高中数学《双曲线》教案新人教A版选修1-1

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高中数学《双曲线》教案5新人教A版选修1-1

的轨迹为双曲线
2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程焦点
x2 y2 a 2 b2 1(a,b 0) (c,0), ( c,0) ，
y2 x2 a 2 b2 1(a, b 0) (0, c), (0, c)
性焦距
2c
范围质
| x | a, y R
顶点
(a,0), ( a,0)
对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称
a ba b
有
5．
5. （ 09 江西卷文）设
x2 F1 和 F2 为双曲线 a 2
y2 b2
1( a
0, b 0 ) 的两个焦点 , 若 F1， F2 ，
P (0,2 b) 是正三角形的三个顶点 , 则双曲线的离心率为（
）。
3
A．
2
B
．2
5
C
．
D ．3
2
【解析】由 tan
c
6 2b
3 有 3c2 4b2 4(c2 a2 ) , 则 e c 2 , 故选 B.
y2 1
x2
B．
y2
x2
1
9
C ．3
y2
x2
1
7
D ．7
y2 1
3
2
2
[ 解析 ] 由 | MF1 | | MF2 | 2 和 PF 1 PF 2 40得 | PF 1 PF 2 | 6 ，选 A
9 3. 两个正数 a、 b 的等差中项是 2 ，一个等比中项是 2 5 ，且 a
x2
b, 则双曲线 a 2
3. 双曲线
x2 a2
y2 b 2 ＝１的参数方程为：
x asec
（为参数）。

2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修11

2021年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修1-1一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计并加以研究.3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课 1．概念辨析以双曲线标准方程，为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得，当时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点.但y 轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长归纳：顶点：特殊点：实轴：长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异 4．渐近线：经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为. （1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内a x a x ab y >-=,22与直线的位置关系;设是a x a x ab y >-=,22上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,Y x aba x ab y =≤-=≤220，∴在的下方. ∴22222222))((ax x a x x a x x a b a x a b x a b -+-+--⋅=-- ，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；（3）求法：在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；若方程为，则渐近线方程为. 2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：或.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：,当时交点在轴，当时焦点在轴上.例：等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；（2）与（a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①、与②、③、④、⑤之间的关系. （三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)与;(2) 与的区别?(1) 不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2) 不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.问题: 共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成.当时交点在x 轴，当时焦点在y 轴上.即:双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.证明：若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同；若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．3．例题分析1、若双曲线以为渐近线, 根据下列条件，分别求双曲线标准方程. （1）且实轴长为；（2）过点；（3）一个焦点坐标为. 解：（1）设双曲线方程为, 当时焦点在x 轴上，，双曲线方程; 当时焦点在y 轴上，，双曲线方程; （2）设双曲线方程为将代入得，双曲线方程（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为. 2、（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程. 解：（1）渐近线方程为，22)2(2122=-⋅+--=αtg ，;（2）当焦点在轴上时，方程为; 当焦点在轴上时，方程为.三、巩固练习1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是 .2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是 .四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成. 五、作业布置1、习题册P363，4，5，6，72、补充作业（1）求方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. （2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程. （3）求以为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程.七、教学设计说明1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.。

高中数学双曲线教案新人教A版选修1

2.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时）教学目标知识与技能使学生了解双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征。

过程与方法进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比，提高类比、分析、归纳的能力。

情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。

教学重点及难点重点双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质。

难点有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用。

教学过程一、复习引入：1、复习椭圆的几何性质；2、复习双曲线的标准方程。

二、新授内容：（一）双曲线的几何性质：（以焦点在x 轴为例）1、范围由标准方程22221x y a b-=推导出,x a a y R ≤-≥∈或x2、对称性双曲线关于x 轴、y 轴及原点对称。

3、顶点双曲线与它的对称轴的交点即为双曲线的顶点。

双曲线仅有两个顶点：()()12,0,,0A a A a -4、轴线段12A A 叫做双曲线的实轴，实轴长是2a ，a 叫实半轴长。

()()120,,0,B b B b -，线段12B B 叫做双曲线的虚轴，虚轴长是2b ，b 叫虚半轴长。

实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。

5、渐近线直线00x y x ya b a b+=-=或叫做双曲线的渐近线。

特别地，当a b =时，双曲线的方程为222x y a -=，实轴长和虚轴长都等于2a ，双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程为y x y x ==-或，它们互相垂直。

