偏微分方程数值解概论
第6章_偏微分方程数值解法
u ( x, 0) = sin( x) ， u (0, t ) = 0, u (π , t ) = 0
利用线上法数值求解 u ( x, t ) 随时间的演化关系 解：取 Δx = π /15 ，计算程序：demo_MOL.m，和结果见右图。
对于 a > 0 ，波从 k − 1 点过来， k − 1 点状态已变化， k + 1 点状态还未变化。差分只能 uk − uk −1 。同样意
n n
义可分析 a < 0 情况。见图 6.1.1。迎风格式的精度为 O(Δt , Δx) ，稳定性条件为 Δt < Δx / | a | 。
% Upwind_Method L = 15;dx = 0.1;dt = 0.05;a = -1.; x =[-L+dx:dx:0]';n=length(x); %Initial value u1=zeros(1,n-20);u2=ones(1,10);u3 = zeros(1,10); u = [u1 u2 u3]';r = a*dt/dx; u0 = u; plot(x,u','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]);pause(1); for t=dt:dt:10. u(1:n-1) = (1+r)*u(1:n-1)-r*u(2:n); % u(2:n-1)=0.5*((1.-r)*u(3:n)… % +(1.+r)*u(1:n-2)); % Lax scheme hold off;plot(x,u,'LineWidth',2); axis([-15 0 -1 2]);pause(0.05) end hold on; plot(x,u0','r','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]); xlabel('position');ylabel('u(x,t)'); legend('传播的波','初始方波'); title('Upwind')
偏微分方程数值解
u
(
x
,
0
)
(
x ),
u (0, t )
g 1 (t ),
t 0, 0 x l
u (x)
t t0 u (l,t) g 2 (t)
0 xl 0tT
二、偏微分方程的差分方法 根本思想：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变
化区域用有限离散点〔网格点〕集代替；将问题中出现的连续 变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解 问题化成只含有限个未知数的代数方程组〔称为差分格式〕。 如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方 程定解问题的解，那么差分格式的解就作为原问题的近似解。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问 题： 〔i〕选取网格； 〔ii〕对微分方程及定解条件〔内点与边界点〕选择差分近似， 列出差分格式； 〔iii〕差分格式解的存在唯一性，求解差分格式； 〔iv〕讨论差分格式对于微分方程解的收敛性及误差估计。
3、求 u M使得 A(u, v)
F (v)
0,
v
C
1 0
{v(x,
y) C1(), v
1
0}
变分近似方法 1、Ritz方法 2、Galerk in方法
Matlab解法 Matlab中的偏微分方程（PDE）工具箱是用有限元法寻求典型偏微分方程 的数值近似解，该工具箱求解偏微分方程具体步骤与用有限元方法求解偏 微分方程的过程是一致的，包括几个步骤，即几何描述、边界条件描述、 偏微分方程类型选择、有限元划分计算网格、初始化条件输入，最后给出 偏微分方程的数值解（包括画图）。
uxx u yy f (x, y) u( x, y) ( x, y)，在 1上
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解偏微分方程数值解起源时间微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二偏微分方程阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科；和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以偏微分方程介绍。
弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。
然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。
演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。
当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来；用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。
偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。
偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ的外法线方向。
