矩法估计ppt课件
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广义矩估计61页PPT
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yix2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x2i 0
j1,2, ,k
n
zj(iyih(X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e (y i,X i; )y i h (X i, )
m () 1 ni
Z ie (y i,X i;
) 1 Z 'e (y,X ; ) n
1
m
(
)
m1 m2
mk
( (
(
) )
)
n 1 n
1 n
z1i ei
i
z
2i
ei
i
i z ki ei
m() 0
工具变量估计的 正规方程组。
• 工具变量估计正规方程组的解就是
r
Q() (X(i) M(i)( ))2 i1
⒋计量经济学模型的广义矩估计
• 如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条件矩。 广义矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。
应用数理统计——参数估计
µ1 (θ1,θ 2 ,⋯ ,θ k ) = E ( X ) µ (θ θ ,⋯ ,θ ) = E ( X 2 ) 2 1, 2 k 矩估计法就是列k个方程： ⋯ µ k (θ1,θ 2 ,⋯ ,θ k ) = E ( X k ) 其解θ1 ，2 ， ，k 就是未知参数θ1,θ 2 ,⋯ , θ k的估计量 θ ⋯θ 例1：见教材51页例1、例2。
∧
若总体X含有k个参数θ1,θ 2 ,⋯, θ k，则就要求出k个估计量
θ1 ，2 ， ，k ，分别作为θ1,θ 2 , ⋯,θ k的点估计。 θ ⋯θ
2、点估计的方法 (确定未知参数估计量的方法) 有矩估计法和最大似然估计法
∧
∧
∧
设总体X有k个未知参数θ1,θ 2 , ⋯, θ k，且总体的m阶矩 1 n m m E( X ) (1 ≤ m ≤ k ) 存在，用样本m阶矩µ m = ∑ X i n i =1 作为总体m阶矩的估计量。称这种方法为矩估计法。
∧ ∧ ∧
例2：设X 1 , X 2 , ⋯ , X n是总体X的样本，且总体 二阶矩存在。试求总体均数µ和方差σ 的矩估计。
2
解：由题意知E ( X ) = µ，D( X ) = σ 2
1 n 而µ1 = ∑ X i = X， n i =1
1 n 1 n 2 µ2 = ∑ X i = ∑ ( X i − X )2 + ( X )2 n i =1 n i =1
数理统计知识点PPT课件
2021/6/13
17
第17页/共53页
1、总体方差s 2 已知
用 u 检验，检验的拒绝域为
W {z u } 1 2
即 W {z u1 或z u1 }
2
2
2．总体方差s 2 未知
用样本方差s 2 代替总体方差s 2 ，这种检验叫 t 检验.
H0
H1
Ⅰ m m0 m m0 Ⅱ m m0 m m0 Ⅲ m m0 m m0
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间(
xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数ni
，它就是这区间或这组的频数.计算频率 fi
ni n
.
3、作频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出x1'
,
x
' 2
,
,
xn'
各点，分别以
(
xi'
,
xi'1
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16
第16页/共53页
一、参数检验
（一）单个正态总体均值检验
设取出一容量为 n 的样本，得到均值X 和标准差 s，现要
对总体均值m 是否等于某给定值m0 进行检验.记 H0 : m m0 ； H1 : m m0
概率论与数理统计-参数估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
0
令
X 1,
§1 点估计
得参数 的矩估计量为
ˆ 1 ．
X
第七章 参数估计
例5 设总体 X 的密度函数为
§1 点估计
f
x
1
x
,
0,
0 x 1, 其 它.
其中 0 为未知参数，试求参数 的矩估计．
解：
EX
令
1
xf xdx x
0
1
X
1x dx
1 2
2
由此得 的矩估计量为ˆ 2X 1 .
1) 求 1 EX ( 2 EX 2 );
2) 令 A1 1 ( A2 2 );
3) 解 上 面 方 程 （ 组 ） ， 得
ˆ1 ˆ1 ( X 1 ,, X n ) (ˆ2 ˆ2 ( X 1 ,, X n )).
