新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案：8.3 第2课时 球的体积和表面积 Word版含答案
第2课时 球的体积和表面积问题导学预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) (3)球的体积V 与球的表面积S 的关系为V ＝R3S .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√半径为 3 的球的体积是( ) A ．9π B ．81π C ．27πD ．36π解析：选 D. V ＝43π×33＝36π.若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8πD ．4π解析：选 D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2 倍 B ．22倍 C.2倍D.32倍解析：选 B ．设原球的半径为 R ，表面积扩大 2 倍，则半径扩大2倍，体积扩大 22倍．如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的________倍．解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.答案：95球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16π C.16π3D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π【解析】 (1)设球的半径为R ，则由已知得V ＝43πR 3＝32π3，解得R ＝2.所以球的表面积S ＝4πR 2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ， 故78×43πr 3＝283π， 所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.【答案】 (1)B (2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为 R ，则 4πR 2＝43πR 3，R ＝3.答案：32．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积和为 43πR 3＋43πr 3＝364π3.答案：364π3球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)．【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46πD ．63π解析：选B.如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 所以OM ＝（2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以V ＝43π(3)3＝43π.与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.4π3B.2π3C.3π2 D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二 球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】 14π角度三 球的内接正四面体问题若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意 2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ， 所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四 球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r 2－⎝⎛⎭⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13×π×⎝⎛⎭⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332. 【答案】932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O ，而⊙O 1内切于△SAB .设⊙O 的半径为R ， 则有43πR 3＝972π，所以R 3＝729，R ＝9. 所以SE ＝2R ＝18.因为SD ＝16，所以ED ＝2. 连接AE ，又因为SE 是直径，所以SA ⊥AE ，SA 2＝SD ·SE ＝16×18＝288， 所以SA ＝12 2. 因为AB ⊥SD ，所以AD 2＝SD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝4 2.所以S 圆锥侧＝π×42×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，因为△SAB 的周长为2×(122＋42)＝322， 所以12r ×322＝12×82×16.所以r ＝4.所以内切球O 1的体积V 球＝43πr 3＝2563π.1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( ) A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得aR ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________． 解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π.答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′， 设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以 R 2＝⎝⎛⎭⎫2332＋14R 2，所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.[A 基础达标]1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C.2∶ 3D.8∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ， 则⎝⎛⎭⎫43πr 3∶⎝⎛⎭⎫43πR 3＝r 3∶R 3＝8∶27， 所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S 的值是( ) A ．4π B ．32 C ．24D ．12π解析：选B.设球的内接正方体的棱长为a ，由题意知球的半径为2，则3a 2＝16，所以a 2＝163，正方体的表面积S ＝6a 2＝6×163＝32. 3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π3解析：选D.设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D.4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h2B.r 2h 4C. 3r 2h 4D.r 2h 2解析：选C.设铁球的半径为 R ，因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h4.5．已知A ，B 是球O 的球面上两点，且球的半径为3，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．当三棱锥O -ABC 的体积取得最大值时，则过A ，B ，C 三点的截面的面积为 ( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．36π解析：选A.因为O 为球心，∠AOB ＝90°，所以截面AOB 为球大圆，所以当动点C 满足OC ⊥平面OAB 时， 三棱锥O -ABC 的体积最大， 此时，OA ＝OB ＝OC ＝R ＝3， 则AB ＝AC ＝BC ＝32，所以截面ABC 的圆心O ′为△ABC 的中心，所以圆O ′的半径r ＝O ′C ＝32×33＝6， 所以截面ABC 的面积为π×(6)2＝6π，故选A.6．