1.31.5共轭元正规子群
群与共轭子群的个数关系_概述及解释说明
群与共轭子群的个数关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨群与共轭子群之间的关系，具体而言是研究它们数量上是否存在某种规律或者模式。
群论作为数学中的一个重要分支，对于研究各种结构和现象有着广泛的应用。
而共轭子群则是群论中一个重要的概念，描述了在一个给定群内部变换时所形成的特殊子群。
1.2 文章结构本文将首先介绍群与共轭子群的定义和性质，然后详细解释二者之间的关系。
接下来，我们将进行证明，展示了不同情况下群与共轭子群个数关系的具体计算方式和结果。
最后，我们将讨论该关系在密码学、物理学以及对数学研究方面的应用和意义。
1.3 目的通过研究群与共轭子群之间的个数关系，我们可以更深入地了解这两个概念在数学中的重要性，并且探索它们在其他领域中的实际应用价值。
同时，通过证明与计算具体例子，我们希望能够揭示出不同情况下群与共轭子群个数的规律，为相关研究提供一定的指导和启示。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，介绍了文章的概述、结构和目的。
通过阅读本部分，读者可以对整篇文章的内容有一个初步的了解，并对后续章节所涉及到的群与共轭子群关系问题有一个大致的预期。
2. 群与共轭子群的关系:2.1 群的定义和性质:群是一个集合，其中包含了一种二元运算，通常表示为乘法或加法。
群必须满足四条性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
2.2 共轭子群的定义和性质:在一个群中，对于给定的一个元素g，在该群中与g相似的所有元素所组成的集合称为共轭类。
而与给定子群H具有相同共轭类的所有子群所组成的集合称为共轭子群。
共轭类和共轭子群具有以下性质：- 共轭类中的每个元素都在同一个共轭类中- 相等的子群一定是共轭子群- 如果两个子群是共轭子群，则它们具有相同阶数2.3 群与共轭子群的关系解释:在一个给定的群中，不同的元素拥有不同的特性和属性。
当我们考虑这些元素及其乘法关系时，我们可以观察到一些相似性质，例如它们之间所保持的结构、对称性等。
正规子群和群基本同态定理
设f是G到G’的同态映射。则G’≅G/ker f, 因此， G/ker f的阶为n，ker f是G的子群, 根据拉格郎日定 理，n能整除m。
定义f: GG’, 对任意akG, f(ak)=bk。其中a,b分 别是G和G’的生成元素。
等价类：1={…-3,0,3,6,9,…} 2={…-2,1,4,7,10,…} 3={…-1,2,5,8,11,…}
“运算按照等价类保持。”
aRb, cRd ac R bd
同余关系
正规子群的陪集关系是同余关系
设N是群G的正规子群，可以证明： 若ap-1N, bq-1N，则(ab)(pq)-1N
设f是群G到G’的满同态。 证明：H是G的正规子群 当且仅当 f(H)是 G’的正规子群。 这里：f(H) = {x’ | x’G’, 且存在xH, 使f(x)=x’}
设H，K是群G的两个正规子群，则HK，HK均是G的正规子群， 且：HK/K ≅ H/HK 这里：HK = {ab | aA, bB}
若aj=ak，则j,k对m同余，也对n同余，所以：bj=bk， 因此f是函数。
f(aj ak) = f(aj+k) = bj+k = bj * bk = f(aj)*f(ak)
同态基本定理的应用
例：G是群，H和K都是G的正规子群，且HK， 证明：G/K ≅ (G/H)/(K/H)
比较同态基本定理， G/ker f ≅ G’ 定义f: G/HG/K, 对任意HaG/H, f(Ha)=Ka
右陪集关系
设H是群G的子群。定义G上的关系R如下：
对任意a,bG, aRb iff. ab-1H 实际上： aRb 即：a与b在同一个右陪集中。
13-15共轭元正规子群
1. 共轭元 2. 若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足 B = XAX -1 （1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
互为共轭的.
