2007年宁夏文科数学高考试卷及答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(文科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（文科）参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C8．B9．C10．D11．D12．B二、填空题 13．3 14．115．44i - 16．12三、解答题17．（本小题满分12分）解：在△BCD 中，πCBD αβ∠=-- 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠⋅==∠+在Rt △ABC 中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ⋅=∠=+18．（本小题满分12分）（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE ，CE ，因为ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB 。
当平面AD B ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC=AB ，所以DE 平面ABC ，可知D E ⊥CE由已知可得31DE EC ==，，在Rt △DEC 中，222CD DE EC =+=（Ⅱ）当△ADB 以AB 为轴转动时，总有A B ⊥CD 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC=BC ，AD=BD ，所以C ，D 都在线段AB 的垂直平分线上，即A B ⊥CD（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B ⊥DE ．又因A C ⊥BC ，所以A B ⊥CE 又DE ，CE 为相交直线，所以A B ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得A B ⊥CD ． 综上所述，总有A B ⊥CD19．（本小题满分12分）解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++ 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭又31397131149lnln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0< 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭20．（本小题满分12分）解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A == （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤ 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥ 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+= ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭， （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++ ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-。
2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)
如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2，
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1．a 是第四象限角， tan 5 ，则 sin 12
A． 1 5
B． 1 5
2．设 a 是实数，且 a 1 i 是实数，则 a＝ 1i 2
A． 1 2
B．1
3．已知向量 a＝（－5，6），b＝（6，5），则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C． 5 13
C． 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社 国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会 社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主 会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度 制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立 确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：， 立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当 使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代 占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中 世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国 界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一 人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步 一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠 的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定 东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了 方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制 大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度 会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的 ，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建 这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立 是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极 世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大 界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地 社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提 会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高 主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了 义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工 运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人 动、届 业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶 史新社二 的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级 上民会中 社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和 又主全 会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人 性理历中 ，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民 的论史国 党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积 大以验稳 政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已��
