高三数学函数解析式

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高三数学解析式试题答案及解析

高三数学解析式试题答案及解析1.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【答案】－x(x＋1)【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.【考点】1、函数的解析式；2、二次函数的最值.3.运货卡车以每小时x千米的匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米／小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（）升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） km/h时，最低费用的值为.【解析】（Ⅰ）行车总费用包括两部分：一部分是油耗；另一部分是司机工资，首先表示出行车时间为，故司机工资为（元）,耗油为（元），故行车总费用为二部分的和；（Ⅱ），由基本不等式可求最小值，注意等号成立的条件（时取等号），如果等号取不到，可考虑利用对号函数的图象，通过单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）设所用时间为，.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是（或，）（Ⅱ）仅当，即时，上述不等式中等号成立答：当km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元【考点】1、函数的解析式；2、基本不等式.4.已知若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】.【考点】函数的解析式.5.若定义在R上的函数满足，且当时，，函数，则函数在区间内的零点个数为（）A．9B．7C．5D．4【答案】C【解析】∵，∴，当时，，，∴，∴，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.【考点】1.求函数解析式；2.分段函数图像.6.若，则的表达式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，所以，所以，选D.【考点】求函数的解析式.7.已知函数，则满足方程的所有的的值为；【答案】0或3【解析】试题分析若，则或，解得a=3或a="0."【考点】1.分段函数；2.对数方程和指数方程.8.对于函数，如果存在锐角使得的图象绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是A．B．C．D．【答案】C【解析】若函数f （x ）逆时针旋转角后所得曲线仍是一函数，则函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点 A 中函数与直线y=x 有两个交点，不满足要求； B 中函数y=lnx 与直线y=x-1有两个交点，不满足要求； C 中函数与直线y=x+b 均有且只有一个交点，满足要求；D 中函数y=x 2与直线y=x 有两个交点，不满足要求；故选C. 【考点】旋转变换点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b 均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．9. 已知函数在点处的切线方程为 (1)求函数的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c 的最小值．【答案】(1) f(x)＝x 3－3x. (2) c 的最小值为4. 【解析】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3. 根据题意，得即解得所以f(x)＝x 3－3x.(2)令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.(－2，－，f(1)＝－2，所以当x ∈[－2,2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2. （需列表格或者说明单调性，否则扣2分）则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.即c 的最小值为4.【考点】本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，待定系数法。

2.1函数的解析式及定义域与值域

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 2.1函数的解析式及定义域与值域考纲定位理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求解析式的常用方法.疑难提示 1、要注意区间的正确表示，特别是分清开区间与闭区间的区别；2、简单函数的定义域和值域的求法；3、对符号()y f x =的理解及解析式的求法.【考点整合】1、函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的，在集合B 中都有的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，其中x 的取值范围A 叫函数的，叫函数的值域，值域是的子集.2、函数的三要素：为函数的三要素.两函数相同，当且仅当3、函数的表示法有，和 .4、映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的，在集合B 中都有的元素y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.5、函数定义域的求法：6、基本初等函数的值域：(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)【真题演练】1、(2011 浙江)设函数20()0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =（）A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或22、(2012 江西)下列函数中，与函数31y x=定义域相同的函数是（） A.1sin y x = B.ln x y x = C.x y xe = D.sin x y x= 3、(2012 江西)设函数211()lg 1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩若((10))f f =（） A.lg101 B.2 C.1 D.04、(2012 安徽)下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是（）A.()||f x x =B.()||f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-5、(2012 江苏)函数6()12log f x x =-的定义域为6、(2010 江苏)已知函数210()10x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是【经典例题】一、函数的定义域：例1、(1)函数(1)y x x x =-+的定义域为； (2)函数02lg(2)(1)12x y x x x -=+-+-的定义域为；(3)已知函数()y f x =的定义域是[0，4]，则2(1)(3)y f x f x x =++-的定义域是变式训练：1、若函数(1)y f x =+的定义域是[-2，3），则(21)y f x =-的定义域是2、若函数1()x f x e x m=-+的定义域是R ，则实数m 的取值范围是二、函数的值域例2、分别求下列函数的值域(1)1y x =+ (2)22y x x =-+ (3)22([0,3])y x x x =-+∈ (4)213x y x +=- (5) (6)21y x x =+-变式训练：求下列函数的值域(1)246([1,5))y x x x =-+∈ (2)(0)cx d y a ax b+=≠+其中 (3)21y x x =-- (4)22225(12)1x x y x x x ++=≤≤++三、函数的解析式例3、(1)已知二次函数()f x 的最小值为4，且(2)(0)6f f ==，求()f x 的解析式(2)已知2(1)f x x x +=+,求()f x 的解析式；(3)已知2()()32f x f x x +-=+，求()f x 的解析式(4)已知函数2y x x =+与函数()y g x =的图象关于点(-2,3)对称，求()g x 的解析式(5)设()f x 是R 上的函数,且满足(0)1f =,并且对任意实数,x y 都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式变式训练：(1)已知2211()f x x x x +=+，求()f x ；(2)已知12()()3f x f x x+=，求()f x ；【作业】《胜券在握》P4页第1、2题；【上本作业】《胜券在握》P4页第3、4、5题.。

高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用

重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

高三数学复习(理)：第4讲二次函数与幂函数

第4讲二次函数与幂函数[学生用书P23]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称常用结论一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”；(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x 12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数单调性规律掌握不到位；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错； (4)对幂函数的概念理解不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________．(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称轴为x ＝－b2a >0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－12m ≤3，即m ≤－16. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－163．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞4．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，1)[学生用书P24]幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D.幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，所以－1<n <0，综上所述，选D.3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】方法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R .都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为____________．解析：由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b2＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3. 答案：f (x )＝x 2－2x ＋32．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．解析：设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一通过图象识别二次函数如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.【答案】 B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．【答案】 [－3，0]【迁移探究】 (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．角度三二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．角度四一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，若不分离参数，则一般需要对参数进行分类讨论求解；若分离参数，则a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D.A 项，因为a <0，－b 2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b 2a >0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b 2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b 2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.2．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )A ．a ＝0B ．a <0C ．0<a ≤13D ．a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D. 3．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12[学生用书P26]思想方法系列4 分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2；(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a ； ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2；(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1且a ≠0，－2，a ＝0，－1a ，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a 为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[学生用书P281(单独成册)][A 级基础练]1．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1 D.－2解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.2．设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b解析：选A.函数f (x )＝x 23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b 2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选A.由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2.答案：27．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝13.所以y＝13(x－3)2＝13x2－2x＋3.答案：y＝13x2－2x＋38．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.答案：[0，4]9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或a ＝－1.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．[B 级综合练]11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a 2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a 2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．故选B.12．已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．13．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)14．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝－3f 2（x ）＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．解：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ，函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2.②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2.③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.[C 级提升练]15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]．。

