平面向量的内积 PPT课件
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《平面向量的内积》中职数学基础模块上册6.4ppt课件2【语文版】
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
难读到老师的表情。认真听讲不单纯是指听老师说的话，把握老师的表情和语调之类的小细节也是很有必要的。说话比平时更用力，或者表情严肃地强调的那个部分几乎百分之百地会出现在考试中。但是如果坐在后面，那种重要的提示就全都错过了。
符号所决定． ③两个向量的内积，写成
a
b
；符号“
·
”在向量运算中不
是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
已我向知们量非把的零a内向b积量co(as数与 这量b，个积乘)=〈 的积概a叫,做念b〉a为与两b向的量内的积夹(或角数，量积)．
记作：a b a b cos
规定 0与任何向量的内积为0． 根据向量内积的定义，我们可得到一些常用结论：
（1）当 a、b 同向时，a b a b
特别地 a a a 2 0,
a
a
a
（2）当 a、b 反向时，a b a b
（3）当
（4） a
a b
b时a，ba
b
0
命题 a b 0, a 0 b 0
正确吗？
已我向知们量非把的零a内向b积量co(as数与 这量b，个积乘)=〈 的积概a叫,做念b〉a为与两b向的量内的积夹(或角数，量积)．
记作：a b a b cos
规定 0与任何向量的内积为0．
可⑴⑶⑵以(aa验(ab证bb，))b向c量a(内aa积)c满b足b以ac下 (运b算)律
§7.4.1平面向量的内积
s，力 F与物体位移
F cos W s F cos
③ 功W是一个数量还是一个向量？
F
数量
θ
s
说出下列特殊角的余弦值： 0,
2 3 5
6 4 3 2 , , , , 3 , 4 , 6
,
两个非零向量夹角的概念
， 作 ， 已知非零向量 a b， OA a OB b 与 b 则∠AOB 叫做 a b的夹角． 与 a B 记作: =〈a , b〉 b 规定: 0 180 A O 说明： a （1）当 0 时，a b同向； 与 （2）当 π 时，a与 b反向； π （3）当 时，a与 b垂直，记作 a b ； 2 注意： 在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
a kb （a kb = 0 （ ） ） 2 2 2 即 a k b 0. 3 2 9 16k 0. k
4 3 因此，k = 时，a kb 与a kb 互相垂直. 4
设m、n是两个单位向量，其夹角为60， 求向量a 2m n与b 2n 3m的夹角.
5 4 cos 120 10．
① a 8， 4，〈a , b〉 30 ，求a b. b
②已知 a 4, b 4, a b 8 2, 求a与b的夹角 . ③在ABC中，若AB BC 0，判断ABC的形状.
已知 a 1, b
2， a b, 求a b. 且
a a b cos 0 = 2； b cos = 2.
解：由a b ，分两种情况： 当a, b 同向时， a b 当a, b反向时， a b
2.3向量的内积(中职)
= × × °
=
练习1：已知|| = , || = , //，求 ∙
2.已知∆是边长为2的等边三角形,求 ∙ , ∙ .
例2 已知|| = || = , ∙ = −,求 < , >.
解：
< , >=
第二章 平面向量
2.3 向量的内积
一、两向量的夹角
对于非零向量和,作 = , = ,称射线OA、OB所成
的最小正角为向量与的夹角,记作<,>.
A
<, >
O
B
如上图：
向量与向量的夹角为 45° ，即< , > = 45° .
类似的:
向量与向量的夹角为 90°，即 < , >= 90° .
(2) < , > =
90°，即 < , > > 0，则 ∙ > 0;
90°，即 < , > = 0，则 ∙ = 0;
(3) ° >< , > >
90°，即 < , > < 0，则 ∙ < 0.
结论：
∙ > ⇔< , >为锐角;
结论
(1) 当、同向时,< , >= ;
(2）当、反向时,< , >= ;
（3）两向量夹角范围： ≤< , >≤π;
(4)< , >=< , >
(5)当< , >= 时,称向量与向量互相垂直,记作 ⊥ .
零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量垂直.
=
练习1：已知|| = , || = , //，求 ∙
2.已知∆是边长为2的等边三角形,求 ∙ , ∙ .
