二次函数与abc的关系解析

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二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

在数学的领域中,二次函数是一个非常重要的概念。它的一般形式

为$y = ax^2 + bx + c$(其中$a$、$b$、$c$ 是常数,且$a \neq 0$)。这三个系数$a$、$b$、$c$ 对于二次函数的性质和图像

有着至关重要的影响。接下来,让我们深入探讨一下二次函数与$a$、$b$、$c$ 之间的关系。

首先,系数$a$ 决定了二次函数图像的开口方向和开口大小。当

$a > 0$ 时,二次函数的图像开口向上;当$a < 0$ 时,图像开口向下。而且,$|a|$的值越大,图像的开口就越狭窄;$|a|$的值越小,图像的开口就越宽阔。

比如说,函数$y = 2x^2$ 的图像开口向上,并且比函数$y =\frac{1}{2}x^2$ 的开口要狭窄。这是因为$2 >\frac{1}{2}$,所

以$y = 2x^2$ 的图像开口更窄。

其次,系数$b$ 与二次函数图像的对称轴位置有关。二次函数的

对称轴公式为$x =\frac{b}{2a}$。

当$b = 0$ 时,对称轴为$y$ 轴,即$x = 0$ 。当$b > 0$ 时,对称轴在$y$ 轴左侧;当$b < 0$ 时,对称轴在$y$ 轴右侧。

例如,对于函数$y = x^2 2x + 1$,其中$a = 1$,$b =-2$,则对称轴为$x =\frac{-2}{2\times 1} = 1$。

再来看看系数$c$,它表示二次函数图像与$y$ 轴的交点纵坐标。当$x = 0$ 时,$y = c$。

例如,函数$y = 2x^2 + 3x 1$ 与$y$ 轴的交点为$(0, -1)$,这里的$-1$ 就是$c$ 的值。

二次函数与abc的关系题

二次函数与abc的关系题

二次函数与abc的关系题

二次函数一般形式为:y = ax^2 + bx + c

其中,a、b、c为常数。

与a,b,c的关系如下:

1. 当a>0时,二次函数的图像开口向上,对应的抛物线的开口朝上;

2. 当a<0时,二次函数的图像开口向下,对应的抛物线的开口朝下;

3. b决定了二次函数图像的偏移量,即左右平移或镜像;

- 当b > 0时,二次函数图像向左平移;

- 当b < 0时,二次函数图像向右平移;

4. c决定了二次函数图像的上下平移;

- 当c > 0时,二次函数图像向上平移;

- 当c < 0时,二次函数图像向下平移。

总结起来,a决定了抛物线的形状(开口向上或向下),b决定了抛物线的平移方向和程度,c决定了抛物线的上下平移。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结在数学中,二次函数是一个具有以下形式的函数:$f(x) = ax^2 + bx + c$。其中,$a$、$b$和$c$是常数。二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。

关系一:二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。

当$a>0$时,二次函数的图像开口向上;当$a<0$时,二次函数的图像开口向下。这是因为当$a>0$时,$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称,所以图像开口向上;当$a<0$时,$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称,所以图像开口向下。

关系二:二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。

当$c>0$时,二次函数的图像与$x$轴有两个交点;当$c=0$时,二次函数的图像与$x$轴有一个交点(相切);当$c<0$时,二次函数的图像与$x$轴没有交点。

关系三:二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。

对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$,它的顶点的$x$坐标为$x =

\frac{-b}{2a}$,$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。根据$a$和$b$的不同取值,顶点可以位于$y$轴的上方或下方,并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。当$a>0$时,顶点位于图像的下方(凹);当

