数学分析第八章不定积分
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx;
证 Q k1 f (x)dx k2 g(x)dx
k1 f (x)dx k2 g(x)dx k1 f (x) k2g(x).
等式成立.
2xdx x2 C
y
函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线，而f(x)正是积分曲线 的斜率。
C1 -1 O 1
y=x2+C1 y=x2
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
例 求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x， 即f(x)是2x 的一个原函数。
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
《数学分析》第八章_不定积分
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
.
例10 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
coxt 1 C. sin x
.
例11 求 si2nxco5x s d.x
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果） .
定理2 设 x (t)是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ，
并且(t)0，又 设 f[(t) ](t)具 有 原 函 数 ，
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
.
例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (32x),
32x 232x
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
一般地 f(axb)dxa1[f(u)du ]uaxb
则有换元公式
不定积分与定积分
不定积分与定积分
积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。其中不定积分和定积分是常见的两种类型。它们分别具有不同的定义
和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分
1.1 定义
不定积分是函数的原函数的集合。给定一个连续函数f(x)，其不定
积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C
为常数。
1.2 性质
不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，
其中a、b为常数。同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数
f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法
求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分
的形式。分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函
数的表达式。
二、定积分
2.1 定义
定积分是对函数在一个闭区间上的积分。给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质
定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
第八章不定积分《数学分析》教案.doc
第八章 不定积分
微分学中所研究问题的做法是从已知函数
()
f x 出发求其导数
()
f x '，即所谓的微分运
算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数
()
f x '出发求其本身
()
f x ，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面
定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。最后研究几类初等函数的积分法。
§8.1 不定积分概念与基本积分公式
教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式
教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义． 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． 教学建议：
(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表． (2) 适当扩充基本积分公式表． 教学过程：
一、原函数与不定积分 (一) 原函数
定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若
)()(x f x F ='， I x ∈，
则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
如：331x 是2x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-， 12cos 2
1
+x ，
x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？
问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。
数学分析8不定积分总练习题
第八章 不定积分
总练习题
求下列不定积分： (1)∫4
3x
1
x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫
x
1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ；
(5)∫x
e dx ；(6)∫1
x x dx
2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x
-x dx ； (9)∫
x cos dx 4；(10)∫sin 4
xdx ；(11)∫4
x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100
2
x)
-(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x -1x 1dx ；(18)∫x
sinx cos dx 7；(19)∫e x 2
2x 1x -1⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx ； (20)I n =∫
u
v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解.
解：(1)∫
4
3x 1
x 2x --dx=∫41x dx-2∫12
1x dx-∫4
1x
-
dx =5445x -13241213x -3
4
∫43
x +C.
(2)∫xarcsinxdx=-2
1
∫arcsinxd(1-x 2)=-2
1(1-x 2)arcsinx+2
1
∫(1-x 2)darcsinx
=-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21
∫t sin -12dsint
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分
§1 不定积分概念与基本积分公式
1．验证下列等式，并与（
3）、（
4）两式相比照
（
1）
（
2）
（3）式为
（4）式为
解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x
）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于
（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．
2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5
）．
解：由题意，有f'（x）＝2x，即
又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（
x）＝x2＋1．
3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．
证明：因为
所以
而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而
即是在R 上的一个原函
数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?
解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．
（1）若x 0为可去间断点．
反证法：若f （x ）在区间I
上有原函数F （x ），则在
内由拉格朗日中值定理有
，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．
（2）若x 0为跳跃间断点．
反证法：若f
（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有
成立．而
这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：
解：
6．求下列不定积分：
解：（1）当x≥0时，当x＜0时，
由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此
即，因此所以
数学分析第八章 不定积分
4)
4 (ex )' ex
5)
a
xdx
1 ln a
a
x
C
a 0, a 1
5 (ax )' ln a ax a 0, a 1
6) cos xdx sin x C
6 (sin x)' cos x
7) sin xdx cos x C 7 (cos x)' sin x
n
n
ki fi (x)dx ki fi (x)dx (6)
i 1
i 1
精品文档
例1. 设p(x) a0xn a1xn1 an1x an ,求 p(x)dx
解: p(x)dx
a0 xndx a1 xn1dx an1 xdx an dx
百度文库
a0 n 1
x n 1
a1 n
xn
an1 2
x2
an x C
精品文档
例2. 求
x4 1 1 x2 dx
解:
x4 1
x
1
2
dx
x
4
1
1 x2
2
dx
(x2
1)( x2 1 x2
1)
2
dx
(
x2
1
1
2 x
2
)dx
1 x3 x 2arctanx C 3
数学分析第八章不定积分
分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线
互相平行 .
