解对初值的连续性和可微性定理

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常微分方程第二章

第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1）如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3）事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4）它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出），假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ）利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5）则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域（1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解，因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内，选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件，若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=，（2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ，代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ，代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2.了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

解对初值的连续和可微定理

2((x) (x))L((x) (x)) 2LV(x)
于是 d (V (x)e2Lx ) 0 dx
因对x0 [a,b]有
V (x) V (x0 )e2L(xx0 ) ,
x0 x b
对a x x0类似可证，因此
V (x) V (x0 )e2L xx0 , x [a,b],
两边取平方根即得
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:
Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 (x0的, y0 )
微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b] 上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?
Q2: 解在某个无限闭区间 [a, 上有) 定义,讨论初值 (x0, y0 )
z(x0 ) 1
(3.22)
的解, 显然当y0 0时,上述初值问题仍然有解 .
根据解对初值和参数的连续性定理
知z
பைடு நூலகம்
y0
是x,
x0
,
z0
,
y0的连续函数
, 从而存在
lim
y0 0 y0
y0
而是初值问题 dz f (x,) z
y (x, x0, y0 ) , y (x, x0, y0 y0 ) ,
即
x
y0 x0 f (x,)dx,
和
x
y0 y0 x0 f (x, )dx,
x
于是
y0
( f (x, ) f (x,))dx
x0
y0
x f (x, ( )) ( )dx
x0
y
其中0 1.注意到 f 及,的连续性,有
(x1, y1)

常微分解对初值的连续性和可微性定理27页PPT

▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
Байду номын сангаас
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
27
常微分解对初值的连续性和可微性定理
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君何能尔？心远地自偏。 25、人生归有道，衣食固其端。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

常微分--解对初值的连续性与可微性定理PPT文档共27页

55、为中华之崛起而读书。 — 事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
常微分--解对初值的连续性与可微性定理
11、获得的成功越大，就越令人高兴。野心是使人勤奋的原因，节制使人枯萎。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树，先有根茎，再有枝叶，尔后花实，好好劳动，不要想太多，那样只会使人胆孝懒惰，因为不实践，甚至不接触社会，难道你是野人。(名言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但常看常新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福。我爱自己，我用清洁与节制来珍惜我的身体，我用智慧和知识充实我的头脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。农夫不会播下一粒玉米，如果他不曾希望它长成种籽；单身汉不会娶妻，如果他不曾希望有小孩；商人或手艺人不会工作，如果他不曾希望因此而有收益。-- 马钉路德。

解的连续性

y = ϕ(x, x0 , y0 )定义于α(x0 , y0 ) < x < β(x0 , y0 )上 ,
令 V = {( x, x0 , y0 ) | α(x0 , y0 ) < x < β(x0 , y0 ), (x0 , y0 ) ∈G},
下证y = ϕ(x, x0 , y0 )在V内连续对 (x, x0 , y0 ) ∈V, , ∀
y
D
y0
y0
η = min(ε, ρ / 2)
p( x0, y0 )
G
o
ca
x0x0
bd
x
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性显然有: 显然有定理方程条件: 条件: 结论: 结论: 解对初值的连续性定理
dy = f ( x, y), dx ( x, y) ∈G ⊂ R2 (1 )
( x0 − x0 )2 + ( y0 − y0 )2 ≤ δ 2
ϕ( x, x0, y0 ) −ϕ( x, x0, y0 ) < ε , a ≤ x ≤ b.
见下图) 见下图记积分曲线段S：记积分曲线段：y = ϕ( x, x0, y0 ) ≡ ϕ( x), x ∈[a, b] (见下图显然S是xy平面上的有界闭集显然是平面上的有界闭集. 平面上的有界闭集
如对 ε > 0, ∃δ = δ (ε, a, b) > 0, 使对满果 ∀ 得于足 2 2 2 (x0 − x0 ) + ( y0 − y0 ) ≤ δ
的切 x0 , y0 ), 一 (
初值问题
dy = f (x, y) , dx y(x0 ) = y0