$a<0$时,顶点位于图像的上方(凸)。

综上所述,二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。通

二次函数与abc的关系

二次函数与abc的关系

a对二次函数的影响
当a为正数时,二次函数开口朝上;当a为负数时,二次函数开口朝下。a的绝对值越大,曲线越陡峭。
b对二次函数的影响
当b为正数时,二次函数图像向左平移;当b为负数时,二次函数图像向右平移。b的绝对值越大,平移的距离 越远。
c对二次函数的影响
c决定了二次函数图像与y轴的交点,即二次函数的纵向平移。
求解二次函数的图像及其特征
二次函数图像是一条抛物线,具有顶点、对称轴、开口方向等特征。通过研究图像,我们可以了解二次函数的 性质和变化。
来自百度文库
求解二次函数的极值点和最值
二次函数的极值点是曲线上的点,对应函数的最大值或最小值。通过求解极 值点,我们可以找到二次函数的最值。
二次函数的对称轴方程
对称轴是二次函数图像的镜像轴,可以通过求解对称轴方程找到对称轴的位 置。
二次函数的单调区间
二次函数的单调区间是指函数在该区间内的增减情况。通过研究单调区间, 我们可以了解二次函数的增减趋势。
二次函数的交点
二次函数可以与其他函数、直线或曲线相交,通过求解交点,我们可以获得二次函数与其他图形的交点坐标。
二次函数的点坐标
二次函数的点坐标是指函数图像上的特定点的横纵坐标值。通过求解点坐标, 我们可以了解二次函数的具体图像。
水平方向伸缩对二次函数的影 响
水平方向伸缩是改变二次函数图像形态的一种变换。通过伸缩,我们可以调 整二次函数图像在x轴上的宽度。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结二次函数是数学中的一个重要概念,它的一般形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,且a ≠ 0。在二次函数中,a决定了函数的开口方向和开口的大小,b决定了函数的对称轴位置,c则是函数的纵轴截距。

首先,我们来看a与二次函数的关系。当a>0时,二次函数的开口向上,形状类似于一个U型;当a<0时,二次函数的开口向下,形状类似于一个倒置的U型。而当a的绝对值越大时,二次函数的开口越大,曲线越陡峭;当a的绝对值越小时,二次函数的开口越小,曲线越平缓。

接下来,我们来看b与二次函数的关系。b决定了二次函数的对称轴位置。对称轴是二次函数的一个重要特征,它是垂直于x轴的一条直线,将二次函数分为两个对称的部分。当b>0时,对称轴在y轴的右侧;当b<0时,对称轴在y轴的左侧。而当b的绝对值越大时,对称轴离y轴越远;当b的绝对值越小时,对称轴离y轴越近。

最后,我们来看c与二次函数的关系。c是二次函数的纵轴截距,即当x=0时,函数与y轴的交点。当c>0时,二次函数与y轴的交点在y轴的上方;当c<0时,二次函数与y轴的交点在y轴的下方。而当c的绝对值越大时,二次函数与y轴的交点离原点越远;当c的绝对值越小时,二次函数与y轴的交点离原点越近。

综上所述,二次函数的形状、对称轴位置和纵轴截距都与a、b、c 有着密切的关系。通过调整a、b、c的值,我们可以改变二次函数的形

状、位置和交点,从而得到不同的二次函数图像。这对于解决实际问题、分析数据趋势等具有重要的意义。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数是代数学中的重要概念之一,它在许多实际问题中具有广

泛的应用。二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c,其中a、b、c是

常数,而x和y则是变量。在本文中,我将总结二次函数与a、b、c之间的关系。

一. a的取值对二次函数的图像有何影响

二次函数的图像(抛物线)的开口方向和形状会受到a的取值影响。具体而言:

1. 当a>0时,抛物线开口向上。这种情况下,随着a的增大,抛物

线的形状会变得越来越狭长,并且顶点越来越高。

2. 当a<0时,抛物线开口向下。同样地,随着a的减小,抛物线的

形状会变得越来越狭长,但顶点则会越来越低。

二. b的取值对二次函数的图像有何影响

b的取值对二次函数的图像的位置产生影响,而不会改变抛物线的

开口方向。具体而言:

1. 当b>0时,抛物线的顶点向左平移。

2. 当b<0时,抛物线的顶点向右平移。

三. c的取值对二次函数的图像有何影响

c的取值对二次函数的图像的位置产生影响,而不会改变抛物线的开口方向和形状。具体而言:

