人教版小专题(一) 二次根式的性质及运算
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
人教版八年级数学下册期末复习课件：专项训练一 二次根式的性质及运算 (共13张PPT)
专项训练一 二次根式的性质及运算
重难突破
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
类型 1 二次根式的非负性
1．要使 4－a2＝a－4 成立，则 a 的取值范围是
A．a≤4
B．a≤－4
C．a≥4
D．一切实数
2．已知实数 x、y 满足1－x＋ y－2＝0，则代数式(x－y)2019 的值为
A．1
B．－1
C．2019
D．－2019
类型 2 二次根式的化简 6．化简： (1) －144×－169； 解：原式＝ 144×169＝ 144× 169＝12×13＝156. (2)－13 225； 解：原式＝－13×15＝－5.
(3)－12 1024×5； 解：原式＝－12 322×5＝－12×32 5＝－16 5. (4) 18m2n.
11．计算： (1)14－1－ 12＋( 2＋1)( 2－1)＋ 2× 18； 解：原式＝4－2 3＋2－1＋ 2×3 2＝5－2 3＋6＝11－2 3. (2)(1＋ 3)( 2－ 6)－(2 3－1)2.
解：原式＝ 2－ 6＋ 6－3 2－(12－4 3＋1)＝－2 2－12＋4 3－1＝－2 2＋ 4 3－13.
解：根据新定义，得 7※( 2※ 3)＝ 7※ 3＝ 72－ 32＝ 7－3＝2.
15．先化简，再求值：6x xy＋3y xy3－4y xy＋ 36xy，其中 x＝ 21－1，y＝ 1 2＋1.
解：原式＝(6 xy＋3 xy)－(4 xy＋6 xy)＝－ xy.∵x＝ 21－1＝ 2＋1，y＝ 21＋1＝ 2－1，∴－ xy＝－ 2＋1 2－1＝－1.
解：∵a＝
2＋1，b＝
2－1，∴a＋b＝2
2，a－b＝2，ab＝
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
人教版八年级数学下册专题01 二次根式的有关概念和性质 题型归纳 (解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质【思维导图】◎考点题型1 求二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =时, ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B 【解析】 【分析】把0x = 【详解】解：把0x =2= 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质,能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．变式1．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3 时, ）A ．3B ．－3C ．±3D 【答案】A【分析】把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解. 【详解】解：当x ＝－3时3=. 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式的计算,正确理解算术平方根的意义是关键. 变式2．（2020·北京·一模）如果31a ,那么代数式21(1)11aa a +÷--的值为（ ）A ．3BCD 2【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式=()()111a a a a a ÷--+=()()1111a a a a a a-+⨯=+-；当31a时,原式11+=故选：B ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,属于常考题型,熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．变式3．（2020·湖北鄂城· ）A B ．2 C ．22 D ．2±【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方和开方的运算法则进行计算即可． 【详解】2=故答案为：B ．本题考查了开方和乘方的运算问题,掌握乘方和开方的运算法则是解题的关键．◎考点题型2 求二次根式中的参数例．（山东阳谷·,则正整数n的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】【分析】,=则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6．【详解】解：24n=,∴,即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件,二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答变式1．（全国·,最小的正整数n是（）A．6B．3C．4D．2【答案】B【解析】【分析】根据题意,算数平方根是正整数,可得被开方数是能开方的正整数．【详解】是正整数,所以n 的最小正整数是3,故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义,利用开方运算是解答本题的关键．变式2．（2020·四川三台·,则正整数n 的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】,然后再判断n 的最小正整数值． 【详解】=,,则也是整数； ∴n 的最小正整数值是3； 故选B ． 【点睛】变式3．（2020·江西南丰·20b -=,则2019()a b +的值是（ ）． A ．1 B ．－1C ．2019D ．－2019【答案】B 【解析】 【分析】利用非负数的性质列出方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,代入原式计算即可求出值． 【详解】20b -=,∴3020a b +=⎧⎨-=⎩, ∴32a b =-⎧⎨=⎩, ∴20192019()(32)1a b +=-+=-, 故选择：B. 【点睛】此题考查了非负数的性质及二元一次方程组,熟练掌握几个非负数的和为零,则每一个非负数都为零是解本题的关键．◎考点题型3 二次根式有意义的条件例．（2022·河北·在实数范围内有意义,则x 的值可能为（ ） A ．0 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】,可列不等式组10,10x x 得到不等式组的解集,再逐一分析各选项即可. 【详解】解： , 1010x x ①②由①得：1,x ≥ 由②得：1,x ≠- 所以：1,x ≥故A,B,C 不符合题意,D 符合题意, 故选D 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.