《广义矩估计》课件
机效应。
改进算法的性能和稳定性
01
02
03
加速算法
通过改进算法的收敛速度 ，提高广义矩估计的计算 效率。
鲁棒性
改进算法以增强其对异常 值的鲁棒性，减少其对噪 声数据的敏感性。
自适应估计
引入自适应估计方法，根 据数据自动调整参数的估 计过程，以提高算法的稳 定性和准确性。
结合其他优化方法进行改进
梯度下降法
实例二：非线性回归模型的广义矩估计
总结词
非线性回归模型是相对于线性回归模型 而言的，它描述的是自变量和因变量之 间的非线性关系。广义矩估计同样可以 用于非线性回归模型的参数估计。
VS
详细描述
在实例二中，我们将介绍如何使用广义矩 估计对非线性回归模型的参数进行估计。 我们将首先介绍非线性回归模型的基本概 念和假设，然后介绍如何利用广义矩估计 方法对模型参数进行估计，并给出具体的 计算步骤和实例分析。
《广义矩估计》课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 广义矩估计的基本理论 • 广义矩估计的算法 • 广义矩估计的实例分析 • 广义矩估计的扩展和改进 • 结论与展望
01 引言
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种统计估计方法，它 通过使用样本矩来估计未知参数。这 种方法基于样本矩和总体分布之间的 关系，通过最小化误差函数来求解参 数的估计值。
《矩估计的基本步骤》课件
矩估计的基本思想
矩估计的基本思想是，通过样本矩与总体矩之间的对应关系，建立估计量与 参数之间的关系。
矩估计的基本公式
均值
样本均值与总体均值相等。
方差
样本方差与总体方差之间的差 异最小。
偏度
样本偏度与总体偏度相匹配。
矩估计的步骤
1
确定参数个数
分析问题中的参数个数，并假设总体是
计算样本矩
2
连续或离散的。
《矩估计的基本步骤》 PPT课件
欢迎大家来到本次课程，今天我们将探讨矩估计的基本步骤，带你深入理解 这一重要的统计方法。
矩估计的定义
1 什么是矩估计？
矩估计是一种参数估计方法，通过样本矩来估计总体参数的未知值。
2 为什么要使用矩估计？
矩估计可以根据样本的统计量，推断总体的参数，无需事先对总体分布进行假设。
根据样本数据计算均值、方差和偏度等
统计量。
3
建立矩估计方程
根据样本矩与总体矩的对应关系，建立
求解估计方程
4
估计量与参数的方程。
பைடு நூலகம்
解方程得到参数的估计值，即矩估计量。
矩估计的优缺点
优点
简单易用，不需要知道总体分布；计算量小，效 率高。
缺点
对于小样本量和非均匀分布的情况，估计结果可 能偏差较大。
矩估计的应用领域
参数估计
EX , DX E ( X EX )2 2
再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩,得µ与 σ2的 矩估计量为：
ˆ X,
__
2
n 1 2 M S n
' 2
例２：设总体X的概率密度函数为：
6 x( x ) f ( x) ,0 x 3 0 , 其它
n
解得p的极大似然估计量为：
1 n ˆ p Xi n i 1
说明：p的极大似然估计值为：
1 n ˆ p x i n i 1
小 结 1、 矩估计法的求解步骤 （1）先建立待估参数与总体矩的关系
（2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩
2、极大似然估计法
n p( x i ; );已知P ( X x ) p( x; ) i 1 L( ) n f ( x i ; );已知f ( X x ) f ( x; ) i 1
你的这一想法中就已经包含了极大似然
估计法的基本思想 . 为了进一步体会极大似然估计法的思想 , 我们再看一个例子.
