数学分析第八章不定积分
不定积分行列式

不定积分行列式不定积分是微积分中的一个重要概念,它在求解函数的原函数时起到了关键的作用。
本文将从不定积分的定义、性质和求解方法三个方面进行阐述,以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、不定积分的定义不定积分,又称原函数,是求解函数的反导数的过程。
对于给定的函数f(x),如果存在一个函数F(x),使得F'(x) = f(x),则称F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分的表示方法是∫f(x)dx,其中∫代表积分符号,f(x)为被积函数,dx表示积分变量。
二、不定积分的性质1. 线性性质:对于任意常数a、b,以及可积函数f(x)和g(x),有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
即不定积分具有线性性质,可以将常数提取出来进行运算。
2. 基本性质:不定积分和求导是互逆运算。
即如果F'(x) = f(x),则∫f(x)dx = F(x) + C,其中C为常数。
这是因为导数和不定积分是相反的运算,所以它们可以互相抵消。
3. 区间可加性:对于函数f(x)在区间[a, b]上可积,有∫f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx,其中a≤c≤b。
即不定积分在区间上的值等于分别在子区间上的不定积分之和。
三、不定积分的求解方法不定积分的求解方法有多种,下面介绍几种常见的方法:1. 基本初等函数的不定积分:对于一些常见的初等函数,已知它的导函数,就可以直接得到它的不定积分。
例如,常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等都有相应的不定积分公式。
2. 代换法:当被积函数中含有复杂的函数关系时,可以通过代换变量的方法将其化简。
常见的代换有三角代换、指数代换、倒代换等,通过选择合适的代换变量,可以将原函数化为简单形式,从而求得不定积分。
3. 分部积分法:对于乘积形式的函数,可以利用分部积分法进行求解。
分部积分法通过对乘积函数进行适当的分解和重新组合,将原函数的积分转化为更简单的形式,从而得到不定积分。
《数学分析》第八章_不定积分
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则有换元公式
f(x)dx
f[(t)] (t)dt t(x)
其 中 (x)是 x(t)的 反 函 数 .
证 设 (t)为f[(t) ](t)的原函数,
1six n1si5n xC. 2 10
.
例13 求cscxdx.
解(一)
cscxdx
1 dx sinx
1 2sinxcosx
dx
22
1 tan2xcos2x2
d
2x
1 tanx
2
d
tanx 2
lntanxC lnx (c c x o )s C t c . 2
(使用了三角函数恒等变形)
.
说明 当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇 次项去凑微分.
.
例12 求co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
§2 换元积分法和分部积分法
.
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数,设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
.
在一般情况下:
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
.
例3
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
数学分析不定积分

8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时)【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念;牢记基本积分表;掌握不定积分的线形运算法则。
【教学重点】不定积分的概念,基本积分表,不定积分的线形运算法则。
【教学难点】求不定积分的技巧。
【教学过程】一、原函数与不定积分(一) 原函数定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。
若)()(x f x F =′, I x ∈,则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。
如:331x 是在R 上的一个原函数;2x x 2cos 21−, 12cos 21+x ,,等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数,则其原函数不是唯一的。
x 2sin x 2cos −x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数?若存在,其个数是否唯一;又若不唯一,则有多少个?)(x f 问题 2 若函数的原函数存在,如何将它求出?(这是本章的重点内容)。
)(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续,则在)(x f I 上存在原函数。
)(x F (证明在第九章中进行。
)说明:(1)由于初等函数在其定义域内都是连续的,故初等函数在其定义域内必存在原函数(但其原函数不一定仍是初等函数)。
(2)连续是存在原函数的充分条件,并非必要条件。
定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数,则(1)设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数,其中C 为任意常量(若存在原函数,则其个)(x f数必为无穷多个)。
(2)在)(x f I 上的任何两个原函数之间,只可能相差上个常数(揭示了原函数间的关系)。
证:(i)这是因为[].),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数,则有[]I x x f x f x G x F C x F ∈=−=′−′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论,知道I x C x G x F ∈≡−,)()(. 口(二) 不定积分定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分,记作:∫dx x f )(其中∫积分号;被积函数; −−−−)(x f −−dx x f )(被积表达式;−−x 积分变量。
《数学分析1》知识点总结:第八章-不定积分
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第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1:设函数f 与F 在区间I 上都有定义,若F’(x)=f(x),x ∈I ,则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。
②定理8.1:若函数f 在区间I 上连续,则f 在I 上存在原函数F ,即F’(x)=f(x),x ∈I 。
·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2:设F 是f 在区间I 上的一个原函数,则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数,其中C 为任意常量函数;(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数。
④定义2:函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作∫f(x)dx 。
·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x);·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C];⑤不定积分的几何意义:积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ;②∫1dx=∫dx=x+C ;③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα;④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ;⑤∫e x dx=e x +C ;⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α;⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ;⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ;⑨∫sec 2xdx=tanx+C ;⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ;⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ;⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ;⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰;⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。
⑮定理8.3:若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数,k 1,k 2为两个任意常数,则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数,且当k 1和k 2不同时为零时,有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4(第一换元积分法/凑微分法):设函数f(x)在区间I 上有定义,φ(t)在区间J 上可导,且φ(J)⊆I 。
数学分析第八章 不定积分
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或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线, 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2:函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分,记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式, 我们可以解决初等函数的求导问题,即是,若 f 为 初等函数, f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题:在已知 f 的表达式时,f 的表 达式是什么形式呢?
1 (arctanx)' 1 x2
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
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第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1.验证下列等式,并与(3)、(4)两式相比照(1)(2)(3)式为(4)式为解:(1)因为,所以它是对f(x)先求导再积分,等于f(x)+C,(3)式是对f(x)先积分再求导,则等于(2)因为,由(1)可知它是对f(x)先微分后积分,则等于f(x)+C;而(4)式是对f(x)先积分后微分,则等于f(x)dx.2.求一曲线y=f(x),使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5).解:由题意,有f'(x)=2x,即又由于y=f(x)过点(2,5),即5=4+C,故C=1.因而所求的曲线为y=f(x)=x2+1.3.验证是|x|在(-∞,+∞)上的一个原函数.证明:因为所以而当x =0时,有即y'(0)=0.因而即是在R 上的一个原函数.4.据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解:设x 0为f (x )在区间I 上的第一类间断点,则分两种情况讨论.(1)若x 0为可去间断点.反证法:若f (x )在区间I上有原函数F (x ),则在内由拉格朗日中值定理有,ξ在x 0和x 之间.而这与x 0为可去间断点是矛盾的,故F (x )不存在.(2)若x 0为跳跃间断点.反证法:若f(x )在区间I 上有原函数F (x ),则亦有成立.而这与x0为跳跃间断点矛盾,故原函数仍不存在.5.求下列不定积分:解:6.求下列不定积分:解:(1)当x≥0时,当x<0时,由于在上连续,故其原函数必在连续可微.因此即,因此所以(2)当时,由于在上连续,故其原函数必在上连续可微.因此,即,因此所以7.设,求f(x).解:令,则即8.举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数,也可能没有原函数.解:x=0是此函数的第二类间断点,但它有原函数另外,狄利克雷函数D(x),其定义域R上每一点都是第二类间断点,但D(x)无原函数.§2 换元积分法与分部积分法1.应用换元积分法求下列不定积分:。
数学分析第八章不定积分
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数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
高数不定积分

1 2
sin2x
+
C.
利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不 定积分是非常有限的;我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分,利用中间变量的代换, 得到复合函数的积分法,称为换元积分法。
x2 1 - x2 dx ? 令 x sint
x2 1 - x2dx (sint)2 1 - sin2 t costdt
2
2
例1140.
1
dx 4
sin2 x cos2 x
1 sin2
x
dx
-4ctg
x+C。
22
)
1 x
dx ln|x|+(C1,1)
1 dx arctgx+C。 1+ x2
例1151.
1 + x + x2 dx x(1 + x 2 )
x + (1 + x 2 ) dx x(1 + x 2 )
函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。
2xdx x 2 + C
y
函数f(x)的积分曲线也 有无限多条。函数f(x)的不 定积分表示f(x)的一簇积分 曲线,而f(x)正是积分曲线 的斜率。
C1 -1 O 1
y=x2+C1 y=x2
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
例4.求过点(1, 3),且其切线斜率为2x的曲线方程。 解:设所求的曲线方程为 yf(x),则 y f (x) 2x, 即f(x)是2x 的一个原函数。
f
(x)dx
f
(x)
4) f ' (x)dx f (x) + C
《数学分析》第八章 不定积分

⑶ 0时, f (x)dx f (x)dx. ⑷ ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx.
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对 , R , 有
(f (x) g( x))dx f (x)dx g( x)dx.
( 当 0 时,上式右端应理解为任意常数. )
数的不定积分:
x dx ( 1) a x dx a x C
ln a
1 x
dx
ln
x
C
sin xdx cos x C
sec 2 xdx tgx C
csc2 dx ctgx C
sec x tgxdx sec x C
csc x ctgxdx csc x CBiblioteka dx arcsin x C
定义(原函数) 如果在区间 I 上 F ( x) f ( x) ,则称 F( x) 为
f (x) 在区间 I 上的原函数。
例如例 1 中的 A cos t C 是 A sin t 的原函数;
m
m
x 1 C 是 x ( 1) 的原函数,等等 1
因为常数导数为零,所以如果 f (x) 的原函数 F( x) 存在,则对任
上的不定积分。记作 f (x)dx 。 其中 为积分号, f (x) 为积分
函数, x 为积分变量。 不定积分的几何意义
F(x)+C F(x)
一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模 一样的, 最多是在坐标系中的高低位置不一样, 相差一个上下平移 关系,
二 基本积分公式
怎样求不定积分呢?我们先按照不定积分的定义给出一些常见函
⑵
22x e3x1dx.