变式1．（2022·湖南岳阳·,则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥- B ．0x ≠C ．1≥xD ．0x >【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答．解：由题意得10x -≥, 解得1≥x , 故选：C ． 【点睛】此题考查了二次根式的非负数,解题的关键是熟练掌握二次根式的双重非负性列式进行解答．变式2．（2022·福建惠安·有意义,则x 的取值范围为（ ） A ．1x ≥- B ．1x >- C ．1≥x D ．1x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可． 【详解】, ∴10x +≥ 解得1x ≥- 故选A 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,理解被开方数为非负数是解题的关键．变式3中x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ≥﹣2C ．x ≠2D ．x ≥﹣2且x ≠2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：20x +≥且20x -≠,解得：2x ≥-且2x ≠； 故选D ．本题主要考查二次根式及分式有意义的条件,熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．◎考点题型4 利用二次根式的性质化简例．（2022·贵州松桃·八年级期末）下列各式中正确的是（ ）A 2=-B 2=±C ．22= D ．(22=-【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可依次判断． 【详解】A. 2,故错误；B. 2=,故错误；C.22=,正确；D. (22=,故错误；故选C ． 【点睛】此题主要考查二次根式的计算,解题的关键是熟知二次根式的性质．变式1．（2022·江苏·2x =-成立,则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．2x ≥C ．02x ≤≤D ．任意实数【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解． 【详解】22x x =-=-∴x -2≤0故选A ． 【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法． 变式2．（上海奉贤·七年级期末）下列计算错误的是（ ）A 2=-B 2C 2D ．2(2=【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则化简,进而判断即可． 【详解】解：A 2,故此选项计算错误,符合题意；B 2=,故此选项计算正确,不合题意；C 2=,故此选项计算正确,不合题意；D ．2(2=,故此选项计算正确,不合题意； 故选：A ． 【点睛】此题考查了二次根式的性质及二次根式的乘法运算法则,熟记乘法法则是解题的关键．变式3．（2022·2的结果是（ ） A ．61x -- B ．1-C ．61x +D ．1【答案】D 【解析】 【分析】x 的取值范围,,利用二次根式的性质去根号,然后合并同类项即可． 【详解】0x ≥∴31=+x故原式化简为：3131x x +-=． 故选：D ． 【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质,熟练掌握二次根式的性质,求解该题的关键．◎考点题型5 复合二次根式的化简例．（浙江滨江·八年级期中）对式子,使根号外不含字母m ,正确的结果是（ ）A B ．C ．D 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：30m -≥,∴0m ≤∴=故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式1．（河南原阳· ）AB C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x 的取值,从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x ＜0∴(11x x x⋅=⋅-故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的化简,理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键．变式2．（湖北鄂州·八年级期末）把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内,得（ ）AB C ． D ．【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意得： 102x >-,解得：x>2,∴(2x -= 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质,熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．变式3．（2018·全国·2得（ ） A ．2 B ．﹣4x+4C ．xD ．5x ﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解可得答案. 【详解】解:1-3x≥0,x≤13,∴2x-1≤1-3＜0,∴原式-(1-3x)=1-2x-1+3x=x, 故选C. 【点睛】主要考查了根据二次根式的意义及化简.:当a ＞0时=a;当a<0时,=-a.二次根式2=a,(a≥0).。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
九年级数学上人教版《二次根式》课堂笔记
《二次根式》课堂笔记
一、二次根式的定义
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
3.公式法：利用平方差公式把一个数分解为两数乘积的形式，然后用直接开
方法求出这个数的平方根。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
人教版八年级数学下第十六章二次根式专题一 二次根式的性质及其运算习题课件
八年级 数学 下册 人教版
3．已知实数 a 满足|2 018－a|＋ a－2 019＝a，求 a－2 0182 的值． 解：由题意得 a－2 019≥0， ∴a≥2 019，∴2 018－a＜0. ∴原式可以变形为 a－2 018＋ a－2 019＝a. ∴ a－2 019＝2 018. ∴a－2 019＝2 0182. ∴a－2 0182＝2 019.
