测不准关系
从认识论角度理解量子力学中测不准关系
从认识论角度理解量子力学中测不准关系测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。
量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。
这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥∆∆x p x ，2 ≥∆∆y p y ，2 ≥∆∆z p z ，2 ≥∆∆t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。
测不准关系中所说的测得精确和不精确是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系统各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布，并认为测不准关系给出了单次测量中对两个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。
雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的同时测量的解释称为非统计解释。
罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同。
这种证明实际上可以说明：测不准关系对于电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。
从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把测不准的原因归结为在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动。
这样的看法实际上认定，在系统被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使他们变得不确定了。
测不准关系
E t 2
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围； 实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
例15.12 原子的线度为1010 m ，求原子中电子速度的不 确定量.
解：“电子在原子中”就意味着电子的位置不确定 量为 x 1010 m .根据测不准关系可得
解：
E
1.05 10 10 8
34
1.051026 J 6.6108eV
当原子从激发态向基态跃迁时，由于能级有一 定的宽度，则光谱线也有一定的宽度，称为自然宽 度.反过来，根据谱线的自然宽度可以确定原子在激 发态的平均寿命.
15.5 测不准关系
作业：P267 15.17、15.21
第15章 量子物理基础
海森堡严格的理论给出光子坐标与动量的测不 准关系为
xpx
2
ypy
2
zpz
2
h 1.05458871034 J s
2
或： xpx ypy zpz
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
时间与能量的测不准关系：
E t 2
即：如果测量光子的时间精确到Δt ，则测得光
子能量的精度就不会好于ΔE 。
15.5 测不准关系
第15章 量子物理基础
3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
例 1 一颗质量为10 g 的子弹，具有 200m s1 的
速率 . 若其动量的不确定范围为动量的 0.01% (这在
宏观范围是十分精确的 ) , 则该子弹位置的不确定量 范围为多大?
解 子弹的动量
p mv 2kg m s1
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的物理学分支，它的出现彻底改变了我们对于自然界的理解。
在量子力学中，测量是一个核心概念，而测不准关系则是量子力学中重要的原理之一。
本文将探讨量子力学中的测不准关系，并解释其背后的物理原理。
一、测不准关系的定义在量子力学中，测不准关系也被称为海森堡不确定关系，它由物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出。
测不准关系指的是当我们试图同时测量一个粒子的位置和动量时，无法同时获得它们的精确值，而只能得到一个不确定的范围。
换句话说，我们无法同时获得一个粒子的位置和动量的确切数值。
二、海森堡不确定原理为了更好地理解测不准关系，我们需要了解海森堡不确定原理。
海森堡不确定原理可以分为位置-动量不确定关系和能量-时间不确定关系两个方面。
1. 位置-动量不确定关系根据位置-动量不确定关系，我们无法准确地同时知道一个粒子的位置和动量，其原理可以用数学表达式来描述：Δx·Δp ≥ h/(4π)其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小位置的不确定度时，动量的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个粒子的位置，我们就越来越不确定它的动量，反之亦然。
2. 能量-时间不确定关系能量-时间不确定关系是海森堡不确定原理的另一个方面。
根据能量-时间不确定关系，我们无法准确地同时知道一个量子态的能量和持续时间，其原理可以用数学表达式来描述：ΔE·Δt ≥ h/(4π)其中，ΔE表示能量的不确定度，Δt表示时间的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式告诉我们，当我们试图减小能量的不确定度时，时间的不确定度就会增加，反之亦然。
