线面角地求法总结材料41837
高中几何线面角的经典求解方法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC =60°, M 为AB 的中点，求（1）BC 与平面 SAB 所成的角。
（2）SC 与平面 ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H,则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式sin θ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2（如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,AB=3,BC=2,A 1A=4，求AB 与面AB 1C 1D所成的角的正弦值。
A1C 1D1H4CB123BAD解：设点B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3S △AB 1C 1·h=1／3S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与面A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h／AB=4／5图23.利用公式cos θ=cosθ1·cosθ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
线面角的求法总结
线⾯⾓的求法总结线⾯⾓的三种求法1．直接法：平⾯的斜线与斜线在平⾯内的射影所成的⾓即为直线与平⾯所成的⾓。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平⾯内的射影所组成的直⾓三⾓形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作⽤。
例1 （如图1 ）四⾯体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平⾯SAB 所成的⾓。
（2）SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
解:（1）∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平⾯SAB 故 SB 是斜线BC 在平⾯SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平⾯SAB 所成的⾓为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,⼜∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平⾯SCM, ∴⾯ABC ⊥⾯SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平⾯ABC ∴CH 即为 SC 在⾯ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
sin∠SCH=SH ／SC∴SC 与平⾯ABC 所成的⾓的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是⾯ SAB 的垂线，⼜是⾯ ABC 的斜线. 作⾯的垂线常根据⾯⾯垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平⾯垂直的平⾯，然后⼀⾯内找出或作出交线的垂线，则得⾯的垂线。
） 2. 利⽤公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平⾯所成的⾓， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到⾯的距离）既是关键⼜是难点，为此可⽤三棱锥的体积⾃等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与⾯ AB 1C 1D 所成的⾓。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与⾯ A B 1C 1D 所成的⾓为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与⾯AB 1C 1D 所成的⾓为arcsin 4／5 3. 利⽤公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平⾯的⼀条斜线，O 为斜⾜，OB 为OA 在⾯α内的射影，OC 为⾯α内的⼀条直线，其中θ为OA 与OC 所成的⾓，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的⾓，即线⾯⾓，θ2为OB 与OC 所成的⾓，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可⾃⼰证明），它揭⽰了斜线和平⾯所成的⾓是这条斜线和这个平⾯内的直线所成的⼀切⾓中最⼩的⾓（常称为最⼩⾓定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的⾓为60°, ，求直线OA 与⾯OBC 所成的⾓的余弦值。
线面角的求法
线面角的范围
线面角的范围是[0,π/2]。 当线面角为0时，直线与平面重合；当线面角为π/2时，直线与平面垂直。
02
线
首先确定直线和平面的向量，通常用向量 表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
VS
夹角公式
通过向量数量积和向量模长的计算，得到 线面角的正弦值，即$\sin\theta = |\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
利用坐标系求线面角
1 2
建立坐标系
建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
找到交线
通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向 量。
夹角公式
3
利用向量夹角公式，求出线面角的正弦值。
利用几何定理求线面角
利用定理
利用线面角和线线角的关系，通过已知条件找到线面角的正弦值。
具体定理
例如三角形内角和定理、平行四边形定理等。
判断线面平行关系
判断直线与平面是否平行
若直线与平面内某一直线平行，则直线与平面平行；若直线 与平面内两条相交直线都平行，则直线与平面平行。
判断平面与平面是否平行
若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直 线对应平行，则两个平面平行。
求直线和平面的距离
求点A到平面ABCD的距离
过点A作平面ABCD的垂线，垂足为O，连接OA，则OA为点A到平面ABCD 的距离。
03
线面角的应用
确定点在线面上的位置
确定点P在线面ABCD上的射影
在线面角为锐线面角时，点P为直线AB与CD交点；在线面角为钝线面角时，点P 为直线AB与CD延长线交点。
线面角的求法总结
线面角的三种求法直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小.1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B MHSCA 图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H 4C123B A D图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／53. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， BαO AC 图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线线角,线面角,面面角的公式
线线角,线面角,面面角的公式
线线角：
1、定义：线线角是由两条相交的直线上所标注的交汇夹角。
2、公式：计算线线角的公式是以弧度为单位的夹角的函数，公式为：
ϴ=arctan[(y2-y1)/(x2-x1)]。
3、特殊情况下：当两条直线平行时，线线角是否存在？此时两条直线不相交，因此没有线线角存在；当两条直线重合时，此时也可以设定一个夹角为0度的直角，这样线线角的值也是零。
线面角：
1、定义：线面角是指一条直线与一个平面相交时，定义的一个夹角。
2、公式：计算线面角的公式为θ=arccos[n∙l/|n||l|]，其中n是平面的法向量，l是直线上的位置向量。
3、特殊情况下：当线与平面垂直时，线面角的值为90度，即θ=π/2；当线与平面平行时，线面角的值为零，即θ=0。
面面角：
1、定义：面面角是两个平面在不同方向上接触的交点夹角。
2、公式：计算面面角的公式为θ=arccos[n1∙n2/|n1||n2|]，其中n1、n2是平面的法向量。
3、特殊情况下：当两平面垂直时，面面角的值为90度，即θ=π/2；当两平面平行时，面面角的值为零，即θ=0。
高中数学立体几何专题线面角典型例题求法总结
线面角的求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
BMHSCA解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
A 1C 1D 1H4CB 123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 ，设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.83. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）1．平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是 斜线在平面α内的射影。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，两两垂直，∠∠SBA=45°SBA=45°, , ∠SBC=60°SBC=60°, , M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, BMHSCA图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为即为 SC 在面ABC 内的射影。
内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面是面 SAB 的垂线，又是面的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，垂直的性质定理，其思路是：其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin sinθθ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角，是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
线面角的求法总结(经典实用)
线面角的求法总结（经典实用）
1、直接法：即定义法，做出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形,根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求.
