高中数学选修2-2 同步练习 专题1.2 导数的计算(解析版)
2020年高中数学选修2-2 课堂练习本《导数的计算》(含答案解析)
2020年高中数学选修2-2 课堂练习本
导数的计算
一、选择题
1.已知函数f(x)=ax 2
＋c ，且f′(1)=2，则a 的值为( )
A ．1 B. 2 C ．-1 D ．0
2.已知函数f(x)=x ＋ln x ，则f′(1)的值为( )
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
3.下列求导运算正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ′=1＋1x 2 B ．(log 2x)′=1xln 2 C ．(3x )′=3x log 3e D ．(x 2
cos x)′=-2sin x
4.若指数函数f(x)=a x
(a>0，a≠1)满足f′(1)=ln 27，则f′(-1)=( )
A ．2
B ．ln 3 C.ln 3
3
D ．-ln 3
5.某汽车的路程函数是s(t)=2t 3-12
gt 2(g=10 m/s 2
)，则当t=2 s 时，汽车的加速度是( )
A ．14 m/s 2
B ．4 m/s 2
C ．10 m/s 2
D ．-4 m/s 2
6.函数f(x)=e x
sin x 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.3π4
B.π3
C.π4
D.π6
7.曲线y=sin x sin x ＋cos x - 12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．- 12 B.12 C ．-22 D.22
二、填空题
8.若函数f(x)=ln x
x
，则f′(2)=________.
9.曲线y=x 2
＋1x
在点(1,2)处的切线方程为________．
10.已知f(x)=1x ，g(x)=mx ，且g′(2)=1
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
x x cos ；（2）y = (2x2 + 3)(3x − 2) ． 2 2 x x 1 1 解：（1）y ′ = (x − sin cos )′ = (x − sin x)′ = 1 − cos x． 2 2 2 2 （2）y ′ = [(2x 2 + 3)(3x − 2)] ′ = (6x3 − 4x2 + 9x − 6)′ = 18x2 − 8x + 9．
1 ， x
二、知识清单
导数的计算 利用导数求函数的切线方程
三、知识讲解
1.导数的计算 描述： 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f (x) = c（c为常数） 基本初等函数的导函数
导数的运算法则
f ′ (x) = 0 f (x) = xα （α ∈ Q∗ ） f ′ (x) = αxα−1 f (x) = sin x f ′ (x) = cos x f (x) = cos x f ′ (x) = − sin x f (x) = ax （a > 0且a ≠ 1） f ′ (x) = ax ln a f (x) = ex f ′ (x) = ex 1 f (x) = loga x f ′ (x) = x ln a 1 f (x) = ln x f ′ (x) = x
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2
第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]
第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]
第三章 复数 [提高训练C 组]
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用
[基础训练A 组]
一、选择题
1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
的值为（ ）
A ．'0()f x
B ．'02()f x
C ．'
02()f x - D ．0
2．一个物体的运动方程为2
1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3
y
x x 的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
4．3
2
()32f x ax x =++,若'
(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
319 B ．3
16
C ．
313 D ．3
10 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．必要非充分条件
6．函数344
+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）
高中数学 1.1.2 导数的概念同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.1 第2课时 导数的概念
一、选择题
1．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比
B ．一个函数
C ．一个常数，不是变数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx
无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81 [答案] B
[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，
∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32
＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt
＝18＋3Δt . 当Δt →0时，Δs Δt
→18，故应选B. 3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )
A ．2x
B ．2
C ．2＋Δx
D ．1
[答案] B
[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，
∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2
∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy Δx
→2 ∴f ′(1)＝2，故应选B.
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2
－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )
A ．37
B ．38
C ．39
D ．40
[答案] D
[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52
＋3
Δt ＝40＋4Δt ，
∴s ′(5)＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导数的运算法则：
设两个函数分别为f(x)和g(x)
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)，
(4)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g 2(x)
(g(x)≠0)．
[情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．
探究点一导数的运算法则
思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝
f′(x)·g′(x)以及f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.