6、离心率双曲线的焦距与实轴长的比值叫做双曲线的离心率，即c e a=，因为c ＞a ＞0，所以1e ＞。

又222c a b =+，所以c e a ==1、已知方程求其几何性质例1 （1）求双曲线22916144y x -=的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程，并作出草图。

高中数学双曲线1 学案(新人教A版选修1-1)

§2．2．1双曲线的标准方程学案【学习目标】学习要求：1、熟练掌握求曲线方程的方法；2、掌握双曲线的标准方程及其推导方法；3、能根据已知条件求双曲线的标准方程，根据标准方程求a、b、c焦点。

高考要求：理解掌握双曲线的定义及标准方程，熟练运用。

【学习重点】双曲线的定义、标准方程及推导过程，熟练根据已知条件求双曲线的标准方程。

【学习难点】双曲线标准方程的推导及结合实际条件求双曲线的标准方程。

【学习过程】(一)问题情境我们前面一起研究学习了圆锥曲线中的椭圆的定义、标准方程及其几何性质。

今天我们继续研究学习。

我们来看一个拉链实验，它体现了我们学习过的圆锥曲线____________的特征？它的定义是什么？用数学式子表达________________________________________,当2a=|F1F2|时它的轨迹是____________________________当2a>|F1F2|时它的轨迹是____________________________.(二)学生活动如何推导推导双曲线的标准方程呢？可否类比求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程呢？请同学们自己尝试推导双曲线的标准方程类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程_____________________．阅读课本第34页完善自己的推导过程我们来观察一下双曲线的标准方程与椭圆的方程比较，有什么区别？在双曲线的标准方程中，根据__________________________________________确定其焦点在哪个坐标轴上。

（三）数学应用例1：请判断下列方程哪些表示双曲线？若是，请求出 a 、b 、c 和它的焦点坐标。

（1）22132x y -= （2）22144x y -=- （3）22169144x y -= （4）22431x y --=-（5）22221(0)1x y m m m -=≠+变式运用：已知11122=-++ky k x 表示双曲线，求k 的取值范围。

高中数学选修1,1《双曲线》教案

高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。

双曲线及标准方程教案新人教A版选修1-1.doc

双曲线及标准方程教案新人教A版选修1-1教学目标：1•通过教学，使学生熟记双1山线的定义及其标准方稈，理解双曲线的定义，体会双Illi线标准方稈的探索推导过程.2.使学生在学会知识的过稈屮，进一步熟练用坐标法建立Illi线方稈，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是木课的重点.定义屮“差的绝对值”、&与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具:CAT课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么？（学生口述椭圆的定义，教师利川CAI课件把椭圆的定义和图象放出來.）师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件I PFJ + I PF2 I二2a（常数）（2a> I FE I ）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件I PFJ + I PF2 I二2a（常数）的动点P的轨迹是椭圆,那双曲线应该是点P满足什么儿何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验屮寻找答案：I PF. I - I PF2 I 二2a 或I PF2 I - I PFi I =2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下血我们来验证一下.（播放双曲线flash生成动画，验证几何条件）师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果I PR I > I PF2丨，则得到曲线的右支,如果I PF2 | > I PF】|则得到曲线的左支,能否用一个等式将两儿何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在I PFd - I PF： I二2a左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值2a与I F：F； I大小关系怎样？（结合图象，学生分析：应该有2a〈IFF I ）（在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）三、方程推导师：平面解析儿何的基木思想是利用代数的方法来研究儿何问题，借助于曲线的方稈来揭示曲线的性质•下面我们来探究双曲线的方稈.首先请回忆椭圆的标准方稈是什么？（学生口述教师板书椭闘的标准方程）师：椭圆的标准方稈我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方稈.（学生在草稿纸上试着完成，教师板书方稈的推导过稈）建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P（x、y）, I F I F2 I =2c,并设F I（-C,0）,F2（C,0）.由两点间距离公式，得I PF1 I 二J（x + c）2 +y2 , I PF2 | 二J（x-c）2 + y2由双曲线定义，得I PFi I - I PF2 I =±2a 即J(x + c)2 + - J(x — c)2 + 二±2a化简方程Jo + c)2 + y2 二土2a+ yj(x-c)2 + y2两边平方，得(x+c) 3+y2=4a2±4a^/(x-c)2+ y2 +(x-c)?+y?化简得：cx-a2=±yl(x-c)2 + y2两边再平方，鏗理得(c2~a?) x2-a?y2=a? (c2~a?)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c~2a>0,即c>a,所以c2-a2>0设c2-a2=b2 (b>0),代入上式，得b?x2-a2y2=a2b2也就是x?/a2-y7b2=l师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双Illi线的有关性质•这一简化的方稈称为双1111线的标准方程.结合图形再一次理解方程屮a>0, b>0的条件是不可缺少的.b的选取不仅使方稈得到了简化、和谐，也冇特殊的几何意义.具有c2=a2+b2,区别其与椭圆中『二於+J的不同之处.师：与桶圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标進方程形式又怎样呢？(引导学生类比椭圆得到焦点在y轴上时双曲线的标准方程：yVa-xVb^l此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程)师：如何记忆这两个标准方程？(师生共析：双Illi线的方稈右边为1,左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴•用一句话概括“以正负定焦点”)四、巩固内化例：已知两定点存(-5,0),坊(5,0),求到这两点的距离Z差的绝对值为8的点的轨迹方程。