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．解析：球面上的四点P 、A 、B 、C ，P A 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为32＋42＋52＝52，外接球的半径为522.外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.答案：50π7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1S 2＝________．解析：由题意可得圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，则S 1＝6π，S 2＝4π.所以S 1S 2＝6π4π＝32.答案：328.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π， 该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．解：如图，在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE ，AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，所以2R ＝23，则R ＝3，所以球的体积V 球＝43πR 3＝43π， 球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.[B 能力提升]11．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π， S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝ 323＜1， S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝ 34π＞1.故选A. 12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3 解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43πr 3＝323π，得r ＝2.由S 柱底＝12a ×r ×3＝34a 2，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S 柱底·2r ＝48 3.13．如图，ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB为轴旋转一周，则图中 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积之比为________．解析：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉圆锥Ⅰ，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球．设正方形的边长为 a ，则Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三部分旋转所得旋转体的体积分别为 V Ⅰ、V Ⅱ、V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13πa 3，V Ⅱ＝43πa 3÷2－13πa 3＝13πa 3，V Ⅲ＝πa 3－43πa 3÷2＝13πa 3. 所以三部分所得旋转体的体积之比为 1∶1∶1.答案： 1∶1∶114．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱(如图)，设这个长方形截面的一条边长为x ，对角线长为2，截面的面积为A .(1)求面积A 以x 为自变量的函数关系式；(2)求出截得棱柱的体积的最大值．解：(1)横截面如图长方形所示，由题意得A ＝x ·4－x 2(0<x <2)．(2)V ＝1·x 4－x 2＝－（x 2－2）2＋4，由上述知0<x <2，所以当x ＝2时，V max ＝2.即截得棱柱的体积的最大值为2.[C 拓展探究] 15．如图是某几何体的三视图．(1)求该几何体外接球的体积；(2)求该几何体内切球的半径．解：(1)由三视图可知，该几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，以DC ，DB ，DA 为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，即外接球的半径R ＝1222＋22＋12＝32， 所以该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π. (2)设内切球的球心为O ，半径为r ，则V A BCD ＝V O ADB ＋V O ADC ＋V O DCB ＋V O ABC .即13×12×2×2×1 ＝13×12×2×2r ＋13×12×2×r ＋13×12×2×r ＋13×12×22×3r ， 得r ＝24＋6＝4－65. 所以该几何体内切球的半径为4－65.。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-8.6.1直线与直线垂直(含答案)
人教A版高中数学必修第二册8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直基础过关练题组一 求异面直线所成的角1.(2024安徽六安期中)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,ABCD-A1B1C1D1中,E,F与直线AD1所成角的大小为在正方体ABCD-A(1)求异面直线CD1与BC1所成的角;(2)求证:MN∥平面ABCD.题组二 空间两条直线所成角的应用5.(多选题)(2024山东德州夏津第一中学月考)已知E,F 分别是三棱锥P-ABC 的棱PA,BC 的中点,且PC=6,AB=8.若异面直线PC 与AB 所成角的大小为60°,则线段EF 的长可能为( )A.7B.13C.5D.376.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,异面直线AB 与A 1C 所能力提升练在正四面体S-ABC 中3.4.(2024贵州凯里第一中学模拟)平面α过直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点B 1,平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,且AA 1=AB=BC,AB ⊥BC,则A 1B 与l 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.12 D.335.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为 .题组二 异面直线所成角的应用6.(2024上海青浦高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为底面ABCD 内(包括边界)的动点,满足直线D 1P 与CC 1所成角的大小为π6,则线段DP 扫过的面积为( )A.π12B.π6C.π3D.π27.(2024广东阳江期末)在四面体A-BCD 中,AB=CD=1,BC=2,且AB ⊥BC,CD ⊥BC,异面直线AB 与CD 所成的角为π3,则该四面体外接球的表面积为 .8.(2022河南濮阳第一高级中学月考)在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧面都是矩形,底面ABCD 是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°,求AA 1的长度.答案与分层梯度式解析8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直基础过关练1.B2.C3.A 5.BD 6.DPC,EO=1PC=1,在所以BB1∥平面AEF,平面DBB1,所以BB1又与直线AD1所成的角为连接B N,CN,因为点M为A1B1的中点,A1B1=AB,所以MB1=AN,又MB1∥AN,所以四边形ANB1M为平行四边形,所以AM∥B1N,所以异面直线AM与B1C所成的角为∠CB1N(或其补角),设∠CB1N=θ,在正△ABC中,由AB=4,可得CN=23,在直角△BNB1中,BB1=3,BN=2,所以B1N=22+32=13,在直角△BCB1中,BC=4,BB1=3,所以B1C=42+32=5,在△B 1CN 中,由余弦定理的推论可得cos θ=B 1C 2+B 1N 2-C N 22B 1C·B 1N=52+(13)2-(23)22×5×13=135.故选A.4.解析 (1)连接A 1B,A 1C 1,因为A 1D 1=BC 且A 1D 1∥BC,所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形,所以CD 1∥A 1B,则∠A 1BC 1或其补角为异面直线CD 1与BC 1所成的角,易知A 1C 1=A 1B=BC 1,所以△A 1C 1B 为等边三角形,所以∠A 1BC 1=60°,所以异面直线CD 1与BC 1所成的角为60°.(2)证明:连接C 1D,BD,则N 为C 1D 的中点,又M 为BC 1的中点,所以MN ∥BD,又MN ⊄平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,所以MN ∥平面ABCD.5.BD 如图,取AC 的中点H,连接EH,FH,因为E,F 分别为PA,BC 的中点,PC=6,AB=8,所以AB ∥HF,HE ∥PC,HF=4,HE=3,所以异面直线PC 与AB 所成的角即为∠EHF(或其补角),所以∠EHF=60°或∠EHF=120°.当∠EHF=60°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=12,解得EF=13;当∠EHF=120°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=-12,解得EF=37.故选BD.易错警示 通过立体图形无法直接判断∠EHF是锐角还是钝角,因此∠EHF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.6.D ∵AB∥DC,∴∠A1CD(或其补角)即为异面直线AB与A1C所成的角,由图可知∠A1CD为.锐角,∴∠A1CD=π3设DD1=x,连接A1D,则A1C=12+12+x2=2+x2,A1D=x2+1.在∴∴7.垂直于上底面于点D,则ADD∥O2A,1∴或其补角,当在当在Rt△ABD中,AB=BD2+A D2=2.综上,AB=2或AB=2.能力提升练1.A2.A3.C4.A 6.A1.A 取SM的中点E,连接EN,AE,如图,∵N是SB的中点,∴EN∥MB,EN=12MB,∴∠ANE或其补角即为异面直线BM与AN所成的角.设正四面体的棱长为4,∵M是SC的中点,N是SB的中点,△SAB和△SBC均为正三角形,∴BM⊥SC,AN⊥SB,且BM=AN=23,∴EN=3,在△ASE中,由余弦定理得AE2=SA2+SE2-2SA·SE·cos∠ASE=16+1-2×4×1×12=13,在△ANE中,由余弦定理的推论得cos∠ANE=AN2+N E2-A E22AN·NE =12+3−132×23×3=16,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为16.故选A.2.A 如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,设AO=ON=1,易知∠OAN=∠ONA=∠AOM=30°,则AN=3,因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PN=PA=2,在△APN中,由余弦定理的推论得cos∠PAN=PA2+A N2-P N22PA·AN =2+3−226=64,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为64.故选A.3.C 如图,连接AD1,AP,易得AD1∥BC1,所以∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],在△AD 1P 中,AD 1=2,AP=D 1P=1+x 2,故cos ∠AD 1P=(2)2+(1+x 2)2-(1+x 2)222·1+x 2=221+x 2,∵x ∈[0,1],∴cos ∠AD 1P=221+x2∈又∠AD 1P 是△AD 1P 的内角,∴∠AD 1P 故选C.B 1则ABC 1,所以B 1C 2∥平面⊂由小题速解 因为平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,平面ABC 1∩平面BB 1C 1C=BC 1,所以l ∥BC 1,则A 1B 与l 所成的角为∠A 1BC 1(或其补角),下同解析.5.答案 514解析 设正三棱柱的底面边长为a,高为h,外接球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,易得△ABC 外接圆的半径r=a2sin π3=a3,则R 2=r 2+ℎ24=a 23+ℎ24≥aℎ3=43,当且仅当a=32h 时取等号,此时外接球的表面积最小.将三棱柱补成一个四棱柱,如图,连接DB 1,DC,则AC 1∥DB 1,∴∠DB 1C(或其补角)为异面直线AC 1与B 1C 所成的角,易得B 1C=DB 1=a 2+ℎ2,DC=3a,∴cos ∠DB 1C=2(a 2+ℎ2)-3a 22(a 2+ℎ2)=514.解题技法 补形平移是常用的一种作平行线的方法,一般是补一个相同形状的几何体,构成一个特殊的几何体,方便作平行线,如此题将三棱柱补成一个四棱柱.6.A 因为DD 1∥CC 1,所以直线D 1P 与CC 1所成的角即为DD 1与D 1P 所成的角,易知DD 1⊥PD,所以DD 1与D 1P 所成的角为∠DD 1P,即∠DD 1P=π6,故tan ∠DD 1P=DPDD 1=33,即DP=33,所以点P 的轨迹是以D 为圆心,33为半径的圆的四分之一,故线段DP 扫过的面积为14π×=π12.故选A.7.答案 16π3或8π解析 由题意,可以将四面体A-BCD 补成一个直三棱柱,如图所示.∵CD∥BE,∴直线AB与CD所成的角为∠ABE或其补角,∵异面直线AB与CD所成的角为π3,∴∠ABE=π3或∠ABE=2π3.设△ABE外接圆的半径为r,当∠ABE=π3时,AE=BE=AB=1,则2r=1sinπ3,解得r=33;当∠ABE=2π3时,AE=3,则则8.BC且A1D1=BC,所以A1B∥CD1,所成的角为∠AD1C,故∠AD1均为矩形,设在故。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征【含答案及解析】
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的平面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)关键能力提升练10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是()A.三棱锥B.四棱台C.六棱锥D.六面体,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D 有可能.故选BC.11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.13.下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF =12a 2,S △DPF =S △DPE =12×2a×a=a 2,S △DEF =S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE =(2a )2-12a 2-a 2-a 2=32a 2.学科素养创新练15.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=4,A 1A=5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为√90,√74,√80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E BE=157,再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=15,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为7√74.。
