二次根式的运算(1)PPT课件
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《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)
3
3
2 × 3 × 5 = ( 2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30.
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法
法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，
即
a b k a b k （a .0, b 0, k 0)
知识讲解
问题
2.下列运算正确的是
A. 2 18 3 5 6 80
B.
52 32
52
C.
(4) (16)
D.
52 32
32 5 3 2
4
16 (2) (4) 8
52 32 5 3 15
随堂训练
3. 计算：
3 5；
（1） 3 × 15 = ______
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
解：（1） 16 × 81 = 16 × 81
＝4×9＝36；
（2） 42 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ 3
3
2 × 3 × 5 = ( 2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30.
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法
法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，
即
a b k a b k （a .0, b 0, k 0)
知识讲解
问题
2.下列运算正确的是
A. 2 18 3 5 6 80
B.
52 32
52
C.
(4) (16)
D.
52 32
32 5 3 2
4
16 (2) (4) 8
52 32 5 3 15
随堂训练
3. 计算：
3 5；
（1） 3 × 15 = ______
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
解：（1） 16 × 81 = 16 × 81
＝4×9＝36；
（2） 42 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ 3
第1课时二次根式的概念ppt课件
分析：是否含二次根号 是 被开方数是
否 否 不是非负数 不是二次根式
是 二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号 ; (6) a2 1; (7) 3 5.
第十六章 二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
导入新课
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻 的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
它本身的取值范围又是什么？ 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0
人教版八年级数学下册 16.1二次根式第一课时课件(共34张ppt)
1 1 不是二次根式：3，2， ， x x+y
3 4
提高练习
1、下列各式是二次根式的是（C ）
A 3+x B -2 C a+b D a +1、 2、下列各式不一定是二次根式的是（ D ）
Baidu Nhomakorabea2 3 2
A a b
2
2
B 0 C a -2a+1 D -a
2
2
提高练习
3、下列各式：
3 y 15，a +1，a -1， y +4y+4 -5x， 2 2 2
例题精讲
1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不 是二次根式 1 4 3
2、 3、 x 、 x （x＞0）、 0、 1 - 2、 、 x+y x+y （x 0y 0）
2、
分析：二次根式应满足两个条件：第一， 有二次根号“ ”；第二，被开方数是正 数或0．
例题精讲
解：二次根式：2，（ x x＞0） 0， - 2， x+y x≥0y≥0
解答：
解： 3由-a≥0得a 0 当a 0时 -a 在实数范围内有意义。
4 由5-a≥0得a 5
当a 5时 5-a 在实数范围内有意义。
思考？
1、当x是怎样的实数时 x 在实数范
围内有意义？ x 呢 ? 解：∵x2≥0；∴x取全体实数 x 2 在实数 范围内有意义。 由于x3≥0，x≥0.∴x≥0 x 3 在实数范围 内有意义。
《二次根式》PPT课件(第1课时)
变式练习2 若二次根式 x 5 有意义，则x的取值范围是 x≥﹣5 ．
知识点 2 二次根式的“双重”非负性
a (a≥0) 是一个非负数. 1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a≥0时， a 表示a的 算术平方根，因此 a ≥0. 所以“二次根式”包含有两个“非负”即： (1)被开方数非负：a≥0；(2)二次根式的值非负： a ≥0.
2.若 a b 0, 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 a和 b 都是非负数，
所以它们的值都为0.
两个非负数的和为0时， 这两个非负数都为0．
例2 若 A．1
x y 1 y 32 0, 则x－y的值为( C )
B．－1
C．7
D．－7
解析：因为 x y -1 和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 y 32 0, x y 1 0, x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y
22 =___2___;
2 2
2
3 =___3___;
0.52 =__0_._5_; 02 =___0___.
归纳： a2 a (a≥0)
总结
事实上，对于二次根式，有 a (a≥0)是一个非负数，
a 2 ＝a(a≥0)，
a2 ＝a(a≥0).
当a＜0时， a2 |a？|
例题讲解
例3 化简：
根据算术平方根和被开方数
二次根式及其运算ppt课件
17
【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式： |a|，a ，a2.
(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为 零．
10．观察分析下列数据，寻找规律：0，3 ，6 ，3， 2 3 ，……，那么第10个数据应是 3 3 ． 11．若y＝ 3x 6 6 3x＋x3，则10x＋2y的平方 根为 ±6 ； 12．已知x＝ 3 ＋1，y＝ 3 －1，求下列各式的值：
12
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算：8 3 1 2 ＝
；
2
(2)(2013·泰安)化简：3( 2 3) 24 6 3＝ .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并
同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
二次根式 的乘法
a · b ＝_ ab _ (a≥0，b≥0)．
二次根式 的除法
a
a
b ＝_ b_(a≥0，b＞0)．
二次根式 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再 的混合运 算 乘除 ，最后算加减，有括号的先
算 算括号里面的(或先去括号).