例2 已知|| = || = , ∙ = −,求 < , >.
解：
< , >=
第二章 平面向量
2.3 向量的内积
一、两向量的夹角
对于非零向量和,作 = , = ,称射线OA、OB所成
的最小正角为向量与的夹角,记作<,>.
A
<, >
O
B
如上图：
向量与向量的夹角为 45° ，即< , > = 45° .
类似的:
向量与向量的夹角为 90°，即 < , >= 90° .
(2) < , > =
90°，即 < , > > 0，则 ∙ > 0;
90°，即 < , > = 0，则 ∙ = 0;
(3) ° >< , > >
90°，即 < , > < 0，则 ∙ < 0.
结论：
∙ > ⇔< , >为锐角;
结论
(1) 当、同向时,< , >= ;
(2）当、反向时,< , >= ;
（3）两向量夹角范围： ≤< , >≤π;
(4)< , >=< , >
(5)当< , >= 时,称向量与向量互相垂直,记作 ⊥ .
零向量的方向不确定，规定零向量与任意向量垂直.
《向量的内积及其运算》中职数学(基础模块)下册7.4ppt课件1【人教版】
b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a b
2
a b
2
2( a
2
b
2
)
证明：⑴
(a
b)
(aLeabharlann b )
aa ab b a b b
a
2
b
2
⑵ 因为
2 ab
(a
b)
(a
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
120；
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b ,a
b,
求
a,b
⑴
a b 8, a
b
《平面向量的内积》课件
区别
内积结果是一个标量，而外积结果是一 个向量。
内积的结果与向量的顺序无关，而外积的结 果与向量的顺序有关。
内积满足交换律，即 $vec{u}cdotvec{v}=vec{v}cdotvec {u}$，而外积不满足交换律，即 $vec{u}timesvec{v}$与 $vec{v}timesvec{u}$是两个不同的 向量。
$vec{a} cdot vec{a} geq 0$ ，当且仅当$vec{a} = vec{0}$ 时取等号。
交换律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$。
分配律
$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambdavec{b})$，其中 $lambda$为标量。
积的绝对值。
特殊情况处理
当两个向量垂直时，它们的夹角为 $90^circ$，此时余弦值为$0$，因此 内积为$0$。
当两个向量共线时，它们的夹角为 $0^circ$或$180^circ$，此时余弦值 为$1$或$-1$，因此内积为 $|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$或 $-|mathbf{a}| times |mathbf{b}|$。
cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$ 是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
几何意义
平面向量的内积可以理解为两个向量在垂直方向上的投影长度之积。具体来说，如果将 其中一个向量投影到另一个向量的垂直平面上，则投影长度等于该向量与另一个向量内
向量的内积 外积 混合积课件
AMB . 解: MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1)
则 cos AMB MA MB MA MB
100 1
22 2
故
AMB
3
A
B M
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平
面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 ,
求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度
为 ) .
解: P A v cos
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积
A v cos
例
4
已知a
(1,1,4) ，b
(1,2,2)，求（1）
a ·b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
v a r sin
v a
M
且 r v 符合右手法则 v r
lr
O
三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b ) c 记作 a, b,c
ab
为 a , b , c 的混合积 . 几何意义
以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其
例11. 证明四点 A(1,1,1), B( 4,5, 6 ),C( 2,3 ,3),
D(10,15,17 ) 共面 .
解: 因 [ AB , AC , AD ]
3 45
1 2 2 0 9 14 16
A
B C
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ) , c (cx , cy , cz )
高教版中职数学(基础模块)下册7.3《平面向量的内积》ppt课件1
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巩固知识 典型例题
例4 已知a＝(−1,2)，b＝(−3,1)．求a·b, |a|,|b|, <a,b>．
解
a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5.
|a|＝ a a (1)2 22 5． |b|＝ b b (3)2 12 10．
cos<a，b>＝a b 5 2 ．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
| a || b | 10 5 2
平面向量的内积
向量的内积的常用结论
⑴当 a、b 同向时，a b a b , 特别地 a a a 2 ,
⑵当 a、b 反向时，a b a b ,
⑶当a b 时， a b 0.
a b= a b cos a，b
注意： ①这是一种新的运算，以前所学的运算律、 性质是否适用需要验证．
②符号“ ·”在向量运算中不是乘号，既不能
省积，略写，也成不a能 b用 ；“×”代替．两个向量的内
③两个向量的内积是一个实数，不是向量， 符号由cosθ 的符号所决定．
规定零向量与任何向量的内积为0。
向量的内积(数量积)的概念
把 a b cos 这个乘积叫做 a与
b的⑵量(a内a(a积b满bb)足)bc以a(下aa运)c算 b律b
ac
(b )
注意：向量的数量积运算不满足结合律.