例如：有一事件A，我们知道它发生的概率 p
只可能是:
p=0.1，0. 3 或 0.6
若在一次观测中，事件A竟然发生了， 试让你推想一下 p 应取何值? 你自然会认为事件A发生的概率是0.6，而 非其他数值。 极大似然原理： 概率大的事件在一次观测中更容易发生。
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文
正态总体
的样本，并且这两个样
本相互独立，记
则有 ⑴
⑵当
时
其中
第七章
第三节 区 间 估 计
例如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据 一个实际样本，得到鱼数 N 的最大似然估计 值为1000条。这个数是湖中鱼数的真值吗？
湖中鱼数的真值
[]
我们希望确定一个区间，使我们能以比较高 的可靠程度相信它包含真参数值.
解
令 θ的矩估计值为
Question: 设X的概率密度为
设 X1, X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的矩估计量。 Answer:θ的矩估计量不存在。
2.最大似然估计法
◆ 1821年,德国数学家高斯提出最大似 然估计法；
◆ 1922年,费歇重新发现了这一方法， 并研究了这种方法的统计性质 。
Gauss
第七章
第二节 估计量的评选标准
一 、无偏性 二 、有效性 三 、一致性
对同一个参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，采用哪一个估计量好呢?
一 、无偏性 对于一组观察值
一个估计值 ，估计偏差为
得到
定义1 设
是未知参数θ的估计量
存在，且对任意的θ，有
则称 为θ的无偏估计。 无偏性的实际意义是指没有系统偏差
例9 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本, ，求参数λ的最大似然估计值。
第二节矩估计法
第七章 参数估计
§7.2 矩估计法
§7.2 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮 尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .理论 依据:大数定律
源自文库 记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
§7.2 矩估计法
§7.2 矩估计法
它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮 尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .理论 依据:大数定律
源自文库 记总体k阶矩为 k E( X k )
样本k阶矩为
Ak
1 n
n i 1
X
k i
记总体k阶中心矩为 k E[ X E( X )]k
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
(a b)2 4
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
参数的矩法估计
这是一个参数估计问题 ．
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退 出
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
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退 出
第七章 参数估计 §1 点估计 •点估计 点估计 •矩法 矩法 •极大似然法 极大似然法
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退 出
第七章 参数估计
§1 点估计
一、点估计问题
§1 点估计
1 n ˆ = X , σ 2 = ∑ ( X i − X )2 ˆ 则 µ n i =1
例4 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 的指数分布， λ > 0未知， X 1 , X 2 , L , X n 是从该总体中抽取的一 未知， 个样本， 的矩估计． 个样本，试求参数 λ 的矩估计．
估计量是统计量， 估计量是统计量，因而 它是随机变量（一维 维数组． 或多维） 而估计值则是一维或多 维数组． 或多维）；
⑵ 在不引起混淆的情况下 ，我们统称估计量 的估计． 与估计值为未知参数 θ 的估计．
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退 出
第七章 参数估计
§1 点估计
二、 矩估计法 为连续型随机变量， 设 X 为连续型随机变量，其 概率密度为
+∞
1
α
ˆ 由此得 α 的矩估计量为 α =
6.1矩估计
E( X ) ,
由大数定律,
样本体重的平均值
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的 一个估计.
用样本体重的均值 X估计 ,
类似地，用样本体重的方差 S 2 估计 2.
1 n X Xi , n i 1
ˆ h ( A , , A ) j j 1 k
j=1,2,…,k
15
例 设总体X的概率密度为
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
数学期望 是一阶 原点矩
( 1) x , 0 x 1 f ( x) 其它 0,
其中
来自百度文库
1
是未知参数,
解: 1 E ( X ) x( 1) x dx
10,7,6,6.5,5,5.2, …
而全部信息就由这100个数组成.
据此,我们应如何估计
和
呢?
7
为估计 ,我们需要构造出适当的样本的函
数T(X1,X2,…Xn)，每当有了样本，就代入该函数 中算出一个值，用来作为 的估计值 .
