概率与统计课件第三章
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第三章PPT课件
第7页
3.1.3 联合分布列
二维离散随机变量
若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对, 则称(X, Y)为二维离散随机变量.
7/29/2020
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第8页
二维离散分布的联合分布列
称 pij = P(X=xi, Y=yj), i, j=1, 2, ..., 为(X,Y) 的联合分布列,其表格形式如下:
求
X1 1 0,,
|Y|1, |Y|1
X2 1 0,, ||Y Y|| 2 2的联合分布列.
解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下:
P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455
P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2) = 2[Φ(2) Φ(1)] = 0.2719
(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性)
(4) 当a<b, c<d 时,有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.
注意:上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
7/29/2020
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第三章 多维随机变量及其分布
概率论与数理统计课件第三章
22
=6/16
3 1 P(X=3,Y=1)= C43 0.53 0.51
40
=1/4
P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16
联合概率分布表为:
XY 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 1/16 1 0 0 0 1/4 0 2 0 0 6/16 0 0 3 0 1/4 0 0 0 4 1/16 0 0 0 0
页
数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.
X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为
0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:
P(X=0,Y=4)= 0.54=1/16
X Y P(X=1,Y=3)= C41 0.5 0.53
04
=1/4
1 3 P(X=2,Y=2)= C42 0.52 0.52
上一节例1的联合分布律为 Y
X0 1 2 0 3/15 6/15 1/15 1 3/15 2/15 0
则X和Y的边缘分布律分别为 X 0 1 Y0 1 2
P 2 /3 1/3 P 6/15 8/15 1/15
返回
X
29
三、边缘概率密度
第
页
对于连续型随机向量(X,Y)~f(x,y),分量X,Y的密度函数称
第 页
返回
X
概率论与统计第三章第三节条件分布
给定Y =yi 条件下X 的条件分布函数为
F ( x | y j ) P( X xi | Y y j ) pi| j
xi x
xi x
给定X =xi 条件下Y 的条件分布函数为
F ( y | xi ) P(Y y j | X xi ) p j|i
yjy
yjy
若(X , Y) 是二维连续型随机变量, 对任意x, y 有P{ X=x }=0,
ey , y 0 ,
0 , y 0,
fX (x)
例2 设随机变量(X, Y) 的联合密度为
f
(
x,
y)
8 xy 2
,
0,
0 x y 1, 其他,
求条件密度f ( x | y)和f ( y | x)。
解:f X ( x)
f (x,
y)dy
1 x
2
8
xy
2
dy
0 ,
,
0 x 其他,
1,
8( x x3 ) / 3 0 x 1
条件分布的定义表明,二维离散随机变量(X, Y) 的联合分 布不但确定了其边缘分布,而且也确定了其条件分布;反过来
如果知道了(X, Y) 关于X 的边缘分布及X =xi条件下Y 的条件分 布(i =1,2,…), 则 (X, Y) 的联合分布pij (i、j =1,2,…) 亦被确定下来.
概率论与数理统计PPT课件第三章随机向量及其独立性小结
,
X
相互独立的
n
充分必要条件是随机向量X ( X1, X 2 ,L , X n )
有联合密度
f X1 (x1) f X2 (x2 )L f Xn (xn ), (x1, x2 ,L , xn ) Rn.
四 两个随机变量函数的分布
(1) 离散型随机向量(X,Y)的函数的分布
2 连续型随机向量函数的概率分布
f
( x,
y)
2F (x,
xy
y)
,当该混合偏导数存在
0,
其他
定理 设X ,Y分别具有概率密度fX (x), fY ( y). 则X ,Y独立的充分必要条件是随机向量( X ,Y ) 有联合密度f (x, y)
f (x, y) fX (x) fY ( y) 几乎处处成立.
三 连续型随机向量及其联合密度
定义 设 (X ,Y ) 是随机向量,如果有R2上的非负
可积函数 f (x, y), 使对R2上的所有长方形子集
y
D {(x, y) | a x b, c y d}
(x, y)
有
o
x
P((X ,Y ) D) D f (x, y)dxdy
为(X,Y)的联合概率分布函数, 简称联合分布(joint distribution).
分布函数的性质
概率论与数理统计第03章多维随机变量及其分布第2讲
z
z
f (u y, y ) d u d y
f (u y, y ) d y d u.
