二次根式的运算(1)PPT课件

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二次根式的ppt课件

将二次根式化简成最简二次根式，即根号内不含能开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根式进行变形，如平方差公式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行估算，比较大小，求取值范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最简二次根式，其关键是将根号下的被开方数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有变量的表达式，其一般形式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进行四则运算，运算顺序先乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式、平方差公式以及多项式展开等知识点。

人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件

（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意义的条件和非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式，必须a满足以下两条：

《二次根式》PPT课件(第一课时)

取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第二象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.

15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)

新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日

浙教版八年级下册 1.3.1 二次根式的计算课件(共17张PPT)

1.3 二次根式的运算（1）
Hale Waihona Puke 一、知识储备二次根式有哪些性质？
（1） ( a )2 a（a≥0）
（2）
a2 |a|＝
a 当a≥0时 -a 当a＜0时
（3） ab a • b（a ≥0 ， b≥0）
（4） a a （a ≥0 ， b＞0） bb
二、讲解新知计算
0.9 10
0.03 3
想一想：怎样计算上述两个式子？
A
DB
∴CD= AC BC 6 2
AB
22
作业题4
已知等腰直角三角形的斜边长为求它的面积。
2，
解：设直角边为x，由已知得：
x2 x2 ( 2)2
∵x＞0
∴x=1
∴三角形的面积为： 1 11 1
2
2
尽可能用多种方法计算
24 24 3 24 3 6 2 2
2 3 2 3 3
6
6
2
2
在 Rt△ACD中，
AD= AC2 CD2 (2 2)2 ( 2)2 6.
∴S△ABC =
1 2
BC×AD=
12 2
2
62
3
(平方单位).
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
五、巩固练习
课内练习1： (1) 12 3
(2) 1000 0.1 (3) 3 2
23 (4) 24 3
课内练习2：（1） 7 （2） 3105 （3） 1
6
2.7 103
5
课内练习3
如图,在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠,
BC= 2 ，AC= 6 ，求斜边上的高CD。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：

《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)

练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a）＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a

a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质

二次根式的加法和减法PPT课件11张

课前反馈
如图，学校要砌一个正方形花坛，若两个正方形的面积分别为27cm2、12cm2，则两正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
4 27 4 12
以上是什么运算？如何计算？
学习目标
• 1、知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式。
• 2、学会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法ห้องสมุดไป่ตู้减法运算。
4- 2 2
• C、
D、
2、如果最简二次根式
的值是 2 。
可以合并，那么
• 3、计算
（1） 90 - 2 20 5 4
解
：
90 2
20 5
4
5
5
(2（) 24 1） 2 2 （ 1 6）
2
38
解：
( 24
1)2
2 (
1
6)
2 38
3 10 2 2 5 5 2 5 2 6 1 2 2 6 1 2 6
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。
一化二找三合并
讨论
2 3?
仿照前一题，你能算出这个题吗？有什么发现？
类比迁移感悟
交流提升
• 1、下列计算正确的是（ C ）
• A、 3 3 - 3 2 B、 2 3 6
2 2 23 2
5
2
34
3 10 4 5 2 5 3 10 2 5
5 63 2 34
梳理巩固
1.几个二次根式化成最简二次根式后，如果它们的被开方式相同，那么，这几个二次根式称为同类二次根式.
2、二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。

二次根式的乘除ppt课件

(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8

8
27×
3
感悟新知
知3－练

(5)

(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1

2024二次根式的乘除课件初中数学PPT课件

二次根式的乘除课件初中数学PPT课件目录CONTENCT •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•复杂表达式中二次根式乘除处理策略•误差分析与计算技巧提高•知识点回顾与课堂互动环节01二次根式基本概念与性质二次根式定义及表示方法二次根式定义形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的代数式叫做二次根式。

表示方法被开方数是非负数，根指数是2，通常省略不写。

注意事项负数没有平方根，在实数范围内，平方根的结果为非负数。

01020304性质1性质2性质3性质4二次根式性质介绍$sqrt{frac{a}{b}} = frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。

