逻辑代数的基本定律.ppt

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第2章逻辑代数基础

2、吸收法（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
Y1 A B A BCD( E F ) A B
运用摩根定律
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) ( B BCD) A B
L=A+B Y A B
A B
≥1
Y
或非门的逻辑符号
3、异或运算：逻辑表达式为：
Y A B AB A B
=1
Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 真值表
Y 0 1 1 0
A B
异或门的逻辑符号
4、与或非运算：逻辑表达式为：
L=A+B Y AB CD
A B C D & ≥1 & 与或非门的等效电路 Y
2.4.2 逻辑函数的公式化简法
2.4.3 代数化简法举例
退出
2.4.1 化简的意义与标准
一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。二、逻辑函数式的几种常见形式和变换。一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。
（1）与或表达式：Y A B AC （2）或与表达式：Y ( A B )( A C ) （3）与非-与非表达式：Y A B AC （4）或非-或非表达式：Y A B A C （5）与或非表达式：Y A B AC

逻辑代数的基本定律

逻辑代数的基本定律是指逻辑代数中的基础规则和定理，这些定理是逻辑代数中最基本的概念和方法。逻辑代数是用数学方法来处理逻辑问题的一种方法，它将逻辑问题转化为数学问题，从而可以用数学方法来解决。逻辑代数的基本定律主要包括以下几个方面：

1. 同一律

同一律是指一个逻辑表达式和它自身相与（或相或）的结果不变。即A ∧ T = A，A ∨ F = A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式与真值或假值相与（或相或）时，结果不变。例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ T，它与真值T 相与的结果仍然是A。同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ F，它与假值 F 相或的结果仍然是 A。

2. 恒等律

恒等律是指一个逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）的结果相等。即A ∧ A = A，A ∨ A = A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式与一个恒等式相与（或相或）时，结果相等。例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ A，它与恒等式 A 相与的结果仍然是A。同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ A，它与恒等式 A 相或的结果仍然是 A。

3. 交换律

交换律是指一个逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）的顺序可以交换。即A ∧ B = B ∧ A，A ∨ B = B ∨ A。

这个定律的意思是，当逻辑表达式中的两个变量相与（或相或）时，它们的顺序可以交换。例如，如果有一个逻辑表达式A ∧ B，它与表达式B ∧ A 相与的结果是相等的。同样地，如果有一个逻辑表达式A ∨ B，它与表达式B ∨ A 相或的结果是相等的。

4. 结合律

逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)

9
逻辑代数的运算顺序和书写方式有如下规定：
1、运算顺序和普通代数一样，应先算括号里内容，然后算乘法，最后算加法。 2、“•”一般可省略，逻辑式求反时可以不再加括号。
如：（A•B+C）+（D•E）•F ==> AB+C+DEF
3、先或后与的运算式，或运算要加括号。
如：（A+B) •(C+D)不能写成A+B •C+D。
1
例2.3.1 用真值表证明摩根定律A•B=A+B，A+B=A •B
证明：列出真值表
A 0 0 1 1
A 0 0 1 1
B A B A • B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
BA + B A + B 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0
A 1 1 0 0
A 1 1 0 0
3、最简或与表达式
括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
Y A B A C
①求出反函数的最简与或表达式
②利用反演规则写出函数的最简或与表达式
Y ( A B )( A C )
15
Y A B A C ( A B )( A C ) A B AC B C A B AC
非运算： 1 0

数字逻辑第2章-逻辑代数

果将表达式中的所有“ · ”换成“＋”， “＋”换成“ · ”，“ 0”换成“ 1”，“ 1” 换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y‘，Y’称为函Y的对偶函数。
例如：
Y AB CDE
Y A B C D E
Y AB C
Y ( A B )(C D E)
EN=1时，Y=A EN=0时，Y=高阻态 EN=1时，Y=A EN=0时，Y=高阻态 C=1，TG通 C=0，TG断
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7486 7403（OC） 74126 74125
传输门
2.1.2
逻辑函数及逻辑函数间的相等
1、逻辑函数的定义: 在数字系统逻辑电路中,如果某一输出变量与一组输入变量存在一定对应关系,即输入变量取任意一组确定的值,输出变量的值也就唯一地被确定,
(5)(A B)(A B)(A B)(A B) 0
(6)AB BC C A AB BC CA
(1)AB AC BCD AB AC BC BCD
AB AC BC
AB AC
(2)AB AC BC AB AC BC BC
Y A B C D E
注意：求对偶函数时,运算顺序与原函数相同。
Y ( A B)C
对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。

