二次函数与abc的关系解析
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般形式为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a$、＄b$、＄c$ 是常数，且＄a ＼neq 0$）。
这三个系数＄a$、＄b$、＄c$ 对于二次函数的性质和图像有着至关重要的影响。
接下来，让我们深入探讨一下二次函数与＄a$、＄b$、＄c$ 之间的关系。
首先，系数＄a$ 决定了二次函数图像的开口方向和开口大小。
当＄a ＞ 0$ 时，二次函数的图像开口向上；当＄a ＜ 0$ 时，图像开口向下。
而且，＄｜a|＄的值越大，图像的开口就越狭窄；＄｜a|＄的值越小，图像的开口就越宽阔。
比如说，函数＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口向上，并且比函数＄y ＝＼frac{1}｛2}x^2$ 的开口要狭窄。
这是因为＄2 ＞＼frac{1}｛2}＄，所以＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口更窄。
其次，系数＄b$ 与二次函数图像的对称轴位置有关。
二次函数的对称轴公式为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当＄b ＝ 0$ 时，对称轴为＄y$ 轴，即＄x ＝ 0$ 。
当＄b ＞ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄b ＜ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
例如，对于函数＄y ＝ x^2 2x ＋ 1$，其中＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，则对称轴为＄x ＝＼frac{－2}｛2\times 1} ＝ 1$。
再来看看系数＄c$，它表示二次函数图像与＄y$ 轴的交点纵坐标。
当＄x ＝ 0$ 时，＄y ＝ c$。
例如，函数＄y ＝ 2x^2 ＋ 3x 1$ 与＄y$ 轴的交点为＄（0, －1)＄，这里的＄－1$ 就是＄c$ 的值。
除了上述的基本关系，＄a$、＄b$、＄c$ 之间的组合还能反映出二次函数的一些特殊性质。
当＄a$ 和＄b$ 同号时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄a$ 和＄b$ 异号时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
如果＄b^2 4ac ＞ 0$，二次函数有两个不同的实数根；如果＄b^24ac ＝ 0$，二次函数有一个实数根（或者说两个相同的实数根）；如果＄b^2 4ac ＜ 0$，二次函数没有实数根。
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数与a,b,c的关系
a 、b 、c及代数式 由抛物线的 决定具体说明a由抛物线的开口方向决定 开口向上⇔a>0开口向下⇔a<o b由对称轴x=－b2a 的位置决定对称轴在y 轴左侧⇔a 、b 同号 对称轴在y 轴右侧⇔a 、b 异号 对称轴就是y 轴⇔b=0c由抛物线与y 轴交点(0,c) 的位置决定 与y 轴交点在正半轴上⇔c>o与y 轴交点在负半轴上⇔c<0 抛物线过原点⇔c=0 b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点个 数决定 与x 轴有2个交点⇔∆>o 与x 轴有1个交点⇔∆=o 与x 轴没有交点⇔∆<o 2a-b －b2a 与-1比较 2a+b －b 2a 与1比较 a+b+c 令x=1,瞧纵坐标 a-b+c令x=-1,瞧纵坐标 4a+2b+c 令x=2,瞧纵坐标 4a-2b+c令x=-2,瞧纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。
反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴; 判别式……等等)的符号4.(2017四川省广安市)如图所示,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B (﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)与(﹣2,0)之间,以下结论:①042=-ac b ;②a +b +c ＞0;③2a ﹣b =0;④c ﹣a =3 其中正确的有( )A.1B.2C.3D.45.(2017四川省眉山市)若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-( ) A.有最大值4a B.有最大值﹣4a C.有最小值4a D.有最小值﹣4a 1、 (2017贵州遵义第11题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(﹣1,0),对称轴l 如图所示,则下列结论:①abc ＞0;②a ﹣b +c =0;③2a +c ＜0;④a +b ＜0,其中所有正确的结论就是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④9、 (2017黑龙江齐齐哈尔第10题)如图,抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为直线2x =-,与x 轴的一个交点在(3,0)-与(4,0)-之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①40a b -=;②0c <;③30a c -+>;④242a b at bt ->+(t 为实数);⑤点19(,)2y -,25(,)2y -,31(,)2y -就是该抛物线上的点,则123y y y <<,正确的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.(2017四川省绵阳市)将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围就是( )A.b ＞8B.b ＞﹣8C.b ≥8D.b ≥﹣82.(2017四川省南充市)二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 就是常数,且a ≠0)的图象如图所示,下列结论错误的就是( )A.4ac ＜b 2B.abc ＜0C.b +c ＞3aD.a ＜b23、 (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+就是图象与性质,下列说法正确的就是( ) A.对称轴就是直线1x =,最小值就是2 B.对称轴就是直线1x =,最大值就是2 C 、 对称轴就是直线1x =-,最小值就是2 D.对称轴就是直线1x =-,最大值就是226、 (2017新疆乌鲁木齐第15题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-,且对称轴为直线1x =,有下列结论:①0abc <;②1030a b c ++>;③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -,则12y y >;④无论,,a b c 取何值,抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫-⎪⎝⎭;⑤20am bm a ++≥,其中所有正确的结论就是 .15、(2017贵州黔东南州第9题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =﹣1,给出下列结论: ①b 2=4ac ;②abc ＞0;③a ＞c ;④4a ﹣2b +c ＞0,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个16、(2017山东烟台第11题)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴就是直线1=x ,下列结论: ①0<ab ;②ac b 42>;③0<++c b a ;④03<+c a 、其中正确的就是( )A.