高考理科数学全国卷

2016年高考理科数学全国新课标3卷一、选择题（本大题共12小题）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则S T =I （）A ．[2，3]B ．（-∞，2]U [3,+∞）C ．[3,+∞）D ．（0，2]U [3,+∞） 若i 12z =+，则4i1zz =-（） A ．1B ．-1C ．iD ．i -已知向量1(2BA =u u u v ，1)2BC =u u u v ，则ABC ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（） A ．各月的平均最低气温都在0C ︒以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20C ︒的月份有5个 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（）A ．6425B ．4825C ．1D ．1625已知432a =，254b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）ABC． D． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） A．18+B．54+C ．90D ．81在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A ．4πB ．92π C ．6π D ．323π已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C ．23D ．34定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有（） A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个二、填空题（本大题共4小题）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D两点，若AB =||CD =__________________.三、解答题（本大题共8小题）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S =，求λ． 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2.646.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程$$y a b =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $ay bt =-$，$a y bt =-$． 如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN P 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤． 选修4-1：几何证明选讲如图，O e 中»AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点． （I ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小；（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG CD ⊥． 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 选修4-5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a a =-+．（I ）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|g x x =-．当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．2016年高考理科数学全国新课标3卷答案解析一、选择题 【答案】D【解析】由3)0(2)(x x -≥-解得3x ≥或2x ≤，所以|2{S x x =≤或3}x ≥， 所以{|02T x S x ⋂=<≤或3}x ≥，故选D.考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 【答案】C【解析】 试题分析：4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 【答案】A【解析】由题意得，1cos ||||12222112BC BA ABC BC BA ⋅∠===⨯u u u r u u u r u u ur u u u r , 所以30ABC ∠=︒，故选A ． 考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a r 与b r 的数量积为·cos a b a b θr r r r＝，其中θ是a r 与b r 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a r ·cos a ba bθ=r rr r ，·0a b a b ⇔⊥r r r r ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 【答案】D【解析】由图可知0°C 均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0°C 以上,A 正确；由图可在七月的平均气温差大于7.5°C ，而一月的平均温差小于7.5°C ，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5°C ，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20°C 的月份有3个或2个，所以不正确，故选D. 考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ． 【答案】A【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 【答案】A【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． 【答案】B【解析】第1次循环，得a =2，b =4，a =6，s =6，n =1； 第2次循环，得a =-2，b =6，a=4，s=10，n =2 第3次循环，得a =2，b =4，=6，s=16，n =3 第4次循环，得a =-2，b =6，a =4，a =20>16，n =4 退出循环，输出n =4，故选B. 考点：程序框图．【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 【答案】C【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 考点：余弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解． 【答案】B【解析】由三视图知几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积为3623323542s ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=+=故选B.考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解． 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 【答案】A【解析】由题意设直线l的方程为y=k(x+a)，分别令x c=-与0x=得||=()FM k a c-，由~OBE CBM∆∆，得||||1|2|||OOE BFM BC=，即2()ka ak a c a c=-+，得13ca=，所以椭圆的离心率13e=，故选A．考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c的值，进而求得e的值；（2）建立,,a b c的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e．【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有10a=，81a=，则具体的排法列表如下：1考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 二、填空题 【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 【答案】32π【解析】因为2s ()3in in s x y x x π=++=，所以s sin o y x x =的图像可以由函数sin y x x =+的图像至少向右平移23π个单位长度得到.考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．【答案】21y x =--【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为32(1)y x +=--，即21y x =--．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--． 【答案】4【解析】因||AB =，且圆的半径为(0,0)到直线30mx y m ++=3=3=，解得3m =-，代入直线l 的方程y x =+l 的倾斜角为30︒，在梯形ABCD 中，||co ||s304AB CD ==︒. 考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 三、解答题 【答案】（Ⅰ）11()11n n a λλλ-=--；（Ⅱ）1λ=-． 【解析】(I)当n =1时，111a a λ=+，故11,0a λ≠≠，由10a ≠，0λ≠得0n a ≠，所以11n n a a λλ+=-. 因此{}n a 是首项为11λ-，公比为1λλ-的等比数列，于是11()11n n a λλλ-=--． （Ⅱ）由（Ⅰ）得1()1n n S λλ=--，由得5531311()1()132132λλλλ-=-=--，即113232， 解得1λ=-．考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1n na q a +=（常数）；（2）中项法，即证明212n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ，721()28i i t t =-=∑0.55=，40.1749.32 2.89==-⨯=，2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯．因为与tt 的相关系数近似为0.99，说明与tt 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与tt 的关系.（II ）由 1.33176.32y =≈及（I ）得71721)( 2.89()ˆ0.10328()ii i ii t y b t ty t==--≈-==∑∑， 所以，y 关于t 的回归方程为：ˆ0.920.10yt =+ 将2016年对应的t =9代入回归方程得：ˆ0.920.109 1.82y=+⨯≈ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．． 【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角． 试题解析：（Ⅰ）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接,AT TN ，由为PCPC 中点知，112222TN BC TN BC ====.又//AD BC ，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是//MN AT . 因为AT ⊂平面，MN MN ⊄⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .设(,,)(,,)n x y z n x y z ==r r为平面PMN 的法向量，则0n PM n PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r，即24020x z x y z -=⎧+-=，可取(0,2,1)n =r ，于是|||cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u rr u u u r r u u u r 考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设1(,0)2F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且22111(,0),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=......3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-， 所以AR FQ P .......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ， 则1111,2222ABF PQF a bS b a FD b a x S ∆∆-=-=--=. 由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-. 而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-.....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．【答案】（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，因此，32A a =-．………4分当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． （ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ii ）当151a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->> 又1|()||(1)|(1)(17)048a a a g g a a---=->+ 所以2161|()|48a a a A g a a-++==，故有 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如sin()y A x B ωϕ=++的形式；（2）结合自变量x 的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。