2
1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．
2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼
15，17，19的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙 的取值范围，进而可以比较其大小．
【解后感悟】(1)常见的非负数有三种形式： |a|，a ，a2.
(2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为 零．
10．观察分析下列数据，寻找规律：0，3 ，6 ，3， 2 3 ，……，那么第10个数据应是 3 3 ． 11．若y＝ 3x 6 6 3x＋x3，则10x＋2y的平方 根为 ±6 ； 12．已知x＝ 3 ＋1，y＝ 3 －1，求下列各式的值：
12
类型三 二次根式的运算与求值
例3 (1)(2013·包头)计算：8 3 1 2 ＝
；
2
(2)(2013·泰安)化简：3( 2 3) 24 6 3＝ .
【思路分析】(1)先进行二次根式的化简，然后合并
同类二次根式即可．(2)根据二次根式的乘法运算
法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简
二次根式 的乘法
a · b ＝_ ab _ (a≥0，b≥0)．
二次根式 的除法
a
a
b ＝_ b_(a≥0，b＞0)．
二次根式 与实数的运算顺序相同，先算乘方，再 的混合运 算 乘除 ，最后算加减，有括号的先
算 算括号里面的(或先去括号).
2
1.整式运算法则也适用于二次根式的运算．
2.估算一个根号表示的无理数可用“逐步逼
15，17，19的整数部分，继而也可得出甲、乙、丙 的取值范围，进而可以比较其大小．
二次根式ppt课件
被开方数
在二次根式$sqrt{a}$中， $a$叫做被开方数。
根指数
在二次根式$sqrt[n]{a}$ 中，$n$叫做根指数，且 $n geq 2$，$n in mathbb{N}^{*}$。
二次根式的性质
非负性
$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$ ）。
乘法定理
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$ ，$b geq 0$）。
二次根式是一元二次方程的基础
01
一元二次方程的解通常可以表示为二次根式的形式，因此理解
和掌握二次根式对于解一元二次方程至关重要。
二次根式与一元二次方程的系数关系
02
一元二次方程的系数与二次根式中的被开方数存在密切关系，
通过观察系数可以判断方程的解的情况。
二次根式与一元二次方程的解的范围
03
一元二次方程的解的范围可以通过判断二次根式中的被开方数
利用二次根式解一元二次不等式
通过配方将一元二次不等式转化 为关于二次根式的不等式，然后 利用二次根式的性质进行求解。
利用二次根式的单调性，结合不 等式的性质，对不等式进行变形 和化简，从而得到不等式的解集
。
在解一元二次不等式时，需要注 意根的存在性及根的个数判断， 以及不等式的符号变化等问题。
冀教版八年级上册 15.1 二次根式1 课件(共17张PPT)
性质探究2
2 2 _ 2_ _ ,
5 2 _5_ _ ,
0 2 _ 0_ _ ,
| 2 | _ 2_ _ ; | 5 | _5_ _ ; | 0 | _0_ _ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与| a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___; ;当a 0 时, a2 __a__ .
如果想求n的立方根，那么写作3√n〔3上标〕。〞 这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了防止混淆，笛卡 尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√〔不过，它比路多尔夫的根号
多了一个小钩〕就为现在的根号形式。 现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号3√ 〔3上标〕的使用，比方25的立方根用3√25〔3上标〕表示。以后，诸如√等等形
式的根号渐渐使用开来。
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中 ，经过不断改进、选择和淘汰的结果，它是数学家们集体智慧的结晶，而不是
某一个人凭空臆造出来的，也绝不是从天上掉下来的。
写法未得到普遍的认可与采纳。 与此同时，有人采用“根〞字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示 开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方〞一字的第一个字母q，或“立方〞的第
一个字母c，来表示开的是多少次方。 直到十七世纪，法国数学家笛卡尔〔1596—1650年〕第一个使用了现今用 的根号“√〞。在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求n的平方根，就写作√n，
二次根式的加减(第1课时)人教数学八年级下册PPT课件
人教版 数学 八年级 下册
16.3 二次根式的加减 （第1课时）
导入新知
你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅 栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
素养目标
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算. 2. 掌握二次根式的加减运算法则.
1. 理解二次根式可以合并的条件.