例 11 例 12
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件

证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x), x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
不定积分课件

换元积分法适用于被积函数较为复杂 的情况,通过引入新的变量进行替换 ,可以将不定积分转化为更易计算的 形式,从而简化计算过程。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行不定积分运算,将问题转化为求两个 函数的导数的问题。
详细描述
分部积分法适用于被积函数为两个函数的乘积形式,通过将其中一个函数进行 不定积分运算,将问题转化为求另一个函数的导数的问题,从而简化计算过程 。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
不定积分的计算方法
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算 方法,通过将原函数进行不定积分运 算,得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义,通 过凑微分、变量替换等方式,将不定 积分转化为基本的初等函数形式,从 而得到不定积分的结果。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换 原函数中的自变量,从而简化不定积 分计算的方法。
复杂不定积分题
总结词
复杂题型,涉及复合函数、三角函数等
详细描述
复杂不定积分题通常涉及复合函数、三角函数、有理函数等复杂类型的不定积分。这类题目需要灵活运用不定积 分的运算规则和技巧,如分部积分法、换元法等。
含有根号的不定积分题
总结词
难度较大,涉及根号内求不定积分
详细描述
含有根号的不定积分题是难度较大的题型,通常要求对根巧和方法,如平方根函数的性质、有理化分母等。
有理函数的积分法
总结词
有理函数的积分法是通过将被积函数表 示为有理函数的形式,然后利用有理函 数的性质进行不定积分运算的方法。
VS
详细描述
有理函数的积分法适用于被积函数为有理 函数的情况,通过将被积函数表示为有理 函数的形式,利用有理函数的性质进行不 定积分运算,可以得到不定积分的结果。
数学分析 不定积分概念与基本积分公式

证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C ( C为任意常数)
例1 p(x) a0 x n a1x n1 an1x an , 则
p(x)dx
a0 x n1 n 1
a1 n
xn
an1 2
x2
an x
c
例2
x4
x2
1dx 1
(x2
1
2
x2
)dx 1
x3 x 2 arctan x c 3
到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外,还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州,也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间,欧阳修在滁州留下了不逊
于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧!【教学提示】结合前文教学,有利于学生把握本文写作背景,进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
11 醉翁亭记
1.反复朗读并背诵课文,培养文言语感。
2.结合注释疏通文义,了解文本内容,掌握文本写作思路。
3.把握文章的艺术特色,理解虚词在文中的作用。
4.体会作者的思想感情,理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬,于庆历六年写下《岳阳楼记》,寄托自己“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的政治理想。实际上,这次改革,受
5
1
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式

2、f在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.
证:1、依题意F’=f,则当C为常量函数时,(F+C)’=F’=f,得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数,则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得:F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x);d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义:若F是f的一个原函数,则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然,在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0);8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0);
9、∫sec2xdx=tanx+C;10、∫csc2xdx=-cotx+C;11、∫secx·tanxdx=secx+C;
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C;13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1;
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
8、数学分析讲义 - CH08(不定积分)-22页 文字版

设 f (x) C[a,b], f (x) 0 ,由曲线 y f (x), x a, x b, y 0 就围成了一个平面图 形,称为 [a, b] 上曲边梯形。下面求这个曲边梯形的面积。
设 F (x) 是区间[a, x] 上的曲边梯形的面积( x [a,b] , F (a) 0 )
e3 x
2
dx
e3 x d (3
x ) 2 e3 x C
x3
3
【例 7】 sin3 xdx sin2 x sin xdx (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x C 3
【例 8】求 sec xdx.
解法一
sec
xdx
cos x
cos2
dx x
d(sin x) 1 sin2 x
sin
u
C
u
2x
1 sin 2x 2
C
【例 2】
tan
xdx
sin cos
x dx x
d
(cos x) cos x
ln cos x C.
(2)
6 中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 8 章 不定积分
【例 3】
dx a2 x2
1 a
d
x a
1
x a
2
1 arctan x C.
42
【例 2】
x4 x2
1dx 1
x4 x2
1 1
2dx
(x2
1
2
x2
)dx 1
1 x3 x 2 arctan x C. 3
【例 3】
数学分析8.3有理函数可化为有理函数的不定积分
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第八章 不定积分3 有理函数可化为有理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数:由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为:R(x)=)(Q )P(x x =n1-m 1m 0n1-n 1n 0βx βx βαx αx α+⋯+++⋯++, 其中n,m 为非负整数,α0,α1,…αn 与β0,β1,…βn 都是常数,且α0β0≠0. 若m>n ,则称它为真分式;若m ≤n ,则称它为假分式.注:1、假分式可化为整式与真分式的和;2、真分式可表示为若干个部分分式之和(称为部分分式分解);3、分解部分分式的一般步骤:第一步:对分母Q(x)在实系数内作标准分解:(分解前先化β0=1) Q(x)=(x-a 1)1λ…(x-a s )sλ(x 2+p 1+q 1)1μ…(x 2+p t +q t )tμ,其中λi ,μj (i=1,2,…,s ;j=1,2,…,t)均为自然数,而且∑=s1i iλ+2∑=t1j j μ=m ;p j 2-4q j <0, j=1,2,…,t.第二步:根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式。
对于每个形如(x-a)k 的因式,它所对应的部分分式是:a -x A 1+22a)-(x A +…+k k a)-(x A ;对于每个形如(x 2+px+q)k 的因式,它所对应的部分分式是:q px x C x B 211++++2222q)px (x C x B ++++…+k2kk q)px (x C x B +++.第三步:确定待定系数。
将所有部分分式通分相加,所得分式的分母即为原分母Q(x),分子与原分子P(x)恒等。
根据同幂项系数相等,可得一组关于待定系数的线性方程,方程组的解就是需要确定的系数。
例1:对R(x)=8-x 4x 2x 5x x 10-x 9x 4x 2x 2345234+--+++-作部分分式分解.解:Q(x)=x 5+x 4-5x 3-2x 2+4x-8=(x-2)(x+2)2(x 2-x+1), R(x)=2-x A 0+2x A 1++222)(x A ++1x x C Bx 2+-+,两边乘以Q(x)得:2x 4-x 3+4x 2+9x-10 ≡A 0(x+2)2(x 2-x+1)+A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+A 2(x-2)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2. 根据等式两边同幂项系数相等,得到线性方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-10.=8C -2A -4A -4A ,9=4C -8B -3A +4A ,4=2C +4B -3A -3A -A ,-1=C +2B +A +A -3A ,2=B +A +A 2102121021010 解得:A 0=1, A 1=2, A 2=-1, B=-1, C=1. ∴对R(x)作部分分式分解的结果为:R(x)=2-x 1+2x 2+-22)(x 1+-1x x 1-x 2+-.注:对以上待定系数法有时可运用简便方法,如将x=2代入恒等式得: 32-8+16+18-10≡A 0·(2+2)2(4-2+1),∴A 0=1,将x=-2代入恒等式得: 32+8+16-18-10≡A 2(-2-2)(4+2+1),∴A 2=-1,于是化简恒等式得: x 4-3x 3+12+16≡A 1(x 2-4)(x 2-x+1)+(Bx+C)(x-2)(x+2)2,分别令x=0,1,-1可得:⎪⎩⎪⎨⎧+ 8.=C +B -3A 2,=3C 3B +A 4,=2C +A 111 解得:A 1=2, B=-1, C=1.小结:求有理真分式的不定积分可归为以下两种形式的不定积分:(1)∫k a)-(x dx =⎪⎩⎪⎨⎧>+=+ 1.k ;C a)-k)(x -(111,k C ;|a -x |ln 1-k (2)∫k 2q)px (x M Lx +++dx=∫k 22)r (t N Lt ++dt=L ∫k 22)r (t t +dt+N ∫k22)r (t dt+,其中 t=x+2p ,r 2=q-4p 2,N=M-4p L.当k=1时,原式=L ∫22r t t +dt+N ∫22rt dt +=2L ln(t 2+r 2)+ r N arctan r t +C. 