①④B.②④ C 、 ①②③ D.①②③④17、(2017四川泸州第8题)下列曲线中不能表示y 与x 的函数的就是( )A. B. C. D.16、 (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论: ①抛物线过原点; ②4a +b +c =0; ③a ﹣b +c ＜0;④抛物线的顶点坐标为(2,b ); ⑤当x ＜2时,y 随x 增大而增大. 其中结论正确的就是( )A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤12、(2017江苏盐城第6题)如图,将函数y =12(x －2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m ),B (4,n )平移后的对应点分别为点A '、B '.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式就是( ) A.y ＝12 (x −2)2−2 B.y ＝12 (x −2)2+7 C.y ＝12 (x −2)2−5 D.y ＝12(x −2)2+4 7、(2017广西贵港第10题)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式就是 ( )A.()211y x =-+ B.()211y x =++ C 、()2211y x =-+ D.()2211y x =++8、(2017贵州安顺第10题)二次函数y =ax 2+bx +c (≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2＜0;②3b +2c＜0;③4a +c ＜2b ;④m (am +b )+b ＜a (m ≠1),其中结论正确的个数就是( )A.1B.2C.3D.44、(2017浙江宁波第10题)抛物线22y x x m(m就是常数)的顶点在( )22A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数就是()A.0B.1C.2D.32.(2016·山东省滨州市·3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式就是()A.y=﹣(x﹣)2﹣B.y=﹣(x+)2﹣C.y=﹣(x﹣)2﹣D.y=﹣(x+)2+【点评】本题考查的就是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则就是解答此题的关键.3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之与()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定4.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.5、(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=()A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.【11、(2016·浙江省绍兴市·4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c就是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能就是()A.4B.6C.8D.1012、(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c＞3b;(3)8a+7b+2c＞0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1＜y3＜y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1与x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个13、(2016·四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴就是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=214.(2016·四川泸州)已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当a ﹣b为整数时,ab的值为()A.或1B.或1C.或D.或15.(2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1与3,则下列结论正确的就是()A.2a﹣b=0B.a+b+c＞0C.3a﹣c=0D.当a=时,△ABD就是等腰直角三角形16、(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac＜b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根就是x1=﹣1,x2=3;③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围就是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数就是()A.4个B.3个C.2个D.1个17.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围就是()A.b≥B.b≥1或b≤﹣1C.b≥2D.1≤b≤218.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴就是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=719、(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积就是()A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm221、(2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2+5C.y=x2﹣1D.y=x2+44.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:①bc＞0;②b+c＞0;③b,c就是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论就是(填写序号)5.(2016·四川泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为7、(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为8、(2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但就是如果多种树,那么树之间的距离与每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大？最大产量就是多少？12.(2016·四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米. (1)若苗圃园的面积为72平方米,求x ;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值与最小值不？