2007年高考数学宁夏、海南试题(文科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（宁夏、 海南卷）全解全析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<【答案】：A【分析】：由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-. 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【答案】：C【分析】：p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）【答案】：A【分析】：π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 排除Ｃ。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析
2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．应选D.【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．应选A.【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．应选A.【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．应选C.【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．应选C.【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．应选D.【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．应选B.【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．应选D.【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式，化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；在化简三角函数时，应注意“1”的代换，1=sin2α+cos2α，1=tanα•cotα等，对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法”，遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．应选C.【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．0.25【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．3x（x∈R）【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。
(海南、宁夏.文)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南、宁夏）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]m s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· y x11-2π- 3π- O 6π πyx11-2π- 3π- O 6π π y x11-2π- 3πO6π- πyxπ 2π- 6π- 1O1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k = 0S =50?k ≤是2S S k =+1k k =+否输出S 结束8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．7210．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 46丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 642020正视图20侧视图10 1020俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分） 如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当A D B △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论． 19．（本小题满分12分） 设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．DBAC20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．A P OM CB2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题 1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ二、填空题 13．3 14．115．44i -16．12三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得31DE EC ==，，在D E C Rt △中，222CD DE EC =+=．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥．19．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． EDBCA（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，． 所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ． 22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．APOM CB（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．。
2007-2010年宁夏高考试题答案
2007参考解答及评分标准二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
选对但不全的得3分，有错项或不答得0分。
14. C 根据题意，已知行星绕恒星运动的轨道半径r 和周期T ，则恒星对行星的万有引力提供行星运动的向心力。
由2224T m r r Mm G π=得，2324GTr M π=，因此C 正确。
15. B 行星的运动和地球上物体的运动都属于经典力学范畴，应该遵循相同的规律，A 错。
物体在转弯时的运动是曲线运动，即变速运动，因此有加速度，合外力不能为零，B 正确。
月球绕地球运动时受到地球的引力提供了向心力，而不是同时受这两个力的作用，C 错。
物体在光滑斜面下滑时只受重力和斜面的支持力，“下滑力”只是对重力沿斜面的分力的说法，D 错。
16. C 由图象可知，甲乙两辆汽车在5-15秒内的位移大小分别等于相应时间内的矩形面积和梯形面积，而根据几何关系，这两部分面积相等，故C 正确。
在0-10秒内两车逐渐远离；在10-20秒内两车逐渐靠近；在t =10秒时两车速度相等，则A 、B 、D 错误。
17. BD 由图象可知，电压的最大值为100=m U V ，周期04.0=T s ，所以频率04.011==T f s=25s ；有效值为21002==m U U V=250V ；若将该交流电压加在阻值为R =100Ω的电阻两端，则电阻消耗的功为100)250(22==R U P W=50W ；该交流电的表达式为t t f U u m ⋅⨯⨯=⋅=252sin 1002sin ππV=t ⋅π50sin 100V ，故A 、C 错，B 、D 正确。
18. A 如图，先以两小球整体为研究对象，有方程：ma F F 221=+，即ma Eq Eq 221=+；再以小球1为研究对象，有方程：ma T Eq =-1，联立两方程可解得：E q q T )(2121-=，故A 对。
19.B 当R 2的滑动触点向b 端移动时，电路中的总电阻R ↓，由r R EI +=可知，I ↑，而Ir E U -=，故U ↓；又33IR U =，即3U ↑，U U U =+31，所以21U U =↓，111R U I =，即1I ↓；I I I =+21，故2I ↑，B 对。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(文科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清 楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