T(X1,X2,…Xn)称为参数 的点估计量，
把样本值代入T(X1,X2,…Xn) 中，得到
,
已知
E( X )
《矩估计的基本步骤》PPT课件
1 2 k
(3) 解方程组, 得到k个参数的矩估计量
ˆ (X , X , 1 1 2 ˆ (X , X , k 1 2
, Xn ) , Xn )
未知参数 1, ,k 的矩估计量
代入一组样本值得 k 个数:
ˆ1 ˆ1 ( x1 , x2 , , xn ) ˆk ˆk ( x1 , x2 , , xn )
解
总体 X 的概率分布为
P{ X x} p (1 p)
x
1 x
, x 0,1
则 P{ X1 x1 , X 2 x2 ,
, X n xn }
p i1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
L( p), xi 0,1.
, X n xn }
对于不同的 p , L (p)不同, 现经过一次试验，事件 { X 1 x1 , X 2 x2 ,
最大似然估计法也适用于分布中含有多个 未知参数的情况. 此时只需令
ln L 0, i i 1,2,, k . 对数似然方程组
解出由 k 个方程组成的方程组 , 即可得各未知参 ˆi . 数 i ( i 1,2,, k ) 的最大似然估计值
例7
设总体 X ~ N ( , 2 ), , 2为未知参数,
例8
设总体 X 在 [a , b] 上服从均匀分布, 其中 a ,
(3) 解方程组, 得到k个参数的矩估计量
ˆ (X , X , 1 1 2 ˆ (X , X , k 1 2
, Xn ) , Xn )
未知参数 1, ,k 的矩估计量
代入一组样本值得 k 个数:
ˆ1 ˆ1 ( x1 , x2 , , xn ) ˆk ˆk ( x1 , x2 , , xn )
解
总体 X 的概率分布为
P{ X x} p (1 p)
x
1 x
, x 0,1
则 P{ X1 x1 , X 2 x2 ,
, X n xn }
p i1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
L( p), xi 0,1.
, X n xn }
对于不同的 p , L (p)不同, 现经过一次试验，事件 { X 1 x1 , X 2 x2 ,
最大似然估计法也适用于分布中含有多个 未知参数的情况. 此时只需令
ln L 0, i i 1,2,, k . 对数似然方程组
解出由 k 个方程组成的方程组 , 即可得各未知参 ˆi . 数 i ( i 1,2,, k ) 的最大似然估计值
例7
设总体 X ~ N ( , 2 ), , 2为未知参数,
例8
设总体 X 在 [a , b] 上服从均匀分布, 其中 a ,
第二章1-矩估计和极大似然估计
11
例1 有一批零件，其长度X~N(,2)，现从 中任取4件，测的长度(单位：mm)为 12.6,13.4,12.8,13.2。试估计和2的值。
解： 由
x 1 (12.6 13.4 12.8 13.2) 13 4
s2 1 [(12.6 13)2 (13.4 13)2 (12.8 13)2 4 1 (13.2 13)2 ] 0.133
17
注意：
1. 总体不一定存在适当阶的矩。
例 考虑Cauchy分布，其密度函数为
f ( x, )
1
, x ,
(1 ( x )2 )
其各阶矩均不存在。
2. 对相同的参数 q( )，存在多个矩估计。 例如，考虑总体是参数为 的Poisson分布， 既是总体的均值，又是总体的方差。
18
2、极大似然函数法
一个样本值，
求: 和 的极2 大似然估计.
N (,的 2 )
解 ：似然函数为
L(x ,, x ; , 2 ) n 1 exp[ 1 (x )2 ]
1
n
i1
2
2 2
i
n
1
2
2
2
exp[
1
2
2
n
(
x i
i 1
)2
]
ln
L
n 2
ln(2
矩估计和极大似然估计
称为参数θ的极大似然估计量。
26
若总体X属连续型, 其概率密度
的形式已知，θ为待估参数； 则
的联合密度：
一般，
关于θ可微，故θ可由下式求得：
在同一点处取极值。
因此 的极大似然估计θ也可从下式解得：
27
又因L( )与ln L( )在同一处取到极值，因此的极 大似然估计 也可从下述方程解得：
故用样本矩来估计总体矩
由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。
8
设总体X的分布函数为
其中
是待估参数.