也就是说，如果我们越来越精确地知道一个量子态的能量，我们就越来越不确定它的持续时间，反之亦然。
三、测不准关系的物理解释量子力学中的测不准关系并非是由于我们的测量工具或者技术的限制，而是与量子粒子的本质有关。
海德堡测不准原理
海德堡测不准原理海德堡测不准原理，又称海森堡测不准原理或海森堡测不准关系，是量子力学的一个基本原理，也是量子世界中一项重要的不确定性原理。
该原理由德国物理学家马克斯·波恩和沃纳·海森堡在1927年提出，它揭示了在微观世界中，同时准确确定粒子的位置和动量是不可能的。
海德堡测不准原理的内容可以用简单的数学公式表示为：Δx * Δp ≥ℏ/2其中，Δx是粒子的位置不确定性，Δp是粒子的动量不确定性，ℏ是普朗克常数的约化普朗克常数，约等于1.0545718×10^-34J·s。
这个公式表明了粒子的位置和动量之间存在一个最小不确定性，无论我们使用多么精密的测量仪器，都无法同时测量出粒子的位置和动量的精确数值。
换句话说，海德堡测不准原理告诉我们，当我们试图更精确地测量粒子的位置时，粒子的动量就会变得更加不确定，反之亦然。
这意味着在微观世界中，我们无法同时知道粒子的精确位置和动量，我们只能通过概率的方法来描述粒子的运动状态。
海德堡测不准原理的重要性不仅在于它揭示了微观世界中的不确定性，更在于它对量子力学的基本概念和理论体系产生了深远的影响。
首先，它对于测量过程的影响是十分深刻的。
在测量一个粒子的位置或动量时，测量仪器本身也是一个与粒子相互作用的量子系统，因此测量的过程会对粒子的位置和动量产生干扰，从而使得测量结果变得更加不确定。
其次，海德堡测不准原理也对于量子力学中的态描述和演化产生了深远的影响。
在量子力学中，波函数可以描述粒子的位置和动量的概率分布，海德堡测不准原理确立了不确定性的概念，从而为波函数的物理意义提供了重要的依据。
海德堡测不准原理的实际应用也十分广泛。
在现代物理学和工程技术中，海德堡测不准原理不仅被应用于理论探讨，还广泛应用于各种量子器件的设计与制造中。
例如在原子钟、激光技术、半导体器件等领域，海德堡测不准原理的不确定性影响是不可忽视的，并且需要通过精密的实验设计和工程技术来加以解决。
测不准关系
x
h p
phh p
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：
px x h
经严格证明此式应为：
px x 2 py y 2 pzz 2
这就是著名的海森伯测不准关系式
测不准关系式的理解
1. 用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子 行为时将会受到一定的限制 。
107 m s1 vx 106 m s1
电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。
这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实。
1932诺贝尔物理学奖
• W.海森堡 • 创立量子力学，
并导致氢的同素 异形的发现
问题？ 1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？
例 m 102 kg 的乒乓球 , 其直径 d 5cm vx 200m s1，若 x 106 m, 可以认为其位
置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？
2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典 力学来描写还是用量子力学来描写。
3. 对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均 时间Δt 之间也有下面的测不准关系：
Et 2
Et 2
原子处于激发态的平均寿命一般为 t 108 s
于是激发态能级的宽度为：
E 1026 J 2t
13-6 测不准关系
微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率 波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
x
电子束
a缝
屏
2
幕
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
x
x a
屏
电子束
a缝
2 px
X方向的分动量px的测不准量为：
量子力学中的测不准关系
量子力学中的测不准关系量子力学是研究微观世界的基本物理理论，它描述了微观粒子的行为和性质。
而测不准关系是量子力学中的一个重要概念，它揭示了在测量某个物理量时的固有不确定性。
本文将介绍测不准关系的基本原理、相关数学表达式以及其在现实世界中的应用。
测不准关系的基本原理可以追溯到1927年由维尔纳·海森堡所提出的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在任何时刻，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这意味着，如果我们试图确定粒子的位置，那么它的动量就将变得模糊不清；反之，如果我们试图确定其动量，其位置也将变得不确定。
换句话说，存在一个固有的不确定度，限制了我们在同一时间测量多个相关物理量的精确性。
测不准关系可以用数学表达式来描述。