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解：∵点 C 与点 B 关于点 A 对称，
∴|AC|＝|AB|，即 1－x＝ 2－1，
∴x＝2－ 2，
2
2
∴|x－ 2|＋x＝|2－ 2－ 2|＋2－ 2
2（2＋ 2） ＝|2－2 2|＋（2－ 2）（2＋ 2）
＝2 2－2＋2＋ 2＝3 2.
∴x＋1x＝6，
∴x＋1x2＝36，x2＋x12＝34， ∴ x2＋x12＋14＝ 34＋14＝ 48＝4 3.
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10．(荆门中考)先化简，再求值：
a2－b2
a－b a
a2－2ab＋b2·a＋b－a－b，其中 a＝1＋ 3，b＝1－ 3.
（a＋b）（a－b） a－b a 解：原式＝ （a－b）2 ·a＋b－a－b
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2．已知 x，y 为实数，且 y＝ x2－9－ 9－x2＋4，求 x－y 的值． 解：依题意有 x2－9≥0，9－x2≥0， ∴x2－9＝0， ∴x＝±3，y＝4. 当 x＝3 时，x－y＝3－4＝－1； 当 x＝－3 时，x－y＝－3－4＝－7. ∴x－y 的值为－1 或－7.
(5)(3＋ 2)2(3－ 2)－(3－ 2)2(3＋ 2)； 解：原式＝(3＋ 2)(3－ 2)[(3＋ 2)－(3－ 2)] ＝(9－2)×2 2 ＝14 2.
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
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二次根式详解【知识回顾】1. 二次根式：式子..a ( a > 0)叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根式。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：a ( a > 0)0 ( a =0)；a ( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律, 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.{Vab =4a •b (a >0 b >0)；?乘法对加法的分配律以及1、概念与性质例 1 下列各式 1） 5,2）兀，3） . X 2—2,4）忆5）.. （ 3）2,6） .R,7） a 2其中是二次根式的是 _________ 序号）. 例2、求下列二次根式中字母的取值范围x 51（1） 3 x ； （ 2）(2009 龙岩)已知数 a , b ，若(a b)2 =b — a ,贝V ()2、二次根式的化简与计算例1.将』｛「根号外的a 移到根号内，得（）A.: I ； B.—叮」；C. — ,；■； D. j >例2.把（a — b ） •• — a —b 化成最简二次根式斤 I-(3^2 - M)(辺 4 2间例3、计算：■'1【典型例题】2a 1 ,v(x-2)2A .y v1 8x 4、已知：8x 1x y2的值。
二次根式知识点总结大全
二次根式知识点总结大全二次根式是含有平方根的代数表达式，在高中数学中，学习和掌握二次根式的相关知识点是非常重要的。
下面是二次根式的知识点总结：一、二次根式的定义与性质1.定义：二次根式是形如√a的代数式，其中a为非负实数。
2.平方根的性质：a)非负实数的平方根是唯一的。
b)负实数不能作为平方根。
3.二次根式的性质：a)如果a≥0，则√a≥0。
即非负数的平方根是非负数。
b)如果a≥b≥0，则√a≥√b。
c)如果a>b≥0，则√a>√b。
二、二次根式的化简与运算1.化简二次根式：a) 利用化简公式√(ab) = √a · √b，可以将二次根式中的因数分解为二个较简单的二次根式。
b)利用化简公式√(a/b)=√a/√b，可以将二次根式中的因式进行有理化，即分子或分母有理化。
2.二次根式的四则运算：a)加减：对于同根号下的项，进行加减运算，其他项保持不变。
b)乘法：将同根号下的对应项相乘，其他项保持不变。
c)除法：将被除数和除数分别有理化后进行除法运算。
三、二次根式的大小比较1.二次根式的大小比较：a)在同号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分大小比较一致。
b)在异号的情况下，二次根式的大小比较与内部的实数部分的大小关系相反。
2. 已知ab≥0，√a ≥ √b的条件：a)若a≥0，b≥0，则√a≥√b。
b)若a<0，b<0，则√a≤√b。
c)若a<0，b≥0，则√a≤√b。
d)若a≥0，b<0，则√a≥√b。
四、求二次根式的值1.简单二次根式的值：如求√4的值等，可以直接得到结果。
2.复杂二次根式的值：如求√(2+√3)的值等，可以通过有理化的方法，先进行化简，再进行求值。
五、二次根式的应用1.几何应用：二次根式可以用来计算各种几何图形的边长、面积、体积等。