400 1800 .
例1：求下列各组向量a与b的夹角。
b
45º
a
①
b
60º
a
②
b
135º
a
③
2.内积（或数量积）
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之 积叫做向量a与b的内积。记作a b，即：
a b= a b cos a，b （ 00 1800 ）
例5：a 4, b 2, a, b 600 ,
若 a-2b a+b，求。
例5：
例6：非零向量a,b,c，两两夹角相等，且 a b c 1, 求 abc.
作业： 1：a 3, b 4, a, b 600 , 求
1 a b 2 2a b b 3 a b 2 4a b a b ５3a b a 2b
平面向量的内积PPT课件
第9页/共17页
7.4.2 运用平面向量的坐标求内积
第10页/共17页
第11页/共17页
第12页Байду номын сангаас共17页
• 例3 求下列向量的内积：
(1) a (3, 2),b (1,5)
(2) a (3,1),b (2, 5) (3) a (0, 2),b (1,0)
解：(1) a b 31 (2) 5 7 (2) a b (3) 2 1 (5) 11 (3) a b 01 (2) 0 0
记作
a b
a
b
cos〈a,
b〉
0 规定
与任何向量的内积为0．
说明：
（或1为）零两。个向符量号的由内co积s〈是a一, b个〉实的数符，号不所是决向定量．，可正、可负
（2）两个向量的内积，写成a b；符号“· ”在向量运
算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
第3页/共17页
3．向量内积的性质
第16页/共17页
谢谢您的观看！
第17页/共17页
例2 已知 a b 2,a b 2,
求
解：由 a b a b cos ，得：
cos a b 2 2
a b 2 2 2
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =135°
第6页/共17页
拓展
求证
⑴
(a
b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a
b
2
a
b
2
2( a
2
b
2
)
证明：⑴
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
b，则 b
a
∠AOB
7.4.2 运用平面向量的坐标求内积
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第12页Байду номын сангаас共17页
• 例3 求下列向量的内积：
(1) a (3, 2),b (1,5)
(2) a (3,1),b (2, 5) (3) a (0, 2),b (1,0)
解：(1) a b 31 (2) 5 7 (2) a b (3) 2 1 (5) 11 (3) a b 01 (2) 0 0
记作
a b
a
b
cos〈a,
b〉
0 规定
与任何向量的内积为0．
说明：
（或1为）零两。个向符量号的由内co积s〈是a一, b个〉实的数符，号不所是决向定量．，可正、可负
（2）两个向量的内积，写成a b；符号“· ”在向量运
算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
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3．向量内积的性质
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例2 已知 a b 2,a b 2,
求
解：由 a b a b cos ，得：
cos a b 2 2
a b 2 2 2
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =135°
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拓展
求证
⑴
(a
b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a
b
2
a
b
2
2( a
2
b
2
)
证明：⑴
规定
0
〈a,
b 〉
180
O
b，则 b
a
∠AOB
平面向量的内积PPT课件
(×)
7.对实数a,b,c有 (ab)c=a(bc) 对向量,是否有
(a.b)c=a(b.c)
.
9
4、向量数量积的运算律
运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后， 自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量
积已能知r否向r满量足ar 下r, br面,rcr的运和算实律数？ ，则向量的数量积满足：
（1）ab rr ba （r交r 换律r ） r
F
┓
s
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
功是一个标量，它由力和位移两个向量来
确定。这给我们一种启示，能否把“功”
看成这两个向量的一种运算的结果呢？
.
4
a b 2、数量积的概念
已知两个非零向量
r
r
ra
a b cos 叫做 a 与b
r 和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量
r
r
a
ABb O
A
r r 180 a 与 b 反向
.
