测不准关系

合集下载

量子力学中的测不准原理

量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，它揭示了微观粒子的奇特行为和测量的困难性。量子力学中的测不准原理（Uncertainty Principle）是这一理论的核心概念之一，由德国物理学家海森堡于1927年提出。测不准原理表明，在一些不确定性方面，我们无法同时准确地测量一个粒子的位置和动量。本文将详细介绍测不准原理的原理、应用和意义。

测不准原理的核心概念是对于两个物理量的测量，我们无法同时获得它们的准确值。测不准原理最常见的形式是海森堡不确定关系，它描述了位置和动量的关系。根据这个关系，我们越精确地测量一个粒子的位置，就越无法确定它的动量，反之亦然。具体来说，如果我们试图测量一个粒子的位置，我们会对其动量产生扰动，从而无法准确获得动量值。同样地，如果我们试图测量一个粒子的动量，我们会对其位置产生扰动，导致无法准确测量位置。

测不准原理的表述可以用数学方程来描述。对于一个粒子的位置和动量，分别用x和p表示，海森堡不确定原理可以通过以下的不等式表示：

Δx · Δp ≥ ħ/2

其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ħ为普朗克常量的约化取值。这个不等式表明了测不准原理所揭示的物理限制。它告诉我们，对于一个量子粒子，我们永远无法同时获得其位置和动量的准确值，只能获得它们的不确定度的乘积。

测不准原理的意义非常深远。首先，它打破了牛顿经典物理学中对于测量的常识。在经典物理学中，我们通常认为，只要我们使用更加精确的仪器和更加精细的实验方法，就能准确地测量粒子的位置和动量。但是测不准原理告诉我们，这种认识在量子力学的背景下是不适用的。

第8讲测不准关系的严格证明

)*
Aˆ
i ( Aˆ
)* Bˆ
i (Bˆ )* Aˆ (Bˆ )* Bˆ )]
( , Aˆ )
*
Aˆ d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
I ( ) 2 ( Aˆ , Aˆ ) i ( Aˆ , Bˆ ) i (Bˆ , Aˆ ) (Bˆ , Bˆ )
2 ( , Aˆ 2 ) i ( , Aˆ Bˆ ) i ( , BˆAˆ ) ( , Bˆ 2 )
2 Aˆ 2
4 Aˆ 2
R, 且Aˆ,Cˆ R, I ( ) Bˆ 2 Cˆ 2 0
所以可令 Aˆ 2 Bˆ 2
Cˆ
Cˆ
2 Aˆ 2
2
/4
带入上式
4 Aˆ 2
Aˆ 2 Bˆ 2 Cˆ / 2 [ Aˆ, Bˆ ] / 2
12
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(4)
Aˆ 2 Bˆ 2 Cˆ / 2 [ Aˆ, Bˆ] / 2
量子力学
光电子科学与工程学院王可嘉
第八讲连续谱本征函数的归一化测不准关系的严格证明
共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数二、连续谱本征函数的归一化与δ函数三、不确定度（测不准）关系的严格证明四、共同本征函数五、习题
2
一、连续谱本征函数（1） 1、动量 x 分量的本征值与本征函数

测不准关系薛定谔方程

的关系
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明：
同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖
例：用不确定关系
xp x 2
估算（1）谐振子
(2)氢原子
1 2 2 V ( x) m x 2
V (r ) e2 4 0 r
i
四、量子运动的特点 1、能级、能带结构
U
A
x
A ↙
E
……
↓ ……
↘ A0 ……
能级
能带
能量连续取值
四、量子运动的特点 2、跃迁、原子与辐射的相互作用
EnLeabharlann Baidu
﹋ hv
hv﹋
﹋﹋
hv hv
﹋
hv
Em
受激吸收
受激辐射
自发辐射
hv En Em
eg1、晶体能带结构及其电学、光学、热学性质
第四节
2
缝宽因素
微观运动经典力学 dp F ？ dt
p
h

宏观运动经典力学 dp F dt
经典力学
状态的描述坐标x,动量p 运动规律
U F x
量子力学
波函数 x, t 薛定谔方程
2 2 i U 2 t 2m x