探究新知
，
∴（2*3）－（27*32）
= 2 3 3 27 3 32
=
=
课堂小结
二次根式 加减
法则
一般地，二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次 根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并.
注意
运算原理 运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算 顺序一样
感谢您的聆听
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
16.3 二次根式的加减 （第1课时）
导入新知
你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅 栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
素养目标
3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算. 2. 掌握二次根式的加减运算法则.
1. 理解二次根式可以合并的条件.
探究新知
，
∴（2*3）－（27*32）
= 2 3 3 27 3 32
=
=
课堂小结
二次根式 加减
法则
一般地，二次根式加减时， 可以先将二次根式化成最简二次 根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并.
注意
运算原理 运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算 顺序一样
感谢您的聆听
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
归纳总结
二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 加减法的运算步骤： (1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
二次根式PPT课件
（3） x 12 x 1 .
（2） 12 ຫໍສະໝຸດ Baidu1 1.
（3）当x≤1时， x 12 x 1 x 1 1 x.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次根式的简单性质
练一练： 若 x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为 ( C )
A.1
B.－1
当a≥0时， a2 a；当a＜0时， a2 -a .
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次根式的简单性质
归 纳： 当a≥0时， a2 a；当a＜0时， a2 -a.
根据绝对值的意义：
a2
a
a a 0
a
a＜0
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次根式的简单性质
例3 计算：
（1） 32 ；
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
二次根式的简单性质
填一填：观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式 表示你发现的规律.
22＝ ____2___ ， 52＝ ____5___ ， 102＝ ___1_0___ ， (2)2＝ ____2___ ， (5)2＝ ___5____ ， (10) 2＝ ___1_0___ ， 02＝____0___ . 通过观察，你得到的结论是什么？试着说一说．
(6) a2 1 ，
(7) 3 5 .
解：(1)，(6)是二次根式；(2)不是二次根式，因为不含二次根号；
二次根式ppt课件
公式是：v gR ，
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
典例精析
例1
当 x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义?
解：由 x - 2≥0，得
当 x≥2 时，x 2在实数范围内有意义.
新知讲解
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32； (2) 6； (3)
(5)
xy x , y异号 ； (6)
性质
a
2
a a ≥ 0
a a ≥ 0
a
a a＜0
2
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式： 3 ；5 ；a 2 ； x 1 x≥1 ；3 27 ； x 2 2 x 1
. 一定是二次根式的有(
A. 3 个
B. 4 个
B
)
C. 5 个
2.化简下列各式
(1) 16
(2) (5)2
其中 g 为重力加速度，R 为地球半径．
本章我们就来学习带有”“的式子.
新知讲解
在第 11 章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个
记号
a .
当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.
a
当a是0时， a 等于0，表示0的平方根，也叫做0的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
典例精析
例1
当 x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义?
解：由 x - 2≥0，得
当 x≥2 时，x 2在实数范围内有意义.
新知讲解
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32； (2) 6； (3)
(5)
xy x , y异号 ； (6)
性质
a
2
a a ≥ 0
a a ≥ 0
a
a a＜0
2
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式： 3 ；5 ；a 2 ； x 1 x≥1 ；3 27 ； x 2 2 x 1
. 一定是二次根式的有(
A. 3 个
B. 4 个
B
)
C. 5 个
2.化简下列各式
(1) 16
(2) (5)2
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
a
a
2
2
=a
a (a≥ 0) = = ∣ a∣ -a (a＜0)
m4 思考：若 (m 4) 4 m, 则m的取值范围是 _________
2
例
求下列二次根式的值
(1) (3 - p )
2
(2) x - 2 x + 1( x = -
2
3)
解：(1)
(3 - p ) 2 = | 3 - p |
∵ 3- p < 0 ∴ (3 - p ) 2 = p - 3 (2)
x2 - 2x + 1 = ( x - 1) 2 = | x - 1|
当x＝∴当x＝-
3 时，x－１<０ 3时，
x2 - 2x + 1 = 1+ 3
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
练习:算一算:
2
（ 7） 7 （1） 25 5 （2）
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
a
a
2
a(a 0)
2
a (a>0) =∣a∣= 0 (a=0) -a (a＜0)
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
5.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念与性质PPT课件
2、 二次根式的基本性质：
（1） ( a )2 a（a 0） （2） a 2 a (a 0)
12、课堂作业：
1、 课后思考： 你猜想一下当a 0时, a2 _-_a___ .
2、 计算： (1)
2
9 ；(2)
(0.2)2；(3)
(3)2
(4) (8)2 ；(5)
0 2；(6)
（2）由 x 7 0 得， x 7. 因此，当 x 7 时，二次根式 x 7 在实数范围内有意义.