高三文科数学一轮复习第二节函数的值域与解析式

第二节函数的值域与解析式1．函数的值域在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，常见的有：(1)形如y ＝ax ＋b cx ＋d(c ≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化为y ＝a c ＋m cx ＋d(其中m 为常数)形式． (2)形如y ＝a x ＋b a x ＋c 或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数可用反解法． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用配方法及换元法．(4)形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法．设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．(5)形如y ＝x ＋k x (k >0，x >0)的函数可用均值不等式法或函数单调性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相等”．(6)对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．[温馨提示] (1)熟记基本初等函数的值域①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}．④y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．⑦y ＝tan x 的值域是R .(2)利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f []g (x )的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x ＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．[小题速练]1．(2018·河南平顶山模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)[解析] 因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．选B.[答案] B2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x[解析] 用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.[答案] B3．函数f (x )＝33x －3的值域为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) [解析] 由3x －3≠0，得x ≠1，所以3x －3>－3且3x －3≠0.当－3<3x －3<0时，33x －3<－1；当3x －3>0时，33x －3>0.故f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．[答案] D4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________. [解析] 令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1. ∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)． [答案] lg 2x －1，x ∈(1，＋∞) 5．函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]时的值域为________．[解析] y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x 在x ∈[0,3]的值域为[0,15]．[答案] [0,15]考点一求函数的值域——基础考点求下列函数的值域：(1)y ＝x －3x ＋1； (2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[思路引导] (1)分离常数法．(2)换元法，令1－2x ＝t (t ≥0)转化为二次函数的值域或利用函数单调性求最值．(3)去分母，转化为关于x 的二次方程，利用判别式“Δ”求y 的取值范围．(4)均值不等式．[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1. 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧ y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. (3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*)方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0，即y 2＋2y －3≥0解得y ≥1或y ≤－3由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)(4)函数定义域为{x |x ∈R ，x >0，且x ≠1}．当x >1时，log 3x >0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2 log 3x ·1log 3x －1＝1；当0<x <1时，log 3x <0，于是y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－log 3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－log 3x －1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[拓展探究] (1)若本例中(1)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？(2)若本例中(3)变为y ＝x 2＋x ＋1x ＋1(x >－1)其值域如何求？ (3)若本例中(3)变为y ＝x 2＋4x ＋1x 2＋1，则其值域是________． [解析] (1)y ＝x －3x ＋1＝1－4x ＋1， ∵函数y ＝1－4x ＋1在[1，＋∞)上是增函数， ∴y ≥1－41＋1＝－1，故该函数的值域为[－1，＋∞)． (2)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，y ≥1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号． (3)由原函数整理得(1－y )x 2＋4x ＋1－y ＝0.当1－y ＝0，即y ＝1时，x ＝0；当1－y ≠0，即y ≠1时，Δ＝16－4(1－y )2≥0，即(1－y )2≤4，解得－1≤y ≤3，所以－1≤y ≤3且y ≠1.综上，所求函数的值域为[－1,3]．[答案] (1)[－1，＋∞) (2)[1，＋∞) (3)[－1,3](1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围；(3)本例中(3)及拓展探究(3)均用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r(ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解，即拓展探究(2)．[跟踪演练]1．函数y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]的值域为__________． [解析] 由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. [答案] y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3 2．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)． ∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54 3．函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y 1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．[解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)．[答案] [3，＋∞)考点二求函数的解析式——冷考点求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )． (2)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1，求f (x )．[思路引导] (1)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系．(2)令t ＝1－cos x ，换元法求f (t )．(3)待定系数法，令f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．(4)用1x 代替式中x ，解方程组求f (x )．[解] (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2.∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t .故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)．(3)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.本例中(1)看出x ＋1x 与x 2＋1x 2之间的关系，若令t ＝x ＋1x ，则用t表示x 并不好表示，即换元法不易求f (x )，而用配凑法却易找到关系，同时注意到x ＋1x 的范围．本例(2)适宜用换元法．求函数解析式的3种方法：(1)配凑法、换元法：已知f [g (x )]的解析式求f (x )，可考虑配凑或换元法．(2)待定系数法：如本例中(3)，一般已知所求函数的类型或具体形式可用此法．(3)解方程组法：如本例中(4)，只适用于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )与f (－x )类型的表达式，代换后通过解方程组求出f (x )，这种方法有局限性．[跟踪演练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．[解] ∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx .又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，⇒a ＝b ＝12.因此，f (x )＝12x 2＋12x .3．定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三函数的综合问题——热考点(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][思路引导] (1)利用指数函数的单调性→建立关于a ，b的方程组→解出a ，b(2)分别求出每一段的最小值→比较最小值列式→求出a 的范围[解析] (1)当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.(2)由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥0；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.[答案] (1)－32 (2)D(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[跟踪演练](2018·广东深圳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1][解析] 因为f (x )的值域是R ，且两段函数都是递增函数，所以4＋a ≤2＋a 2，解得a ≤－1或a ≥2，故选A.[答案] A利用几何意义或导数法求函数的值域素养解读：函数的值域或最值及其求法是近几年高考考查的重点内容之一．函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．下面就几何法及导数法进行一简单介绍，后面要继续学习．(1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域．[切入点] (1)根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．(2)对于含有对数式的函数的值域问题，利用导数求解即可．[关键点] (1)转化为斜率型函数值域问题．(2)准确求导，利用导数求最值．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.