B
r
r Ob r9ar 0 A a 与rb 垂r直， 记作 a b 2
练习1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移 变成共起点！
B
.
3
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图）
r b
.
6
变1：当
0 时求
ar
r •b
变2：当
90时求 ar
•
r b
变3：当
180 时求
ar
•
人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》ppt课件1
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cos〈a, b〉
5 4 cos120 10．
例2 已知 a b 2,a b 2,
求
解：由 a b a b cos ，得：
cos a b 2 2
a b 2 2 2
因为0°≤θ ≤180°，所以θ =135°
拓展
求证
⑴
(a
（3）当
〈a,
b 〉
π
时，a
与
b垂直；记作
a
b；
2
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
2．向量的内积
已知a 非b 零co向s〈量a,ab与〉b叫，做〈aa与, bb〉的为内两积向．量的夹角，则数量
记作
a b
a
b
cos〈a,
4．向量内积的运算律
⑴ ⑵ ⑶
a(abb
b
)
(a b ) c
a
(a)
ac
b
b
a
c
(b )
例1 已知
a
5，b
4，〈a,
b〉
120．
求
a
b．
解：由已知条件得
ab
a
b
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
优质中职数学基础模块下册：7.3《平面向量的内积》ppt课件(两份)
所以 <a,b>＝ 45
2 2 10 5
5
例5
判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)． (1) 因为a· b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a
【教学过程】
*创设情境 兴趣导入
F
30
O
s
图7—21
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前 进了100 m．那么，这个人做了多少功？
*动脑思考 探索新知
【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向 量为i，垂直方向的单位向量为j，则
a b cos90 0, 因此对非零向量a，b，有
a· b ＝0
a
b.
可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
(1) a· b ＝b · a b＝ （2 ） ( a ) ·
b ) ＝a · ( (a·
b)．
（3 ） ( a ＋b ) · c ＝a · c ＋b · c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
a· b ＝ (x 1 i ＋ y 1 j ) · (x 2 i ＋ y 2 j ) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2 ＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2 ＋ y1 y2 ．
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的 和，即 a· b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)
例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a· b, |a|,|b|, <a,b>．
2 2 10 5
5
例5
判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)． (1) 因为a· b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a
【教学过程】
*创设情境 兴趣导入
F
30
O
s
图7—21
如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成 30 角的方向拉小车，使小车前 进了100 m．那么，这个人做了多少功？
*动脑思考 探索新知
【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向 量为i，垂直方向的单位向量为j，则
a b cos90 0, 因此对非零向量a，b，有
a· b ＝0
a
b.
可以验证，向量的内积满足下面的运算律：
(1) a· b ＝b · a b＝ （2 ） ( a ) ·
b ) ＝a · ( (a·
b)．
（3 ） ( a ＋b ) · c ＝a · c ＋b · c． 注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即
a· b ＝ (x 1 i ＋ y 1 j ) · (x 2 i ＋ y 2 j ) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2 ＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2 ＋ y1 y2 ．
这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的 和，即 a· b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)
例4 已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a· b, |a|,|b|, <a,b>．
2019年4-2向量的内积.ppt
x y x y . 性质2 当x与y正交时 ，
2 2 2
5 向量空间的正交基
n R 我们仅讨论实数域上的n维向量空间 .
n n n维向量空间 R 的基： R 中任意n个线性无关
向量1，2， ，n .
R 的正交基: 若1 , 2 ,, n是向量空间R n的一组基, 且1 , 2 , , n是两两正交的非零向量 组, 则称1 , 2 ,, n是
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1 再把它们单位化，取 1 1 1 1 b1 b2 e1 2 , e2 1 , 6 3 b1 b2 1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1 e1 , e2 , e3即合所求.
称 xT y为向量x 与 y的内积 , 记作（ x, y） .
内积的运算性质
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 :
(1) ( x, y) ( y, x );
( 2) (x, y) ( x, y);
( 3) ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z );
准正交化.
若a1 , a2 ,, ar 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ， ( a2 , b1 ) b2 a2 b1 , ( b1 , b1 )
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
2 2 2
5 向量空间的正交基
n R 我们仅讨论实数域上的n维向量空间 .
n n n维向量空间 R 的基： R 中任意n个线性无关
向量1，2， ，n .