当k ≥2时,∫k 22)r (t t +dt =1-k 22)r (t )k 1(21+-+C. I k =∫k 22)r (t dt +=2r 1∫k 22222)r (t t -)r (t ++dt=2r 1I k-1-2r 1∫k 222)r (t t +dt=2r 1I k-1+)1k (2r 12-∫td ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1-k 22)r (t 1=2r 1I k-1+)1k (2r 12-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+1-k 1-k 22I )r (t t=1-k 21-k 222I )1k (2r 3-2k )r (t )1k (2r t -++-.重复计算直至归为计算I 1. 最后换元为x ,就得到最终的结果.例2:求∫2222)2x -(x 1x ++dx. 解:2222)2x -(x 1x ++=2222)2x -(x 1)-x 2(2)x 2(x +++-=22x -x 12++222)2x -(x 1-x 2+∫22x -x dx2+=∫11)-(x 1)-d(x 2+dx=arctan(x-1)+C.∫222)2x -(x 1-x 2+dx=∫2222)2x -(x 2)2x -d(x +++∫221)]1)-[(x 1)-d(x +=-222)2x -(x 1++∫22)1t (dt +. ∫22)1t (dt +=1)2(t t 2++21∫1t dt 2+=1)2(t t 2++21arctant+C=2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C. ∴原式= arctan(x-1)-222)2x -(x 1++2)2x -2(x 1-x 2++21arctan(x-1)+C=2)2x -2(x 3-x 2++23arctan(x-1)+C.二、三角函数有理式的不定积分:由u(x),v(x)及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于u(x),v(x)的有理式,并用R(u(x),v(x))表示.∵sinx=2x tan 12x2tan2+=2t12t +, cosx=2x tan 12xtan -122+=22t 1t -1+, (t=tan 2x ); ∴∫R(sinx,cosx)dx=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)d(2arctant)=∫R(2t 12t +,22t 1t -1+)2t12+d(t). 例3:求∫cosx )sinx (1sinx1++dx.解:∫cosx )sinx (1sinx 1++dx=∫22222t 12)t1t -1(1t 12t t 12t 1+⋅+++++dt =21∫(t+2+t 1)dt=4t 2+t+21ln|t|+C=41tan 22x + tan 2x +21ln|tan 2x|+C.例4:求∫xcos b x sin a dx2222+(ab ≠0).解:∫x cos b x sin a dx 2222+=∫2222b x tan a x sec +dx=∫222b x tan a dtanx +=∫222b t a dt+=ab 1∫1b at bat d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ab 1arctan b at +C=ab 1arctan batanx +C.三、某些无理根式的不定积分: 1、∫R(x,nd cx b ax ++)dx 型不定积分(ad-bc ≠0),只需令t=n dcx bax ++,化为有理函数的不定积分. 例5:求∫2x 2x x1-+dx. 解:令t=2x 2x -+,则x=1t 22t 22-+,原式=∫22t 1)t(t 22+-d 1t 22t 22-+=∫2222221)2)(t (2t 2)]2t(2t -1)1)[4t(t t(t -++--dt=-2∫1)1)(t (t 2t 222-+dt=-2∫(1t 12++1t 12-)dt=-2arctant-∫(1t 1--1t 1+)dt=ln 1t 1t -+-2arctant +C =ln12x 2x 12x 2x --++-+-2arctan 2x 2x -++C=ln 2x 2x 2x 2x --+-++-2arctan2x 2x -++C =ln 44x 2x 22-+-2arctan 2x 2x -++C=ln|2x+24x 2-|-2arctan 2x 2x -++C.例6:求∫2xx 2x)(1dx-++.解:∫2x x 2x)(1dx-++=∫)x 1)(x 2(x)(1dx+-+=∫x2x1x)(112-++dx. 令t=x 2x 1-+,则x=1t 1-2t 22+,dx=22221)(t 1)-2t(2t -1)4t(t ++dt=221)(t t 6+dt. 1+x=1+1t 1-2t 22+=1t 3t 22+,2x )(11+=422t 91)(t +.原式=∫224221)(t t6t 91)t(t +⋅+dt=32∫t -2dt=-t 32+C=x 1x 232+--+C.2、∫R(x,c bx ax 2++)dx 型不定积分(a>0时b 2-4ac ≠0, a<0时b 2-4ac>0),由于ax 2+bx+c=a[(x+a 2b )2+22a 4b -4ac ],若记u=x+a 2b , k 2=22a4b -4ac ,则此二次三项式必属于以下三种情形之一:|a|(u 2±k 2),|a|(k 2-u 2). 因此上述无理根式的不定积分可化为以下三种类型之一:∫R(u,22k u ±)du ,∫R(u,22u k -)du.分别令u=ktant, u=ksect, u=ksint ,则都化为三角有理式的不定积分.例7:求I=∫3x 2x x dx 2--.解法一:令u=x-1=2sec θ, t=tan 2θ, 则t=1x 3-x +. I=∫41)-(x x 1)-d(x 2-=∫4u )1(u du 2-+=∫1θsec )1(2sec θdsec θ2-+=∫)1θ(2secθtan tan θanθs+d θ=∫12sec θsec θ+d θ=∫cos θ21+d θ=∫222t 1t -12t 12+++dt=2∫3t 12+dt=32∫13t 12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t=32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3t +C=32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+33x 3-x +C. 解法二:令3x 2x 2--=x-t, 则x=)1t (23t 2-+, dx=22)1t (23-t 2t --dt. I=∫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+--t )1t (23t )1t (23t )1t (23-t 2t 2222dt=-2∫3t 12+dt=-32arctan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3t +C =32arctan ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3x 3x 2x 2+C.注:一般地,二次三项式ax 2+bx+c 中若a>0,则可令c bx ax 2++=a x ±t ;若c>0,也可令c bx ax 2++=xt ±a ,这类变换称为欧拉变换.习题求下列不定积分:(1)∫1-x x 3dx ;(2)∫127x -x 2-x 2+dx ;(3)∫3x 1dx +;(4)∫4x1dx+;(5)∫221)1)(x -(x dx +; (6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx ;(7)∫x cos 35dx -;(8)∫xsin 2dx 2+;(9)∫x tan 1dx+; (10)∫22x x 1x -+dx ;(11)∫xx dx 2+;(12)∫x1x-1x 12+dx. 解:(1)∫1-x x 3dx=∫1-x 11x 3+-dx=∫(x 2+x+1)dx+∫1-x 1dx=3x 3+2x 2+x+ln|x-1|+C.(2)127x -x 2-x 2+=4)-3)(x -(x 2-x ≡3-x A +4-x B ;∴x-2≡A(x-4)+B(x-3).当x=3时,解得A=-1;当x=4时,解得B=2.∴原式=∫4-x 2dx-∫3-x 1dx=2ln|x-4|-ln|x-3|+C=ln 3-x 4)-(x 2+C.(3)3x11+=1)x 1)(x (x 12+-+≡1x A ++1x -x C Bx 2++;∴A(x 2-x+1)+(Bx+C)(x+1)≡1. 当x=-1时,解得A=31;由A+B=0,得B=-31;由A+C=1,得C=32. ∴原式=31∫1x 1+dx-31∫1x -x 2-x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 3-1-2x 2+dx=31ln|x+1|-61∫1x -x 1)x -d(x 22+++21∫1x -x 12+dx=61ln 1x -x 1)+(x 22++21∫4321-x 12+⎪⎭⎫ ⎝⎛dx =61ln 1x -x 1)+(x 22++31∫121-x 3221-x 32d 2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=61ln 1x -x 1)+(x 22++31arctan 31-x 2+C. (4)∫4x 1dx +=21∫422x 11x -1x +++dx=21∫42x 11x ++dx -21∫42x 11x +-dx=21∫222x 1x x 11++dx-21∫222x 1x x 11+-dx=21∫2x 1x x 1x d 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--21∫2x 1x x 1x d 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =42arctan x 21-x 2-82∫)2x 1(x x 1x d ++⎪⎭⎫ ⎝⎛++82∫)2x 1(x x 1x d -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42arctan x 21-x 2-82ln 1x 2x 1x 2x 22+-+++C. (5)由221)1)(x -(x 1+≡1-x A +1x C Bx 2+++221)(x EDx ++得:A(x 2+1)2+(Bx+C)(x-1)(x 2+1)+(Dx+E)(x-1)≡1. 当x=1时,解得A=41. ∴41x 4+21x 2+41+Bx 4-Bx 3+Cx 3+Bx 2-Cx 2-Bx+Cx-C+Dx 2-Dx+Ex-E=(41+B)x 4-(B-C)x 3+(21+B-C+D)x 2-(B-C+D-E)x-(C+E-41)≡1. ∴B=-41,C =-41,D=-21,E=-21. 原式=41∫1-x dx -41∫1x 1x 2++dx-21∫221)(x 1x ++dx =41ln|x-1|-81∫1x 1)d(x 22++-41∫1x dx 2+-41∫2221)(x 1)d(x ++-21∫221)(x dx + =81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-21∫221)(x dx +又∫221)(x dx +=∫221)t (tan dtant +=∫cos 2tdt=21∫(cos2t+1)dt=41∫cos2td2t +21∫dt =41sin2t+21t+C=)1t (tan 2tant 2++21arctanx+C=)1x (2x 2++21arctanx+C.∴原式=81ln 1x 1)(x 22+--41arctanx+)1x (412+-)1x (4x 2+-41arctanx+C=81ln 1x 1)(x 22+--21arctanx+)1x (4x -12++C.(6)∫22)1x 2(2x 2-x ++dx=41∫222)1x 2(2x )1x 2d(2x ++++-25∫22)1x 2(2x dx ++=-)1x 24(2x 12++-5∫22)]11)[(2x 1)d(2x +++=-)1x 24(2x 12++-45[1x 22x 12x 2++++2arctan(2x+1)]+C =-)1x 22(2x 3x 52+++-25arctan(2x+1)+C.