抛物线常用性质总结
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(
,0)2p F ，准线2
p
x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22
>=p px y 的焦点弦AB ，
),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．
弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(
,0)2
p F (1) 若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124
p x x =，2
12y y p =-。
(2) 若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α
=（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ,
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===∙∙ (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形
参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.
开口方向 右
左
上
下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>
22(0)x py p =->
焦 点位 置 X 正
X 负
Y 正
Y 负
焦 点坐 标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准 线方 程 2
p x =-
2p x =
2
p y =-
2
p y =
范 围 0,x y R ≥∈
0,x y R ≤∈
0,y x R ≥∈
0,y x R ≤∈
对 称轴 X 轴
X 轴
Y 轴
Y 轴
顶 点坐 标 （0,0）
离心率 1e =
通 径 2p
焦半径11(,)A x y 12
p AF x =+
12
p AF x =-+
12
p AF y =+
12
p AF y =-+
焦点弦长AB
12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++
焦点弦长AB 的补充
11(,)A x y
22(,)B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
若AB 的倾斜角为α，2
2sin p AB α
=
若AB 的倾斜角为α，则22cos p
AB α
=
2
124
p x x = 212y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条
1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.
4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，
∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分
∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.
10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：
方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：
易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。(y1+y2)/2)，证毕。
抛物线性质和知识点总结
抛物线性质和知识点总结
1. 抛物线的定义和基本形式
抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。其基本形式是
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
2. 抛物线的顶点和对称轴
抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的焦点和直线方程
抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。当直线与抛物线相切时，两个交点重合。当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。
4. 抛物线的焦距和离心率
抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。
5. 抛物线的性质
抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：
a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；
b）抛物线的顶点在对称轴上；
c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；
d）与y轴的交点是常数项c；
抛物线的性质
抛物线的性质
引言
抛物线是一种常见的二次曲线，具有独特的形状和性质。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用，以帮助读者更好地理解和应用抛物线。
抛物线的定义
抛物线是一个平面曲线，定义为到一个固定点（称为焦点）和到一条固定直线（称为准线）的距离之比等于从抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离之比，即满足关系式：$ \frac{PF}{PQ} = e $。其中，P为抛物线上任意一点，F为焦点，Q为准线上与点P垂直的点，e为常数，称为离心率。
抛物线的形状
抛物线的形状是一个对称的弧线。根据抛物线的定义，可
以得出以下结论：
1.抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。
2.抛物线没有端点，它在无穷远处逐渐接近准线，但
永远不会和准线相交。
3.离心率e决定了抛物线的形状。当0 < e < 1时，抛
物线开口向上；当e > 1时，抛物线开口向下；当e = 1时，抛物线是一个特殊的情况，称为标准抛物线，开口向上且
对称轴和准线重合。
抛物线的方程
抛物线可以用一般式和顶点式两种形式来表示。
一般式
抛物线的一般式表示为：$ y = ax^2 + bx + c $。其中，a、b、c为常数，决定了抛物线的位置和形状。
顶点式
抛物线的顶点式表示为：$ y = a(x-h)^2 + k $。其中，(h,k)
为抛物线的顶点坐标。
由一般式转换为顶点式的方式如下：
1.将一般式中的x项的系数b除以2a，得到顶点的横
坐标h。
2.将一般式中横坐标为h的点代入一般式，求出纵坐
标k。
抛物线的性质
抛物线具有多种性质，包括焦点、准线、对称轴、顶点、
抛物线常用性质总结
结论一：若AB是抛物线y 2pXp 0）的焦点弦（过焦点的弦），且Ax,%）, Bx?,y2），则:
2
P 2
X|X2 —, yy2 P。
4
结论二：已知直线AB是过抛物线y 2px （p 0）焦点F,求证：1 1 =2
|AF p
结论三：（1 ）若AB是抛物线y2 2pXp 0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则
AB 2p
（%工0 ）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
sin 2
结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二：
例：已知直线 AB 是过抛物线 y 2px(p 0)焦点F ,求证：
1
1
为定值。
|AF| |BF|
证明：设A(X i , y i )， B(x ?, 丫2)，由抛物线的定义知： AF X"
1
号，BF
X ?号，又
2
AF + BF = AB ，所以 X " + x 2 = AB -p ，且由结论一知：x-|X 2 —。
4
贝y ： 1 1 |AF BF
AB
AB
=
AB
2
|AF BF
AF BF
(X 1 即2 舟)住弘 xj E 云卫(AB p)云 p
2 2 2 4 4 2 4
(常数
证明：结论四: • / PFM= / FMP
• /AFP= / AFM+ / PFM= / FMA+ / FMP= / PMA=9 0 °,. FP 丄 AB
已知AB 是抛物线 2
y 2px(p 0)的过焦点
F 的弦，求证：(1) 以AB 为直径的圆与抛物
线的准线相切。
(2)分别过
关于抛物线的知识点总结
抛物线的知识总结
概述
抛物线是一种二次曲线，具有很多有趣的性质和应用。它可以从焦点和直线外一点定义或从二次方程表示。在数学、物理和工程学中，抛物线经常出现在各种问题中。本篇文章将介绍抛物线的重要观点、关键发现和进一步思考。