(2)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，又f ′(x )＝11＋x －12x ＝(1－x )(x ＋2)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当0≤x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (1)＝ln2－14为函数f (x )在[0,2]上的最大值．又f (0)＝0，f (2)＝ln3－1>0，所以f (0)＝0为函数f (x )在[0,2]上的最小值，故函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在[0,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14.[答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln2－14(1)几何法求值域步骤(2)求导法可以用来处理高次函数(大于等于三次)、分式函数或含有对数式的函数等相对比较复杂的函数的值域或最值问题，其关键是正确求导，利用导数与单调性的关系来求最值或值域．[感悟体验]1．函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [解析] f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)． [答案] [10，＋∞)2．(2017·天津红桥区二模)试求函数f (x )＝ln x －12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．[解] 由于f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，1e ≤x ≤e.令f ′(x )>0，得1e ≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e.故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝－12.课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.[答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1] 三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高三数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.设函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在x∈[m,1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（1）a＝－1，b＝4 （2）1－【解析】(1)由条件得，解得：a＝－1，b＝4.(2)f(x)＝－x2＋2x＋3，对称轴方程为x＝1，∴f(x)在x∈[m,1]上单调递增．∴x＝m时，f(x)＝－m2＋2m＋3＝1，min解得m＝1±.∵m＜1，∴m＝1－.2.设为坐标原点，给定一个定点，而点在正半轴上移动，表示的长，则中两边长的比值的最大值为．【答案】【解析】由题意得：当时，取最大值，为.【考点】二次函数最值3.已知关于x的一元二次函数(1)设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；(2)设点（，）是区域内的随机点，求函数上是增函数的概率.【答案】（1）；（2）【解析】(1)考查古典概型，满足条件的是5个，总的基本事件个数是15个，求两者的比即可；（2）考查几何概型，求出满足条件的区域面积比上总的区域面积即可.试题解析：(1)∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为. 6分(2)由（1）知当且仅当且>0时，函数上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分.由∴所求事件的概率为. 12分【考点】(1)古典概型；（2）几何概型.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A．a>0,4a+b=0B．a<0,4a+b=0C．a>0,2a+b=0D．a<0,2a+b=0【答案】A【解析】由f(0)=f(4)>f(1),可得函数图象开口向上,即a>0,且对称轴-=2,所以4a+b=0,故选A.5.对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是() A．(1,3)B．(-∞,1)∪(3,+∞)C．(1,2)D．(3,+∞)【答案】B【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,由题意知即解得x>3或x<1,故选B.6.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是.【答案】(-2,0)【解析】【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.解：由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x<0.7.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；２、每月处理量为400吨时，平均成本最低.【解析】（1）该项目利润等于能利用的生物柴油价值与月处理成本的差，当时，，故，故该项目不会获利，而且当时，获利最大为，故政府每月至少不要补贴元；（2）每吨的平均处理成本为，为分段函数，分别求每段的最小值，再比较各段最小值的大小，取较小的那个值，为平均成本的最小值．试题解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.【考点】1、分段函数；2、二次函数的值域；3、基本不等式.8.已知点，点在曲线:上.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1) 本小题可以通过坐标法来处理，首先根据点在第一象限内设其（），然后根据两点间距离公式，再结合点在曲线:上，联立可解得，即点的坐标为；(2) 本小题根据(1)中所得其中代入可得（），显然根据二次函数可知当时，.试题解析：设（）,（1）由已知条件得 2分将代入上式，并变形得，，解得（舍去）或 4分当时，只有满足条件，所以点的坐标为 6分（2）其中 7分（） 10分当时， 12分（不指出，扣1分）【考点】1.坐标法；2.二次函数求最值9.已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24B．32C．48D．64【答案】D【解析】由题意，则，两式相除，所以成等比数列，成等比数列，而，则，所以，又，所以.故选D【考点】1.二次函数根与系数的关系；2.等比数列的性质.10.已知函数若命题“”为真，则m的取值范围是___.【答案】【解析】命题“”为真，即方程有两个不相等的实数根，且至少有一个正根.因为函数为二次函数，开口向上，且.所以.即m的取值范围是.【考点】一元二次方程根的分布、命题11.设函数在区间上是增函数，则实数的最小值为 .【答案】【解析】函数的图象开口向上，对称轴为，由其在上是增函数得，所以，所以实数的最小值为.【考点】二次函数的单调性.12.已知二次函数，满足，且，若在区间上，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 .【答案】【解析】由可知，那么，所以由，化简整理得：，所以有，，所以二次函数的解析式为：.由已知得在区间上，不等式恒成立，即恒成立，只要即可.又，对称轴是，开口向上，所以函数在区间是单调递减的，所以函数在区间上的最小值是：，所以.【考点】1.求二次函数的解析式；2.二次函数的图像与性质；3.二次函数在闭区间上的最值；4.函数与不等式的恒成立问题13.已知函数和．其中．（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题考查一次函数与二次函数图像的关系以及作差法比较大小证明不等式问题，考查学生分析问题解决问题的能力.第一问，先求与轴的交点，由已知得此交点同时也在图像上，所以代入到解析式中，解出的值；第二问，作差法比较与的大小，再用作差法比较与的大小.试题解析：(1)设函数图象与轴的交点坐标为，又∵点也在函数的图象上，∴.而，∴.(4分)(2)由题意可知．∵，∴，∴当时，，即．(8分)又，，且，∴，∴，综上可知，.(13分)【考点】1.作差法比较大小；2.一次函数、二次函数.14.已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】，当时取最小值2，又.作出其图象如图所示：结合图形可知：的取值范围是.【考点】二次函数的最值.15.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【答案】.【解析】由的定义域为可知恒成立，这时要分和两种情况讨论，当时，比较简单，易得结果，当时，函数为二次函数，要使恒成立，由二次函数的图象应有，，如此便可求出的取值范围.试题解析：（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.【考点】二次函数、函数的定义域.16.二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1．⑴求f (x)的解析式；⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）根据二次函数满足条件，及，可求，，从而可求函数的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，等价于在上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数的取值范围．试题解析：（1）由，令，得；令，得.设,故解得故的解析式为.（2）因为的图像恒在的图像上方,所以在上，恒成立.即：在区间恒成立.所以令 ,故在上的最小值为，∴ .【考点】二次函数的性质.17.已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有，求证：关于的方程有两个不相等的实数根且必有一个根属于；（2）若关于的方程在上的根为，且，设函数的图象的对称轴方程为，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）先构造新函数，利用证明方程有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程必有一个根属于，即利用来证明；（2）将的代入方程得到的表达式，结合证明.试题解析：（1）构造函数，由于函数为二次函数，所以，对于二次函数而言，，若，则有且有，从而有，这与矛盾，故，故方程有两个不相等，由于，，所以，由零点存在定理知，方程必有一个根属于；（2）由题意知，化简得，即，则有，，由于，则，故，即.【考点】1.二次方程根的个数的判断；2.零点存在定理；3.二次函数图象的对称轴18.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中 ( ) A．只有一个小于1B．至少有一个小于1C．都小于1D．可能都大于1【答案】B【解析】若则不妨设，于是即，作图如图所示，显然可以发现点满足的区域有，于是，即在两个函数值中至少有一个小于1.【考点】本小题主要考查根的分布、零点、函数的图象等知识点，考查学生的理解、分析能力19.已知函数，若,且，则的最小值是 .【答案】【解析】画出函数图象，从图象上可知，所以由可得，所以，设，，当时，，当时，，所以函数在上的最小值为.【考点】二次函数、导数的应用.20.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由二次函数在区间上为减函数，则，即．【考点】二次函数的性质．21.函数在区间上是增函数,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的增区间为 ,由已知可得⋯①,⋯②由①②得: .【考点】二次函数的单调区间,不等式运算.22.对一元二次方程的两个根的情况，判断正确的是A．一根小于1，另一根大于3B．一根小于－2，另一根大于2C．两根都小于0D．两根都大于2【答案】A【解析】，所以该方程的两个根一个小于1，一个大于3.【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的判断.点评：解决本小题的关键是根据已知条件得出，通过解一元二次不等式即可得根的情况，要注意数形结合的应用.23.（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．【解析】(1)f′(x)＝3x2－ax＋3， 2分其判别式Δ＝a2－36.当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立， 4分此时f(x)在R上为增函数． 6分(2)a＝2时，f′(x)＝3x2－2x＋3＞0恒成立，因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 8分从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)＝f(2)＝15， 10分max要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，解得m∈[15，＋∞)．故m的取值范围是[15，＋∞)． 12分【考点】利用导数研究函数的单调性。