1. 当c>0时,抛物线的顶点上移。

2. 当c<0时,抛物线的顶点下移。

综上所述,二次函数的图像的形状、方向和位置都会受到a、b、c 的取值的影响。a决定了抛物线的开口方向和形状,b决定了抛物线的左右平移,c决定了抛物线的上下平移。通过理解并掌握这些关系,我们可以更好地理解和利用二次函数在实际问题中的应用。

以上仅为对二次函数与a、b、c之间关系的简要总结,实际上,这个领域还有更多更深入的研究和应用,比如顶点坐标、焦点、对称轴等概念。为了更全面地了解和应用二次函数,我们需要深入学习与研究二次函数的更多知识和技巧。

二次函数中的abc的含义

二次函数中的abc的含义

二次函数中的abc的含义

二次函数是数学中的一种函数形式,其一般表达式为:y=ax^2 +bx+c。在这个表达式中,a、b、c分别表示二次函数的系数,它们分别代表不同的含义。

首先,a代表二次函数的开口方向和开口大小。当a大于零时,二次函数的开口向上,形状呈现一个U形;当a小于零时,二次函数的开口向下,形状呈现一个倒置的U形。而a的绝对值越大,开口越大,曲线越陡。

其次,b代表二次函数的平移与图像的水平位置相关。当b大于零时,二次函数图像向左平移;当b小于零时,二次函数图像向右平移。b的绝对值越大,平移的距离越远。

最后,c表示二次函数的图像与y轴的交点,也称为二次函数的截距。当c大于零时,二次函数图像在y轴上方与其交点;当c小于零时,二次函数图像在y轴下方与其交点。c的绝对值越大,交点与y轴的距离越远。

综上所述,a、b、c分别代表二次函数的开口方向和大小、平移水平位置以及图像与y轴的交点。通过调整这三个系数,我们可以改变二次函数的形状、位置和截距,从而满足不同的需求和条件。

二次函数在数学和物理学中具有广泛的应用。例如,在物理学中,二次函数可以描述自由落体运动的高度、抛物线的轨迹等;在经济学中,二次函数可以用于建模成本、收益和利润等;在工程学中,二次函数可以描述抛物线的弧线、光学等。

总的来说,二次函数中的a、b、c分别代表开口方向和大小、平移位置以及图像与y轴的交点。通过调整这些系数,我们可以灵活地控制二次函数的形状、位置和截距,以适应不同的数学和实际问题。

二次函数与abc的关系

二次函数与abc的关系

几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;

x= -1时,y=a - b + c .

当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.

扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c ;

反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构例如对称轴−b

2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等的符号

4.2017四川省广安市如图所示,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B ﹣1,3,与x 轴的交点A 在

点﹣3,0和﹣2,0之间,以下结论:

①042=-ac b ;②a +b +c >0;③2a ﹣b =0;④c ﹣a =3

其中正确的有

A .1

B .2

C .3

D .4

5.2017四川省眉山市若一次函数y =a +1x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-

A .有最大值4a

B .有最大值﹣4a

C .有最小值4a

D .有最小值﹣4

a 1. 2017贵州遵义第11题如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点﹣1,0,对称轴l 如图所示,则下列结论:①abc >0;②a ﹣

二次函数abc的关系

二次函数abc的关系

二次函数abc的关系

二次函数是高中数学中常见的一个函数形式,它的一般形式为

y=ax^2+bx+c,其中a、b、c是常数,且a不等于0。这篇文章将探讨二次函数abc的关系,通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响,帮助读者更好地理解二次函数。我们来讨论a的取值。当a大于0时,二次函数的图像开口向上,形状类似于一个U型,称为正向开口的二次函数。当a小于0时,二次函数的图像开口向下,形状类似于一个倒置的U型,称为负向开口的二次函数。因此,a的取值决定了二次函数图像的开口方向。接下来,我们来考虑b的取值。b的正负决定了二次函数图像的对称轴的位置。当b大于0时,二次函数图像向右平移;当b小于0时,二次函数图像向左平移。此外,b的绝对值越大,平移的距离越远。因此,b的取值决定了二次函数图像的位置和平移的程度。