以位置(x)和动量(p)的测量为例，海森堡不确定性原理给出了以下数学关系：Δx × Δp ≥ ħ/2其中，Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，ħ是普朗克常量的约化值。
这个关系的意义是，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常量的一半。
这说明了在微观尺度上，我们无法同时精确测量位置和动量。
值得一提的是，测不准关系并不是由于观测方法或仪器的限制，而是与量子粒子的本质有关。
这是因为在测量时，我们必须使用光子或其他粒子与被测系统相互作用，而这种相互作用必然会对被测系统的状态产生不可忽视的影响。
因此，测不准关系实际上揭示了微观粒子的固有性质。
测不准关系在实际应用中具有重要意义。
首先，它对于狭义相对论与量子力学的统一提供了重要的线索。
狭义相对论描述了高速运动下的物体，量子力学描述了微观尺度的物体。
然而，这两个理论之间的矛盾问题一直困扰着物理学家。
通过引入测不准关系，我们可以看到，测量的不确定性与时空观念的相对性密切相关，这为两个理论的统一提供了可能性。
其次，测不准关系在量子信息科学、量子计算和量子通信等领域也有广泛应用。
在量子计算中，信息的存储和处理是通过量子比特来实现的。
21-4测不准关系
二、能量时间测不准关系
E t h E t E t 2
例题4：若一电子处于某一能态时间为10-8s，则该原子处于此 能态的的能量最小值为多少？若电子从该能态跃迁至基态，求所得 谱线的波长宽度。 解：（1）
E h 4.14 10 7 (eV ) t
解：
P
2m Ek 1.7110
23
kg m s
1
由不确定关系得
h P h P 39 % x P xP
例题3：光子的波长λ=3000A0。确定此波长的精度Δλ/λ =10-6，求光子位置的不确定量。 解：
P
h
P | x 48m m P 2 2
例题6、不确定关系式Δｘ·ΔＰx≥h/2π有以下几种理解:[B] （1）粒子动量不可能确定． （2）粒子的坐标不可能确定． （3）粒子动量和坐标不可能同时确定． （4）不确定关系不仅适用于电子和光子，以适用于其它粒子. 其中正确的是： (A) (1),(2) (B) (2),(4) (C) (3),(4) (D) (4),(1)
一、坐标动量测不准关系
x
电子束
Δx 缝
p x
p
φ p y
2φ
衍射图样
屏
幕
x方向坐标的测不准量为Δx
电子在x方向动量测不准量为 P P sin x
x sin k sin
x
Px
P Ph x Px P h x xP
坐标动量测不准关系
px m x
根据不确定性关系得
x
2 mx
1.051034 J s 20.01kg0.510 2 m 30
测不准关系的名词解释
测不准关系的名词解释测不准关系（Heisenberg Uncertainty Principle），是量子力学中的一个基础定理，揭示了测量物质微观粒子位置和动量的限制。
这一原理由德国物理学家维尔纳·海森堡于1927年提出，对于当代科学研究和技术发展有着深远影响。
量子力学是描述微观世界行为的物理学理论，与经典物理学的牛顿力学相比，它具有离奇和令人难以理解的特性。
测不准关系正是其中一个最为重要的特征，它限制了我们对于粒子的位置和动量的准确测量。
首先，让我们来了解一下测不准关系的具体表述。
根据海森堡的提出，测不准关系公式可以表示为：Δx·Δp ≥ h/4π，其中Δx代表位置的不确定度，Δp代表动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个公式告诉我们，在同一时间内，粒子的位置和动量不能同时被准确测量，它们之间存在一种固有的不确定性。
为了更好地理解测不准关系，我们可以用一个简单的例子来说明。
假设有一颗微小的粒子在一个无限深势阱中运动。
如果我们希望测量它的位置，我们可以用光子照射它，并测量光子在接收器上的位置。
然而，当光子与粒子相互作用时，光子传递给粒子的动量必然会对粒子的位置产生影响。
这意味着，我们无法同时确定粒子的位置和动量。
测不准关系的存在不仅仅是技术上的限制，它也揭示了物质微观粒子本质上的模糊性和不确定性。
在经典物理学中，我们通常认为物体的位置和动量是可以准确测量的，但在量子力学中，我们必须接受事物的这种局限。
测不准关系不仅仅是学术领域的理论问题，它也在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在核能的开发中，测不准关系的概念帮助我们理解原子核的性质和结构。
在纳米技术和量子计算领域，测不准关系的限制也对制造和测量微小物体的设备有着重要影响。
除了这些应用外，测不准关系还引发了哲学上的思考。
它挑战了我们对物质世界的看法，让我们意识到自然界的本质并非完全确定和可预测的。
这一思想深入人心，推动了科学研究对于个体和整体之间相互关系的探索。
量子力学中的测不准关系原理
量子力学中的测不准关系原理量子力学是描述微观世界的一种物理理论，其核心原理之一是测不准关系原理。
测不准关系原理（uncertainty principle）是由著名物理学家海森堡在1927年提出的。
它表明，在量子力学中，不能同时精确地测量粒子的位置和动量，或者精确地测量粒子的能量和时间。
这一原理揭示了微观世界的一种本质性不确定性，是量子力学的基本原理之一，对于我们理解和应用量子力学具有重要意义。
测不准关系原理背后的思想是，粒子的性质在不同的观察中是相互关联的。
具体而言，测不准关系原理指出，对于一个量子粒子，如果我们希望准确地测量它的位置，那么它的动量就会变得不确定；相反，如果我们希望准确地测量它的动量，那么它的位置就会变得不确定。
这意味着，粒子的位置和动量之间存在一个基本的不可克服的关系，无法同时准确地确定它们的值。