高三数学第一轮复习函数的表示法求解析式教案(学生)

城东蜊市阳光实验学校教案14函数的表示法----求解析式一、课前检测1．假设函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，那么f =。

2.()()()23,2f x x g x f x =++=，那么()g x =。

3.假设)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，那么)(x f =。

二、知识梳理求函数解析式的题型有：〔1〕函数类型，求函数的解析式：待定系数法；解读：〔2〕()f x 求[()]f g x 或者者[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；解读：〔3〕函数图像，求函数解析式；解读：〔4〕()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；解读：〔5〕应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．解读：三、典型例题分析例1．设2211(),f x x x x+=+，求()f x 的解析式. 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式.变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f . 例2设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式.变式训练1：21lg f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求)(x f 的解析式. 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 例3()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；变式训练1：12()3fx f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求)(x f 的解析式. 例4图中的图象所表示的函数的解析式为〔〕A.|1|23-=x y (0≤x≤2)B.|1|2323--=x y (0≤x≤2) C.|1|23--=x y (0≤x≤2)D.|1|1--=x y(0≤x≤2) 四、归纳与总结〔以学生为主，师生一一共同完成〕1.知识：2.思想与方法：3.易错点：4.教学反思〔缺乏并查漏〕：。

高三数学函数图像试题答案及解析

高三数学函数图像试题答案及解析1.设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．【答案】（1）g(x)＝x－2＋.（2）当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．【解析】解：(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，∴g(x)＝x－2＋.(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．2.如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()【答案】D【解析】根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D正确．3.已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是()A．(0，π)B．(－π，π)C．(lg π，1)D．(π，10)【答案】D【解析】函数f(x)的图象如图所示，结合图象可得x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若f(x)＝m有5个不等的实数根，需lg π<lg x5<1，得π<x5<10，又由函数f(x)在[－π，π]上对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围为(π，10)．4.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，方程有两个实数解，则实数m的取值范围是A．0<m≤B．0<m<C．<m≤l D．<m<1【答案】【解析】有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以.在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.【考点】分段函数，函数的图象，函数的零点.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】由于函数的最小正周期为，所以.所以函数.所以将函数向右平移即可得到.故选B.【考点】1.函数的平移.2.函数的诱导公式.7.已知函数f(x)=，若，则a的取值范围是（）A．B．C．[－2，1]D．[－2，0]【答案】D【解析】由题意作出的图象(如图)当a>0时直线y=ax过一、三象限（如图），必与y=ln(x+1)相交，所以a≤0当a≤0时，直线y=ax过三、四象限对x>0，|f(x)|=ln(x+1)> ax成立;对x<0，由|f(x)|=x2－2x≥ax a≥x－2，而当x<0时x－2<－2，所以a≥－2综合知－2≤a≤08.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．【答案】[－2，0]【解析】作出函数y＝|f(x)|的图象，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然k＝－2.所以a的取值范围是[－2，0]．9.若函数f(x)＝的图象如图，则m的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】∵函数f(x)的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，∴m＞0.由题图知，当x＞0时，f(x)＞0，∴2－m＞0⇒m＜2.又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x＞1)处取得最大值，而f(x)＝，∴x＝＞1⇒m＞1.综上，1＜m＜2.10.若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为____.【答案】9【解析】因为，所以函数是周期为2函数．因为时，，所以作出它的图象，利用函数是周期为2函数，可作出在区间上的图象，如图所示：故函数在区间内的零点的个数为9，故答案为9．【考点】函数的零点；函数的周期性．11.已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】函数的图象如图，由不等式知，，从而得到不等式的解集为.【考点】函数的图象和性质的综合运用..12.设D＝{(x,y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为（）【答案】C【解析】由题意，有二次函数图像可得，答案选Ｃ．【考点】函数的图象与图象变化．13.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A、 B、Ｃ、 D、。

高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.2.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[－1,0]时，S增速越来越平缓，当t∈[0,1]时，S增速越来越快，选B项．3.若函数f(x)＝，则(1)＝________.(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋＋＋…＋＝________.【答案】(1)－1(2)0【解析】(1)∵f(x)＋f＝＋＝0，∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.(2)又f(3)＋f＝0，f(4)＋＝0，…f(2 012)＋f＝0，∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f＋…＋f＝0.4.已知复数z+i，在映射f下的象是，则﹣1+2i的原象为（）A．﹣1+3i B．2﹣i C．﹣2+i D．2【答案】D【解析】由题意：z+i→∴﹣1+2i=，z=2﹣i所以z+i=2﹣i+i=2．故选D．5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.已知函数，对任意都有，且是增函数，则【答案】6【解析】本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从的初始值开始，如，首先，否则不合题意，其次若，则与是增函数矛盾，当然更不可能(理由同上)，因此，，．【考点】函数的定义与性质．8.是上的奇函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，∴，∴.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数解析式.9.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（）不存在“和谐区间”【答案】B【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因为方程有两个不等实根和，故，即区间是函数的“和谐区间”，B错误，选B，根据选择题的特征，下面C，D显然应该是正确的（事实上，函数）的“和谐区间”为，在其定义域内是单调增函数，若有“和谐区间”，则方程有两个不等实根，但此方程无实根，因此函数不存在“和谐区间”）．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．10.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（，）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因此方程至少有两个不等实根，考虑函数，由，得，可得在时取得最小值，而，即的最小值为正，无实根，题设要求的不存在，因此函数（）不存在“和谐区间”，函数）的“和谐区间”为，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D，事实上，在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”为，故D中的命题是错误的．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．11.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．12.已知函数的导函数为偶函数，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对所给函数求导得：，由偶函数定义知：，即，所以．【考点】1.函数的导数;2.偶函数的定义13.已知函数, 则的值是 .【答案】【解析】由分段函数解析式得.【考点】1.分段函数；2.函数值的求法14.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，下列曲线（1）y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数y=cosx的图象上（0，1），（,0），（π，-1）三点显然共线，函数的图象上（-1，-4），（0,-2），（1，0）三点和函数的图象上（-1，-1），（0,0），（1，1）三点显然共线，均有三点共线，而没有，故选B.【考点】1.数形结合的思想方法；2.新定义的理解15.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）, 又∵由h（x）+g（x）=2x， h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，∴h（x）= (2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x), 不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0,令t=2-x-2x，整理得：，由t=2-x-2x得在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为.【考点】1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式16.设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，.若“，”是假命题，则的取值范围为 .【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，故可求解析式为又“”是假命题，则是真命题，当时，，解得，①当时，，结合均值不等式有，得或，②①②取交集得的取值范围是.【考点】1.根据奇偶性求函数解析式；2.特称命题的否定；3.不等式恒成立问题.17.已知，则___________.【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】求分段函数的函数值.18.已知，则的值等于．【答案】2014【解析】令，则所以，，故【考点】指数式与对数式的互化.19.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ；（2）【解析】（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，． 4分（2）由（1）得，由得， 6分当时，解得； 8分当时，解得. 10分所以的解集为． 12分【考点】1.分段函数；2.不等式.20.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。

高三数学高考基础：函数的解析式

高三数学高考基础：函数的解析式函数进入新高考后，由于小题量减少，函数小题似乎也跟着减少，2008年、2009年某某卷都只考了一道，分别属于“条件函数最值”，“指数函数数值大小比较”类型。

但是函数的图像与性质，以及具体的幂、指、对函数的复习仍很重要，不仅对考小题而且对考大题(如解析几何、导数、函数等)都起作用。

函数的解析式【例1】设函数f 1(x)＝x 12，f 2(x)＝x －1，f 3(x)＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2007)))＝______(07年某某文13)[解]复合函数求值，由内向外.因f 3(2007)＝20072，⇒f 2(f 3(2007))＝f 2(20072)＝(20072)-1＝2007－2，⇒f 1(f 2(f 3(2007)))＝f 1(2007－2)12＝(2007－2)12＝2007-1＝12007 [解题回顾]在求函数值时，只要根据所给函数的解析式从里向外逐一求值即可.【例2(07文14)则f[g(1)]的值为________；当g[f(x)]＝2时，x ＝________[解]根据f(x),g(x)的定义知f[g(1)]＝f(3)＝1；由g[f(x)]＝2 ⇒ f(x)＝2⇒ x ＝1[解题回顾]本题是通过表格来体现函数中自变量与函数值间的对应关系，所以在求解时，应遵守表格中给出的函数对应关系.1.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x ，x ≤1－x ，x>1，若f(x)＝2，则x ＝_______ (09文12） 2.设g(x)＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0lnx ，x>0，则g(g(12))＝_________ (06某某文14理13） 3.设函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)＝1f(x)。

若f(1)＝－5，则f(f(5))＝______(06某某15)4.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： (07理14)x 1 2 3f(x) 1 3 1则f[g(1)]的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x 的值是______5.已知f(3x )＝4xlog 23+233，则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值是______ (08某某文15)6.若函数f(x)＝(x+a)(bx+2a)（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________ (08某某文9)7.已知函数f(x)＝x 2+2x+a ，f(bx)＝9x 2－6x+2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f(ax+b)＝0的其解集为____________ (08某某理13)8.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。