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
定理二 两个类的类乘有
C c iC j ijkC k
k
（ 1 . 3 -6 ）
式中cijk是个整数，说明类Ck在类乘 C iCj 中出现的次 数． 其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得
XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1
对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
例：D3群中，六个元共分三类，可表为
C1 = E；C2 = {A, B, C}; C3 ={D，F}
于是， C1C2 = C2; C1C3 = C3; C2C3 =2C2; C2C2 =3C1 +3C3; C3C3 =2C1 + C3;
D3 E A B C D F E E A B C D F A A E F D C B B B D E F A C C C F D E B A D D B C A F E F F C A B E D
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
(完整word版)正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。
首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。
■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。
由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。
特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。
■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。
有限群共轭类的计算
有限群共轭类的计算有限群表⽰论的⼀些基本定理：1、有限群的不同的（⾮等价的）不可约表⽰的个数是有限的，并且等于这个群的共轭元素类的个数。
1a、只有有限多不可约表⽰，它的数⽬正好等于有限群G的共轭类的数⽬。
1b、G的不可约表⽰的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。
G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；这是⼀个等价关系，这个关系将G划分成类（也叫做共轭类）。
——群G的共轭类个数k是G的不变量，G是Abel群当且仅当k=|G|——群G的共轭类个数与群G的同阶元个数分布是G的两个不变量，同阶元之间不⼀定共轭2、不可约表⽰的阶数必然是群的因数，⽽且正则表⽰等于所有不可约表⽰的和，其中每⼀个不可约表⽰重复出现的次数恰好等于其阶数。
3、有限群的阶数n与不可约表⽰阶数n_1,n_2,…n_k之间的下⾯有趣的关系式：n=∑[i=1->k](n_i)^2。
n_1=1。
3a、有限群不等价不可约表⽰维数平⽅和等于群的阶数∑[j](m_j)^2=g4、每个有限群G都有⼀个正则表⽰，维数是有限群G的阶|G|。
5、线性⽆关定理：G在K⾥的不同特征标σ_1,…, σ_n总是线性⽆关的。
6、下列性质是等价的：a、G是⼀个Abel群。
b、G的⼀切不可约表⽰都是⼀级的。
6a、有限可换群每⼀个元素组成⼀个共轭元素类。
因此，k=n，n_1=n_2=…=n_k=1，即这样群的所有不可约表⽰都是⼀阶的，⽽且不可约表⽰的个数等于群的阶数。
上⾯定理所⽤到的⼀些基本定义：定义1：若⾏列式不为零的m*m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的⼀个m维线性表⽰，简称表⽰（representation）。
定义1a：群G的⼀个n阶表⽰是G到n阶⾮退化矩阵群⾥的⼀个同态映像。
⼀个群G在⼀个域K上的向量空间V上的线性表⽰是G到V的⾃同构群GL(V)中的⼀个同态ρ:G->GL(V)。
有限群的共轭类长及广义正规子群的开题报告
有限群的共轭类长及广义正规子群的开题报告
有限群的共轭类长及广义正规子群是群论中的重要问题。
本开题报告将从以下两个方面介绍这个问题的研究现状和研究方法：
一、共轭类长
1.1 定义
群G的共轭类是指G中所有相似的元素所组成的集合。
共轭类长度是指共轭类
中元素的个数。
例如，对于二面角群D2n，它有n个共轭类，其中n-2个共轭类大小
为2，2个共轭类大小为n/2，1个共轭类大小为n。
1.2 研究现状
共轭类长在群论中有着广泛的应用。
已有许多关于共轭类长的研究。
其中，有些是计算共轭类长的算法，有些是研究群的结构和性质与共轭类长的关系。
目前，已有
不少关于共轭类长的重要结果，如Sylow定理、Jordan-Hölder定理等。
1.3 研究方法
求解群的共轭类长是一个计算问题。
目前，已有一些求解算法，如Burnside引理、Hammond公式等。
此外，还可以通过研究群的结构和性质，推导出共轭类长的
表达式。
二、广义正规子群
2.1 定义
广义正规子群是指能被某个正规子群控制的子群。
特别地，如果G的广义正规子群只有自身和平凡子群，则称G为单群。
2.2 研究现状
广义正规子群的研究是群论中的一个重要问题。
已有一些关于广义正规子群的研究，如广义正规子群的结构和群的性质与广义正规子群的关系等。
2.3 研究方法
研究广义正规子群的方法可以有多种，如研究广义正规子群的结构和性质、利用广义正规子群的性质推导出一些定理等。
广义正规子群的研究还可以应用到其他领域，如环论、代数表示等。
1.31.5共轭元正规子群
商群 1 ．定义 群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的 群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S. 有
( 2 ) 满足结合律．根据式( 1.4-8 )
(SAm SAn) SAp =S (AmAnAp)= SAm(SAnSAp) ( 1.4-9 )
( 3 ) 单位元就是正规子群 S, S = SA1 =SE. SESAm = S(EAm) ＝ SAm
对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类.