(7)∫x cos 35dx -=∫222t 1)t 3(15t 12+--+dt=21∫1t)2(d2t 2+=21arctan2t+C=21arctan(2tan 2x )+C.(8)方法一:∫x sin 2dx 2+=∫22t 1t 22t 12+++dt=∫1t t dt 2++=32∫13132t 3132t d 2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =32arctan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132t +C=32arctan ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+3132x 2tan +C. 方法二:∫x sin 2dx 2+=∫x tan x sec 2x dx sec 222+=∫2x tan 3dtanx 2+dt=66∫1x tan 23tanx23d2+=66arctan(tanx 23)+C.(9)∫x tan 1dx +=∫x tanx sec x sec x dx sec 222+=∫1tanx x tan x tan dtanx23+++ =21(∫1tanx dtanx +-∫1x tan tanxdtanx 2++∫1x tan dtanx 2+)=21(ln|tanx+1|-21∫1x tan )1x d(tan 22+++x) =21(ln 1x tan |1tanx |2+++x)+C=21(ln|cosx+sinx|+x)+C. (10)I=∫22xx 1x -+dx=-∫22xx 1x x 1-+-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-∫2x x 1-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-∫22xx 12x -x 2-+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2xx 1-+-I+21∫2xx 1x -+dx+∫2xx 11)dx (x -++=-x 2x x 1-+-I+23∫2xx 132x -++dx. ∴I=-2x x 12x -++43∫2x x 132x -++dx.又∫2x x 132x -++dx=-21∫2x x 1x 21-+-dx+67∫2x x 1dx -+ =-2x x 1-++67∫251-2x 151-2x d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2x x 1-++67∫arcsin 51-2x +C. ∴原式=-2x x 12x -+-432x x 1-++87∫arcsin 51-2x +C. (11)令t-x=x x 2+,则x=12t t 2+,dx=d 12t t 2+=21)(2t 1)t(t 2++dt. ∫x x dx 2+=∫12t t t 1)(2t 1)t(t 222+-++dt=∫12t 1)d(2t ++=ln|2t+1|+C=ln|2x x 2++2x+1|+C. (12) ∫x 1x -1x 12+dx=-∫1x11-x 1+d x 1=-∫1t 1-t +dt=-∫1t 1-t 2-dt=-∫1t tdt 2-+∫1t dt 2- =-1t 2-+ln|t+1t 2-|+C=-x x 12-+ln x x 112-++C.。
华东师范大学数学分析第8章习题答案
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华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀:不定积分概念与基本积分公式(教材上册P181) 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考(2)结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。
不定积分的基本性质与计算方法
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不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中的重要内容,它可以用来求解函数的原函数。
在本文中,我们将探讨不定积分的基本性质以及计算方法。
1. 基本性质1.1 线性性质对于函数f(x)和g(x)以及常数a和b,有以下性质成立:∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx这意味着在求不定积分时,我们可以将常数和函数分别积分,再将结果相加。
1.2 递推性质设F(x)是f(x)的一个原函数,那么对于任意常数c,有以下性质成立:∫ f(x) dx = F(x) + c这意味着不定积分的结果可以通过求函数的一个原函数来获得。
1.3 换元积分法如果函数f(x)可以表示为另一个函数u的导数乘以u对x的导数,即f(x) = u'(x)·u''(x),那么可以通过换元积分法来求解不定积分。
具体步骤如下:1)选取合适的u,使得f(x)可以表示为u'(x)·u''(x)的形式;2)计算u(x)的导数u'(x)和u''(x);3)将f(x)用u'(x)·u''(x)形式表示,并且将dx表示为u'(x)的导数;4)进行代换,将不定积分转化为求解u的不定积分;5)求解u(x)的不定积分;6)将结果重新换回x的形式,即得到f(x)的原函数。
2. 计算方法2.1 常数函数的不定积分对于常数C,不定积分∫ C dx等于Cx + k,其中k是常数。
2.2 幂函数的不定积分对于幂函数f(x) = x^n,n≠-1,不定积分∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + k,其中k是常数。
2.3 三角函数的不定积分对于三角函数的不定积分,有以下常用的计算公式:∫ sin(x) dx = -cos(x) + k∫ cos(x) dx = sin(x) + k∫ sec^2(x) dx = tan(x) + k∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + k∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + k∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + k2.4 指数函数和对数函数的不定积分对于指数函数和对数函数的不定积分,有以下常用的计算公式:∫ e^x dx = e^x + k∫ a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + k∫ 1/x dx = ln|x| + k2.5 分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法之一,在计算两个函数的乘积的不定积分时特别有用。
不定积分
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第八章 不定积分微分学中所研究问题的做法是从已知函数()f x 出发求其导数()f x ',即所谓的微分运算。
微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。
但是我们也应该看到,许多实际问题不是要寻找某一函数的导数,而是恰恰相反,从已知的某一函数的导数()f x '出发求其本身()f x ,这便是所谓的积分运算。
显然,积分运算是微分运算的逆运算。
另外积分运算也为后面定积分的运算奠定了基础。
在这一章里将引入不定积分的概念,讨论换元积分法和分部积分法。
最后研究几类初等函数的积分法。
§8.1 不定积分概念与基本积分公式教学目标:掌握原函数的概念和基本积分公式教学内容:原函数的概念;基本积分公式;不定积分的几何意义. 基本要求:熟练掌握原函数的概念和基本积分公式. 教学建议:(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础,要求熟记基本积分公式表. (2) 适当扩充基本积分公式表. 教学过程:一、原函数与不定积分 (一) 原函数定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。
若)()(x f x F =', I x ∈,则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
如:331x 是2x 在R 上的一个原函数;x 2cos 21-, 12cos 21+x ,x 2sin ,x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数,则其原函数不是唯一的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数?若存在,其个数是否唯一;又若不唯一,则有多少个?问题2 若函数)(x f 的原函数存在,如何将它求出?(这是本章的重点内容)。
定理1 若)(x f 在区间I 上连续,则)(x f 在I 上存在原函数)(x F 。
(证明在第九章中进行。
)说明:(1)由于初等函数在其定义域内都是连续的,故初等函数在其定义域内必存在原函数(但其原函数不一定仍是初等函数)。
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第 八 章 不 定 积 分§1 不定积分概念与基本积分公式正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运 算———积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它 的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已 知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中 .例如 : 已知速 度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足 的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成 一元函数积分学 .一 原函数与不定积分定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若F ′( x ) = f ( x ) , x ∈ I ,则称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .-1 例如 , 1 3 x 3 是 x2 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的一个 原函数 , 因为 ( 13 1 x 3 )′= x 2 ; 又 如 2 cos 2 x 与 - 2cos 2 x + 1 都是 sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 , 因为 ( - 1 cos 2 x )′= ( - 1cos 2 x + 1)′= sin 2 x .2 2如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话 , 那么F( x ) = x arctan x - 1ln (1 + x 2 )2是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原 函数必须 解 决下面两个重要问题 :1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数 ? 如果存在 , 是否唯一 ?2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ?关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答 则 是本章接着要介绍的各种积分方法 .178 第八章不定积分定理8 .1 若函数 f 在区间I 上连续, 则 f 在I 上存在原函数 F , 即F′(x) = f ( x) , x∈ I .