当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件问题（7）中的边界条件称为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为其中为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。
第十章偏微分方程的数值解.doc
第十章偏微分方程的数值解第十章偏微分方程的数值解求解偏微分方程问题非常困难。
除了少数特殊情况，在大多数情况下很难找到准确的解决方案。
因此，近似解更重要。
本章只介绍求解各种典型偏微分方程定解问题的差分方法。
(1)差分方法的基本概念 1.1几种偏微分方程固定解的椭圆方程；最典型和最简单的形式是泊松方程。
特别是，在那个时候，它是拉普拉斯方程，也称为调和方程。
泊松方程的第一个边值问题是一个有边界的有界区域，一条分段光滑曲线，称为固定解区域，以及已知的连续函数。
第二类和第三类边界条件可以统一表示为边界的外法线方向。
当时，这是第二种边界条件，当时，这是第三种边界条件。
抛物线方程:在最简单的形式中，一维热传导方程可以有两种不同类型的定解:初值问题初边值问题在初边值问题中，是一个已知的函数，满足连接条件，边界条件称为第一类边界条件。
第二个和第三个边界条件在其中。
当时，它是第二类边界条件，否则它被称为第三类边界条件。
双曲线方程:的最简单形式是一阶双曲线方程。
物理学中常见的一维振动和波动问题可以用二阶波动方程来描述，二阶波动方程是双曲方程的一种典型形式。
方程的初值问题是一个边界条件，一般有三种类型。
最简单的初边值问题是1.2差分法。
差分法的基本概念也称为有限差分法或网格法。
它是求解偏微分方程定解问题数值解最广泛使用的方法之一。
其基本思想是:首先，对求解区域进行网格划分，用一组有限离散点(网格点)代替自变量的连续变化区域。
问题中出现的连续变量的函数被定义在网格点上的离散变量的函数所代替。
通过用网格点上函数的差商代替导数，将具有连续变量的偏微分方程的固定解问题转化为只有有限个未知数的代数方程(称为差分格式)。
当网格为无穷大时，如果差分格式有解，并且其解收敛于原微分方程的解，则差分格式的解作为原问题的近似解(数值解)。
因此，在用差分法求偏微分方程的定解时，通常需要解决以下问题:(1)选择网格；(2)选择微分方程和固定解条件的差分逼近，列出差分格式；(3)求解差分方案；(4)讨论微分方程差分格式解的收敛性和误差估计。
2_偏微分方程数值解法引论
7.重调和方程
u 0, 其中u u( x ). n 2，
2 2 4 4 4 2 2 （ 2 2 ） 4 2 2 2 4 . x y x x y y
2
8. Navier Stokes方程
3 ui ui 1 p 3 t uk x x ui , i 1, 2, （动量守恒） k 1 k i 3 uk （质量守恒） 0 k 1 x k 其中，u ( u1 , u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（1）
其中
bij bij ( x , y , u 1 , u 2 ), i , j 1, 2 bi bi ( x , y , u 1 , u 2 ), i 1, 2
u xx ( u ss s x u st t x ) s x u s s xx ( u ts s x u tt t x ) t x u t t xx
2 2 u ss s x 2 u st t x s x u tt t x u s s xx u t t xx
的两个特解，则有 A 0 , 则方程（2）可简化为
C 0
2 Bu st Du s Eu t Fu G 0
由
2 az x 2 bz x z y cz 2 y 0 2
zx zx 2b c 0 得 a z z y y 令 z ( x , y ) 常数，表示 y 是 x 的函数。 zx dy dy 0 则有 z x z y dx dx zy
即 a 2 ' ( ) 2 b 2 ' ( ) 1 ' ( ) c 1 ' ( ) 0
偏微分方程数值解
偏微分方程:《偏微分方程》共分八章：第一章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。
另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。
《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。
《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。
这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。
偏微分方程数值解：通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。
科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。
简介：通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。
科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。
通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数方程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值。