解对初值的连续依赖性定理

解对初值的连续依赖性定理初值依赖性定理（Initial Value Dependence Theorem）也称为Cauchy-Lipschitz定理，是微分方程的一个重要定理，它指出某个给定的初值问题的解的连续性取决于其初值的连续性。

它是一个非常有用的定理，它可以帮助我们研究微分方程的解，以及它们如何随着初值的变化而变化。

初值依赖性定理的正确性可以归结为一个简单的事实：如果某个特定的初值问题有解，那么不同的初值也会产生不同的解，而且它们之间是连续的。

举个例子，考虑一个简单的微分方程：$$\frac{dy}{dt}=f(y,t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$假设这个方程的初值是$y(t_0)=y_0$，那么根据初值依赖性定理，当$t_0$和$y_0$的值发生变化时，方程的解也会发生变化，而且这种变化是连续的。

当$t_0$和$y_0$变化得足够小时，这种变化也会足够小，以至于可以忽略不计。

这里还有另一个重要的概念叫做Lipschitz条件，它指出当$(t,y)$发生变化时，方程右边的函数$f(y,t)$也要满足一定的条件。

例如，它的偏导数要小于一个给定的正常数K，即：$$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leq K \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$这样的话，如果初值$(t_0,y_0)$发生变化，那么这个变化也会被Lipschitz条件限制，从而使得解也受到相应的限制，因此解也是连续的。

总而言之，初值依赖性定理可以帮助我们研究微分方程的解，以及它们如何随着初值的变化而变化。

Lipschitz条件可以帮助我们判断方程的解是否满足初值依赖性定理。

因此，初值依赖性定理是研究微分方程的一个重要理论。

33解对初值的连续可微性理

那么，对任意给定的 0 ，必能找到正数 ( , a,b)，使得当
(x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 ( 0 )2 2
时，方程 (3.1) 通过点 (x0 , y0 ) 的解 y (x, x0 , y0 , ) 在区间
a x b 上也有定义，并且 (x, x0, y0,) (x, x0, y0,) , a x b
作为 x, x0 , y0 的函数在它的存在范围内是连续的。
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4、解对初值和参数的连续依赖定理
（1）含有参数的微分方程
dy f (x, y, )
dx （2）条件
(3.1)
函数f (x, y, ) 在 G 内连续且在内一致地关于
y满足局部Lipschitz条件 .
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即

z x0
是初值问题
dz

dx

[ f
(x,)
y

r1 ]z
z(x0 ) f (x0 , y0 ) r2 z0
的解。

根据解对初值和参数的连续性定理，从而存在 lim
。
而

是初值问题
的一切 (x0 , y0 ) ，相应初值问题（3.1）的解 y (x, x0 , y0 )
都在 [a,b] 上存在，且有
(x, x0, y0 ) (x, x0*, y0*) , x [a,b]
则称初值问题（3.1）的解 y (x, x0 , y0 ) 在点 (x0*, y0*) 连续
3.3 解对初值的连续和可微性定理
主要内容