[精品]新人教A版选修1-1高中数学2.2.7双曲线第二定义优质课教案

2.2.7双曲线第二定义教案新人教A 版选修1-1教学重点：双曲线的第二定义教学难点：双曲线的第二定义及应用. 教学方法：类比法（类比椭圆的第二定义）教学过程：1 一、复习引入： 1、（1）、双曲线的定义：平面上到两定点21F F 、距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.定点21F F 、叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

(2)、双曲线的标准方程：焦点在x 轴：12222=-by a x )0,0(>>b a 焦点在y 轴：22221y x a b -= )0,0(>>b a 其中222c b a =+ 2、对于焦点在x 轴上的双曲线的有关性质：（1）、焦点：F 1(-c,0),F 2(c,0)；(2)、渐近线:x ab y ±=；（3）、离心率：ac e =>13、今节课我们来学习双曲线的另一定义。

（板书课题：双曲线第二定义）二、新课教学：1、引例(课本P 64例6)：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x =的距离之比是常数54,求点M 的轨迹方程. 分析：利用求轨迹方程的方法。

解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,P={M|||54MF d =}, 即54= 221169x y -=化简得所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。

由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线16:5l x =为2a x c=,常数为离心率ac e =>1.[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点F(c,0)距离和它到定直线2:a l x c=的距离之比是常数1c e a =>,求点M 的轨迹方程。

解：设d 是点M 到直线l 的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|||54MF d =}, 即c a = 化简得22222222()()c a x a y a c a --=-两边同时除以222()a c a -得22221x y a b -=(0,0)a b >>其中 2、小结：双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数1c e a =>时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。

高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》教案2

上课时间第周星期第节课型课题 2.2.1 双曲线及其标准方程教学目的学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导教学设想教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力：教学过程一、新课导入：1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2. 在椭圆的标准方程22221x ya b+=中，,,a b c有何关系，若5,3a b==，则?c=写出符合条件的椭圆方程。

二、讲授新课：1. 双曲线的定义：①提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．②定义：平面内与两定点12,F F的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12F F叫做双曲线的焦距。

③（理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。

（文科）简单讲解推导给出标准方程。

标准方程：22222221,(0,0,)x ya b c a ba b-=>>=+（焦点12(,0),(,0)F c F c-在x 轴）思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？④例1、58P分析：由双曲线的标准方程知，只要求出,a b即可得方程；练习：1、已知双曲线的两焦点为12(8,0),(8,0)F F-，双曲线上任意点到12,F F的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程。

2、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F-，①若2,___;a b==则②若1,___;b a==则3、双曲线的两焦点分别为12(10,0),(10,0)F F-，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。