为来自
的样本, 设总体的k阶矩 存在,则样本的k阶矩
(由大数定理)
令
k个方程组
从中解得
即为矩估计量。
矩估计量的观察值称为矩估计值。
9
矩估计步骤：
离散型 连续型
10
例： 总体 X 的分布列为 ：
是来自总体X的样本， 解： 由于总体X 的分布为二项分布，
第i次取到合格品.
, n.
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
pˆ
X
1 n
n i 1
Xi
fn ( A)
(即出现不合格产品的频率).
16
例5 设总体X ~ U[a,b], a,b未知；X1,, X n
是一个样本；求：a, b的矩估计量。
矩估计
解得 ˆ
1
是λ的矩估计量.
Xi
n
i1
即 例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，
, e X ~ f (x) 0,
x
x 0 x 0
其中λ是未知参数， 求λ的矩估计量. ˆ 1 是λ的矩估计量. 解
X
另一方面， 总体二阶中心矩为E ( X
EX ) DX
例 已知总体X 有密度函数
6 x ( x )
样本. 求θ的矩估计量 ˆ 解 总体一阶原点矩
EX EX
1
x f ( x )d x
x
0
6 x ( x )
4
3
dx
4 4 6 6 6 x x 2 3 3 ( x x ) d x 3 0 3 3 0 4 3 4
2
1
2
用样本二阶中心矩 估计总体二阶中心矩， 即令
B2
X n
1
i 1
n
i
X S0
2
2
1 ˆ
2
解得
ˆ
1 B2
也是λ的矩估计量.
即 例 已知总体X 服从参数为λ的指数分布，
, e X ~ f (x) 0,
《概率论与数理统计》课件第七章 参数估计
02
为X 的一个样本.
04
证
07
与
10
估计量
09
的无偏
08
都是
令
即
故n Z 是 的无偏估计量.
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
定义3 设
若对于任意θ∈Θ,当
则称 的一致（或相合）估计量.
为参数θ的估计量，
（了解）
一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.
似然函数为
其中
解得参数θ和μ的矩估计量为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
时
3
令
1
当
6
，故
5
，表明L是μ的严格递增函数，又
4
第二个似然方程求不出θ的估计值，观察
添加标题
所以当
01
添加标题
从而参数θ和μ的最大似然估计值分别为
03
添加标题
时L 取到最大值
02
添加标题
则参数θ和μ的最大似然估计量分别为
04
01
问 题
添加标题
02
待估参数的极大似然估计是否一定存在?
注：特殊的似然函数通过求导得不到其最大，
03
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任务是估计参数p,
我们根据伯努里大数定理
显然可以用
n
n
1 n
n i 1
Xi去估计参数p.
用样本方差S2估计总体的方差DX,
8
例1:对某型20辆汽车纪录5L汽油所行驶的里程数, 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
我们会计算出
1n
x
n
xi 28.695
i1
S2n
1 n
n
(xi x)2
i1
0.9185
来作为总体的期望、方差的点估计：
ˆ =28.695 ˆ 2 0.9815
这种方法就是替换原则：用样本矩去替换总体相应的矩 说的更本质一些，依据的原理是大数定律：
样本矩 np相应的总体矩
9
矩估计法的具体步骤:
x2P(x)dx
0
x2 6x 3( x) dx 6 2 20
DX=EX2 (EX)2 6 2 20 ( 2)2 2 20
所以
百度文库
D(ˆ)=D(2X)=4D(X)=4
2
20n
2
5n
13
例5 设总体 的分布密度为
p(x; )
1
x
e
( x , 0)
2
(1,2,L n) 为总体 的样本,求参数 的矩估
n
由辛钦大数定律
2
e
x
dx
2
2
0
故令
1
n
n
i2
i 1
2ˆ2
n
于是解得 的矩估计量为
ˆ
1 2n
i2
i 1
15
估计量的评价 标准
点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得 到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。 评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。
因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准 评价的。否则，是没有意义的。
(1).求出E j (1,2, ,k ) j 1, 2, k
(2).令 j
j
1 n
n
ij ;
i 1
j
1, 2,L
,k
这是一个包含 k 个未知参数1,2,L ,k 的方程组.
