中考数学压轴题费马点,费马点最值问题的解法模型
中考数学常见几何模型最值模型-费马点问题
专题12 最值模型-费马点问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，
此时费马点就是最大角的顶点A 。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．
△△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ． 在△AMB 与△ENB 中，△AB BE
ABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，△△AMB △△ENB （SAS ）
． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形．
初中数学最值问题六种模型
初中数学最值问题有六种模型，包括将军饮马模型、一箭穿心模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型和瓜豆原理模型。
1. 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。可以理解为两点之间线段最短。连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。
2. 一箭穿心模型：在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l 于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。
3. 费马点模型：在三角形ABC中，若D、E分别是AB、AC 上的点，则DE的延长线与BC的延长线交于费马点处，此时三角形周长最小。
4. 阿氏圆模型：以给定点A为圆心，给定距离r为半径画圆，与已知直线l相交于两点B、C，连接两点B、C并延长交于D。则D点的轨迹是以A为圆心，r为半径的圆。这个圆被称为阿氏圆。
5. 胡不归模型：在直角三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，AD为BC边上的高。若点P在BC边上，问是否存在点P使得DP垂直于BC边？如果存在，求出点P的位置；
如果不存在，请说明理由。
6. 瓜豆原理模型：在一条直线上有若干个点，每个点都有一个到直线的距离，问如何选择若干个点使得这些点到直线的距离之和最小？瓜豆原理告诉我们，选择任意两个相邻的点并连接它们与直线的交点，然后选择第三个点与前两个点的距离之和最小即可。
以上是初中数学最值问题的六种模型，希望对解决这类问题有所帮助。
费马点最值问题(中考备考宝典)
费马点最值问题
例题精讲
例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为．
例2：如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
强化练习
1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点O 为Rt △ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC= ．
2、如图，在四边形ABCD 中，60B ο∠=，AB=BC=3，AD=4，90BAD ο∠=，点P 是形内一点，则PA+PB+PD 的最小值为________
第1题图 第2题图
3、如图，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知
，
，
则
的最小值是_______
4、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC ＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为________
第3题图 第4题图
P
D
中考最值专题--费马点模型
中考最值专题--费马点模型
【模型建立】
在三角形中，有一点P到三个顶点距离之和最小，点p在三角形哪里？
【问题分析】
费马尔问题的思考：
如何找到一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
【问题解决】
费马点的确切定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1、如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2、如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
【模型总结】
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换. 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。
费马点最值模型典例讲解
例1. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．
变式练习>>>
1．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）
初三数学中考模型之费马点问题
费马点的问题
定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小
证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.
以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.
∵AH=BH=AB=12.
∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.
∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.
∴∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中
∵HG=HP
∠GHB=∠PHD；
HB=HD；
∴△HGB≌△HPD；（SAS）
∴∠HPD=∠HGB=120°；
∵∠HPG=60°.
∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.
∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。
中考数学复习专题：几何最值模型—费马点专题
【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点
【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ） 【费马点作法】
如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.
【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，
连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，
P A 十PB 十PC 的值最小.
因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°， 所以∠BPC =120°.
因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°， 所以∠APB =180°-60°=120°，
则∠CP A =360°-120°-120°=120°， 故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.
C
B
A
P
P
D
F
E
C
B
A
A'
P'
A
B
C
P
费马点结论
:
1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.
1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形，利用勾股定理 模型巧记
中考数学几何模型专题12费马点问题(学生版) 知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题12费马点问题-
年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse ）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A ，B ，C ，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC （三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P ，就是到点A ，B ，C 的距离之和最小的点，后来人们把这个点P 称为“费马点”． 下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB 绕着点B 逆时针旋转60°得到△A ′P ′B ，使得A ′P ′落在△ABC 外，则△A ′AB 为等边三角形，∴P ′B ＝PB ＝PP ′，于是P A +PB +PC ＝P ′A ′+PP ′+PC ≥A ′C ，
∴当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时P A +PB +PC 有最小值为A 'C 的长度，
∵P ′B ＝PB ，∠P 'BP ＝60°，
∴△P 'BP 为等边三角形，
则当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时，
∠BPC ＝180°﹣∠P 'PB ＝180°﹣60°＝120°，
∠APB ＝∠A 'PB ＝180°﹣∠BP 'P ＝180°﹣60°＝120°，
∠APC ＝360°﹣∠BPC ﹣∠APC ＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
初中几何模型费马点最值模型
几何模型：费马点最值模型
费马尔问题思考：如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边X角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
=
BP AP CP BP PQ QE BE
++++≥
典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.
求证：GA+GB+GC 的值最小.
证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ；
∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵ ∠GCP=60°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.
∴ A 、G 、P 三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.