高中数学人教A版选修1-1第2章2-3双曲线教案

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§2.3.2 抛物线的几何性质（１）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（ 1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴，坐标是
p 2
，0
，准线方程是
x
=
−
p 2
．
探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探
究之后填写下表。
通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
三、例题讲解
例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点(-3,2)； (2)焦点在直线 x-2y-4=0。
标准方程的方法。
（ 2）过程与方法：
在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。
（ 3）情感、态度与价值观：
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】：
抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】：
（ 1）抛物线标准方程的推导；
（ 2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
P = M MF = d ．
根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。
∵ MF =
x
−
p 2
2
+
y2
；d=
x+
p 2
．
∴
x
−
p 2 2

高中数学(人教A版)选修1-1教案：2.2.1双曲线及其标准方程教案

河北省保定市物探中心学校第一分校高中数学《2.2.1 双曲线及其标准方程》教案新人教A版选修1-1◆◆知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．◆过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书56 页至60 页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56 页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1 双曲线及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．〖板书〗把平面内与两个定点F，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2 ）的1点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P M MF1 MF2 2a ．（ii ）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b, c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程2 2y x2 2 1 0, 0a bb a．（iii ）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为F，1 5,0 F2 5,0 ，双曲线上一点P 到F，F2 距1离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b, c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：①与⊙C ： 2 2x 2 y 2 内切，且过点A 2,0 ；②与⊙ 2 22 1 1 2 1 4C ：x y 和⊙C2 ：x y 都外切；③与⊙C1 ：12 2x 3 y 9外切，且与⊙C2 ：2 2x 3 y 1内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．①∵⊙ C 与⊙M 内切，点 A 在⊙ C 外，∴MC r 2 ，MA r ，因此有MA MC 2 ，∴点M 的轨迹是以 C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是22 2y2 1 2x x ；7②∵⊙M 与⊙C、⊙C2 均外切，∴MC1 r 1，MC2 r 2 ，因此有1MC2 MC1 1，∴点M 的轨迹是以C、2 C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程1是 22 4x 34 13 4y y ；③∵M 与 C 外切，且M 与C2 内切，∴MC1 r 3 ，MC2 r 1，因1此M C1 MC2 4，∴点M 的轨迹是以C、C2 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹1方程是2 2x y4 51 x2 ．例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s，且声速为340m / s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知 A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m / s；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 ，。

人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.2双曲线的几何性质(2)

x 轴有两个交点
A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
x2 y2 1 的顶点。 a2 b2
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。在初中学习反比例函数 y 三角函数 y
c ，叫双曲线的离心率. a
感悟二： 4 有共同渐近线，且过点 M (2, 2) 的双曲
2 2
线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭标准方程图范顶象围点感悟三：圆双曲线不同点
对称性渐近线 1、课本 P 58 练习第 1，2 题
x2 y2 1 a2 b2
tan x ，渐近线是 x k (k Z ) 。
2
k 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。高中 x
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。 3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e= 说明：①由 c>a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
课型：新授课
时间：月
日
学习札记
〖学习目标及要求〗：

人教A版高中数学选修1 1第二章双曲线及其标准方程教学设计

人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

2、过程与方法目标：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。

3、情感、态度与价值观目标：在类比研究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣、培养学生认真参与积极交流的主题意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

二、重点
双曲线的定义及其标准方程和简单应用。

三、难点
对双曲线定义的理解，推导双曲线的标准方程。

四、教学方法
从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究性教学法、启发式教学法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对双曲线及其标准方程加以理解与记忆。

高中数学《双曲线》教案6 新人教A版选修1-1

第六节双曲线教案一、复习目标：通过本课，进一步理解和掌握双曲线的定义、方程和几何性质，熟练运用重点题型的解法，解决综合应用问题，提高学生思维能力和灵活综合运用能力。

二、重难点：强化理解和掌握及运用，识别题型灵活选择方法，训练综合思维能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合。