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
解（3）由 4 x 0 得， x 4.
4.9
（1） 5的平方根是___，0的平方根是____，正实数a的平方根是_____
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火 箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙 速度），才能克服地球的引力，从而将 飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇 宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v2=gR，其中重力加速度常数 g≈9.8m/s2若已知地球半径R，则第一 宇宙速度v是多少？
3 5
2
（3）
(3
2)2
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
（1） ( a )2 a（a 0） （2） a 2 a (a 0)
12、课堂作业：
1、 课后思考： 你猜想一下当a 0时, a2 _-_a___ .
2、 计算： (1)
2
9 ；(2)
(0.2)2；(3)
(3)2
(4) (8)2 ；(5)
0 2；(6)
（2）由 x 7 0 得， x 7. 因此，当 x 7 时，二次根式 x 7 在实数范围内有意义.
5、练习二：当 x 取什么值时，下列二次根式 在实数范围内有意义？
1
(1) x 6 ; (2) x 7 ; (3) 4 x ; (4)
.
x 1
解（3）由 4 x 0 得， x 4.
4.9
（1） 5的平方根是___，0的平方根是____，正实数a的平方根是_____
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火 箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙 速度），才能克服地球的引力，从而将 飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇 宙速度v与地球半径R之间存在如下关 系：v2=gR，其中重力加速度常数 g≈9.8m/s2若已知地球半径R，则第一 宇宙速度v是多少？
3 5
2
（3）
(3
2)2
解：
（1） ( 0.3)2 0.3
(2)
3
2
5
初中数学二次根式PPT课件图文
混合运算,二是与实数的性质、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值结合一起考查,各种题型均有体现.
命题角度1:二次根式的化简及乘除 【典例3】(2016·聊城中考)计算: =______.
【思路点拨】把 化成最简二次根式,再应用二次根 式的运算顺序及法则运算.
【解析】选A.A、 正确;B、 故此选 项错误;C、 故此选项错误;D、 故此选项错误.
3.(2015·凉山州中考)下列根式中,不能与 合并的 是 ( )
【解析】选C.A. 是同类二次根式，能与 合并；B. 是同类二次根式，能与 合并； C. 不是同类二次根式，不能与 合并； D. 是同类二次根式，能与 合并.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
乘除
考点一 二次根式有意义的条件 【典例1】(1)(2016·自贡中考)若代数式 有意 义,则x的取值范围是________. (2)(2015·攀枝花中考)若y= 则xy=______
【思路点拨】(1)根据绝对值、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值、开立方等计算. (2)先根据分式混合运算的法则进行化简,再把a,b的值代入计算.
【自主解答】(1)原式= (2)原式=
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题 (1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, (a≥0,b≥0), (a≥0,b>0), 利用这两个等式可 以化简二次根式.
命题角度1:二次根式的化简及乘除 【典例3】(2016·聊城中考)计算: =______.
【思路点拨】把 化成最简二次根式,再应用二次根 式的运算顺序及法则运算.
【解析】选A.A、 正确;B、 故此选 项错误;C、 故此选项错误;D、 故此选项错误.
3.(2015·凉山州中考)下列根式中,不能与 合并的 是 ( )
【解析】选C.A. 是同类二次根式，能与 合并；B. 是同类二次根式，能与 合并； C. 不是同类二次根式，不能与 合并； D. 是同类二次根式，能与 合并.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
乘除
考点一 二次根式有意义的条件 【典例1】(1)(2016·自贡中考)若代数式 有意 义,则x的取值范围是________. (2)(2015·攀枝花中考)若y= 则xy=______
【思路点拨】(1)根据绝对值、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值、开立方等计算. (2)先根据分式混合运算的法则进行化简,再把a,b的值代入计算.
【自主解答】(1)原式= (2)原式=
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题 (1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, (a≥0,b≥0), (a≥0,b>0), 利用这两个等式可 以化简二次根式.
《二次根式》PPT(第1课时)
有意义，求m的取值范围．
解：由题意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
2 + 6 + 都有意
义，求m的取值范围．
解：由题意，得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.
随堂训练
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
．
知识讲解
1.二次根式
一般地，我们把形如
“
( ≥ 0ሻ 的式子叫做二次根式.
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式子.
①外貌特征：含有“
”.
具有两个特征：
②内在特征：被开方数a ≥0.
