最新因式分解分类练习(提公因式法、公式法、十字相乘法)
因式分解题型提公因式法公式法分组分解法十字相乘法
1.因式分解概念：
把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；
字母：各项都含有的相同字母；
指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：
①常用公式
平方差： 完全平方： 立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：
②常见的两个二项式幂的变号规律：
22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）
（3）十字相乘法
①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成
②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两
个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数
b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212
c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法
①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，
又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
因式分解题型(提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法) (2)
14.3因式分解
1.因式分解概念：
把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的 ； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法：
①常用公式
平方差： 完全平方：
立方和：3322
a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：
②常见的两个二项式幂的变号规律：
22()()n n a b b a -=-；21
21()
()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法
①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2
中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成
②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2
中，如果能把二次项系数a 分解成两个
因数21,a
a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数
b ，
那么它就可以分解成：
()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法
①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22
a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
七年级数学：10道提公因式法分解因式常见考题，可以抄下来练习
七年级数学：10道提公因式法分解因式常见考题，可以抄下来
练习
因式分解是初中数学里的一个重点，在分式的约分化简，在解一元二次方程，在很多的计算化简题里，经常需要用到因式分解。
因式分解的技巧和方法很多。歌谣口诀，一提，二套，三分组和十字交叉相乘。一提，就是提公因式。二套，就是套乘法公式。由此可见，最基础的，最简单的，第一要用到的，就是提公因式法。
一个多项式的各项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式。公因式的系数是各项系数最大公约数，字母取各项相同的字母，且相同的字母取最低指数。
第1题，和第2题，这是两道最简单的提公因式法分解因式的题。只要提取公因式就好。但是这里有一点，必须强调，如果多项式的首项是负号，那么公因式也是负号。也就是说，公因式的符号，跟着多项式的首项走。
比如第1题，首项是-6a²b，那么它的公因式就是-2ab。也就是公因式的符号，同首项的负号。
第3题，第4题，这种公因式怎么提？公因式可以使单项式，也可以是多项式。那么多项式的公因式又怎么找？记住两个关键点，各项中相同的和互为相反数的部分，都可以看做公因式。
相同的，自然不用说就是公因式。互为相反数的，先提一个-1出来，那么就变成相同的因式了。
比如第3题，前面两项是（x+y-z）,第三项是（z-x-y），它们就是互为相反数。把第三项提一个-1 出来，就可以了。
比如第4题，（2x-y）和（y-2x），也是互为相反数。因为是这是偶数次方，所以，只需要把底数直接变成它的相反数，就好。
这两题，是非常常见的利用因式分解来简便运算的计算题。第5题，不难，就是我们原来做的乘法的分配律的逆运算，提取公因数就好。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
【知识要点】
1．运用公式法：
如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 2．乘法公式逆变形
（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-
（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。 例1、 分解因式：
（1）x 2-9 （2）9x 2
-6x+1
二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：
（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3
三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,
转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.
例3、 分解因式：
(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4
四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利
因式分解培优题(超全面,详细分类)
因式分解培优题(超全面,详细分类)
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，具有多种方法。以下是初中阶段常用的因式分解方法：
1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组
分解法。
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法。
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；
2) $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；
3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；
4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$．
还有以下常用的公式：
5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；
6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；
7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+。
+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；
8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；
9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-。-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
因式分解提公因式法公式法十字相乘法分组分解法
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1.利用因式分解计算：1002-992+982-972+962-952+… +22-12
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…+(2+1)(2-1) =199+195+191 +… +3 =5050
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举一反三：
小结：
用十字相乘法把形如
二次三项式分解因式为的形式
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱)
(x + a )(x + b)
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学以致用
将下列各式分解因式
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试将
分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。
（5）
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分解因式(1)a2－ b2; (2)9a2－4b2;(3) x2y－4y ; (4) －a4 +16.