数字电子技术基础2第二版.ppt

繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。
第2章逻辑代数基础
逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、 y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0 和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的高、低等。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，且式中的非号也保持不变。
观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，而且都是互为对偶的对偶式。
例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律也成立。
第2章逻辑代数基础
图 2 -1 与逻辑实例
第2章逻辑代数基础
表2.1.1 与逻辑真值表
AB
F
00
0
01
0
10
0
11
1
与逻辑可以用逻辑表达式表示为 F=A·B
第2章逻辑代数基础
在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号 “·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。在有些文献中，也采用∧、 ∩及&等符号来表示逻辑乘。

逻辑代数基本运算规则和基本定律

逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路地数学工具.虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量地取值只有“”，“”两种，分别称为逻辑“”和逻辑“”.这里“”和“”并不表示数量地大小，而是表示两种相互对立地逻辑状态.

逻辑代数所表示地是逻辑关系，而不是数量关系.这是它与普通代数地本质区别.

注意：在逻辑代数中，只有加、乘、非运算，没有减、除、移项运算.

、逻辑代数基本运算规则

；；；

；；；；.

、基本定律

交换律

结合律

分配律

―――――注意：普通代数不成立

反演律即摩根定理

可以推广到多变量可以推广到多变量

吸收律

逻辑代数基础(课件)

00 111011.10101 000 3 BA 8
16
4. 十六、八进制转换成二进制
• 方法：将十六、八进制数的每一位用等值的4、3位二进制数代替即可。
例1.2.5 将下列十进制数转换成非十进制数：
(89.875)10 =( 101100)21.111
=(
)8131.7
=(
)1659.E
17
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
• 互为反演的两式中，逻辑变量所规定的含义相同，反演关系是对同一种逻辑关系的两种不同形式的描述； • 互为对偶的两式中，逻辑变量所规定的含义相反。对同一客观实际，当对所有的逻辑变量内容的含义都作相反的表示时，得到两个不同的逻辑关系式，且这两个关系式互为对偶。

数字逻辑课件——逻辑代数

时，灯Y才亮（Y = 1），因此输出的逻辑函数式为
Y AB AB
2929
(3) 逻辑图
把逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来后所得到的图。
为了得到楼梯电灯开关控制电路的逻辑图，只要用逻辑运算的图形符号替换逻辑函数式中的运算符号，就可得到逻辑图。
3030
(4) 各种表示方法之间的互相转换
A ( A A)B
= A + 1·B =A+B 定理2（右）的证明：
A( A B) AA AB
= 0 + AB = AB
（由定理1） (由分配律) (由互补律) (由0－1律)
(由分配律) (由互补律) (由0－1律)
1717
定理3（左）的证明：
AB AC BC AB AC ( A A)BC AB AC ABC ABC AB ABC AC ABC
可以证明 AB AB AB A B AB
源自文库但是
AB AB A B
也就是说，不能从等式两边同时消去AB，以得到一个新的等式。
这是因为逻辑代数中只有与、或、非三种运算，而不存在什么“减” 运算。
1414
2. 逻辑代数的基本定理
(1) 基本定理
除基本定律外，逻辑代数中还有一些定理，其中很常用的有以下3对（6条）：
偶式也必相等。
1010

ch02-1 逻辑代数的基本定理和恒等式

B( A A 1) [ AB AC A( B C)] B 1 B ( A 1 A, A 1 A)
2.1.2 逻辑代数的基本规则
1. 代入规则：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一
个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。
列出等式、右边的函数值的真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
0+1=1源自文库
1+0=1 1+0=1
例：试化简下列逻辑函数L= (A + B)(A + B)。
L AA AB BA BB(分配律)
0 AB BA B ( A A 0, A A A) AB BA B ( A 0 A)
L (A B) (C D ) 1 ( A B)(C D )
3. 对偶规则：
对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）
换成与（•）；并将1换成 0，0换成 1；那么，所得的新的函数式
就是L的对偶式，记作 L 。
例: 逻辑函数 L ( A B )( A C ) 的对偶式为
2 .逻辑代数与硬件描述语言基础
2.1 逻辑代数的基本定理和恒等式 2.2 逻辑函数表达式的形式
2.3 逻辑函数的代数化简法
2.4 逻辑函数的卡诺图化简法 2.5 硬件描述语言Verilog HDL基础