参考公式： 样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=sh24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则AB =（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1x x >-| C ．{}|21x x -<<- D ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥B ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥C ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎦，的简图是（ ）4．已知平面向量a=（1，1），b=（1，-1）则向量1322-=a b （ ） A ．（-2，1） B ．（-2，1） C ．（-2，0） D ．（1，2）5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是（b ，c ），则ad 等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，、，、333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP +=C ．2132FP FP FP =+D ．2213FP FP FP =⋅8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．32000cm D ．34000cm9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．210．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294e B ．22e C ．2eD ．22e11．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π20次，三人的测试成绩如下表151123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．213s s s >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
宁夏海南文
x丙
2 s3
由s2 2 s12 s3 2得s2 s1 s3 .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考 生都必须做答．第 22 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 6， 则该双曲线的离心率为 ． 【答案】：3 【分析】：如图，过双曲线的顶点 A、焦点 F 分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为 B、C， 则：
10．曲线 y e 在点 (2，e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
x 2
）
Ａ．
9 2 e 4
Ｂ． 2e
2
Ｃ． e
2
Ｄ．
e2 2
2
【答案】：D 【分析】： y (e ) e , 曲线在点 (2，e ) 处的切线斜率为 e ，因此切线方程
x x 2
为 y e e ( x 2), 则切线与坐标轴交点为 A(1, 0), B (0, e ), 所以：
2
3
8
1 2 a5 a1 1 . 5 1 2
【分析】： a4 a6 6 a5 3, S5
a1 a5 a 3 5 1 5 10 a1 1. 2 2
d
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ．现 测得 BCD ，BDC ，CD s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ．
1 3 a b (1， 2). 2 2
2007年宁夏高考文科数学真题及答案
2007年宁夏高考文科数学真题及答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．0.53．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据，，，的标准差锥体体积公式1x 2x n xs =13V Sh =其中为标本平均数 其中为底面面积，为高 x S h 柱体体积公式 球的表面积、体积公式， V Sh =24πS R =34π3V R =其中为底面面积，为高其中为球的半径S h R第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（ ） {}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，A B = Ａ．Ｂ．{}|2x x >-{}1x x >-|Ｃ．Ｄ．{}|21x x -<<-{}|12x x -<<2．已知命题，，则（ ） :p x ∀∈R sin 1x ≤Ａ．，Ｂ．，:p x ⌝∃∈R sin 1x ≥:p x ⌝∀∈R sin 1x ≥Ｃ．，Ｄ．，:p x ⌝∃∈R sin 1x >:p x ⌝∀∈R sin 1x >3．函数在区间的简图是（ ） πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知平面向量，则向量(11)(11)==-，，，a b 1322-=a b （ ） Ａ． Ｂ．(21)--，(21)-，Ｃ．Ｄ．(10)-，(12)，5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）S =Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知成等比数列，且曲线的顶点是a b c d ，，，223y x x =-+，则等于（ ）()b c ，ad Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线的焦点为，点，在抛22(0)y px p =>F 111222()()P x y P x y ，，，333()P x y ，物线上，且，则有（ ） 2132x x x =+Ａ． Ｂ．123FP FP FP +=222123FP FP FP +=Ｃ．Ｄ． 2132FP FP FP =+2213FP FP FP =·xＡＢＣ．Ｄ．8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ． 38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ． 34000cm 9．若的值为cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+（ ） Ａ．Ｂ．12-Ｃ．1210．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xy e =2(2)e ，Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．294e 22e 2e 22e 11．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，S ABC -r O AB SO ⊥底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）ABC AC =Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．π2π3π4π12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）123s s s ，，Ａ．Ｂ． 312ss s >>213s s s >>Ｃ．Ｄ．123s s s >>213s s s >>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4正视图侧视图俯视图做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数为偶函数，则 ．()(1)()f x x x a =++a =15．是虚数单位， ．（用的形式表示，i 238i 2i 3i 8i ++++= i a b +）a b ∈R ，16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差 ． {}n a 466a a +=510S =d =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现AB B C D 测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，C A θ．AB18．（本小题满分12分） 如图，为空间四点．在中，A B C D ，，，ABC △．等边三角形以为轴运2AB AC BC ===，ADB AB 动．（Ⅰ）当平面平面时，求；ADB ⊥ABC CD （Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结ADB △AB CD ⊥论． 19．（本小题满分12分） 设函数 2()ln(23)f x x x =++（Ⅰ）讨论的单调性； ()f x （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． ()f x 3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦DBAC20．（本小题满分12分）设有关于的一元二次方程．