勾股定理单元测试题
八年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）
⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是⽹格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了⽶.(假设绳⼦是直的)三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满⾜两⼩边的平⽅和等于最长边的平⽅.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直⾓三⾓形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正⽅形的⾯积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直⾓三⾓形的两条直⾓边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直⾓三⾓形AHB中，利⽤勾股定理进⾏解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正⽅形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直⾓三⾓形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨【分析】画出直⾓三⾓形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101⼨.故选：B.7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出⽰意图，设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利⽤勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平⽅＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平⽅＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直⾓三⾓形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直⾓三⾓形，运⽤勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利⽤锐⾓三⾓函数的定义求出AC的长与200m相⽐较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪⾳影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200⽶，∵∠QON＝30°，OA＝240⽶，∴AC＝120⽶，当⽕车到B点时对A处产⽣噪⾳影响，此时AB＝200⽶，∵AB＝200⽶，AC＝120⽶，∴由勾股定理得：BC＝160⽶，CD＝160⽶，即BD＝320⽶，∵⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶【分析】⾸先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17⽶，得出EF＝EM﹣FM ＝AC﹣BD＝7⽶，求出BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12⽶，OM＝OF+FM＝15⽶，由勾股定理求出ON＝OA＝13⽶，进⽽求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所⽰：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(⽶)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(⽶)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17⽶，∴2OE＝17﹣7＝10(⽶)，∴BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(⽶)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(⽶)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(⽶)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(⽶).故选：A.⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，⼀是把两边长都看作直⾓边，⼆是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直⾓边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三⾓形ABC为直⾓三⾓形，利⽤勾股定理列出关系式，结合正⽅形⾯积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直⾓三⾓形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为100.【分析】根据正⽅形的⾯积可得两个正⽅形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直⾓三⾓形的两条直⾓边长，进⽽求解.【解答】解：∵正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所⽤细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，利⽤它的⾯积：斜边×⾼÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的⾼.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，最长边是13，设斜边上的⾼为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是⽹格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三⾓形外⾓的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9⽶.(假设绳⼦是直的)【分析】在Rt△ABC中，利⽤勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利⽤勾股定理计算出AD长，再利⽤BD ＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17⽶，AC＝8⽶，∴AB＝＝＝15(⽶)，∵此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(⽶)，∴AD＝＝＝6(⽶)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(⽶)，答：船向岸边移动了9⽶.故答案为：9.三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直⾓三⾓形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据⾓平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三⾓形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据⼤三⾓形的⾯积等于三个⼩三⾓形的⾯积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进⾏推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800⽶，求得PQ＝1600⽶，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车⾏驶到P点开始影响村庄，⾏驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000⽶，AB＝600⽶，∴BP＝BQ＝⽶，∴PQ＝1600⽶，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD。
勾股定理单元测试卷及参考答案
勾股定理章节测试（A 卷）（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题(每题3分，共30分)第3题图 第6题图4. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．三内角之比为1:2:3B ．三边长的平方比为1:2:3C ．三边长之比为3:4:5D ．三内角之比为3:4:55. 如图，在单位正方形组成的网格图中有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） A ．CD ，EF ，GH B ．AB ，EF ，GH C ．AB ，CD ，GH D ．AB ，CD ，EF6. 若直角三角形的两直角边长为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则下列各式一定成立的是（ ）A ．B ．2ab h =222a b h +=ABCDE F GHDC BA lA′BAC ．D ．7. 如图，A ，B 是直线l 同侧的两点，作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B ．若点A ，B到直线l 的距离分别为2和3，则线段AB 与A′B 之间的数量关系为（ ） A ．B ．C ．D ．8. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°9. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10B．C ．10或D ．10或10. 如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB =4，AO=AC 的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9111a b h+=222111a b h+=2213A B AB '-=2224A B AB '-=2225A B AB '+=2226A B AB '+=FE D CBA432432ECABDO二、填空题(每题3分，共18分)11. 已知△ABC 的周长是26，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________．12. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'，且B'C =3，则CN =______，AM =______.则线段AD 的长为_________．第14题图 第15题图15. 如图，四边形A B C D 是正方形，直线l 1，l 2，l 3分别过A ，B ，C 三点，且l 1△l 2△l 3，若l 1与l 2之间的距离为4，l 2与l 3之间的距离为5，则正方形ABCD 的面积为________．16. 如图，在△ACB 中，AB =AC ，△BAC =90°，D 为AC 的中点，AE △BD 于N ，CM △AE 交AE 的延长线于点M ，连接DE ．则下列结论：△△MAC =△DBA ；△BN -CM =MN ；△△ADB =△CDE ；△BD =AE +ED ．其中正确的有______________（填写序号），并证明.EDC BA DCBAl 3l 2l 1NME D CBA三．解答题17. (5分)如图，在四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，且∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．18. (5分)如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B 处，再由B 跑到C ，已知两只猴子所经路程都是15m ，求树高AB ．19. (6分)如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．若AD =5，BD =12，求DE 的长．A BCDE DC AB20. (6分)如图，在直角三角形纸片ABC 中，AB =15cm ，AC =9cm ，BC =12cm ，现将直角边AC 沿过点A 的直线折叠，使它落在AB 边上．若折痕交BC 于点D ，点C 落在点E 处，你能求出BD 的长吗？请写出求解过程．21. (8分)如图，在三角形ABC 中，AC ＝BC ，点O 为AB 的中点，AC△BC ，△MON ＝45°，求证：CN+MN ＝AM ．22. (8分)如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA △AB 于A ，CB △AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ．现要在铁路AB 上建设一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 多少千米处？23. 如图，△ABC 中，AB=AC,△ACB=90°，D 、E 在线段AB 上，且△DCE=45°，求证DE 2=AD 2+BE 2E DCBADCBA24. (12分)已知：如图，在△ABC 中，△A =90°，AB =AC ，BD 平分△ABC ，CE △BD 交BD 的延长线于点E ．求证：CE 12BD ．扩展结论：1.△AED=45°；2.BE=(1+2)EC25. (12分)如图，Rt △CEF 中，∠C ＝90°，∠CEF ，∠CFE 外角平分线交于点A ，过点A分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）∠EAF ＝ °（直接写出结果不写解答过程）； （2）若BE ＝EC ＝3，求DF 的长．（3）如图（2），在△PQR 中，∠QPR ＝45°，高PH ＝5，QH ＝2，则HR 的长度是EDCB A参考答案11.39 12.4 2 13.9 14.5cm 15.41 16.△△△△17.36cm2 18. 15m 19.13 20.7.5cm21.提示：连接OC，在AM上取点H，使AH=CN，证明△OMN≌△OMH可证.22.10km23.方法一：旋转将△ACD绕点C逆时针旋转90°至△ABG，连接EG，易知△ACD=△BCG，△ACD+△BCE=45°，得△BCG+△BCE=45°即△GCE=45°，同时CG=DE，CE=CE，故△CDE△△CGE，EG=DE，而△CBG=△A=45°得△GBE=90°，故EG2=BE2+BG2,即有DE2=AD2+BE2方法二：对称法取点A关于CD的对称点F，连接EF、CF，易知△ACD△△FCD，CF=CA，DF=AD，△CFD=△A=45°而AC=BC，得BC=CF，同时△ACD=△FCD，△ACD+△BCE=45°,△CDF+△FCE=45°得△ECB=△ECF，又CE=CE，故△BCE△△FCE，EF=BE，△CFE=△B=45°，得△DFE=90°，DE2=DF2+EF2，故DE2=AD2+BE21524.(1)45°(2)DF=2 (3)7。
第18章《勾股定理》单元检测试卷(含答案)
