求曲线的轨迹方程(上课用)
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理
求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.
求轨迹方程的一般方法：
1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法
求曲线的轨迹方程的方法
wenku.baidu.com．参数法（交规法）：
当动点P的坐标x,y之间的直接关系 不易建立时，可适当地选取中间变 量t，并用t表示动点的坐标x,y，从 而得到动点轨迹的参数方程 x f (t )
P x, y
，消去参数t，便得到动点的轨迹的 普通方程。
y g (t )
4．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、 双曲线的定义、抛物线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做 定义法．这种方法要求题设中有定点与 定直线及两定点距离之和或差为定值的 条件，或利用平面几何知识分析得出这 些条件．
Y
p
o
A
X
变式2：如图，已知点P是圆x2＋ y2=16上的一个动点，点A是x轴上的 定点，坐标为（12,0）.若D点是AOP 的平分线与PA的交点，当点P在圆上 运动时，求点D的轨迹方程。
Y
p
o
A
X
练习：三角形ABC的两个顶点A， B的坐标分别是A（0,0），B （6,0）顶点C在曲线y=x2+3上 运动，求三角形ABC的重心G的 轨迹方程。
A(0, 2)
练习： 1、一条曲线在x轴上方，它 上面的每一个点到点A(0,2) 的距离减去它到x轴的距离的差都 是2，求这条曲线的方程。
A(0, 2) A(0, 2)
2、A为定点，线段BC在定直 线l上滑动，已知｜BC｜＝4， A到直线l的距离为3，求三角 形ABC的外心的轨迹方程。
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：
求曲线的轨迹方程.ppt
点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点.
（1）求这三种曲线的方程；
2
O
（m,0）
F 2
4
（a，0）
X
（2）在抛物线上求一点P，使
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12 + 8 2 8 + 8 2
x2
12 -8
-
28
y2
PA
PB
t1t2
(cos )Baidu Nhomakorabea2
41
4(sin )2
• _x_2_+_y_2=_9(y≠0)
lity
解答: 1.到F(2,0)和Y轴的距离相等的动点的
轨迹方程是:__________________ • 设动点为(x,y),则由
x 22 y2 | x |
平方,化简得: y2=4(x-1)
lity
解答: 2.三角形ABC中,若B(-2,0),C(2,0),中线AD的
lity
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法
知识梳理：
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理
求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.
求轨迹方程的一般方法：
1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法
求轨迹方程问题—6大常用方法
求轨迹方程问题—6大常用方法
知识梳理：
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：
高中数学 第3课时轨迹方程的求法课件 新人教A版必修2
表示的圆的圆心轨迹方程。
小结：求轨迹的步骤
1、建立适当的直角坐标系，设动点M(x,y)； 2、表示符合条件的点的集合P；
3、用坐标表示集合P满足的方程f(x,y)=0
4、化简方程；
5、排杂、补漏.
变式1:长为2a的线段AB的两端点A,B分别在 x轴、y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
变式2:长为2a的线段AB的两端点A,B分别在 x轴、y轴上滑动，求线段AB的靠近A的三等 分点M的轨迹方程。
例4.过定点M(1,3)任作一条直线分别交x轴、y轴
于A，B两点，求线段AB中点P的轨迹方程。
轨迹是以原点为圆心，以5为半径的圆.
问题：如何根据已知条件求出曲线的方程？
例1.等腰三角形ABC的底边为AB，且A(-1,1)，B(3,7) 求顶点C的轨迹方程.
小结：求出方程后要排除杂点
变式：等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边
一个端点B的坐标是(3,5)，求另一个端点C的轨迹 方程，并说明它是什么图形.