求解涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题。
求解效率：求解的效率，一方面依赖计算机运行的速度，另一方面也依赖数值方法或算法，而且这方而更为重要。
自从1946年第一台电子计算问世（运行速度每秒500次乘法），到目前的千万亿次的超级计算机，计算速度得到了飞速发展。
李治平 偏微分方程数值解讲义
李治平偏微分方程数值解讲义【李治平偏微分方程数值解讲义】知识文章一、前言在现代科学和工程中，偏微分方程是一种非常重要的数学工具，常常用于描述自然界各种现象和规律。
而对于偏微分方程的数值解法，也是数值计算中的一个重要分支。
本文将围绕着李治平教授的偏微分方程数值解讲义展开讨论，详细探究其中的价值和意义。
二、总览李治平教授的偏微分方程数值解讲义李治平教授的偏微分方程数值解讲义是在对数值计算和偏微分方程研究领域拥有丰富经验的学者对该领域的总结和共享。
其讲义通过结合理论和实践，系统地介绍了偏微分方程的数值解方法及其在实际问题中的应用。
涵盖了有限差分法、有限元法、谱方法等多种数值解法，还对常见的偏微分方程进行了具体案例分析，展现了其深度和广度。
三、深度分析1. 有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值解法，它将偏微分方程中的导数用离散的差分表示，通过有限差分逼近来求解偏微分方程的近似解。
在李治平教授的讲义中，对有限差分法的原理和应用进行了详细介绍，并结合了具体的案例来展示其解题过程和应用效果。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的数值解法，它将求解区域划分成有限个单元，通过建立单元之间的关系来逼近原偏微分方程的解。
在讲义中，李治平教授对有限元法的算法和实现进行了深入讲解，并指导学生如何应用该方法解决实际问题，具有很高的指导意义。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法，它通过将方程中的未知函数表示成正交多项式的线性组合，来逼近原偏微分方程的解。
与有限差分法和有限元法相比，谱方法在精度和稳定性上更具优势。
在讲义中，李治平教授对谱方法的理论和实践进行了讲解，并指引学生如何利用该方法处理实际问题。
四、回顾与展望李治平教授的偏微分方程数值解讲义涵盖了丰富的内容，深入浅出地介绍了多种数值解法及其应用。
通过学习这门课程，可以帮助学生建立起对偏微分方程数值解的深刻理解，并掌握相关的数值计算技能。
未来，随着科学技术的发展和应用的拓展，偏微分方程数值解将会更加广泛地应用于各个领域，因此这门讲义的价值和意义将会更加凸显。
偏微分方程的数值解法和应用
偏微分方程的数值解法和应用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中的一个重要研究领域，它是数学建模和物理学、工程学中的重要工具之一。
通常情况下，我们可以通过一些解析方法求得偏微分方程的解析解，但是这种方法并不适用于所有情况，因此，数值解法的研究具有重要意义。
一、偏微分方程的求解偏微分方程的求解可以分为两类：解析解和数值解。
解析解是指通过一些解析方法求得的该方程的精确解，而数值解是指通过一些数值计算方法求得的该方程的近似解。
1. 解析解对于简单的偏微分方程，我们可以通过分离变量、变换变量、特征线等方法求得其解析解。
例如，对于泊松方程：$$\nabla^2 u=f(x,y)$$我们可以通过分离变量的方法得到：$$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{nm} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{m\pi y}{W}$$其中：$$a_{nm}=\frac{4}{nm\pi^2}\int_0^W\int_0^L f(x,y)\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi y}{W} dx dy$$这是一个完整的解析解，可以用于解决实际问题。
然而，大多数情况下，偏微分方程并没有解析解，因此我们需要寻求数值解法。
2. 数值解在实际工程问题中，偏微分方程往往具有复杂的形式，不可能通过解析方法求得其解析解。
这时，我们需要使用计算机数值方法求得其数值解。
数值解法中的常见方法包括：差分方法、有限元法、有限体积法、谱方法、边界元法等。
其中，有限元法和有限体积法是比较常用的数值解法。
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种将求解区域离散为许多小单元的方法，把偏微分方程转化为一个线性方程组。
在有限元法中，通常采用三角形或四边形做为单元。
具体的，有限元法的步骤如下：（1）离散化：将求解区域划分成若干个小单元，对单元内的未知函数用多项式进行逼近。
偏微分方程数值解
02
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法、 谱方法等。
03
数值解法的精度和稳定性是衡量其好坏的重要 指标。
非线性偏微分方程的有限差分法
有限差分法是一种将偏微分方程转化为差分方程的方法，通过在离散点上逼近偏导数，得到离散化的 数值解。
有限差分法的优点是简单直观，易于实现，适用于规则区域。
有限差分法的缺点是对不规则区域适应性较差，且精度较低。
波动问题
谱方法在求解波动问题中也有广泛应用，如 Helmholtz方程、Wave equation等。
固体力学问题