第18章勾股定理单元测试一、选择题1.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）．A. 1、2、3B. 2、3、4C. 3、4、5D. 4、5、62.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A. 斜边长为25B. 三角形周长为25C. 斜边长为5D. 三角形面积为203.如图，已知O为圆锥的顶点，MN为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M点出发，绕圆锥侧面爬行到N点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（）A. B.C. D.4.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A. 9mB. 7mC. 5mD. 3m5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= ，则BC的长为（）A. ﹣1B. +1C. ﹣1D. +16.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中正方形顶点A、B在围成的正方体中的距离是（）A. 0B. 1C.D.7.适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2 ；④∠A=38°，∠B=52°．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12B. 13C. 144D. 1949.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm210.如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A.20B.25C.30D.3211.如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（◆）A. 40 cmB. cmC. 20 cmD. cm二、填空题12.如图，有一圆柱体，它的高为8cm，底面周长为12cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是________ cm．13.请写出两组勾股数：________、________．14.如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是________．15. 北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是________16.已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距________ km．17.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为________18.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为________ ．19.学校有一块长方形的花圃如右图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！20.如图，长为12cm的弹性皮筋直放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升8cm至D点，则弹性皮筋被拉长了________．21. 在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为________三、解答题22.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积．23.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，求四边形ABCD的面积．24.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．25.我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．参考答案一、选择题C CD D D C C C A B C二、填空题12.1013.3、4、5；6、8、1014.15.①④16.5km17.12米18.42或3219.420.8cm21.49三、解答题22.解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积= ×5×12﹣×3×4=24（平方米）．23.解：连结AC，在△ABC中，∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC= =10，S△ABC= AB•BC= ×6×8=24，在△ACD中，∵CD=24，AD=26，AC=10，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD= AC•CD= ×10×24=120．∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=24+120=144．24.解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则有CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9，∴AD=12，∴S△ABC= BC•AD= ×14×12=8425.（1）解：S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，则a2+b2=c2；（2）解：如图所示，大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．。
第一章 勾股定理单元测试题(含答案)
第一章 勾股定理单元测试题一、认真填一填 —— 要相信自己．1．如图1,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．S S S 321图1 图22．如果梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 的消防梯可达建筑物的高度为 3．在△ABC 中，∠C =900， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若c =10，a ﹕b =3﹕4，则a =____，b =_____． （2）若a =b ，c 2=m ，则a 2=______. （3）若c =61，a =60，则b =______.4．将直角三角形的各边扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．5．在Rt △ABC 中，AC =8，在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，则BC 长为_______．6．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： .（填“能”、或“不能”）7．如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，则CD 的长为.E DA9．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b = ，c =10．如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿平方厘米．二、细心选一选 —— 要认真考虑．11. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对12. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．222b c a =- B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 13．下面说法正确的是（ ） A ．在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，a =3，b =4，那么c =5 C ．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长14．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍15．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12 16. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c17．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 3318．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D三、精心做一做 —— 要注意审题（共47分）19．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做多长？20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出2AB =2、2CD =5、2EF =13这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.21．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？观测点23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？24．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”参考答案1．169 ;2．12米；3．（1）．6，8； （2）．2m； （3）．11； 4. 直角；5. 6；6．能；7. 49；8. CD =3cm ． 提示：由题可知CD =DE ，AC =AE ，设CD =x cm ，在Rt △BDE 中，有42+ x 2= 8－x ．2，解得x =3． 9. 85，86；10．30；11．B ； 12．D ； 13. D ； 14．B ； 15．C ； 16.D ； 17．D ； 18．C ； 19. 解：设吸管长x cm ，由勾股定理得：（x －4.6）2=122+（2.5×2）2，解得x =17.6，即吸管要做17.6cm 长． 20.画图略，结合勾股定理说明．21．分析 为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解. 解 如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.22．在Rt △ABC 中：BC 2＝225030 ＝1600，∴BC ＝40,小汽车速度＝40÷2＝20米/秒＝72千米/时>70千米/时. ∴这辆小汽车超速了23．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，图1B走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 24．分析 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解 如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102， 解这个方程，得x ＝14.5（尺） 所以这个秋千的绳索长度为14.5尺.图2F OD ECB A。
第3章《勾股定理》单元测试（含答案）
第3章《勾股定理》单元测试（含答案）第3章《勾股定理》单元测试（满分100分时间90分钟）⼀、单选题（共8题；共24分）1.要登上某建筑物，靠墙有⼀架梯⼦，底端离建筑物3m，顶端离地⾯4m，则梯⼦的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m2.若直⾓三⾓形的两边长分别为a，b，且满⾜a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直⾓三⾓形的第三边长为（）A.5B.7C.4D.5或73.在△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32D．37或334.⼀直⾓三⾓形两边分别为3和5，则第三边为（）A、4B、C、4或D、25.两只⼩鼹⿏在地下从同⼀处开始打洞，⼀只朝北⾯挖，每分钟挖8cm，另⼀只朝东⾯挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只⼩鼹⿏相距（）A.100cmB.50cmC.140cmD.80cm6.如图，阴影部分是⼀个长⽅形，它的⾯积是（）A、3cm2B、4cm2C、5cm2D、6cm27. 已知，如图长⽅形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长⽅形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的⾯积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，⾯积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．A.3πB.2πC.6πD.4π⼆、填空题(每题3分，共30分)9. 如果三⾓形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长为.10.若⼀个三⾓形的三边长之⽐为5：12：13，且周长为60 cm，则它的⾯积为cm2.11.⼀根旗杆在离底部4.5⽶的地⽅折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6⽶处，则旗杆折断前⾼为______12.如图中阴影部分是⼀个正⽅形，如果正⽅形的⾯积为64厘⽶2，则x的长为___厘⽶．13.⼀个直⾓三⾓形，两直⾓边长分别为3和2，则三⾓形的周长为________．14.在RT△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9,c-a=4，则b=。
第17章《勾股定理》单元测试卷含答案解析
第17章《勾股定理》单元测试卷含答案解析参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A． 4 B．8 C．10 D．12分析：利用勾股定理即可解答．解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，依照勾股定理列出方程：62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．点评：本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力．2．（3分）小丰的妈妈买了一部29英寸（74cm）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小丰认为指的是屏幕的长度B．小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C．小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D．售货员认为指的是屏幕对角线的长度考点：勾股定理的应用．分析：依照电视机的适应表示方法解答．解答：解：依照29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的．故选D．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度．3．（3分）如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A． 4 B．8 C．16 D．64考点：勾股定理．分析：依照勾股定理的几何意义解答．解答：解：依照勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，因此A=289﹣225=64．故选D．点评：能够运用勾股定理发觉并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论能够迅速解题，节约时刻．4．（3分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：相似三角形的性质．分析：依照三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就能够求解．解答：解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题要紧考查相似三角形的判定以及性质．5．（3分）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D． 25cm考点：勾股定理．分析：设另一条直角边是a，斜边是c．依照另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就能够列出方程组，即可求解．解答：解：设另一条直角边是a，斜边是c．依照题意，得，联立解方程组，得．故选D．点评：注意依照已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法能够把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．6．（3分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D． 5个考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：运算出三角形的角利用定义判定或在明白边的情形下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①，依照勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，依照勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，依照勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判定．7．（3分）在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形考点：勾股定理的逆定理；完全平方公式．分析：依照勾股定理的逆定理：假如三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么那个是直角三角形判定则可．假如有这种关系，那个确实是直角三角形．解答：解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．点评：本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．8．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，那个三角形有一个锐角是（）A．15° B．30° C．45°D．60°考点：勾股定理．分析：依照斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理能够列出两个关系式，直截了当解答即可．解答：解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．