2 2 ( x 1 ) y 4 端点A在圆
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
小结：这种求轨迹的方法叫代入法，它适合于多动点 问题。A为主动点，M为从动点。 基本步骤： 1、设主动点坐标(a,b)，从动点坐标(x,y)；
2、建立主动点与从动点的坐标关系；
求轨迹方程的常用方法(经典)
求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发 ______ 动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x, y 与该参数t的函数关系x = f （t）,
y= g （t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x, y）= 0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x, y）,用（x , y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5:交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程
例1:已知ABC 的顶点A , B 的坐标分别为(-4 , 0), (4, 0), C 为 动点，且满足
5
sin B sin A sin C, 求点C 的轨迹。
求曲线轨迹方程的方法
二：定义法求轨迹方程
【例】 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与 圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C．求曲线 C 的方程．
|变式探究| 1．将本例的条件“动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切”改为“动圆 P 与圆 M、圆 N 都外切”，则圆心 P 的轨迹方程为________．
(2)(2019·保定模拟)已知A为椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1上的点，点B的
坐标为(2，1)，且A→P＝2P→B.求点P的轨迹方程．
【解析】 设A(x0，y0)，P(x，y)， 则由A→P＝2P→B，得(x－x0，y－y0)＝2(2－x，1－y)． ∴xy－ －xy00＝ ＝42－ －22xy， ，∴yx00＝＝33yx－－24.， ∵A为椭圆2x52 ＋1y62 ＝1上的点，∴（3x2－54）2＋（3y1－62）2＝ 1，故所求的P点的轨迹方程为（3x2－54）2＋（3y1－62）2＝1. 【答案】 （3x2－54）2＋（3y1－62）2＝1
四、参数法求曲线方程
过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若l1 交 x 轴于点A，l2 交 y
轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
四、参数法求曲线方程
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 x, y
求轨迹方程的常用方法及例题
求解轨迹方程的常用方法主要有以下几种：
参数方程法：通过引入参数，将轨迹上的点的坐标表示为参数的函数形式，然后通过给定参数的取值范围，确定轨迹上的点的位置关系。
隐式方程法：将轨迹方程中的自变量与因变量通过一个方程联系起来，形成一个隐式方程，然后通过对方程进行求解和化简，得到轨迹的几何性质。
极坐标方程法：对于某些曲线，使用极坐标系可以更方便地描述其轨迹。通过将轨迹上的点的极坐标表示，可以得到轨迹的极坐标方程。
下面是一个例题：
例题：求解椭圆的轨迹方程。
解答：椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义特点是到两个焦点的距离之和恒定。我们可以使用参数方程法来求解椭圆的轨迹方程。
假设椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b。取参数θ，定义点P在椭圆上的坐标为(x, y)。那么根据椭圆的定义，可以得到以下参数方程：
x = a * cos(θ) y = b * sin(θ)
其中，θ的取值范围为0到2π。
通过给定θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的点的坐标关系。进一步化简参数方程，可以得到椭圆的隐式方程：
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
这就是椭圆的轨迹方程，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
以上是求解轨迹方程的常用方法和一个椭圆轨迹方程的例题。根据具体的问题和曲线类型，选择合适的方法进行求解和推导。
高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高中数学专题复习讲座曲线的轨迹方程的求法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点
重难点归纳
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
典型题例示范讲解
例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一
点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求
矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
命题意图
求曲线的轨迹方程
求曲线的轨迹方程
一、几种常见求轨迹方程的方法：直接法、定义法、交轨法、相关点法、待定系数法、参数法还有复数法等。
1．直接法
由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1、(1)求和定圆x 2+y 2=k 2的圆周的距离等于k 的动点P 的轨迹方程；(2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2 (a ＞R ＞0)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹．
分析(1)：动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0． 解：设动点P(x ，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0．即x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0．故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x ，y)，连结OM ，则OM ⊥AM ．∵k OM ·k AM =-1，∴
222122
y y a a x y x x a ⋅=--+=-化简得（）（）轨迹是以OA 为直径圆在圆O 内的一段弧(不含端点)． 2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法
1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程
例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满
足,sin 4
5
sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
轨迹方程问题—6大常用方法
轨迹方程问题—6大常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：
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练习.P 是椭圆 x 2 y 2 1上的动点, 作 PD⊥y 轴， D 为垂足， 16 9
则 PD 中点的轨迹方程为（ D ）
A. x 2 y 2 1 9 16
B. x2 y 2 1 64 9
C. x 2 y 2 1 94
D. x 2 y 2 1 49
例2、过点A(0,2）引椭圆x2 4y2 4的割线，交椭圆于
x2 y2 1 16 12
2.△ABC 中, A(0,-2), B(0,2), 且 CA, AB, CB 成等差数列，
则 C 点的轨迹方程是
x2 y2 1( y 0)
16 12
四、相关点法（代入法）求轨迹方程
若动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P很明显地依赖于另一动点Q的运动 时，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则 可利用相关点法。其关键是找出两动点的坐标间 的关系，这要充分利用题中的几何条件。
二、待定系数法： 已知曲线类型，可先设曲线方程， 再将已知条件代入，求出系数。
例、 已知椭圆的焦点坐标为 (0,2 3) 和 (0,2 3，) 且经过点 ( 6, 5) ，求椭圆的标准方程。
x2 y2 1 8 20
三、定义法：
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种 特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等） 的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从 而得到轨迹方程.