2.物理应用：在物理学中，二次根式可以用来求解力、速度、加速度等物理量。
3.经济应用：在经济学中，二次根式可以用来描述成本、效益等经济指标。
二次根式的计算与性质
二次根式的计算与性质二次根式是数学中的一个重要概念，在许多数学问题的解答中经常涉及。
它的计算和性质具有一定的规律和特点。
本文将深入探讨二次根式的计算方法和性质，并结合实例进行说明。
一、二次根式的定义与基本性质二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数，是它的被开方数。
二次根式具有以下基本性质：1. 当a≥0时，二次根式有意义。
2. 当a＞0时，√a＞0。
3. 当a＞b≥0时，有√a＞√b。
4. 二次根式的平方等于被开方数本身。
二、二次根式的四则运算1. 二次根式的加减运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ± √b = √(a ± b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√8 + √2。
解：√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。
2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a × √b = √(a × b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√3 × √5。
解：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。
3. 二次根式的除法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。
这意味着可以通过合并二次根式进行简化。
举例：（1）化简√16 ÷ √4。
解：√16 ÷ √4 = √(16 ÷ 4) = √4 = 2。
三、二次根式的化简与有理化1. 化简二次根式：对于二次根式√a，可以通过确定a的因式分解式来进行化简。
举例：（1）化简√72。
解：√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = √(2^2 × 3^2) = 2√2 × 3 = 6√2。
二次根式的计算与性质
二次根式的计算与性质二次根式是数学中一种常见的形式，通过计算和分析二次根式的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
本文将通过一些例子和问题，介绍二次根式的计算方法和性质。
一、二次根式的计算1. 简单的二次根式计算对于简单的二次根式，可以直接计算得出结果。
例如，计算√4，我们知道4的平方根是2，因此√4=2。
2. 一般形式的二次根式计算当二次根式的被开方数不是一个完全平方数时，我们需要将其化简或使用近似值进行计算。
例如，计算√7，由于7不是一个完全平方数，我们无法直接得到结果。
可以将其近似为√7≈2.646，保留合适的位数。
3. 二次根式的有理化有些二次根式不方便计算，我们需要进行有理化处理。
有理化就是将一个含有二次根式的表达式通过变换，使其的分母不再含有二次根式。
例如，对于√3/√2，我们可以将其有理化为(√3/√2)*(√2/√2)=(√6)/2。
二、二次根式的性质1. 二次根式的加减性质当两个二次根式的被开方数相同，并且根号内的系数也相同时，可以进行加减运算。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。
2. 二次根式的乘除性质两个二次根式相乘，可以将被开方数相乘，并将系数相乘。
例如，√2*√3=√6，(2√2)*(3√5)=6√10。
两个二次根式相除，可以将被开方数相除，并将系数相除。
例如，√6/√2=√3，(6√10)/(3√5)=2。
3. 二次根式的整数幂性质当一个二次根式的整数幂为偶数时，结果为被开方数的整数幂。
例如，(√2)^2=2，(√3)^4=9。
当一个二次根式的整数幂为奇数时，结果为被开方数的整数幂乘以一个二次根式。
例如，(√2)^3=2√2，(√3)^5=3√3。
4. 二次根式的比较性质当两个二次根式的被开方数和根号内的系数相等时，它们是相等的。
例如，√2=√2，2√3=2√3。
但是，当被开方数相等而系数不等时，二次根式是不等的。
例如，2√2≠3√2。
结论：通过以上的计算和分析，我们可以得出以下结论：1. 二次根式可以通过简单的计算方法和有理化处理进行计算。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。
在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。
本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。
一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。
2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。