四、教学过程（一）、基础训练自测1、曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n n y n x 的（）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n n y n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m Θ，故选A2、(09福建文、理)双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上的一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．(1,3)Ｂ．(1,3]Ｃ．(3,)+∞Ｄ．[3,)+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22ce a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈3、(08辽宁文) 已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：2221191(0),,3y m x m a b m-=>⇒==取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,mx y -=21|3|1925 4.5m m -⨯=⇒+=∴=Q 故选（D ）。

4、已知F1，F2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过F1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） (A).),21(+∞+(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c c a b ，选B5、(08辽宁) 已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：2221191(0),,3y m x m a b m-=>⇒==取顶点1(0,)3,一条渐近线为30,mx y -=21|3|1925 4.5m m -⨯=⇒+=∴=Q 故选（D ）。

人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第2课时)》教案-新版

2.2.1双曲线及标准方程（第2课时）1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养2.学习目标（1）进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.（2）掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用.（3）了解双曲线在实际问题中的初步应用.3.学习重点双曲线的定义4.学习难点双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用二、教学设计（一）课前预习1.预习任务回顾双曲线的定义、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c与椭圆的,,a b c有何区别?2.预习自测1. 已知方程22111x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．11k-<<B．0k>C．0k≥D．1k>或1k<-答案：A解析：考查双曲线的定义2.在双曲线的标准方程中，已知6,10a c==，则其标准方程为（）A．221 3664x y-=B ．2213664y x -=或2216436x y -=C ．22110064x y -=D ．2213664x y -=或2213664y x -=答案：D解析：考查双曲线的标准方程（二）课堂设计 1.知识回顾(1) 平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数，即122MF MF a -=当122a F F <时，点M 的轨迹是双曲线；(2) 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()222210,0y x a b a b -=>>判断焦点在哪个轴上，是看x 2，y 2系数的符号，注意都有222c a b =+ 2.问题探究问题探究一进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.例1 已知方程22152x y k k -=--表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（） A ．5k >B ．5k >或22k -<<C ．2k >或2<-D ．22k -<<【知识点：双曲线的标准方程】详解：∵方程的图形是双曲线，∴(5)(2)0k k -->．即：5020k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩或5020k k -<⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：5k >或22k -<<．故选B ．点评：在双曲线的标准方程中，2x 项和2y 项的系数是异号的，但若中间以“－”相连，则必须是同号的．形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．例2 已知定圆()221:51F x y ++=，定圆()222:51F x y -+=，动圆M 与定圆12,F F 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：设动圆圆心(),M x y ，半径为R则由已知可得1221121,43MF R MF R MF MF FF =+=+∴-=<，M ∴点的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的左支，且22299123,5,2544a cbc a ==∴=-=-= 所以动圆圆心M 的轨迹方程为：()224410991x y x -=< 点拔：由动圆M 与定圆12,F F 的关系，得21123MF MF F F -=<，从而联想到双曲线的定义，用定义来确定方程（轨迹），达到了简化运算的目的，可见，在圆锥曲线中定义的应用十分广泛、灵活.问题探究二掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用例3 若21F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：由双曲线的对称性，可设点P 在第一象限，由双曲线的方程，知3,4, 5.a b c ==∴=由双曲线的定义，得12||2 6.PF PF a ｜-== 上式两边平方，得,1006436||||236||||212221=+=⋅+=+PF PF PF PF 由余弦定理，得221212121212||||||100100cos 0.2||||2||||PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠===⋅⋅点拔：在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立它与12PF PF ⋅的联系，请同学们多加注意．一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为双曲线的焦点，若12F PF θ∠=，求12PF F ∆的面积．解：由双曲线的定义，有122PF PF a -=，在12PF F ∆中，由余弦定理有22221212122cos 4PF PF PF PF F F c θ+-⋅==∴2221212121222cos 4PF PF PF PF PF PF F F c θ-+-⋅==（），即()22124421cos c a PF PF θ-=-21221cos b PF PF θ∴=-∴1222121sin sin 21cos tan 2PF F b S PF PF b θθθθ∆=⋅=⋅=- 问题探究三：了解双曲线在实际问题中的初步应用例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东方，相距6km ，C 在B 的北偏西30方向上，相距4km ，P 为敌炮阵地．