利用对称求函数的解析式

利用对称求函数的解析式作者：陈东敏来源：《中学生数理化·高二高三版》2015年第07期对称是高中数学中一种很重要的关系，它包括点对称和轴对称。

利用对称求函数的解析式是高考中的常见题型，所以有必要学好它。

现举例说明如何利用对称求函数的解析式。

一、轴对称1.点（x，y）关于x轴的对称点是（x，-y）。

2.点（x，y）关于y轴的对称点是（一x，y）。

3.点（x，y）关于直线x=a的对称点是（2a-x，y）。

4.点（x，y）关于直线y=a的对称点是（x，2a-y）。

5.点（x，y）关于直线y=x的对称点是（y，x）。

6.点（x，y）关于直线y=x+b的对称点是（y-b，x+b）。

例1 设函数f（x）的图像关于直线x=l对称，若当x≤1时，，则当x>1时，f（x）=____。

解析：设（x，y）（x>l）是x>1时f（x）的图像上任意一点，则点（x，y）关于直线x=l 的对称点在的图像上。

点（x，y）关于直线x=1的对称点是（2-x，y）（2-x故当x>1时例2 已知函数f（x）的图像过点（0，1），且与函数的图像关于直线y=x-l成轴对称，求f（x）的解析式及定义域。

解析：设（x，y）是f（x）的图像上任意一点。

由函数f（x）的图像与函数1的图像关于直线y=x-l成轴对称，得点（x，y）关于直线y=x-1的对称点在函数-1的图像上。

点（x，y）关于直线y=x-1的对称点是（y+l，x-l），则，即x+a=，故由函数f（x）的图像过点（0，l），得f（0）=1，即，解得a=l。

故，其定义域为（-l，+∞）。

二，点对称1.点（x，y）关于原点的对称点是（-x，-y）。

2.点（x，y）关于点的对称点是例3 已知函数f（x）的图像与函数g（x）=的图像关于点（0，1）对称，求函数f（x）的解析式。

解析：设（x，y）是函数f（x）的图像上任意一点。

由函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于点（0，1）对称，得点（x，y）关于点（0，1）的对称点在函数g（x）的图像上。

高三数学函数的定义域

认真听讲，及时总结，温故旧知第十讲函数的定义域
函数的独立元素：解析式；定义域值域，性质
一、由函数解析式求定义域
非空
明晰函数的约束条件→细致
数集
求下列函数的定义域： 1、 y=lg(4x+3) 2、y=1/lg(4x+3) 3、y=(5x-4)0 4、y=x2/lg(4x+3)+(5x-4)0
课堂回顾：求定义域的几种类型：一类重要的数学问题：
；；
； /abcpkscum/ ； /abcfffse/ ； /abchyxd/ ； /abctitfzp/ ； /abczimow/ ； /abcfgsm/ ； /abctbe/ ； /abcjgkd/ ； /abcpfn/ ； /abcndt/ ； /abcnsughd/ ； /abckl/ ； /abcyrd/ ； /abcrxsytc/ ； /abcms/ ； /abcqsrhk/ ； /abcimmieg/ ； /abcfpla/ ； /abcpmbhmd/ ； /abccmivf/ ； /abcmuxjyp/ ； /abccj/ ； /abcfpuen/ ； /abcvluh/ ； /abcjkcn/ ； /abcfkosap/ ； /abcrg/ ； /abcvo/ ； /abcmunr/ ； /abcvupsw/ ； /abcysyy/ ； /abchndgr/ ； /abcuxmanc/ ； /abchvjnl/ ； /abckmx/ ； /abcvpa/ ； /abchuowrf/ ； /abcfm/ ； /abcwknkct/ ； /abcuge/ ； /abcrdr/ ； /abcun/ ； /abcvafdd/ ； /abclqumh/ ； /abcxkusm/ ； /abcdqgq/ ； /abcft/ ； /abctesyj/ ； /abcbkrdrq/ ； /abcmzx/ ； /abcsj/ ； /abcbyn/ ； /abcgjgj/ ； /abcjgcus/ ； /abccmw/ ； /abcas/ ； /abctc/ ； /abcus/ ； /abccfegd/ ； /abcngikt/ ； /abclk/ ； /abciozueq/ ； /abcnnyxq/ ； /abcmxhemg/ ； /abccnfxg/ ； /abcikar/ ； /abcshy/ ； /abcdmv/ ； /abciisd/ ； /abcpgtcsn/ ； /abcbecqtl/ ； /abcjmx/ ； /abcdnx/ ； /abcobm/ ； /abcngag/ ； /abcsmbish/ ； /abcbhzr/ ； /abckihtm/ ； /abcmm/ ； /abcaosc/ ； /abcmqoi/ ； /abcpdy/ ； /abclwebzs/ ； /abcwpapuq/ ； /abcmnz/ ； /abchm/ ； /abcbp/ ； /abcjnrosn/ ； /abcsedhwk/ ； /abcsvlsmm/ ； /abcsdtsmj/ ； /abcvdmbqx/ ； /abcgqmsug/ ； /abcdmdjo/ ； /abcje/ ； /abcqvv/ ； /abchsioyu/ ； /abcxor/ ； /abccyq/ ； /abcoaq/ ； /abcsqwmnl/ ； /abcmptzhk/ ； /abchn/ ； /abcbqezjk/ ； /abcfkonyv/ ； /abcav/ ； /abckshd/ ； /abcgmr/ ； /abcbzmpxo/ ； /abcjpkdm/ ； /abczso/ ； /abcvynbtn/ ； /abcyc/ ； /abceap/ ； /abcpizga/ ； /abcsefar/ ； /abcruonec/ ； /abctjh/ ； /abcavtz/ ； /abchf/ ； /abcrnone/ ； /abcim/ ； /abcsiuenk/ ； /abcpjtck/ ； /abcfp/ ； /abckdzxm/ ； /abcpxo/ ； /abczzw/ ； /abccnkobb/ ； /abcsp/ ； /abccs/ ； /abcxxsezo/ ；

方程组法求函数的解析式

【】【】⽅程组法求函数的解析式前⾔操作说明：适⽤于两个⾃变量整体的积或者和为定值的情形；其本质可以追溯到赋值法；⽐如，给定f (x )+2f (1x )=3x ，我们发现两个⾃变量整体x 和1x 的乘积x ⋅1x =1(1为常数)，则⽤1x 替换x ，得到另⼀个⽅程，f (1x )+2f (x )=3x ，联⽴求解f (x )即可；再⽐如，给定f (x )+2f (2−x )=x ，我们发现两个⾃变量整体x 和2−x 的和x +(2−x )=2(2为常数)，则⽤2−x 替换原⽅程中的x ,得到f (2−x )+2f (x )=2−x ，联⽴两式，解得f (x )=?;基本类型№1若函数f (x )满⾜f (x )+2f (1−x )=x ，则f (x )的解析式为__________.分析：⽅程组法，⽤1−x 替换原⽅程中的x ,得到f (1−x )+2f (x )=1−x ，联⽴两式，则有f (x )+2f (1−x )=x f (1−x )+2f (x )=1−x ，解以f (x )和f (1−x )为元的⼆元⼀次⽅程组，解得f (x )=23−x ;№2若函数f (x )满⾜f (x )+2f (2x )=3x ，则f (x )的解析式为__________.分析：⽅程组法，⽤2x 替换原⽅程中的x ,对应练习№3若函数f (x )满⾜f (x )+2f (2−x )=x ，则f (x )的解析式为__________.分析：⽅程组法，⽤2−x 替换原⽅程中的x ,得到f (2−x )+2f (x )=2−x ，联⽴两式，解得f (x )=?;№4若函数f (x )满⾜f (x )+2f (−x )=x +1，则f (x )的解析式为__________.分析：⽅程组法，⽤−x 替换原⽅程中的x ，№5若函数f (x )满⾜f (x )+2f (1x )=3x ，则f (x )的解析式为______.分析：⽅程组法，⽤1x 替换原⽅程中的x ,№6已知函数f (x )的定义域为 (0,+∞)，且f (x )=2f (1x )⋅√x −1，则f (x )=_________;提⽰：f (x )=23√x +13;№7已知定义在(−1,1)内的函数f (x )满⾜2f (x )−f (−x )=lg (x +1)，则f (x )=_________;提⽰：f (x )=23lg (x +1)+13lg (1−x )，x ∈(−1,1).解后反思：由于两个⾃变量整体的和或者积为定值，故⼀旦替换，原来A 位置上就变成了B ，原来B 位置上就变成了A ，这样就构成了⽅程组，解之即得。