谱方法在求解固体力学问题中也有应用，如 Elasticity equations等。
05
非线性偏微分方程的数值解 法
非线性偏微分方程的解析解法难度
01
非线性偏微分方程的解析解法通常非常复杂，需要深
02
有限差分法的基本思想是将连 续的偏微分方程转化为离散的 差分方程，通过求解差分方程 得到偏微分方程的近似解。
03
有限差分法的精度取决于离散 点之间的间距，间距越小，精 度越高。
一阶偏微分方程的有限差分法
一阶偏微分方程的有限差分法有 多种形式，如向前差分法、向后 差分法和中心差分法等。
中心差分法是向前差分法和向后 差分法的平均值，具有二阶精度 。
通过将微分转化为差分，将原方程转化为离散的差分方程，然后求解差分方程得到近似解。
有限元法
将连续问题离散化，将微分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到近似解。
谱方法
利用函数的谱展开来求解偏微分方程，具有高精度和低数值弥散性的优点。
02
有限差分法
有限差分法的原理
01
有限差分法是一种将偏微分方 程转化为差分方程的方法，通 过在离散点上逼近偏微分方程 的解，得到数值解。
第5章偏微分方程数值解
5.1
5.2
5.3
5.4
总目录
5.2 基本离散化公式
在偏微分方程中，自变量都在两个或两个以上，应变量随两个或两 个以上的自变量变化而变化。在化工或化学动态模拟方程中，常常有一个 自变量是时间，其它的自变量为空间位置。如果只考虑一维空间，则只有 两个自变量；如果考虑两维空间，则有3个自变量。一般我们将自变量在 时间和空间以一定的间隔进行离散化，则应变量就变成了这些离散变量的 函数，以3维空间为例，我们将离散化的应变量表示成，它所表示的真正 n 含义如下 : u i , j , k = u ( t , x , y , z ) t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k ∆ z 有了以上的定义，对于一阶偏 u in, +1k − u in, j ,k ∂u j, = 导我们可以利用第四章的欧拉 ∂ t t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆t 公式直接得出向前欧拉公式： u in+1, j , k − u in, j ,k ∂u 对于时间偏导而言，有时我们 = ∂ x t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆x 常常采用向后欧拉公式，时间的 u in, j +1, k − u in, j ,k ∂u 向后欧拉公式如下： = ∂ y t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆y u in, +,1k − u in, j ,k ∂u j = u in, j ,k +1 − u in, j ,k ∂u ∂t t =( n +1) ∆t , x =i∆x , y = j∆y , z = k∆z ∆t = ∂ z t = n ∆ t , x = i ∆ x , y = j ∆ y , z = k∆ z ∆x
第8章 偏微分方程数值解
u ( x j,t k 1 ) u ( x j,t k ) a u ( x j 1 t k ) 2 u ( h x 2 j,t k ) u ( x j 1 ,t k )
[ U]kj o( h2)
(5)
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令
fjk f(xj,tk)
，u
k j
视为 u (xj, tk) 的近似值。
U
u t
a
2u x2
f(x,t)
a 为正常数
（3）
u(x,0)(x)
u(0,t)u(1,t)0
0x1 0tT
(4)
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34
于结点（j, k）处偏导数与差商之间有如下近似的关系：
u(xj,tk1)u(xj,tk)u tkj o()
u (xj 1tk) 2 u (h x 2j,tk)u (xj 1,tk) x 2 u 2 k j o (h 2) 利用上述表达式得到 LU 在 (j, k) 处的关系式：
在结点上采用离散化方法（数值微分、数 值积分、泰勒展开等）将微分方程的初边值 问题化成关于离散变量的相应问题，这个相 应问题的解就是方程在点xi上的数值解f(x)， 或在点（xi , ti）上的数值解U( xi , ti)。
一般来说，不同的离散化导致不同的方法。
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10
例：取一边长为1的正方形均匀薄板，上下侧面绝热， 四周保持恒温，求板内各点的稳定温定分布。
u 2u 2u 0 x2 y2
泊松方程
u2u2uf(x,y) x2 y2
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考虑泊松方程第一边值问题：
ux2u2 y2u2 f(x,y), (x,y)
u(x,y), (x,y)面上一有界区域，为其边界，
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡ 0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ 为边界的有界区域，Γ 为分段光滑曲线，Ω U Γ 称为定解区域，f (x, y),ϕ(x, y) 分别为Ω,Γ 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ 的外法线方向。
