鲁棒控制理论第三章

ˆ P ˆ T
ˆ ˆ 表示了 T 对 P 的变化的敏感程度。
dT dP ˆ P C 1 + PC ˆ 1 ˆ = P= =S 2 ˆ 1 + PC T (1 + PC ) PC
定义 敏感函数 Sensitivity Function ˆ ˆ 闭环传递函数 T 对 P 的无限小摄动的灵敏度称为系统的 敏感函数。 定义 补敏感函数 Complementory Sensitivity Function
ˆ ˆ T = 1− S
称为系统的补敏感函数
定理3
ˆ 系统渐近跟踪阶跃和斜坡的能力取决于敏感函数 S 在原点 s=0处的零点数。
定理3 假定反馈系统是内稳定的，且n=d=0
ˆ (1) 对于r1(阶跃)，系统渐近跟踪(t→∞,e(t)→0)，当且仅当 S 至少有一个零点在原点。 ˆ (2) 对于r2(斜坡)，系统渐近跟踪，当且仅当 S 至少有两个 个零点在原点。
判定：开环传递函数是否零极相消
跟踪性：系统跟踪不同信号的能力
ˆ 判定： W1S
∞
输入信号一
考虑任意幅值不大于1的正弦信号
r (t ) ∈ {a sin ωt ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈
+
}
⎫ ⎪ +⎬ ⎪ ⎪ ⎭
⎧ aω ⎪ ˆ r (s) ∈ ⎨ 2 ∀a ∈ (0,1], ∀ω ∈ 2 ⎪s +ω ⎪ ⎩ 由 e (t ) = a S ( jω ) sin ωt + arg ( S ( jω )) ˆ
这种情况是由于控制器的零点和对象的极点在s=1相消引起 的。
PCF = s −1 1 s −1 = s + 1 s 2 −1 ( s + 1)2 ( s −1)
将P,C,F写成互质多项式的比：
内稳定性检验方法
定理1： 定理2：
P=
NP N N ,C = C , F = F DP DC DF
反馈系统的特征多项式就是
d
r — v e C
u
P
y
n
e为跟踪误差，当n=d=0， e等于参考输入（理想的响 应）r与对象输出（实际的 响应）y之差。
我们希望研究当时间趋向无穷时系统跟踪某些试验信号的 能力。
⎧ c, t ≥ 0 ⎪ r1 (t ) = ⎪ ⎨ ⎪0, t = 0 ⎪ ⎩
阶跃
⎧ct , t ≥ 0 ⎪ r2 (t ) = ⎪ ⎨ ⎪ 0, t = 0 ⎪ ⎩
−1
或
⎛ x1 ⎞ ⎡ 1 0 F⎤ ⎛r⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎟ 1 ⎜ x2 ⎟ = −C 1 0 ⎥ ⎜d ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎢ 0 −P 1 ⎥⎥ ⎜ n ⎟ 1 + PCF ⎜ 3 ⎠ ⎢⎣ ⎜ ⎟ ⎝ ⎥⎦ ⎝ ⎠
⎡ 1 −PF −F ⎤⎛ r ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢C ⎥ ⎜d ⎟ ⎟ 1 −CF ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎢ PC ⎜ ⎟ P 1 ⎥⎦⎥ ⎝ n ⎠ ⎣
DP DC DF + N P N C N F
闭环极点就是特征多项式的零点
反馈系统是内稳定的，当且仅当没有闭环极点在 Re s ≥ 0 反馈系统是内稳定的，当且仅当下面两个条件成立： （1）传递函数1+PCF没有零点在 Re s ≥ 0 （2）乘积PCF在 Re s ≥ 0 没有零极相消
Nyquist稳定判据
x2 = d + Cx1 x3 = n + Px2
r
x1 —
v
d
C
u
x2
P x3
y
F
n
表达成矩阵形式
⎡ 1 0 F ⎤⎛ x1 ⎞ ⎛ r ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢−C 1 ⎥ ⎜ x2 ⎟ = ⎜d ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎢ 0 −P 1 ⎥⎥ ⎜ x ⎠ ⎝ n ⎠ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎟ ⎜ ⎟