依照斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，依照勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，则那个三角形是等腰直角三角形，因而那个三角形的锐角是45°．故选C．点评：已知直角三角形的边长问题，不要不记得三边的长，满足勾股定理．9．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D． 12cm2考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：依照折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就能够求解．解答：解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，依照勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．点评：本题考查了利用勾股定明白得直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A动身向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D． 40海里考点：勾股定理的应用；方向角．分析：依照方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后依照路程=速度×时刻，得两条船分别走了32，24．再依照勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，依照勾股定理得：=40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行运算，基础知识，比较简单．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（2008•湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分闻名的定理，那个定理称为勾股定理，该定理的结论其数学表达式是a2+b2=c2．考点：勾股定理的证明．专题：证明题．分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．解答：解：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．那个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锤炼了同学们的数形结合的思想方法．12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：依照等腰三角形的三线合一得BD=8，再依照勾股定理即可求出AB的长．解答：解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．点评：注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．13．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的阻碍，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为480m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定明白得答．解答：解：依照图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．点评：考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14．（3分）小华和小红都从同一点O动身，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为15米．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：依照题意画出图形依照勾股定明白得答．解答：解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，依照勾股定理得AB====15m．点评：本题专门简单，只要依照题意画出图形即可解答，表达了数形结合的思想．15．（3分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则那个三角形是直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．分析：化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．解答：解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，因此a2+b2=c2，则那个三角形为直角三角形．故答案为：直角．点评：考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．16．（3分）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，那个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．考点：勾股定理的应用．分析：只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，依照勾股定理直截了当解答．解答：解：==68cm，故那个桌面合格．点评：本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际把握勾股定理．17．（3分）直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为30cm2．考点：勾股定理．分析：依照勾股定理求得其另一直角边的长，再依照面积公式即可求得其面积．解答：解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边==5cm，∴面积=×5×12=30cm2．点评：解决本题的关键是依照勾股定理求得另一直角边的长．18．（3分）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是那个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．考点：平面展开-最短路径问题．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理依照两点之间线段最短进行解答．解答：解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要依照题意判定出长方形的长和宽即可解答．三、解答题（共46分）19．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：依照题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．解答：解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观看题目的信息是解题以及学好数学的关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．考点：勾股定理．分析：∵AD⊥BC于D，∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD长，进而求得AC2的值．解答：解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．点评：本题需注意最后求的是AC2，因此在运算过程中都保持线段的平方即可．21．（8分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要运算那个矩形鱼池的周长，你能关心小明算一算吗？考点：勾股定理的应用；二元一次方程组的应用；矩形的性质．专题：运算题．分析：依照矩形的面积公式得到长与宽的积，再依照勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．解答：解：设矩形的长是a，宽是b，依照题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，因此矩形的周长是14×2=28m．点评：注意依照题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．22．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范畴内是受台风阻碍的区域．（1）A城是否受到这次台风的阻碍？什么缘故？（2）若A城受到这次台风阻碍，那么A城遭受这次台风阻碍有多长时刻？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC ＞200则A城不受阻碍，否则受阻碍；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范畴内差不多上受台风阻碍，再依照速度与距离的关系则可求时刻．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，因此A城要受台风阻碍；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，因此△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，因此AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风阻碍的时刻是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题要紧考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时刻的关系等，较为复杂．四、创新探究题23．一只蚂蚁假如沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直截了当的作法，确实是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：如图：依照题意，如上图所示，最短路径有以下三种情形：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，因此AB′2=25，即AB′=5cm．点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
第3章《勾股定理》单元测试(含答案)
第3章《勾股定理》单元测试（满分100分时间90分钟）一、单选题（共8题；共24分）1.要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物3m，顶端离地面4m，则梯子的长度为（）A.2mB.3mC.4mD.5m2.若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2-6a+9+|b﹣4|=0，则该直角三角形的第三边长为（）A.5B.7C.4D.5或73.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或334.一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A、4B、C、4或D、25.两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A.100cmB.50cmC.140cmD.80cm6.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）A、3cm2B、4cm2C、5cm2D、6cm27. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm²B．4cm²C．6cm² D．12cm²8.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于________．A.3πB.2πC.6πD.4π二、填空题(每题3分，共30分)9. 如果三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长为.10.若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60 cm，则它的面积为cm2.11.一根旗杆在离底部4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为______12.如图中阴影部分是一个正方形，如果正方形的面积为64厘米2，则x的长为___厘米．13.一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．14.在RT△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9,c-a=4，则b=。
勾股定理单元测试卷(含答案)
勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。
7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
8. 勾股定理在中国被称为__________。
9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。
14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。
答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。
12. 另一个直角边的长度为15。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。
将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。
专题3.8第3章勾股定理单元测试(能力过关卷)(解析版)【苏科版】
专题3.8第3章勾股定理单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•广安期末）下列各组数中，是勾股数的是()A ．4、6、8B ．0.3、0.4、0.5C ．6、8、10D ．3、6、9【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案．【解析】A ．22246528+=≠ ，4∴、6、8不是勾股数；B ．0.3、0.4、0.5不是整数，故0.3、0.4、0.5不是勾股数；C ．2226810010+== ，6∴、8、10是勾股数；D ．22236459+=≠ ，3∴、6、9不是勾股数；故选：C ．2．（2021春•道县期中）由下列条件不能判定ABC ∆为直角三角形的是()A ．AB C∠+∠=∠B ．5a =，12b =，13c =C ．2()()c b c b a +-=D ．13a =，14b =，15c =【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．【解析】A 、C A B ∠=∠+∠ ，180A B C ∠+∠+∠=︒，2180C ∴∠=︒，90C ∴∠=︒，ABC ∴∆是直角三角形，故此选项不符合题意；B 、22251213+= ，则ABC ∆是直角三角形，故此选项不符合题意．C 、2()()c b c b a +-= ，222c b a ∴-=，222c b a ∴=+，能是直角三角形，故此选项符合题意；D 、222111()()()453+≠，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；故选：D ．3．（2021春•德城区期末）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，若15AB cm =，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为()A ．2150cmB ．2200cmC ．2225cmD ．无法计算【分析】小正方形的面积为AC 的平方，大正方形的面积为BC 的平方．两正方形面积的和为22AC BC +，对于Rt ABC ∆，由勾股定理得222AB AC BC =+．AB 长度已知，故可以求出两正方形面积的和．【解析】正方形ADEC 的面积为：2AC ，正方形BCFG 的面积为：2BC ；在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，15AB =，则222225AC BC cm +=．故选：C ．4．（2021春•会昌县期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是()A ．8mB ．10mC ．16mD ．18m【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解析】由题意得8BC m =，6AC m =，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：10AB =米．所以大树的高度是10616+=米．故选：C ．5．（2021春•林州市期末）已知，如图长方形ABCD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则ABE ∆的面积为()A ．23cmB ．24cmC ．26cmD ．212cm 【分析】根据折叠的条件可得：BE DE =，在直角ABE ∆中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，BE ED ∴=．