人教A版高中数学选修2-2第一章第1、2节《导数的概念及计算》专题训练(全解析)
导数的概念及计算专题训练
一．选择题：共10小题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数42)(2
-=x x f 的图象上一点)2,1(-及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+，则x
y ∆∆等于
A ． 4
B ． x ∆4
C ． x ∆+24
D ． 2
24）（
x ∆+ 2. 一个物体的运动方程为2
1t t s +-=，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3
秒这个时刻的瞬时速度是
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒 3. 已知曲线()x x x f 22
+=上一点()8,2A ，则()()为x
f x f x ∆-∆-→∆222lim
A ．3
B ．3-
C ．6
D ． 6- 4. 已知点P 在曲线1
4
+=x
e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．)4,
0[π
B ．)2,4[ππ
C ．]43,2(ππ
D ．),4
3[ππ
5. 函数()23
-+=x x x f 在点0P 处的切线平行于直线14-=x y ，则点0P 的坐标为 A ． )0,1(- B ． )20(-， C ． ()0,1)4,1(或-- D ． )4,1( 6. 已知函数x e f x x f ln )(2)(+'=，则)(e f 等于
A ． e -
B ． e
C ． 1-
D ． 1
7. 若函数)5)(4)(3)(2)(1()(-----=x x x x x x f ，且)(x f '是函数)(x f 的导函数，则
)1(f '等于
A ．24
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版
1.1.2 导数的概念
自主预习·探新知
情景引入
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
新知导学
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0
＋Δt 之间的平均变化率
f t 0＋Δt －f t 0
Δt
趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做
t 0时刻的瞬时速度．即
v ＝lim Δt →0
Δs Δt
＝__lim Δt →0 s
t 0＋Δt －s t 0
Δt
__.
故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．
2．导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
f
x 0＋Δx －f x 0
Δx
.
我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝__lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
__.
预习自测
1．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2
＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t
＝2 s 时的瞬时速度为( D )
A ．3 m/s
B ．2 m/s
C ．1 m/s
D ．0 m/s
[解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2
高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解
5．一质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝ 5 t ， 求质点在t＝4时的速度．
解：∵s＝5 t＝t51，∴s′＝(t15)′＝15t－45.
t＝4时，s′＝15·4－54＝
1 5
.
10 8
即质点在t＝4时的速度为 1 . 5
10 8
1．(ln 3)′＝( )
1 A.3
B．3
C．0
D．1
解析：∵ln 3是个常数，∴(ln 3)′＝0. 答案：C
2．若f(x)＝3 x，则f′(－1)等于( )
A．0
B．－13
C．3
1 D.3
解析：∵f′(x)＝(x31)′＝13x－32
∴f′(－1)＝13.
答案：D
3．曲线y＝ 1 在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为 4 x3
________． 解析：y′＝(x－34)′＝－34·x－47， ∴y′|x＝1＝－34＝k， ∴倾斜角的正切值为－34. 答案：－34
4．对于函数y＝x2，其导数等于原来函数值的点是 ________．
解析：由y′＝y得2x＝x2，x＝0或x＝2，相应的点为 (0,0)，(2,4)．
答案：(0,0)，(2,4)
求函数在某一点处的导数需要先对原函数进行求导， 再将变量值代入导函数求解．
斜率．
求曲线y＝sinx在点A π2，1 处的切线的
人教A版高中数学选修2-2同步练习 导数的概念
第一章 1.1 1.1.2
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若f(x)＝x 3,f ′(x 0)＝3,则x 0的值为( C )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．3 3 [解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx→0
f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx→0 x 0＋Δx 3－x 30Δx
＝lim Δx→0[(Δx)2＋3x 0Δx＋3x 20]＝3x 20＝3,∴x 0＝±1．
2．(2018·龙岩期中)设f(x)是可导函数lim Δh→0 f x 0－h －f x 0h
＝2,则f′(x 0)＝( C ) A ．2
B ．12
C ．－2
D ．－12 [解析] 当h→0时,
f x 0－h －f x 0h →2, 则f′(x 0)＝
h x 0－f x 0－h h ＝－2, 故选C ．
3．(2018·杏花岭区校级月考)已知f(x)＝－x 2＋10,则f(x)在x ＝32
处的瞬时变化率是( B ) A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
[解析] ∵f(x)＝－x 2＋10,
∴f′(x)＝lim Δx→0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x ． 即当x ＝32时,f′(32
)＝－3, 即在点x ＝32
处的瞬时变化率是－3, 故选B ．
4．(2018·郑州高二检测)若可导函数f(x)的图象过原点,且满足lim Δx→0 f Δx Δx ＝－1,则f ′ (0)＝( B )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2 [解析] ∵f(x)图象过原点,∴f(0)＝0,
∴f ′(0)＝lim Δx→0
人教版数学高二A版选修2-2练习 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
第一章导数及其应用
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导
数的运算法则（一）
A级基础巩固
一、选择题
1．已知f(x)＝log4x，则f′(2)＝()
A.1
2ln 2 B.