D3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B B F E DC A C CDF E AB D DC AB F E F F BC AED
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整 数成立，即 hC 是 g 的整数因子．
证明：分三步来证明这个定理．
第一步：取群 G 中某一个确定的元 X∈G，取
正规子群,商群与同态基本定理
（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群）GH G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈∀≤,,1·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。
·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） HaHa HaHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法Eg1.)()(R GL R SL n nEg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==Eg3.44S AEg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。
二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G HG bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im（2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /。
判定正规子群的若干条件及方法
判定正规子群的若干条件及方法判定正规子群的条件和方法有以下几种：
1. 左陪集与右陪集可以彼此重合。
如果对于群G中任意一个元
素g，左陪集gH与右陪集Hg相等，则H是G的一个正规子群。
2. 子群是核的像的逆像。
如果H是群G的一个正规子群，那么G 关于Hom(G, N)的核就是H，其中Hom(G, N)是从G到N的群同态集，
而N是任意一个群。
3. 由H和G/H诱导的同态的核相等。
如果H是群G的一个正规
子群，则群G/H的正规子群是由H诱导的同态群的核。
反之亦然。
判定正规子群的方法：
1. 利用群运算律来验证。
如果H在群G中是正规子群，则对于H 中任意元素h和任意元素g∈G，会有ghg⁻¹∈H。
可以验证这个式子是
否成立，从而证明H是否是G的正规子群。
2. 利用H的内禀运算来验证。
如果对于所有的x∈H和g∈G，
gxg⁻¹也在H中，那么H是G的一个正规子群。
3. 利用同态映射的性质来验证。
如果存在一个群同态f: G → K ，其中K是另一个群，并且H是K的正规子群，同时f(H) = H'，那么H
是G的一个正规子群。
正规子群与商群
G/H={a | a∈G }。
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定理: 设H G，则G/H对子集乘法构成群，称为G关 于H的商群。
证明: 不难证明子集乘法:
aH，bH∈G/H， aH·bH ={ah1bh2|h1，h2∈H}
是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。 且G/H中有单位元H:
aH ∈G/H，aH·H=H ·aH=aH。
⑴ 商群G/H的单位元是eH(=H )；
⑵ aH在G/H中的逆元是a-1H.
推论2 设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是 交换群。
推2论0213/8/有6 限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。 End9
又任意aH∈G/H，有逆元a-1H。 故G/H关于子集乘法构成群。
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例: 在(Z，+)中， Hm=<m>是正规子群， Z/Hm=Z/(m)={ 0,1,2,,m1 }， 即整数模m的同余类群。
一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。
根据正规子群和商群的定义及性质不难得到： 推论1 设H G，则
§2.2 正规子群与商群
( 2.2 Normal Subgroup and Quotient Group)
前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与 右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性 的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群 的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。
2.2.1 正规子群(不变子群)(Normal Subgroup)
(2) a ∈G， h ∈H，有aha-1 ∈H (3) a ∈G，有aHa-1 H
(4) a ∈G，有aHa-1= H
2021/8/6
正规子群的判定条件
正规子群的判定条件
在群论中，一个子集要成为一个正规子群，需要满足以下条件：
1. 封闭性：该子集对于群的乘法运算封闭，即对于任意的元素a和b属于该子集，它们的乘积ab也属于该子集。
