热力学基础习题课

循环过程对外做功： A A1 A2 A3 3.91105 J
熵的增加：
S S1 S2 S3 0
p
p
V
V
V
V
三、循环过程 E 0
p
Q1
A
p
Q1
A
a
Q2
O
V
a
Q2
O
V
正循环： 顺时针
逆循环： 逆时针
W净 Q1 Q2 0
W净 Q2 Q1 0
W净= 曲线所围的面积 Q1 Q2 L Qn
1. 热机循环
p
Q1
A
高温热源 T1
Q1
a Q2
O
V
热机 W
Q2
低温热源 T2
W Q1 Q2
✓ 除碰撞外，分子力可以略去不计 分子的平均平动动能
✓ 分子间及分子和器壁间的碰撞是完全弹性碰撞
分子平均平动动能
1 mv2
2
理想气体压强公式
p 2 n
3
2. 在推导理想气体压 强公式中，体现统计 意义的两条假设是 _____和____ 沿空间各方向运动的 分子数目相等
vx2 vy2 vz2
例：理想气体开始处于T1=300K, p1=3.039105Pa,
V1=4m3状态，先等温膨胀至16m3，接着经过一等体过 程达到某一压强，再经绝热压缩回到初态。设全部
过程都是可逆的且=1.4在P-V图和T-S图上分别画出
上述循环。（2）计算每段过程和循环过程所做的功
和熵变。
解：（1）
dS Q / T
热学
习题课 2014.12.2
第一章 统计物理学
1.理想气体状态方程
pV
M M mol
RT
RT
p nkT
要求牢记，明确式中各参数的意义
2. 理想气体的压强公式(推导) 理想气体的分子模型为：
1. 从分子动理论导出的 压强公式来看, 气体作 用在器壁上的压强, 决
✓ 分子可以看作质点
定于_____和____． 单位体积内的分子数 n,
dN ：v v dv区间内的分子
f (v)
N 数占总分子数的百分比
dN f v dv
N
（1）.速率分布函数：
f v dN
Ndv
表示速率 v 附近单位 速率区间的分子数占分子 总数的百分比 .
dS
o v v dv
v
dS f vdv
v v dv 区间
内的分子数占总分子数
的百分比
f (v)
分子平动动能的平均值
5.重力场中粒子的分布：波尔兹曼能量分布
n
n emgh/ kT 0
p n0kTemgh/kT n0kTegh/RT
h kT ln p0 RT ln p0
mg p g p
忽略 粒子间的相互作 用
6.分子碰撞的统计规律(推导)
分子平均碰撞频率： z 2nd 2
分子平均自由程：
卡诺
1
Q2 Q1
1 T2 T1
高温热源 T1
Q1
致冷机 W
Q2
低温热源 T2
W Q1 Q2 致冷机致冷系数
e Q2 Q2 W Q1 Q2
3. 卡诺循环
p
p1 A
T1 T2
p2
T1
B
p4
p3
DW
T2
C
V
o V1 V4
V2 V3
卡诺循环由两个等温过程和两个 绝热过程组成
卡诺热机
卡诺
1
Nυf
(υ)dυ
表示分子速率在v值附近单位速率区间内的分子数占总分子
数的百分比，也可表示任何一个分子速率在v值附近单位速
率区间内出现的概率。
f (υ)dυ 表示分子速率在 v~v+dv 区间内的分子数占总分子数
的百分比或出现的概率
nf (v)dv N dN dN
VN V
表示单位体积内，分子速率在 v~v+dv 区间内的分子数
Q2 Q1
1 T2 T1
卡诺致冷机
卡诺
Q2 Q1 Q2
T2 T1 T2
4. 热力学第二定律
开利尔用文热表力述学：第不二可定能律从可单证一明热:源吸收热量,使 [卡诺定理] 在之 其相它完同全变的变化高为。温有（热用源的）( 功T过1)和程而不低不可温引逆 起 热源( T2)之间工作的一切热机的效率
5kT / 2 ——双原子气体分子的平均能量
1 RT 23 RT 2
——1/3mol单原子理想气体的内能 ——1mol单原子理想气体的内能
5iRT ——10 mol自由度为 i 的理想气体的内能
4、麦克斯韦速率分布律
（2）.速率分布曲线
dN：v v dv区间内的分子数 （a） f v : v 曲线
C
p
ln
373.15 273.15
4.187 103 ln1.366 1.306 103 J K-1
热源的熵的增量为
S2
100C p 373.15