x 2220x ax b ++=（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上a 0123，，，b 012，，述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实a [03]，b [02]，根的概率． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率xOy 2212320x y x +-+=Q (02)P ，为的直线与圆相交于不同的两点． k Q A B ，（Ⅰ）求的取值范围；k （Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，k OA OB + PQk 请说明理由．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知是的切线，为切点，是AP O P AC O 的割线，与交于两点，圆心在的内O B C ，O PAC ∠部，点是的中点．M BC （Ⅰ）证明四点共圆； A P O M ，，，（Ⅱ）求的大小．OAM APM ∠+∠22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程和的极坐标方程分别为．1O 2O 4cos 4sin ρθρθ==-，（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程； 1O 2O （Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程． 1O 2OA2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案（宁夏）一、选择题 1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ二、填空题 13． 14．115．16．344i -12三、解答题17．解：在中，． BCD △πCBD αβ∠=--由正弦定理得．sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以． sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·在中，．ABC Rt △tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·18．解：（Ⅰ）取的中点，连结，因为是AB E DE CE ，ADB 等边三角形，所以． DE AB ⊥当平面平面时，ADB ⊥ABC 因为平面平面， ADB ABC AB =所以平面， DE ⊥ABC 可知 DE CE ⊥由已知可得，在中，1DE EC ==DEC Rt△．2CD ==（Ⅱ）当以为轴转动时，总有． ADB △AB AB CD ⊥证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，所以都在线段的垂D ABC AC BC AD BD ==，C D ，AB 直平分线上，即．AB CD ⊥（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以D ABC AB DE ⊥AC BC =．AB CE ⊥又为相交直线，所以平面，由平面，得． DE CE ，AB ⊥CDE CD ⊂CDE AB CD ⊥综上所述，总有．AB CD ⊥19．解：的定义域为．()f x 32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞（Ⅰ）． 224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++EDBCA当时，；当时，；当时，312x -<<-()0f x '>112x -<<-()0f x '<12x >-．()0f x '>从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少． ()f x 312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞112⎛⎫--⎪⎝⎭，（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．()f x 3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭又． 31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<所以在区间的最大值为．()f x 3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭20．解：设事件为“方程有实根”．A 2220a ax b ++=当，时，方程有实根的充要条件为．0a >0b >2220x ax b ++=a b ≥（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，a 取值，第二个数表示的取值．b 事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为． A A 93()124P A ==（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为． {}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤构成事件的区域为．A {}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥所以所求的概率为．2132222323⨯-⨯==⨯21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过且斜率为的直22(6)4x y -+=(60)Q ，(02)P ，k 线方程为．2y kx =+代入圆方程得， 22(2)12320x kx x ++-+=整理得． ① 22(1)4(3)360k x k x ++-+=直线与圆交于两个不同的点等价于A B ，，2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->解得，即的取值范围为． 304k -<<k 304⎛⎫- ⎪⎝⎭，（Ⅱ）设，则，1122()()A x y B x y ，，，1212()OA OB x x y y +=++，由方程①， ② 1224(3)1k x x k-+=-+又． ③1212()4y y k x x +=++而．(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，所以与共线等价于，OA OB + PQ1212()6()x x y y +=+将②③代入上式，解得． 34k =-由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数． 304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭k 22．Ａ（Ⅰ）证明：连结．OP OM ，因为与相切于点，所以． AP O P OP AP ⊥因为是的弦的中点，所以． M O BC OM BC ⊥于是．180OPA OMA ∠+∠=°由圆心在的内部，可知四边形的对O PAC ∠APOM 角互补，所以四点共圆． AP O M ，，，（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以A P O M ，，，． OAM OPM ∠=∠由（Ⅰ）得．OP AP ⊥由圆心在的内部，可知． O PAC ∠90OPM APM ∠+∠=°所以．90OAM APM ∠+∠=°22．Ｂ 解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单x 位． （Ⅰ），，由得．cos x ρθ=sin y ρθ=4cos ρθ=24cos ρρθ=所以．224x y x +=即为的直角坐标方程． 2240x y x +-=1O 同理为的直角坐标方程．2240x y y ++=2O A（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩解得． 1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为． 1O 2O (00)，(22)-，y x =-。
宁夏海南新课标文科数学高考试卷和详解答案