某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1km/s ）．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：以AB 中点为原点，BA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(3,0)A 、(3,0)B -、(5,23)C -．∵4PB PA -=．∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．该双曲线右支方程为221(2)45x y x -=≥．① 又∵PB PC =．∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．该直线方程为370x y -+=．②由①②得：211562560x x --=，解得：8x =或3211x =-（舍去）．∴(8,53)P ．又∵ tan 3PA k α==，∴60α=．∴点P 在点A 的北偏东30方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30．点拔：（1）有些看似与双曲线无关的实际应用问题，但依题意，通过数学建模，可以把问题转化为双曲线问题求解.（2）在此类问题时，除要准确把握题意外，还要注意使实际问题有意义. 3.课堂总结【知识回顾】（1）形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．当且仅当0,0,A B A B >>≠时，表示椭圆.（2）一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积122tan2PF F b S θ∆=．【重难点突破】（1）对于形如221x y m n+=的方程，能表示圆、椭圆、或双曲线，具体情况如下：当0m n =>时，表示圆；当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆，当0m n >>时，表示焦点在x 轴的椭圆，当0n m >>时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当0mn <时，表示双曲线，当0,0m n ><时，表示焦点在x 轴上的双曲线，当0,0m n <>时，表示焦点在y 轴上的双曲线.（2）在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．（3）在双曲线的实际应用中，要先建立适当的坐标系，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 4.随堂检测1.k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程】2.已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（） A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B解析：【知识点：双曲线的定义】（三）课后作业基础型1.双曲线2222114x y m m-=+-的焦距是（） A ．4 B ．8C ．25D ．与m 有关答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知两定点1(2,0)F -、2(2,0)F ，在满足下列条件的平面内的动点P 的轨迹中，为双曲线的是（） A ．123PF PF -=±B ．124PF PF -=±C ．125PF PF -=±D ．122(0)PF PF a a -=> 答案：A解析：【知识点：双曲线的定义】3．双曲线2288kx ky -=的一个焦点坐标是（3, 0），则k 的值是（） A ．1B ．－1C ．653D ．－653答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】4.如图所示，若0ab ≠，且a b ≠，则0ax y b -+=和22bx ay ab +=所表示的曲线只可能是（）答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】能力型5. P为双曲线22221x ya b-=上一点，F是一个焦点，则以PF为直径的圆与圆222x y a+=的位置关系是（）A．内切B．外切C．外切或内切D．无公共点或相交答案：C解析：【知识点：双曲线的定义，圆的几何性质】6.已知双曲线2212yx-=的焦点为12,F F，点M在双曲线上且12MF MF⋅=，则点M到x轴的距离为()A. 4 3B. 5 3C. 23 3D. 3答案：C解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】7．若lg(3)x -、lg y 、lg(3)x +成等差数列，则点(,)x y 的轨迹方程是_______________．答案：229(3,0)x y x y -=>>解析：【知识点：双曲线的标准方程，等差数列】8.在平面直角坐标系y x O 中，已知ABC ∆的顶点)0,6(-A 和)0,6(C ，若顶点B 在双曲线11125x 22=-y 的左支上，则._______sin sin sin =-B C A 答案： 56解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】探究型9. 已知定点(3,0)A 和定圆C ：22(3)16x y ++=，动圆和圆C 相切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】设P 点的坐标为(),x y ，∵圆C 与圆P 外切且过点A ． ∴4PC PA -=．∵64AC =>，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点24a =的双曲线的右支． ∵2a =，3c =， ∴2225b c a =-=．∴圆心P 的轨迹方程为221(0)45x y x -=> 10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，半焦距122,,c a F F =为左右焦点，P 为双曲线上的点，121260123F PF F PF S ∆∠=︒=，,求双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】由双曲线的定义，有122PF PF a -=，而在12PF F ∆中，由余弦定理有 22221212122cos 604PF PF PF PF F F c +-⋅︒==∴2221212121224PF PF PF PF PF PF F F c -+-==（），即221244c a PF PF -=,2124PF PF b ∴= ∴1221213sin 60412324PF F S PF PF b ∆=⋅︒=⨯= 22222124b c a a b⎧=⎪∴⎨==+⎪⎩,24a ∴= 所以所求双曲线标准方程为221412x y -= (四)自助餐1.焦点的坐标是（－6,0）、（6,0），并且经过A （－5，2）的双曲线的标准方程为（）A.2212016x y -= B.2211620x y -= C.22110016x y -= D.22116100x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知方程22144x y k k -=-+表示双曲线，则它的焦点坐标为（） A ．(2,0)k 、(2,0)k -B ．(0,2)k 、(0,2)k -C ．(2,0)k 、(2,0)k -D ．不能确定答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程】3.设点P 在双曲线221916x y -=上，若12,F F 为此双曲线的两个焦点。