我们来讨论c的取值。c的正负决定了二次函数图像与y轴的交点位置。当c大于0时,二次函数图像与y轴的交点在原点的上方;当c小于0时,二次函数图像与y轴的交点在原点的下方。此外,c 的绝对值越大,交点与原点的距离越远。因此,c的取值决定了二次函数图像与y轴的交点位置和距离。

通过分析a、b、c的取值对二次函数的影响,我们可以得出一些总结性的结论。首先,当a不等于0时,二次函数必然存在一个顶点,

该顶点的横坐标为-x=b/2a,纵坐标为f(-x)=c-b^2/4a。其次,当a 的取值相同时,二次函数的图像形状相似,只是整体大小和位置有所不同。最后,当a、b、c的取值不同时,二次函数的图像、顶点、对称轴和与y轴的交点位置都会有所不同。

二次函数判断abc关系题技巧

二次函数判断abc关系题技巧

当我们研究一个二次函数的图像时,通常会判断它的形状,这个形状与函数的系数a、b、c 之间存在一定的关系。

当a>0 时,二次函数的图像为两端开口的上凸形,称为“顶点向上的二次函数”;当a<0 时,二次函数的图像为两端开口的下凹形,称为“顶点向下的二次函数”。

二次函数的顶点坐标为(h,k),其中h=-b/2a,k=f(h),即顶点的横坐标为二次函数的二次项系数 b 的相反数除以2a 的积,纵坐标为二次函数在h 处的值。

通过判断二次函数的a、b、c 系数的大小关系,我们可以了解二次函数的图像的大致形状。

例如,对于二次函数y=ax^2+bx+c,若a>0,则函数图像呈顶点向上的二次函数;若a<0,则函数图像呈顶点向下的二次函数;若a=0,则函数图像为一条直线。

另外,我们还可以利用函数的基本性质来判断二次函数的形状。例如,函数在x 轴上的对称性、在原点的单调性等。这些性质都可以帮助我们判断二次函数的形状。

例如,对于二次函数y=ax^2+bx+c,若它在x 轴上的对称性,则a 系数的正负性决定了函数的形状是否是顶点向上的。若a>0,则函数在x 轴上的对称性满足顶点向上的函数的性质;若a<0,则函数在x 轴上的对称性满足顶点向下的函数的性质。

此外,二次函数在原点的单调性也可以帮助我们判断它的形状。若二次函数在原点处单调递增,则它的形状为顶点向上的函数;若二次函数在原点处单调递减,则它的形状为顶点向下的函数。

通过这些方法,我们就可以判断二次函数的形状,并对其进行分析和应用。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数是高中数学中的重要内容之一,它在数学建模、物理学等

领域中有广泛的应用。通过研究二次函数的一般形式,我们可以发现

与系数a、b、c之间存在一些有趣的关系。本文将对二次函数的一般形式以及与系数abc的关系进行总结和探讨。

1. 二次函数的一般形式

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为实数且

a不等于0。下面我们将分别分析a、b、c在二次函数中的作用。

- 系数a:二次函数的开口方向与a的正负有关。当a>0时,二次函

数开口向上,形如一条“U”;当a<0时,二次函数开口向下,形如一个

倒置的“U”。另外,|a|的值越大,二次函数的开口越窄。

- 系数b:系数b决定了二次函数图像的平移。当b>0时,图像向左平移;当b<0时,图像向右平移。同时,|b|的值越大,平移的幅度越大。

- 系数c:系数c表示二次函数的y轴截距,即二次函数与y轴的交点。当c>0时,交点在y轴上方;当c<0时,交点在y轴下方。

综上所述,a决定了开口方向和开口的大小,b决定了图像的平移

方向和幅度,c决定了图像与y轴的交点的位置。

2. a、b、c之间的关系

在二次函数的一般形式中,a、b、c三个系数之间存在一定的联系。

- a与二次函数的对称轴有关。对称轴的公式为x = -b / (2a),即与a 和b有关。当二次函数的对称轴与y轴平行时,b=0。当b≠0时,对称轴与y轴有倾斜关系。