测不准关系原理具体表现为一组数学不等式，被称为海森堡不等式。
其中最著名的是位置和动量的不确定性关系，可以用数学形式表示为：Δx * Δp ≥ h/4π其中，Δx表示位置的不确定性，Δp表示动量的不确定性，h为普朗克常数。
这个不等式的意义在于，当我们试图增加对位置的准确测量时，不可避免地会增加对动量的不确定性，反之亦然。
并且，不论我们使用何种方法或仪器，都无法完全消除这种不确定性。
测不准关系原理的影响不仅局限于位置和动量的不确定性，它还涉及到其他物理量的测量。
例如，根据能量-时间不确定性关系，如果我们试图准确测量粒子的能量，那么与之相关的时间就会变得不确定。
这个关系同样表明了粒子的能量和时间之间存在的固有局限性。
测不准关系原理的意义在于，它打破了我们在经典力学中建立的基于精确测量的理论框架。
在经典力学中，我们认为通过充分准确的测量可以完全描述物体的状态和性质。
然而，量子力学的测不准关系告诉我们，在微观世界中，粒子的某些性质并不是事先确定的，而是具有一定的不确定性。
测不准关系原理的应用领域非常广泛。
测不准关系
用电子衍射说明不确定关系
x px
p
电子通过狭缝时的
py
位置的不确定量：x a
Px
电子通过狭缝后， 要到达屏上不同的点，
a
x
o
y
具有 x 方向动量 Px，
考虑中央明纹区： 0 px p sin
根据单缝衍射公式， 其第一级的衍射角满足：
sin
a
动量在 Ox 轴上的 分量的不确定量为：
解： 电子的动量
p mv 9.11031 200kg m s1 p 1.81028 kg m s1
动量的不确定范围：
p 0.01% p 1.81032 kg m s1
位置的不确定范围：
x
h p
6.63 10 34 1.8 10 32
动量的不确定范围：
p 0.01% p 2104 kg m s1
位置的不确定范围：
x
h p
6.63 10 34 2 104
m
3.3 10 30
m
这个不确定范围很小，仪器测不出，可见对宏观 物体来说，不确定关系实际上是不起作用的。
例：一电子具有 200m s-1的速率，动量的不确范 围为动量的 0.01%（这也是足够精确的了），则： 该电子的位置不确定范围有多大?
但微观粒子，具有显著的波动性，粒子以一定的概 率在空间各处出现。我们不能用经典的方法来描述微观 粒子，以致于它的某些成对物理量（如位置坐标和动量、 时间和能量等）不可能同时具有确定的量值。
1927年，海森伯发现，上述不确定的各种范围之间 存在着一定的关系，而且物理量的不确定性受到了普朗 克常量的限制。这一关系叫不确定关系。
什么是测不准原理
什么是测不准原理测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学的一个基本原理，它揭示了微观世界中测量粒子位置和动量的不确定性。
在量子力学中，测不准原理是指无法同时准确确定一个粒子的位置和动量，也就是说，当我们测量粒子的位置时，就无法准确得知其动量，反之亦然。
这一原理的提出，彻底颠覆了经典物理学中对于测量的理解，揭示了微观粒子世界的奇妙之处。
首先，我们来看看测不准原理的具体内容。
根据测不准原理，对于一个粒子，我们无法同时准确测量其位置和动量。
这是因为，测量位置需要用到光子或其他粒子与被测粒子发生相互作用，而这种相互作用会影响被测粒子的动量，使其动量的测量结果产生不确定性。
同样地，测量动量也会对粒子的位置产生不确定性。
这种不确定性并非是测量技术的限制，而是由于微观粒子的本性决定的，它揭示了微观世界中的混沌和随机性。
其次，测不准原理的提出对于量子力学的发展产生了深远影响。
它不仅揭示了微观世界的奇妙之处，也为我们重新认识世界提供了新的视角。
在日常生活中，我们习惯于用经典物理学的观念来理解世界，但测不准原理告诉我们，微观世界并不遵循经典物理学的规律，而是充满了不确定性和概率性。
这种新的认识挑战了我们对世界的认知，也激发了科学家们对于微观世界的探索和研究。
最后，测不准原理的应用也在现实生活中发挥着重要作用。
在量子力学的研究中，测不准原理被广泛应用于各种实验和技术中，例如在量子通信、量子计算和量子传感器等领域都有着重要的应用。
测不准原理的理论基础不仅为这些领域的发展提供了支撑，也为我们创造了许多前所未有的科技奇迹。
总之，测不准原理是量子力学中的重要原理，它揭示了微观世界中测量的不确定性，对于我们重新认识世界、推动科学技术发展都有着重要的意义。
虽然测不准原理给我们带来了许多挑战和困惑，但正是这种挑战和困惑激发了科学家们对于微观世界的探索，也为我们开启了一扇通往未知世界的大门。
希望随着科学技术的不断发展，我们能够更深入地理解测不准原理，也能够将其应用于更多的实际领域，为人类社会的发展做出更大的贡献。
第六节测不准关系
教师：
胡炳全
第六节 测不准关系（不确定关系） 一、位置与动量的测不准关系：
a sin θ = kλ ∆p x = p x
= p sin θ
a
h
λ
sin θ = hk
∆x∆p x = hk
《大学物理》
教师：
胡炳全
令: k =1
∆x ⋅ ∆p x = h
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
h h ∆x ⋅ ∆p x ≥ = 4π 2
px =
h
λ
∆p x = −
2
h
λ
2
∆λ
将∆px的大小代入不确定关系式，可得：
h λ ∆x = h ∆x ⋅ ∆p x ≥ 2
h h ∆y ⋅ ∆p y ≥ ∆z ⋅ ∆p z ≥ 2 2
（4）测不准关系常常只用做估计数量级，公式可以 有多种形式，试题中通常会指定所用公式。 二、时间与能量的不确定关系：
h ∆t ⋅ ∆E ≥ 2
《大学物理》