在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体 原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x0 ) =
图 8 -1
y0 ( 称为 初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x0 , y0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v′( t) = a , 则
∫ 10 . csc2 x d x = - cot x + C .
∫ 11 . sec x· tan x d x = sec x + C .
∫ 12 . csc x·cot x d x = - csc x + C .
∫ 13 .
dx 1 - x2 = arc sin x + C = - arccos x + C1 .
习题
1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、( 4 ) 两式相比照 :
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—
182
第八章 不 定 积 分
∫ ( 1 ) f′( x ) d x = f ( x ) + C;
∫ ( 2) d f ( x) = f ( x) + C .
2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点
第一节不定积分概念与基本积分公式(数学分析)(数学分析)
x为积分变量。
1）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个 2）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作 是一个整体。 3)、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数 C 即可。
9
4）、不定积分的几何意义：
动态演示不定积分的几何意义 若F是f的一个原函数，则称y = F ( x)
若 F ( x )已 知 ， f ( x )未 知 ， 由 F ( x ) → f ( x ), 则 称 （3）式 为 求 导 运 算 ， ' 称 f ( x )为 F ( x )的 导 数 。 若 f ( x )已 知 ， F ( x )未 知 ， 由 f ( x ) → F ( x ), 则 称 （3）式 为 积 分 运 算 ， 称 F ( x )为 ' f ( x )的 原 函 数 。
(a )3 = b
LL (3)
(F ( x) )′ =
f ( x) LL (3)'
3
若 a已 知 ， b未 知 ， 由 a → b , 则 称 （3） 式 为 乘 方 运 算 ， 称 b为 a的 立 方 。 若 b已 知 ， a 未 知 ， 由 b → a , 则 称 （3） 式 为 开 方 运 算 ， 称 a为 b的 立方根。
x4 + 1 例2 求 ∫ 2 dx. x +1 例4 求 ∫ cos 3 x. sin xdx.
8-2——华东师范大学数学分析课件PPT
(1 cos2 x)dcos x
cos x 1 cos3 x C. 3
例5
求
dx x ln
. x
解
dx x ln x
d( ln x) ln x
ln ln x
C.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
分部积分法
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
例6 求sec xdx.
(ii) 称为第二换元积分法.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
分部积分法
第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(x)(x)dx g (x)d(x) G (x) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
d G( 1( x)) dG d ( 1( x))
dx
dt dx
f (t) (t) 1 f ( (t)).
(t)
f ( x).
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
例1
求
dx a2 x2
(a 0).
解
dx a2 x2
=1 a
d
x a
课程自学资料58
解 (解法一)
sec xdx
cos cos2
x x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec xdx sec x(sec x tan x) dx sec x tan x d(sec x tan x) sec x tan x ln | sec x tan x | C.
也存在 且
f ((t)) (t)dt F((t)) C.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
换元积分法
证 用复合函数求导法则验证
分部积分法
因对任何t J , 有
d F (t ) F(t )(t) f (t)(t).
dt
第一换元积分法亦称为凑微分法,即
f (t)(t)dt f (t)d(t) f (x)dx
解
dx 1
a2 x2
= a
d
x a
1
x a
2
令
u
x aHale Waihona Puke Baidu
1 a
1
du u2
1 arctan u C a
1 arctan x C.
a
a
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§2 换元积分法与分部积分法
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
§3 几类可积的初等函数
教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．
教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．
(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式
的不定积分．
(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．
教学建议：
(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的
不定积分的习题．
(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学程序：
1.有理函数的积分法
称形如（3.1）
101()n n n P x a x a x a -=+++ n 的函数为多项式函数.其中，用表示多项式的关于变量,0,1,,k a R k ∈= deg ()P x ()P x x 的次数.
设与是任意两个互质的多项式函数，称形如
()P x ()Q x ()()
P x Q x (（3.2） )()()0Q x ≠x =
()()P x Q x ，当R deg ()deg ()P x Q x R ()
显然任何一个有理假分式()x =()()
P x Q x ，用多项式函数除以多项式函数，总能将R ()P x ()Q x ()R x 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和.即
()()()()()
P x S x P x Q x Q x =+ R ()x =
其中与均为多项式函数，且()P
x ()S x deg ()deg ()S x Q x <.例如 3221111
x x x x x +-=-++ 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积.
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
(10)∫ dx=∫ dx=∫(csc2x-sec2x)dx=-cotx-tanx+C.
(11)∫10x·32xdx=∫90xdx= +C.