如果有,求出最大值与最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x 的取值范围.16、(2016·黑龙江龙东·6分)如图,二次函数y =(x +2)2+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A (﹣1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x +2)2+m ≥kx +b 的x 的取值范围.21、(2016·内蒙古包头)一幅长20cm 、宽12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm ,图案中三条彩条所占面积为ycm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若图案中三条彩条所占面积就是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.24、 (2016·山东潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x (元)就是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x 不超过100元时,观光车能全部租出;当x 超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费就是1100元. (1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元？(注:净收入=租车收入﹣管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多？18m 苗圃园图14。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是一种常见的数学函数形式，由以下一般式表示：f(x) =ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于零。
在研究二次函数的性质和特征时，了解a、b、c三个参数的作用是至关重要的。
本文将总结二次函数与abc的关系，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
关系一：a的正负决定抛物线开口方向二次函数的抛物线图像通常呈现开口方向，而a的正负就决定了抛物线开口的方向。
当a为正数时，抛物线开口向上；当a为负数时，抛物线开口向下。
这是因为a控制了二次函数的平移和拉伸效果。
具体而言，a的绝对值越大，抛物线越窄且敏感，而当a接近于零时，抛物线趋于平缓。
关系二：a的绝对值决定抛物线的挤压程度除了决定抛物线的开口方向外，a的绝对值还决定了抛物线的挤压程度。
当a的绝对值较大时，抛物线更为陡峭；当a的绝对值较小时，抛物线更为平缓。
换言之，a的绝对值越大，抛物线越接近于直线；反之，则抛物线越加弯曲。
这一关系也意味着，二次函数的a值可以用来调整函数图像的形态。
关系三：b的作用是抛物线的横向平移二次函数中的b参数对应着抛物线图像的横向平移。
当b为正数时，抛物线向左平移；当b为负数时，抛物线向右平移。
这是因为b的绝对值越大，抛物线平移的距离越远。
尤其当a接近于零时，b的影响将更为显著。
需要注意的是，b的变化不会改变抛物线的开口方向和形状。
关系四：c影响二次函数的纵向平移最后一个参数c是二次函数图像的纵向平移。
当c为正数时，抛物线向上平移；当c为负数时，抛物线向下平移。
和b类似，c的绝对值越大，平移的距离越远。
与a和b不同的是，c的变化既不会改变抛物线的开口方向，也不会改变其形状。
综上所述，二次函数的abc参数分别控制了抛物线图像的开口方向、形状和位置。
其中，a的正负决定开口的方向，a的绝对值决定抛物线的挤压程度；b控制了抛物线的横向平移，而c影响二次函数的纵向平移。
通过了解这些关系，我们可以更好地理解和应用二次函数，用于解决实际问题和进行数学建模。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的一般形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c均为常数，且a不为零。
在本文中，我将总结二次函数与abc的关系，进一步深化对二次函数的理解。
1. 关系一：a的取值范围a是二次函数中的一项系数，它决定了抛物线的开口方向。
具体来说：- 当a大于零时，抛物线开口向上；- 当a小于零时，抛物线开口向下；- 当a等于零时，二次函数不再是二次函数，而变为一次函数。
2. 关系二：a的绝对值与抛物线的形状a的绝对值大小决定了抛物线的狭长程度。
具体来说：- 当|a|大于1时，抛物线较为狭长，即纵向压缩；- 当|a|小于1时，抛物线较为扁平，即纵向拉伸。
3. 关系三：b的取值范围b是二次函数中的另一项系数，它对称轴的位置产生影响。
具体来说：- 当b大于零时，抛物线向左平移；- 当b小于零时，抛物线向右平移；- 当b等于零时，抛物线与y轴平行。
4. 关系四：c的取值范围c是二次函数中的常数项，它影响抛物线与y轴的交点。
具体来说：- 当c大于零时，抛物线与y轴的交点在y轴上方；- 当c小于零时，抛物线与y轴的交点在y轴下方；- 当c等于零时，抛物线与y轴相交于原点。
通过对二次函数与abc的关系总结，我们可以更好地理解和应用二次函数。
了解这些关系将有助于我们准确地绘制二次函数的图像，进一步分析和解决与二次函数相关的问题。
除了以上总结的关系，二次函数还有很多其他方面的性质和应用，比如顶点坐标、对称轴等。
这些内容在二次函数的学习中也十分重要，但本文将重点总结了与abc的关系。
在实际应用中，我们需要综合考虑二次函数的各个方面来解决问题，利用图像、方程等方法进行分析和计算。
总结而言，二次函数与abc之间有着密切的关系。
a决定了抛物线的开口方向和形状狭长程度，b影响抛物线的水平平移，c影响抛物线与y轴的交点。
掌握这些关系，可以更准确地理解和应用二次函数，进一步拓展数学知识的应用领域。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
二次函数中的abc的含义
二次函数中的abc的含义在二次函数中，abc分别代表着三个不同的参数，即二次项系数（a）、一次项系数（b）和常数项（c）。
这些参数用来描述函数图像的特征，并决定了二次函数的形状，位置和方向。
接下来，我们将详细解释每个参数的含义，并讨论它们对函数图像的影响。
1.二次项系数（a）：二次项系数（a）表示二次函数中二次项的系数。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U形；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒U形。
系数a的绝对值越大，图像的开口越窄，曲线越陡峭，而绝对值小的a则代表着开口较宽的曲线。
2.一次项系数（b）：一次项系数（b）表示二次函数中一次项的系数。
一次项决定了二次函数的图像与y轴的交点位置。
当b>0时，二次函数与y轴的交点在y轴上方；当b<0时，二次函数与y轴的交点在y轴下方。
系数b的绝对值越大，图像与y轴之间的距离越远，而绝对值小的b则代表着图像与y轴之间的距离越近。
3.常数项（c）：常数项（c）表示二次函数中的常数。
常数项决定了二次函数与y 轴的截距，即图像与y轴的交点位置。
常数项c的值决定了图像在y 轴上的上下平移。
当c>0时，图像向上平移；当c<0时，图像向下平移。
增加常数项的绝对值将把图像向下移动，而减小常数项的绝对值将使图像向上移动。
综上所述，二次函数中的abcd分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
a决定了图像的形状，b决定了图像与y轴之间的距离和交点的位置，c决定了图像在y轴上的上下平移。
这些参数共同作用，决定了二次函数的图像特征，帮助我们分析和理解二次函数在数学和实际问题中的应用。