高考总复习系列2007 年一般高等学校招生全国一致考试（宁夏卷）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．设会合A x | x 1 ，B x | 2 x 2 ，则 A B（）Ａ．x | x2Ｂ．x| x1Ｃ．x | 2 x1Ｄ．x | 1 x22．已知命题p : x R ，sin x≤1，则（）Ａ．Ｃ．p : x R ，sin x≥1Ｂ．p : x R ，sin x1Ｄ．p : x R ，sin x≥1p : x R ，sin x1π在区间π）3．函数y sin 2x，π 的简图是（324．已知平面向量a(11)，，b (1， 1) ，则向量 1 a 3 b（）开始22Ａ． ( 2，1)Ｂ． (2，1)Ｃ． (1，0)Ｄ． (12)，ＢＡ5．假如履行右边的程序框图，那么输出的S （）Ａ． 2450 Ｂ． 2500 Ｃ． 2550 Ｄ． 26526．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y x22x 3的极点否ＣＤ是是 (b， c) ，则ad等于（）输出Ａ． 3Ｂ． 2Ｃ． 1Ｄ．2S 结束7 ．已知抛物线y22px ( p 0)的焦点为F，点P1 ( x1， y1)， P2 ( x2， y2 ) ， P3 (x3， y3 ) 在抛物线上，且2x2x1x3，则有（）Ａ． FP1FP2FP3222Ｂ． FP1 F P2 F 3PＣ． 2 FP2FP1FP32F ·1P F3P Ｄ． FP28．已知某个几何体的三视图以下，依据图中标出的尺寸（单20位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ． 4000cm3Ｂ．8000cm 32020 33正视图侧视图Ｃ．2000cm3Ｄ． 4000cm3101020俯视图9．若cos22，则 cossin 的值为（）π2sin4Ａ．7 1 1 7Ｂ．2Ｃ．Ｄ．2 2210 ．曲线ye x 在点 (2， e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ． 9e 2Ｂ． 2e 2Ｃ． e 2Ｄ． e24211 ．已知三棱锥S ABC 的各极点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在 AB 上， SO底面 ABC ，AC2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ． πＢ． 2π Ｃ．3πＤ． 4π甲的成绩乙的成绩丙的成绩12．甲 、乙、 丙三名射 箭运动员在某次测 环1 环1 环1 试中各 7 89射 箭 78 92089次，三人的测数 0 数 0 7 0试成绩如 下数频频表频5 55564 46664数 数 4数s 1， s 2， s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员此次测试成绩的标准差，则有（）Ａ． s 3s 1 s 2 Ｂ． s 2 s 1 s 3 Ｃ． s 1 s 2s 3 Ｄ． s 2 s 1 s 3二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分．13 ．已知双曲线的极点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．14 ．设函数 f ( x) ( x 1)( x a) 为偶函数，则 a．15 ． i 是虚数单位， i 2i 2 3i 38i 8．（用 abi 的形式表示， a ，bR ）16 ．已知a n是等差数列，a 4 a 6 6 ，其前 5项和 S 510 ，则其公差 d．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17 ．（本小题满分12 分）如图，丈量河对岸的塔高 AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点C 与 D ．现测得BCD ， BDC， CD s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB ．17 ．解：在 △ BCD 中，CBDπ．由正弦定理得BC CD．BDC sinsinCBDCD sin BDC·· sin所以 BC s sin．在 Rt △ ABC 中， AB BC tan ACBs tansin CBDsin(sin(．))18．（本小题满分12 分）如图， A ，B ，C ，D 为空间四点．在 △ ABC 中， AB2， ACBC2 ．等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB 平面 ABC 时，求 CD ；（Ⅱ）当 △ ADB 转动时，能否总有 AB CD ？证明你 的结论．18 ．解：（Ⅰ）取 AB 的中点 E ，连接 DE ， CE ，由于 ADB 是等边三角形，所以 DE AB ．当平面 ADB 平面 ABC 时，由于平面 ADB 平面 ABC AB ，所以 DE 平面 ABC ，可知 DE CE由已知可得 DE3， EC 1 ， 在 Rt △ D E C 中 ，CDDE 2 EC 22 ．（Ⅱ）当 △ ADB 以 AB 为轴转动时，总有AB CD ．证明：（ⅰ）当 D 在平面 ABC 内时，由于 AC= BC ， AD BD ，所以 C ，D 都在线段 AB 的垂直均分线上，即ABCD ． （ⅱ）当 D 不在平面 ABC 内时，由（Ⅰ）知 AB DE ．又因 AC BC ，所以 AB CE ． 又 DE ，CE 为订交直线，所以 AB 平面 CDE ，由 CD 平面 CDE ，得 AB CD ．综上所述，总有 AB CD ． 19．（本小题满分 12 分）设函数f ( x)ln(2 x3) x 2（Ⅰ）议论f ( x) 的单一性；（Ⅱ）求f ( x) 在区间3 1的最大值和最小值．4 ，419 ．解： f ( x) 的定义域为3， ∞ ．（Ⅰ） f ( x)2 2x 4x 2 6x 22(2 x 1)(x 1) ．22x32x 3 2x 33 x1时， f ( x)0 ；当1 x1 0 ；当 x1f (x) 0 ．当时， f ( x)时，222进而， f ( x) 分别在区间3，1 ，1， ∞ 单一增添，在区间1，1单一减少．222（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) 在区间3 1f1 ln 21．4 ， 的最小值为244又 f3 f1 ln3 9ln7 1ln3 1 11 ln490 ．442 162 16 7 2 263 1f1 1ln 7所以 f (x) 在区间， 的最大值为416 ．4 4220．（本小题满分 12 分）设有对于 x 的一元二次方程x 2 2ax b 20 ．（Ⅰ）若 a 是从 01，，2，3 四个数中任取的一个数， b 是从 01，，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若 a 是从区间 [0，3] 任取的一个数， b 是从区间 [0，2] 任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20 ．解：设事件 A 为“方程 a 2 2ax b 2 0 有实根”．当 a 0 ， b0 时，方程 x 2 2ax b 2 0 有实根的充要条件为 a ≥ b ．（Ⅰ）基本领件共12 个： (0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(11)，，(1，2)，，(2，0)，(2 1)，(2，，2)，(3，0)(31)，，(3，2) ．此中第一个数表 示 a 的 取 值 ， 第 二 个 数 表 示 b 的 取 值 ． 事 件 A 中 包 含 9个 基 本 事 件 ， 事 件 A 发 生 的 概 率为9 3．P( A)412（Ⅱ）试验的所有结束所组成的地区为 (a ，b) | 0 ≤ a ≤ 3，0≤ b ≤ 2 ．组成事件 A 的地区为， ， ≤ b ， ．( a b) | 0 ≤ a ≤ 3 0 ≤ 2 a ≥ b3 21 22 2 ． 所以所求的概率为3 22321 ．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 x 2y 2 12x32 0 的圆心为 Q ，过点 P(0，2) 且斜率为 k 的直线与圆Q 订交于不一样的两点 A ， B ．（Ⅰ）求 k 的取值范围；（Ⅱ）能否存在常数k ，使得向量 OA OB 与 PQ 共线？假如存在，求k 值；假如不存在，请说明原因．21 ．解：（Ⅰ）圆的方程可写成( x 6) 2 y 24 ，所以圆心为 Q (6，0) ，过 P(0，2) 且斜率为 k 的直线方程为y kx 2 ．代入圆方程得x 2 (kx 2) 2 12x 32 0 ，整理得 (1 k 2 ) x 24(k 3) x 36 0．①直线与圆交于两个不一样的点A ，B 等价于[4( k 3)2] 4 36(1 k 2 ) 42 ( 8k 26k) 0 ，解得3k 0 ，即 k 的取值范围为3， ．4 4 0（Ⅱ）设 A( x 1， y 1 )， B( x 2， y 2 ) ，则 OAOB ( x 1 x 2， y 1 y 2 ) ，由方程①，x 1 x 24( k 3)1 ②k 2又 y 1 y 2 k( x 1 x 2 ) 4 ．③而 P(0，2)， Q(6，0)，PQ (6， 2) ．所以 OAOB 与 PQ 共线等价于 (x 1 x 2 ) 6( y 1 y 2 ) ， 将②③代入上式，解得k3．43 ，kk由（Ⅰ）知，故没有切合题意的常数．422 ． 请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22 ．Ａ（本小题满分 10 分）选修 4－ 1：几何证明选讲如图，已知 AP 是 O 的切线， P 为切点， AC 是 O 的割线，与O 交于 B ，C 两点，圆心 O 在 PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．