海德堡测不准原理

海德堡测不准原理，又称海森堡测不准原理或海森堡测不准关系，是量子力学的一个基本原理，也是量子世界中一项重要的不确定性原理。该原理由德国物理学家马克斯·波恩和沃纳·海森堡在1927年提出，它揭示了在微观世界中，同时准确确定粒子的位置和动量是不可能的。

海德堡测不准原理的内容可以用简单的数学公式表示为：

Δx * Δp ≥ℏ/2

其中，Δx是粒子的位置不确定性，Δp是粒子的动量不确定性，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，约等于1.0545718×10^-34J·s。这个公式表明了粒子的位置和动量之间存在一个最小不确定性，无论我们使用多么精密的测量仪器，都无法同时测量出粒子的位置和动量的精确数值。

换句话说，海德堡测不准原理告诉我们，当我们试图更精确地测量粒子的位置时，粒子的动量就会变得更加不确定，反之亦然。这意味着在微观世界中，我们无法同时知道粒子的精确位置和动量，我们只能通过概率的方法来描述粒子的运动状态。

海德堡测不准原理的重要性不仅在于它揭示了微观世界中的不确定性，更在于它对量子力学的基本概念和理论体系产生了深远的影响。首先，它对于测量过程的影响是十分深刻的。在测量一个粒子的位置或动量时，测量仪器本身也是一个与粒子相互作用的量子系统，因此测量的过程会对粒子的位置和动量产生干扰，从

而使得测量结果变得更加不确定。其次，海德堡测不准原理也对于量子力学中的态描述和演化产生了深远的影响。在量子力学中，波函数可以描述粒子的位置和动量的概率分布，海德堡测不准原理确立了不确定性的概念，从而为波函数的物理意义提供了重要的依据。

测不准关系

解电子的动量
p mv 9.11031 200kg m s1
p 1.81028 kg m s1
动量的不确定范围
p 0.01% p 1.81032 kg m s1
位置的不确定量范围
x
h p
6.63 10 34 1.8 10 32
m
3.7 102
m
15.5 测不准关系
第15章量子物理基础
海森堡严格的理论给出光子坐标与动量的测不准关系为
xpx
2
ypy
2
zpz
2
h 1.05458871034 J s
2
或： xpx ypy zpz
15.5 测不准关系
第15章量子物理基础
时间与能量的测不准关系：
E t 2
即：如果测量光子的时间精确到Δt ，则测得光
子能量的精度就不会好于ΔE 。
解：
E
1.05 10 10 8
34
1.051026 J 6.6108eV
当原子从激发态向基态跃迁时，由于能级有一定的宽度，则光谱线也有一定的宽度，称为自然宽度.反过来，根据谱线的自然宽度可以确定原子在激发态的平均寿命.
15.5 测不准关系
作业：P267 15.17、15.21
第15章量子物理基础
vx
mx
1.05 10 34 9.1110 31 10 10

测不准关系

107 m s1 vx 106 m s1
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
mvx
2 x
1034 106
1028 kg m s1
mvx 2kg m s1
所以坐标及动量可以同时确定
2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
例一电子以速度 vx 1.0 106 m s1 的速度穿过晶体。
0
x d 1A
vx
2m x
1034
m s1
1031 1010
2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。
3. 对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间Δt 之间也有下面的测不准关系：
Et 2
Et 2
原子处于激发态的平均寿命一般为 t 108 s
于是激发态能级的宽度为：
E 1026 J 2t
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
1932诺贝尔物理学奖
• W.海森堡 • 创立量子力学，
并导致氢的同素异形的发现
问题？ 1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
例 m 102 kg 的乒乓球 , 其直径 d 5cm vx 200m s1，若 x 106 m, 可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
p x
px
x

不确定关系(测不准关系)的表述和含义

不确定关系（测不准关系）的表述和含义

摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。

关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释

引言

测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。

1 几种主要的表述和证明方法

测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定‘电子’位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。