3-21 3-26 -解的延拓、解对初值和参数连续性定理、可微性定理

3.2 一阶微分方程解的延拓和解对初值和参数的连续依赖性定理(Extension of solution and continuous dependence of solution with respect toinitial value or parameter of ODE )[教学内容] 1. 介绍Picard 定理的证明过程; 2.介绍微分方程初值问题解的延拓定理; 3. 介绍微分方程解对初值和参数的连续依赖性定理.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理、知道解最大存在区间的特点以及解对初值和参数连续性定理条件和结论，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习 [考核目标]1. 知道Picard 定理的证明思路;2. 知道初值问题解的最大存在区间的特点;3. 知道微分方程初值问题解对初值和参数连续依赖性和可微性定理..1. Picard 定理的表述（见上次课讲义）与证明：（1）将初值问题转化为积分方程解的问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy ，⎰+=x x 00y(x))dx f(x,y y(x)并说明两方程为等解方程.（2）构造函数集合}上连h]x h,-[x 在{E 00续φ(x)+=，其中0}Mbmin{a,h >=. 构造映射⎰+=→xx 00y(x))dx f(x,y F( E,E :F φ(x))，验证h]x h,C[x ))((F 00+-∈x φ且]b y b,[y ))((F 00+-∈x φ.（3）构造函数列)}({x n φ，其中 )),((F )()),((F )(,)(120100x x x x y x φφφφφ===，验证)}({x n φ在h]x h,[x 00+-连续且一致收敛，记)(x φ表示)}({x n φ的极限函数.（4）验证函数列(x ))}{f(x ,n φ一致收敛，由求积分和极限交换次序定理知，)(x φ为积分方程的一个连续解.（5）运用Gronwall 定理证明积分方程的解是唯一的. 2. 注解：（1）两个函数之间的距离如何刻画？y=f(x)y=g (x )2.0 1.5 1.00.50.5 1.00.51.01.52.0定义|g(x)f(x)|max g(x)f(x)h]x h,[x x 00-=-+-∈，从图像来看这样刻画是合理的！（2）Picard 函数列与精确解的误差估计：h]x h,[x x ,h 1)!(n ML )()(001n n +-∈+≤-+x x n φφ. （3）柯西定理及其特殊情形，线性方程解的存在唯一性的条件. （4）一阶隐方程解的存在唯一性定理（参见教材P86定理2） 3. 微分方程初值问题的Picard 近似解计算和误差估计例42. 方程22y x dxdy+=定义在矩形域1] 1,[1] 1,[D -⨯-=，试利用解的存在唯一性定理确定经过(0, 0)的解的存在区间，并求出在此区间上与精确解误差不超过0.05的近似解的表达式.（参见教材P87例题1）作业35. 教材P88，习题3，习题10.3. 解的延拓定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y (x y)f(x,dx dy的解为φ(x)y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，那么上述解函数最大的存在区间是什么呢？（2）理解教材P90，图(3.2)，知道饱和解. （3）解的延拓定理及其参见教材P91和P92.考察初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y)f(x,dx dy，其中y)f(x,在开区域内连续，且在G 内对y 满足局部的Lipschitz 条件，设位于G 内一点)y ,(x 00出发的解φ(x)y =的最大存在区间为),(βα，则),(βα具有如下特征：当+→αx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界；当-→βx ，))(,(x x ϕ趋于G 的边界. 特别地，若G=2R ，且方程的任一解都有界，则方程任一解的最大存在区间为),(∞+-∞.例43. （1）讨论方程21y dx dy 2-=分别通过点3)2,(ln (0,0),-的解的最大存在区间. （2）讨论方程1t 2dt dx 2-=分别通过点1) (2, 1), (0,的解的最大存在区间.（3）讨论方程y 2dxdy-=过点1) (0,的解最大存在区间. 解：（1）参见教材P92例题1. (2) 两个解分别为1t 1-1,|1t 1t |ln x <<++-=和1t 3,ln 1|1t 1t |ln x >+++-=. (3) 右端函数y 2y)f(x,-=的存在域为0}y |y){(x,≥. 方程的通解为0y ,x )(c y 2=-= 过点1) (0,的解为2x )(1y -=，该解向左可以延伸到∞-，向右延伸到0y 1,x →→；但注意到∞<<∞-=x 0,y ，因此，该解向右可以延伸到∞+.