本定理要到第九章§5 中才能获得证明.由于初等函数为连续函数, 因此每个初等函数都有原函数( 只是初等函数的原函数不一定仍是初等函数) .当然, 一个函数如果存在间断点, 那么此函数在其间断点所在的区间上就不一定存在原函数( 参见本节习题第4 题) .定理8 .2 设 F 是 f 在区间I 上的一个原函数,则( i) F + C 也是 f 在I 上的原函数,其中 C 为任意常量函数①;( ii) f 在I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差一个常数.证( i) 这是因为[ F( x ) + C]′= F′( x ) = f ( x ) , x∈I .( ii) 设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数, 则有[ F( x ) - G( x ) ]′= F′( x) - G′( x)= f ( x ) - f ( x ) = 0 , x ∈ I .根据第六章拉格朗日中值定理的推论, 知道F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I .定义 2 函数 f 在区间I 上的全体原函数称为 f 在I 上的不定积分,记作∫f ( x ) d x , ( 1) 其中称∫为积分号, f ( x ) 为被积函数, f ( x) d x 为被积表达式②, x 为积分变量. 尽管记号(1 ) 中各个部分都有其特定的名称, 但在使用时必须把它们看作一整体.由定义2 可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若 F 是f 的一个原函数, 则 f 的不定积分是一个函数族{ F + C} , 其中 C 是任意常数.为方便起见,写作∫f ( x) d x = F( x ) + C . ( 2) 这时又称 C 为积分常数, 它可取任一实数值.于是又有∫f ( x) d x ′= [ F( x ) + C]′= f ( x ) , ( 3)∫d f ( x ) d x = d[ F( x) + C] = f ( x) d x . ( 4) 按照写法(2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作①这里既把 C 看作常量函数, 又把它作为该常量函数的函数值.在不致混淆时, 以后常说“C 为任意常数”.②不久可看到, 被积表达式可认同为 f 的原函数F 的微分, 即d F = F′(x ) d x = f ( x ) d x .∫ ∫ ∫§1 不定积分概念与基本积分公式179x 2 d x = 13x 3 + C,sin 2 x d x = - 1cos 2 x + C,2arctan x d x = x arctan x - 1 ln ( 1 + x 2) + C .2此外 , 一个函数“ 存在不定积分”与“ 存在原函数”显然是等同的说法 .不定积分的几何意 义 若 F 是 f 的一 个原函数 , 则称 y = F( x ) 的 图象 为 f 的 一条 积分 曲 线 .于 是 , f 的不 定积 分在 几何 上 表示 f 的某 一 积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲 线组成的曲线族 ( 图 8 - 1 ) .显然 , 若在 每一 条积 分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线 互相平行 .在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x 0 ) =图 8 - 1y 0 ( 称为初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x 0 , y 0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v ′( t ) = a , 则v( t) =∫a d t = at + C .若已知 v( t 0 ) = v 0 , 代入上式后确定积分常数 C = v 0 - at 0 , 于是就有v( t ) = a( t - t 0 ) + v 0 .又因 s ′( t ) = v ( t ) , 所以又有s( t) =∫[ a( t - t) + v 0 ] d t122a( t - t 0 ) + v 0 t + C 1 .若已知 s( t 0 ) = s 0 , 则 C 1 = s 0 - v 0 t 0 , 代入上式得到s( t) = 1a( t - t 0 )2 + v 0 ( t - t 0 ) + s 0 .2二 基本积分表怎样求原函数 ? 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 .原因在 于原 函 数的定义不像导数定义那样具有构造性 , 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个 已知函数 f , 而没有指出怎样由 f 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 .因 此 , 我=x180第八章 不 定 积 分们只能先按照微分法的已知结果去试探 .首先 , 我们把基本导数公式改写成基本积分公式 : 1∫. 2∫.0d x = C . 1d x =∫d x = x + C .α+ 13∫.x αd x = xα + 1+ C (α≠ - 1 , x > 0) .4∫. 5∫. 1 d x = ln | x | + C①( x ≠0) .xe x d x = e x + C .6∫. a xd x = a ln a+ C ( a > 0 , a ≠ 1 ) .7∫. 8∫. 9∫. 10 ∫. 11 ∫. 12 ∫. cos ax d x = 1sin ax + C ( a ≠ 0 ) .a sin ax d x = - 1cos ax + C ( a ≠ 0 ) .asec 2 x d x = tan x + C .csc2x d x = - cot x + C .sec x · tan x d x = sec x + C .csc x ·cot x d x = - csc x + C .13 ∫. d x 1 - x 2= arc sin x + C = - arccos x + C 1 .14 ∫. d x 1 + x 2= arctan x + C = - arccot x + C 1 .上列基本积分公式 , 读者必须牢牢记住 , 因为其他函数的不定积分经运算变 形后 , 最后归为这些基本不定积分 .当然 , 仅有这些基本公式是不够用的 , 即使像 ln x , tan x , cot x , sec x , csc x , arcsin x , arctan x 这样一 些基 本初 等函数 , 现 在 还不知道怎样去求得它们的原函数 .所以我 们还 需要 从一些 求导 法则去 导出 相 应的不定积分法则 , 并逐步扩充不定积分公式 .①公 式 4 适 用于不 含坐 标原点 的任何 区间 , 读 者容 易验证( ln | x | + C)′= 1, x ≠ 0 .x●nn - 1 ∫ =∫§1 不定积分概念与基本积分公式181最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则 : 定理 8 .3 若函数 f 与 g 在 区 间 I 上 都存 在 原函 数 , k 1 、k 2 为 两 个任 意 常 数 , 则 k 1 f + k 2 g 在 I 上也存在原函数 , 且∫[ k 1f ( x ) + k 2 g( x ) ] d x = k ∫1 证 这是因为f ( x ) d x + k ∫2 g( x ) d x .( 5)∫k 1f ( x ) d x + k ∫2g( x ) d x ′= k 1∫f ( x ) d x ′+ k 2∫g( x ) d x ′= k 1 f ( x) + k 2 g( x) .线性法则 (5 ) 的一般形式为nn∫∑ k i f i( x )d x = ∑ ∫k i f i ( x) d x .( 6)i = 1i = 1根据上述线性运算法则和基本积分公式 , 可求得一些简单函数的不定积分 .例 1 p( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n .∫p ( x ) d x = a 0 x n + 1 + a 1 x n + + a n - 1 x 2+ a x + C .n + 1 n 2 n4例 2 ∫ x + 1d x =∫( x 2 - 1 + 2) d xx 2 + 1 1 3 3 x x 2 + 1- x + 2 arctan x + C .2 2例 3 d x cos 2 x sin 2xcos x + sin x cos 2 x sin 2 x d x =∫( c sc 2 x + sec 2x ) d x = - cot x + tan x + C .例 4∫co s 3 x · s in x d x = 1 ( s in 4 x - s in 2 x ) d x2∫12 ( - 1 4 cos 4 x +1 2 cos 2 x ) + C = - 18 ( cos 4 x - 2cos 2 x ) + C .例 5∫( 10 x - 10 - x ) 2d x =∫(102 x+ 10- 2 x- 2 ) d x=∫[ (102) x+ (10 - 2) x- 2] d x1 2 x 2 ln10 ( 10- 10 - 2 x) - 2 x + C .习 题1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、(4 )两式相比照 := ==21 - x+ 182第八章 不 定 积 分( 1∫) f ′( x ) d x = f ( x ) + C; ( 2∫) d f ( x) = f ( x) + C .2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点 (2 , 5) .3 . 验证 y = x sgn x 是 | x | 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的一个原函数 .24 . 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数 ?5 . 求下列不定积分 :( 1∫) (1 - x + x 3 - 1) d x; (2 )( x -1)2 d x ;x2∫x( 3∫) d x 2 gx (g为正常数) ; () (2 x+ 3 x )2d x ;2 ( 5∫)3 d x; (6 ) xd x;4 - 4 x 2 ∫3(1 + x2)( 7∫) ( 9∫)tan 2x d x ; (8 ∫)cos 2 xcos x - sin xd x ;(10)sin 2x d x ;cos 2 x cos 2 x ·sin 2 x d x;( 11)∫10 t ·32 td t ;(12∫)xx x d x ;( 13)∫ 1 +x 1 - x d x ; (14) 1 + x ( cos x + sin x)2 d x ; ( 15)∫co s x · co s 2 x d x ; (16∫) ( e x - e - x ) 3 d x .§2 换元积分法与分部积分法一 换元积分法由复合函数求导法 , 可以导出换元积分法 .定理 8 .4 ( 换元积分法 ) 设 g( u ) 在 [α, β] 上有 定义 , u = φ( x) 在 [ a , b] 上可导 , 且 α≤φ( x ) ≤β, x ∈ [ a , b] , 并记f ( x ) = g( φ( x ) ) φ′( x ) , x ∈ [ a, b] .( i ) 若 g( u) 在 [α, β] 上存在原函数 G( u ) , 则 f ( x ) 在 [ a , b] 上 也存在原 函 数 F( x ) , F( x) = G( φ( x) ) + C, 即∫f ( x ) d x =∫g (φ( x ) ) φ′( x ) d x =∫g( u ) d u= G( u) + C = G( φ( x) ) + C .