35846_《双曲线》教案8(新人教A版选修1-1)

12.6双曲线的性质一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系. 二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入 1．观察复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中c b a ,,的意义（与椭圆对比） 2．思考（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究. 3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课1．概念辨析以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围:观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧. 从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-b y a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长而在方程中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点.但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长归纳：顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异4．渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x ab y ±=. （1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 远离原点时，点M 线叫这一曲线的渐近线；（2）直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分y =x aby =的位置关系; 设),(y x M 是a x a x ab y >-=,22上的点，),(Y x N 是直线x ab y =上与M 有相同横坐标的点，则x ab Y =, Y x aba x ab y =≤-=≤220，∴M 在N 的下方.∴=-=y Y MN 22222222))((ax x a x x a x x a b a x a b x a b -+-+--⋅=--22ax x ab -+=，是关于x 的减函数，∴x 无限增大时，MN 无限趋近于0，而M 到直线的距离MN d <，∴x 无限增大时，d 也无限趋近于0，但永不相交.其他象限类似证明；（3）求法：在方程12222=-by a x 中，令右边为零，则02222=-b y a x ，得渐近线方程0))((=+-b y a x b y a x 即x aby ±=；若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x bay ±=.2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-. 3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y±=；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：等轴双曲线的两个焦点21F F 、在直线x y =上，线段21F F 的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.（二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ；（2）12222=-b y a x 与12222=-b x a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；例如：分清①13422=-y x 、与②14322=-x y 、③13422=-x y 、④14322=-y x 、⑤23422=-y x 之间的关系.（三）共渐近线的双曲线系方程问题(1)191622=-y x 与221916y x -=;(2)191622=-y x 与1183222=-y x 的区别?(1),a b 不同（互换）c 相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);(2),a b 不同,c 不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此:双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a b y ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多. 问题:共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x . 当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.即:双曲线2222x y a bλ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b -=有共同的渐近线.证明：若0λ>，则双曲线方程可化为22221x y a b λλ-=，渐近线by x x a ==±，双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±， ∴两双曲线渐近线相同；若0λ<，则双曲线方程可化为22221y x b a λλ-=--，渐近线ax x y b ==±，即b y x a =±，又∵双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±，∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.[说明]与双曲线221x y m n -=（0mn >）有共同渐近线的所有双曲线方程为22x y m nλ-=（0λ≠）．3．例题分析1、若双曲线以032=±y x 为渐近线,根据下列条件，分别求双曲线标准方程. （1）且实轴长为24；（2）过点)310,7(P ；（3）一个焦点坐标为)52,0(. 解：（1）设双曲线方程为λ=-2294y x , 当0>λ时焦点在x 轴上，32,84==λλ，双曲线方程329422=-y x ;当0<λ时焦点在y 轴上，72,89-==-λλ，双曲线方程729422-=-y x ;（2）设双曲线方程为λ=-2294y x 将)310,7(P 代入得72-=λ，双曲线方程729422-=-y x （3）设双曲线方程为λ=-2294y x ，因为焦点坐标为)52,0(，所以0<λ，144,5249-=∴=--λλλ，双曲线方程为1449422-=-y x .2、（1）求双曲线8222=-y x 的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角α；（2）焦距为52，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为34arctan -π，求双曲线标准方程.解：（1）渐近线方程为x y 2±=，22)2(2122=-⋅+--=αtg ，22arctan =∴α;（2）当焦点在x 轴上时，方程为1422=-y x ; 当焦点在y 轴上时，方程为1422=-x y . 三、巩固练习1、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是.2、求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 3、求与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.4、以5x 2+8y 2=40的焦点为顶点，且以5x 2+8y 2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是.四、课堂小结双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线12222=-b y a x 的渐近线是x a by ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x . 五、作业布置1、习题册P363，4，5，6，72、补充作业（1）求方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标. （2）双曲线的渐进线方程为x y 21±=，且焦距为10，求双曲线方程.（3）求以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程.七、教学设计说明1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.。