2. 单位元：该子集包含原群的单位元素，即恒等元素e。
3. 逆元：对于该子集中的任意元素a，它的逆元素a⁻¹也属于该子集。
4. 对称性：对于该子集中的任意元素a和原群中的任意元素g，如果ag和ga都属于该子集，则称该子集是正规子群。
具体来说，如果一个子集N满足对于任意的元素a属于N和任意的元素g属于原群G，都有ag和ga都属于N，那么N就是G的正规子群。
正规子群的重要性在于它们可以作为群的商空间，用于定义群的商群和因子群等概念，进一步研究群的结构和性质。
1.4群的各种子集
（2）陪集与子群没有公共元素 证明：假设左陪集与子群有公共元素
1 R j S S R j S S H
（S ）
1
与前提 R j H 矛盾
注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群 （3）陪集中没有重复元素 证明：若有重复元素
R j S R j S S S H
2
二、陪集和不变子群 1. 陪集（旁集）
定义：设群G的阶为g，有子群H的阶为h
H
G
Rj
H={S1,S2,...,Sh}, S1=E
任取群G中不属于子群H的元素Rj， 把它左乘或右乘到子群H上，得到群G的两个子集 RjH={Rj,RjS2,...,RjSh} HRj={Rj,S2Rj,...,ShRj}, （R j G, R j H） 则RjH称为子群H的左陪集 HRj 右陪集
9
例：C4v群
子群 H1={E,C4,C42,C43} d=g/h=8/4=2 不变子群 左（右）陪集：{mx,my,σu,σv}
S R
E
C4 C42 C43
E
E
C4 C42 C43
C4
C4
C42 C43 E
C42
C42
C43 E C4
C43
C43
E C4 C42
mx
mx
σv my σu
my
my
σu mx σv
H G R1H
6
R2H
（5）群G中两元素R和T属于同一个左陪集的充要条件是
R 1T H
群G中两元素R和T属于同一个右陪集的充要条件是
TR 1 H
证明：充分性（左 到 右）
R 1T H
R 1TH H
第二章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规子群与商群
第⼆章2.群中的等价关系--陪集，共轭，正规⼦群与商群群作为代数结构⾸先是⼀个集合，那么元素间可能有各种等价关系，这些等价关系给出了群的划分，也使群⾃⾝结构的特异性突出。
⼀、陪集 定义 设H是G的⼀个⼦群，a\in G，作集合aH=\{ax|x\in H\}，称aH是关于⼦群H的⼀个左陪集。
类似地，可定义右陪集Ha=\{xa|x\in H\}. 对于陪集，我们有如下性质: (i) aH中元素个数与H⼀样。
（重新排列定理） (ii) H本⾝也是H的⼀个陪集(eH, He). (iii) a在陪集aH中，称a为陪集aH的⼀个代表。
(iV) 设b\in aH，则有aH=bH. 即aH中任⼀元素，均可作aH的⼀个代表。
(V) 由此可以定义等价关系a,b\in G，若a^{-1}b\in H, 则a\sim b. 此等价关系给出G的⼀个划分 G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H. 下⾯重点证明(iV)和(V)。
证明: (iV) 有b=ah,\, h\in H。
则对\forall h_i\in H，有ah_i=b(h^{-1}h_i). 即aH\subset bH. 同理，bh_i=a(hh_i)\in aH，即bH\subset aH. 故aH=bH. (V) ⾃反: a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a. 对称: a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a. 传递: a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\inH\quad\Rightarrow a\sim c. 定义 群G中⼦群H的相异陪集个数称为H在G中的指数，记为(G:H). 定理2.3(Lagrange定理) n阶群G的⼦群H的阶m是n的⼀个因数。
子群与正规子群的判定及求法
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
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对于矩阵群，两个元共轭就是两个矩阵相似.
2. 类 • 定义：群中互为共轭的元的完全集合就称作 类．
即，群G中的任何一个类 C 都满足
XCX 1 C X G
（1.3-5）
例如，包含群元 A 的类，就由群中的每一个元 X 与 A 作乘积XAX-1形成，A 本身就是这个类的一个元， 因为 A = EAE-1.
S = { E= S1, S2，…，Ss} ， X是群G中某个确定的元，则集合
（ 1. 4 -1）
{ XS1X-1, XS2X-1 ，…， XSsX-1}= XSX-1 （1. 4-2）
构成群，称为群G的共轭子群 .
证明： （1）若XSmX-1及XSnX-1是集合XSX-1中的任意两元， 那么，由于Sm及Sn是群S中的元，(XSmX-1)(XSnX-1)=X (SmSn) X-1也是XSX-1中的一个元，满足封闭性条件. （2）若XSmX-1 ， XSnX-1及XSpX-1是XSX-1中的三个 元，那么它们之间的乘积满足结合律. （3） 由于S 中有单位元， XSX-1中肯定有单位元. （4） 同样，由于S中每个元都有逆元，所以XSX-1的 每个元都有逆元.