作业36. （1）考察⎪⎩⎪⎨⎧==00x )x(t x)f(t,dt dx，若x)f(t,在整个Otx 平面上有定义，连续且有界，同时对变量x 存在一阶连续偏导数，则方程的任一解的最大存在区间为) ,(∞+-∞.（2）讨论方程22y x 1dx dy +=和方程2y 1dxdy +=解的最大存在区间.4. 微分方程解对初值的连续性和可微性定理（1）问题表述：由解的存在性定理知，⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x λ)y,f(x,dx dy的解为φ(x)y =至少在h]x h,[x 00+-上存在，为了表示解与初值和参数λ相关，将上述解函数记为),y ,x φ(x ,y 00λ=. 问解函数),y ,x φ(x ,00λ是否对变量λ ,y ,x 00连续，是否可导，以及导函数例如y ∂∂ϕ的表达式？考察一个具体的例子：⎪⎩⎪⎨⎧==00y )y(x y λdx dy 的解为)x λ(x 00e y y -=，这就是一个关于变量λ) ,y , x (x ,00的多元函数λ),y ,x (x ,y 00ϕ=. （2）回答：教材P95 定理，P99定理，P100定理. （3）形式推导出0x ∂∂ϕ，0y ∂∂ϕ，λ∂∂ϕ满足的方程和表达式.（一）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0y 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂1)(x y y )f(x,y dx d 0000y ϕϕϕϕ，求解上述方程初值问题得到，⎰=∂∂∂∂xx dx y)f(x,0e y ϕϕ.（二）、⎪⎩⎪⎨⎧==00y )(x )f(x,dx d ϕϕϕ，对上面两式两边关于0x 求导得到，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂∂∂⋅∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=)y ,f(x x x y )f(x,x dx d 00000x x ϕϕϕϕ，说明第二式：0000y λ),y ,x ,(x =ϕ，关于0x 求导得到)y ,f(x xx 0,x x00x x 00x x 0-=∂∂-=∂∂=∂∂+∂∂==ϕϕϕϕ.求解上述方程初值问题得到，⎰-=∂∂∂∂xx dx y)f(x,000e )y ,f(x x ϕϕ.例44. 假设函数Q(x) P(x),为区间b] [a,上连续函数，)y ,x (x ,y 00ϕ=为线性方程Q(x)y P(x)dxdy +=的解，)y ,x ,(x y 0000ϕ=. 试求(1) 00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ; (2) 用常数变易公式求出方程的解函数再通过直接求导法来求出00y ,x ,x ∂∂∂∂∂∂ϕϕϕ. 解：（1）由公式有 ,))e Q(x )y P(x ())e Q(x )P(x (xx0x xx 0P(x)dx000P(x)dx0x x 00⎰+-=⎰+-=∂∂=ϕϕ,e y x0x P(x)dx 0⎰=∂∂ϕQ(x)y P(x)x +=∂∂ϕ. （2）由常数变易公式得到，C)Q(t)dt e (e(x )xx P(s)dsP(t)dtt0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.再由初值条件确定出0y C =. 因此，)y Q(t)dt e (e)y ,x (x ,0xx P(s)dsP(t)dt000t0x x0x +⎰⎰=⎰-ϕ.Q(t)dt )P(x e )Q(x e y Q(t)dt e )P(x (e x x x 0P(s)ds 0P(t)dt 0x x P(s)ds 0P(t)dt 00tx x 0x 0t 0x x 0x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+-⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=∂∂⎰⎰--ϕ⎰+-=∂∂x0x P(x)dx0000))eQ(x y )P(x (x ϕ； ⎰=∂∂x0x P(x)dxey ϕ ； Q(x)e e y Q(t)dt e P(x) e x x0x x0x 0t0x x0x P(s)ds P(t)dt 0x x P(s)ds P(t)dt⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=∂∂--⎰ϕ；Q(x) P(x)x+=∂∂ϕϕ.作业37. 给定方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y sin dx dy ，试求000000),,(,),,(y y x x y x y x x y ∂∂∂∂在0,100==y x 时的表达式.附录：。