1. 抛物线的定义和性质
1.1 定义
抛物线可以通过以下两种方式定义：
1.从焦点和直线外一点定义：抛物线是到焦点和直线的距离相等的点的轨迹。
2.从二次方程表示：二次方程y=ax2+bx+c（其中a≠0）描述了抛物线。
1.2 顶点
抛物线的顶点是最高或最低点，其横坐标为−b
2a ，纵坐标为−Δ
4a
，其中Δ表示二次
方程的判别式。
1.3 对称轴
抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的中垂线，其方程为x=−b
2a
。
1.4 焦点和直线
焦点是指到抛物线上所有点的距离与到直线的距离相等的点。直线是焦点到抛物线与对称轴垂直的直线。
1.5 切线
抛物线上每一点的切线是通过该点且与抛物线仅有一个交点的直线。切线的斜率为该点的导数。对于方程y=ax2+bx+c，点(x,y)处的切线方程为y=2ax+b。
切线与抛物线的交点是切点。
1.6 点和距离的关系
对于抛物线上一点P(x,y)，离焦点的距离等于离直线的距离，即PF=PL。其中F
表示焦点，L表示直线。
1.7 平移和缩放
对于标准抛物线y=x2，平移、缩放和反转等操作可以改变抛物线的位置和形状。例如，抛物线方程为y=a(x−ℎ)2+k，表示平移(ℎ,k)个单位的抛物线，并在x轴
方向进行水平缩放。
2. 重要观点和关键发现
2.1 焦点和直线的距离
对于抛物线y=ax2+bx+c和过焦点的直线y=k，抛物线上任意一点的坐标为(x,ax2+bx+c)，直线上任意一点的坐标为(x,k)。根据点到直线的距离公式，有：
抛物线性质总结
抛物线性质总结
一、抛物线的定义和基本性质
抛物线，是数学中一种经典的曲线。它具有许多令人着迷的性质，
在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。本文将总结抛物线的一些
基本性质。
抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。其中a、b、c为实数，且a不等于0。根据该方程，我们可以得出以下基本性质。
1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。也就是说，对于任意点(x, y)
在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。
2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -
b / (2a)，纵坐标为y₁ =
c - b² / (4a)。顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。
此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。焦点是一个点，
它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距
离相等。焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /
(4a)。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。对称轴
的方程为x = -b / (2a)。对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离
等于该点到抛物线的任意一点的距离。
二、抛物线的拓展性质
除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。
1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，
使其与抛物线相切。这条直线称为该点的切线。切线的斜率等于抛物
线在该点的导数。
类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(
,0)2p F ，准线2
p
x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(
,0)2
p
F (1) 若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124
p x x =，
212y y p =-。
(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α
=（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===∙∙ (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形
参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.
开口方向 右
左
上
下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>
22(0)x py p =->
焦 点位 置 X 正
X 负
Y 正
Y 负
焦 点坐 标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2p -
准 线方 程 2
p x =-
2p x =
2
p y =-
2
p y =
范 围 0,x y R ≥∈
0,x y R ≤∈
0,y x R ≥∈
0,y x R ≤∈
对 称轴 X 轴
X 轴
Y 轴
Y 轴
顶 点坐 标 〔0,0〕
离心率 1e =
通 径 2p
焦半径11(,)A x y 12
p AF x =+
12
p AF x =-+
12
p AF y =+
12
p AF y =-+
焦点弦长AB
12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++
焦点弦长AB 的补充
11(,)A x y
22(,)B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
假设AB 的倾斜角为α，2
2sin p AB α
= 假设AB 的倾斜角为α，则22cos p
AB α
=
2
124
p x x = 212y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结
抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-
x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。零点可以通过解二次方程来求得。如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。如果a大于零，抛物
线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的
(完整版)抛物线知识点归纳总结
引言：
抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，包括抛物线的定义、性质、方程、焦点、准线等。通过深入理解抛物线的相关概念和性质，读者将能够更好地应用抛物线解决实际问题。
概述：
抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两侧对称且开口向上或向下的特点。具体而言，抛物线由一条称为准线的直线和一个称为焦点的特殊点确定。
正文内容：
1.抛物线的定义：
抛物线是所有到一个定点（焦点）与到一条直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线也可以通过平面上点的坐标表示，而其坐标满足经典的二次方程形式。
抛物线具有一条对称轴，该对称轴是准线与焦点所在直线的垂直平分线。
2.抛物线的性质：
对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即对称轴上任意一点关于对称轴上的另一点的坐标对称。
单调性：抛物线开口朝上时，在对称轴上坐标递增；开口朝下时，在对称轴上坐标递减。
切线性质：抛物线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直，这是抛物线独有的性质。
定理一：抛物线上两个焦点到准线的距离之和等于焦距的两倍。
定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
3.抛物线的方程：
标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。
顶点形式：y=a(xh)^2+k，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
焦点形式：4a(yk)=(xh)^2，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
4.抛物线的焦点和准线：
焦点：抛物线的焦点是准线上一个固定的点，与抛物线的形状和方程相关。
抛物线的基本性质
抛物线的基本性质