当α = 0 时为第二类边界条件，α ≠ 0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）。
偏微分方程数值解
通过数值计算方法，在计算机上对偏微分方程的近似求解。
科学和工程中的大多数实际问题都归结为偏微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解。
通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数方程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值。
求解涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题。
目录第1章椭圆型偏微分方程的差分方法1.1 引言1.2 模型问题的差分逼近1.3 一般问题的差分逼近1.3.1 网格、网格函数及其范数1.3.2 差分格式的构造1.3.3 截断误差、相容性、稳定性与收敛性1.3.4 边界条件的处理1.4 基于最大值原理的误差分析1.4.1 最大值原理与差分方程解的存在唯一性1.4.2 比较定理与差分方程的稳定性和误差估计1.5 渐近误差分析与外推1.6 补充与注记习题1第2章抛物型偏微分方程的差分方法2.1 引言2.2 模型问题及其差分逼近2.2.1 模型问题的显式格式及其稳定性和收敛性2.2.2 模型问题的隐式格式及其稳定性和收敛性2.3 一维抛物型偏微分方程的差分逼近2.3.1 直接差分离散化方法2.3.2 基于半离散化方法的差分格式2.3.3 一般边界条件的处理2.3.4 耗散与守恒性质2.4 高维抛物型偏微分方程的差分逼近2.4.1 高维盒形区域上的显式格式和隐式格式2.4.2 二维和三维交替方向隐式格式及局部一维格式2.4.3 更一般的高维抛物型问题的差分逼近2.5 补充与注记习题2第3章双曲型偏微分方程的差分方法3.1 引言3.2 一维一阶线性双曲型偏微分方程的差分方法3.2.1 特征线与CFL条件3.2.2 迎风格式3.2.3 15ax-Wendroff格式和Beam-Warming格式3.2.4 ：蛙跳格式3.2.5 差分格式的耗散与色散3.2.6 初边值问题与边界条件的处理3.3 一阶双曲守恒律方程与守恒型格式3.3.1 有限体积格式3.3.2 初始条件与边界条件的处理3.4 对流扩散方程的差分方法3.4.1 对流扩散方程的中心显式格式与修正中心显式格式3.4.2 对流扩散方程的迎风格式3.4.3 对流扩散方程的隐式格式3.4.4 对流扩散方程的特征差分格式3.5 波动方程的差分方法3.5.1 波动方程的显式格式3.5.2 波动方程的隐式格式3.5.3 变系数波动方程隐式格式的能量不等式和稳定性3.5.4 基于等价一阶方程组的差分格式3.5.5 交错型蛙跳格式与局部能量守恒性质3.6 补充与注记习题3第4章再论差分方程的相容性、稳定性与收敛性4.1 发展方程初边值问题及其差分逼近4.2 截断误差与逼近精度的阶，相容性与收敛性4.3 稳定性与Lax等价定理4.4 稳定性的von Neumann条件和强稳定性4.5 修正方程分析4.6 能量分析方法第5章椭圆边值问题的变分形式5.1 抽象变分问题5.1.1 抽象变分问题5.1.2 Lax-Milgram引理5.2 变分形式与弱解5.2.1 椭圆边值问题的例子5.2.2 Sobolev空间初步5.2.3 椭圆边值问题的变分形式与弱解5.3 补充与注记习题5第6章椭圆边值问题的有限元方法6.1 Galerkin方法与Ritz方法6.2 有限元方法6.2.1 有限元方法的一个典型例子6.2.2 有限元的一般定义6.2.3 有限元与有限元空间的例子6.2.4 有限元方程与有限元解6.3 补充与注记习题6第7章椭圆边值问题有限元解的误差估计7.1 Cea引理与有限元解的抽象误差估计7.2 Sobolev空间插值理论7.2.1 Sobolev空间的多项式商空间与等价商范数7.2.2 仿射等价开集上Sobolev半范数的关系7.2.3 多项式不变算子的误差估计7.2.4 有限元函数的反估计7.3 多角形区域上二阶问题有限元解的误差估计7.3.1 H1范数意义下的误差估计7.3.2 Aubin—Nische技巧与L2范数意义下的误差估计7.4 非协调性与相容性误差7.4.1 第一和第二：Strang引理7.4.2 Bramble-Hilbert，引理和双线性引理7.4.3 数值积分引起的相容性误差7.5 补充与注记习题7第8章有限元解的误差控制与自适应方法8.1 有限元解的后验误差估计8.2 后验误差估计子的可靠性与有效性8.3 自适应方法8.3.1 h型、p型与h-p型自适应方法8.3.2 网格重分布型自适应方法8.4 补充与注记习题8部分习题答案和提示符号说明参考文献名词索引。
偏微分方程数值解法研究
偏微分方程数值解法研究偏微分方程是数学中的一个分支，它研究的是一些与空间位置、时间以及其它因素有关的物理现象，如热传导、波动现象、电磁场分布、流体运动等。
在现实世界中，很多问题都可以用偏微分方程来描述。
这些方程具有复杂性和多变性，因此需要采用数值解法来求解。
数值解法是将巨大的偏微分方程转变为离散化的点值问题，通过数值计算得出近似解。
为了达到更高的计算精度和效率，研究者们不断地探索各种数值解法，如有限差分方法、有限元方法、谱方法、边界元法等，并在不断地发展和改进。