(12)∫ dx=∫ dx= +C.
(13)∫( + )dx=∫ dx=2arcsinx +C.
(14)∫(cosx+sinx)2dx=∫(1+sin2x)dx=∫dx+∫sin2xdx=x- cos2x+C.
例5：∫(10x-10-x)2dx=∫(100x+100-x-2)dx=∫100xdx+∫100-xdx-∫2dx
= + -2x+C= -2x+C.
习题
1、验证下列等式：
(1)∫f’(x)dx=f(x)+C；(2)∫df(x)=f(x)+C.
数学分析第8,9章知识点总结
傅莺莺《数学分析II 》
1第8章（不定积分）、第9章（定积分）知识点总结
概念：
(1)原函数、不定积分：求导的逆运算
(2)定积分：积分和极限
涉及的概念:分割、介点；
蕴含的思想:分割、近似、求和、取极限
(3)变限积分：积分限的函数
需掌握的定理（结论/证明/应用）：
(1)积分的性质（线形性、区间可加性、积分不等式）——结论/应用（用于计算）
(2)积分的算法（N-L 公式、换元法(拆/凑微分)、分部积分法）——结论/应用（用于计算）
(3)可积准则（见§9.3）——结论/应用（可积性证明）
(4)可积的必要条件、充分条件（可积函数类，见§9.3）——结论/证明/应用（可积性证明）
(5)微积分基本定理（变限积分，见§9.5）——结论/应用（原函数的构造、变限积分求导）
(6)积分第一中值定理（见§9.4）——结论/证明/应用（主要用于定积分相关证明）需掌握的题型：
(1)积分计算（不定积分/定积分）：
公式：基本积分公式
算法：N-L 公式、换元法（拆、凑微分）、分部积分法
技巧：(a)有理函数的积分：部分分式分解
(b)三角有理式的积分：万能公式等
(c)消二次根式：根号下配方2
22222,,a x a x x a -+-作代换t
a t a t x=a sec ,tan ,sin (d)利用被积函数的奇偶性、周期性、几何意义简算积分
……
注意：(a)不定积分计算结果要“+C ”、进行换元后要回代；
(b)定积分换元变限时，上限对上限、下限对下限。
(2)定积分相关计算
(a)利用定积分求特殊和式极限；
(b)求函数平均值；
数学分析8.3有理函数可化为有理函数的不定积分
第八章 不定积分
3 有理函数可化为有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分
有理函数：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：
R(x)=)(Q )P(x x =n
1
-m 1m 0n
1-n 1n 0βx βx βαx αx α+⋯+++⋯++, 其中n,m 为非负整数，α0,α1,…αn 与β0,β1,…βn 都是常数，且α0β0≠0. 若m>n ，则称它为真分式；若m ≤n ，则称它为假分式.
注：1、假分式可化为整式与真分式的和；
2、真分式可表示为若干个部分分式之和(称为部分分式分解)；
3、分解部分分式的一般步骤：
第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1) Q(x)=(x-a 1)1
λ…(x-a s )s
λ(x 2+p 1+q 1)1
μ…(x 2+p t +q t )t
μ，其中
λi ,μj (i=1,2,…,s ；j=1,2,…,t)均为自然数，而且
∑=s
1
i i
λ
+2∑=t
1
j j μ=m ；p j 2-4q j <0, j=1,2,…,t.
第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式。 对于每个形如(x-a)k 的因式，它所对应的部分分式是：
a -x A 1
+2
2a)-(x A +…+k k a)-(x A ；
对于每个形如(x 2+px+q)k 的因式，它所对应的部分分式是：
q px x C x B 211++++2222q)px (x C x B ++++…+k
2k
k q)
px (x C x B +++.
第三步：确定待定系数。将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，分子与原分子P(x)恒等。根据同幂项系数相等，可得一组关于待定系数的线性方程，方程组的解就是需要确定的系数。
华东师范大学数学分析第8章习题答案
华东师范⼤学数学分析第8章习题答案
第⼋章
⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)
'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?
; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;
解: (1)
'0
(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c
=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.
(2)
()'()()'()()df x f x dx
df x f x dx f x c
===+??
与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.
2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:
222dy xdx
y dy xdx x c
====+??
将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=2
2+c
C=1
该曲线为2
1y x =+
3. 验证2
sgn 2
x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:
x>0时,y ’=2
()'||2x x x ==
x<0时,2
'()'||2
x y x x =-=-=
x=0时,22
000sgn 022'lim lim lim 00
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第 八 章 不 定 积 分
§1 不定积分概念与基本积分公式
正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运 算———积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足 的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成 一元函数积分学 .