9AD cm AE DE AE BE ==+=+ ．9BE AE ∴=-，根据勾股定理可知222AB AE BE +=．解得4AE =．ABE ∴∆的面积为3426⨯÷=．故选：C ．6．（2017秋•乐亭县期末）已知x 、y 为正数，且222|4|(3)0x y -+-=，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A ．5B ．25C ．7D ．15【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x 、y 的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【解析】依题意得：240x -=，230y -=，2x ∴=，y =，斜边长==，所以正方形的面积27==．故选：C ．7．（2021春•海珠区校级月考）ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，5AB =，12BC =，13CA =，则下列结论不正确的是()A ．ABC ∆是直角三角形，且AC 为斜边B ．ABC ∆是直角三角形，且90ABC ∠=︒C ．ABC ∆的面积是30D ．ABC ∆是直角三角形，且30C ∠=︒【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．【解析】5AB = ，12BC =，13CA =，225AB ∴=，2144BC =，2169CA =，222AB BC CA ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，B ∠ 的对边为13最大，所以AC 为斜边，90ABC ∠=︒，ABC ∴∆的面积是1512302⨯⨯=，AB 不等于AC 的一半，ABC ∴∆是直角三角形，但30C ∠≠︒，故错误的选项是D ，故选：D ．8．（2020秋•历城区期中）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，25AB AC +=尺，5BC =尺，则AC 等于()尺．A ．5B ．10C ．12D ．13【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(25)x -尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(25)x -尺，根据勾股定理得：2225(25)x x +=-．解得：12x =，答：折断处离地面的高度为12尺．故选：C ．9．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，2()49x y +=，用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列选项中正确的是()A ．小正方形面积为4B ．225x y +=C ．227x y -=D ．24xy =【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】根据题意可得：2225x y +=，故B 错误，2()49x y += ，224xy ∴=，故D 错误，2()1x y ∴-=，故A 错误，227x y ∴-=，故C 正确；故选：C ．10．（2020春•文水县期末）疫情期间，小颖宅家学习．一天，她在课间休息时，从窗户向外望，看到一人为快速从A 处到达居住楼B 处，直接从边长为24米的正方形草地中穿过．为保护草地，小颖计划在A 处立一个标牌：“少走？米，踏之何忍”，已知B 、C 两处的距离为7米，那么标牌上？处的数字是()A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据图形标出的长度，可以知道AC 和BC 的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A 和B 的距离．【解析】由题意可知25AB m ==，故居民直接到B 时要走25AB m =，若居民不践踏草地应走24731AC BC m+=+=31256AC BC AB m+-=-=故在？的地方应该填写的数字为6，故选：D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•浦东新区期末）在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是5．【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．【解析】已知直角三角形的两直角边为6、8，10=，故斜边的中线长为11052⨯=，故答案是：5．12．（2020秋•利通区期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．若32A ∠=︒，则BCD ∠=32︒．【分析】根据直角三角形的两锐角互余得到BCD A ∠=∠，得到答案．【解析】90C ∠=︒ ，90BCD ACD ∴∠+∠=︒，CD AB ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，90A ACD ∴∠+∠=︒，32BCD A ∴∠=∠=︒，故答案为：32．13．（2021春•阜南县期末）已知等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则ABC ∆的面积为12．【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出ABC ∆以BC 为底边的高，再利用三角形的面积公式求出答案．【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，5AB AC == ，6BC =，116322BD CD BC ∴===⨯=，在ABD ∆中，222AD BD AB += ，4AD ∴=，11461222ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯= ，故答案为：12．14．（2020秋•海曙区期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了9米．（假设绳子是直的）【分析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【解析】在Rt ABC ∆中：90CAB ∠=︒ ，17BC =米，8AC =米，15AB ∴=（米)，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)，6AD ∴=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．故答案为：9．15．（2020秋•兴庆区校级期末）在如图所示的正方形网格中，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在格点上，则点C 到AB 的距离为85．【分析】设点C 到AB 的距离为h ，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】设点C 到AB 的距离为h ，5AB == ，1124522ABC S h ∆∴=⨯⨯=⨯⨯85h ∴=，故答案为：85．16．（2019秋•苏州期中）如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 为AC 上一点，245ABD BAC ∠=∠=︒，若12AD =，则ABD ∆的面积为36．【分析】作ABC ∆关于AC 的对称AEC ∆，延长BD 交AE 于点F ，则EAC BAC ∠=∠，BC EC =，证出BF AF =，90AFD ∠=︒，证()BFE AFD AAS ∆≅∆，得12BE AD ==，则6BC EC ==，由三角形面积公式即可得出答案．【解析】作ABC ∆关于AC 的对称AEC ∆，延长BD 交AE 于点F ，如图所示：则EAC BAC ∠=∠，BC EC =，245ABD BAC ∠=∠=︒ ，45BAF ABD ∴∠=︒=∠，BF AF ∴=，90AFD ∠=︒，90BFE ∴=︒，90EBF E DAF E ∠+∠=∠+∠=︒ ，EBF DAF ∴∠=∠，在BFE ∆和AFD ∆中，90,BFE AFD EBF DAF BF AF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFE AFD AAS ∴∆≅∆，12BE AD ∴==，6BC EC ∴==，ABD ∴∆的面积111263622AD BC =⨯=⨯⨯=；故答案为：36．17．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，3S ，若39S π=，则12S S +等于9π．【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到12S S +的值，从而可以解答本题．【解析】90ACB ∠=︒ ，222AC BC AB ∴+=，211()22AC S π=⨯ ，221(22BC S π=⨯，231(22AB S π=⨯，222123111()()()222222AC BC AB S S S πππ∴+=⨯+⨯=⨯=，39S π= ，129S S π∴+=，故答案为：9π．18．（2021春•合川区校级月考）如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm 的A 处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm 的B 处的米粒，若圆柱的高为12cm ，底面周长为24cm ．则蚂蚁爬行的最短距离为．【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得AB 的长．【解析】如图，将圆柱的侧面沿过A 点的一条母线剪开，得到长方形，连接AB ，则线段AB 的长就是蚂蚁爬行的最短距离，故)AB cm ==．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•韩城市期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．（1）判断ABC∆的形状，并说明理由；（2）求AB边上的高．【分析】（1）根据题意，可以分别求得BC、AC、AB的长，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断ABC∆的形状；（2）根据等积法，可以求得AB边上的高．【解析】（1）ABC∆为直角三角形，理由：由图可知，AC==，BC==，5AB==，222AC BC AB∴+=，ABC∴∆是直角三角形；（2）设AB边上的高为h，由（1）知，AC=BC=，5AB=，ABC∆是直角三角形，∴1122BC AC AB h=，即115 22h=⨯，解得，2h=，即AB边上的高为2．20．（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A '，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB '为多少米？【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：2AO =米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为(2.50.5)2OA '=-=米，根据勾股定理：2OB '=米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2 1.50.5-=米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．21．（2021春•仙桃期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点(H A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，测得 1.5CB =千米， 1.2CH =千米，0.9HB =千米．（1）问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH 比原路CA 少多少千米？【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解析】（1）是，理由是：在CHB ∆中，2222(1.2)(0.9) 2.25CH BH +=+= ，2 2.25BC =，222CH BH BC ∴+=，CH AB ∴⊥，所以CH 是从村庄C 到河边的最近路；（2）设AC x =千米，在Rt ACH ∆中，由已知得AC x =，0.9AH x =-， 1.2CH =，由勾股定理得：222AC AH CH =+222(0.9)(1.2)x x ∴=-+，解这个方程，得 1.25x =，1.25 1.20.05-=（千米）答：新路CH 比原路CA 少0.05千米．22．（2019秋•濮阳期末）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD 上的点B 处，且5BC m =，它们都要到A 处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m 处的池塘A 处，另一只猴子乙先爬到树顶D 处后再沿缆绳DA 线段滑到A 处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD 为xm ．（1）请用含有x 的整式表示线段AD 的长为15x -m ；（2）求这棵树高有多少米？【分析】已知BC ，要求CD 求BD 即可，可以设BD 为x ，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD DA BC CA +=+，根据此等量关系列出方程即可求解．【解析】（1）设BD 为x 米，且存在BD DA BC CA +=+，即15BD DA +=，15DA x =-，故答案为：15x -；（2）90C∠=︒222AD AC DC∴=+222(15)(5)10x x∴-=++2.5x∴=5 2.57.5CD∴=+=答：树高7.5米；23．（2018春•岱岳区期中）如图，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且100AB=海里，若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．【分析】设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，根据勾股定理列方程求解即可．【解析】设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，则20AC t=，10040AE AB BE t=-=-，222AC AE EC+=．222(20)(10040)t t∴+-=2240010000800016004000t t t+-+=2430t t-+=(1)(3)0t t--=，解得11t=，23t=（不合题意舍去）．答：最初遇到的时间为1h．24．（2020秋•内江期末）如图，ABC∆中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且222-=．BD DA AC（1）求证：90∠=︒；A（2）若8AD BD=，求AC的长．AB=，:3:5【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD BD=，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．【解答】（1）证明：连接CD，的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，BC∴=，CD DB222，-=BD DA AC222∴-=，CD DA AC222CD AD AC∴=+，∠=︒；A∴∆是直角三角形，且90ACD（2）解：8AD BD=，AB=，:3:5BD=，∴=，5AD3∴=，5DC∴=．AC425．（1）如图1，已知AD是ABC∆沿AD所在直线对折，点C落在点E的∠=︒，把ADCADC∆的中线，45位置（如图1)，则EBC∠等于45度．（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边3AC =，4BC =，将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【分析】（1）由折叠的性质可知45EDA ADC ∠=∠=︒，即90EDC ∠=︒，DC DE =，又AD 为ABC ∆的中线，故BD DC =，即BD DE =，BDE ∆为等腰直角三角形，可得45EBC ∠=︒；（2）由折叠的性质可知DE CD =，AC AE =，90AED C ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆中，由勾股定理求AB ，由BE AB AE =-，设CD DE x ==，则4BD x =-，在Rt BDE ∆中，由勾股定理求x 即可．【解析】（1）依题意，得45EDA ADC ∠=∠=︒，即90EDC ∠=︒，又DC DE = ，AD 为ABC ∆的中线，BD DC ∴=，即BD DE =，BDE ∆为等腰直角三角形，45EBC ∴∠=︒；（2）令CD x =，则4DB x =-，由于是直角三角形且是折叠，所以5AB =，3AE AC ==，DE x =，2EB =，因为90AED C ∠=∠=︒，故在Rt BDE ∆中运用勾股定理得：222(4)2x x -=+，1684x -=，解得32x =，即32CD =．26．（2021春•鼓楼区期末）【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为a ，b 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．（1）方法一可表示为2111222ab ab c ++；方法二可表示为；（2）根据方法一和方法二，你能得出a ，b ，c 之间的数量关系是（等式的两边需写成最简形式）；（3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为．【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a b +的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为．（等号两边需化为最简形式）（5）已知24m n -=，2mn =，利用上面的规律求338m n -的值．【分析】（1）分两种方法表示出面积即可；（2）把（1）中的式子整理可得答案；（3）把数值代入（2）中得到的结论即可；（4）分两种方法表示出体积即可；（5）根据（4）的等式代入数值可得答案．【解析】（1）方法一可表示为：2111222ab ab c ++；方法二可表示为：21()2a b +．故答案为：2111222ab ab c ++；21()2a b +．（2） 221111(2)2222ab ab c ab c ++=+，22211()(2)22a b ab a b +=++，∴22211(2)(2)22ab c ab a b +=++，222c a b ∴=+．故答案为：222c a b =+．（3）2222286100c a b =+=+= ，10c ∴=．故答案为：10．（4）方法一可表示为：3()a b +；方法二可表示为：322333a a b ab b +++．∴等式为：33223()33a b a a b ab b +=+++．故答案为：33223()33a b a a b ab b +=+++．（5）由（4）可得：3322333(2)812686(2)m n m m n mn n m n mn m n -=-+-=---，24m n -= ，2mn =，33648624m n ∴=--⨯⨯，3386448112m n ∴-=+=．。