教师：
胡炳全
例题1、波长为500nm的光沿着x轴正向传播，若光的波长的 不确定量为10-4nm，试利用不确定关系∆x∆px≥h求光子x坐标 的不确定量。 解：光子波长的不确定造成其动量的不确定，由
上述两个式子都可以叫测不准（不确定）关系。后者更为 测不准（不确定） 常用，常叫做海森伯不确定关系。 讨论： （1）上述关系对微观世界的物质运动是非常重要的， 而对宏观物质的运动则可以忽略。
《大学物理》
教师：
胡炳全
（2）位置和动量是不能同时测量准确，但可以分别 在不同时候准确测量。 （3）测不准关系中的各量有明确的对应：
测不准关系薛定谔方程
（定态）薛定谔方程
[
2 2m
d2 dx2
V (x)](x)
E ( x)
1、无限深势阱 束缚态
0, V (x)
0xa
V
x a, x 0
经典运动
E p02 0，连续取值 0 a
x
2m
在阱外（x<0,a<x），薛定谔方程为
V
2 2m
d 2
dx2
E
(x) 0
0
a
x
在阱内（0<x<a），薛定谔方程为
（光学、电子）显微镜
显微镜弹流油膜厚度的测量
2、 自由粒子 非束缚态
2 d 2(x) E(x)
2m dx2
(x)
i
Ae
px
(
p
2mE )
l *(x)(x)dx l A 2 dx 1
l
l
A 1 2l
2、 自由粒子 非束缚态
2 d 2(x) E(x)
2m dx2
(x)
1
ei
px
宾尼
罗雷尔
STM的发明者宾 尼、罗雷尔和电子 显微镜的发明者卢 斯卡分享了1986年 诺贝尔物理奖。
扫描隧道显微镜（STM）装置示意图
STM显示的生物DNA分子表面图像
用STM得到的神经细胞象
硅表面77重构图象
液体中观察原子图象
在电解液中得到的硫酸根离子吸附在铜 单晶表面的STM图象。
操纵原子已不是梦
从物理考虑，粒 子不能透过无穷
高的势壁。
2 2m
d 2
dx2
E
d 2
dx2
2mE 2
0
d2x 2x 0
第五章 测不准关系
第五章 测不准关系第一部分 内容提要一 体系处于力学量的本征态吓测量力学量时，测量值就是态的本征值，有唯一确定值，几率是1。
二 如果两个力学量相互对易，则它们有共同本征态.在它们共同本征态中测量两个力学量分别有确定值。
三 如果两个力学量算符Fˆ和G ˆ不对易： 0ˆ]ˆ,ˆ[≠=K i G F 则在体系的任意状态),(t rψ 下测量F 和G 不能同时测准。
记 τψ-ψ=-=∆⎰d F F F FF )ˆ()ˆ()(* τψ-ψ=-=∆⎰dG G G GG )ˆ()ˆ()(* 可以证明：2)()(22K G F ≥∆⋅∆特别地有：2)()(22≥∆⋅∆p x四 利用经典力学和测不准关系修正可以估算量子体系地能级，尤其是基态能级。
第二部分 例题讲解例题1 试证明测不准关系式。
已知 0ˆ]ˆ,ˆ[≠=K i G F则 2)()(22K G F ≥∆⋅∆证明：考虑下列积分0ˆˆ)(2≥τψ+ψξ=ξ⎰d G i FI ψ为体系任一波函数，ξ为任一实参数。
利用算符Fˆ和G ˆ的厄米性以及ξ为实数，上面不等式左边可写为：τψ+ξ+ξψ=τψ+ψξψ+ψξ=ξ⎰⎰d G i F G i F d G i F G i FI ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆ[)(*** τψ-ξ++ξψ=τψ+ξ-ξψ=⎰⎰d G F G F i GF dG i F G i F]ˆˆˆˆ(ˆˆ[]ˆˆ][ˆˆ[222**=K i G F G Fi G F ξ++ξ=ξ++ξ222222]ˆ,ˆ[ = 0)4()2(222222≥-+-ξFK GFK F不妨取实参数 22FK =ξ 则 0)4(222≥-FK G所以 222K F G ≥⋅或]ˆ,ˆ[2122G F FG ≥⋅ 简记为]ˆ,ˆ[21G FG F ≥∆⋅∆ 例题二 质量为m 、速度为V 、能量为221mv E =的粒子沿x 轴方向运动，其位置的测量误差为x ∆，设v x t /∆=∆，试由测不准关系 21≥∆∆p x ，导出能量与时间的测不准关系：21≥∆∆t E解： 因为mv p = 所以 v m p ∆=∆ 又221mv E =得tx p pv v mv E ∆∆∆=∆=∆=∆则 21≥∆∆=∆∆x p t E例题三 试利用测不准关系估算[1] 氢原子的基态能级，设rempH22412ˆπε-=[2] 类氢离子得基态能，其中：rze c m c p H221422241)(ˆπε-+=解： [1] 按经典力学观点氢原子能量是rempE 22412πε-=，由于经典力学中r 和p 可以同时确定，即允许0,0=∆=∆p r ，于是0=r 且p=0时氢原子能量最低（∞-），这显然不符合实验事实。
测不准关糸概述
由于德布罗意波的存在，使我们不得不接 受一个经典概念无法理解的原理，即海森堡 的测不准原理，这是一个普遍原理。
对于宏观粒子来说, 我们可以用某个时刻 粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在 这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道 的出现）。
微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观 粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒 子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。
xpx
Vt
E V
2
E Vp
E t 2
6
（3）能级宽度和能级寿命