一 原函数与不定积分
定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若
F ′( x ) = f ( x ) , x ∈ I ,
则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .
-
1 例如 , 1 3 x 3 是 x
2 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的一个 原函数 , 因为 ( 1
3 1 x 3 )′= x 2 ; 又 如 2 cos 2 x 与 - 2
cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 , 因为 ( - 1 cos 2 x )′= ( - 1
cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
2 2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话 , 那么
F( x ) = x arctan x - 1
ln (1 + x 2 )
2
是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原 函数必须 解 决下面两个重要问题 :
1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在 , 是否唯一 ?
2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ?
关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答 则 是本章接着要介绍的各种积分方法 .
178 第八章不定积分
定理8 .1 若函数 f 在区间I 上连续, 则 f 在I 上存在原函数 F , 即F′(x) = f ( x) , x∈ I .
本定理要到第九章§5 中才能获得证明.
由于初等函数为连续函数, 因此每个初等函数都有原函数( 只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数) .当然, 一个函数如果存在间断点, 那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数( 参见本节习题第4 题) .
定理8 .2 设 F 是 f 在区间I 上的一个原函数,则
( i) F + C 也是 f 在I 上的原函数,其中 C 为任意常量函数①;
( ii) f 在I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数.
证( i) 这是因为[ F( x ) + C]′= F′( x ) = f ( x ) , x∈I .
( ii) 设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有
[ F( x ) - G( x ) ]′= F′( x) - G′( x)
= f ( x ) - f ( x ) = 0 , x ∈ I .
根据第六章拉格朗日中值定理的推论, 知道
F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I .
定义 2 函数 f 在区间I 上的全体原函数称为 f 在I 上的不定积分,记作
∫f ( x ) d x , ( 1) 其中称∫为积分号, f ( x ) 为被积函数, f ( x) d x 为被积表达式②, x 为积分变量. 尽管记号(1 ) 中各个部分都有其特定的名称, 但在使用时必须把它们看作一整体.
由定义2 可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若 F 是f 的一个原函数, 则 f 的不定积分是一个函数族{ F + C} , 其中 C 是任意常数.为方便起见,写作
∫f ( x) d x = F( x ) + C . ( 2) 这时又称 C 为积分常数, 它可取任一实数值.于是又有
∫f ( x) d x ′= [ F( x ) + C]′= f ( x ) , ( 3)
∫d f ( x ) d x = d[ F( x) + C] = f ( x) d x . ( 4) 按照写法(2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作
①这里既把 C 看作常量函数, 又把它作为该常量函数的函数值.在不致混淆时, 以后常说“C 为任意常数”.
②不久可看到, 被积表达式可认同为 f 的原函数F 的微分, 即d F = F′(x ) d x = f ( x ) d x .
∫ ∫ ∫
§1 不定积分概念与基本积分公式
179
x 2 d x = 1
3
x 3 + C,
sin 2 x d x = - 1
cos 2 x + C,
2
arctan x d x = x arctan x - 1 ln ( 1 + x 2
) + C .
2
此外 , 一个函数“ 存在不定积分”与“ 存在原函数”显然是等同的说法 .
不定积分的几何意 义 若 F 是 f 的一 个原
函数 , 则称 y = F( x ) 的 图象 为 f 的 一条 积分 曲 线 .于 是 , f 的不 定积 分在 几何 上 表示 f 的某 一 积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲 线组成的曲线族 ( 图 8 - 1 ) .显然 , 若在 每一 条积 分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线 互相平行 .
在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体
原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x 0 ) =
图 8 - 1
y 0 ( 称为初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x 0 , y 0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v ′( t ) = a , 则
v( t) =
∫a d t = at + C .
若已知 v( t 0 ) = v 0 , 代入上式后确定积分常数 C = v 0 - at 0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t 0 ) + v 0 .
又因 s ′( t ) = v ( t ) , 所以又有
s( t) =
∫[ a( t - t
) + v 0 ] d t
1
2
2
a( t - t 0 ) + v 0 t + C 1 .
若已知 s( t 0 ) = s 0 , 则 C 1 = s 0 - v 0 t 0 , 代入上式得到
s( t) = 1
a( t - t 0 )2 + v 0 ( t - t 0 ) + s 0 .
2
二 基本积分表
怎样求原函数 ? 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 .原因在 于原 函 数的定义不像导数定义那样具有构造性 , 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个 已知函数 f , 而没有指出怎样由 f 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 .因 此 , 我
=