抛物线的概念
抛物线是一种二次函数，具有单曲线的形状，它是由焦点到直线的距离相等所形成的
曲线。
1．对称性。抛物线的形状具有二次函数的对称性：它与y轴的对称轴称为抛物线的对称轴，对称轴的方程为x=-p，其中p为抛物线的焦距(focus)。
2．极值。抛物线的平移和缩放只会影响它的大小，而不会改变它的形状，因此它没
有最大值和最小值。但如果我们要探讨抛物线的局部极值，我们需要把抛物线垂直于x轴
的高度视为y值，因为它是抛物线的函数式
3．判定方程。我们可以使用方程y=ax^2+bx+c判定一个二次函数是否为抛物线:
a>0，则函数是向上的抛物线
a=0，则函数是一条水平直线
4．交点。如果两个抛物线相交，它们在交点上的切线相互垂直。
5．求导。抛物线的导数是二次函数的一阶导数。要求抛物线的导数，我们只需要将
y=ax^2+bx+c带入虚拟的求导公式即可，就像求其他的导数一样
6．焦距和焦点。焦距是定点和抛物线直线之间的距离。焦点是定点在抛物线上的投
影点，它也是抛物线的对称点
7．开口方向。抛物线可以有向上和向下的方向。当a为正数时，抛物线是向上的，当a为负数时，抛物线是向下的。这个方向取决于二次函数的条件限制。
8．极坐标方程。抛物线的极坐标方程是r=2a/(1+cosθ)，其中a是焦距。极角是一
个内部角度，以X轴为起点，并按顺时针方向旋转
9．完备方程。抛物线的完备方程是y=(x-h)^2+k，它是标准方程2ー(x-h)=4a(y-k)的特殊形式。它们都携带了抛物线的相关信息。
10．光学性质。抛物线是光的不少经典聚光器的基础，包括新视野太空探测器的天线、著名望远镜哈勃、汽车的头灯等等。
最全抛物线曲线性质总结
最全抛物线曲线性质总结
抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。本文将
总结抛物线的最全性质。
1. 定义
抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点
所组成的曲线。
2. 方程
抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 性质
以下是抛物线的一些重要性质：
对称性
- 抛物线关于纵轴对称；
- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。
零点
- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；
- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；
- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；
- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。
顶点
- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；
- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。
平行于坐标轴
- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；
- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。
开口方向
- 由抛物线的系数a来决定；
- 若a大于0，则抛物线开口朝上；
- 若a小于0，则抛物线开口朝下。
最值
- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；
- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
弧长
- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。
以上是抛物线的一些常见性质和特点。对于理解和应用抛物线非常有帮助。希望本文对您有所启发和帮助。
抛物线性质总结
抛物线性质总结
抛物线是广泛应用在数学中的一条函数曲线，其涉及到诸多的基本性质，常用的有抛物线的根性，关系式，定积分，交点，端点，极值等等。
抛物线的根性：抛物线的轴对称，一般方程通常有两个不同的根，或是称之为把抛物线绳子或扳手弯曲两次；
抛物线的关系式：当方程是幂函数抛物线式时，可以表示成y=ax²+bx+c，a>0，其中a是抛物线下凹，b和c是顶点x和y的坐标，b和c也是抛物线的转折点；
抛物线的定积分：抛物线的定积分可以表示成f(x)=ɑx+1/2∫g(u) du,其中g(u)为定义域内的函数。抛物线的定积分就是做抛物线上每两个任意点间的积分；
抛物线的交点：抛物线与其他函数交点，只要求解其他函数与抛物线方程的解、公共解得到；
抛物线的端点：抛物线的端点可以通过关系式求出，为左端点x=-b/2a,y=f(-b/2a)，右端点x=b/2a,y=f(b/2a)。
抛物线的极值：抛物线的极值可以通过求解关系式x=-b/2a，得出结论，抛物线的极值为y=f(-b/2a)。
以上就是抛物线的总体性质，由此可见抛物线在数学和几何中起着重要作用，由此也可以解决许多学术问题，正如此抛物线总结中所述，受到学术界的广泛认可。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结
抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。下面将总结抛物线的一些常用性质。
1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。
3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。
4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。
5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。
6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。
7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。
8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。计算抛物线上两点间的
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结论一：若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：
2
124
p x x =，212y y p =-。
结论二：已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p
+
。
结论三：（1）若AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则
22sin P AB α
=
（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
证明结论二：
例：已知直线AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF
+为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+
，22
p
BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2
124
p x x =。 则：212
121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===⋅+++++ =22
2()424
AB p p p p AB p =+-+（常数
证明：结论四：
已知AB 是抛物线2
2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN
切。
证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N
，连结AP 、BP 。
由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111
()()222
QP AM BN AF BF AB =
+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切
（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，
∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ，
∴∠MFN=
1
2
（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1
2
MP NP FP MN ===，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB