人大附中2020届初三第一学期10月月考数学试题

人大附中2020届初三第一学期10月月考
数学试卷
2020.10
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1. 一元二次方程2
230x x --=的二次项系数，一次项系数、常数项分别是( )
A. 2，1，3
B.2，1,-3
C.2，-1，3
D.2，-1，-3
2. 如图，圆O 的弦中最长的是( )
A. AB
B. CD
C. EF
D. GH
3. 抛物线2
1y x =-的顶点坐标是( )
A(0，0)
B.(0，-1) C . (0，1) D.(-1，0)
4、用配方法解方程2
250x x --=，配方正确的是( )
A.2
(1)
4x -= B. 2
(1)4x +=
C. 2
(1)6x -=
D. 2
(1)6x +=
5.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市.下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
6.方程2
210x x +-=的根的情况是( )
A 有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实根
C.无实数根
D.无法确定
7.如图，将△ABC 绕点C 逆时针转，得到△CDE ，若点A 的对应点D 恰好在线段AB 上，且CD 平分∠ACB ，记线段BC 与DE 的交点为F.下列结论中，不正确的是( )
A.CA=CD
B.△CDF ≌△CDA
C.∠BDF=∠ACD
D ，DF=EF
8.在平面直角坐标系xOy 中，对于自变量为x 的1y 和2y ，若当-1≤x≤1时，都满足121y y -≤成立，则称函数1y 和
2y 互为“关联的”.下列函数中，不与2y x =互为“关联的”的函是( )
A. 2
1y x =-
B. 2
2y x =
C.()2
1y x =-
D. 2
1y x =-+
二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9、点(-2，3)关于原点的对称点的坐标为
10、写出一个对称轴为y 轴的二次函数的表达式
11、若关于x 的方程2
240x kx k ++-=的一个根是1，则k 的值为
12、如图，AB 是⊙O 的弦，直径CD ⊥AB 于点H ，若⊙O 的半径为10，AB=16，则DH 的长为
13、已知二次函数2
y ax bx c =++的图像如图所示，则a
0,
24b ac -
0（两空均选填“>”，“=”，“<”）
14、如果m 是方程2
32020x x +=的根，那么代数式()()2
211m m m +--的值为
15、已知二次函数2
y ax bx c =++中的x 和y 满足下表：
根据图表中信息推断，方程100ax bx c ++-=的根为
16.如图，在正方形ABCD 中，点E 在线段BC 上，且满足CE-=2BE ，过点B 作AE 的垂线，与CD 交于点F ，点P 、Q 分别为线段AE 和BF 的中点，连接PQ ，若PQ=2，则正方形ABCD 的边长为
三、解答题(本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分)解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程 17.解方程：2
5738x x x ++=+
18.求抛物线2
2y x x =-与x 的交点坐标，并在坐标系中画出图像.
19.如图，△ABC 中，AB=AC ，点D ，E 在直线BC 上，F 在BA 的延长线上，且满足BF=CE ，∠E=∠F.
求证：AE=DF.
20.已知关于x 的一元二次方程()2330.mx m x -++=
（1）求证：无论m 为何值，x =1都是该方程的一个根； （2）若此方程的根都为正整数，求整数的值.
21.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A(3，1)，B(2，3)，C(2，1)，将△ABC 绕平面内的某个点P 逆时针旋转α(0°<α<180°)角度后，得到△DEF ，其中点A 、B 、的对应点为D(0，2)，E(-2.1)， (1)在图中标出点P 的位置，并画出旋转后的△DEF ； (2) 旋转角α的度数为
°；
(3)小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，请将其补全：先将△ABC 关于直线x =1对称，再将所得的图形再关于直线
（填直线的表达式）对称得到△DEF
22.小宇遇到了这样一个问题：
表达式为2
y ax c =+
(1)写出M ，C 、N 、F 四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式
(3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题.
23.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点M ，过点D 作DE ⊥CD 交⊙O 于点E ，若M 为CD 的中点.
(1)求证：DE ∥AB ；
(2)连接AD ，OE ，若OE ∥AD ，求∠BAD 的度数.
24.小宇在学习过程中遇到一个函数2
1(21)2y x x x =--+-
下面是小宇对其探究的过程，请补充完整： (1)对于函数11y x =-，图像关于直线x =1对称：
对于二次函数2
221y x x =-+，图像的对称轴为
;
综合上述分析，进一步探究发现，函数y 的图像也是轴对称图形，其对称轴为
.
(2)如图，在平面直角标系xOy 中画出了函数y 的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整.
(3)结合函数图像和解式的分析，小宇得出以下三个结论：
①函数y 有最小值，没有最大值；
②函数y 的图像与轴的负半轴交点的横坐标P 满足112
P -<<-
； ③12()()M x m N x n ，，，函数y 图像上的两点，若12x x <，且122x x +>，则一定有m <n ， 所有正确结论的序号是
25.在平面直角坐标系x O y 中，点A(t ，2)(t ≠0)在二次函数2
)0(2y ax bx a =++≠的图像上，
(1)当t =2时，求二次函数对称轴的表达式；
(2)若点B(5-t ，0)也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答： ①当这个函数的最小值为0时，求t 的值;
②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围.
26.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC<PA.连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上. (1)依题意补全图形；
(2)求证：①PA=PB ；②∠BPD=∠BCD ；
(3)过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC
是一个定值，画出图形，并求出这个定值，
27、在平面直角坐标系x O y 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A(a ，b )和给定的实数t (t >0)，若这个函数在a x a t ≤≤+上有定义且满足：当a x a t ≤≤+时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M-m =t ，就称这个函数满足性质中φ(A ，t ).
如图1，对于函数y =x ，给定其图象上的点O (0，0)和t =1，在0≤x ≤1上函数值y 的最大值M=1，最小值m =0，满足，M-m =t ，因比函数y =x 满足性质φ(O ，1)，
(1)根据定义，判断函数2
y x =是否满足性质φ(O ，1)，并说明理由；
(2)已和函数1
,0,
2,0
x x y kx x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩点M 的坐标为（-2，1），若这个函数满足性质φ(M ，3)，结合函数图像，
求k 的值；
（3）点P 为二次函数212y x =
图像上的动点，若存在唯一的t >0，使得函数21
2
y x =满足性质φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围.。