27
由概率密度的定义, 即得Z的概率密度为
f Z ( z ) f ( z y, y ) d y
(5.1)
由X,Y的对称性, fZ(z)又可写成
( y 2 ) 2 2 . 2 1 2 2 其边缘概率密度 f X x , fY y 的乘积为:
1 f X ( x ) fY ( y ) e 2 1
1 ( x 1 )2 2 2 1
1 e 2 2
1 ( y 2 )2 2 2 2
2
d x,
e
t 2
1 dt e 2π
z2 4
π
1 2 π
e
z2 4
.
即Z服从N(0,2)分布.
31
一般, 设X,Y相互独立,且X~N(1,12), Y~N(2,22). 由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍 然服从正态分布, 且有Z~N(1+2,12+22).
18
设(X1,X2,...,Xn)的分布函数F(x1,x2,...,xn)为已知, 则(X1,X2,...,Xn)的k(1k<n)维边缘分布函数就 随之确定. 例如(X1,X2,...,Xn)关于X1,关于(X1,X2) 的边缘分布函数分别为
【学习课件】第三章概率论与数理统计
F(x, y) 1 ey yey, 0 y x;
0,
其他.
求FX x与FY y
解:FX
x
F(x,)
1ex,x0; 0, x0.
FY
y
F(,
y)
1ey 0,
yey,
y0; y0.
二、二维离散型随机变量及其概率分布
1、联合概率分布律
定 义 : 若 二 维 随 机 变 量 X,Y所 有 可 能 的 取 值 ? 为
6 因 为 P X3,Y20,PX3 0.1 ,PY20.3
P X3,Y2PX3 PY2
所 以 , X 与 Y不 独 立 。
例7 设随机变量X与Fra Baidu bibliotek有相同的概率分布:
X | 1 0
1
PX | 0.25 0.5 0.25
并且PXY01,求X,Y的联合概率分布律。
解:因为PXY01
所以PXY0=1-PXY00
p j
xi
pij
p j
同 理 : 给 定 条 件 X x i 时 , Y 的 条 件 概 率 分 布 律 也 可 以 如 上 表 示 。
4、随机变量的独立性
设随机变量X与Y的联合概率分布律为
X, Y~P X=xi, Y=yj pij, i, j=1, 2, ,
如果对任意的i, j=1, 2, ,都有 pij pi p j
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
第1页
第三章 二维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的概念 §3.2 二维离散型随机变量及其分布 §3.3 二维连续型随机变量及其分布 §3.4 随机变量的独立性 §3.5 二维随机变量函数的分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第2页
§3.1 二维随机变量的概念
X 的密度函数为 :
p(x) p(x, y)dy
Y 的密度函数为 :
p(y) p(x, y)dx
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第25页
由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.
23 April 2012
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是: 任对实数a, b, c, d,有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的,则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意:上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
中科大概率统计课件--3.3条件分布
第三章 随机变量及其分布
在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布列为 §3条件分布
当 n=2,3,… 时,
P( X m | Y n) P( X m,Y n)
P(Y n)
qn2 p2
1
,
(n 1) p2qn2 n 1
m 1,2,, n 1;
P(Y n) (n 1) p2qn2 , n 2,3,
( y)
f
( x,
y)dx
y
1
dx
y
1
y,
1
y 0,
y
yx
0,
其它.
1 | y |, | y | 1
0
1
x
0,
其 它.
y x
(2) 当 | y | 1, f X|Y ( x | y)
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 其它.
P( X m, Y n ) qn2 p2 , n 2,3,; m 1,2,n 1
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第三章 随机变量及其分布
在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布列为 §3条件分布
当m=1,2,3,… 时,
P(Y n | X m) P( X m,Y n) P(X m)
107504-概率统计随机过程课件-第三章(第一,二节)
第三章二维随机变量
引入二维随机变量目的、用处: 在第二章中,我们讨论了用一个随机变量描述试验结果以及随机变量的概率分布问题.但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.
例如,对平面上的点目标进行射击,弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y 的取值都是随着试验结果而变化.因此X和Y都是随机变量, 弹着点A 的位置是)
X.
,
(Y
又如空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量Z
,才能确
X,
Y
定它的位置.等等.因此需要考虑多个随机变量及其取值规律问题.
定义:设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(e X X i i =是定义在}
{e S =上的随机变量,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,把n 个随
机变量
n X X X ,,,21⋅⋅⋅构成的有序随机变量组
),,,(21n X X X ⋅⋅⋅称为n 维随机变量(或n
维随机向量);
对任意实数n x x x ,,,21⋅⋅⋅,函数
),,,(21n
x x x F ⋅⋅⋅
},,,{2211n
n x X x X x X P ≤⋅⋅⋅≤≤= 称为n 维随机变量)
,,,(21n X X X ⋅⋅⋅的分布函数或称为n 个随机变量
n
X X X ,,,21⋅⋅⋅的联合分布函数.