第17章《勾股定理》单元测试卷含答案解析
2019年山东省济宁市嘉祥县金屯中学八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A． 4 B．8 C．10 D．12分析：利用勾股定理即可解答．解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，根据勾股定理列出方程：62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力．2．（3分）小丰的妈妈买了一部29英寸（74cm）的电视机，下列对29英寸的说法中正确的是（）A．小丰认为指的是屏幕的长度B．小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C．小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D．售货员认为指的是屏幕对角线的长度考点：勾股定理的应用．分析：根据电视机的习惯表示方法解答．解答：解：根据29英寸指的是荧屏对角线的长度可知售货员的说法是正确的．故选D．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题时了解一个常识：通常所说的电视机的英寸指的是荧屏对角线的长度．3．（3分）如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A． 4 B．8 C．16 D．64考点：勾股定理．分析：根据勾股定理的几何意义解答．解答：解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，所以A=289﹣225=64．故选D．点评：能够运用勾股定理发现并证明结论：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论可以迅速解题，节省时间．4．（3分）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：相似三角形的性质．分析：根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．解答：解：将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题主要考查相似三角形的判定以及性质．5．（3分）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A．18cm B．20cm C．24cm D． 25cm考点：勾股定理．分析：设另一条直角边是a，斜边是c．根据另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．解答：解：设另一条直角边是a，斜边是c．根据题意，得，联立解方程组，得．故选D．点评：注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．6．（3分）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D． 5个考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．分析：计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．解答：解：①，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．点评：本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．7．（3分）在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形考点：勾股定理的逆定理；完全平方公式．分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．解答：解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．点评：本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．8．（3分）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15° B．30° C．45°D．60°考点：勾股定理．分析：根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．解答：解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．点评：已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理．9．（3分）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D． 12cm2考点：勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．解答：解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．（3分）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D． 40海里考点：勾股定理的应用；方向角．分析：根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．解答：解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故选D．点评：熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）（2008•湖州）利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理的结论其数学表达式是a2+b2=c2．考点：勾股定理的证明．专题：证明题．分析：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．解答：解：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点评：本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．12．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．解答：解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．点评：注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．13．（3分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为480m．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．解答：解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．点评：考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14．（3分）小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为15米．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出图形根据勾股定理解答．解答：解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，根据勾股定理得AB====15m．点评：本题很简单，只要根据题意画出图形即可解答，体现了数形结合的思想．15．（3分）一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．分析：化简等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．解答：解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，则这个三角形为直角三角形．故答案为：直角．点评：考查了勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．16．（3分）木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．考点：勾股定理的应用．分析：只要算出桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm是否符合勾股定理即可，根据勾股定理直接解答．解答：解：==68cm，故这个桌面合格．点评：本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．17．（3分）直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为30cm2．考点：勾股定理．分析：根据勾股定理求得其另一直角边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解答：解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，∴另一直角边==5cm，∴面积=×5×12=30cm2．点评：解决本题的关键是根据勾股定理求得另一直角边的长．18．（3分）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．考点：平面展开-最短路径问题．分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解答：解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．三、解答题（共46分）19．（6分）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．解答：解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．考点：勾股定理．分析：∵AD⊥BC于D，∴可得到两个直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD长，进而求得AC2的值．解答：解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．点评：本题需注意最后求的是AC2，所以在计算过程中都保持线段的平方即可．21．（8分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？考点：勾股定理的应用；二元一次方程组的应用；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和可．解答：解：设矩形的长是a，宽是b，根据题意，得：，（2）+（1）×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周长是14×2=28m．点评：注意根据题意结合勾股定理联立解方程组，只需求得长与宽的和即可．22．（10分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC ＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．四、创新探索题23．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：如图：数学试卷根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
第一章-勾股定理单元测试卷
ＡＢＣ 图4第一章 勾股定理单元试卷（时间100分钟 满分100分）一、选择题：（每小题4分，共计20分）1．如图1，在山坡上种树，沿山坡走了１０米，高度上升了６米，如果要求树的株距（相邻两棵树之间的水平距离）是４米，那么，斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离应是（ ） A.10米 B.6米 C.5米 D.4米 .图12．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）A.12米B.13 米C.14米D.15米.3．如图2，是一块长、宽、高分别是4cm ，2cm 和1cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A.5cm B . 5.4cm C. 6.1cm D. 7cm .4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木版的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组A. 13，12，12B. 12，12，8C. 13，10，12D. 5，8，4. 5．如图3, 一个高米,宽米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 4米 D. 米二、填空题（每小题4分，共计32分） 6．小明要把一根长为70cm 的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm 、40cm 、30cm 的木箱中，他能放进去吗？_______．7．李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方，这时,李明向正东方向走了______米．8．如图5，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸剪去了一角，量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为_______．图2图3图5 图6 图79．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图6所示，撑脚长AB 、DC 为3m ，两撑脚间的距离BC 为4m ，则AC=____m 就符合要求．10．如图7，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．11．如图8，是一长方形公园，如果某人从景点A 走到景点C ，则至少要走_____米．图8 图9 图1012．在一棵树上的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树______米． 13．如图10是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、米、米，A 、B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是______米．三、解答题（本题共计48分）14．（本题满分5分）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C 偏离了想要达到的B 点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB 处的宽度．D B A15．（本题满分5分）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，（如图）请问这根藤条有多长？