x2 y 2 1( y 0) 43
1、直接法
练习、求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动
圆的圆心的轨迹方程。
y
解：设动圆圆心为P(x,y).
AP
由题，得 (x 2)2 y2 2 | x | (x 2)2 y2 (2 | x |)2
oB
x
即
-4x+y2=4|x|
得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x<0),或y2=8x(x>0)
相关点法也称代入法．
例、已知圆C：x2 + y2 = 4.过圆C上一动点M作平 行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向 量OQ = OM + ON，求动点Q的轨迹方程，并说 明此轨迹是什么曲线。
解：设Q(x，y)，M(x0，y0)，则N(0，y0)，
∵OQ = OM + ON，∴(x，y)=(x0，2y0)，
即
x0
y0
x y
2
，
又点M(x0，y0)在圆C上， ∴ x02+y02=4，
∴ x2 y2 4 ， 即 y2 x2 1.
4
16 4
由已知，直线 m // x 轴，所以 y ≠ 0.
∴点Q的轨迹方程是 y2 x2 1( y 0) ， 16 4
轨迹是焦点坐标为F1(0， 2 3 )， F2(0，2 3 )，长轴长为8的椭圆，并去掉 (-2，0)和(2，0)两点。
B、C两点，求弦BC中点P的轨迹。 五、消参法
解：设割线方程 y kx 2, B(x1, y1)、C(x2 , y2 )、P(x, y)
y kx 2
x
2
4y2
4
y A B
消去y得：（1 4k 2 )x2 16kx 12 0
x x1 x2 8k
①
2
1 4k 2
y k x1 x2 2 2
由k BC
k AP得
x 4y
y
x
2
即 x 2 ( y 1)2 1 4
（2010
辽宁文数）设 F1 ， F2 分别为椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
来自百度文库
0)
的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 ，
F1 到直线 l 的距离为 2 3 . （Ⅰ）求椭圆 C 的焦距； （Ⅱ）如果 AF2 2F2B ,求椭圆 C 的方程.
2
1 4k 2
②
P O
C
x
由① ②得：k x 4y
代入②得：
x 2 ( y 1)2 1（在椭圆内的部分） 4
解：设B(x1, y1), C(x2 , y2 ),中点P(x, y)，则 x12 4 y12 4 x22 4 y22 4
两式相减得：y2 y1 x2 x1 x x2 x1 4( y2 y1 ) 4 y
求曲线的轨迹方程
1、直接法 2、待定系数法 3、定义法 4、相关点法 5、消参法
一.直接法:根据题目信息点,直接设点代 入.要注意的有二点：计算及自变量的 取值范围
例 1.在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0）B（-2，0），
P 是平面内一动点，直线 PA，PB 的斜率之积为 3 ． 4
求动点 P 的轨迹 C 的方程。
例、已知圆A：(x 2)2 y2 1与A（- 2,0），B（2,0）
分别满足求出下列条件的动点P的轨迹方程
（1）PAB的周长为10
x2 y2 1( y 0)
95
（2）圆P与圆A外切，且过
B点（P为动圆圆心）
x2 y2 1(x 1 )
1 15
2
44
练习 1、已知动圆 C 过点 A(－2，0)，且与圆 M：(x－2)2+x2=64 相内切，求动圆 C 的圆心的 轨迹方程.
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
15