( 1)( ii ) 又若 φ′( x ) ≠0 , x ∈ [ a , b ] , 则上述命题 ( i ) 可逆 , 即当 f ( x ) 在 [ a , b ] 上3φ ∫∫ u2 ∫∫§2 换元积分法与分部积分法183存在原函 数 F ( x ) 时 , g ( u ) 在 [ α, β] 上 也 存 在 原 函 数 G ( u ) , 且 G ( u ) = F( φ- 1 ( u) ) + C, 即∫g( u) d u =∫g (φ( x ) ) φ′( x ) d x =∫f ( x ) d x= F( x) + C = F(φ- 1( u) ) + C . ( 2)证 ( i ) 用复合函数求导法进行验证 :dd xG(φ( x ) ) = G ′( φ( x ) ) φ′( x ) = g( φ( x ) ) φ′( x ) = f ( x) .所以 f ( x) 以 G( φ( x) ) 为其原函数 , (1 ) 式成立 .( ii ) 在 φ′( x ) ≠0 的条件下 , u = φ( x ) 存在反函数 x = φ- 1( u ) , 且于是又能验证 (2 ) 式成立 :d x d u = 1 φ′( x )x = - 1 . ( u )d - 1 1 1 d u F( φ ( u) ) = F ′( x ) ·φ′( x ) = f ( x ) ·φ′( x )= g( φ( x ) ) φ′( x ) · 1φ′( x )= g( φ( x ) ) = g( u ) .上述换元积分法中的公式 (1 ) 与 ( 2) 反映了正、逆两种换元方式 , 习惯上分别 称为第一换元积分法和第二换元积分法 ( 公式 ( 1) 与 ( 2) 分别 称为 第一换 元公 式 与第二换元公式 ) . 下面的例 1 至例 5 采用第一换元 积分 法求 解 .在使用 公式 ( 1 ) 时 , 也 可把 它 写成如下简便形式 : ∫g( φ( x ) ) φ′( x ) d x =∫g( φ( x ) ) d φ( x ) = G( φ( x ) ) + C . ( 1′)例 1 求∫ta n x d x .解 由tan x d x =sin xd x = - cos x( cos x)′cos x d x ,可令 u = cos x , g ( u ) = 1u, 则得∫tan x d x = -∫1d u = - ln | u | + C = - ln | cos x | + C .例 求d x a 2+ x 2( a > 0 ) .∫∫4 ∫解∫∫= ∫ ∫s ec x d x =∫a 2184第八章 不 定 积 分解∫d xd x 1 a x a 2 + x 2 = ∫a 1 +2 ( 令 u = ) xa a = 1 a =1d u 1 + u 2 = x 1 a arctan u + Ca arctan a+ C . 对换元积分法较熟练后 , 可以不写出换元变量 u , 而直接使用公式 (1′) .例 3 求∫d xa 2 - x 2( a > 0) .d x 解∫d x =1d xaa 2- x2∫=1 -x 1 - ax 2 a= arcsin x a+ C .例 求 d xx 2 - a 2 ( a ≠ 0 ) . d x 1 x 2 - a 2 = 2 a1 x - a - 1x + a d x =1 d ( x - a) d ( x + a)2 a ∫ x - a -∫x + a=1 2 aln | x - a | - ln | x + a | + C 1 2 a ln 例 5 求∫s ec x d x .x - a x + a+ C .解 [ 解法一 ] 利用例 4 的结果可得∫s ec x d x =∫co s x d x =∫d ( s in x )cos 2 x 1 - sin 2x = 1 1 + sin x[ 解法二 ]2 ln 1 - sin x + C .sec x( sec x + tan x)sec x + tan x d x= d( sec x + tan x ) sec x + tan x= a ∫∫3∫§2 换元积分法与分部积分法185= ln | sec x + tan x | + C .这两种解法所得结果只是形式上的不同 , 请读者将它们统一起来 .从以上几例看到 , 使用第一换 元积 分法的 关键 在于 把 被积 表达 式 f ( x) d x 凑成 g( φ( x ) ) φ′( x ) d x 的 形 式 , 以 便 选 取 变 换 u = φ( x ) , 化 为 易 于 积 分 的 ∫g( u ) d u . 最终不要忘记把新引入的变量 ( u) 还原为起始变量( x) . 第二换元公式 (2 ) 从形式上看是公 式 ( 1 ) 的逆 行 , 但目的 都是 为了化 为容 易 求得原函数的形式 ( 最终同样不要忘记 变量还 原 ) .以下例 6 至例 9 采用 第二 换 元积分法求解 .例 6 求∫d u.u + u解 为去掉被积函数中的根式 , 取根次数 2 与 3 的 最小公倍数 6 , 并 令 u = x 6, 则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分 :5 ∫d u 6 x 2 13 u + u= 3 x + x 3 2d x = ∫6 ( x 2- x + 1 - x + 1 ) d x = 6 x 3 - x 2 + x - ln | x + 1 | + C366= 2u - 3u + 6 u - 6ln |u + 1 | + C .例 7 求∫a 2 - x 2d x ( a > 0) .解 令 x = a sin t , | t | < π ( 这 是 存 在 反 函 数 t = arcsin x的 一 个 单 调 区2 a间 ) .于是∫a 2 - x 2d x =∫a co s t d ( a s in t ) = a ∫2cos 2 t d t22∫( 1 + co s 2 t ) d t = 2 a 22 ( t + 12sin 2 t ) + C2 a x 2 arcsin a + x x a 1 - a =1 2 x 2 2 2 ( a arcsin a+ x a - x ) + C . 例 8 求∫d xx 2 - a 2( a > 0) . 解 令 x = a sec t , 0 < t < π, 于是有2∫d x x 2 - a 2= a sec t · tan td t = sec t d ta tan t= + C9∫∫3 186第八章 不 定 积 分= ln | sec t + tan t | + C .借助图 8 - 2 的 辅 助 直 角 三 角 形 , 便 于 求 出 sec t = x,a2 2tan t =x - a, 故得 a2 2∫d x = ln x x - a + C x 2 - a 2a + a 图 8 - 2= ln x + x 2 - a 2 + C 1 . 例 求 d x( x 2 + a 2 ) 2( a > 0) . 解 令 x = a tan t , | t | < π, 于是有2 2 ∫d x a sec t 1 2( x 2 + a 2 ) 2 =∫a 4 s ec 4 t d t = = 1a∫3 cos t d t( 1 + cos 2 t ) d t 2 a= 1( t + sin t cos t ) + C2 a 3图 8 - 31x 2 a3 arctan a + ax x 2 + a 2 + C . 有些不定积分还可采用两种换元方法来计算 .例 10 求∫d x.x 2 x 2 - 1解 [ 解法一 ] 采用第一换元积分法 :∫d x =∫d x=∫1·- 1 d 1x 2x2- 1x 31 - 1x2x1 - 1 x x2=∫- u 1 - u 2d u =1 - u2 + C12xx- 1 + C .[ 解法二 ] 采用第二换元积分法 ( 令 x = sec t ) :∫ d x =∫sec t ·tan t d t =cos t d tx 2 x 2 - 1sec 2 t ·tan t ∫= sin t + C = 1xx2- 1 + C .==4 4 §2 换元积分法与分部积分法187二 分部积分法由乘积求导法 , 可以导出分部积分法 .定理 8 .5 ( 分部积分法 ) 若 u ( x ) 与 v ( x ) 可导 , 不定 积分∫u ′( x ) v ( x ) d x 存在 , 则∫u ( x ) v ′( x ) d x 也存在 , 并有 ∫u ( x ) v ′( x ) d x = u( x ) v ( x ) -∫u ′( x ) v ( x ) d x . ( 3)证 由 或[ u( x ) v ( x ) ]′= u ′( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′( x )u( x ) v ′( x ) = [ u ( x ) v ( x ) ]′- u ′( x ) v ( x ) ,对上式两边求不定积分 , 就得到 ( 3) 式 . 公式 (3 ) 称为分部积分公式 , 常简写作∫u d v = uv -∫v d u .( 4)例 11 求∫x co s x d x .解 令 u = x , v ′= cos x , 则有 u ′= 1 , v = sin x .由公式 ( 3) 求得∫x co s x d x =x s in x ∫-sin x d x例 12 求∫a r ctan x d x .= x sin x + cos x + C .解 令 u = arctan x , v ′= 1 , 则 u ′=1 , v = x , 由公式 ( 3) 求得1 + x2∫a r ctan x d x = x a r ctan x ∫- x d x1 + x2例 13 求∫x 3 ln x d x .= x arctan x - 1 ln (1 + x 2) + C .2解 令 u = ln x , v ′= x 3, 由公式 (4 ) 则有4∫x 3ln x d x =∫ln x d x=1 434 x ln x ∫- x d x =x 16(4 ln x - 1 ) + C .2 aa xa xa 2+ b2+ C, a 2+ b2+ C .∫188第八章 不 定 积 分有时需要接连使用几次分部积分才 能求 得结 果 ; 有些还 会出 现与原 不定 积 分同类的项 , 需经移项合并后方能完成求解 .现分别示例如下 .例 14 求∫x 2 e - xd x .解∫x 2 e - x d x =∫x 2 d ( - e - x ) = - x 2 e - x +∫2 x e - xd x= - x 2 e- x+∫2 x d ( - e - x)= - x 2 e- x- 2 x e- x+∫2 e- xd x= - e - x ( x 2 + 2 x + 2) + C .例 15 求 I 1 =∫e a xco s bx d x 和 I 2 =∫e a xs in b x d x .解 I = 1 cos bx d ( e a x) = 1 ( e a x co s bx + ∫b ea x sin bx)a ∫a1a xa( ecos bx + bI 2 ) ,由此得到I = ∫1 sin bx d( e a x) = 1 ( e a x a sin bx - bI 1 ) .解此方程组 , 求得 aI 1 - bI 2 = e cos bx , bI 1 + aI 2 = e sin bx .I 1 =∫e a xco s bx d x =b s in bx + a co s bxI 2 =∫e a xs in bx d x =a s in bx -b co s bx习 题1 . 应用换元积分法求下列不定积分:( 1∫) ( 3∫)co s ( 3 x + 4 )d x ; ( 2∫)d x; ( 4) 2 x + 12x e 2 xd x ;(1 + x) n d x;( 5∫) 1+1 d x;( 6) 22 x + 3 d x;3 - x 21 - 3 x2∫( 7∫)8 - 3 x d x ; ( 8∫)d x37 - 5 x1=;∫ ∫∫ 2 ∫∫ ∫∫∫ α§2 换元积分法与分部积分法189( 9∫)x sin x 2d x ;( 10)d x; sin 22 x + π4( 11) d x1 + cos x; ( 12) d x;1 + sin x( 13)∫c s c x d x ; ( 14)∫x 1 - x d x; ( 15)x4 + x 44 d x; ( 16) d x; x ln x 3 ( 17)∫x d x;( 18)x d x ;( 1 - x 5 )3( 19)d xx(1 + x)∫x8- 2; ( 20)∫cot x d x ; ( 21) cos 5x d x;( 22)d x;sin x cos x ( 23)∫ d x; ( 24)2 x - 3d x ;e x + e - x2∫x 2 - 3 x + 8( 25)∫ x + 2d x;( 26)d x ( a > 0) ;( x + 1)3∫x 2 + a 25 ( 27)∫ d x( a > 0) ;( 28)x d x;( x 2 + a 2 )362/∫1 - x2 ( 29)∫xd x;( 30)x + 1 - 1d x .31 - x∫ x + 1 + 12 . 