二次函数与a b c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ）A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2017四川省绵阳市）将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．（2017四川省南充市）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线1x =，最小值是2B ．对称轴是直线1x =，最大值是2C . 对称轴是直线1x =-，最小值是2D ．对称轴是直线1x =-，最大值是226. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（ ）A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． 16. (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x－2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x?2)2?2 B．y＝12(x?2)2+7 C．y＝12(x?2)2?5 D．y＝12(x?2)2+47.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.（2017浙江宁波第10题）抛物线22y x x m(m是常数)的顶点在( )22A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．【11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1012. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=719.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是（填写序号）5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？。
二次函数与a,b,c的关系
二次函数2y ax bx c =++图象的位置与abc 的关系归纳：二次函数2y ax bx c =++的对称轴为________,顶点坐标为______________（1）a 的符号由 决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0.（2）b 的符号由 决定；①对称轴在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ；②对称轴在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ；③对称轴是y 轴 ⇔b0.④由对称轴公式x =ab2- 可确定2a+b 的符号． （3）c 的符号由 决定：①抛物线与y 轴交于正半轴 ⇔c 0；②抛物线与y 轴交于负半轴⇔c 0；③抛物线过原点 ⇔c 0.（4）ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0；（5）当x =1时，可确定a+b+c 的符号，当x =-1时，可确定a-b+c 的符号．【典型例题】已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列5个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0⑤b=2a .正确的是 （填序号）练一练1.根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0.（2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是 ；当0>y 时，x 的取值范围是 . 2.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.A.a﹥0,bc﹥0;B.a﹤0,bc﹤0;C. a﹤0, bc﹥0;D.a﹥0, bc﹤03.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=54、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、45．已知反比例函数xky=的图象在二、四象限，则二次函数222kxkxy+-=的图象大致为（）6、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞07、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3yO xyO xyO xyO x A．C．B．D．8、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A 、a ＞0B 、b ＜0C 、c ＜0D 、a+b+c ＞09、小明从图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0<c ；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a -b+c ＜0，则正确的结论是（ ）A 、①②③④B 、②④⑤C 、②③④D 、①④⑤11、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac -b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、412、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3C 、2a -b =0D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小13、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0，②b 2-4ac ＜0，③a -b+c ＞0，④4a -2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、414、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列说法：①c =0；②该抛物线的对称轴是直线x =﹣1；③当x =1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）．其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 415．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④ab 2-＜0中，正确的结论有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个16、如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a -b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、1个17.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x =﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ②③④D ． ①②④18、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个19、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A 、ac ＜0 B 、a -b+c ＞0C 、b=—4aD 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=—1，x 2=520、已知二次函数y=ax²+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac ＞0；②a -b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A 、②③B 、②④C 、①③D 、①④。