- 二次函数的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a))),即与a和b有关。顶点是二次函数图像的最高点或最低点,其横坐标将会影响图像的对称中心。

二次函数abc的关系总结

二次函数abc的关系总结

二次函数abc的关系总结

二次函数abc的关系总结

二次函数是高中数学中非常重要的一种函数,其表达式为

y=ax²+bx+c,其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。在研究二次函数时,我们需要深入了解a、b、c之间的关系。

一、a的作用

1. a>0时,二次函数开口向上;a<0时,二次函数开口向下。

2. a的绝对值越大,二次函数开口越窄。

3. a与x轴交点为(-c/√a,0)。

4. 当a=0时,二次函数退化成一条直线y=bx+c。

5. a与y轴正半轴夹角为α=arctanb/|a|。

6. 当a>0时,图像在y轴上方;当a<0时,图像在y轴下方。

7. a表示抛物线开口大小和方向的因素。

二、b的作用

1. b>0时,抛物线向左平移;b<0时,抛物线向右平移。

2. b的绝对值越大,抛物线平移越远。

3. 抛物线对称轴方程为x=-b/2a。

4. 当b=0时,抛物线过原点且对称于y轴。

5. b表示抛物线横向位置的因素。

三、c的作用

1. c>0时,抛物线上移;c<0时,抛物线下移。

2. c的绝对值越大,抛物线上下平移越远。

3. 抛物线在y轴上的截距为c。

4. 当c=0时,抛物线过原点且对称于x轴。

5. c表示抛物线纵向位置的因素。

四、a、b、c之间的关系

1. 当a>0时,若b>0,则对称轴在y轴左侧;若b<0,则对称轴在y 轴右侧。当a<0时,若b>0,则对称轴在y轴右侧;若b<0,则对称轴在y轴左侧。

2. 对于开口向上的二次函数,当a和c同号时,图像上有一个最低点;当a和c异号时,图像无最低点。对于开口向下的二次函数同理。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数是高中数学中一个重要的概念,它的一般形式为f(x) =

ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,且a不等于0。在二次函数中,a、b、c的值与函数的图像特点有着密切的关系。本文将对二次函数中的abc系数与图像形态、零点以及顶点等方面的关系进行总结,以便更好

地理解和应用二次函数。

1. a系数与图像开口方向的关系

二次函数的图像开口方向与a系数的正负有关。当a大于0时,图

像开口向上,形状为抛物线的一侧向上开口;当a小于0时,图像开口向下,形状为抛物线的一侧向下开口。因此,a系数的正负决定了二次

函数的图像形态。

2. c系数与图像与y轴的交点关系

二次函数的图像与y轴的交点称为y轴截距,可以通过c系数来确定。当c大于0时,二次函数与y轴有两个交点,一个在上方,一个在下方;当c等于0时,二次函数与y轴只有一个交点,即原点;当c小

于0时,二次函数与y轴无交点,图像完全位于y轴的一侧。

3. 二次函数的零点

二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点,表示函数的根。要确

定二次函数的零点,可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。通过

求解该方程的根,即可得到二次函数的零点。对于二次函数,它的零

点有可能是实数,也有可能是虚数。

4. 顶点与对称轴

二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点,其x坐标为-h/2a,其中h = b^2-4ac。顶点的y坐标可以通过将x坐标代入二次函数中求得。对称轴是通过顶点的一条直线,该直线将二次函数图像分为两个对称的部分。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数是数学中常见的一种函数形式,其表达式一般为y = ax^2