第一节 随机向量与联合分布
一. 定义和基本性质
定义1 设试验E 的样本空间为
}{e S =,而)(),(e Y Y e X X ==是定义在
}{e S =上的两个随机变量.称由这两
个随机变量组成的向量),(Y X 为二维
概率论与数理统计 第三章
多维随机变量及其分布
二维随机变量
边缘分布
随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
§1、二维随机变量
一、概念 定义1 设在试验E的样本空间S={e}上定义了两个
随机变量X、Y,称向量(X,Y)为二维随机变量或二维随
机向量.
请 你 注 意 二维随机变量(X,Y)不仅与各个随机变量X,Y有关,
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 2 2 1 2 2
( X , Y ) ~ N (1 , 2 , 1 , 2 , ).
§2、边缘分布
一、边缘分布函数及其求法
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F ( x, y ),X与Y 作为单个随机变量的分布函数分别为 FX ( x), FY ( y) ,称
F ( x, y )
f (u, v)dudv,
y x
则称(X,Y )为二维连续型随机变量,其中 f ( x, y ) 称为 随机变量(X,Y)的概率密度,或称为随机变量X与Y的联
合概率密度.
2、概率密度及其性质
概率密度具有下列性质:
f ( x, y) 0(( x, y) R 2 );
F ( x, y) P{X x, Y y}
与Y的联合分布函数,其中 x, y 为任意实数. 分布函数 F ( x, y ) 在点
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节:边缘分布
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
事实上 , FX x F x , dx
x
f X x FX x
f x , y dy
f x , y dy
当 x 1 或 x 0 时, y , ,
概率论
y
y x
x x
0
x
都有 f x , y 0, 故 f X x 0 .
当 0 x 1时,
fX x
0 x
x
x x 1 x
f x , y dy
f x , y dy f x , y dy
0
0
12 2 x 2 x , 0 x 1, fX x 5 0, 其它 .
24 12 2 y(2 x )dy x (2 x ), 5 5
暂时固定
y y
概率论
fY y
f x , y dx
y x
当 y 1 或 y 0 时, 对 x , , 都有 f x , y 0, 故 fY y 0.
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
概率统计 第三章 连续型随机变量
(2)Y:30个元件中寿命大于2万小时的 元件个数.则Y服从的分布律为?
Y~B(30,0.4060) P(Y3)=1-P(Y=0)- P(Y=1)-P(Y=2)
4、正态分布
正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上 研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特
别重要的地位。 B
A A,B间真实距离为,测量值为X。 X的概率密度应该是什么形态?
P(a X b)=a f ( x)dx
b
则称X为连续型随机变量,且称f(x)为随机变 量X的概率密度函数,简称概率密度或密度函 数。常记为X~ f(x) , (-<x<+)
X──连续型随机变量,则X的分布函数必是连续函数。
2、密度函数的性质
(1) 非负性 f(x)0,(-<x<+); (2) a, b R, (a b), P(a X b) F (b) F (a) a f ( x)dx
F(x)的图形:
3.2 几个常用的连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
若随机变量X具有概率密度函数
1 , f ( x) b a 0,
a xb 其它
则称X在[a, b]上服从均匀分布,记作 X~U[a, b]。
若X~U[a, b],则X具有下述等可能性: X落在区间[a, b]中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度,而与子区间的 位置无关。 对任意实数c, d (a≤c≤d≤b),l=d-c,都有
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第3章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布
关键词:
二维随机变量
分布函数分布律概率密度
边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度
条件分布函数条件分布律条件概率密度
随机变量的独立性
Z=X+Y的概率密度
Z=Y/X及Z=XY的概率密度
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度
例:研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值,研究身高和体重之间的关系,这就要引入定义在同一样本空间(即某地区全部学龄前儿童)的两个随机变量。
问题的提出
实际中,某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述
例:研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹
的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定,而
它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。一、二维随机变量的定义
设E是一个随机试验,样本空间S={e};设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
S e
y
()()
()
,
X e Y e
x
(X,Y)的性质不仅与X及
Y有关,还依赖于X,Y
间的相互关系,需将
(X,Y)作为整体研究
二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量,对于任意实数x , y ,二元函数
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
{}(,)()()(,)
F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成
1、定义:
若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标,则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率
东华大学《概率论与数理统计》课件 第三章 二维随机变量
由分布函数可计算任意区间的概率
P(a1 X b1 , a2 Y b2 ) = F (b1 , b2 ) − F (a1 , b2 ) − F (b1 , a2 ) + F (a1 , a2 )
y
b2 a2
0 a1
b1
x
例3.1.1 设随机变量( ,) 的联合分布函数为:
F ( x,
y)
=
( x,
y)
=
1 s
,
0,
(x, y) S (x, y) S