(3).解出其中1,2,L ,k , 用ˆ1,ˆ2,L ,ˆk表示.
(4).用方程组的解ˆ1,ˆ2,L ,ˆk分别作为1,2,L ,k的
bˆ 4.48 0.3962 3 5.1662
12
例4：设总体X的概率密度如下：求的矩法估计量ˆ ？
并求 D(ˆ) ?
6x 3(
P(x)
解： EX=
0
xP(x)dx x6x
-
0
x)
3 (
,
0
x)
x
其它
dx
2
列方程 2 X
解方程得 ˆ 2X 即为的矩法估计量。
又 EX2 = -
第六 章
点估计
1
6.1矩法估计
一、点估计问题的提法 二、矩法估计的求法 三、估计量的评价 标准
2
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的平均体重
估计废品率 估计湖中鱼数
估计平均降雨量
… …
3
参数估计问题的一般提法
1.相合性：设总体X的概率函数为f(x, ), 为未知参数，
ˆn n (X1, X2,....Xn )为的一个估计量，n为样本容量，
若对任意 0,
lim
n
P(
ˆn
) 1
成立，
则称ˆn为的相合估计量。(一致估计量)
由定义可知， 估计量 ˆn P (未知参数） 16
依据伯努利大数定律： 频率 i 是概率P的相合估计量，
估计量,这个估计量称为矩估计量.
10
例2.设 : （， 2），求， 2的矩法估计量。
解：p( ,, 2 )
1
e
(
x )2 2 2
2
E x
1
(x )2
e 2 2 dx
2
xR
E 2 x2
1
(x )2
e 2 2 dx 2 2
2
列方程组：
2
1 n
n i1
2 1
n
i
n i 1
设有一个统计总体的分布函数F(x, )，
其中 为未知参数.的范围是已知(称为参数空间）
现从该总体中抽取样本
1 , 2 , ...n
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g( ).
这类问题称为参数估计.(一般分点估计， 区间估计)
4
一、点估计问题的提法
设总体的分布函数形式已知, 但它的一个或 多个参数为未知, 借助于总体的一个样本来估计 总体未知参数称为点估计问题.
a2
1 n
ab 3
n
i1
b2
i
1 n
n
i2
i1
aˆ
3( 2 2 )
解方程组得：
aˆ bˆ
3S 3S
即为a, b的矩法估计量。
若（4.5 5.0 4.7 4.0 4.2）为一组样本观测值，
算得 x 4.48 s 0.3962,则可得 a, b的矩法估计值
分别为 aˆ 4.48 0.3962 3 3.7938
i2
ˆ =
解方程组：得
ˆ 2
1 n
n i1
(i
)2
即为和 2的矩法估计量。
11
例3 总体在[a,b]上均匀分布，a, b为未知参数，
（1,2 K ,n）为样本，求a, b的矩法估计量？
解：由前面的知识得 E = a+b , E 2 a2 ab b2
2
3
列方程组得
a+b 2
计量.
解：由于 p(x; )只含有一个未知参数 ，一般
只需求出E 便能得到 的矩估计量，但是
E
xp(x; )dx
x
1
x
e dx 0
2
14
即 E 不含有 ,故不能由此得到 的矩估 计量.为此, 求
E( 2)
x2 p(x; )dx
x e dx 2 1
|x|
2
1
x
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ(1,2 ,L ,n ),用它的观察值ˆ(x1, x2 ,L , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ(1,2, ,n )称为 的估计量. 通称估计,
ˆ(x1, x2,
, xn )称为 的估计值.
简记为ˆ.
5
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估 计量的问题是关键问题. 点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
6
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 大数定律
7
由辛钦大数定理知，
可以用
X
1 n
n i 1
Xi去估计EX,
如.求一个战士的射击命中率?
事实上是我们已经知道X服从两点分布,