21-4测不准关系

例题5、中子的质量为1.6710-27 kg。假定一个中子沿x方向以 2000ｍ.s-1的速度运动, 速度的测量误差为0.01, 则中子位置的不确定量最小为 (用不确定关系 x px ≥计算)[D] (A) 3.1610-17ｍ (C) 3.1610-10ｍ例题6、不确定关系指的是：[C] (A) 任何物理量都不确定 (B) 任何物理量之间都不能同时确定 (C) 某些物理量能不能同时确定, 这取决于这些物理量之间的关系 (D) 只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定 (B) 3.1610-13ｍ (D) 3.1610-7ｍ
坐标动量测不准关系
x P h x
x P x
1 x Px （精确式） 2
表示在x方向，粒子的坐标和动量不能同时确定。
测不准关系不仅适用于电子和光子。也适用于其它粒子，其起因于微观粒子的波粒二象性。
例题1、设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。试求子
§21-3 不确定度关系
一、坐标动量测不准关系
x
电子束
Δx 缝
p x
p
φ p y
2φ
衍射图样
屏
幕
x方向坐标的测不准量为Δx
电子在x方向动量测不准量为 P P sin x
x sin k sin

x
Px
P Ph x Px P h x xP

能量-时间测不准关系11.4

∆E ⋅ τ A > h 2, ~
每一个力学量 A 都有相应的 τ A ，在这些 τ A 中，最小的一个记为 τ ，它当然满足式
∆E ⋅ τ ≥ h 2,
或写成
∆E ⋅ ∆t > h 2, ~
此所谓能量-时间测不准关系。此所谓能量时间测不准关系。时间测不准关系
三、能量-时间测不准关系的意义能量时间测不准关系的意义 1. 物理含义对能量-时间测不准关系 ∆E ⋅ ∆t > h 2, ~ △E表示状态能量的不确定度。特征时间，特征时间 △t 为该状态的特征时间可理解为状态性质状态性质有明显改变所需要的时间间隔，或变化周期有明显改变所需要的时间间隔变化周期。变化周期上式表明， △E与△t不能都任意地小下去，而要受到一定的制约。如激光脉冲：
是指同一时刻而言。是指同一时刻而言。而在能量-时间测不准关系中， t 是不可在能量时间测不准关系中，时间测不准关系中 ∆ 同一时刻”理解的。能用 “同一时刻”理解的。
物理意义不同。 ③物理意义不同。
坐标-动量测不准关系给出的是微观粒子坐标和坐标动量测不准关系给出的是微观粒子坐标和动量二力学量的不能同时确定性；动量二力学量的不能同时确定性；而能量-时间测不准关系给出能量分辨和时间分而能量时间测不准关系给出:能量分辨和时间分时间测不准关系给出辨是不可能同时达到高精度要求的。辨是不可能同时达到高精度要求的。

测不准关系

动量的不确定范围：
p 0.01% p 2104 kg m s1
位置的不确定范围：
x

h p

6.63 10 34 2 104
m

3.3 10 30
m
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
例：一电子具有 200m s-1的速率，动量的不确范围为动量的 0.01%（这也是足够精确的了），则：该电子的位置不确定范围有多大?
由坐标——动量的不确定关系还可以推导出相应的
能量与时间的不确定关系：
E p2 2m
E p p p
m

E

x t

px
Et x px
x x t
t h
能量与时间的不确定关系：
E t h
E 表示粒子处在某个状态的能量的不确定
测不准关系
海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932 年诺贝尔物理奖
测不准关系
经典力学中，宏观粒子的运动具有决定性的规律。物体的位置、动量以及所在力场的性质确定后，物体以后的运动状态就可确定，因此可以用轨道来描述粒子的运动。原则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏观物体的运动。
用电子衍射说明不确定关系

什么是测不准原理

测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学的一个基本原理，它揭示了微观世界中测量粒子位置和动量的不确定性。在量子力学中，测不准原理是指无法同时准确确定一个粒子的位置和动量，也就是说，当我们测量粒子的位置时，就无法准确得知其动量，反之亦然。这一原理的提出，彻底颠覆了经典物理学中对于测量的理解，揭示了微观粒子世界的奇妙之处。