b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。
c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。
d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。
二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。
常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。
例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。
例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。
例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程
二次根式的定义性质以及简化与化简的方法并通过示例演示二次根式的应用过程二次根式是高中数学中的一个重要知识点，它具有广泛的应用背景。
本文将从定义、性质以及简化与化简的方法三个方面来介绍二次根式，并通过示例演示其应用过程。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
√a读作"根号a"，表示a的非负平方根。
例如，√9=3，√16=4。
二次根式的定义性质：1. 非负性质：√a≥0，即二次根式的值不小于零。
2. 封闭性质：如果a≥0，那么√a也是非负实数。
二、二次根式的性质了解二次根式的性质，有助于我们在运算过程中灵活应用。
以下是二次根式的常见性质：1. 拆分性质：√(a×b)=√a × √b，其中a、b分别为非负实数。
这意味着我们可以将根号下的乘法拆分为两个根号的乘积。
2. 合并性质：√(a+b)≠√a + √b。
二次根式不满足普通的加法性质，不能将根号下的两个数相加。
3. 有理化性质：有时候会遇到分子或分母含有二次根式的分数。
为了消除分母中的二次根式，可以采用有理化的方法，即将二次根式的分母有理化为有理数。
三、二次根式的简化与化简方法简化二次根式意味着将二次根式转化为最简形式，即化简得去掉根号下的平方数。
化简二次根式的方法：1. 分解质因数法：将根号下的数按照质因数分解，然后将成对的质因数提取出来，剩下的数保留在根号内。
例如，对于√72，我们可以将72分解为2^3 × 3^2，然后取出成对的2和3，得到2 × 3√2，即简化为2√2。
2. 合并同类项法：对于根号下的数，如果有相同的因子，可以将它们合并在一起。
例如，√27 = √(3^3) = 3√3。
3. 有理化分母法：对于含分母的二次根式，可以通过有理化的方法将分母有理化为有理数。
假设要化简的二次根式为1/√2，我们可采用乘以√2/√2的方式，得到1/√2 × √2/√2 = √2/2，即化简为√2/2。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它涉及到了根号以及平方等运算，具有一些特殊的性质和计算规律。
本文将介绍二次根式的一些基本性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
被开方数的值必须大于等于零，否则二次根式就没有意义。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值：对于二次根式√a，它的值是满足b^2 = a的非负实数b。
例如，√9的值是3，因为3^2等于9。
2. 二次根式的性质：(a) 任意非负实数a和b，有以下性质成立：a)√(a*b) = √a * √b；b)√(a/b) = √a / √b。
(b) 对于任意的非负实数a和b，有以下性质成立：a) √(a + b) ≠ √a + √b；b) √(a - b) ≠ √a - √b。
(c) 对于任意非负实数a，有以下性质成立：a) √(a^2) = |a|。
3. 二次根式的化简：当被开方数是特殊形式时，我们可以通过化简来简化二次根式的计算。
常见的化简规则包括：(a) 约分：如果被开方数能够被某个因数整除，那么可以将该因数提出到根号外。
(b) 分解因式：将被开方数分解成多个因数的乘积，然后将相同的因数提出到根号外。
(c) 完全平方数：如果被开方数是一个完全平方数，那么可以直接将其开方并化简。
三、二次根式的基本计算方法1. 二次根式的加减法：当两个二次根式相加或相减时，如果它们的被开方数相同，那么可以直接将系数相加或相减，并保持根号下的数不变。
例如，√3 + √3 =2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
2. 二次根式的乘法：当两个二次根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并保持根号下的数不变。
例如，√3 * √5 = √15，√2 * √2 = 2。
3. 二次根式的除法：当两个二次根式相除时，可以将它们的被开方数相除，并保持根号下的数不变。
二次根式的性质与计算