$sqrt{ab} = sqrt{a} times sqrt{b}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。

$sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）。

当$a > 0$，$b > 0$且$a$与$b$同号时，$sqrt{a} + sqrt{b}$与$sqrt{a} -sqrt{b}$的乘积为$sqrt{a^2} -sqrt{b^2}$。

010203例题1解析例题2化简$sqrt{169}$。

根据二次根式的性质1，$sqrt{169} = |13| = 13$。

计算$sqrt{20} times sqrt{5}$。

03解析根据二次根式的性质3，$frac{sqrt{27}}{sqrt{3}} = sqrt{frac{27}{3}} = sqrt{9} = 3$。

01解析根据二次根式的性质2，$sqrt{20} times sqrt{5} = sqrt{20 times 5} = sqrt{100} = 10$。

02例题3化简$frac{sqrt{27}}{sqrt{3}}$。

例题4计算$(sqrt{5} + sqrt{3})(sqrt{5} -sqrt{3})$。

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(1) 2 6 (2) 1000 0.1 3 (3) 2 2 3
(4) 24 3
计算：
(1)
32 (2) 2
50 10
你能归纳一下二次根式
例1 计算： (1)
2 1 3 27 10
7
乘除法的运算步骤吗?
(2)
5.2 10 1.3 10
9
二次根式乘除运算的一般步骤：
1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;
复习归纳
二次根式的性质：
（ 1）（ 2）
( a) a
2
（a≥0）
（a≥0）（a≤0）
a |a|=
2
a -a
复习归纳
二次根式的性质：
（ 3）
ab a b （a ≥0 ， b≥0）
（ 4）
a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
回顾:
你会计算吗? (1)
0.4 10
(2)
0.03 3
AC AD
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC= 6 ,AC= 2 求斜边上的高CD.
C A
D B
引申与提高：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， A AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？ D E B
有简便的方法吗?根据什么? 积和商的二次根式的性质:
ab a b , a a b b
(a 0, b 0) (a 0, b 0)
反过来:
二次根式乘除运算法则
a a a b ab (a o, b 0), (a 0, b 0) b b
归纳1
二次根式的乘法运算法则是什么？用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？（1）二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变；（2）尽量化简。
例3
一个正三角形路标如图所示:若它的边长为2 2 个单 A 位,求这个路标的面积.
解：如图,作AD ⊥BC于点D,则 1 BD=CD= BC= 2 2 在直角三角形ACD中, AD= 2 2
B D
C
1 1 BC AD 2 2 6 2 3 (平方单位） S△ABC= 2 2
2 2 (2 2 ) ( 2 ) 6
3.化简二次根式.
7 4 6
1 5 5
5 3
பைடு நூலகம்
6
3 10
2.7 10
例2 计算：
⑴
2 1 3
5 9
；
⑵
6 20
； ⑶
1 2 3
（精确到0.1)
1 （4） 2 2 3
（ 5）
3 ( 3 3) 6 8
强调：二次根式的乘法与整式的乘法类似，当二次根式的乘法用乘法公式时，我们可以运用乘法公式进行计算。
C
能力小测验
1
2 2 3 （精确到 0.01 ）
2
49 2 7 （结果保留 4个有效数字）
2 2 x 24

(3)解方程:
拓展练习：
先化简，再求值。 1 2 2 （ 1 ）已知x ,y , 求x y 的值. 2 1 3 1 x y （2）已知x 12, y 3, 求的值. x y
二次根式乘除运算法则
a b ab (a o, b 0), a a (a 0, b 0) b b
布置作业
1: 作业本（2） 2：课本P13页作业题第1、2、 3 、 4、 5、 6。
例计算：
⑴
(2 2)(3 2 2)
；
（2） (
2 3 6)( 2 3 6)
归纳2
二次根式的除法运算法则用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
二次根式相除：被开方数相除，（1）根指数不变；（2）尽量化简。
归纳法则
二次根式有下面运算法则
a b
ab （a ≥0 ， b≥0）
（a ≥0 ， b＞0）
a a b b
想一想
你能用二次根式上面
运算的性质来计算吗？