应用分部积分法求下列不定积分: ( 1∫) ( 3∫)( 5∫) a r c s in x d x ; ( 2∫) x 2co s x d x ;( 4∫)( l n x )2d x ;( 6∫)ln x d x ;ln x d x ;x3x arctan x d x;( 7∫)ln( ln x) + 1ln xd x ;( 8∫) ( arcsin x) 2d x;( 9∫) s ec 3 x d x ; ( 10∫)x 2 ± a 2 d x ( a > 0) .3 . 求下列不定积分 :( 1∫) ( 3∫) [ f ( x ) ] f ′( x )d x (α≠ - 1) ; (2 ∫)f ′( x )f ′( x ) d x ;1 + [ f ( x ) ]2f ( x )f ( x )d x ; (4 ∫) ef ′( x ) d x .4 . 证明: ( 1) 若 I n =∫tan nx d x , n = 2 , 3 ,, 则m 190第八章 不 定 积 分I n = 1 n - 1tann -1x - I n - 2 .( 2) 若 I( m , n) =∫co s m x s in nx d x , 则当 m + n ≠0 时,m - 1n+ 1I ( m , n) = cosx sinx m + nm - 1m + nI( m - 2 , n)m + 1 n - 1 = - cos x sin x m + n n , m = 2 , 3 ,. 5 . 利用上题的递推公式计算 :n - 1 m + nI( m , n - 2 ) , ( 1∫) ( 3∫) tan 3 x d x ; (2)∫tan 4 x d x ;cos 2 x sin 4 x d x .6 . 导出下列不定积分对于正整数 n 的递推公式 : ( 1) I n =∫x n e k xd x ; (2) I n =∫( ln x ) nd x ; ( 3) I n =∫( a r c s in x ) n d x ;(4) I n =∫e a x s in n x d x .7 . 利用上题所得递推公式计算 : ( 1∫)( 3∫) x 3 e 2 xd x ;(2)∫( ln x )3d x ;( a r c s in x ) 3 d x ;(4)∫e xs in 3x d x .§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分至此我们已经学得了一些最基本的积分方法 .在此基础上 , 本节将讨论某些 特殊类型的不定积分 , 这些不定积分无论怎样复杂 , 原则上都可按一定的步骤把 它求出来 .一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数 , 其一般形式为nn - 1R( x) = P( x) α0 x + α1 x + + αn= , ( 1)Q( x) β0 x + β1 xm - 1+ + βm其中 n , m 为非负整数 , α0 , α1 , , αn 与β0 , β1 , , βm 都 是常数 , 且 α0 ≠ 0 , β0 ≠ 0 .若 m > n , 则称它为 真 分 式 ; 若 m ≤ n , 则 称 它为 假 分 式 .由 多项 式 的除 法 可 知 , 假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和 .由于多项式的不定积分是容 易求得的 , 因此只需研究真分式的不定积分 , 故设 (1 ) 为一有理真分式 .根据代数知识 , 有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和 ( 称为部分+ +2例 1 对 R ( x) = §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分191分式分解 ) .因而问题归结为求那些部分分式的不定积分 .为此 , 先把怎样分解部 分分式的步骤简述如下 ( 可与后面的例 1 对照着做 ) :第一步 对分母 Q( x ) 在实系数内作标准分解 : λλ 2 μ2 μQ( x) = ( x - a 1 )1( x - a s ) s( x + p 1 x + q 1 )1( x + p t x + q t ) t ,( 2)其中 β0 = 1 , λi , μj ( i = 1, 2 , , s; j = 1 , 2 ,, t ) 均为自然数 , 而且s t∑λi + 2∑μj = m ; p j - 4 q j < 0 , j = 1 , 2 , , t .i = 1j = 1第二步 根据分母的各个因式分别 写出 与之 相应的 部分 分式 : 对于 每个 形 如 ( x - a) k的因式 , 它所对应的部分分式是A 1 x - a +A 2( x - a )2+ +A k( x - a) k;对每个形如 ( x 2 + px + q) k的因式 , 它所对应的部分分式是B 1 x +C 1x 2 + px + q + B 2 x + C 2( x 2 + px + q)2 ++B k x +C k( x 2+ px + q)k.把所有部分分式加 起 来 , 使 之等 于 R ( x ) .( 至 此 , 部 分 分 式 中 的常 数 系 数 A i , B i , C i 尚为待定的 .)第三步 确定待定系数 : 一般方法是将所有部分分式通分相加 , 所得分式的 分母即为原分母 Q( x) , 而其 分 子亦 应与 原分 子 P ( x ) 恒 等 .于是 , 按同 幂项 系 数必定相等 , 得到一组关于待定系数的线性方程 , 这组方程的解就是需要确定的 系数 .4322 x - x + 4 x + 9 x - 10x 5 + x 4 - 5 x 3 - 2 x 2+ 4 x - 8 作部分分式分解 . 解 按上述步骤依次执行如下 :Q( x ) = x 5+ x4- 5 x 3- 2 x 2+ 4 x - 8= ( x - 2 ) ( x + 2 )2( x 2- x + 1) .部分分式分解的待定形式为R( x ) = A 0 x - 2 + A 1 x + 2 + A 2 ( x + 2 )2 +Bx + Cx 2 - x + 1. ( 3)用 Q( x ) 乘上式两边 , 得一恒等式2 x 4- x 3+ 4 x 2+ 9 x - 10 ≡ A 0 ( x + 2) 2( x 2- x + 1 )+ A 1 ( x - 2) ( x + 2) ( x 2 - x + 1 ) + A 2 ( x - 2) ( x 2 - x + 1)+ ( Bx + C) ( x - 2) ( x + 2) 2.( 4)1∫192第八章 不 定 积 分然后使等式两边同幂项系数相等 , 得到线性方程组 :A 0 + A 1 +B = 2 ,x 4 的系数 3 A 0 - A 1 + A 2 + 2 B + C = - 1 , x 3 的系数 A 0 - 3 A 1 - 3 A 2 - 4 B + 2 C = 4 , x2的系数4 A 1 + 3 A 2 - 8 B - 4 C = 9 , x 的系数 4 A 0 - 4 A 1 - 2 A 2 - 8 C = - 10 .常数项求出它的解 : A 0 = 1 , A 1 = 2 , A 2 = - 1 , B = - 1 , C = 1 , 并代入 ( 3) 式 , 这便完成 了 对 R ( x ) 的部分分式分解 :R( x) = 1x - 2 + 2 x + 2 -1 ( x + 2)2 x - 1 x 2 - x + 1 .上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代 .例 如可将 x 的 某些特定 值( 如 Q( x) = 0 的根 ) 代入 ( 4 ) 式 , 以 便得 到一 组较 简 单的 方程 , 或 直 接求 得某 几 个待定系数的值 .对于上例 , 若分别用 x = 2 和 x = - 2 代入 (4 ) 式 , 立即求得A 0 = 1 和 A 2 = - 1 . 于是 (4 ) 式简化成为x4- 3 x 3 + 12 x - 16 = A ( x - 2) ( x + 2) ( x 2- x + 1 ) + ( Bx + C) ( x - 2 ) ( x + 2 )2 . 为继续求得 A 1 , B , C, 还可用 x 的三 个简 单值 代 入上 式 , 如令 x = 0 , 1 , - 1 , 相 应得到A 1 + 2 C = 4 , A 1 + 3B + 3C = 2 , 3 A 1 - B + C = 8 .由此易得 A 1 = 2 , B = - 1 , C = 1 .这就同样确定了所有待定系数 .一旦完成了部分分式分解 , 最后求各个部分分式的不定积分 .由以上讨论知 道 , 任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分 : ( Ⅰ ∫) d x ; ( Ⅱ ) Lx + M d x ( p 2- 4 q < 0) .( x - a) k对于 ( Ⅰ ) , 已知d x( x - a) k = ∫( x2+ px + q) kln | x - a | + C, k = 1 ,1 + C, k > 1 . ( 1 - k) ( x - a) k - 1对于 ( Ⅱ ) , 只要作适当换元 令 t = x + p2 ∫Lx + M, 便化为Lt + N ( x 2 + px + q) k d x =∫( t 2 + r 2 ) k d t-∫∫∫2 2 ∫∫§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分193= ∫Ltd t + Nd t, ( 5)( t 2+ r 2)k2∫( t2+ r 2 ) k其中 r 2 = q - p , N = M - pL .4 2当 k = 1 时 , (5 ) 式右边两个不定积分分别为t t 2 + r2 d t = ∫d t 1 2 2 ln ( t 1 + r 2t ) + C, t 2 + r 2 = r arctan r + C .( 6)当 k ≥2 时 , (5 ) 式右边第一个不定积分为t ( t 2 + r 2 ) k d t = 对于第二个不定积分 , 记1 2 (1 - k) ( t 2 + r 2 ) k - 1 + C .d t( t 2 + r 2 ) k ,可用分部积分法导出递推公式如下 :1I k = 2 r ( t 2 + r 2 ) - t 2 kd t ( t + r )1 1r 2 I k - 1 - r2t 2( t 2 + r 2 ) k d t1 r2 I k - 1 + 12 r 2( k - 1) 1 t d ( t 2 + r 2 ) k - 1 经整理得到1 r2 I k - 1 + 1 2 r 2( k - 1)t ( t 2 + r 2 ) k - 1 - I k - 1 .I k = t 2 r 2 ( k - 1) ( t 2 + r 2 ) k - 12 k -3 2 r 2 ( k - 1 ) I k - 1 . ( 7)重复使用递推公式 (7 ) , 最终归为计算 I 1 , 这已由 ( 6) 式给出 .把所有这些局部结果代回 (5 ) 式 , 并令 t = x + p, 就完成了对不定积分 ( Ⅱ )2的计算 .2 例 2 求∫x + 1d x .( x 2 - 2 x + 2) 2解 在本题中 , 由于被积函数的 分母 只有单 一因 式 , 因此 , 部 分分式 分解 能 被简化为x 2+ 1 ( x 2 - 2 x + 2 )2 = ( x 2- 2 x + 2 ) + (2 x - 1) ( x 2 - 2 x + 2) 2I k =∫= = = +2 2 194第八章 不 定 积 分1 x2 - 2 x + 2 + 现分别计算部分分式的不定积分如下 :2 x - 1( x 2 - 2 x + 2) 2 .∫d x d ( x - 1 )x 2- 2 x + 2 =∫( x - 1) 2+ 1 = arctan ( x - 1 ) + C 1 .