+ bx + c,其中a、b、c为实数常数,x为自变量,y为函数值。在研究

二次函数时,我们需要深入了解和掌握二次函数与a、b、c之间的关系。

一、参数a的影响

参数a决定了二次函数的开口方向和开口的大小。当a > 0时,二

次函数开口向上,形状为一个U型;当a < 0时,二次函数开口向下,

形状为一个倒置的U型。a的绝对值越大,开口越宽;a的绝对值越小,开口越窄。

二、参数b的影响

参数b决定了二次函数的对称轴和与y轴的交点。对称轴是二次函

数关于x轴的对称轴线,具有方程x = -b/2a。该对称轴将二次函数分为两部分,它与y轴的交点的横坐标为-x坐标(即-b/2a),纵坐标为c。

三、参数c的影响

参数c决定了二次函数与y轴的位置关系。当c > 0时,二次函数在

y轴上方;当c < 0时,二次函数在y轴下方;当c = 0时,二次函数经

过原点。

综上所述,二次函数与abc的关系可以总结为以下几点:

1. 当a > 0时,二次函数开口向上;当a < 0时,二次函数开口向下。

2. 对称轴的方程为x = -b/2a,它将二次函数分为两部分。

3. 对称轴与y轴的交点为(-b/2a, c)。

4. 当c > 0时,二次函数在y轴上方;当c < 0时,二次函数在y轴

下方;当c = 0时,二次函数经过原点。

以上是二次函数与abc的关系的一些基本总结,希望对您有所帮助。在实际应用中,了解二次函数的这些特性可以帮助我们更好地分析和

二次函数一般式中abc的含义

二次函数一般式中abc的含义

二次函数一般式中abc的含义

在二次函数一般式中:

y=ax2 + bx + c

其中 a、b、c 是三个实数系数:

a:y轴方向上的系数,表示抛物线的开口朝向:当a>0 时抛物线朝上;当 a<0 抛物线朝下;

b:x轴方向上的系数,表示抛物线的位置及形状;

c:y轴方向上的常数,表示抛物线在 y 轴上的位置及形状。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结

二次函数与a、b、c的关系总结

二次函数是数学中重要的一种函数形式,在数学和物理等领域都有

广泛的应用。它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为实

数且a不等于0。本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。

1. a的影响:

a是二次函数中x^2的系数,决定了二次函数图像的开口方向和形状。

- 当a>0时,二次函数图像开口向上,形如一个“U”,称为“正抛

物线”。a越大,抛物线越“瘦长”。

- 当a<0时,二次函数图像开口向下,形如一个“∩”,称为“负抛

物线”。a越小(绝对值越大),抛物线越“瘦长”。

2. b的影响:

b是二次函数中x的系数,决定了二次函数图像的位置和对称性。

- 当b>0时,二次函数图像向右平移,平移的距离与b的绝对值成正比。具体而言,平移的距离为2√(a/b)。

- 当b<0时,二次函数图像向左平移,平移的距离与b的绝对值成正比。

3. c的影响:

c是二次函数的常数项,决定了二次函数图像与y轴的位置关系。

- 当c>0时,二次函数图像在y轴上方,与y轴的交点为(c,0)。

- 当c<0时,二次函数图像在y轴下方,与y轴的交点为(c,0)。

除了以上的总结,还有一些其他的关系需要注意:

- 如果a为正(负),则二次函数的值域为y ≥ (≤) c,其中c为二次

函数的最小值(最大值)。

- 二次函数的对称轴为直线x = -b/(2a),对称轴将二次函数图像分成

左右对称的两部分。

- 二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a))),即对称轴上的点。

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限,则a >0,b< 0,c >= 0.
6.已知抛物线 y ax2 2x c与X轴的交
点都在原点的右侧,则点M(a,c)在第 一象
限.