（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）.16．（本题满分6分）如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.17．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？12090 AB 小河东北牧童 小屋18．（本题满分7分）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？19. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.2.6m4m20.（本题满分6分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.21. （本题满分7分）如图所示,某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走，遇到障碍后又往西走2km ，再转向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏.问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是多少？图1图2答案:一、选择题：（每小题4分，共计20分）1．解析：坡面距离就是斜坡的长． 沿山坡走了10米，高度上升了６米， 则其水平距离为8（米）；设斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是x 米， 则由题意知1084x=，所以x=5． 答案：C ．2．解析：13米长的梯子可以达到建筑物的高度可设为x 米，因梯子的底端离建筑物5米，由勾股定理得： x 2=132-52，x=12米． 答案：A ．3．解析：因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得ＡＢ2＝22(24)137++=； (2) 展开前面上面由勾股定理得ＡＢ2＝22(14)229++=； (3)展开左面上面由勾股定理得ＡＢ2＝22(21)425++=； 所以最短路径的长为5cm ． 答案：A ．4．解析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形, 腰为斜边,高和底边长一半为直角边,因此由三角形三边关系及勾股定理可知A. 132≠122+62， B. 122≠82+62 ，2=122+52 ，2≠42+42. 答案：C ．5．解析：如图，此题可运用勾股定理解决，设这条木板的长度为x 米，由勾股定理得：x 2＝１.522，解得． 答案： B ．二、填空题（每小题4分，共计32分）6．解析：在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大．因此可设放入长方体盒子中的最大长度是x ㎝， 根据题意，得x 2 ＝502＋40 2 ＋302＝5000．702 ＝4900， 因为4900＜5000,所以能放进去．Ａ ＢＣ图4 答案：能．7．解析：如图4，把实际问题转化为数学模型，由题意可知AB=1200,AC=2000, 由勾股定理得：BC 2=ＡＣ2－ＡＢ2= 20002-12002=16002 ， 所以BC=1600．李明向正东方向走了1600米． 答案：1600．8．解析：延长AB 、DC 构成直角三角形，运用勾股定理得BC 2＝(15-3)2+(20-4)2＝122+162=400，所以BC=20． 答案：20cm ．图5 图6 图7 9．解析：由题意可知AB 、DC 为3m ，BC 为4m ，由勾股定理得：AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42=25=52，所以AC=5． 答案：5．10．解析：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米 ，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时， 梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8-6=2（米）． 答案：2．11．解析：依据两点之间线段最短，确定最短路线为长方形公园的对角线长，可设长方形公园的对角线长为x 米，由勾股定理得：x 2＝1202+3502，解得x=370． 答案：370．D B A图8 图9 图1012．解析：如图9，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．设树的高度为x 米， 因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x 2+202=[30-(x-10)]2，解得x=15． 答案：15．13．解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为２，宽为(0.2+0.3)×3则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x ，由勾股定理得：x 2＝22+[(0.2+0.3)×3]22 ，x ＝． 答案：．三、解答题（本题共计48分）14．解析：如图，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决． 答案：在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，所以AB 2+1402=5002，解得AB=480． 答：该河AB 处的宽度为480米．15.解析：本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按图的方法，转化为平面图形来解决．如图13,线段AB 的长就是古藤的长. 答案：如图13，在Rt △ABC 中，由勾股定理得 AB 2=BC 2+AC 2.因为BC=20，AC=3×7=21， 所以AB 2=202+212=841. 所以AB=29.所以这根藤条有29尺． 答：这根藤条有29尺．16．解析：如图14，彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，彩旗的对角线长为150，所以h=320-150=170cm.答案：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h 为170cm.． 17．解析：找最短路程，只需要找到A 点关于河岸的对称点和点B的距离就可以，借助勾股定理可以求出来. 答案：如图，作出A 点关于MN 的对称点A′，连接A′B 交MN 于点P ，则A′B 就是最短路线. 在Rt △A′DB 中，由勾股定理求得A′B=17km.ABDPNA ′M120902.6m4m18．解析：本题关键是能将红莲移动后的图画出, 红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC 为红莲的长.答案：设水深为h 尺.如图，Rt △ABC 中，AB=h ，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2，即（h+3）2=h 2+62.∴h 2+6h+9=h 2+36，解得：h=4.5. 答：水深尺.19. 解析：如图，卡车能否通过，关键是车高4米与AC 的比较，BC 为米，只需求AB ，在直角三角形OAB 中，半径OA 为2米，车宽的一半为DC = OB =米，运用勾股定理求出AB 即可. 答案：过直径的中点O ，作直径的垂线交下底边于点D ， 如图所示，在Rt △ABO 中，由题意知OA=2，， 所以2222 1.4 2.04AB =-=. 因为4－2.6=1.4,21.41.96=，2.04>1.96,所以卡车可以通过.答：卡车可以通过，但要小心.20. 解析：①只须画直角边为2和3的直角三角形即可.这时直角三角形的面积为：1232⨯⨯=3；②画面积为5的四边形，我们可画边长的平方为5的正方形即可. 答案：如图1和图2.ABD C21. 解析：本题需要把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，利用勾股定理完成.答案：如图，过点B 作BC ⊥AD 于C ，则，BC=6， 由勾股定理求得AB=6.5(km) .所以登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是.图2图1。
勾股定理单元测试题及答案
勾股定理单元测试题一、相信你的选择1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．150o 20米30米（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，a n，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案与提示一、相信你的选择1、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）； 2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，故选D ）．二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；8、150a ．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22．（2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732， ∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷 (word版,含解析)
人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷满分120分一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．下列各组数中,是勾股数的一组是( )A ．6,7,8B ．5,12,13C ．0.6,0.8,1D ．2,4,52．下列线段a ,b ,c 能组成直角三角形的是( )A ．2a =,3b =,4c =B ．4a =,5b =,6c =C ．1a =,2b =,3c = D ．7a =,3b =,6c =3．如图,在四边形ABCD 中,90DAB BCD ∠=∠=︒,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若14135S S +=,349S =,则2(S = )A ．184B ．86C ．119D ．814．如图,在22⨯的网格中,有一个格点ABC ∆,若每个小正方形的边长为1,则ABC ∆的边AB 上的高为( )A ．22B ．55C ．510D ．15．如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要( )A ．4米B ．5米C ．6米D ．7米6．若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是( )A ．13B ．13或119C ．119D ．12或137．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺）,中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面( )尺．A ．4B ．3.6C ．4.5D ．4.558．如图,一轮船以12海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后两船相距( )A ．13海里B ．16海里C ．20海里D ．26海里 9．如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A ．45aB ．34aC ．23aD ．12a10．如图,在DEF ∆中,90D ∠=︒,:1:3DG GE =,GE GF =,Q 是EF 上一动点,过点Q 作QM DE ⊥于M ,QN GF ⊥于N ,43EF =,则QM QN +的长是( )A ．43B ．32C ．4D ．23二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．在Rt ABC ∆中,斜边2AB =,则222AB BC AC ++= ．12．直角坐标平面内的两点(4,5)P -、(2,3)Q 的距离为 ．13．周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为 ．14．一架云梯长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了 米．15．将一根长为30cm 的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和24cm 的长方体有盖盒子中,在M 处是盒子的开口处,设细木棒露在杯子外面的长度是为h cm ,则h 的取值范围是 ．16．如图,1OP =,过点P 作1PP OP ⊥,且11PP =,得12OP；再过点1P 作121PP OP ⊥且121PP =,得23OP =；又过点2P 作232P P OP ⊥且231P P =,得32OP =⋯,依此法继续作下去,得2022OP = ．三．解答题（共9小题,满分66分）17．（6分）在ABC ∆中,90C ∠=︒,AB c =,BC a =,AC b =．（1）6a =,8b =,求c ；（2）8a =,17c =,求b ．18．（6分）如图所示的一块地,90ADC ∠=︒,16AD m =,12CD m =,52AB m =,48BC m =,求这块地的面积．19．（6分）小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高．20．（6分）如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90B D ∠=∠=︒,3AD =,2BC =．求AB 的长．21．（8分）如图,在ABC ∆中,点D 是BC 边上一点,连接AD ．若10AB =,17AC =,6BD =,8AD =．（1）求ADB ∠的度数；（2）求BC 的长．22．（8分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处,过了2秒后,小汽车行驶至B 处,若小汽车与观测点间的距离AB 为50米,请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？23．（8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2,410因为22224202(10)+==⨯,所以这个三角形是奇异三角形．（1）若ABC ∆三边长分别是2,22和6,判断此三角形是否奇异三角形,说明理由；（2）若Rt ABC ∆是奇异三角形,直角边为a 、()b a b <,斜边为c ,求::a b c 的值．（比值从小到大排列）24．（9分）某游乐场部分平面图如图所示,点C 、E 、A 在同一直线上,点D 、E 、B 在同一直线上,DB AB ⊥．测得A 处与E 处的距离为80m ,C 处与E 处的距离为40m ,90C ∠=︒,30BAE ∠=︒．（1）请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；（2）请求出海洋球D 处到出口B 处的距离；（3）判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等,请证明；若不相等,请说明理由．25．（9分）已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C A→→方向运动,在BC边上的运动速度是每秒2cm,在AC边上的运动速度是每秒1.5cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒．（1）出发2秒后,求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时,t为何值时,ACQ∆的面积是ABC∆面积的13；（3）当点Q在边CA上运动时,t为何值时,PQ将ABC∆周长分为23:25两部分．参考答案一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．【解答】解：A 、222678+≠,6∴,7,8不是一组勾股数,本选项不符合题意；B 、22251213+=,5∴,12,13是一组勾股数,本选项符合题意；C 、0.6,0.8,1不都是正整数,0.6∴,0.8,1不是一组勾股数,本选项不符合题意； D 、222245+≠,2∴,4,5不是一组勾股数,本选项不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：A 、222234+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； B 、222456+≠,不能组成直角三角形,不符合题意；C 、2221+=,能组成直角三角形,符合题意；D 、222+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； 故选：C ．3．【解答】解：由题意可知：21S AB =,22S BC =,23S CD =,24S AD =,连接BD ,在直角ABD ∆和BCD ∆中,22222BD AD AB CD BC =+=+,即1432S S S S +=+,因此21354986S =-=,故选：B ．4．【解答】解：如图,过点C 作CD AB ⊥于D ,在直角ABE ∆中,90AEB ∠=︒,1AE =,2BE =,则由勾股定理知,AB ==由1122AE BC AB CD ⋅=⋅知,AE BCCD AB ⋅===．