知识讲解
例1
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1)
32;
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
2.式子
a
2
3x 6
A.x＞2
C
D
有意义的条件是
B.x≥2
《二次根式的加减》二次根式PPT课件(第1课时)
练一练：
若最简二次根式 4 10－2m 与
并，则m 的值为( D )
A．－1 B．0 C．1 D．2
m＋4 可以进行合
课程讲授
2 二次根式的加减 例1 计算：(1) 80- 45； (2) 9a 25a . 解：(1) 80 45 4 5 3 5 5;
(2) 9a + 25a 3 a 5 a 8 a .
问题1：观察下列二次根式有什么共同特征？
2 2 2 2 2
2
2
二次根式的被开方数相同，都是 2
定义：经过化简后，各根式被开方数相同，像这
样的几个二次根式被称为同类二次根式.
课程讲授
1 同类二次根式
例 下列根式中，不能与 3 合并的是( C )
1
A. 3
3
B. 3
C. 2
3
D. 12
课程讲授
1 同类二次根式
二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将同类二次根式合并.
课程讲授
2 二次根式的加减
例2 计算：(1) 2 12 6 1 3 48; 3
(2)（ 12 20）（ 3 5）. 解：(1) 2 12 6 1 3 48
3 4 3 2 3 12 3 14 3;
(2)（ 12 20）（ 3 5）
2 3 2 5 3 5 3 3 5.
课程讲授
2 二次根式的加减
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AC AD
答:这个路标的面积为 2 3 平方单位.
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC= 6 ,AC= 2 求斜边上的高CD.
C A
D B
引申与提高：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， A AD：BD=1 ：0.6，云梯底 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地 面的距离AE吗？ D E B
3.化简二次根式.
7 4 6
1 5 5
5 3
6
3 10
2.7 10
例2 计算：
⑴
2 1 3
5 9
；
⑵
6 20
； ⑶
1 2 3
（精确到0.1)
1 （4） 2 2 3
（ 5）
3 ( 3 3) 6 8
强调：二次根式的乘法与整式的乘法类似，当二次根式的乘法 用乘法公式时，我们可以运用乘法公式进行计算。
复习归纳
二次根式的性质：
（ 1） （ 2）
( a) a
2
（a≥0）
（a≥0） （a≤0）
a |a|=
2
a -a
复习归纳
二次根式的性质：
（ 3）
ab a b （a ≥0 ， b≥0）
（ 4）
a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
回顾:
你会计算吗? (1)
0.4 10
(2)
0.03 3
二次根式乘除运算法则
a b ab (a o, b 0), a a (a 0, b 0) b b
布置 作业
1: 作业本（2） 2：课本P13页 作业题第1、2、 3 、 4、 5、 6。
例 计算：
⑴
(2 2)(3 2 2)
；
（2） (
2 3 6)( 2 3 6)
归纳2
二次根式的除法运算法则用文字语言怎 么表达？对于运算的结果有什么要求？
二次根式相除：被开方数相除， （1） 根指数不变； （2）尽量化简。
归纳法则
二次根式有下面运算法则
a b
ab （a ≥0 ， b≥0）
（a ≥0 ， b＞0）
a a b b
想一想
你能用二次根式上面
运算的性质来计算吗？
C
能力小测验
1
2 2 3 （精确到 0.01 ）
2
49 2 7 （结果保留 4个有效数字）
2 2 x 24
(3)解方程:
拓展练习：
先化简，再求值。 1 2 2 （ 1 ）已知x ,y , 求x y 的值. 2 1 3 1 x y （2）已知x 12, y 3, 求 的值. x y
有简便的方法吗?根据什么? 积和商的二次根式的性质:
ab a b , a a b b
(a 0, b 0) (a 0, b 0)
反过来:
二次根式乘除运算法则
a a a b ab (a o, b 0), (a 0, b 0) b b
归纳1
二次根式的乘法运算法则是什么？用文字 语言怎么表达？对于运算的结果有什么要 求？ （1） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变； （2） 尽量化简。
例3
一个正三角形路标如图所示:若它的边长为2 2 个单 A 位,求这个路标的面积.
解：如图,作AD ⊥BC于点D,则 1 BD=CD= BC= 2 2 在直角三角形ACD中, AD= 2 2
B D
C
1 1 BC AD 2 2 6 2 3 (平方单位） S△ABC= 2来自百度文库2
2 2 (2 2 ) ( 2 ) 6
(1) 2 6 (2) 1000 0.1 3 (3) 2 2 3
(4) 24 3
计算：
(1)
32 (2) 2
50 10
你能归纳一下二次根式
例1 计算： (1)
2 1 3 27 10
7
乘除法的运算步骤吗?
(2)
5.2 10 1.3 10
9
二次根式乘除运算的一般步骤：
1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算;