7.已知二次函数 y ax2 bx c 中,
a 0,b 0, c 0 则此函数的图象不经过
第 二象限
8.已知二次函数 y ax2 bx c 中,
如图所示,则a、b、c的符号为( B ) y
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示,则a、b、c的符号为( A )
A、a>0,b>0,c=0 B、 a<0,b>0,c=0
y
4 2
-2 -1
x
A
y 4
1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y 2x 2 4x 1的图像是哪一个?
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y x 2 2x 1的图像是哪一个?
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y
779 995
x2
此抛物线的对
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在
同一坐标系内的大致图象是(
)[1999、2001中考]
y
y
y
y
x
o
x
o
x
o
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
4.抛物线 y ax2 bx c 过第二、三、四象
限,则a <0,b <0,c <= 0.
5. 抛物线 y ax2 bx c 过第一、二、四象
(3) b+2a<0;
(4)abc>0y
正确的是( B )
A.(3)(4) B.(2)(3) -1 O
1
x
C.(1)(4) D.(1)(2)(3)
练习:如图所示,满足a<0,b>0的函 数y=ax2+bx的图像是( B )
y
ywk.baidu.com
A
B
Ox
Ox
y
y
C
O
x
D
Ox
1、开口方向:a>0,开口向上; a<0,开口向下。
y 4 1
1x
C
y 2x 2 4x 1的图像是哪一个?
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 2
-1
1x
C
c的大小决定抛物线与y轴的交 点位置:
c=0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
练习:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例:
1、当x= 1时, 2、当x=-1时, 3、当x= 2时, 4、当x=-2时,
y=a+b+c y=a-b+c y=4a+2b+c y=4a-2b+c
练习:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图

如上图所示,那么下列判断正确的有
(填序号)
.
①abc>0 ② 2a+b>0 ③a+b+c<0
2、开口大小:|a |越大,开口越小; |a |越小,开口越大。
3、c的大小决定抛物线与y轴的交点位置: c=0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
4、 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置: 当b=0时,对称轴为y轴; 当ab>0时,对称轴在y轴左侧; 当ab<0时,对称轴在y轴右侧。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,
c,△与抛物线的关系
a决定开口方向:a>0时开口向上, a
a<0时开口向下
a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b=0时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴
c
c=0时抛物线过原点
a 0,b 0, c 0 则此函数的图象不经过 第 三 象限
9.已知二次函数 y ax2 bx c中,
a 0,b 0,c 0 则此函数的图象只经过
第 二三四 象限
在同一直角坐标系中,函数 y ax2 b
与 y ax b(ab 0) 的图象大
致如图 ( D)
y
O x
A
y
O
二次函数的 二二次形函次状数函与y数=aa、yx=2ba+、xb2xc++的bcx图关+c象系图的象位的置、 图象和性质 位置、形状与a、b、c的关系
徐鑫
1.一次函数的y 3x 5 大致图像是( )
二次函数的顶点式是
y a(x h)2 k
2. y 1 ( x 1)2 4它的图像是( ) 2
称轴在哪里?
8999x 100666,
A 、y轴左边
B、就是y轴
C、y轴右边
ab的符号决定抛物线的对称轴的位置: 当ab>0时,对称轴在y轴左侧; 当ab<0时,对称轴在y轴右侧。 当b=0时,对称轴为y轴;
y x2 2x 1的图像是哪一个?
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
抛物线与直线x 1交点 y X=1
y abc0
y abc0
o
x
y abc0
抛物线与直线x 1的交点
y
y abc 0
y abc 0
o
x
y abc0
X=-1
练习: 二次函数y ax2 bx c的图象如图,用(<,>,=)填空: a 0,b 0,c 0,a+b+c 0,a-b+c 0,
y
-1 o 1 x
c<0时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点:△>0时抛物线与x轴有两个交点

△=0时抛物线与x轴有一个交点
△<0时抛物线于x轴没有交点
x
B
y
O x
C
y O
x
D
例1:二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示,则下列关于 a,b,c间的 关系判断正确的是( D )
A.b>2a C.abc>0
B.a-b+c>0 D.a+b+c<0
y
-1
Ox
变式:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 给出以下结论
(1) a+b+c<0;(2)a-b+c<0;
a3如>C、、图0二,ba所<<次示00函,,,bc数=<则0y0a=,c、a=xb02、+cbD的x、+符c号(a为≠0()的C图)象
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y
ox
y
o
x
当x=1时,函数y=a+b+c 当x=-1时,函数y=a-b+c
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