首先，我们来看看测不准原理的具体内容。根据测不准原理，对于一个粒子，我们无法同时准确测量其位置和动量。这是因为，测量位置需要用到光子或其他粒子与被测粒子发生相互作用，而这种相互作用会影响被测粒子的动量，使其动量的测量结果产生不确定性。同样地，测量动量也会对粒子的位置产生不确定性。这种不确定性并非是测量技术的限制，而是由于微观粒子的本性决定的，它揭示了微观世界中的混沌和随机性。

其次，测不准原理的提出对于量子力学的发展产生了深远影响。它不仅揭示了微观世界的奇妙之处，也为我们重新认识世界提供了新的视角。在日常生活中，我们习惯于用经典物理学的观念来理解世界，但测不准原理告诉我们，微观世界并不遵循经典物理学的规律，而是充满了不确定性和概率性。这种新的认识挑战了我们对世界的认知，也激发了科学家们对于微观世界的探索和研究。

最后，测不准原理的应用也在现实生活中发挥着重要作用。在量子力学的研究中，测不准原理被广泛应用于各种实验和技术中，例如在量子通信、量子计算和量子传感器等领域都有着重要的应用。测不准原理的理论基础不仅为这些领域的发展提供了支撑，也为我们创造了许多前所未有的科技奇迹。

222- 算符的对易关系共同本征态函数测不准关系

第2项+第3项等于所以： ——关于的二次三项式
第3步——讨论因此上式大于零的条件是：
的条件（（））
即得：
第4步——进一步证明
（1 ）
由于
为厄米算符，而
又是实数，因此
也是厄米算符，可证有
因此将替换（1）式中的不等式成立的条件是：（2 ）
又已知所以：这就是常见的不确定关系的一般表达式。例1：坐标和动量的不确定关系取
综上所述，算符之间或对易、或不对易。那么什么条件下两者对易呢？对易与否具有什么意义呢？二. 两个算符具有共同本征态的条件
1．定理:两个具有共同的完备本征函数组符必定对易 [ 证]
的算
所以
2 ．逆定理: 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。（证略）
3．上述定理可推广到两个以上情况。它们的共同本征函数完全集是相互对易，它们有共同本征函数要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如h在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。
3.7 算符的对易关系
共同本征态函数

第六节测不准关系

h ∆x ⋅ ∆p x ≥ 2
h h ∆y ⋅ ∆p y ≥ ∆z ⋅ ∆p z ≥ 2 2
（4）测不准关系常常只用做估计数量级，公式可以有多种形式，试题中通常会指定所用公式。二、时间与能量的不确定关系：
h ∆t ⋅ ∆E ≥ 2
《大学物理》
教师：
胡炳全
例题1、波长为500nm的光沿着x轴正向传播，若光的波长的不确定量为10-4nm，试利用不确定关系∆x∆px≥h求光子x坐标的不确定量。解：光子波长的不确定造成其动量的不确定，由
《大学物理》
教师：
胡炳全
第六节测不准关系（不确定关系）一、位置与动量的测不准关系：
a sin θ = kλ ∆p x = p x
= p sin θ
a
h
λ
sin θ = hk
∆x∆p x = hk
《大学物理》
教师：
胡炳全
令: k =1
∆x ⋅ ∆p x = h
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
h h ∆x ⋅ ∆p x ≥ = 4π 2
上述两个式子都可以叫测不准（不确定）关系。后者更为测不准（不确定）常用，常叫做海森伯不确定关系。讨论：（1）上述关系对微观世界的物质运动是非常重要的，而对宏观物质的运动则可以忽略。
《大学物理》
教师：
胡炳全
（2）位置和动量是不能同时测量准确，但可以分别在不同时候准确测量。（3）测不准关系中的各量有明确的对应：

海森堡测不准原理

海森堡测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学中的一个重要概念，

由德国物理学家海森堡于1927年提出。它揭示了在微观世界中，存在着一种不确

定性，即无法同时准确测量粒子的位置和动量。这一原理的提出，对于人们理解微观世界的规律和特性产生了深远的影响。

海森堡测不准原理的核心思想是，对于微观粒子，无法同时准确测量其位置和

动量。在经典物理学中，我们可以通过精确的测量来确定一个物体的位置和速度，然而在量子力学中，当我们试图准确测量微观粒子的位置时，其动量将变得模糊不清；反之亦然。这种不确定性并非是测量工具的不准确性所致，而是微观世界本身的固有特性。