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结关键信息项：1、二次函数的一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ （＄a ＼neq 0$）2、系数 a 的作用决定抛物线的开口方向影响抛物线的开口大小3、系数 b 的作用与对称轴的位置有关4、系数 c 的作用决定抛物线与 y 轴的交点坐标11 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ （＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
111 系数$a$的作用＄a$的正负决定了抛物线的开口方向。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
＄a$的大小影响抛物线的开口大小。
＄｜a|＄越大，抛物线的开口越窄；＄｜a|＄越小，抛物线的开口越宽。
112 系数$b$的作用系数$b$与对称轴的位置有关。
二次函数的对称轴方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当$b ＝ 0$时，对称轴为$y$轴；当$a$、＄b$同号时，对称轴在$y$轴左侧；当$a$、＄b$异号时，对称轴在$y$轴右侧。
113 系数$c$的作用系数$c$决定了抛物线与$y$轴的交点坐标。
当$x ＝ 0$时，＄y ＝c$，所以抛物线与$y$轴的交点坐标为$（0, c)＄。
12 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线。
其顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
121 当$a ＞ 0$时抛物线开口向上，函数在对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄处取得最小值$＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
122 当$a ＜ 0$时抛物线开口向下，函数在对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄处取得最大值$＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
13 系数之间的关系对函数零点的影响判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$用于判断二次函数的零点个数。
131 当$＼Delta ＞ 0$时函数有两个不同的实数零点。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般式为y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0）。
这看似简单的表达式，其中的 a、b、c 却蕴含着丰富的信息，对二次函数的图像和性质起着决定性的作用。
首先来看看 a 的作用。
a 决定了二次函数抛物线的开口方向和开口大小。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
a 的绝对值越大，抛物线的开口就越窄；a 的绝对值越小，抛物线的开口就越宽。
比如说，函数 y ＝ 2x²的抛物线开口比 y ＝ 05x²的开口要窄。
接下来聊聊 b 的影响。
b 与 a 共同决定了抛物线的对称轴位置。
对称轴的方程是 x ＝ b ／（2a) 。
当 b ＝ 0 时，对称轴就是 y 轴。
如果 a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；如果 a、b 异号，对称轴在 y 轴右侧。
举个例子，对于函数 y ＝ x² 2x 3，其中 a ＝ 1，b ＝－2，因为 a ＞ 0 且b ＜ 0，所以对称轴在 y 轴右侧。
再说说 c。
c 代表了抛物线与 y 轴的交点纵坐标。
当 x ＝ 0 时，y ＝c，所以抛物线与 y 轴的交点为(0, c)。
比如，函数 y ＝ x²＋ 2x ＋ 1 与y 轴的交点就是(0, 1)。
当我们知道了 a、b、c 的作用，就可以通过它们来分析二次函数的最值。
如果 a ＞ 0，函数有最小值，其值为（4ac b²) ／（4a)；如果 a＜ 0，函数有最大值，同样为（4ac b²) ／（4a) 。
a、b、c 还与二次函数的根有着密切的关系。
二次函数的根可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断。
当Δ ＞ 0 时，函数有两个不同的实数根；当Δ ＝ 0 时，函数有两个相同的实数根（也称为一个重根）；当Δ ＜0 时，函数没有实数根，但有两个共轭复数根。
二次函数abc的关系总结
二次函数abc的关系总结二次函数abc的关系总结二次函数是高中数学中非常重要的一种函数，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
在研究二次函数时，我们需要深入了解a、b、c之间的关系。
一、a的作用1. a>0时，二次函数开口向上；a<0时，二次函数开口向下。
2. a的绝对值越大，二次函数开口越窄。
3. a与x轴交点为（-c/√a,0）。
4. 当a=0时，二次函数退化成一条直线y=bx+c。
5. a与y轴正半轴夹角为α=arctanb/|a|。
6. 当a>0时，图像在y轴上方；当a<0时，图像在y轴下方。
7. a表示抛物线开口大小和方向的因素。
二、b的作用1. b>0时，抛物线向左平移；b<0时，抛物线向右平移。
2. b的绝对值越大，抛物线平移越远。
3. 抛物线对称轴方程为x=-b/2a。
4. 当b=0时，抛物线过原点且对称于y轴。
5. b表示抛物线横向位置的因素。
三、c的作用1. c>0时，抛物线上移；c<0时，抛物线下移。
2. c的绝对值越大，抛物线上下平移越远。
3. 抛物线在y轴上的截距为c。
4. 当c=0时，抛物线过原点且对称于x轴。
5. c表示抛物线纵向位置的因素。
四、a、b、c之间的关系1. 当a>0时，若b>0，则对称轴在y轴左侧；若b<0，则对称轴在y 轴右侧。
当a<0时，若b>0，则对称轴在y轴右侧；若b<0，则对称轴在y轴左侧。
2. 对于开口向上的二次函数，当a和c同号时，图像上有一个最低点；当a和c异号时，图像无最低点。
对于开口向下的二次函数同理。
3. 对于开口向上的二次函数，在顶点处导数为零；对于开口向下的二次函数，在底部处导数为零。
因此可以通过求导数来确定最值点位置。
总结：二次函数abc之间存在着紧密的联系，分别代表了抛物线开口大小和方向、横向位置以及纵向位置的因素。