高中数学常见解题思想方法——方法篇(高三适用)二、待定系数法含解析

待定系数法在初中数学就已经涉及,主要应用其来求解函数解析式。

在高中阶段，仍然是数学解题的重要方法，接下来主要研究待定系数法在解题中的应用。

一、什么是待定系数法：待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题，引入一些待定的系数，然后列出系数相关的方程组来解出系数，从而求得相关答案.二、待定系数法的使用：如果所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，当未知表达式时,就可以用待定系数法求解表达式.例如很常见的：求函数解析式，数列通项、求和，解析几何中直线、圆以及圆锥曲线的方程,等这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

当然，在其他的内容当中也会涉及到待定系数法.三、使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题的表达式，列出含有待定系数的表达式；第二步，根据已知的恒等条件,列出一组含待定系数的方程;第三步，解方程组得出系数的值或者消去待定系数，从而使问题得到解决.下面来看几个常见的习题：来体会是如何利用待定系数法来解决的。

(一)求函数解析式：例1：已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x 。

解:设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-,5217ax b a x =++=+,2,517a b a =⎧∴⎨+=⎩，得2,7a b =⎧⎨=⎩，∴()27f x x =+.待定系数法求函数解析式，就是已知函数类型，设出待有未知系数的解析式,根据已知列出关于未知系数的方程或方程组，进行求解。

（二）求平面解析几何中曲线的方程：例2：已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(3,0)F -，一条渐20y -=.求双曲线C 的方程。

对于直线、圆、圆锥曲线，它们都有确定的方程表示，求解这些曲线的方程,就是求解当中系数的值，所以如同求函数解析式，根据已知列出关于未知系数的方程或方程组进行求解。

高三数学函数解析式

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[单选,A2型题,A1/A2型题]小儿出生后的主要造血部位是（）A.肝脏B.脾脏C.骨髓D.淋巴结E.胸腺 [单选]区别血分证和营分证的基本要点是：（）.A.身热躁扰B.昏狂谵妄C.斑疹隐隐D.吐血衄血 [单选]生油气层的颜色与岩石中含有的（）、氢氧化压铁、绿泥石及有机物有关。A.硫化铁B.硫酸铁C.碳酸铁D.氧化铜 [填空题]打破种子休眠的常用方法是（）、（）、（）和（）等。 [单选]VCO电路中，通过改变回路电抗元件参数改变频率，此可变器件为（）。A.电感B.电容C.变容二极管 [单选]关于行政不当的说法，正确的是（）。A.行政不当与行政违法一样，也会引起相应的法律效果B.目前在我国，行政不当一律导致该行为无效C.行政不当与承担行政责任之间具有必然的因果联系D.行政不当不要寻求法律救济，以保障相对人的合法权益 [名词解释]二众 [单选]可引起血红蛋白尿的药物（）。A.伯氨喹啉B.奎宁C.呋喃妥因D.苯E.以上都是 [单选]拟定沿岸航线，确定航线离危险物的安全距离时可不考虑下列哪项因素（）。A．船上货物装载情况B．能见度的好坏C．风流影响情况D．测定船位的难易 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列肾功能监测的指标中，临床很少应用的是（）A.肾小球滤过率（GFR）B.血尿素氮（BUN）C.血肌酐（Cr）D.肾血流量测定E.肾小管功能测定 [单选]（）是氧化铝生产最主要的矿石资源。A、刚玉B、明矾石C、霞石D、铝土矿 [单选]急性肾功能衰竭少尿期最常见的血镁、磷、钙代谢异常是（）A.高镁、高磷、低钙B.低镁、高磷、低钙C.高镁、低磷、高钙D.低镁、高磷、高钙E.高镁、高磷、高钙 [单选]患者，3岁，发现瞳孔区黄白色反光。眼底检查发现玻璃体浑浊。结合超声声像图，最可能的诊断是()A．视网膜母细胞瘤B．新生儿视网膜脱离C．原始玻璃体增生症D．先天性白内障E．玻璃体后脱离 [名词解释]交换 [单选,A型题]具有完整细胞壁的微生物是（）A.支原体B.衣原体C.细菌L型D.噬菌体E.人体细胞 [配伍题,B1型题]治疗气血虚弱型产后缺乳，应首选的方剂是（）。</br>治疗肝郁气滞型产后缺乳，应首选的方剂是（）。A.通乳丹B.归脾汤C.下乳涌泉散D.逍遥散E.益乳汤 [单选,A1型题]塞因塞用的治则，适用的病证是（）A.寒热错杂B.真寒假热C.真热假寒D.真虚假实E.真实假虚 [单选,A2型题,A1/A2型题]不符合类风湿关节炎X线表现的是（）A.关节肿胀B.关节端骨质疏松C.关节间隙增宽D.关节面骨质侵蚀性改变E.关节畸形 [单选,A1型题]“产育”的含义是什么()A.分娩B.分娩、产褥C.妊娠D.分娩、产褥及哺乳E.哺乳 [单选]我国目前采用的利润表格式为（）利润表。A.单步式B.多步式C.报告式D.账户式 [单选]行李室考核制度规定：应在当班期间完成的工作任务不完成，推给别人者，扣当月绩效工资的（）。A.25%-35%B.10%-20%C.30%-40%D.5% [单选]柴油机是热机的一种，它是（）。A．在气缸内进行一次能量转换的热机B．在气缸内进行二次能量转换的点火式内燃机C．在气缸内进行二次能量转换的往复式压缩发火的内燃机D．在气缸内进行二次能量转换的回转式内燃机 [单选]有氧呼吸的产物是二氧化碳和（）A.氧气B.水C.糠D.脂肪 [多选]《建设工程工程量清单计价规范》附录是编制分部分项工程量清单的依据，其中附录C中包括的安装专业工程有（）。A.构筑物工程B.炉窑砌筑工程C.工艺金属结构制作安装工程D.消防工程 [单选]下列关于建设单位质量责任和义务的表述中，错误的是()。A.建设单位不得将建设工程肢解发包B.建设工程发包方不得迫使承包方以低动的装修工程施工期前，只能委托原设计单位提交设计方案 [单选]一般认为，早期显像是指显像剂引入体内后几小时以内的显像（）A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时E.8小时 [单选]信息经济核算法是由（）经济学家马克卢普提出的。A.英国B.法国C.美国D.日本 [判断题]锂电池为9类危险品，法规对符合相关规定的锂电池标示了例外条款。A.正确B.错误 [问答题,简答题]主变接线组别与冷却方式？ [单选]建构招标采购合同体系的方法包括（）。A.责任分配矩阵B.带状结构分解C.网状结构分解D.义务分配矩阵 [单选]女职工“四期”保护是对女性生理机能变化过程，即（）的劳动保护。A、经期、孕期、产期、更年期B、经期、孕期、产期、哺乳期C、经期、孕期、哺乳期、更年期D、孕期、产期、哺乳期、更年期 [单选]设关系R、S、W各有10个元组，那么这3个关系自然连接的元组个数为（）A.10B.30C.1000D.不确定（与计算结果有关） [多选]中医学的基本特点概括起来是()A．治病求本B．整体观念C．扶正祛邪D．辨证论治E．调整阴阳 [填空题]网站是互联网（Internet）各种业务活动的（） [填空题]灵感是一切创造性劳动中普遍存在的现象，周恩来用______________，______________八个字对灵感产生过程作了科学的概括。 [单选,B1型题]Rett综合征的特征性表现（）A.智力和言语发育大多正常B.三、四岁以前发育正常，之后出现明显的倒退C.持续的注意事物的局部D.手部刻板的扭转动作E.多动、冲动、注意力不集中 [判断题]记帐方法有单式记帐法和复式记帐法两类，银行会计核算使用复式记帐法。A.正确B.错误 [多选]有下列哪些情形之一的，要约不得撤销？（）A、要约人确定了承诺期限B、要约人明示要约不可撤销C、受要约人有理由认为邀约是不可撤销的D、受要约人有理由认为要约是不可撤销的，并已经为履行合同作了准备工作 [单选,A1型题]贝克认为人们的错误思想常常是以哪种形式出现（）A.自动思维B.被动思维C.伪装D.幻想E.个性化 [单选]下列哪一项不是超声诊断胎儿宫内生长迟缓指标?A.胎头双顶径B.胎儿头围C.胎儿腹围D.胎儿股骨长度E.胎盘厚度