数值分析基本定理2

称为解对初值的连续性。内容包括：当初值发
生小的变化时，所得到的解是否仍在a,b 上有
定义以及解在整个区间 a,b 上是否也变化很小？
问题2 解在某个无限闭区间，如[a, ) 上有
定义，讨论初值 x0, y0 的微小变化是否导致解
在[a, ) 上由定义以及解在整个区间 [a, ) 上变化很小？这种问题称为解的稳定性问题，将在第六章中讨论。

2
就有 x, x1, y1 x, x0, y0
x, x1, y1 x, x0, y0 x, x0, y0 x, x0, y0

22
这说明 x, x0, y0 在 x, x0, y0 连续。

dx

y
y x0 y0
的解为 y y0e x x0 .
这样就提出了一个在理论上和应用上都很重要的问题：当初值发生变化时，对应的解如何变动？根据所考虑的解的存在范围是否有限，这个问题又分成下面两种问题：
问题1 解在某个有限闭区域 a,b 上有定义，讨论
初值 x0, y0 发生微小变化时，对解的影响情况，
Ci i 1,2,L , N ，并且它们的全体覆盖了整个积分
曲线段S。ri 为圆周Ci 的半径，Li表示f x, y于Ci
内的Lipschitz常数。令G

N
U Ci
,则有S

G

G,且G
与S
的距离

0
i 1
。对于预先给定的

0 ，若取
min , / 2 及 L max L1 , L2 ,L LN ,
延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点