4.187 105 373.15
1.122 103
J K-1
水和热源的总熵的增加量为
S S1 S2 0.184 103 J K-1
因 S 0 ，所以这个过程是不可逆的。
二、四种过程
过程
等体
等压
等温
绝热
W
0
pV
RT ln V2 V1
p1V1 p2V2 E 1
E
CV T
CV T
0
CV T
Q
CV T
C pT
RT ln V2 V1
0
方程
pV 恒量
p1 T1
p2 T2
恒量
V1 T1
V2 T2
恒量
p1V1
p2V2
恒量
TV 1
恒量
p1T 恒量
p
P-V图
p
第二章 热力学基础
一、热力学第一定律
Q E W
过程量
状态量
状态量只决定于（
而与（
）无关
始末状态，过程
），
系统对外做功 V 0,W 0
外界对系统做功 V 0,W 0
内E能 增量i RT CV T
2
定体摩尔热容
CV
iR 2
定压摩尔热容 C p CV R
迈耶公式(推导过程要掌握)
摩尔热容比 C p / CV 温度升高 T 0, E 0 温度降低 T 0, E 0 系统吸热 Q 0 系统放热 Q 0
υ2
υ1
f
(υ)dυ
表示在速率v1~v2速率区间内，分子出现的概率。
υ2
υ1
Nυf
(υ)dυ
表示分子速率在v1 ~ v 2间隔内的分子数。
v1 ~ v2速率区间内分子的平均速率
v2 vdN
v ' v1 N
v2 vdN / N
v1 N / N
v2 vf v dv
v1
v2 f v dv v1
3 V
31绝热过程，气体对外做功：
A3
1
1
p3V3
p1V1 L
1
循环效率？
1
p3V3
p1V1 p3
p1
V1 V3
p1 4
2
2
5
A3 2
p3V3 p1V1
5 2
p1V3 4
p1V1
3
V
5 2
p1V1
1 4 1
1
1.293 106
J
熵的增加：
S3 S1 S3 0
S
dQ T
孤立系统 自发过程
S 0
不同过程的熵变
过程 等容 等温 等压 绝热可逆过程 绝热自由膨胀
(证明其不可逆)
S
Hale Waihona Puke BaidudQ dT
CvdT T
Cv
ln
T2 T1
PdV T
R
ln
V2 V1
C p dT T
CP
ln
V2 V1
0
PdV T
R
ln
V2 V1
例
CV
3 2
R
Cp
5 2
R
1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循
等，均为 1 k T，这就是能量按自由度均分定理. 2
分子的平均能量
k
i kT 2
质量为 M理想气体的内能
E
M M mol
E0
M M mol
i RT 2
内能随温度的改变
E M i RT M mol 2
试写出下列各式的物理意义：
1 kT 2
——分子每一自由度所均分的能量
i kT 2
——自由度为 i 的分子的平均能量
1
kT
z 2n d 2 2 d 2P
处于重力场中的某种气体，在高度Z 处单位体积内的分
子数即分子数密度为 n 。若f（v）是分子的速率分布函
数，则坐标 x ~x + dx 、y ~ y + dy 、z ~ z + dz 介于区间内，
速率介于v ~v + dv 区间内的分子数 dN =
（
）
nf (v)d v d x d y d z
m2
e 2kT
2
f (v)
fmax
o vp
v
（4）.三种统计速率
最概然速率 v p
2kT m
2RT M
平均速率
v
0
v
f
v
dv
v 8kT 8RT m M
平方平均速率
v2 v2 f v dv 0
方均根速率
vrms
v2
3kT m
3RT M
分布函数和 温度的关系
分子质量相同，
试比较T1和T2的 大小
关于可逆过程和不可逆过程的判断： (1) 可逆热力学过程一定是准静态过． (2) 准静态过程一定是可逆过程． (3) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程． (4) 凡有摩擦的过程,一定是不可逆过程． 以上四种判断，其中正确的是
6 .熵 玻尔兹曼熵公式 克劳修斯熵公式 熵增加原理
S k ln
S1
p1V1
ln
V2 V1
1.685106
Q