高三数学解析式试题答案及解析

高三数学解析式试题答案及解析1.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，即，解得，所以，故选A.【考点】函数的解析式.2.某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终过点，边界线满足．设()百米，百米.(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1）；（2）：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.【解析】（1）要求函数关系式，实际上是建立起之间的等量关系，分析图形及已知条件，我们可借助于三角形有面积，，从这个等式中，解出，即得要求的函数式；（2）有了（1）中的关系式，就可表示为一个字母的式子，它是一个分式函数，由于分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值.试题解析：(1)结合图形可知，．于是，，解得．(2)由(1)知，，因此，(当且仅当，即时，等号成立)．答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米.12分【考点】求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1【解析】(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)解：因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝ 0所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,且当x∈(0,+∞)时,有f(x)=,则当x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为()A．f(x)=-B．f(x)=-C．f(x)=D．f(x)=-【答案】D【解析】【思路点拨】函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称,则有f(x)=f(-x-2).解:设x<-2,则-x-2>0,由函数y=f(x)的图象关于x=-1对称,得f(x)=f(-x-2)=,所以f(x)=-.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.【答案】－x(x＋1)【解析】当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)．6.已知若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】.【考点】函数的解析式.7.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】或.【解析】由题意知，点在曲线上，则有，故幂函数的解析式为，，故当时，，故直线的方程为，即或.【考点】1.幂函数的解析式；2.利用导数求切线方程8.已知函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】作出函数图像，在点（0,0）处的切线为制定参数的标准；当时，，，，故；当时，，，由于上任意一点的切线斜率都要大于，故，综上所述，.【考点】本题考查分段函数、导数的几何意义，考查学生数形结合的能力.9.若的解析式为（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以=，故，选B.【考点】复合函数解析式求法点评：本题考查了复合函数解析式求法，求解复合函数的解析式常用代换法和整体代换思想.10.已知则的值等于。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解05 函数解析式

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第5讲函数解析式专项突破高考定位函数的表示有三种图像法、列表法、解析法，在高考中每年都会考察，解析式的考察一直是高考的重点，既有常规的求解析式求法融合在函数综合题中，也有新高考中的新形式，比如给图写式，给性质写式等，考察学生的多维的思维能力，对函数的整体把握。

考点解析（1）换元法求解析式（2）方程组求解析式（3）利用对称性周期性求解析式（4）给图辨析解析式（5）开放试题中的解析式（6）目标量（式）的函数解析式化分项突破类型一、换元法求解析式例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．()()21,0f x x xf x x x=-≥=-≥B．()()21,1C．()()21,0f x x x=+≥=+≥D．()()21,1f x x x【答案】B【分析】利用凑配法求得()f x解析式.【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥.故选：B.练.（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A ,B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应,那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”,则下列对应法则f 满足函数定义的有（）A ．()2f x x =B ．()2f x x =C ．(cos )f x x =D ．()x f e x = 【答案】AD【解析】对于A.令()2(0),t t t x f ===≥符合函数定义；对于B,令()2(0),t x f t t ==≥,设()2,4t f t ==±,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设cos ,t x =当2,1t =则x 可以取包括3π±等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令())ln (0,x t e t f t t >==,符合函数定义．故选AD练（2022秋•渝中区校级月考）对任意x ∈R，存在函数f （x ）满足（）A ．f （cos x ）＝sin2xB ．f （sin2x ）＝sin xC ．f （sin x ）＝sin2xD ．f （sin x ）＝cos2x【分析】根据函数定义，每个自变量只能对应唯一一个函数值．对于A 、B 、C 可采用取特殊值来排除，对于D 选项可利用换元法来求函数的解析式即可判断．【解答】解：对于A ，取x ，则cos x ；sin2x ＝1，∴f （）＝1；若取x，则cos x；sin2x＝﹣1，∴f（）＝﹣1；则f（）＝1又f（）＝﹣1，与函数的定义，“每个自变量x只能对应唯一一个函数值y”矛盾，故A错误；同理，对于B，取2x，则sin2x；sin x，∴f（）；若取2x，则sin2x；sin x，∴f（），故B错误；同理，对于C，取x，则sin x；sin2x，∴f（）；若取x，则sin x；sin2x，∴f（），故C错误；对于D，令sin x＝t，cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2t2，∴f（t）＝1﹣2t2，满足函数定义．故选：D．类型二、方程组求解析式例2-1（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x满足22()()326f x f x x x+-=++，则（）A．()f x的最小值为2 B．x R∃∈，22432()x xf x++>C．()f x的最大值为2 D．x R∀∈，22452()x xf x++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）.（i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.练．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】A【分析】先根据2()2(2)88f x f x x x =--+-求出函数()f x 的解析式，然后对函数()f x 进行求导，进而可得到()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求切线方程.【详解】2()2(2)88f x f x x x =--+-，2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x ∴-=--+--.2(2)2()441688f x f x x x x ∴-=-+-+--.将(2)f x -代入2()2(2)88f x f x x x =--+-，得22()4()28888f x f x x x x x =--+-+-，2()f x x ∴=，()2f x x '=，()y f x ∴=在(1,(1))f 处的切线斜率为2y '=，∴函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.故选：A.练．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223 【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+，所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.练。