∫2 x - 1 (2 x - 2 ) + 1 ( x 2 - 2 x + 2) 2 d x =∫( x 2 - 2 x + 2 )2 d x2 =∫d ( x - 2 x + 2) d ( x - 1)( x 2 - 2 x + 2 )2 +∫[ ( x - 1 ) 2 + 1] 2 =- 1 d t由递推公式 (7 ) , 求得其中x 2 - 2 x + 2 +∫( t 2 + 1) 2 .∫d t t 1d t( t 2 + 1 ) 2 =2( t 2 + 1) + 2∫t2+ 1于是得到2x - 1 2( x 2- 2 x + 2 ) + 1 2arctan ( x - 1) + C 2 . ∫x + 1 x - 33( x 2 - 2 x + 2 )2 d x = 2( x 2- 2 x + 2 ) + 2 arctan ( x - 1) + C .下面再介绍几类被积函数能变换为有理函数的不定积分 .二 三角函数有理式的不定积分由 u ( x ) 、v ( x ) 及常数经过有限次四则运算所得到的函 数称为关 于 u ( x ) 、 v( x ) 的有理式 , 并用 R( u ( x ) , v( x ) ) 表示 .∫R ( sin x , cos x) d x 是三 角 函 数 有 理 式 的 不 定 积 分 .一 般 通 过 变 换 t =tan x2 , 可把它化为有理函数的不定积分 .这是因为sin x = 2sin x cos x 2 2 = 2 tan x 2 = 2 t , ( 8)sin 2 x 2 cos 2 x + cos 2 x 2 - sin 2 x 1 + tan 2 x2 1 - tan 2 x 1 + t 2cos x = 2 2 = 2 = 1 - t , ( 9)sin 2 x 2 + cos 2 x 2 1 + tan 2 x21 + td x =2d t , (10)1 + t2= =2 4∫§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分195所以∫R ( sin x , cos x )d x =∫R 2 t , 1 - t 2d t .例 3 求∫ 1 + s in x1 + t2 1 + t 2 1 + t 2sin x (1 + cos x ) d x .解 令 t = tan x, 将 (8 ) 、(9 ) 、(10) 代入被积表达式 ,2∫1 + sin x1 +2 t1 + t2 2 ·sin x (1 + cos x )d x =∫ 2 t1 - t 21 + t2 d t1 + t21 +21 + t212 t + 2 + 11 t d t =2 t2 + 2 t + ln | t | + C=1 2 x x 1 x 4 tan 2 + tan 2 + 2 ln | tan 2| + C . 注意 上面所用的变 换 t = tan x对 三角 函数 有理 式的 不定 积 分虽 然总 是2有效的 , 但并不意味着在任何场合都是简便的 .例 求 d xa 2 sin 2 x +b 2 cos 2 x( ab ≠ 0 ) . 解 由于∫d xsec 2 x d ( tan x )a 2 s in 2 x +b 2 co s 2 x =∫a 2 tan 2 x + b 2 d x =∫a 2 tan 2 x +b 2 ,故令 t = tan x , 就有∫d xd t1 d ( at) a 2s in 2x + b 2co s 2x=∫a2 t 2+ b2=∫a ( at)2+ b 21 ab arctan 1 ab arctan atb + Ca btan x + C . 通常 当被 积函 数是 sin 2 x , cos 2 x 及 sin x cos x 的有 理 式时 , 采 用变 换 t = tan x 往往较为简便 .其它特殊情形可因题而异 , 选择合适的变换 .三 某些无理根式的不定积分1∫. nax + bR x , nax + b cx + dd x 型 不 定 积 分 ( ad - bc ≠ 0 ) . 对 此 只 需 令 t =cx + d, 就可化为有理函数的不定积分 . =∫==∫2 2 ∫22 2 2196 第八章 不 定 积 分例 5 求1x x + 2x - 2d x .解 令 t = x + 2 , 则有 x = 2( t + 1 ) , d x = - 8 td t ,x - 2 t 2 - 1 ( t 2 - 1) 2∫1 x +2 4 t 2x x - 2 d x =∫( 1 - t 2 ) (1 + t 2 ) d t2 1 - t 2 - =2 1 +t2 d t - 2arctan t + C= ln1 + ( x + 2)6(/x - 2) 1 -( x + 2)6(/x - 2)- 2arctanx + 2+ C . x - 2例 6 求∫d x.(1 + x) 2 + x - x 2解 由于1( 1 + x )2 + x - x 2=1( 1 + x )21 + x ,2 - x故令 t =1 + x , 则有 x =2 t - 1 , d x = 6 td t ,2 - x 1 + t 2 ( 1 + t 2 ) 2∫ d x (1 + x) 2 + x - x 2= 1 ( 1 + x )2 1 + x d x 2 - x =∫( 1 + t ) 6 t 2 9 t 4 · t · ( 1 + t 2 ) 2 d t =∫3 t 2 d t= - 2 3 t + C = - 2 32 - x1 + x+ C .2∫. R ( x , ax 2+ bx + c) d x 型 不定 积 分 ( a > 0 时 b 2- 4 ac ≠ 0 , a < 0 时b2- 4 ac > 0) .由于ax 2+ bx + c = ax + b2 a4 ac - b4 a 2,若记 u = x + b2 a , k 2 = 4 ac - b 4 a 2, 则此二次三项式必属于以下三种情形之一 : | a | ( u 2 + k 2 ) , | a | ( u 2 - k 2 ) , | a | ( k 2 - u 2) .因此上述无理根式的不定积分也就转化为以下三种类型之一 :∫R ( u ,u 2 ± k 2 ) d u , ∫R( u ,k 2 - u 2 ) d u .=∫2+2x = t + 3 §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分197当分别令 u = k tan t , u = k sec t , u = k sin t 后 , 它们都化为三角有理式的不定积 分 .例 7 求 I =∫d x.x x 2- 2 x - 3解 [ 解法一 ] 按上述一般步骤 , 求得 I =∫ d xx ( x - 1 )2 - 4=∫d u( u + 1 ) u 2- 4( x = u + 1) =∫ 2sec θtan θ d θ ( u = 2sec θ) ( 2sec θ+ 1) · 2tan θ2 2 =∫ d θ 1+ t d tt = tanθ 2 + cos θ=∫2 22 +1 - t 1 + t 22t 2 + 3 d t = 2arctan 3 t + C 3 = 2 arctan 1 tan θ + C .33 2 由于tan θ = sin θ = 2 1 + cos θtan θsec θ+ 1u2- 1 22=u2+ 1因此x - 2 x - 3x + 1 ,I = 2 arctanx - 2 x - 3+ C . 33 ( x + 1)[ 解法二 ] 若令 x 2- 2 x - 3 = x - t , 则可解出22( t - 1 ) , d x = 2 t 2 - 2 t - 32 ( t - 1) 2 d t ,2x 2 - 2 x - 3 = t + 3 2( t - 1 ) - t = - ( t - 2 t - 3 ) 2( t - 1) 于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分 :2 I =∫2 ( t - 1 ) 2( t - 1 ) t - 2 t -3 t 2 + 3 · - ( t 2 - 2 t - 3) · 2( t - 1 )2 d t= -∫2 d t = - 2 arctan t+ C t 2+ 3 3 3=∫= .222∫∫198 第八章 不 定 积 分= 2 arctanx - 2 x - 3 - x+ C .33注 1 可以证明arctanx - 2 x - 3 - x 3= arctanx - 2 x - 3 3 ( x + 1)- π,3 所以两种解法所得结果是一致的 .注 2 相比之下 , 解法二优于解法一 .这是因为 它所选 择的变换 能直接化 为 有理形式 ( 而解法一通过三次换元才化为有理形式 ) .如果改令 x 2- 2 x - 3 = x + t , 显然有相同效果———两边各 自平 方 后能 消去 x 2 项 , 从 而解 出 x 为 t 的有 理 函 数 .一般地 , 二次三项式 ax 2+ bx + c 中若 a > 0 , 则可令ax 2+ bx + c =a x ± t;若 c > 0 , 还可令这类变换称为欧拉变换 .ax 2+ bx + c = xt ± c .至此我们已经学过了求不定积分的 基本 方法 , 以 及某些 特殊 类型不 定积 分 的求法 .需要指出的是 , 通常所说的“ 求不定 积分”, 是 指用初 等函 数的形 式把 这 个不定积分表示出来 .在这个意义下 , 并 不是任 何初 等函数 的不 定积 分都能“ 求 出”来的 .例如∫e ± x d x ∫, d x ln x , sin x xd x , 1 - k 2 sin 2 x d x( 0 < k 2< 1 ) 等等 , 虽然它们都存在 , 但却无法用初等函数来表示 ( 这个结论证明起来是非常难 的 , 刘维尔( Liouville )于 1835 年作出过证明 ) .因此可以说 , 初等函数的原函数不一 定是初等函数 .在下一章将会知道 , 这类非初等函数可采用定积分形式来表示 .最后顺便指出 , 在求不定积分时 , 还 可利 用现成 的积 分表 .在 积分表 中所 有 的积分公式是按被积函数分类编排的 , 人们只要根据被积函数的类型 , 或经过适 当变形 化为 表 中 列 出 的类 型 , 查 阅 公式 即 可 .此外 , 有 些 计 算器 ( 例如 TI - 92 型 ) 和电脑软件 ( 例如 Mathemetica, Maple 等 ) 也 都具有 求不定积 分的实 用功能 . 但对于初学者来说 , 首先应该掌握各种基本的积分方法 . 在附录Ⅲ中列出了一份容量不大的 积分 表 , 它大 体上是 典型 例题和 习题 的 总结 .列出这份积分表的主要目的是为大家学习后继课程提供方便 .习 题1 . 求下列不定积分 :2∫ ∫∫∫ 2x 4+ 2 ∫ 1 + x 2∫ 练 习 题199( 1∫) ( 3∫) ( 5∫)x 3 x - 1d x; ( 2)d x;( 4) 1 + x 3d x( x - 1 ) ( x2+ 1 )2x - 2d x; x 2 - 7 x + 12 d x ;1 + x 4x - 2 d x .(2 x 2+ 2 x + 1) 22 . 求下列不定积分 :( 1∫)( 3∫)d x; ( 2) 5 - 3cos x d x; ( 4)1 + tan xd x ;2 + sin 2 xx 2d x;1 + x - x2( 5∫)d x; ( 6)1 x2 + xx 21 - x d x .1 + x总 练 习 题求下列不定积分 :( 1∫)3 x - 2 x - 1d x; ( 2) x arcsin x d x;4x( 3∫)( 5∫) ( 7∫) ( 9∫)d x;( 4) 1 + xe xd x ; ( 6∫)1 - tan x 1 + tan x d x ; ( 8)d x; ( 10) cos 4 xe sin x sin 2 x d x;d x;x x 2- 1 x 2- x( x - 2 )3 d x ;sin 4 x d x; ( 11)x - 5x3- 3 x 2+ 47d x ;( 12∫)arctan (1 + x ) d x;( 13)∫ x d x ; ( 14∫) ( 15)∫ xd x ; ( 16)tan x d x;1 + tan x + tan2 xarcsin x d x;( 1 - x)1 00∫ x 2( 17)x ln 1 + x 1 - x( 19)∫e x1 - xvn d x ;( 18∫) 2d x ;d x ;sin x cos 7 x( 20) I n =∫d x , 其中 u = a 1 + b 1 x , v = a 2 + b 2 x , 求递推形式解 .; ( 6∫)。