（Ⅰ）证明 A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求 OAMAPM 的大小．22 ．Ａ（Ⅰ）证明：连接 OP ，OM ． 由于 AP 与 O 相切于点 P ，所以 OP AP ．由于M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OM BC ．于是OPAOMA180°．由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A ，P ，O ，M 四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ， P ， O ， M 四点共圆，所以 OAM OPM ．由（Ⅰ）得 OP AP ．OPM APM 90°由圆心 O在 PAC的内部，可知．所以OAM APM 90°．22 ．Ｂ（本小题满分 10 分）选修 4－ 4：坐标系与参数方程O 1和 O 2 的极坐标方程分别为4cos ， 4sin ．（Ⅰ）把O 1 和 O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过 O 1 ，O 2 交点的直线的直角坐标方程．22 ．Ｂ解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，成立平面直角坐标系，两坐标系中取同样的长度单位．（Ⅰ） xcos， ysin ，由4cos 得24 cos ．所以 x 2 y 24x ．即 x 2 y 2 4x0 为 O 1 的直角坐标方程．同理 x 2y 24 y 0为 O 2 的直角坐标方程．（Ⅱ）由x 2 y 2 4x 0x 2y 24 yx 1 ， x 2 2解得，．y 1 y 2 2即O 1，O 2 交于点 (0，0) 和 (2， 2) ．过交点的直线的直角坐标方程为 y x ．2007 年一般高等学校招生全国一致考试（新课标全国卷）1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ11．Ｄ12．Ｂ13． 314．115． 44i16． 121． 【分析】 由 A x | x 1 ，B x | 2 x2,可得A B x | x2 .答案： A2． 【分析】p 是对 p 的否认，故有： xR , sin x 1. 答案： C3． 【分析】f ( )sin 2π3, 清除Ｂ、Ｄ， f () sin 2 π 0, 清除Ｃ。
2007年宁夏海南新课标(文科)数学高考试卷和详解问题详解
高考总复习系列2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则AB =（ ）Ａ．{}|2x x >- Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<- Ｄ．{}|12x x -<< 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知a bc d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FPFP FP +=yx1 1- 2π-3π-O 6π πyx11- 2π-3π- O 6π π yx1 1- 2π-3πO 6π- πyx π 2π-6π- 1 O1- 3πＡ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．开始1k =0S = 50?k ≤ 是2S S k=+1k k =+否输出S结束Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FPFP FP =·8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12- Ｃ．12Ｄ．7210．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．213s s s >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ． 15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 1频数 4 6 6 4 2020正视图20侧视图10 1020俯视图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以s i n si ns i n s i n ()C D B D C s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，t a n si nt an s i n ()s A B B C A C B θβαβ=∠=+·．18．（本小题满分12分）如图，A B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论． 18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥由已知可得31DE EC ==，，在D E C Rt △中，222CD DE EC =+=．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．DBACEDBCA又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥． 19．（本小题满分12分） 设函数2()ln(23)f x x x =++（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．19．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++．当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)((31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=，整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=．①直线与圆交于两个不同的点A B，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->， 解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B xy ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++．③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，． 所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+， 将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ． 22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角 互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．22．Ｂ解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．A POM CBAPOM CB（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．PD CBAAOSCB2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ11．Ｄ12．Ｂ13．3 14．1 15．44i - 16．121．【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B ={}|2x x >-.答案：A2．【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >答案：C3．【解析】π3()sin 2,32f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。