2、三余弦定理：设斜线与平面所成角为θ，在平面上作出一条过斜足的特殊直线,求出该直线与射影间的夹角θ，以及它与斜线间的夹角γ或其余弦,就可利用三余弦关系cosγ=cosθ·cosβ求出线面角的余弦值。
3、三正弦定理
设二面角M-AB-N的度数为α，在平面M内有一条射线AC，它和棱AB所成角为β，和平面N所成角为γ，则sinγ=sinαsinβ结论：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值。
线面角二面角线线角的公式
线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。
下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。
1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。
设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。
线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。
线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。
设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。
通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。
二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。
3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。
设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。
通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。
线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。
总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。
线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。
二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。
线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。
这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。
线面角求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
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线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α的射影。
设AC 是平面α的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：1||||cos AB AO θ=，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==又∵||||cos AC AO θ=，θθ2θ1O CBAα可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅， 注意：2(0,)2πθ∈易得：1cos cos θθ< 又1,(0,)2πθθ∈即可得：1θθ<．则可以得到：平面的斜线和它在平面的射影所成角，是这条斜线和这个平面的任一条直线所成角中最小的角；（最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则 ∠AOD 即为OA 与面OBC 所成的角，可知∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ∴cos60°=cos ∠AOD·cos30°∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。
图4练习．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。
〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，在1Rt A BO ∆中，1112AO A B =，∴130A BO ∠=． （法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452A BB ∠==，11cos 3B B B BO BO ∠==，∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．【基础知识精讲】1.直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1)直线在平面——直线上的所有点在平面，根据公理1，如果直线上有两个点在平面，那么这条直线上所有点都在这个平面.A 1直线a在平面α，记作aα.(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.记作a∩α＝A(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.2.直线和平面平行的判定判定如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)即a∥b,aα，bαa∥α证明直线和平面平行的方法有：①依定义采用反证法②利用线面平行的判定定理③面面平行的性质定理也可证明3.直线和平面平行的性质定理性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).即a∥α,aβ，α∩β＝ba∥b.这为证线线平行积累了方法：①排除异面与相交②公理4 ③线面平行的性质定理【重点难点解析】本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB 上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.分析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P.∵BE∥AF，∴ΔBNP∽ΔFNA.∴＝，则＝.即＝.又＝，＝，∴＝.∴MN∥CP，CP平面CBE.∴MN∥平面CBE.例2一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：α∩β＝a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.∴b∥c，显然cβ.∴b∥β.又bα，α∩β=a，∴b∥a.又l∥b.∴l∥a.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.例3如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC ＝1∶2，SQ∶SB＝2∶3，SR∶RD＝2∶1.求证：SA∥平面PQR.分析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR找一条直线与AS平行即可.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.∵＝＝∴RQ∥BD∴＝而＝∴＝∴PM∥ON∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR∴SA∥平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.例4证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b ∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.【难题巧解点拨】例1S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD＝CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.证在ΔADC中，因AE∶AD＝CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ＝平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).例2已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F 且B′E＝C′F求证：EF∥平面AC.分析如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN∵BB′⊥平面AC ∴BB′⊥AB，BB′⊥BC∴EM⊥AB，FN⊥BC∴EM∥FN，∵AB′＝BC′，B′E＝C′F∴AE＝BF又∠B′AB＝∠C′BC＝45°∴RtΔAME≌RtΔBNF∴EM＝FN∴四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN平面AC∴EF∥平面AC证法2过E作EG∥AB交BB′于G，连GF∴＝∵B′E＝C′F，B′A＝C′B∴＝∴FG∥B′C′∥BC又∵EG∩FG＝G,AB∩BC＝B∴平面EFG∥平面AC又EF平面EFG∴EF∥平面AC例3如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB.∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.【课本难题解答】1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交.证明：假设bα或b∥α.若bα，∵b∥a，∴a∥α.这与a∩α＝A矛盾，∴bα不成立.若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c∴a∥α这与a∩α＝A矛盾.∴b∥α不成立.∴b与α相交.2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：a∥b,aα，bβ，α∩β＝c.求证：c∥a∥b【命题趋势分析】本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，它是高考中常考的容，难度适中，因此学习好本节容至关重要.【典型热点考题】例1在下列命题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β；C.若直线m、n在平面α的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α或n与α平行；D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.解对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面且垂直于交线，而B中m不一定在α，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.例2设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.例3三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：α∩β＝a,α∩＝b, ∩α＝c.求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.证明：①如图一，设a∩b＝A，∵α∩β＝a.∴aα而A∈a.∴A∈α.又β∩＝b∴b,而A∈b.∴A∈.则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.从而a、b、c三线共点.②如图二，若a∥b，显然c，b ∴a∥而aα, α∩＝c.∴a∥c从而a∥b∥。