C3V群分成几类？
• 类的简单性质 ( l ) 单位元自成一类． ( 2 ) 群中没有任何一个元是属于两个不同的类的， 即不同的类中没有共同的元． ( 3 ) 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因 为这些类中不包含单位元． ( 4 ) 交换群（阿贝尔群）每元自成一类．因为交换 群中的每一个元都可与其它元对易，因此对一切 X∈G 都有
(1.3-7)
于是
(Si Sj)X(SiSj)-1 = Si ( SjXSj)-1Si-1 = Si XSi-1 =X
(1.3-8)
上式表明， Si Sj ∈ SX . 由于SX是群G的具有封闭性的
子集，故SX是群 G 的子群.
第二步：将群 G 按子群 SX的陪集来分解，得
G = R1SX +R2 SX +…+Ri SX
§1.3 共轭元与类
1. 共轭元
若群 G 中存在一个元 X ，使群中的元A、 B 满足
B = XAX -1
（1.3-1）
那么，群元 B 与群元 A 共轭．
若 B 共轭于A，则A亦共轭于 B ，因为
A =X-1B(X-1)-1 = YBY-1
（1.3-2）
其中Y＝ X-1，是群 G 中的一个元，所以，A 与 B 是
这就是式（ 1.3-11 ) .
( 2 ) 若Rm， Rn满足式（1.3-11 ) ，则Rm， Rn属同 一 个陪集．
以Rm-1左乘式（1.3-11 ）后，再以Rm右乘之，得 X= Rm-1 RnX Rn-1Rm =(Rm-1Rn) X (Rm-1Rn)-1
(1.3-13)
可见Rm-1Rn ∈SX ，所以Rn ∈RmSX
互为共轭的.
共轭具有传递性．若 A 与 B 共轭，B与C共轭，则A与
C共轭.
因为如果存在群元 X 及 Y 满足
B = XAX-1 及 C = YBY-1
（1 . 3 - 3 ）
则
C = YBY-1= Y(XAX-1)Y-1=(YX)A(YX)-1 （1 . 3 - 4 ）
YX 是群中的一个元，所以， A 与 C 共轭．
( 2 ) 满足结合律．根据式( 1.4-8 )
(SAm SAn) SAp =S (AmAnAp)= SAm(SAnSAp) ( 1.4-9 )
( 3 ) 单位元就是正规子群 S, S = SA1 =SE. SESAm = S(EAm) ＝ SAm
D3 群中，E自成 一类，D、F属一类，因为： EDE-1 = D
ADA-1 = BA= F BDB-1 = CB = F CDC-1 =AC= F DDD-1 = FD-1=D FDF-1 = ED=D A、B、C属一类.
D3 E A B C D F E E ABCDF A AEDF BC B B F E DC A C CDF E AB D DC AB F E F F BC AED
(1.3-9)
其中，R1=E，R2，…，Ri是陪集代表元. 作R1XR1-1，
R2XR2-1，…，RiXRi-1 ．
下面将证明，全部与 X共轭的元共有i个，即
hc= i
(1.3-10)
为此只要证明：
( l ) 用属于同一个陪集内的元 Rm及Rn作 X 的共轭 元，必有
RmX Rm-1= RnX Rn-1
XAX-1 = XX-1A = A , A ∈ G
( 5 ) 对于矩阵群，同一类中的各元互为相似 矩阵，因此，同类中各元具有相同的矩阵 迹． ( 6 ) 同类的元素有相同的阶．即：
如群中有一元 A，其阶为a，则Aa = E， 那么与A同类的任意元 XAX -1亦具有相同的 阶a。
证明: (XAX-1) a = (XAX-1)(XAX-1) …(XAX-1) = XAaX-1 = XEX-1 = E
其中类乘是这样定义的：两个类的类乘为 一个集 合，其中的元分别由两个类中的元两两相乘而成．如 集合中有重复出现的元，则出现几次就取几次．
证明：由式XCX-1 = C 得 XCiX-1 = Ci， XCjX-1 = Cj
所以， Ci Cj = XCiX-1 XCjX-1 = XCiCjX-1 对所有 X ∈ G 成立．根据刚刚证明过的逆定理，集合 Ci Cj必由一些完整的类构成，因而可写成式（ 1 . 3 – 6 ）的形式.