2007年全国高考文科数学试卷及答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T =（ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．8第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为_____．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S ABCD -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． （20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． （21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，SCDAB5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． （22）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．0.25 14．3()xx ∈R 15．4π3 16．13三、解答题 17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．0.648=．19．解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =SD又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角． 所以，直线SD 与平面SBC所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===1SO =，DBCASE又BC =0)A ，，(0B，(0C ，． (001)S ，，，(21)SA =-，，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，，(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC 的法向量，所以α与β互余．22cos 11OA SD OASDα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为． 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，12362n n -+=-．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，2221222121)(1)()432k BD x xk x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-． 所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．。
2007年全国高考文科数学试卷及答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T =（ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）Ａ．221412x y -= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 （6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．8第Ⅱ卷注意事项： 2．第Ⅱ3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496 494 495 498 497 501 502 504 496 497503506508507492496500501499（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S ABCD -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（18）（本小题满分12分）（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率． （19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． （20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． （21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． （22）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．SCDAB（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．0.25 14．3()xx ∈R 15．4π3 16．13三、解答题 17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．0.648=．19．解法一：（1）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥， 依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =SD又sin 452AO AB ==DE BC ⊥，垂足为E ，则DE ⊥平面SBC ，连结SE ．ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成的角． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为AO BO AB ===1SO =，又BC =0)A ，， (0B，(0C ，． (001)S ，，，(21)SA =-，，， (0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）(21)SD SA AD SA CB =+=-=--，，(20)OA =，，. OA 与SD 的夹角记为α，SD 与平面ABC 所成的角记为β，因为OA 为平面SBC的法向DBCASE量，所以α与β互余．22cos 11OA SD OA SDα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SBC 所成的角为arcsin 11． 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，12362n n -+=-．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k+=-+，21223632k x x k -=+，2221222121)(1)()432k BD x x kx x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1k-．所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．。
2007年全国高考新课标卷(文科)答案及考点分析
2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南、宁夏卷）文科数学答案一、选择题： 1．A 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．D 12．B二、填空题： 13．【答案】3 14．【答案】1 15．【答案】44i - 16．【答案】12 三、解答题： 17．【解析】在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．【解析】（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面 ABC AB =，所以平面ABC ，可知DE CE ⊥．由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD ==．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．19．【解析】()f x 的定义域为()32-+∞，． （Ⅰ）22(21)(1)4622()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间()312--，()1,2-+∞单调增加，在区间()11,2--单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为()11ln 224f -=+． 又()()()33973491111ln ln ln 1ln 0442162167226f f --=+--=+=-<．所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为()711ln 4162f =+． 20．【解析】设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个： (00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为()93124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯． 21．【解析】（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①直线与圆交于两个不同的点A B，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为()3,04-．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，， 由方程①，1224(3)1k x x k -+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．所以OA OB +与PQ 共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-．由（Ⅰ）知()3,04k ∈-，故没有符合题意的常数k ．22．Ａ【解析】（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ【解析】以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=． 即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程．同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．2007全国新课标卷数学（文）考点分析表。