人教A版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》教学设计

《双曲线及其标准方程》教案教材：人教Ａ版高中数学选修1—1 和平县福和高级中学张建华教学目标 1、知识目标双曲线的定义；双曲线标准方程的推导、特点及其求法。

2、能力目标①通过自主探索双曲线的定义与方程，提高动手能力和类比推理能力； ②掌握双曲线的标准方程、曲线的图形特征、能确定焦点的位置；③通过求双曲线的标准方程，进一步体验分类讨论、数形结合的的数学思想。

3、情感目标①通过交流探索活动，使学生拥有互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神；②在教学中体会数学知识的和谐美，几何图形的对称美。

教学重点与难点教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程教学难点：推导双曲线的标准方程课前准备多媒体辅助课件教学过程一、复习回顾，引领学法1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆。

2、标准方程：焦点在x 轴上时：12222=+by a x ；(其中0>>b a )焦点在y 轴上时：12222=+bx a y 。

(其中0>>b a )3、定义中2a 与2c 的大小关系如何?⎪⎧=>>>时是圆时是椭圆c a c a 0220224、椭圆标准方程中字母 a 、 b 、c 的关系如何? (222c b a +=) 引入问题：如果将椭圆定义中的“和”改为“差”，即平面内到两定点F 1F 2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？二、探求轨迹，概括定义利用《几何画板》画轨迹：1、议一议 (1)哪些点在变？ (2)哪些点没变？(3)动点与定点所满足的关系是什么？若点M 在右支，则有|MF 1|-|MF 2|=2a ① 若点M 在左支，则|MF 1|-|MF 2|=－2a ②利用绝对值由①②可得：| |MF 1|-|MF 2| | = 2a （差的绝对值）上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。

高中数学直线与双曲线的位置关系教案新人教A版选修1-1

直线与双曲线位置关系学案巩义二中高二数学（文科）备课组一、学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路二、学习重点：直线与双曲线的位置关系三、知识链接：(1) 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？（2）当直线与椭圆相交时，如何求弦长？（3）涉及弦的中点问题，如何解决？四、问题探究1、过双曲线16322=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求||AB 。

思考：(1) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为045”， ||AB 如何变化？（2）将条件“倾斜角为030”改为“斜率为2”， ||AB ？(3) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为060”， ||AB 如何变化？ (4) 将条件“倾斜角为030”改为“倾斜角为090”， ||AB 如何变化？2、若直线2:+=kx y l 与双曲线32x —2y =1恒有两个不同的交点A 和B ，且OB OA ⋅>2(其中O 为原点)，求K 的取值范围。

练习：1、过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l ，并交双曲线于A 、B 两点，若||AB =4，则这样的直线存在（） A ．0条 B.1条 C.2条 D. 3条 2、已知双曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围：（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 值。

思考：直线与双曲线的位置关系的讨论，和椭圆完全一样吗？3、已知双曲线1222=-y x ，过点P(1,1)能否做一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？五、巩固练习1、经过点)2,21(且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线的条数是A ．4 B.3 C.2 D. 12、已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)0,7(F ，直线y=x-1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为 A ．14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x 3、以y= 为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为（）A ．223y x -=1B ．223y x -=1C．222x -=–1D222x -=1 4、如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（）A3 B3CD5、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A( B( C[ D[6、已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点N 在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A ．324+ B. 13- C.213+ D. 13+ 7、双曲线116922=-y x 的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线交于点B ，则ΔABF 的面积为8、已知方程11222=+-+λλy x 表示双曲线，求实数λ的取值范围是 9、设ABC ∆是等腰三角形，0120=∠ABC ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为10、已知双曲线1322=-y x ，直线l 过双曲线右焦点F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的斜率为1，求线段AB 的长度。