海森堡测不准原理深刻地揭示了微观世界的奇特性质，挑战了人们对于自然界

的直观认识。它告诉我们，微观粒子并不遵循经典物理学中的规律，其行为具有一定的随机性和不可预测性。这种不确定性的存在，不仅限制了人类对微观世界的认知，也对技术和工程领域提出了挑战。

海森堡测不准原理的重要性不仅体现在理论物理学中，也在实际应用中发挥着

重要作用。例如，在量子计算和量子通信领域，人们需要充分理解和利用测不准原理，以设计出更加可靠和高效的量子技术。同时，海森堡测不准原理也为人们重新审视了测量和观测的本质，提出了新的思考和挑战。

总之，海森堡测不准原理的提出，深刻地改变了人们对于自然界的认识，揭示

了微观世界的奇特规律。它的重要性不仅在于理论物理学的发展，更在于对技术和工程领域的影响。我们应当深入理解海森堡测不准原理，不断探索微观世界的奥秘，推动科学技术的发展，为人类的未来开辟新的可能性。

§6.10测不准原理及其证明

现在的问题是：能否找到一种系统，使它的tr B之积无限减少。针对上述问题，就是使用很窄的系统带宽B ，而得到很短的响应时间tr 。即：使系统在时域和频域两方面的分辩能力都尽可能得到改善。
要回答这一问题，需引用著名的“测不准原理”。该原理告诉我们：对于实信号波形，系统的阶跃响应上升时间tr与系统带宽B之积tr B受到限制，这两个参量不可能同时达到任意小的数值。当然，理想低通特性也符合这一规律。
2
2
h'
t
2
dt
2
h2 t dt
2
h2 t dt
借助柯西——施瓦茨不等式可求出上式下限
t
tht
h'
t
dt
h2 t dt
tdh2 t
2
h
2
t
dt
注意：
t 时
th(t) 0
th
2
t
h
2
t
dt
1
2 h2 t dt
2
可见 t之下限为1/2
t
dt
2
h2 tdt
源自文库
0
2
H
j
2
d
H j 2 d
2
其中：分子表示信号能量分布的方差，分母的作用是进行归一化处理。
为了简化推证，不失一般性，可令t0=0、0=0，这

海森堡测不准原理

在测量一个信号中，即使被测的信号只有一个频率，能够测量到的只是一定带宽分布的频率分布，无法精确再现原频率。对这一点一直无法深入理解，在百度百科上看到测不准原理的解析后，深有体会，放到此处以便学习。定义

又名"测不准原理"、"不确定关系",英文"Uncertaintyprinciple"，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。

该原理表明:一个微观粒子的某些物理量(如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等)，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数h/4π(h是普朗克常数)是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。

理论背景

海森伯在创立矩阵力学时，对形象化的图象采取否定态度。但他在表述中仍然需要使用"坐标"、"速度"之类的词汇，当然这些词汇已经不再等同于经典理论中的那些词汇。可是，究竟应该怎样理解这些词汇新的物理意义呢?海森伯抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，可是没有成功。这使海森伯陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，水滴远比电子大，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。这就是海森伯对不确定性最初的思考。据海森伯晚年回忆，爱因斯坦1926年的一次谈话启发了他。爱因斯坦和海森伯讨论可不可以考虑电子轨道时，曾质问过海森伯:"难道说你是认真相信只有可观察量才应当进入物理理论吗?"对此海森伯答复说:"你处理相对论不正是这样的吗?你曾强调过绝对时间是不许可的，仅仅是因

测不准关系

量子力学中的测不准原理

第8讲 测不准关系的严格证明

测不准关系 薛定谔方程

海德堡测不准原理

测不准关系

测不准关系

不确定关系(测不准关系)的表述和含义

21-4测不准关系

能量-时间测不准关系11.4

测不准关系

什么是测不准原理

222- 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系

第六节测不准关系

海森堡测不准原理

§6.10测不准原理及其证明

海森堡测不准原理

第8讲测不准关系的严格证明

测不准关系薛定谔方程

222- 算符的对易关系共同本征态函数测不准关系