有限差分是常用的数值解法，它利用差商来离散化微分方程，将连续的问题转化为离散的问题。
通过对偏微分方程进行逐点离散化，使用差商逼近微分方程，从而得到一组有限个代数方程组，即差分方程组。
然后再利用数值计算的方法求解差分方程组，从而得到近似解。
有限差分方法具有简单易操作和精度高的优点，但是它在处理边界问题和非线性问题时会遇到一些困难。
有限元法是数值解法中最常见的一种，主要用于求解复杂的分布参数系统和非线性问题。
与有限差分相比，有限元法可以更精确地模拟物理问题，具有对几何形状更自由、适用性更广、计算量更小的特点。
它的基本思想是采用离散化方法将复杂的问题简化成一些基本单元的组合，然后在每个单元内解微分方程，最后将这些单元的解组合在一起得到整个问题的近似解。
谱方法是基于特殊基函数构造法的一种数值解法，通过选取一些特殊的基函数（例如三角函数，Legendre多项式或Chebyshev多项式等），对偏微分方程进行逐点离散化。
然后通过基函数的线性组合来逼近未知解，从而得到一组代数方程组，利用数值计算方法解出方程组后得到近似解。
谱方法具有高精度、高效率、不受网格形状限制以及基函数可以选取自由、适用范围广等优点，但谱方法也有一些不足之处，需要根据具体问题进行选择。
边界元法是一种确定性的数值分析方法，也是一种离散化的方法。
与有限差分与有限元方法的差异在于，它不需要对求解区域进行离散化处理，而是将偏微分方程从区域的内部转移到区域的边界上进行求解。
数学中的偏微分方程与数值解法
数学中的偏微分方程与数值解法偏微分方程是数学中重要的研究领域之一，它在各个科学领域中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常会遇到与空间和时间相关的变量，而这些变量之间的关系可以用偏微分方程来描述。
为了求解这些偏微分方程，数学家们提出了各种数值解法，以获得近似的解。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
常见的偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型方程。
椭圆型方程描述的是稳态问题，如静电场分布；抛物型方程描述的是时间依赖的问题，如热传导方程；双曲型方程描述的是波动问题，如波动方程。
这些方程在物理、工程、生物等领域中具有广泛的应用。
二、数值解法的基本思想解析解求解偏微分方程的情况较少，因此我们通常需要借助数值解法来获得结果。
数值解法的基本思想是将问题离散化，将连续的变量转化为离散的点，并通过计算来逼近解。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
三、有限差分法有限差分法是一种常见的数值解法，它将连续的空间和时间离散化为有限的网格点。
在有限差分法中，我们使用差分近似来逼近偏导数，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，我们可以得到近似解。
有限差分法简单易实现，广泛应用于各个领域。
四、有限元法有限元法是一种更加通用的数值解法，适用于各种复杂的边界条件和几何形状。
有限元法将求解域划分为许多小的子域，将未知函数表示为有限元函数的线性组合，通过最小化能量泛函来得到近似解。
有限元法具有较高的精度和灵活性，因此在结构力学、流体力学等领域得到了广泛应用。
五、谱方法谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，它将未知函数表示为一系列正交的基函数的线性组合。
通过适当选择基函数和系数，可以将偏微分方程转化为代数方程组的求解。
谱方法在处理边界条件时具有较高的精度和稳定性，因此在流体流动、量子力学等领域中得到了广泛应用。
总结：数学中的偏微分方程与数值解法是一门重要而有趣的研究领域。
通过数值解法，我们可以求解各种实际问题中的偏微分方程，从而获得精确的数值结果。
偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
偏微分方程的数值解
偏微分方程是数学中非常重要的一类方程，它描述了物理、化学、工程等领域中许多现象的演化规律。
在实际应用中，我们经常面临着无法解析求解偏微分方程的困难，因此需要借助数值方法来获得其近似解。
本文将就偏微分方程的数值解的求解方法进行阐述。
首先，单个偏微分方程求解的数值方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等。
其中，有限差分法是最为经典和常用的方法之一。
有限差分法将连续的空间域离散化为一组有限的网格点，将连续的时间域离散化为一组有限的时间步长。
通过在网格点上近似求解偏微分方程，我们可以得到方程在整个空间和时间域上的数值解。
此外，有限元法和有限体积法是一种更加灵活和通用的数值方法，它们能够适用于各种复杂的物理模型和几何形状。
这些方法利用了分片连续函数的逼近性质，在每一个片段上构建逼近函数，并通过求解矩阵方程来获得数值解。
其次，多个偏微分方程之间可能存在耦合性，即它们之间相互依赖或相互影响。
在求解这种情况下的偏微分方程组时，我们常常需要采用迭代求解的方法。
例如，将几个方程按照某种次序进行求解，并将已知的数值解作为新的边界条件代入下一个方程的求解中。
通过多次迭代求解，我们可以得到偏微分方程组的数值解。
最后，为了提高数值解的精度和稳定性，我们常常需要选择合适的数值格式和数值算法。
在有限差分法中，常用的数值格式有前向、后向和中心差分格式等。