二次根式的性质与计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数表达式和方程求解中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的性质，并探讨如何进行二次根式的计算。
一、二次根式的性质1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。
根号下面的数称为被开方数。
2. 化简与合并：当被开方数是一个常数时，我们可以化简二次根式来得到一个最简形式，并且对不同的二次根式可以进行合并操作。
例如：√4 = 2√9 = 3√(4+9) = √133. 乘法与除法：二次根式之间可以进行乘法和除法运算，其中乘法的规则如下：√a * √b = √(a*b)同理，除法的规则如下：√a / √b = √(a/b)√2 * √3 = √(2*3) = √6√6 / √2 = √(6/2) = √34. 有理化：有理化是指将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。
有理化的方法是将分子和分母同时乘以分母的共轭形式。
例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3)(√2 - √3))= (√2 - √3) / (2 - 3)= (√2 - √3) / (-1)= -√2 + √3二、二次根式的计算1. 加法与减法：二次根式之间可以进行加法和减法运算，只要它们的被开方数相同。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √3 = √5 - √3 （无法合并）2. 乘法：二次根式之间可以进行乘法运算，根据乘法规则，我们可以将二次根式的被开方数相乘，并将结果开方。
√2 * √3 = √63. 除法：二次根式之间可以进行除法运算，根据除法规则，我们可以将二次根式的被开方数相除，并将结果开方。
例如：√6 / √2 = √(6/2) = √34. 分式运算：在分式的计算中，二次根式可以作为分子或者分母出现。
我们可以按照有理化的方法将分母有二次根式的分式转化为分母为有理数的分式，然后进行简化计算。
例如：1 / (√2 + √3) = -√2 + √3结论：二次根式拥有多种性质，我们可以通过化简合并、乘法、除法和有理化等运算来对二次根式进行计算。
二次根式的定义和基本性质
二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。
它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。
在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。
二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。
当x小于0时，√x是一个虚数。
在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。
基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。
例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。
例如，√4小于√9，因为4小于9。
通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。
例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。
需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。
虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。
初中数学知识归纳二次根式的运算
初中数学知识归纳二次根式的运算初中数学知识归纳：二次根式的运算在初中数学学习中，我们经常会遇到二次根式的运算。
二次根式是形如√a的表达式，其中a表示一个非负实数。
本文将系统地归纳二次根式的运算规则和相关性质，以帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、二次根式的基本概念和性质1. 根式和指数在数学中，根式是表示以某数为底数的幂的逆运算。
根式的指数决定了根式的次数。
例如，√4表示以4为底数的平方根。
2. 平方根和立方根平方根是二次根式的一种特殊形式，表示以某数为底数的平方根。
立方根是三次根式的一种特殊形式，表示以某数为底数的立方根。
3. 二次根式的化简当二次根式内的数不含有平方数因子时，可以将其化简为最简形式。
化简的方法是提出平方因子并进行运算。
例如，√4=2。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法当二次根式的底数相同时，可以进行加减运算。
运算时只需保留底数不变，将指数相同的根式合并，并对系数进行加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算是指数运算的应用，使用乘法法则。