故选：B ．5．【解答】解：在Rt ABC ∆中,224AC AB BC =-=米, 故可得地毯长度7AC BC =+=米,故选：D ．6．【解答】解：当12是斜边时,它的斜边长是12； 当12是直角边时,它的斜边长2212513=+=； 故它的斜边长是：12或13．故选：D ．7．【解答】解：如图,由题意得：90ACB ∠=︒,3BC =尺,10AC AB +=尺, 设折断处离地面x 尺,则(10)AB x =-尺,在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：2223(10)x x +=-, 解得： 4.55x =,即折断处离地面4.55尺．故选：D ．8．【解答】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向, 90BAC ∴∠=︒,两小时后,两艘船分别行驶了12224⨯=（海里）,5210⨯=（海里）, 22241026+=（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里,故选：D ．9．【解答】解：如图,当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b 最短, 此时b 就是圆柱形的高,即12b cm =；16124()a cm ∴=-=,当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b 最长, 2212513()b cm =+=,∴此时3a =,所以34a ．故选：B ．10．【解答】解：连接QG ．:1:3DG GE =,∴可以假设DG k =,3EG k =,GF EG =,90D ∠=︒,3FG k ∴=,2222DF FG DG k =-=, 43EF =,222EF DE DF =+,2248168k k ∴=+,2k ∴或2,4DF ∴=,111222EFG S EG DF EG QM GF QN ∆=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 4QM QN DF ∴+==,故选：C ．二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．【解答】解：222AB BC AC =+,2AB =,2228AB BC AC ∴++=．故答案为：8．12．【解答】解：根据题意得PQ =故答案为：．13．【解答】解：设直角三角形两直角边长为a ,b ,该直角三角形的周长为24,其斜边长为10,24()10a b ∴-+=,即14a b +=,由勾股定理得：22210100a b +==,22()14a b +=,222196a b ab ∴++=,即1002196ab +=,48ab ∴=,∴直角三角形的面积1242ab ==, 故答案为：24．14．【解答】解：设子的底端在水平方向滑动了x 米,根据勾股定理得：2.4=； 又梯子下滑了2米,即梯子距离地面的高度为(2.40.4)2-=,根据勾股定理：2222.52(0.7)x=++,解得：0.8x=或 2.2-（舍去）．即梯子的底端在水平方向滑动了0.8米,故答案为：0.8．15．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为226810()cm+=,盒子的对角线长：22102426()cm+=,细木棒长30cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是：30264()cm-=．所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．当细木棒竖直放置时,细木棒露在盒外面的最长长度是30246()cm-=, 所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．所以h的取值范围是46h,故答案为：46h．16．【解答】解：1OP=,12OP=,23OP=,34OP=,20222023OP∴=．故答案为：2023．三．解答题（共9小题,满分66分）17．【解答】解：（1）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,6BC a==,8AC b==, 22226810c AB a b∴==+=+=；（2）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,8BC a==,17AB c==,222217815b ACc a∴==-=-=．18．【解答】解：连接AC,在Rt ACD∆中,12CD m=,16AD m=,由222AD CD AC +=,解得20AC m =,在ABC ∆中,52AB m =,20AC m =,222220482704AC CB +=+=,22522704AB ==,222AC CB AB ∴+=,ABC ∴∆为直角三角形,要求这块地的面积,求ABC ∆和ACD ∆的面积之差即可,ABC ACD S S S ∆∆=-1122AC BC CD AD =⨯-⨯ 112048121622=⨯⨯-⨯⨯ 48096=-2384m =,答：这块地的面积为2384m ．19．【解答】解：设旗杆的高AB 为xm ,则绳子AC 的长为(1)x m + 在Rt ABC ∆中,222AB BC AC +=2225(1)x x ∴+=+解得12x =12AB ∴=∴旗杆的高12m ．20．【解答】解：延长DC 交AB 的延长线于点E ,90B D ∠=∠=︒,60A ∠=︒,3AD =,2BC =,30E ∴∠=︒,26AE AD ∴==,24CE BC ==,BE ∴===6AB AE BE ∴=-=-21．【解答】解：（1）2222226810BD AD AB +=+==,ABD ∴∆是直角三角形,90ADB ∴∠=︒；（2）在Rt ACD ∆中,2215CD AC AD =-=,61521BC BD CD ∴=+=+=,答：BC 的长是21．22．【解答】解：90ACB ∠=︒∴由勾股定理可得：2222503040BC AB AC =--=,40米0.04=千米,2秒11800=小时． 10.0472701800÷=>． 所以超速了．23．【解答】解：（1）2222(22)122(6)+==⨯,ABC ∴∆是奇异三角形,（2）Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,222a b c ∴+=,c b a >>,2222c b a ∴>+,2222a b c <+,Rt ABC ∆是奇异三角形,2222b a c ∴=+,22222b a a b ∴=++,222b a ∴=,2b a ∴=,222a b c +=,223c a ∴=,c ∴,::a b c ∴=24．【解答】解：（1）在Rt ABE ∆中,30BAE ∠=︒,118040()22BE AE m ∴==⨯=, ∴旋转木马E 处到出口B 处的距离为40m ；（2）30BAE ∠=︒,CED AEB ∠=∠,90C ABE ∠=∠=︒30D BAE ∴∠=∠=︒,280()DE CE m ∴==,8040120()DE BE m ∴+=+=,∴海洋球D 处到出口B 处的距离为：120m ；（3）在Rt CDE ∆与Rt ABE ∆中,由勾股定理得：)AB m ==,)CD m ==,AB CD ∴=,∴入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离相等．25．【解答】解：（1）当2t s =时,点Q 在边BC 上运动,则2AP cm =,24()BQ t cm ==,8AB cm =,826()BP AB AP cm ∴=-=-=,在Rt BPQ ∆中,由勾股定理可得)PQ cm =,PQ ∴的长为；（2）12ACQ S CQ AB ∆=⋅,12ABC S BC AB ∆=⋅,点Q 在边BC 上运动时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13,1162()33CQ BC cm ∴==⨯=,624()BQ BC CQ cm ∴=-=-=,422t ∴==,∴当点Q 在边BC 上运动时,t 为2时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13；（3）在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：10()AC cm =, 当点P 达到点B 时,881t ==,当点Q 达到点A 时,610292 1.53t =+=,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止, 08t ∴,AP t =cm ,(8)BP t cm ∴=-,点Q 在CA 上运动时,61.5()(1.5 4.5)()2CQ t t cm =⨯-=-,10(1.5 4.5)( 1.514.5)()AQ t t cm ∴=--=-+,86 1.5 4.5(0.59.5)()BP BC CQ t t t cm ∴++=-++-=+,( 1.514.5)(0.514.5)()AP AQ t t t cm +=+-+=-+, 分两种情况： ①2325BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5230.514.525t t +=-+,解得：4t =,经检验,4t =是原方程的解,4t ∴=； ②2523BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5250.514.523t t +=-+,解得：6t =,经检验,6t =是原方程的解,6t ∴=；综上所述,当点Q 在边CA 上运动时,t 为4或6时,PQ 将ABC ∆周长分为23:25两部分．。
勾股定理单元测试含答案
一、选择题1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．40cm2．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm +3．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++B ．2d S d --C ．22d S d ++D ．()22d S d ++ 4．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 230=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．如图,A、B两点在直线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点, 则PA PB的最大值是（）A．62B．22C．210D．66．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5 B．7C．5D．5或77．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )A．3，4，5 B．1，1，2C．8，12，13 D．2、3、58．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．89．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝1，BD⊥BC，BD＝BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，则EDC的面积为（）A．2 2 B．2﹣2 C．22D2﹣110．如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）A．332cm B．4cm C．32cm D．6cm二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A2019的坐标为________．12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD＝32，则AB的长为__________．13．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．14．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．15．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.16．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b =35，c =5，则ab 的值为______．17．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD的值为____________．18．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°19．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．20．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+==532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．25．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.26．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠；（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标； （2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）28．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．29．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG ≌△BDF ；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；(4)求线段EF 长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．【详解】解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长，即 25cm AF BF A B '+==，延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=，Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=， ∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．C解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= 277<325277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的3．D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。
勾股定理单元测试题
勾股定理单元测试题# 勾股定理单元测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 82. 勾股定理适用于：A. 所有三角形B. 只有直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形3. 一个三角形的三边长分别为5、12和13，这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 都不是4. 下列哪组数不能构成直角三角形的三边长？A. 3, 4, 5B. 6, 8, 10C. 7, 24, 25D. 9, 12, 155. 如果一个三角形的两边长分别为8和15，斜边长为17，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 都不是二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。
7. 如果一个三角形的三边长分别是a, b, c，并且满足a² + b² =c²，那么这个三角形是_________三角形。
8. 勾股定理的公式为_________² + b² = c²，其中c是_________。
9. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度为20，一条直角边的长度为15，那么另一条直角边的长度是_________。
10. 勾股数是指满足a² + b² = c²的三个正整数，例如3, 4, 5。
请写出另一组勾股数：_________，_________，_________。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 已知直角三角形的两条直角边分别为9和12，求斜边的长度。
12. 在一个直角三角形的地面上，如果斜边的长度是10米，一条直角边的长度是6米，求另一条直角边的长度。
四、证明题（每题15分，共15分）13. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，并且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
(完整版)勾股定理单元测试题(含答案)(可编辑修改word版)