二次函数与a,b,c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ;x= -1 时，y=a - b + c .当x = 1 时，① 若y > 0，贝V a + b + c >0 ；® 若y < 时0,贝V a + b + c < 0 当x = -1 时，①若y > 0，贝V a - b + c >0 :②若y < 0，贝V a - b + c < 0 .等）的符号4. （2017四川省广安市）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B （- 1, 3）,与x轴的交点A 在点（-3, 0）和（-2, 0）之间，以下结论：①b2-4ac =0 :②a+b+c>0 :③2 a- b=0；④c- a=3其中正确的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45. （2017四川省眉山市）若一次函数y=（ a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y二ax2 - ax （）A. 有最大值- B .有最大值-- C.有最小值- D.有最小值--4 4 4 41. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1, 0）,对称轴丨如图所示，则下列结论：①abc> 0；②a- b+c=0:③2a+c v0 :④a+b v 0,其中所有正确的结论是（）A.①③ B .②③ C.②④ D.②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线y=ax2・bx（a = 0）的对称轴为直线x = -2 , 与x轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a-b = 0 •，②c ：：： 0 ;9 5 12③-3a0 :④4a -2b at bt （t为实数）；⑤点（-―，yj ,（-一小）,（-一山）是该抛物线上2 2 2的点，则％：：： y2 ：：：y，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个 D . 1个6 . （2017四川省绵阳市）将二次函数y =x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b>8 B . b>- 8 C. b>8 D . b>- 8223. （2017浙江金华第6题）对于二次函数y=-[x-1 • 2是图象与性质，下列说法正确的是（）A.对称轴是直线x =1，最小值是2 B .对称轴是直线x = 1，最大值是2C对称轴是直线x = T，最小值是2 D .对称轴是直线x = -1，最大值是22. （2017四川省南充市）二次函数y=ax2，bx < （a、b、c是常数，且a工0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）2A . 4ac v b B. abc v 0 C. b+c >3a D . a v b26. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线y=ax 2・bx ・c 过点-1,0，且对称轴为直线x = 1 , 有下列结论：①abc ：：： 0 :②10a 3b c 0 :③抛物线经过点 4, y 1与点_3,y 2，则y i • y 2;④无论a,b,c 取何 值，抛物线都经过同一个点—£,0 :⑤am 2 bm 0，其中所有正确的结论是 ______________________ .I a 丿15. （2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a 工0）的对称轴为直线 x =- 1，给出下 列结论：①b 2=4ac ；②abc > 0；③a >c ；④4a - 2b +c >0,其中正确的个数有（ ）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个16. （2017山东烟台第11题）二次函数y 二ax 2 • bx • c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1 ,① ab ：0 :② b 2 . 4ac :③ a b c ：： 0 :④ 3ac ：： 0 •其中正确的是（ ）A.①④B •②④ C. ①②③ D•①②③④个交点坐标为（4, 0）,其部分图象如图所示，下列结论: ① 抛物线过原点； ② 4a+b+c=0； ③ a - b+c v 0；④ 抛物线的顶点坐标为（2, b ）； ⑤ 当x v 2时，y 随x 增大而增大. 其中结论正确的是（）12题）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ^0）的对称轴为直线x=2,与x 轴的一 y 与x 的函数的是（17. （ 2017四川泸州第8题）F 列曲线中不能表示16. （2017山东日照第A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤112. （ 2017江苏盐城第6题）如图，将函数y =（x — 2） 2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数2的图象，其中点 A （1 , m , B （ 4, n ）平移后的对应点分别为点 A 、B •若曲线段AB 扫过的面积为 9 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（A. 1B. 2C. 3D. 44. （2017浙江宁波第10题）抛物线y =x 2- 2x + m 2+2（ m 是常数）的顶点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3分）抛物线y=2x 2- 2 ~x+1与坐标轴的交点个数是点选择180。
二次函数与a,b,c的关系(建议收藏)
a、b、c 及代数式由抛物线的决定具体说明a 由抛物线的开口方向决定〉a开口向上o〈a开口向下b 由对称轴x=－错误!的位置决定对称轴在y轴左侧同号b、a对称轴在y轴右侧异号b、ab=0轴y是对称轴c 由抛物线与y轴交点（0，c)的位置决定与y轴交点在正半轴o〉c上与y轴交点在负半轴c<0上c=0抛物线过原点b2-4ac由抛物与x轴有2个交点线与x轴交点个数决定o〉与x轴有1个交点o=o〈交点没有轴x与2a—b－错误!与-1比较2a+b－错误!与1比较a+b+c令x=1,看纵坐标a—b+c令x=—1，看纵坐标4a+2b+c令x=2,看纵坐标4a-2b+c令x=-2，看纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时,①若y〉0，则a + b + c〉0;②若y〈时0,则a + b + c〈0。
.。
文档交流当x = -1时，①若y > 0，则a—b + c>0;②若y < 0,则a - b + c〈0．....。
文档交流扩:x=2，y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a —2b + c ；x=3，y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
.。
.。
文档交流反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b，c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）的符号。
...。
文档交流4．(2017四川省广安市)如图所示,抛物线的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点(﹣3,0）和(﹣2，0）之间，以下结论：...。
.文档交流①；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有(）A．1B．2C．3D．4 5．（2017四川省眉山市）若一次函数y=(a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数().。
.。
文档交流A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣1。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数与a、b、c的关系总结二次函数是数学中重要的一种函数形式，在数学和物理等领域都有广泛的应用。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：a是二次函数中x^2的系数，决定了二次函数图像的开口方向和形状。