3.体积为v的空间区域V上
(
x,
y,
z)
=
1 v
,
0,
(x, y, z) V (x, y, z) V
基本概念:随机向量、联合分布函数。 离散型随机变量:联合概率分布、阶梯型分布函
数。 连续型随机变量:概率密度函数、连续型分布函
数。
即
FY
(
y)
=
F
(+,
y)
=
lim
x→+
F
(
x,
y)
F ( x) = F ( x,+)
1 = F(+,+)
0 = F(−, y) O
Y − 1,2,...k,
P(X
=
j) =
1 ,
j = 1,2,...k
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
P( X1 0, X2 0) P(X1 0) P(X2 0 X1 0)
P( X1
0, X2
1)
23 54
3 10
21 1 5 4 10
32 3
P( X1
1, X2
0)
5
4
10
P( X1 1, X2 1)
32 3 5 4 10
五个产品中,有 两个正品。每次 从中取一个检验 质量,不放回地 抽样,连续两次
111 0 1 0 即第 4 条性质不满足
这说明 F(x,y) 不是二维随机变量的联合分布函数, 仅仅是一个二元函数.
概率统计
二. 二维离散型随机变量及其分布 1. 二维离散型随机变量的定义
如果随机变量 X,Y 的取值 ( x, y )只能是有限 对或可列无限对,则称(X,Y)为二维离散型随 机变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的
4. 随机变量函数的分布
本章将给出二维随机变量、联 合分布率、联合概率密度和二维 联合分布函数的概念
概率统计
第二章中 讨论的问题
第一节 二维随 机 变 量
一. 二维随机变量及分布函数的概念
1. 定义1 设 S {e}是随机试验 E 的样本空间 ,
X X (e), Y Y (e) 是定义在 S上的随机变量, 由它们构成的向量 ( X ,Y ) 称为二维随机变量 或二维随机向量.
《概率论与数理统计》三
1/12 1/12 1/12 0 1/4
1/16 25/48 1/16 13/48 1/16 7/48 1/16 3/48 1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
设(X,Y) 概率密度为f (x,y),则
FX(x) F(x,)
x
f
(u,
v)dvdu,
x
由此知,X是连续型随机变量,且其概率密度为
X
Y
12
3
4
j i)
1 1/4 1/8 1/12 1/16
2 0 1/8 1/12 1/16
30
0
1/12 1/16
40
0
0 1/16
三、二维连续型随机变量
➢定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y). 若存在一个非负可积函数 f(x,y),使得对任意x,y, 有
yx
F( x, y)
称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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������ = pairs of cards, equally likely outcomes
������ = face value on first card
������ = face value on second card
P(X + Y = 4) = 1/6
= P(X = 1, Y = 3) + P(X = 2, Y = 2) + P(X = 3, Y = 1)
• Random variables ������ and ������ are said to be independent for any two sets of real numbers ������ and ������
PX A,Y B PX A PY B
• ������ and ������ are independent if, for all ������ and ������, the events ������������ = {������ ∈ ������} and ������������ = {������ ∈ ������} are independent
p(x, y) PX x,Y y
The probability mass function of ������, ������
pX (x) PX x pY ( y) PY y
p(x, y) y:p( x, y)0
p(x, y) x: p( x, y )0
b
lim PX a,Y b b
lim F (a,b) F (a, ) b
FY (b) PY b
lim F (a,b) a
F (,b)
Properties
PX a,Y b 1 P(X a,Y bc ) 1 P(X ac Y bc ) 1 P(X a Y b) 1 P(X a) P(Y b) PX a,Y b
Joint probability density function (联合密度函数)
• ������ and ������ are jointly continuous (联合连续) if there exists a function ������ ������, ������ , define for all ������ and ������ ,having the property that, for every set ������ of pairs of real numbers (that is, ������ is a set in the two-dimensional plane)
=
∞ −∞
������
������, ������
������������
Examples
• Consider a circle of radius ������, and suppose that a point within the circle is randomly chosen in such a manner that all regions within the circle of
有房
无贷
10 %
下班按时 回家
60 %
好厨艺
20 %
• Joint Distribution Function(联合分布函数)
• Independent Random Variables(独立随机变量)
• Sums of Independent Random Variables(独立变量之和)
• Identically Distributed Uniform Random Variables(同分布均匀随机变量) • Gamma Random Variables(伽马随机变量) • Normal Random Variables(正态随机变量) • Poisson and Binomial Random Variables(泊松,二项随机变量) • Geometric Random Variables(几何随机变量)
f (x, y) c,ifx2 y2 R2 0,ifx2 y2 R2
(a) Determine ������ (b) Fine the marginal density functions of ������ and ������. (c) Compute the probability that ������, the distance from the origin of the point selected, is less than or equal to ������. (d) Find ������ [������].