我优秀
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将下面的多项式分解因式1) m² - 16 2) 4x² - 9y²
=
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。
因式分解(高级篇)十字相乘
总结训练(二)
3、已知 x y 4是 x 2 y 2 mx 3 y 4 的一个因式，求 m的值。
4、求方程 xy x y 2的所有正整数解。
5、因式分解 x 1987x 1986x 1987 。
4 2
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
因式分解分类练习(经典全面)
因式分解分类练习（经典全面）
因式分解练习题（提取公因式）
2
8、 a b - 5ab
9b
3
10、-24x y-12xy 28y
专项训练一：确定下列各多项式的公因式
1、ay ax
2、3mx-6my 2
3、 4a 10ab
3 2
11、-3ma 6ma - 12ma
3 2 2 2 2
12、56x yz 14x y z- 21 xy z
2
4、15a 5a 5
、
2 2 6、12xyz -9x y
7、mx-y n x-y 2
8、x m n y m n
3 2 2 2 3
13、15x y 5x y - 20x y
4 3 2
14、-16x - 32x 56x
3
9、abc(m-n) -ab(m-n) 10、12x(a-b)2-9m(b - a)3
专项训练二：禾U用乘法分配律的逆运算填
空。
1、2兀R+2nr= ____ (R+r)
2、2兀只+ 2兀「=2兀( _)
3、-gt.^-gt2^ (仁2+t22)
4、15a2+25ab2 =5a( )
2 2
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”，使等式成立。
1、x y 二__(x y)
2、b -a 二__(a -b)
2 2
3、-z y=_(y-z)
4、y-x 二_____ (x-y)
5、(y-x)3 =__(x-y)3
6、-(x - y)4 =__(y-x)4
7、(a—b)2n =___(b—a)2n(n为自然数)
8、(a_b)2n*=___(b-a)2n4t(n为自然数
9、1-x(2-y)二___(1-x)(y-2)
2 3 11、(a_b) (b_a)= ____ (a_b)
因式分解分类练习(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式)
专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +
2、36mx my -
3、2410a ab +
4、2155a a +
5、22x y xy -
6、22129xyz x y -
7、()()m x y n x y -+-
8、()()2
x m n y m n +++ 9、3
()()abc m n ab m n --- 10、2
312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+
2、222(______)R r πππ+=
3、2222121211
___()22
gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2
2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、21
21
()
___()
()n n a b b a n ++-=-为自然数
9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优
将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。初中阶段常用的因式分解方法如下：
1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分
解法。
2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、
配方法、待定系数法。
3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；
(4)分组分解法。
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：
1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)
2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2
3) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
以下是几个常用的公式：
5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2
6) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)
7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；
8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；
9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。
(完整版)公式法因式分解分类练习题
公式法因式分解练习题
例1、分解因式：
（1）x2-9 （2）9x2-6x+1
例2、分解因式：
（1）x5y3-x3y5（2）4x3y+4x2y2+xy3
例3、分解因式：
(1)4x2-25y2 (2)4x2-12xy2+9y4
例4、分解因式:
(1)x4-81y4 (2)16x4-72x2y2+81y4
例5、分解因式：
（1）-x2+(2x-3)2 (2)(x+y)2+4-4(x+y) 例6 、分解因式： (x-y)2-4(x-y-1)
例7、分解因式：(x2+4)2-16x2 题型(一)：把下列各式分解因式
1、24
x-2、2
9y
-3、2
1a
-4、22
4x y
-
5、2
125b
-6、222
x y z
-7、22
4
0.01
9
m b
-8、22
1
9
a x
-
9、22
36m n
-10、22
49
x y
-11、22
0.8116
a b
-12、22
2549
p q
-
13、2422
a x
b y
-14、41
x-15、44
16a b
-16、444
1
16
81
a b m
-
题型(二)：把下列各式分解因式
1、22
()()
x p x q
+-+2、22
(32)()
m n m n
+--3、22
16()9()
a b a b
--+ 4、22
9()4()
x y x y
--+5、22
()()
a b c a b c
++-+-6、22
4()
a b c
-+
题型(三)：把下列各式分解因式
1、53
x x
-2、22
4ax ay
-3、3
22
ab ab
-
4、316
x x
-5、24
33
ax ay
-6、2(25)4(52)
x x x
-+-
7、32
4
x xy
-8、343
因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a 2-b 2 (2) 完全平方公式：(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 (3) 立方和公式：a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)
(4) 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
（5）完全立方公式：(a±b)³＝a ³±3a ²b ＋3ab ²±b ³
下面再补充两个常用的公式： (6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 三、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：652++x x 672+-x x
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法等分解因式题型大全
因式分解（1）
一知识点讲解
知识点一：因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
1、寻找公因式的方法：
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++
3.提公因式的步骤：
（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
公因式
原多项式另一个因式=
4.注意事项：因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1：考察因式分解的概念
1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-
B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x
C 、22)4(168-=+-x x x
D 、b a ab 326⋅=
2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A 、2)1(3222++=++x x x
B 、22))((y x y x y x -=-+
C 、222)(y x y xy x -=+-
D 、)(222y x y x -=-
3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）
A 、1)1(21222+-=+-a a a a
人教版八年级上册 因式分解专项练习14.3.1提公因式法(含答案)
人教版八年级上册因式分解专项练习-提公因式法（含答案）1．请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a）（6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
2．因式分解：
（1）3x2﹣6xy+x；（2）﹣4m3+16m2﹣28m；（3）18（a﹣b）2﹣12（b﹣a）3．3．因式分解：－2m3＋8m2－12m；
4．用提公因式法分解多项式：3223048x y x yz -+
5．分解因式：
（1）−4ab −8b 2+10b （2）2(n −m)2−m(m −n)
（3）15y(a −b)2−3y(b −a) （4）6(m −n)3−12(n −m)2
（5）x 2+3x +1=0，求2x 2010+6x 2009+2x 2008的值 6．分解因式：3210()5()ab a b b b a ---
7．把下列各式分解因式：
(1)4x 3-6x 2； (2)2a 2b+5ab+b ； (3)6p(p+q)-4q(p+q)；
(4) (x -1)2-x+1； (5)－3a 2b ＋6ab 2－3ab.