2007 年全国高考文科数学试卷及答案-全国2
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 5． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题1．cos330=（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()UA B =（ ）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（ ） A ．(32)-， B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．28．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ）AB ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，， 分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分） 已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；AE B CFSD（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)
www:/政治库2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）文科综合能力测试（新课标）第Ⅰ卷本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
读图1,回答1～2题。
1.图中洋流所在的大洋为A.太平洋B.大西洋C.印度洋D.北冰洋2.图中洋流对相邻陆地环境的影响是A．增加了湿、热程度B．降低了干、热程度C．减轻了寒冷状况D．加剧了干燥状况20世纪60年代，我国西部某平原地区在各集镇形成周期性集市。
农历每月内，集市逢一、四、期在①地，其余各天分别在周围六个集镇，如图2所示（初一、十一、廿一为逢一，其余类推）。
回答3～4题。
3.该地区A.集镇分为两级B.集市的周期为3天C.①地的服务范围比②地小D.②地的服务功能比①地齐全4.①地不能每日都成为集市的根本原因是A．供交换的商品种类太少B．为方便各地居民的日常胜过C．各集镇之间交通不便D．当地居民的购买力不足我国某校地理兴趣小组的同学，把世界上四地年内正午太阳高度变化及方向绘成简图（图3）。
回答5～6题。
5.可能反映学校所在地正午太阳高度年变化及方向的是A．①B．②C．③D．④6.当②地正午太阳高度达到最大时A．地球公转速度较慢B．其他三地正午太阳所在方向不同C．该学校所在地天气炎热D．太阳在地球上的直射点将北返读表1数据，回答7～8题。
表1 我国五地海拔及地理位臵海拔/m 纬度经度北京31 39°55′N 116°24′E兰州1517 36°03′N 103°49′E福州84 26°02′N 119°19′E甲地110 34°44′N 113°42′Ewww:/政治库乙地1891 25°04′N 102°42′E7.甲地所处的地形单元为A．黄土高原B．华北平原C．内蒙古高原D．长江中下游平原8.图4中表示乙地年内各月气温的曲线是A．①B．②C．③D．④图5为美国某城市某年8月某日22时等温线图。
2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)
2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～．【分析】～【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499～14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（3．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B03P（B1）=C31×2×P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1+19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；涨停；wkqd；wsj1012；danbo7801；blue；minqi5；wukexing；qiss；zhwsd；吕静；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（宁夏）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]m s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知a bc d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· y x11-2π-3π- O 6π πyx11-2π- 3π- O 6π π y x11-2π- 3π O6π- πyxπ2π- 6π- 1O1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k =0S =50?k ≤是2S S k =+1k k =+否输出S结束8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．7210．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 46丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 642020正视图20侧视图10 1020俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分） 如图，A B C D，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论． 19．（本小题满分12分） 设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．DBAC20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点． （Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．A P OM CB2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案（宁夏）一、选择题 1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｄ 12．Ｂ二、填空题 13．3 14．115．44i -16．12三、解答题17．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠． 所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得31DE EC ==，，在D E C Rt △中，222CD DE EC =+=．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥． 又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥．19．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． EDBCA（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．解：设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k-+=-+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，． 所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ． 22．Ａ（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以A P O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ解：以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． 所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．APOM CB（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．。