斜坡
r→y的传递函数
ˆˆ ˆ y PC Δ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = =T ˆˆ ˆ r 1 + PC
ˆ e 1 Δ ˆ = =S r→e的传递函数 ˆˆ ˆ r 1 + PC ˆ ˆ ˆ ˆ 对于传递函数 P 的摄动 ΔP ，将引起 T 的摄动 ΔT
ˆ ˆ S +T =1
，则
相对摄动的比
ΔT T dT = lim ˆ ΔP→ 0 ΔP / P dP
鲁棒控制理论
第三章 基本概念
前言
本章和下一章（不确定性和鲁棒性）是最基本的。集中讨 论单回路反馈系统。 首先定义系统的稳定性并给出其充分必要条件，进而分析 系统渐近跟踪某些信号（即阶跃和斜坡）的能力，最后我 们把跟踪作为一种性能指标来讨论。不确定性问题推迟到 下一章。 在前一章我们用到了时间域和频率域的信号，用u(t)记时 ˆ 间函数，用 u ( s) 记它的Laplace变换。当上下文仅在频率 域内，我们去掉^而更方便地写成u(s)；依此类推，系统 的脉冲响应G(t)、相应的传递函数也可作同样的简化。
假定图3.1中的每一部分都是线性的，因此它的输出是输 入的线性函数 更特殊化，假定三个部分的输出是它们输入的和或差的线 性函数 y = P (d + u )
v = F ( y + n) u = C (r − v )
d
r
— C
对应的方框图如图3.2
u
y
P
v
F
n
图3.2 基本反馈回路
“良定性” （适定性，Well Postedness）
定理的证明应用终值定理： ˆ 如果 y ( s ) 是一有理Laplace变换，除了可能有一单极点在原 ˆ 点以外没有极点在 Re s ≥ 0 , 那么 lim y (t ) 存在且等于 lim sy ( s ) t →∞ s →0
定理3的证明
(1)
c r1 ( s ) = , s c ˆ ˆ e ( s ) = S ( s ) r1 ( s ) = S ( s ) s
P= NP N N ,C = C , F = F DP DC DF
则
DP DC DF + N P N C N F 1 + PCF = DP DC DF
可见当P严格正则时，1+PCF一定是双正则的。证毕。 在本课程中，一般假设P是严格正则的，C、F是正则 的，即系统是强良定的。
3.2 内稳定(Internal Stability)
构造PCF的Nyquist图，将围 线D在虚轴上的极点处向左绕 过这一点（这样就把虚轴上的 极点划归到右半平面）。 令N表示P、C和F在 Re s ≥ 0 的极点总数，那么反馈系统是 内稳定的，当且仅当Nyquist 图不通过-1点，并且逆时针包 围-1点N次。
D
3.3 渐近跟踪
考虑如图3.4所示的单位反馈回路（F=1）
e(t)
{
}
2
r0(t)
ˆ ˆ W1S
ˆ ˆ e 2 ≤ W1S
∞
r0
∞
ˆ ˆ ⇒ sup e 2 = W1S
ˆ ˆ 标称化地，令 W1S
∞
< 1 作为系统跟踪性能设计的指标，可保
证
e
∞
<1
第三章总结
良定性：系统传递函数的可实现性
判定：开环传递函数的正则性
内稳定性：系统内部所有信号的稳定性，整个系 统的安全性
(
)
则 sup e (t ) = e
t
ˆ = sup S ( jω ) = S ∞
ω
∞
即
e
ˆ <ε⇒ S ∞
∞
<ε
ˆ ˆ ( s ) = 1 ，则由W ( s ) S ( s ) = 1 S ( s ) ˆ 定义权函数W1 1 ε ε 1 有 ˆ ˆ ˆ W1S = S < 1 ⇒ S < ε ⇒ e ∞ < ε ∞ ∞ ε ∞
有一个极点在S=0 从而有： ˆ ˆ 如果反馈系统是内稳定的并且 P 或 C 有一个 极点在原点（即固有的积分），那么输出y(t)将渐近跟 踪任何阶跃输入。
ˆ = 1 , 令L = ˆ ∵ S ˆ 1+ L