We want the p.m.f. of ������ + ������
1/12
0
1/12
In general P(X + Y = z) = ∑(x, y): x + y = z P(X = x, Y = y)
To calculate ������(������ + ������ = ������) we need to know f(x, y) = P(X = x, Y = y)
Example
15% of the families in a certain community have no children, 20 % have 1 child, 35 % have 2 children, and 30 % have 3. Suppose further that in each family each child is equally likely to be a boy or a girl. If a family is chosen at random from this community, calculate the joint PMF ������(������ = ������, ������ = ������)
1 FX (a) FY (b) F (a,b)
Pa1 X a2 ,b1 Y b2
F (a2 , b2 ) F (a1, b1) F (a1, b 2 ) F (a2, b1)
Joint probability mass function of ������ and ������ :
������ ������, ������ = ������ ������ ≤ ������, ������ ≤ ������ , −∞ < ������, ������ < ∞
• Marginal distributions (边缘分布)
FX (a) PX a PX a,Y P(limX a,Y b)
• Equivalent definitions
• Random variables ������ and ������ are independent if and only if, for all ������ and ������
PX a,Y b PX a PY b
equal area are equally likely to contain the point. If we let the center of the circle denote the origin and define ������ and ������ to be the coordinates of the point chosen, then, since (������, ������) is equally likely to be near each point in the circle, it follows that the joint density function of ������ and ������ is given by
An extension
• Joint probability distributions for ������ random variable
• for any ������ sets of real numbers ������1, ������2, . . . , ������������
Independent random variables
• In terms of the joint distribution function ������ of ������ and ������, for all ������ and ������ F (a, b) FX (a)FY (b)
ab
Marginal probability
• Probability density function of ������ from joint density function
PX A PX A,Y (, )
f (x, y)dydx
A
fX (x)dx
• Conditional Distributions: Discrete Case(离散变量条件分布)
• Conditional Distributions: Continuous Case(连续变量条件分布)
Example
There is a box with 4 cards:
1234
You draw two cards without replacement. What is the p.m.f. of the sum of the face values?
A
Probability density function of ������: ������������ ������
Fra Baidu bibliotek
=
∞ −∞
������
������, ������
������������
Probability density function of ������: ������������ ������
2
0
3 1/6
4 1/6
5 1/3
6 1/6
7 1/6
8
0
p.m.f. of X + Y
Joint distribution functions (联合分布函数)
• For any two random variables ������ and ������, the joint cumulative probability distribution function of ������ and ������ by
Joint probability density function
(联合密度函数)of ������ and ������
P(X ,Y ) C f (x, y)dxdy ( x, y )C
PX A,Y B f (x, y)dxdy
AB
2 f (a,b) F(a,b)
joint p.m.f. of ������ and ������
joint p.m.f. of ������ and ������
X Y
1
1
2
3
4
2
3
4
5
0 1/12 1/12 1/12
3
4
5
6
2 1/12 0 1/12 1/12
4
5
6
7
3 1/12 1/12 0 1/12
5
6
7
8
4 1/12 1/12 1/12 0
Jointly Distributed Random Variables 联合概率分布
Probability and Mathematical Statistics (概率与数理统计) Xi ZHANG
女生心目中好老公的标准
高帅
30 %
健康
阳光
80 %
安全感
70 %
能赚钱 且上缴
50 %
幽默
60 %
•(X,Y)
(0,0) R
Exercise
The joint density function of X and ������ is given by
f (x, y) e(xy) ,0x,0 y 0,otherwise
Find the density function of the random variable ������/������