4-2 逻辑代数的基本定律

第四讲逻辑代数的基本概念和运算规则（下）
※ 逻辑代数的基本定理 ※
《数字电子技术基础》
第四讲逻辑代数的基本概念和运算规则（下）
█ 代入定理
所谓代入定理，是指在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A 的位置，则等式仍然成立。例：试用代入定理证明De.Morgan定理也适用于多变量的情况。即：
《数字电子技术基础》
第四讲逻辑代数的基本概念和运算规则（下）
█ 反演定理
所谓反演定理，是指对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是
。
Y
Y 的表达式如下：
例2：已知 Y = A(B + C) + CD ，求 Y 。解：依据反演定理的规则可得
A⋅ A = A
A⋅ A = 0 A⋅ B = B ⋅ A A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C A ⋅ ( B + C ) = AB + AC
A= A A⋅ B = A + B AB + AB = A A + AB = A
A + AB = A + B AB + AC + BC = AB + AC

1.3.1逻辑代数基本定律和规则

谢谢观看！
A A
定律2
A+1=1 A+0=A A+A=A
A A 1
A+B=B+A A+(B+C )=(A+B )+C A+(B·C )=(A+B )·(A+C )
A+AB=A
A B AB
定律说明
0-1
律： AA
0 A 1 A
A 1 1 A 0 0
互补律：A A 1 A A 0
重叠律：A A A A A A
(B B
C) C
A (A
B B)
A (A
C
C)
反演律：A B A B A B A B
摩根定律
A B AB BA 00 0 0 01 0 0 10 0 0 11 1 1
二
01
在任何一个逻辑等式中，如果以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的任何一个逻辑变量，则等式依然成立。这个规则称为代入规则。
03
如果将逻辑函数表达式Y中的“·”变为“＋”，“＋”变为“·”；“0”变为“1”，“1”变为“0”；原变量变为反变量，反变量变为原变量，那么新得到的逻辑函数表达式就是函数Y的反函数，这一规则称为反演规则。利用反演规则可以方便地求得一个函数的反函数。
【例】已知函数Y AC BD Y,求。

逻辑代数的公式与基本定理

逻辑代数是一门研究命题和命题逻辑关系的数学分支。它通过符号表示和操作来研究命题的逻辑结构。在逻辑代数中，有一些重要的公式和基本定理，它们对于理解和应用逻辑代数具有重要的意义。

一、公式

1. 吸收律（Absorption Law）：

a∨(a∧b)=a

a∧(a∨b)=a

这个定律表明，当两个命题中一个包含另一个时，可以通过去除其中一个命题来简化表达式。

2. 结合律（Associative Law）：

(a∨b)∨c=a∨(b∨c)

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

这个定律表明，当有多个命题连接在一起时，可以改变它们的组合方式而不改变逻辑等价关系。

3. 分配律（Distributive Law）：

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)

这个定律表明，当一个命题与两个命题的逻辑运算混合时，可以通过改变运算的顺序来简化表达式。

4. 归纳法则（Inductive Law）：

a∨¬a=1

a∧¬a=0

这个定律表明，任何命题与其否定的逻辑运算结果为真或假。

二、基本定理

1. 双重否定定理（Double Negation Theorem）：

¬(¬a)=a

这个定理表明，一个命题的否定再次否定后与原命题等价。

2. 德·摩根定理（De Morgan's Theorem）：

¬(a∨b)=¬a∧¬b

¬(a∧b)=¬a∨¬b

这个定理表明，一个命题的合取或析取的否定可以分别表示为各个命题的否定的合取或析取。

3.等幂律（Law of Identity）：

a∧1=a

a∨0=a

逻辑代数基本公式与化简数字系演示文稿

反演律
第6页，共27页。
逻辑代数常用公式
序号 19 20 21 22 23 24
公式 A+A• B=A A+A • B=A+B A• B+A • B=A A•（A+B）= A AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC A • AB=A • B；A •AB=A
规律吸收律吸收律
逻辑代数基本公式与化简数字系演示文稿
第1页，共27页。
逻辑代数基本公式与化简数字系ppt课件
第2页，共27页。
回顾：
3、最小项的概念
最小项和的形式——积之和（“与—或”表达式）最小项：设 m 为包含 n 个因子的乘积项，且这 n 个因子以原变量形式或者反变量形式在m中出现且只出现一次，称 m 为 n 变量的一个最小项。n变量共有2n个最小项。
非运算规则: 1 0 0 1
AA
第9页，共27页。
三个基本定理（P.27）
1. 代入定理
在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 2. 反演定理
在一个逻辑式Y中,若将其中所有的“+”变成“·”，“·”变成“+”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反逻辑式，记作：Y 。