8．把下列各式分解因式：
（1）236x y xy - （2）2332525x y x y -
（4）3241626m m m -+- （4）22(3)3a a --+
（5）23()2()m x y y x --- （6）2318()12()b a b a b ---
因式分解的常用方法及练习题
因式分解的经常使用方法之杨若古兰创作
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本方式之一，它被广泛地利用于初等数学当中，是我们解决很多数学成绩的无力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，进修这些方法与技巧，不但是把握因式分解内容所必须的，而且对于培养先生的解题技能，发展先生的思维能力，都有着十分独特的感化．初中数学教材中次要介绍了提取公因式法、应用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和利用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、应用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中经常使用的公式，例如：
（1）平方差公式：(a+b)(a-b) = a2-b2
(2)完整平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
(3)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
(4)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
（5）完整立方公式：(a±b)³＝a³±3a²b＋3ab²±b³
上面再弥补两个经常使用的公式：
(6)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(7)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1
分析：从“全体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不克不及应用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，是以可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：
把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；
字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：
①常用公式
平方差： 完全平方： 立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：
②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）
（3）十字相乘法
①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成
②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个
因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数
b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212
c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法
①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22
a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
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因式分解：提公因式法
专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +
2、36mx my -
3、2410a ab +
4、2155a a +
5、22x y xy -
6、22129xyz x y -
7、()()m x y n x y -+-
8、()()2
x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+
2、222(______)R r πππ+=
3、2222121211
___()22
gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2
2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-
7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2
3
()()___()a b b a a b --=- 12、2
4
6
()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -
2、2a ab +
3、3246x x -
4、2
82m n mn +
5、2
3
2
2
2515x y x y - 6、2
2
129xyz x y - 7、2
336a y ay y -+
8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+
11、3
2
3612ma ma ma -+- 12、3
2
2
22
561421x yz x y z xy z +-
13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+
专项训练五：把下列各式分解因式。
1、()()x a b y a b +-+
2、5()2()x x y y x y -+-
3、6()4()q p q p p q +-+
4、()()()()m n P q m n p q ++-+-
5、2()()a a b a b -+-
6、2()()x x y y x y ---
7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+
9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+-
11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-
15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a -----
17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+-
19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--
21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
专项训练六、利用因式分解计算。
1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8⨯+⨯-⨯
2、2.186 1.237 1.237 1.186⨯-⨯
3、212019(3)(3)63-+-+⨯
4、198420032003200319841984⨯-⨯
专项训练七：利用因式分解证明下列各题。
1、求证：当n 为整数时，2n n +必能被2整除。
2、证明：2002200120003431037-⨯+⨯能被整除。
3、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除。
专项训练八：利用因式分解解答列各题。
1、22已知a+b=13，ab=40， 求2a b+2ab 的值。
2、32232132
a b ab +==已知，，求a b+2a b +ab 的值。
因式分解：公式法
专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、24x -
2、29y -
3、21a -
4、224x y -
5、2125b -
6、222x y z -
7、2240.019
m b - 8、221
9a x -
9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q -
13、2422a x b y - 14、41x - 15、4
4411681
a b m -
题型(二)：把下列各式分解因式
1、22()()x p x q +-+
2、 22(32)()m n m n +--
3、2216()9()a b a b --+
4、229()4()x y x y --+
5、22()()a b c a b c ++-+-
6、224()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式
1、53x x -
2、224ax ay -
3、322ab ab -
4、316x x -
5、2433ax ay -
6、2(25)4(52)x x x -+-
7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb -
10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、2216()9()mx a b mx a b --+
题型(四)：利用因式分解解答下列各题
1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
2、计算
⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54⨯-⨯ ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910
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