高三数学函数的解析式和定义域

高三数学全程复习（一轮）课时07 函数的解析式和定义域【考点指津】1．掌握函数的三种表示方法；会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法；三者各具特点．解析式中包括分段函数；它由一个或多个式子构成；是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质；因此要掌握函数的图象；并熟悉一些基本初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特征．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一；一切函数问题的研究都离不开函数的定义域；要熟练掌握求函数定义域的原则和方法．当一个函数可以用解析式表示时；函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际问题中；还应注意实际意义的制约．【知识在线】1．已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π；则f {f [f (-1)]}= ．2．下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1；③y =|x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ； x ＜0；x +4；x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个；则m 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1；x ≤0；-2x ； x ＞0；当f (x ) = 33时；x = ．4．若f (x -1)=2x +5；则f (x 2) = （） A ．2x 2+3 B ．2x 2+7 C ．x 2+3 D ．x 2+7 5．已知函数f (x ) = lgxx-+11的定义域为A ；函数g (x )=lg(1+x ) – lg(1-x )的定义域为B ；则下述关于A 、B 关系不正确的为（） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⊂≠A 【讲练平台】例1 求函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．分析根据有关条件列出不等式组；再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域．解由函数解析式有意义；得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3；或x ≤2x ≠1；x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2；或x ≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．点评（1）求以解析式给出的函数定义域时；应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a °中底数a ≠0；④若f (x )是由几个部分构成的；则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定；等等；（2）求不等式组的解集；通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示；在用区间表示时；要弄清区间端点的归属；正确使用开区间和闭区间符号；需特别注意的是；“∞”不是一个确定的数；而是一个变化趋势；只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来；特别是在0)1(-x 中；x -1≠0；不能遗漏．例2 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ；求实数a 的取值范围．分析由函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R 知：x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立；而f (x )= x 2+ax +1为二次函数；函数值恒正；故可利用“△”法求解．解因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ；故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立；而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线；从而△＜0；即a 2-4＜0；解得 -2＜a ＜2；它便是所求的a 的取值范围．点评（1）“△”法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零．如下面的问题：关于x 的不等式x 2+ax +1＜0的解集为∅；试求实数a 的取值范围．问题便等价于x 2+ax +1≥0的解集为R ；从而有△≤0；解得 –2≤a ≤2．变题1 已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ；求a 的取值范围．提示：利用△≥0 a≥2或a≤-2．变题2 已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R；求a的取值范围．提示：分a＞0与a=0的两种情况求解；其答案为0≤a＜4．思考：变题1、变题2及原题；它们的区别何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元；减除1000元；应纳税所得额就是220元；应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元；问他该月工资、薪金的收入多少？分析先读懂题意；正确理解“全月应纳税所得额”等的意义；然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式；利用该关系式继续求解其它的问题．解（1）当0＜x≤1000时；y=x；当1000＜x≤1500时；扣税：(x-1000) ·5%；从而所得为y=x- (x-1000) ·x+50；当1500＜x≤3000时；扣税：(x-1500)·10%+500 ·x-125；从而所得为y = x -x -x +125．故 y = {x ；（0＜x ≤x +50；（1000＜x ≤x +125；（1500＜x ≤3000）．（2）显然；该职员的工资、薪金x 满足1500＜x ≤3000；故由x -125=75；解得 x =2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评（1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x 的不同取值范围；对应关系也不同．分段函数不管x 被分成了几段；它仍是一个函数；而不是几个函数；它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时；不要忘了写上函数的定义域；对于实际问题；还不要忘了问题的实际意义．变题在原题的条件下；若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元；则他当月工资总收入介于（ D ）A ．500~600元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~1800元例4 （1）设f (x )是一次函数；且f [f (x )]=4x +3；求f (x )．（2）设x x x f 2)1(+=+；求f (x +1)．（3）若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ；求f (x )．分析（1）已知了函数f (x )的类型；可采用待定系数法；（2）视（1+x ）为整体；采用换元法或配方法可求得f (x )的解析式；再用(x +1)整体代换f (x )中的x ；即可求出f (x +1)的解析式；（3）注意到x 与x1互为倒数；可通过倒数代换联立方程组解出f (x )．解（1）设f (x )=ax +b (a ≠0)；则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ；∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ；∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3．（2）解法一 ∵1)1()1(2-+=+x x f ；∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)； ∴ f (x +1)= (x +1)2-1 = x 2+2x (x ≥0)．解法二令t =1+x ；则x = t -1；∴f (t )= (t -1)2+2(t -1)= t 2-1．又t =1+x ≥1；∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)；从而f (x +1)= x 2+2x (x ≥0)．（3）在f (x )+2f (x 1)=x ①中；用x 1代换x 得 f (x 1)+2 f (x )= x1 ②；联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ．点评（1）正确理解函数的概念；是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时；应注意中间变量的取值范围；以确定函数f (x )的定义域．在题（2）中；由f (x )的定义域是{x ∣x ≥1}；则在f (x +1)中必须x +1≥1；即x ≥0；从而f (x +1)的定义域是{x ∣x ≥0}．变题已知f (x )是定义在R 上的函数；且f (1)=1；对任意x ∈R 都有下列两式成立：（1）f (x +5)≥f (x )+5；（2）f (x +1)≤f (x )+1．若g (x )=f (x )+1-x ；求g (6)的值．提示：反复利用条件（2）；有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5；（★）结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5．于是；由（★）；可得 f (x +1) = f (x )+1．故g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．注意：数列{f (n )}（n ∈N *）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法；有时还要用到方程的思想． 2．求函数的定义域；主要涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零；底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零；等．对于实际问题；还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集．【训练反馈】 1．函数23)(x x x f -=的定义域为（）A ．[0；32] B ．[0；3] C ．[-3；0] D ．（0；3）2．若f [g (x )] = 9x +3；且g (x ) = 3x +1；则f (x )的解析式为（） A ．3x B ．3 C ．9(3x +1) +1 D ．3(9x +3) +13．已知g (x )=1-2x ；f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)；则f (0.5)= （）A ．1B ．3C ．15D ．304．若函数f (x )满足f (xy )= f (x )+ f (y )；且f (2)=m ；f (3)=n ；则f (72)= （） A ．6mn B ． m 3+n 2 C ．2m +3n D ．3m +2n 5．函数y =f (x )的图象如题图所示；则f (x )的解析式为（）A ．122+-x xB ．1||22+-x xC ．|x 2 – 1|D ．x 2 – 2x +16．若函数f (x )的定义域为[a ；b ]；且b ＞-a ＞0；则函数g (x )=f (x )-f (-x )的定义域是（）A ．[a ；b ]B ．[-b ；-a ]C ．[-b ；b ]D ．[a ；-a ]7．若f (2x +3)的定义域是{x |-4≤x ＜5＝；则函数f (2x -3)的定义域是． 8．求函数y =)233(log 12x x -+的定义域．9．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 移动一周回到A 点；设x 表示点P 的行程；y 表示线段P A 的长；试求y 关于x 的函数式． 10．若函数f (x ) =3x -5kx 2+4kx +3的定义域为R ；求实数k 的取值范围．11．已知函数f (x ) =xax+b(a ；b 为常数；且a ≠0)满足f (2)=1；f (x )=x 只有惟一实数解；试求函数y =f (x )的解析式及f [f (-3)]的值． 12．定义在（0；+∞）上的函数f (x )满足：①f (2)=1；②f (xy )=f (x )+f (y )；其中x 、y 为任意正实数； ③任意正实数x 、y 满足x ＞y 时；f (x )＞f (y )．试回答下列问题：（1）求f (1)、f (4)；（2）试判断函数f (x )为单调性；（3）如果f (x )+f (x -3)≤2；试求x 的取值范围．参考答案：【知识在线】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 【训练反馈】1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0；5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x 10．提示：若k =0；则函数的定义域为R ；若k ≠0；则对任意x ∈R ；kx 2+4kx +3≠0；从而；△＜0；解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜34}． 11．提示：f (x ) =x 只有惟一实数解；即x ax+b = x (*)只有惟一实数解；当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b ≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1． 12．（1）f (1) =0；f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4．。

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