- 当a>0时，二次函数图像开口向上，形如一个“U”，称为“正抛物线”。
a越大，抛物线越“瘦长”。
- 当a<0时，二次函数图像开口向下，形如一个“∩”，称为“负抛物线”。
a越小（绝对值越大），抛物线越“瘦长”。
2. b的影响：b是二次函数中x的系数，决定了二次函数图像的位置和对称性。
- 当b>0时，二次函数图像向右平移，平移的距离与b的绝对值成正比。
具体而言，平移的距离为2√(a/b)。
- 当b<0时，二次函数图像向左平移，平移的距离与b的绝对值成正比。
3. c的影响：c是二次函数的常数项，决定了二次函数图像与y轴的位置关系。
- 当c>0时，二次函数图像在y轴上方，与y轴的交点为(c,0)。
- 当c<0时，二次函数图像在y轴下方，与y轴的交点为(c,0)。
除了以上的总结，还有一些其他的关系需要注意：- 如果a为正（负），则二次函数的值域为y ≥ (≤) c，其中c为二次函数的最小值（最大值）。
- 二次函数的对称轴为直线x = -b/(2a)，对称轴将二次函数图像分成左右对称的两部分。
- 二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，即对称轴上的点。
综上所述，二次函数与a、b、c之间有着密切的关系。
通过调整这些系数，我们可以改变二次函数图像的形状、位置和对称性，从而实现特定的数学模型和应用需求。
二次函数系数abc的关系
因此，系数b影响了二次函数 的增减性，特别是在对称轴 两侧的单调性。
04
系数c对二次函数影响
c决定与y轴交点位置
01 当c > 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 正半轴上。
02
当c = 0时，二次函数的图像经过原点。
03 当c < 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 负半轴上。
c与函数最值关系
不足之处与改进方
向
在解题过程中，我有时会对某些 细节处理不够严谨，导致答案出 现偏差。未来我将更加注重细节 ，提高解题的准确性。
下一步学习计划和目标
深入学习二次函数的性质和应用
我计划在下一步学习中，更加深入地探讨二次函数的性质和应用，如最值问题、不等式 问题等。
拓展相关数学知识
为了更好地理解和应用二次函数，我计划学习与之相关的数学知识，如一元二次不等式 、二次方程根与系数的关系等。
系数a、b、c意义
$a$决定抛物线的开口方向和宽度
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，$|a|$的大小决 定了抛物线的宽度。
$b$和$a$共同决定抛物线的对称轴
对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
$c$决定抛物线与y轴的交点
当$x = 0$时，$y = c$，即抛物线与y轴的交点为$(0, c)$。
对于开口向上的二次函数（a > 0），c决定了函数的 最小值。当x = -b/2a时，函数取得最小值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
对于开口向下的二次函数（a < 0），c决定了函数的 最大值。当x = -b/2a时，函数取得最大值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
二次函数图像与abc的关系
3
等于0
抛物线会转移到y轴的位置。
二次函数图像与参数c的关系
大于0
二次函数图像上下平移c个单位。
小于0
二次函数图像下移c个单位。
等于0
不会影响抛物线的位置。
二次函数图像与顶点坐标的关系
向上移动
当抛物线向上移动时，顶点的y 坐标会增加。
向下移动
当抛物线向下移动时，顶点的y 坐标会的x坐标会随之变化。
二次函数图像与弦长的关系
纵坐标高度差
弦长
0
2|a|
2|a|
2
4|a|
2√2
6|a|
4
二次函数图像与参数a的关系
大于1
二次函数图像会变得更加扁宽， 而且始终开口向上。
在0和1之间
二次函数图像会变得更加窄高， 而且始终开口向上。
小于0
二次函数图像始终开口向下，而 且会变得更加窄高。
二次函数图像与参数b的关系
1
大于0
参数b控制了抛物线的位置，而且抛物线上下振动的程度。
2
小于0
虽然抛物线的开口方向不变，但会上下反转。
二次函数图像与abc的关 系
二次函数图像是数学中的重要概念。了解它的形状和性质对于学习和掌握二 次函数至关重要。
二次函数图像的形状和位置
形状
二次函数图像可以是开口向上的 抛物线或开口向下的抛物线。
位置
二次函数图像可以沿着x轴或y轴 移动。
宽度
二次函数图像可以被拉宽或压缩。
二次函数图像的平移和伸缩
平移
当二次函数图像沿x轴移动a个单位，则f(x)=a(xh)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图像移动到左 或右方。当二次函数图像沿y轴移动k个单位， 则f(x)=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图 像移动到上或下方。
二次函数abc的关系
二次函数abc的关系二次函数是一种形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a,b,c$是常数且$a\neq 0$。
二次函数在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学、统计学等领域中都有着重要的作用。
下面我们来详细地讲解二次函数中$a,b,c$三个常数之间的关系。
首先，我们来看二次函数的图像。
二次函数的图像一般为一个开口向上或向下的抛物线，其开口方向由$a$的正负号决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。
接着，我们来分别讨论$a,b,c$三个常数对二次函数图像的影响。
1. $a$对图像的影响由于$a$决定了抛物线开口方向，因此它对图像有着重要的影响。
当$a>0$时，随着$x$增大，$f(x)$也会增大；当$a<0$时，随着$x$增大，$f(x)$会减小。
此外，在绝对值相等的情况下，越小的$a$使得抛物线越扁平；越大的$a$则使得抛物线越尖锐。
2. $b$对图像的影响$b$对图像的影响主要体现在抛物线的位置上。
当$b>0$时，抛物线向右移动；当$b<0$时，抛物线向左移动。
此外，在绝对值相等的情况下，越小的$b$使得抛物线移动得越远；越大的$b$则使得抛物线移动得越近。
3. $c$对图像的影响$c$对图像的影响主要体现在抛物线与$x$轴交点上。
当$c>0$时，抛物线与$x$轴交点在原点上方；当$c<0$时，抛物线与$x$轴交点在原点下方。
此外，在绝对值相等的情况下，越小的$c$使得抛物线与$x$轴交点越高；越大的$c$则使得抛物线与$x$轴交点越低。
综上所述，二次函数中$a,b,c$三个常数之间有着密切的关系。
它们分别决定了二次函数图像的开口方向、位置和与$x$轴交点高度等特征。
因此，在使用二次函数进行问题求解时，我们需要仔细分析其$a,b,c$三个常数之间的关系，并根据具体问题选择合适的数值进行计算。
二次函数abc关系式
二次函数abc关系式嘿，朋友们！咱们今天来聊聊二次函数里那个神秘的“abc 关系式”。
您说这二次函数像不像一个性格有点复杂的小伙伴？而其中的a、b、c 就像是它性格的关键元素。
先来说说 a 吧。
a 就像一个决定方向的舵手，如果 a 大于 0 ，那函数图像就像一个昂首挺胸向上冲的勇士，开口朝上，信心满满；要是 a 小于 0 呢，函数图像就像个垂头丧气往下走的家伙，开口朝下，一脸沮丧。
您想想，这像不像咱们生活中有时候积极向上，有时候又有点小失落的样子？再看看 b ，b 这家伙可有点狡猾。
它和对称轴的位置有着千丝万缕的联系。
对称轴的公式您还记得不？x = -b / 2a 。
这 b 就像是个幕后的调控者，影响着对称轴的位置。