设体系状态的寿命为τ,因测量只能在时间范围τ内进行，则 测得的能量必有宽度为Γ的不确定程度满足关系。
~
或
E
t
2
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围； 实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。
7
2 ．实物粒子的不确定关系 ——量子力学中“测量”理论的基本概念。
V<< c―――― L>> h――――
9
例 15-21 设电子的动能ＥＫ=10ev，试说明在原子中电子的运 动不存在"轨道"。
解：因能量很低，故属非相对论效应，所以速度为
V 2Ek 10பைடு நூலகம் m / s
me
由测不准关系， 速度的不确定程度 式中 x=0.53－10m
xpx
V p 1 106 m / s m m x
y
光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍 射角、缝宽 x (a) 和入射波波长间满足衍射反比关系
a sin k
考虑中央极大K =1
狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：
测不准原理的深刻内涵
测不准原理的深刻内涵测不准原理，又称海森堡测不准关系，是量子力学中的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。
该原理指出，在微观粒子的测量过程中，无法同时准确确定粒子的位置和动量，即在某一时刻对粒子位置的测量精度越高，对其动量的测量精度就越低，反之亦然。
这一原理揭示了微观世界的不确定性，深刻影响着量子力学的发展和人们对自然界的认识。
测不准原理的内涵之一在于揭示了自然界的基本规律是不确定的。
在经典物理学中，人们习惯于用确定性的观念来描述物体的运动状态，认为只要掌握了物体的位置和速度，就可以准确预测其未来的运动轨迹。
然而，测不准原理的提出打破了这种观念，表明在微观世界中，粒子的位置和动量并不存在同时确定的可能性，这种不确定性是量子世界的固有属性。
因此，测不准原理的深刻内涵之一是让人们意识到，自然界并非完全可预测，存在着一定的随机性和不确定性。
另一个深刻内涵是测不准原理揭示了观察者与被观察对象之间的相互影响。
在经典物理学中，人们往往认为观察者可以客观地观测物体的状态，而不会对物体本身造成影响。
然而，量子力学的测不准原理表明，观察者的测量行为会对微观粒子的状态产生影响，甚至改变其原本的运动状态。
这种观察者效应引发了人们对于客观性和主观性的思考，提出了“观察即塑造”这一新的认识观念，拓展了人们对于观察与实验的理解。
此外，测不准原理还启示人们对于信息获取的局限性。
根据测不准原理，粒子的位置和动量无法同时被准确测量，这意味着存在着信息的缺失和不完全性。
在量子世界中，信息的获取受到一定的限制，无法获得完整和准确的信息。
这种信息的局限性不仅影响了科学研究的深入，也引发了人们对于信息论和量子通信等领域的探讨，推动了信息科学的发展。
总的来说，测不准原理的深刻内涵包括揭示了自然界的不确定性、观察者效应以及信息获取的局限性。
这一原理的提出不仅拓展了人们对于量子世界的认识，也引发了对于科学哲学和认识论的思考。
通过深入探讨测不准原理的内涵，可以更好地理解量子力学的基本原理，拓展人们对于自然规律的认识，推动科学技术的发展。
测不准关系
(2)不确定关系完全是由 于微观粒子的波粒二象 性所决定的，与所用仪 器的精密程度无关；与 测量技术无关。 (3)不确定关系是微观世 界的一条重要规律。 (4)无法用轨道的概念来 描述微观粒子的运动。
二、能量和时间、角动量 和角位移的测不准关系
t 2 2
2、坐标和动量的不确定关系
p x x 2 p y y 2 p z z 2
物理意义
2
p q 2
(1)也就是说，当 粒子的位置X完全 确定(X 0),那 么粒子的动量PX， 的数值就完全不 确定（ Px ).微观粒子不 能同时具有确定 的位置和动量。
三、不确定关系的简单导出
q 缝宽:坐标的不确定量;α衍射角;p 动量的不确定量; p q =h
q α0
p
P§3Βιβλιοθήκη 确定关系 一、坐标和动量的测不准关系 二、能量和时间的测不准关系
一、不确定关系的表述和含义
不确定关系的几种表示
粗略的表示：
海森堡严格推出：
p q h
p q 2
p和 q 说明（1）p和q是两个不可对易的力学量， 是p和q的不确定值或均方根误差。
(2)表述含义：量子力学中，不可对易的力学量 不能同时具有确定的值。
不确定关系（测不准关系）的表述和含义
不确定关系（测不准关系）的表述和含义摘要：介绍了测不准关系的一些不同的表述和证明方法，对其中关于这一原理的认同和有争议的问题进行了比较与分析。
关键词：测不准关系；不确定度；量子理论；统计解释引言测不准关系是由量子力学基茌原理导出的一个重要推论，它是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性它在量子力学中占有重要的地位。
量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用；但是，对量子力学基本理论的解释却一直存在着不同意见的争论，关于测不准关系的理解问题是争论的焦点之一。
本文对其中一些主要的有争议问题进行简要的介绍，并加以讨论。
1 几种主要的表述和证明方法测不准关系是海森堡在1927年提出的，他设想一种使用波长很短的γ射线的显微镜来最大限度地精确测定电子的位置，这种测量，依靠的是光子被电子的散射[康普顿(compt)散射。
海森堡在题为“关于最子理论的动力学和力学的直观内容”的论文中说[1]：“当测定…电子‟位置的瞬间，也正是光产被电子散射的瞬问，电子的动量产生一个不连续的改变。