ˆ ˆ DL NL ˆ , 故 S= ˆ ˆ ˆ DL DL + N L
例
ˆ (s) = 1 , P s
仅仅看输入-输出传递函数，如从r到y，是不够的，这个 传递函数可能是稳定的，因而当r有界时y也有界，但可能有 内部信号是无界的，这种情况可能会引起物理系统内部结构 的毁坏。 定义：对于基本反馈回路，当r，d，n到x1，x2，x3的所 有传递函数均稳定时，称系统是内稳定的。 内稳定的一个结果是：如果外部输入的幅值有界，那么 x1，x2和x3以及u，y和v都是有界的。因此，对所有有界的 外部信号，内稳定确保内部信号是有界的（保证系统的安全 性）。
“良定性”是指图3.2中所有闭环传递函数都存在，即从三个 外部输入到所有内部信号u，y，v以及求和点的输出之间的 传递函数都存在。 诸求和点的输出示于图3.3中。 为获得良定性， 只需考察从r，d，n 到x1，x2，x3的9个 传递函数
r
— x1 C
d
u
x2
y
P
v
F
x3
n
图3.3 基本反馈回路
求和点的方程 x1 = r − Fx3
例 在图3.2中
s −1 C (s) = , s +1 1 P (s) = 2 , s −1 F =1
检验从r到y的传递函数是稳定的，但从d到y是不稳定的。因 此反馈系统不是内稳定的。
y PC 1 = = 2 r 1 + PCF s + 2 s + 2
y P s +1 = = d 1 + PCF ( s −1)( s 2 + 2s + 2)
ˆ C (s) = 1
1 s 从r到e的传递函数等于 = −1 s +1 1+ s
可见s=0的开环极点成了闭环误差传递函数的零点，这一零 ˆ 点与 r ( s ) 的极点相消，结果在 e ( s ) 中便没有不稳定的极 ˆ 点。 斜坡输入的情况与之类似。
3.4 性能
本节考察跟踪参考信号的情况。前面一节仅考虑完全渐近 跟踪单一的信号，现在考察不同输入信号的集合下跟踪性能 的量度。 确定性能指标（即跟踪特性好坏的量度），取决于两方面 的因素： 我们知道多少r的信息； 用什么方式来量测跟踪误差。 通常r是预先未知的，但我们总是要预先知道一组可能的 输入，或至少也是为了设计的需要而假定预知的。
ˆ 由于系统是内稳定的，则 S 是一稳定的传递函数。根据终
值定理，
c ˆ e (∞) = lim s S ( s ) = cS (0) s→0 s
ˆ 则 e (∞) = 0 ⇔ s (0) = 0
r2 ( s ) = c s2
ˆ ，即 S 至少有一零点在原点。
(2)
证明类似。
标注
ˆ ˆ S 有一个零点在S=0, 当且仅当 L
ˆ 以 W1S
∞
为跟踪性能的量度，将性能指标进行了标称化。
一般地，这种处理可视为在参考输入信号后串联了一个滤波 器。
r0(t)
ˆ W1 ( s )
r(t)
ˆ S (s)
e(t)
ˆ W1 ( s ) 一般为低通滤波器
输入信号二
考虑任意能量（在沿频率加权的意义下）不大于1的输入信 号
ˆ ˆ r (t ) ∈ W1 ( s ) r0 ( s ) r0 (t ) 2 ≤ 1
弱良定性 当且仅当行列式1+PCF不恒等于0时，称系统 是（弱）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的存在性。 强良定性 当且仅当1+PCF不是严格正则时，称系统是 （强）良定的。 这一定义说明了系统所有传递函数的正则性 （系统的可实现性）。
性质：若P，C和F是正则的，并且其中之一是严格正则 的，则反馈系统是强良定的。 证明：不失一般性，设P是严格正则的， 设
3.1 基本反馈回路
d
r
控制器
u
y
对象
v
敏感元件
n
图3.1 最基本的反馈控制系统
尽管性能目标是多种多样的，但总可以概括成y应当接近 某一预定的输入函数r。当然在外部干扰d，敏感噪声n以 及对象的不确定性存在的情况下也是如此 此外我们还可能要限制u的大小 因为我们往往是通过v得到y的，所以通常根据量测信号v 而不是y来描述系统的性能目标更有普遍意义 下面的分析在频率域里进行，为简化记号，省略了表示 Laplace变换的符号^