1
4ln 2 C.
1
ln 4 D.
1
2ln 4
解析：因为f′(x)＝1
x ln 4，所以f′(2)＝1
2ln 4.
答案：D
2．已知f(x)＝x a，若f′(－1)＝－2，则a的值等于()
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．
答案：A
3．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()
A．4 B．－4 C．28 D．－28
解析：因为y ′＝3x 2，所以点(2，8)处的切线斜率k ＝f ′(2)＝12. 所以切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，
所以k ＝12，b ＝－16，所以k －b ＝28.
答案：C
4．已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝g ′(x )的解为( )
A ．1 B.12 C ．－1或12
D ．－1 解析：由g (x )＝ln x ，得x >0，且g ′(x )＝1x
. 故2x ＋1＝1x
， 即2x 2＋x －1＝0，
解得x ＝12
或x ＝－1. 又因x >0，
故x ＝12
，选B. 答案：B
5．过曲线y ＝1x
上一点P 的切线的斜率为－4，则P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）
在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）
函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数3
3()4V
r V π
=
(05)V ≤≤的图象为
根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.
说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）
1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()
W t W t t W t W t t t t
--∆--∆≥
-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t
∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.
这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.
(5)(5)10s s t s t t t
∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案
1.2导数的计算
1.2.1几个常用函数的导数
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的
运算法则(一)
[学习目标]
1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1
x，y＝x的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？
答(1)计算Δy
Δx，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，Δy
Δx趋近于哪个定值；
(3)Δy
Δx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
[预习导引]
1．几个常用函数的导数
2．基本初等函数的导数公式
要点一利用导数定义求函数的导数
例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．
解f′(x)＝lim
Δx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2
x＋Δx－x
＝lim
Δx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2
Δx
＝lim
Δx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2
Δx
＝lim
Δx→0
(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.
规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )
高中数学选修2-2-导数的计算 (1)
导数的计算
知识集结
知识元
导数的四则运算
知识讲解
1．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）
③（sin x）′＝cos x
④（cos x）′＝﹣sin x
⑤（e x）′＝e x
⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且
a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝a cos x+3bx2，
∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
2020年高中数学选修2-2 《导数的运算》 课后练习(含答案解析)
2020年高中数学选修2-2 导数的运算课后练习
一、选择题
1．已知物体的运动方程是[MISSING IMAGE]（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（）
A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒
C．2秒、8秒或16秒D．0秒、4秒或8秒
2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．
3．点P在曲线y=2x3-x+5上移动，设点P处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，] B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]
4．在曲线上切线倾斜角为的点是（）
A．（2，-1）B．（-1，2）
C．（2，ln2-1）或（-1，2）D．（2，ln2-1）
5．曲线f（x）=x2+3x在点A（1，4）处的切线斜率为（）
A．2 B．5 C．6 D．11
6．设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a＜0），若曲线f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，则a的值为（）
A．-3 B．-12 C．-1 D．-9
7．若函数f（x）=x3+f′（1）x2-f′（2）x+3，则f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（）
A．B．C．D．π
8．曲线y=x3-2在点（1，-）处切线的倾斜角为（）
A．30°B．45°C．135°D．150°
9．曲线f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为，则a等于（）
A．2 B．3 C．D．1
10．一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2-t+6，作直线运动，则此物体在t∈[1，4]时间的加速度为（）
2019人教版高中数学选修2-2课件：1.2 导数的计算(共44张PPT)
重点难点 [重点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则．
[难点] 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
教学建议 本节公式较多，应在理解的基础上记忆和应用公式.
新课导入
[导入一] 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在 某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的， 所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快 地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法， 下面我们求几个常用的函数的导数．
结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里面是关于自变量x的基本函数或 关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
(2)应尽可能地将函数化简，然后再求导． (3)要注意复合函数求导法则与四则运算求导法则的综合运用．
考点类析 考点一 基本函数的导数的简单计算
D
±2
考点类析
D
B
考点类析
考点类析
例2 求下列函数的导数: (1)y=3x2+xcos x; (2)y=(x2+3)(ex+ln x).
考点类析
考点类析
[小结] 一般情况下,应用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数 时,要尽量少用积、商的求导法则,在求导之前,可先对函数进行化简,再求导, 这样可减少运算量,提高运算速度,避免出错.
【苏教版】高二数学(选修2-2)讲义：第1章 1.2.1 常见函数的导数(含答案)
_1.2导数的运算
1.2.1常见函数的导数
几个常见函数的导数
已知函数
(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，
(4)f(x)＝
1
x，(5)f(x)＝x.