V2
pdV
p1V1
T1
T V1
1
T1
J
V2 dV V V1
p1V1 ln V2 5.62103 J.k-1 T1 V1
23等容过程，气体对外做功
1
A2=0
熵的增加：
2
S2 S3 S2 S1 S2
S2 S1 5.62103 J .k1
vp
2kT m
2RT M
Q v p1 v p2 T1 T2
分布函数和分 子质量的关系
温度相同，试比较M1和 M 2的大小
Q vp1 vp2 M1 M2
证明题
例:说明下列各式的物理意义
f (υ)dυ nf (υ)dυ
解： 利用定义分析
υ2
υ1
f
f
(υ)dυ
(υ)
dNυ Ndυ
υ2
υ1
克劳修斯表述：不可1能 把TT12热量从低温物体
其中，取“自=”动时传，到对高应温可物逆体热而机不；引取起“<” 时，对应不可外逆界热的机变。化。 （ ）过程不可逆
5. 可逆过程与不可逆过程
可逆过程：如果逆过程能重复正过程的每 一个状态，而且不引起其他变 化，则该过程称为可逆过程。
不可逆可过逆程过：程如发果生逆的过条程件能：重复正过程的 (1) 过程每为一无个限状缓态变，过但程会；引起其他变 (2) 无耗化散，力则作该功过。程称为不可逆过程。
热机效率
W 1 Q2
Q1
Q1
正循环： 顺时针
逆循环： 逆时针
W净 Q1 Q2 0
W净 Q2 Q1 0
W净= 曲线所围的面积 Q1 Q2 L Qn
1. 热机循环
p
Q1
高温热源 T1
Q1
W Q1 Q2
热机效率
A
热机 W
a Q2
Q2
O
V 低温热源 T2
2. 制冷循环
W 1 Q2
2. 温度的统计解释（推导） 理想气体状态方程
p nkT
宏观量温度与微观量的统计平均值关系
3 kT
2
气体分子的方均根速率
v2 3kT 3RT
m
M mol
温度的统计意义：
气体温度是分子 平均平动动能的 量度
3. 能量均分定理 理想气体的内能
气体处于平衡态时，分子的任何一个自由度的平均动能都相
S
o
v1 v2 v
S
f v2
v1
v
dv
N N
表示速率在 v1 v2
区间的分子数占总分子数的百
分比 .
归一化条件
0
f
v dv
1
（b）Nf v : v曲线
Nf (v)
dS
o v v dv
v
dS Nf vdv
v v dv 区间
内的分子数
（3）.麦氏分布函数
f
4
m 2kT
3/2
Q1
Q1
W Q1 Q2
p
Q1
A
a Q2 O
高温热源 T1
致冷机致冷系数
Q1
致冷机
W
Q2
Q2
W Q1 Q2
V
Q2
低温热源 T2
3. 卡诺循环
p
p1 A
T1 T2
p2
T1
B
p4
p3
DW
T2
C
V
o
2.
致V1 冷V4循环V2
V3
p
Q1
A
a Q2
O
V
卡诺循环由两个等温过程和两个 绝热过程组成
卡诺热机
Ⅰ a
V0
Vc V0
Ⅲ
3V0
pc p0
V
3V0
例:1千克0℃的水和一个100℃的热源接触，当水温达到 100℃时，水的熵增加多少?热源的熵增加多少?水和热源的 总熵增加多少(水的定压比热容为4.187×103J·kg-1·K-1 )?
解 水的熵的增加量为
S1
373.15 C p d T T 273.15
1
T const.
T
1 dT 0
2
Q const.
2
V const.
3 V
dQ 0
3
dS dE CV ,mdT
T
T
S
S(T ) S0 CV ,m ln(T / T0 )
12等温过程，气体对外做功：
V2
A1 pdV V1
熵的增加：
V2 dV
p1V1
V1
V
S1 S2
环，连接ac两点的曲线Ⅲ的方程为 p V /V0 2 p0 ，a点
的温度为T0 。（ 1）试以 T0 、R表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ过程中气
体吸收的热量。（2）求此循环的效率。 P
解：（1）过程Ⅰ：
9P0
b
Ⅱ
c
过过程Q程32IⅢVⅡb：C：52pVbQpEbITIIIIbpV32acTCpaCVapVVb1aT2Tcpa0Vp4Tc3250VTbpRcc0VT102bR5234TT9R5032apRR0TVTc00TaT3b 9TPRc0 T0