210 2 3F第 7 题E勾股定理单元测试题一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A ：4，5，6B ：1，1，C ：6，8，11D ：5，12，232、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a ＝12，b ＝16，则 c 的长为（）A ：26B ：18C ：20D ：213、在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是(3,4)，则 OP 的长为（）A ：3B ：4C ：5D ：4、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则 a 的长为（）A ：5B ：C ： 5D ：5、等边三角形的边长为 2，则该三角形的面积为（）A 、 4B 、C 、 2D 、36、若等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则底边上的高为（）A 、6B 、7C 、8D 、97、已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm ，ADAD=9cm ，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ABE 的面积为（ ） BCA 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中， AB = 13cm , AC = 15cm ，高 AD=12,则 BC 的长为（）A 、14B 、4C 、14 或 4D 、以上都不对二、填空题1、若一个三角形的三边满足c 2 - a 2 = b 2 ，则这个三角形是。
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为 80cm ，宽为 60cm ，对角线为 100cm ，则这个桌面。
（填“合格”或“不合格” ）3、直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，则它斜边上的高为。
7533D4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为 5，则正方形 A ，B ，C ，D 的面积的和为。
AD 5、如右图将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠,顶点 D 恰好落 在 BC 边上F 处,已知 CE=3,AB=8,则 BF=。
勾股定理单元测试题
勾股定理单元测试题正文：一、填空题1. 已知直角三角形的直角边长分别为a = 3，b = 4，求斜边c的长度。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 c² = 3² + 4² = 9 +16 = 25，因此c = √25 = 5。
2. 已知直角三角形的斜边长为c = 17，一条直角边的长度为a = 8，求另一条直角边的长度b。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 17² = 8² + b²，289 = 64 + b²，b² = 289 - 64 = 225，因此b = √225 = 15。
3. 已知直角三角形的斜边长为c = 10，一条直角边的长度为a = 6，求另一条直角边的长度b。
解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 10² = 6² + b²，100 = 36 + b²，b² = 100 - 36 = 64，因此b = √64 = 8。
二、选择题1. 已知直角三角形的直角边长分别为a = 5，b = 12，下列哪个斜边长度是可能的？A. 6B. 7C. 13D. 20解：根据勾股定理，c² = a² + b²，代入数值计算得 c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，因此c = √169 = 13。
所以选C。
2. 下列直角三角形中，哪个边长组合不可能构成直角三角形？A. a = 7, b = 24, c = 25B. a = 9, b = 40, c = 41C. a = 12, b = 35, c = 37D. a = 13, b = 84, c = 85解：判断直角三角形是否成立，只需验证是否满足勾股定理。
勾股定理测试题
《勾股定理》单元测试题出题人：姜明一． 选择题：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3B ．13，12，5C ．10，8，6D ．26，24，102．在△ABC 中，已知AB =12cm ，AC =9cm ，BC =15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．108cm 2B ．90cm 2C ．180cm 2D ．54cm 23.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是（ ）A ．5B ．13C ．11D ．24. 在△ABC 中，∠A =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A ．a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．222a b c -=D ．222a cb -= 5..如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b +的值为 （ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．1696．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆．设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ） A ．S 1＝S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定 7. 直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长是连续自然数，则周长为（ ） A ．182 B ．183 C ．184 D ．1858.在ABC △中，::1:1:2A B C ∠∠∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．90C ∠=B ．222a b c =-C ．222c a = D ．a b =9.如图3，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm10.在下列以线段a ，b ，c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）AB C 图2图1 Ｃ D BA 、a ＝11，b ＝12，c ＝15B 、a ＝b ＝5，c ＝25C 、 a ：b ：c ＝1：1：2D 、a ＝1，b ＝3，c ＝2 11. 如图5、点A 表示的实数是（ ）A 、3B 、5C 、5-D 、3-12. 等边△ABC 的边长是2cm ，则等边△ABC 的高是（ ）厘米。
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一、相信你的选择 1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（ ）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； 150o 20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么（3≈）参考答案与提示一、相信你的选择1、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）； 2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm≤h ≤16cm ，故选D ）．二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝．故AD ＝226.36-＝）；8、150a ．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22．（2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈．∴AB ＝AE ＋EB ≈＋≈（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）． 答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2，∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈＞，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )A．h2B．h2C．h2D．h2答案：B说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；设BD=x，则AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= •h•h= h2，所以答案为B．2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )A．12cm2 B．10cm 2 C．8cm2 D．6cm2答案：D说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：由①得x+y=7③，由③得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因为x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = ×12=6，所以答案为D．3．下列命题是真命题的个数有( )①直角三角形的最大边长为，短边长为1，则另一条边长为②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：D说明：①因为另一条直角边长的平方为( )2−12=3−1=2，所以另一条边长为是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知•k•2k=2，所以k= ，故两直角边长为，2 ，所以斜边长为= ，故②正确；③因为(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为=5，故④正确；所以答案为D．4．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )A．+ 2m B．+m C．2( +m)D．2 +m答案：C说明：如图，设AC=x，BC=y，则xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C．5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A 落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )A．10 −15B．10−5 C．5 −5D．20−10答案：D说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x由勾股定理得：x2+(5−2x)2=(2x)2，即x2−20x+25=0，解得x= =10±5因为DC<BC=5，所以x=10+5 应舍去，故x=10−5 ，所以CE=2x=2(10−5 )=20−10 ，答案为D．6．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C．7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米A． B． C． D．答案：A说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为= = =，答案为A．8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )A．6 B．8 C．10 D．12答案：C说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．9．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2−AC2=2BC·EF 证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2所以AB2−AC2=BF2−FC2=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC所以BF−FC=2EF所以AB2−AC2=BC•2EF=2BC•EF10．如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求AB．解：如图，作AD⊥BC因为EF⊥BC，所以AD80m60m100m80m60m2米4米1米13海里120海里50海里4米3米13米12米36平方米13cm24cm5cm 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________等腰直角三角形．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________MN）；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗请画出拼后的图形（无需证明）．答案：1．A【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知EN=DN=（8-x）cm，而EC=BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=CD=DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DGF=30°．∵2∠DKG+∠GKE=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN.∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.故△PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=MN）．（2）AM2+BN2=MN2..证明:如图，将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM.同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）．4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=a2，S″=b2，S=c2，则S′+ S″=（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=a2，S″=b2，S=c2．则S′+S″=（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究3：由圆的面积计算公式知：S′=πa2，S″=πb2，S=πc2．则S′+ S″=π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．5．解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）2=4×ab+c2，即a2+b2=c2．（2）如图所示．一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示a，b，c．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形请证明你的猜想．答案：1．D【解析】∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，∵a+b≠0，∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．2．解：（1）a是最长边，其理由是：∵a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）2＞0，∴a＞b，a＞c，∴a是最长边.（2）△ABC是直角三角形，其理由是：∵b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，∴△ABC是直角三角形．3．解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1；n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1.∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．勾股定理的应用专题最短路径的探究1.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则每一根这样的竹条的长度最少是______________.2. 请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：w W w .x K b o M设路线1的长度为，则；路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示，设路线2的长度为，则..∴∴所以要选择路线2较短。