当所用的光的波长越小，即位置测定得越精确，这一改变就越大。
因此，在知道电子位置的瞬间，它的动量只能了解到对应于那一不连续改变的大小的程度。
于是，位置测定得越精确，动量就知道得越不精确，反之亦然。
在这种情况下，我们看到方程pq—qp=-ih的一种直接的物理解释。
这就是在文献中第一次出现的关于测不准关系的表述。
1929年，罗伯逊(Robertson)[2]在一篇短文中首次证明：两个厄密算符的标准偏差之积绝不会小于它们的对易子的平均的绝对值之半。
证明如下：设A和B是任意的两个厄密算符，C是它们的对易子，令A1=A一<A>，B1=B 一<B>，A和B的标准偏差分别为△A=<A12>1/2和△B=<B12>1/2。
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南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（ 2012 届）题目：院（系、部）：专业：姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制目录1.引言 (5)2、测不准关系的理论背景 (5)2.1 粒子的波动性 (5)2.2波的粒子性 (6)3．测不准关系式的简要导出 (7)3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 (7)3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式 (7)3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 (7)3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。
(7)4 对测不准关系的认同与争议 (9)4．1对测不准关系的争议 (9)4.1.1统计解释与非统计解释 (9)4.1.2某些力学量测不准的原因是什么 (9)4.1.3关于名称和译名的争议 (10)4．2对有争议问题的讨论 (10)4.2.1关于统计解释和非统计解释 (10)4.2.2某些力学量测不准的原因 (11)4.2.3关于uncertainty和indeteminacy的译名问题 (11)5 测不准关系的应用 (11)5.1无限深势阱问题 (12)5.2 线性谐振子问题 (13)5.3 氢原子问题 (15)结语 (16)谢辞 (17)参考文献 (17)摘要测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值，例如位置与动量、时间和能量。
它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。
本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。
通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.关键词：测不准关系；量子力学；估算AbstractThe uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It showed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.This paper focuses on the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential well, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics；estimation1.引 言测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，由海森伯在1927 年率先提出, 经历了大半个世纪争论，近30年来才逐渐取得一致, 成为量子力学的重要内容。
量子力学是现代物理学的理论支柱之一, 被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。
这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。
测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数 2（π2h = ，其中h 是普朗克常数）是德国物理学家海森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：2 ≥∆∆x p x ，2 ≥∆∆y p y ，2 ≥∆∆z p z ，2 ≥∆∆t E ，该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。
在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。
相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。
2、测不准关系的理论背景微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。
我们可以以两个不同方面的例子来说明。
一是从粒子(电子)的波动性，二是从波(光)的粒子性。
2.1 粒子的波动性一束动量为p 的电子通过宽为x ∆的单缝后发生衍射，而在屏上形成衍射条纹。