这些格式的选择要根据具体方程的性质和求解的目标来确定。
同时，我们还需要关注数值格式的稳定性和精度。
稳定性保证了数值解的长时间稳定性，而精度则决定了数值解的误差大小。
总的来说，偏微分方程的数值解既是一种求解复杂方程的有效方法，也是研究数学模型的重要手段。
在实际应用中，我们常常需要根据具体问题的需求来选择合适的数值方法，并进行适当的数值格式和算法的选择和调整。
通过不断改进和优化数值方法，我们能够获得更加可靠和准确的数值解，从而为实际问题的分析和处理提供有力支持。
偏微分方程与数值解法
偏微分方程与数值解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学领域中研究的一类方程，它包含多个变量及其偏导数。
解析解法只适用于部分简单的PDE情况，对于复杂的PDE问题，数值解法成为研究和应用的重要手段。
本文将介绍偏微分方程的基本概念，并探讨数值解法的原理和常用方法。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有未知函数的偏导数的方程。
常见的偏微分方程包括椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程。
其中，椭圆型方程主要描述静态问题，抛物型方程用于描述热传导和扩散问题，双曲型方程则适用于描述波动和传输等动态问题。
根据方程中的变量个数，偏微分方程可分为一维、二维和三维偏微分方程。
二、数值解法的原理数值解法是通过将连续的偏微分方程离散化为有限个代数方程来近似求解。
其基本思想是将偏微分方程所描述的问题的定义域划分为有限个网格节点，然后在这些节点上逼近原方程的解。
常用的数值解法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种将偏导数转化为有限差分运算的方法。
通过将偏微分方程在网格节点上进行近似，利用节点之间的差分来逼近偏导数。
有限差分法的精度和稳定性取决于网格的选择和近似格式的设计。
2. 有限元法有限元法是一种基于变分原理的数值解法。
将偏微分方程中的未知函数表示为一组基函数的线性组合，并通过构建合适的变分问题来逼近原方程的解。
有限元法具有较好的适用性和数值稳定性，适用于各种复杂几何形状和边界条件的问题。
3. 谱方法谱方法基于傅里叶级数展开，将偏微分方程中的未知函数表示为一组傅里叶系数的线性组合。
通过选择适当的基函数以及傅里叶级数的截断长度，可以在整个定义域上获得高精度的数值解。
三、常见的数值解法根据不同的偏微分方程类型和问题特点，常见的数值解法有以下几种：1. 热传导问题的数值解法对于描述热传导问题的抛物型偏微分方程，可采用显式差分法、隐式差分法和Crank-Nicolson方法等。
偏微分方程概论
流体动力学方程
总结词
描述流体运动的规律
详细描述
流体动力学方程，如Navier-Stokes方程，用于描述流 体的运动规律，包括流体速度、压力、密度等随时间空 间的变化。这些方程在气象预报、航空航天、船舶设计 等领域有广泛应用。
热传导方程
总结词
描述热量传递的过程
详细描述
热传导方程，如Fourier定律，用于描 述热量传递的过程。该方程能够描述 温度场随时间的变化，在材料科学、 能源工程、环境科学等领域有广泛应 用。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是偏微分方程数值解法中的一种高精度方法。
详细描述
龙格-库塔方法是一种隐式的数值求解偏微分方程的方法，其 基本思想是通过一系列的迭代步骤逐步逼近原方程的解。该 方法精度较高，稳定性较好，适用于求解各种类型的偏微分 方程。
有限差分法
要点一
总结词
有限差分法是偏微分方程数值解法中的一种常用方法。
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，通过将微分转化为差分，将连续问题离 散化。
详细描述
有限差分法的基本思想是将偏微分方程中的微分项用离散的差分近似代替，从而将连续 问题离散化。这种方法适用于求解偏微分方程的初值问题和边界值问题，具有简单易行、
计算量小等优点。
有限元素法
总结词
偏微分方程的应用领域
自然科学
物理学、化学、生物学等自然科学领域中，偏微分方程被用来描述各种现象，如物理定律、化学 反应和生物进化等。
工程技术与计算
在航空航天、机械工程、电子工程和计算机科学等领域，偏微分方程被用来进行数值模拟和计算 ，如有限元分析、有限差分方法和谱方法等。
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§1 差分逼近的基本概念
考虑二u dx2
qu
f,
a x b,
(1.1)
u(a) , u(b) ,
(1.2)
其中 q，f 为 [ a , b ] 上的连续函数， q 0, ,
为给定常数.
① 将其分成等分，分点为
xi a ih, i 0,1,
,N; h ba N
将方程 (1.1) 在节点 xi 处再离散化.
由 Taylor 展开得
u ( xi 1 )
2u(xi ) h
u( xi 1 )
d 2u
dx
2
i
h2 12
d 4u
dx4
o(h3 )
其中 [ ]i 表示方括号内的函数在 xi 点取值.
于是在 xi 将方程 (1.1) 写成
u (xi1) 2u (xi ) u (xi1) h2
q(xi )
u (xi )
f
(xi )
R
i(u),
(1.3)
其中
R
i(u)
h2 12
d
4u(x) dx4
i
O(h3
).