因此有
XC1X-1 = C1 及 XC2X-1 = C2
XSX-1 = XC1X-1 + XC2X-1 = C1 + C2 =S 所以，S 是 G 的正规子群．
( 2 ) 对于一切A∈ G ，正规子群 S 对于A 的左倍集 AS
及右陪集 SA 是一样的，即有
AS = SA
(1.4-5 )
证明：只要证明 SA 中的一个元也是 AS 中的一个元
(1.3-11)
因为，若Rm， Rn同属于左陪集 RmSX ，必有一Sg存
在，使
于是
Rn= Rm Sg ，其中Sg ∈SX
RnX Rn-1= (Rm Sg) X( Rm Sg) -1 = Rm (Sg X Sg -1 ) Rm-1 (1.3-12)
根据式(1.3-7) , Sg X Sg-1 = X ，所以，上式变成 RnX Rn-1 = RmX Rm-1
y
3
B
A
x 2
1
C
也可以这样来考虑： A、B、C 为转角相同而转轴不 同的操作，但 C 轴可通过操作 D 转成 A轴，B轴可通 过操作 F 转成 A轴，故 A、B 、C 同属一类．同样， D 、F 同属一类，因为 D 、F 转角相同，且用 A、 B、C 之中任一操作都可使 D、F 两操作的转轴转成 一致．
证明：设正规子群 S 的两个陪集是 SA 及 SB， 其中A、B是群G 的两个元，二者可以相同．这两个 陪集的乘积：
SASB= SASA-1AB= S(ASA-1)AB= SSAB= SAB （1. 4-6）
群元 A 、B∈G，如果 A 、B 不在子群 S中，那么， 乘积 SAB就是一个陪集．如果(AB)∈S ，那么，乘 积就是正规子群本身．
商群 1 ．定义 群 G 的阶是 g ，其正规子群S的阶是s．于是存在 i = g／s个陪集（包括正规子群）：SA1（= S）， SA2 ，…， SAi. 现在，把正规子群及陪集这i个集合 作为“数学对象”，以集合的乘法作为群乘而构成
的 群，定义为群 G 对其正规子群 S 的商群，记作 G/S. 有
• 有关类的定理 定理一
若η为由群中若干完整的类构成的集合，即
C1 C2 Ck
k
X是群G中的任意元，则 XηX-1 =η成立.
证明：已知XCkX-1=Ck ; 所以
X X 1 X (C1 C2 ) X 1 XC1X 1 XC2 X 1 ,X G 成 立的集合η，必由若干完整的类构成．
(1.3-14)
上式说明， Rm， Rn属同一个左陪集RmSX.
第三步：根据式（1.3-10）及式（1.2-3 ) g=si ，得
i=hC=g/s 或 g/hC=s 其中，s是一个整数，是子群 SX的阶．
(1.3-15)
§1.4 正规子群与商群
正规子群
1. 共轭子群 若 S 是群 G 的一个s阶子群，即
G / S =｛ S , SA2 ， … ， SAi} ( 1.4-7 )
证明：
（1）满足封闭性．由群乘定义及式（ l . 4-6 ) ，应有
SAm∙SAn = S(AmAn )
( 1.4-8 )
可见商群任两个元的乘积仍为 S 的一个陪集（在此不
必区分左陪集与右陪集，因为对于正规子群，左陪集
与右陪集是相同的） .
即可．
当 S 是正规子群时，设B是SA中的元，那么，必
存在一个元Sm∈S，使B=SmA ，于是 A-1B＝A-1SmA ， 这是 A-1SA中的一个元．所以也是S中的一个元，即
A-1B ∈S，令A-1B＝Sk，则A(A-1B) ＝B=ASk是AS中的 一个元，得证．
这个性质表明，S 作为一个整体，可以与 群 G 中的任意元对易. ( 3 ) 正规子群的一个陪集与另一个陪集的乘积（包 括陪集自身相乘）必为一个陪集或者正规子群.
证明：令Sm是S 中的任一元，当 S是 G 的正规子 群时，对于每一个X∈G ，群元XSmX-1必然也是 S 的 一个元，所以 S 包含了Sm的整个类. 反之，若子群包 含了群 G 中的一个或几个完整类，例如：
S = C1 + C2 根据式（1.3-5 ) ，对一切 X∈ G 存在
（1. 4-4）
定理三
有限群G的阶为 g ，类 C 的元数为hC，则有 g / hC = 整 数成立，即 hC 是 g 的整数因子．