比如说，a 已经确定了方向，b 要是也来助力，那对称轴就会相应地移动位置。
这就好比您在跑步，本来朝着一个方向跑，旁边有人轻轻推您一把，您的路线是不是就变了？然后是 c ，c 就像是函数的一个小尾巴。
当 x 等于 0 的时候，y 就等于 c 。
这 c 啊，就像是您出门的时候兜里揣的零花钱，不管前面怎么折腾，这兜里的钱总是实实在在的。
那这 a、b、c 之间的关系到底怎么用呢？比如说，给您一个二次函数的图像，让您判断 a、b、c 的正负，您就得先看看开口方向，确定 a的正负。
再瞧瞧对称轴是在 y 轴左边还是右边，来推测 b 的情况。
最后瞅瞅函数和 y 轴的交点，就能知道 c 啦。
咱们来举个例子，假如有个二次函数图像开口朝上，对称轴在 y 轴左边，和y 轴交于正半轴。
那这a 肯定是大于0 呀，因为开口朝上嘛。
对称轴在 y 轴左边，说明 -b / 2a 小于 0 ，a 大于 0 ，那 b 也得大于 0 才行。
和 y 轴交于正半轴，这 c 不就大于 0 了嘛。
怎么样，是不是感觉这二次函数的 abc 关系式也没那么难理解啦？其实啊，只要您多琢磨琢磨，多做做练习题，就像和这个有点复杂的小伙伴多交流交流，您就能和它成为好朋友，轻松搞定它！所以，别害怕，勇敢地去探索二次函数的奥秘吧！。
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3、c的大小决定抛物线与y轴的交点位置： c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与 y轴交于正半轴； c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
4、 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置： 当b＝0时，对称轴为y轴； 当ab>0时，对称轴在y轴左侧； 当ab<0时，对称轴在y轴右侧。
y
4 2
-2 -1
x
A
y 4
1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y 2x 2 4x 1的图像是哪一个？
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y x 2 2x 1的图像是哪一个？
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 1
1x
C
y
779 995
x2
此抛物线的对
(3) b+2a<0;
(4)abc>0y
正确的是（ B ）
A.(3)(4) B.(2)(3) －1 O
1
x
C.(1)(4) D.(1)(2)(3)
练习：如图所示，满足a<0,b>0的函 数y=ax2+bx的图像是( B )
y
yAຫໍສະໝຸດ BOxOx
y
y
C
O
x
D
Ox
1、开口方向：a>0，开口向上； a<0，开口向下。
a3如>C、、图0二,ba所<<次示00函,,，bc数=<则0y0a=,c、a=xb02、+cbD的x、+符c号(a为≠0（)的C图）象
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y
ox
y
o
x
当x＝1时，函数y＝a＋b＋c 当x＝－1时，函数y＝a－b＋c
二次函数的 二二次形函次状数函与y数=aa、yx=2ba+、xb2xc++的bcx图关+c象系图的象位的置、 图象和性质 位置、形状与a、b、c的关系
徐鑫
1.一次函数的y 3x 5 大致图像是（ ）
二次函数的顶点式是
y a(x h)2 k
2. y 1 ( x 1)2 4它的图像是（ ） 2
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
y 4 1
1x
C
y 2x 2 4x 1的图像是哪一个？
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B
y 4 2
-1
1x
C
c的大小决定抛物线与y轴的交 点位置：
c=0,抛物线过原点； c>0,抛物线与 y轴交于正半轴； c<0,抛物线与 y轴交于负半轴。
练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
x
B
y
O x
C
y O
x
D
例1：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，则下列关于 a,b,c间的 关系判断正确的是（ D ）
A.b>2a C.abc>0
B.a-b+c>0 D.a+b+c<0
y
-1
Ox
变式：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 给出以下结论
（1） a+b+c<0；（2）a-b+c<0;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，
c，△与抛物线的关系
a决定开口方向：a＞０时开口向上， a
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） y
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 o
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
如图所示，则a、b、c的符号为（ A ）
A、a>0,b>0,c=0 B、 a<0,b>0,c=0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在
同一坐标系内的大致图象是（
）[1999、2001中考]
y
y
y
y
x
o
x
o
x
o
o
x
(A)
(B)
(C)
(D)
4.抛物线 y ax2 bx c 过第二、三、四象
限，则a <0，b <0，c <= 0．
5. 抛物线 y ax2 bx c 过第一、二、四象
限，则a >0，b< 0，c >= 0．
6.已知抛物线 y ax2 2x c与X轴的交
点都在原点的右侧，则点M（a,c）在第 一象
限．
三
7.已知二次函数 y ax2 bx c 中，
a 0,b 0, c 0 则此函数的图象不经过
第 二象限
8.已知二次函数 y ax2 bx c 中，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：
1、当x= 1时， 2、当x=-1时， 3、当x= 2时， 4、当x=-2时，
y=a+b+c y=a-b+c y=4a+2b+c y=4a-2b+c
练习:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象
如上图所示，那么下列判断正确的有
（填序号）
.
①abc>0 ② 2a+b>0 ③a+b+c<0
抛物线与直线x 1交点 y X=1
y abc0
y abc0
o
x
y abc0
抛物线与直线x 1的交点
y
y abc 0
y abc 0
o
x
y abc0
X=-1
练习： 二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(<,>,=)填空: a 0，b 0，c 0，a+b+c 0，a-b+c 0，
y
-1 o 1 x
a 0,b 0, c 0 则此函数的图象不经过 第 三 象限
9.已知二次函数 y ax2 bx c中，
a 0,b 0,c 0 则此函数的图象只经过
第 二三四 象限
在同一直角坐标系中，函数 y ax2 b
与 y ax b(ab 0) 的图象大
致如图 （ D）
y
O x
A
y
O
称轴在哪里？
8999x 100666，
A 、y轴左边
B、就是y轴
C、y轴右边
ab的符号决定抛物线的对称轴的位置： 当ab>0时，对称轴在y轴左侧； 当ab<0时，对称轴在y轴右侧。 当b＝0时，对称轴为y轴；
y x2 2x 1的图像是哪一个？
y
4 2
-2 -1
x
A
y
4
1 1
-2 -1
x
B