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§3.3 解对初值的连续性和可微性定理在初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程),(y x f dxdy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ϕ=,它满足0000(,,)y x x y ϕ=.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00(,,)y x x y ϕ=证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ϕ=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11(,,)y x x y ϕ=并且,有0011(,,)y x x y ϕ=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ϕ=对该积分曲线上的任意点均成立.2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ϕ及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00|()()||()()|L x x x x x x e ϕψϕψ--≤- （3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明设()x ϕ,()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令2()[()()],V x x x a x b ϕψ=-≤≤则()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ϕψϕψ'=--于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ϕψϕψ''≤=--≤22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤从而 2(())0Lx d V x e dx-≤ 所以,对0[,]x a b ∀∈,有02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为(,)dy f t y dx=-- 而且已知它有解()y t ϕ=-和()y t ψ=-.类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 有解00(,,)y x x y ϕ=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε，(,,)0a b δδε∃=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤.证明记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ϕϕ=≡≤≤是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使S D ⊂,而且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件.由已知条件,对(,)x y S ∀∈,存在以它为中心的开圆,C C G ⊂,使(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =(不同的,其半径和Lipschitz 常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令1Ni i G C ==,则S G G ⊂⊂,对0ε∀>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=∂==,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域D G G ⊂⊂,且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为.第二步:证明(,,)0(a b δδεδη∃=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψϕ==在区间a x b ≤≤上也有定义.由于是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知,解00()(,,)y x x x y ψϕ==必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ϕψϕψ--≤-≤≤利用()x ϕ的连续性,对()112L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ϕϕδ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有0002||22002||200002||2200002101|()()||()()|2(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ϕψϕψϕϕϕψϕϕϕψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()022()21|) 4 ()L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18) 于是对一切[,],|()()|x c d x x ϕψη∈-<成立,特别地有|()()|c c ϕψη-<,|()()|d d ϕψη-<即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.第三步证明|()()|,x x a x b ϕψε-<≤≤.在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕηε-<≤≤≤.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.证明对00(,)x y G ∀∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ϕ=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈下证00(,,)y x x y ϕ=在上连续. 对00(,,)x x y V ∀∈,[,]a b ∃,使解00(,,)y x x y ϕ=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ∀>∃>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,0000(,,)(,,),2x x y x x y a x b εϕϕ-<≤≤ 又00(,,)y x x y ϕ=在[,]x a b ∈上对连续,故20δ∃>,使得当2||x x δ-≤时有0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b εϕϕ-<∈ 取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有000000000000(,,)(,,)|(,,)(,,)||(,,)(,,)|22x x y x x y x x y x x y x x y x x y ϕϕϕϕϕϕεεε-≤-+-<+=从而得知00(,,)y x x y ϕ=在上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程(,,)dy f x y dxλ:(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19) 如果对(,,)x y G λλ∀∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ⊂，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式1212|(,,)(,,)|||f x y f x y L y y λλ-≤-其中是与无关的正数，称函数(,,)f x y λ在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ϕλ=.设(,,)f x y λ在内连续,且在内关于一致地满足局部的李普希兹条件,000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε∀>∃=>,使得当222200000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ϕλ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且 00000(,,,)(,,,),[,]x x y x x y x a b ϕλϕλε-<∈5、解对初值和参数的连续性定理设函数(,,)f x y λ在区域内连续，且在关于一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ϕλ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.6、解对初值的可微性定理如果函数),(y x f 以及y y x f ∂∂),(都在区域内连续，则对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明由yy x f ∂∂),(在区域内连续，可知),(y x f 在内关于满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的.下面证明函数00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内的任一点偏导数00,,x x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在且连续. (,),f x xϕϕ∂=∂显然存在且连续.x ϕ∂∂先证存在且连续. 00000(,)(,)x y x x y +∆由初值和所确定的解分别为 00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x x y ϕψ=+∆≡ 即 00(,),xx y f x dx ϕϕ≡+⎰000(,),x x x y f x dx ψψ+∆≡+⎰ 于是 000(,)(,)x xx x x f x dx f x dx ψϕψϕ+∆-≡-⎰⎰000(,)x x x f x dx ψ+∆=-⎰0(,())()x x f x dx y ϕθψϕψϕ∂+-+-∂⎰ 01,,,f yθϕψ∂<<∂其中注意到及的连续性有 (,())f x y ϕθψϕ∂+-=∂1(,)f x r yϕ∂+∂ 010100,00.x r x r ∆→→∆==这里当时,且时,类似有 00000201(,)(,)x x x f x dx f x y r x ψ+∆-=-+∆⎰120,0r r x ∆≠其中与具有相同性质因此对有 0002100(,)()[(,)][]x x f x f x y r r dx x y x ψϕϕψϕ-∂-≡-+++∆∂∆⎰ 即 0z x ψϕ-=∆是初值问题100020(,)[]()(,)dz f x r z dxy z x f x y r z ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=-+≡⎩ 的解，00,x ∆=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理0000,,,,z x x z x x ψϕ-=∆∆知是的连续函数从而存在0000lim x x x ψϕϕ∆→-∂≡∆∂x ϕ∂∂而是初值问题 000(,)()(,)dz f x z dx y z x f x y ϕ∂⎧=⎪∂⎨⎪=-⎩ 的解,容易得到0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数.y ϕ∂∂同样可证存在且连续. 00000(,)(,)x y x y y +∆设由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x y y ϕψ=+∆≡ 类似上述方法可证0z y ψϕ-=∆是初值问题30(,)[]()1dz f x r z dx y z x ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=⎩ 的解.因而030(,)exp([])x x f x r dx y yψϕϕ-∂=+∆∂⎰ 其中具有性质:030300,00.y r y r ∆→→∆==当时,且时,所以有00000(,)lim exp()x x y f x dx y y yϕψϕϕ∆→∂-∂==∂∆∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数. 故00(,(,,))f x x x y xϕϕ∂=∂ 0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00(,)exp()x x f x dx y yϕϕ∂∂=∂∂⎰例1已知方程为)sin(xy dx dy =试求00000==∂∂y x y ϕ，00000==∂∂y x x ϕ. 解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在平面内连续，且)cos('xy x f y =也在平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =. 于是20210cos 000),,(x ds s e e y y x x y x =⎰=∂∂，00sin ),,(00cos 000=⎰-=∂∂x ds s e x y x x y .。