问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？
提示：∵
Δy
Δx
＝
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
＝
x＋Δx－x
Δx
＝1，
∴当Δx→0时，Δy
Δx→1，即x′＝1.
问题2：函数f(x)＝
1
x的导数是什么？
提示：∵
Δy
Δx
＝
f(x＋Δx)－f(x)
Δx
＝
1
x＋Δx
－1
x
Δx
＝
x－(x＋Δx)
x(x＋Δx)Δx
＝－1
x2＋x·Δx
，
∴当Δx→0时，Δy
Δx→－
1
x2
，即⎝⎛⎭⎫1
x
′＝－1
x2.
1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
2．C′＝0(C为常数)；
3．(x)′＝1；
4．(x2)′＝2x；
5．(x3)′＝3x2；
6.⎝⎛⎭⎫
1
x′＝－
1
x2；
7．(x)′＝
1
2x
.
基本初等函数的导数公式
1．(x α)′＝αx α－
1(α为常数)； 2．(a x )′＝a x ln_a (a >0，且a ≠1)；
3．(log a x )′＝1x log a e ＝1
x ln a (a >0，且a ≠1)；
4．(e x )′＝e x ； 5．(ln x )′＝1
x ；
6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .
函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1
x ln a ，当a ＝e 时，上述公式就变形为
(ln x )′＝1
x ，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x
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第一章 导数及其应用
1.2 导数的计算
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()2cos 2f x x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x = A ．2sin 2x -
B ．sin 2x x -
C ．sin 2cos2x x x +
D ．cos22sin 2x x x -
【答案】D
【解析】由题意得()cos 2(cos 2)cos 22sin 2f 'x x x x x x x x ''=+=-，故选D ． 2．已知e e ()x f x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=
A ．1e e -
B ．1e e
+ C ．11e
+
D ．0
【解析】因为1e
e (e )e x
x f x x x -=+=
+，所以()1e e x 'x f =-+，所以1e
(1)e f '=-+，故选A ． 3．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--
B ．(1,1)--
C ．(2,8)--或(2,8)
D ．(1,1)--或(1,1)
【答案】D
【解析】由3
()f x x =可得2()3f x x '=，令233x =，则1x =±，故P 点的坐标为(1,1)--或(1,1)．故
选D ．
4．下列函数求导运算正确的个数为
①333l ()og e x x
'=；②21()g ln o 2l x x '⋅=
；③(e e )x x
'=；④1(
)ln 'x x
=；⑤e e e ()x x x x x '=+． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】(3)3ln 3x
x
'=，2
11(
)ln (ln )x x x '=-，正确的为②③⑤，共3个．故选C ． 5，则(1)f '等于 A ．2 B ．12
- C ．14
-
D ．
14
【答案】C
【解析】令1t x =，则1x t =
C ．
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1
D ．e
【答案】B
【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，
1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 7．已知曲线32()2f x x ax =-+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34
π
，则实数a =
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】由题可得2
()32f x x ax '=-，所以(1)32f a '=-，因为曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的倾
斜角为
34π，所以3(1)tan
14
f π
'==-，所以321a -=-，解得2a =．故选C ． 8．若2()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为 A ．(0,)+∞
B ．(1,0)
(2,)-+∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,0)-
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2
()24ln f x x x x =--，
若()0f x '>，则04
222
>--x
x x ，
即022>--x x ，解得2>x 或1-
9．函数c (s )e o x x f x =+的图象在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A ．2 B ．4 C ．
12
D ．
32
【答案】A
【解析】由题可得e s (n )i x
'x f x =-，所以)1(0f '=．又2(0)f =，所以曲线()f x 在0x =处的切线
方程为2y x -=，即20x y -+=．令0x =可得2y =；令0y =可得2x =-，所以切线与两坐标轴围
A ． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．
10．若函数2()sin f x x x =，则()f x '=________________．
【答案】22sin cos x x x x +
【解析】由2()sin f x x x =可得222
()()sin (sin )2sin cos f x x x x x x x x x '''=+=+．
11．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =________________．
【答案】e
【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．
12．若函数()ln 2f x x x =+在点00,()()x f x 处的切线的斜率为3，则0()f x =________________．
【答案】2
【解析】由题可得1()2f x x '=
+，令0
1()23f x x '=+=，解得01x =，所以0()(1)2f x f ==． 13．曲线2ln y x =在点2(e ,4)处的切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为________________．