对一个电子来说，它是从宽为x ∆的缝中通过的，因此它在x 方向上的位置不确定量为x ∆;忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，在x 方向有θ角偏转，表明电子通过缝时在x 方向的动量不确定量为21∆=x p θs i n p ，第一级暗纹中心的角位置由下式决定:λθ=∆sin x ，根据德布罗意公式p h =λ，得x p h ∆=θsin ，则动量不确定量为21∆x p =xh ∆，考虑到衍射条纹的次级极大，可得h p x x ≥∆∆，这就是不确定关系[。
2.2 波的粒子性1923年康普顿及后来的吴有训进行的X 射线通过物质时的散射实验，不仅有力地证明了波(光)具有粒子性，而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格地遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。
根据光子理论，X 射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。
由于光子在空间至少要展开德布罗意波长λ的范围，在测定它与电子碰撞位置时的不准确度也就至少在λ的范围内。
这就是说，如果用x ∆来表示电子位置的不准确度，那么，x ∆总是要不小于光子的波长λ，即x ∆λ≥。
在碰撞时，光子将动量传给电子，所传递动量的大小取决于碰撞是正碰还是斜碰。
一般来说，传给电子的动量不可能大于光子原有的动量，电子在碰撞后动量的不准确度∆x p 约x p ，则有h p x x ≥∆∆。
海森伯对这一近似关系式进行了更仔细地数学分析后，发现2 ≥∆∆x p x ，π2h = =1.0545887x 3410-J ·S 。
海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。
于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。
”以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。
因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。
3．测不准关系式的简要导出测不准关系的常见模式通常由以下四种类型导出3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系。
如果单缝的宽度为a ，那么电子坐标不确定度x a ∆=,根据衍射实验我们知道动量不确定度θsin Px Px =∆,根据衍射理论有θλsin a =,因此有λθPx aPx Px x ==∆∆sin ,得ho P x =∆∆又因为次级衍射的存在，所以有ho P x ≥∆∆.3.2由量子力学中的特例导出测不准关系式。
如：用一维无限深势阱中基态粒子的坐标与动量的关系可以导出测不准关系式。
设势阱宽度为 a ,坐标不确定度π2/a x >∆,动量不确定度a h Px 2/=∆,得π4/h Px x >∆∆3.3由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式。
如果算符F 和G 的对易关系为FG-GF=iK ，那么有2^)(F ∆2^)(G ∆≥2^K /4而坐标和动量的对易关系为^x Px ⋅-^Px X=ih/2π，因此有π222216/)()(h Px x ≥∆⋅∆，得π4/h Px x ≥∆∆. 3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。
普朗克在解释黑体辐射的能量分布规律时提出的能量量子化：nhv E = n=1,2,3 (2)玻尔在氢原子理论中提出轨道量子化条件：nh P =Φπ2 n=1,2,3....（3）德布罗意在总结了数百年来对光和实物粒子的研究情况后提出了实物粒子的波粒二象性hv E =（4） λ/h p = （5）由（2）（4）整理可得h ET =(取n=1) （6） 由（3）式整理可得h P =Φπ2(取n=1) （7） 由（5）式整理可得h P =λ （8） 在（6）（7）（8）这三式中，每一式都含有一个守恒量，即E ，P Ф，P,它们各自与对应的周期的乘积均为一个共同的常数ho,这是几个基本假定的一个共同特性。
再将（6）（7）（8）与（1）进行比较得另一个共有特性，即每一个测不准关系式都有一个基本假定与之对应，即h P h q Pi =→≥∆∆λ1h ET h T E =→≥∆∆h P h L =→≥∆∆πφφ2并且都可以由假定的基本是简洁的得出相应的测不准关系式，下面说明一个，其他的可以类推。
由：P λ=h,取其增量：0=∆⋅+∆+λλP Pλλ∆=∆)/(P P式中的负号表示P 和λ这一对共轭力学量中一个增加，而另一个就必然减少。
在此处我们只考虑偏差，可以不计负号，因此上式变为λλ∆=∆)/(P P （9）由量子论我们知道，与一个实际的微观物质粒子的某一力学量的增量相缔合的是一个“波包”。
而实际的“波包”都可以看场是由ΔP(或Δλ)内许多个单色平面正弦波的叠加而成。
因此有：ψ（xt ）=λψλλψλd xt C dp xt p Cp P )()(⎰⎰∆∆=ψP λ=h 中的P.λ都为统计平均值，而任一时刻沿X 方向传播的平面波的传播增量Δx 必定为λ的整数倍。
即：λn x =∆ (10)由（9）·（10）得)(λ∆=∆⋅∆n P x p .式中的（n Δλ）代表物质波的伸长或缩短，根据量子化的特性有λλN n =∆,式中的N 为整数，因此有λN P x P ⋅=∆⋅∆,而h P =λ,因此Nh x P =∆⋅∆.即：h x P ≥∆⋅∆.其余两式不再叙述。