舍去 R i(u) 得逼近方程 (1.1) 的差分方程为：
Lhui
ui1 2ui h2
ui1
qiui
fi,
称 R i(u) 为差分方程 (1.3) 的截断误差. 形成关于 ui 的线性代数方程组
Lnui
ui1 2ui h2
ui1
qiui
fi ,
i 1, 2,
, N 1
(1.4)
u0 , uN
(1.5)
注 此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数
最多有3个易于求解.
④ 对方程组 (1.4)～(1.5) 的解分析需要考虑以下几个问题：
(a) 解是否惟一？ (b) 当网格无限加密时，即 h 0 时，差分解 ui
差分法求解的主要步骤： (1) 对求解区域做网格剖分.
一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元. 二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与 坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等. (2) 构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法 直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法). 差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究. (3) 差分方程的解法.
第三章 椭圆形方程的有限差分法
有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种 主要数值方法. 两种方法的主要差别：离散化的第二步. 有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发， 用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组. 有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用 Ritz-Galerkin 方法导出相应的线性代数方程组， 但基函数要按特定方式选取.
是否收敛到真解 u (xi ) ? (c) 在何种度量下收敛？ (d) 收敛速度如何？ 为了解决如上问题，需要给出如下说明：
以 I h 表示网格内点 x1, x2, , xN1 的集合， Ih 表示网格 内点和界点 x0 a , xN b 集合. 定义在 I h 或 In 上的函数 uh (xi ) ui 称为 In (or In ) 上的网函数. 对 I h 上的网函数引进如下范数：
lim
h0
||
Rh
(u)
||
0,
(1.6)
称差分算子 Lh 逼近微分算子 L ，并称 (1.6)
为相容条件.
注 当用 Lh 逼近 L 时，选择网函数的范数不同，逼近的
阶也就不同.
|| Rh (u) ||c O(h2 )， || Rh (u) ||0 O(h2 )， || Rh (u) ||1 O(h).
称差分方程关于右端稳定.
定理1.1 若边值问题的解 u 充分光滑，差分方程按
|| || 满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解 uh
按 || || 收敛到边值问题的解 u ，且有与 || Rh (u) || R
相同的收敛阶.
§2 两点边值问题的差分格式
考虑两点边值问题
Lu
d dx
p
du dx
p
d 3u
dx3
i1
2
O(h3)
p
du dx
i 1
2
hi2 24
p
d 3u dx3
i
O(h3 )
(2.4)
p(
x i
1 2
)
u
(
xi
1 ) hi
1
u
(
xi
)
p
du dx
i 1
2
h2 i 1
24
p
d 3u dx3
i
O(h3 )
将 (2.5) 减 (2.4) 再除以 hi hi1 , 得
其中 定义1.1
|| uh
||c
max
1i N 1
|
ui
|,
N 1
|| uh ||02
hui2 ,
i 1
|| uh ||12 || uh ||02 | uh |12 ,
| uh
|12
N i 1
h
ui
ui1 h
2
.
设 U 是某一充分光滑的函数类， Rh (u) 是由截
断误差定义的网格函数. 若对任何 u U, 恒有
Ii : xi1 x xi , i 1, 2, , N
hi xi xi1,
h
max i
hi
.
于是，得到 I 的一个网格剖分.
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分
取 xi1, xi 的中点
1
x
i
1
2
2
xi1 xi
,
i 1, 2,
,N
称为半整数点，则
a x0 x1 x3
定义1.2 当 h 充分小时，若 (1.4) ～ (1.5) 的解 uh 存在，
且按某一范数
||
||
有
lim
h0
|| uh
u
||
0,
称 uh 收敛到边值问题的解 u .
定义1.3 对于差分方程 Lhvi fi , i 1, 2, 3, , N 1,
v0 vN 0 , 如果存在与网格 I h 及右端 fh 无关的常数 数 M 和 h0 , 使 || vh || M || fh ||R , 0 h h0
r
du dx
qu
f,
a xb
(2.1)
ua , ub
(2.2)
其中
p C[a, b], p(x) pmin 0, r, q, f C [a,b],
, 是给定的常数.
2.1 直接差分法
(1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x0 x1 xi xN b
x
N
1
xN
b
2
2
2
构成 I 的一个对偶剖分.
(3) 将方程 (2.1) 在内点 xi 处离散化.
u(xi1) u(xi1) hi hi1
du dx i
hi1 hi 2
d 2u
dx2
i
O(h2 )
(2.3)
p(
x i
1 2
)
u(
xi
)
u( hi
xi
1
)
p
du dx i1
2
hi2 24