用 公 ee:式 n
D P d x Q d y Q x P y d x d y0 D
(1)1
Q xx2x 2y 2y 222 x2,P yx2 x2 y2 y 22 2y2 16
( 1 ) 式 1 L 左 P Q d 端 x d P y Q dx dy L P d Q x d P y d Q xdy xy:2rrcs ions0