将二次根式的底数相乘，并将指数相加，最后进行化简。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法二次根式的除法运算类似于乘法运算，将二次根式的底数相除，并将指数相减。
最后进行化简。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的乘方运算二次根式的乘方运算是指数运算的应用，使用乘方法则。
将二次根式的底数进行乘方，并将指数与根指数相乘。
最后进行化简。
例如，(√2)^2 = √(2^2) = √4 = 2。
三、二次根式运算的简单应用1. 二次根式的混合运算当二次根式与整数或其他数混合运算时，根据运算法则，首先进行纯粹的二次根式运算，然后再与其他数进行相应的运算。
例如，2√3 + 5 = 2√3 + 5√1 = 2√3 + 5√3 = 7√3。
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解：原式＝ （x＋y）2x（x－y）·y(x＋y)
＝x2－xyy．
当 x＝ 5＋2，y＝ 5－2 时，
原式＝2（
5＋2）（ 5－2） 5＋2－ 5＋2
＝21．
11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一 个式子的平方，如 3＋2 2＝(1＋ 2)2，善于思考的小明进行了以下探 索：
6．计算： (1)(2019·南充)(1－π)0＋| 2－ 3|－ 12＋( 12)－1； 解：原式＝1＋ 3－ 2－2 3＋ 2 ＝1－ 3．
(2)|2－ 5|－ 2×( 18－ 210)＋23．
解：原式＝ 5－2－21＋ 5＋32 ＝2 5－1．
类型 3 与二次根式有关பைடு நூலகம்化简求值 7．已知 a＝3＋2 2，b＝3－2 2，求 a2b－ab2 的值．
(3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解：根据题意，得a4＝＝m2m2＋n. 3n2， ∵2mn＝4，且 m，n 为正整数， ∴m＝2，n＝1 或 m＝1，n＝2． ∴a＝7 或 13．
(3)3 54×(－
8 9)÷7
115；
解：原式＝3×(－1)×
54×98÷7
1 15
＝－3 48÷7
6 5
＝－73 48×56
＝－76 10．
(4)( 12－4 18)－(3 13－4 0.5)； 解：原式＝2 3－ 2－ 3＋2 2 ＝ 3＋ 2． (5)(3 2－ 6)2－(－3 2－ 6)2． 解：原式＝(3 2－ 6)2－(3 2＋ 6)2 ＝18＋6－12 3－(18＋6＋12 3) ＝－24 3．
9．(2018·徐州)已知 x＝ 3＋1，求 x2－2x－3 的值． 解：x2－2x－3＝x2－2x＋1－4 ＝(x－1)2－4． 当 x＝ 3＋1 时， 原式＝( 3＋1－1)2－4 ＝3－4 ＝－1．
10．先化简，再求值：(x＋1 y＋x－1 y)÷xy＋1 y2，其中 x＝ 5＋2，y ＝ 5－2．
类型 2 二次根式的运算 4．计算： (1)6 2×13 6； 解：原式＝(6×13) 2×6 ＝2 12 ＝4 3．
(2)(－4 5)÷5 145；
解：原式＝－4
5÷(5×3
5 5)
＝－4 5÷3 5
＝－34．
(3) 72－32 2＋2 18； 解：原式＝6 2－23 2＋6 2 ＝221 2．
数学 第十六章 二次根式
小专题(一) 二次根式的性质及运算
类型 1 二次根式的非负性
1．(2018·广东)已知 a－b＋|b－1|＝0，则 a＋1＝ 2 ． 1
2．当 x＝ 5 时， 5x－1＋4 的值最小，最小值是 4 ．
3．(2019·河南期末)若 y＝ x－3＋ 3－x＋4，则 xy 的平方根 是 ±9 ．
解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)． 当 a＝3＋2 2，b＝3－2 2时， 原式＝(3＋2 2)(3－2 2)(3＋2 2－3＋2 2) ＝4 2．
8．已知实数 a，b，定义“★”运算规则如下：a★b＝ b（a2a－≤bb2（）a，>b），求 7★( 2★ 3)的值．
解：由题意，得 2★ 3＝ 3． ∴ 7★( 2★ 3)＝ 7★ 3＝ 7－3＝2．
设 a＋b 2＝(m＋n 2)2(其中 a，b，m，n 均为正整数)，则有 a＋ b 2＝m2＋2n2＋2 2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a＝ m2＋3n2 ，b＝ 2mn ； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：4 ＋2 3 ＝ ( 1 ＋ 3)2；( 答案不唯一 )
(4)(2 5＋ 3)×(2 5－ 3)．
解：原式＝(2 5)2－( 3)2 ＝20－3 ＝17．
5．计算：
(1)3 34÷(－21 123)；
解：原式＝[3÷(－12)]
35 4÷3
＝－6
9 20
＝－6
9×5 20×5
＝－95 5．
(2)( 6＋ 10× 15)× 3；
解：原式＝3 2＋5 6× 3 ＝3 2＋15 2 ＝18 2．