R 的正交基: 若1 , 2 ,, n是向量空间R n的一组基, 且1 , 2 , , n是两两正交的非零向量 组, 则称1 , 2 ,, n是
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1 再把它们单位化，取 1 1 1 1 b1 b2 e1 2 , e2 1 , 6 3 b1 b2 1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1 e1 , e2 , e3即合所求.
称 xT y为向量x 与 y的内积 , 记作（ x, y） .
内积的运算性质
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 :
(1) ( x, y) ( y, x );
( 2) (x, y) ( x, y);
( 3) ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z );
准正交化.
若a1 , a2 ,, ar 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ， ( a2 , b1 ) b2 a2 b1 , ( b1 , b1 )
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
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A
a 与 b 垂直，
记作 a b
练习1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移 变成共起点！
B
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图）
F
┓
s
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
即 150 a b a b cos150
若a与b反向,则 180 , a b a b cos180
4 5 ( 3) 2
10 3
4 5 (1) 20
作业：练习 第3题.
习题 第1题.
隆德职业中学
（ 1）“ • ”不能省略不写，也不能写为“ ”
（2）a b表示数量而不表示向量,与a、a b、a b 不同, 它们表示向量；
（3） 在运用数量积公式解题时,一定要注意向量
夹角的取值范围是0 180
（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质不适合．
练习1，已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 60 ，
a ·b =| a || b |cos
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，是a与e的夹角,则
a⊥b=/2cos=0
| a || b |cos=0
(1)a⊥b a ·b =0.
a ·b =0
(2)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
√ 特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |= a ·a
(3)cos=( a ·b )/(|a||b|).
(4) e ·a = a ·e=| a |cos.
练习3、判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(2) a =(0,2) b =(-2,2)
已知: a 4, b 5,当⑴a∥b;
⑵ 当a⊥b时, 90
⑵ a⊥b;⑶a与b的夹角为150 a b a b cos90
时,分别求a与b的数量积.
0
解:
⑴∵a ∥b ,∴a与b同向或反向 ⑶ 当a与b夹角为150 ,
若a与b同向,则 0, a b a b cos 0 4 5 20
1、向量的夹角的概念
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则AOB bb 的夹角
B
记作<a,b>.
b
O
aA
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
B
a
ObB
0
a 与b 同向
a
ABb O
A
180
a与 b 反向
b
O
a
90
15
四、小结：
本节课我们主要学习了平面向量的夹角,数量 积的概念,运算率与性质，常见的题型主要有：
1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义） 2、由数量积求向量的模 3、由数量积确定两向量的夹角 4、运用数量积的性判定两向量是否垂直
练习2：作图并求出求下列各组向量的夹角
（1）a =(0,-3) b =(2,0)
解： （ka b）（a 2b）
（ka b）（ a 2b） 0
新疆 王新敞
奎屯
即k a 2
（2k
1）a b
2
2b
0
2
2
k a （2k 1）a b cos60o 2 b 0
25k （2k 1） 5 4 1 2 42 0
k 14
2
15
当k 14时，向量ka b与a 2b垂直。
求a ·b.
知道 a b与
解： a ·b =|a | |b |cosθ
a b 能不
5 4 cos 60 能求出 cos
54(1)
2
10
cos a b
ab
变1：当
0 时求
a
•
b
变2：当 90时求 a • b
变3：当 180 时求 a • b
变4：e 与 a 同方向，求 a e
3、向量数量积的性质
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b) （数乘结合律）
（3）(a b) c a c b c （分配律）
4 (a b) c a (b c)（不一定成立）
例2、已知 a 5，b 4，a与b的夹角为60o，问当k为何值时， 向量k a b与a 2b垂直？
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
7.对实数a,b,c有 (ab)c=a(bc) 对向量,是否有 (a.b)c=a(b.c)
4、向量数量积的运算律 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，
自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量 积能否满足下面的运算律？
功是一个标量，它由力和位移两个向量来 确定。这给我们一种启示，能否把“功” 看成这两个向量的一种运算的结果呢？
2、数量积的概念
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量
a b a b cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作
即有 a b = a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 a 0