∴ G 、P 、D 三点一线。
[全]中考数压轴题之费马点模型详解
![[全]中考数压轴题之费马点模型详解](https://img.taocdn.com/s3/m/f6f9d779d0d233d4b04e695b.png)
中考数压轴题之费马点模型详解
这期这道题并不是中考真题，我也没找到是哪里的模考题，但是不影响这道题的重要性，这种类型的题目，同学们如果做过总结，会发现很简单，如果不做总结，考试时间都给你想你也想不出来，下面我们就来看看这道题吧
第一问，求∠A+∠C的度数，这个很简单，就是270°。
第二问让我们连接BD，探究一下三条边之间的关系
这关系看不出来，我们可以拿尺子量一下，发现不是加和关系，那么考虑勾股定理关系，发现就是它。这里要注意一下，有的题目会让我们猜测关系，但是关系往往不是那么容易看出来的，所以我们有必要借助一些工具，比如刻度尺，量角器这些来进行辅助猜测。
既然判断出是勾股定理关系，那么我们该怎么证明呢？
首先想到是要把它们放到一个三角形当中去，可是这个三角形在哪里呢？
这边就需要同学们积累一下了，遇到这种边相等，且存在勾股定理关系的，我们要想到旋转。
我们将红色的三角形绕点B顺时针旋转60°到蓝色的三角形的位置，因为BA=BC，所以旋转过来刚好能重合，我去居然这么巧！其实就是因为相等才想到旋转的，这种技巧需要大家记忆，否则你考试很难考自己想出来的。
之后我们就发现，AD=CD’,BD=BD’，可是好像还是没有把这三条边放到一个三角形当中去，不急，我们还要连接DD’，这样△BDD’就是等边三角形，怎么突然它就是等边三角形了？因为我旋转了60°，而且BD=BD’，所以它自然是等边三角形。那么后面就简单了，BD
与DD’是相等的，所以三条边都转化到了△CDD’当中，那么问题就转化为证明∠DCD’=90°了。
中考数学解题技巧6：费马点问题模型
E M
A
B
P
C
D
图1
O
N
G
图2
【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造 60°的旋转，当然如果已经了解 了费马点问题，直接来解决就好了！ 如图，以 MG 为边作等边△MGH ，连接 NH ，则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个 顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
04.费马点怎么考？
直接考，要不然还能怎么考？ 看看今年 2019 武汉中考填空最后一题： 问题背景：如图 1，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ADE ，DE 与 BC 交于点 P，可 推出结论：PA+PC=PE．
问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG= 4 2 ，点 O 是△MNG 内一点，
D
A E
Q
P
B
C
没有对比就没有差别，我们换个 P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ， 同样有△APC≌△AQE，转化 PA=PQ，PC=QE，
A E
Q
P
Biblioteka Baidu
B
C
B
A E
P
Q
C
显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE >BE．
2020年中考压轴题模型——最值系列之费马点（含加权费马点）
2020年中考压轴题模型——最值系列之费马点（含加权费马
点）
2020年中考压轴题模型——最值系列之费马点
（感谢有一点数学，刘岳老师分享）
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．
据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．
果然，数学搞得好的都是装x的一把好手．
言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．
问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
阿哈哈哈，此处一个也用不上！
其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！
算了算了，不墨迹了，直接报答案了：
若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．
中考数学几何模型8：费马点最值模型
中考数学几何模型8：费马点最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
费马尔问题思考：
如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？
当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
=BP AP CP BP PQ QE BE
++++≥
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。△AGC=△AGB=△BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小.
变式练习>>>
1．如图，P 是边长为1的等边ABC ∆内的任意一点，求t PA PB PC =++的取值范围.
例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26+，求正方形的边长．
2．若P 为锐角△ABC 的费马点，且△ABC =60°，P A =3，PC =4, 求PB 的值.
第8讲费马点最值模型(解析版)
中考数学几何模型8：费马点最值模型TH
名师点睛 拨开云雾 开门见山
费马尔问题思考：
如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？
当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值
=BP AP CP BP PQ QE BE
++++≥
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将△BGC 逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB ≌△CPD ； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∵ ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A 、G 、P 三点一线。 ∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G 、P 、D 三点一线。
中考数学专题复习37几何最值之费马点问题(全国通用解析版)
问题分析
“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：
（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形.通常将某三角形绕点旋转60度.从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上.利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时.费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧：
旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题
模型展示：如图.在△ABC内部找到一点P.使得PA＋PB＋PC的值最小.
当点P满足△APB＝△BPC＝△CPA＝120º.则PA＋PB＋PC的值最小.P点称为三角形的费马点.
特别地.△ABC中.最大的角要小于120º.若最大的角大于或等于120º.此时费马点就是最大角的顶点A
（这种情况一般不考.通常三角形的最大顶角都小于120°）
费马点的性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形.这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：
几何最值之费马点问题方法技巧
将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°.得到AQE.连接PQ.则△APQ 为等边三角
形.PA=PQ 。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC.当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE
【例1】如图.四边形 ABCD 是菱形.A B =6.且△ABC =60° .M 是菱形内任一点.连接
AM .BM .CM .则AM +BM +CM 的最小值为________．
初中数学几何模型与最值问题04专题-费马点中三线段模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题
专题4 费马点中三线段模型与最值问题
【专题说明】
费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：
（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧：
旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题
【模型展示】
问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．
A
P
B C
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．
（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．
（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．
有这两个结论便足以说明∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
【例题】
1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =∠ABE =60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长（ ）