高中数学(新人教A版)必修第二册同步习题：简单随机抽样(同步习题)【含答案及解析】
第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样基础过关练题组一统计学的有关概念1.下列调查中,可以用普查的方式进行调查的是()A.检验一批钢材的抗拉强度B.检验海水中微生物的含量C.调查某小组10名成员的业余爱好D.检验一批汽车的使用寿命2.为了解某班学生的会考合格率,要从该班70人中选30人进行考察分析,则70人的会考成绩的全体是,样本是,样本量是.3.某学校根据高考考场要求,需要给本校45个高考考场配备监控设备,该校高考前购进45套监控设备,现需要检查这批监控设备的质量,是全部检查还是抽取部分检查?谈谈你的想法和理由.深度解析题组二 简单随机抽样4.下列几个抽样中,简单随机抽样的个数是( )①仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;②某班从50名同学中选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛;③一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出7个号签;④为了进一步严厉打击交通违法,交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾.A.0 B .1 C .2 D .35.(2020河南信阳高一下学期第一次月考)用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,则某一特定个体“第一次被抽到”“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110,110B.310,15C.15,310D.310,310 6.在总体量为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的概率为25%,则N 的值为 .题组三 抽签法和随机数法7.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验8.为迎接2022年北京冬季奥运会,奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.9.为检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标,需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验.试利用随机数法抽取样本,并写出抽样过程.题组四总体平均数与样本平均数10.下列判断正确的是()A.样本平均数一定小于总体平均数B.样本平均数一定大于总体平均数C.样本平均数一定等于总体平均数D.样本量越大,样本平均数越接近总体平均数11.用抽签法抽取一个容量为5的样本,样本数据分别为2,4,5,7,9,则该样本的平均数为()A.4.5B.4.8C.5.4D.612.从有400人参加的某项运动的达标测试中,通过简单随机抽样抽取50人的成绩,统计数据如下表,则这400人成绩的平均数的估计值是.分数54321人数5152055答案全解全析基础过关练1.C A.不能用普查的方式进行调查,因为这种试验具有破坏性;B.用普查的方式进行调查无法完成;C.可以用普查的方式进行调查;D.试验具有破坏性,且需要耗费大量的时间,普查在实际生产中无法实现.2.答案总体;所选30人的会考成绩;30解析为了强调调查目的,由总体、样本、样本量的定义知,70人的会考成绩的全体是总体,样本是所选30人的会考成绩,样本量是30.3.解析必须全部检查,即普查.因为高考是一件非常严肃、责任重大的事情,对高考的要求非常严格,所配设备必须全部合格,且这批设备数量较少,全部检查的方案是可行的,所以应该进行全部检查,这样可确保万无一失.深度剖析全面调查与抽样调查:方法特点全面调查抽样调查优点所调查的结果比较全面、系统1.迅速、及时;2.节约人力、物力和财力缺点耗费大量的人力、物力和财力获取的信息不够全面、系统适用范围1.调查对象很少;2.要获取详实、系统和全面的信息1.大批量检验;2.破坏性试验;3.不需要全面调查等4.B①不是简单随机抽样,虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”;②不是简单随机抽样,因为每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求;③是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,且是从总体中逐个进行抽取的,每个个体被抽到的可能性相同;④不是简单随机抽样,因为被抽取的总体中的个体数不确定.综上,只有③是简单随机抽样..5.A简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为1106.答案120=25%=0.25,解得N=120.解析根据题意,得30N7.B A中总体容量较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;B中总体容量较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;D中总体容量较大,不适合用抽签法.8.解析①将30名志愿者编号,号码分别是1,2, (30)②将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签;③将小纸片放入一个不透明的盒里,充分搅拌;④从盒中不放回地逐个抽取6个号签,使与号签上编号相同的志愿者进入样本.9.解析①将800袋袋装牛奶分别编号,为1,2,3, (800)②利用随机数工具产生1~800范围内的整数随机数;③把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需的50袋.10.D由样本平均数的定义可知,样本量越大,其平均数越接近总体平均数.11.C样本的平均数为2+4+5+7+9=5.4.512.答案 3.2解析抽取的50人的成绩的平均数为1×(5×5+4×15+3×20+2×5+1×5)=3.2,所以这50400人成绩的平均数的估计值是3.2.。
人教版A版高中数学必修2课后习题解答
第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构练习（第7 页）1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。
2．（1）五棱柱；（2）圆锥3．略习题1．1A组1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。
（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面平面截得的几何体。
3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成简单组合体。
4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。
5．制作过程略。
制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。
B组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。
2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。
1．2 空间几何体的三视图和直观图练习（第15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。
3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；4．三棱柱练习（第19 页）1．略。
2．（1）√（2）×（3）×（4）√3．A4．略5．略习题1．2A组1．略2．（1）三棱柱（2）圆台（3）四棱柱（4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3~5．略B组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。
1．3 空间几何体的表面积与体积。
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学必修二答案(共7篇)
高中数学必修二答案(共7篇)高中数学必修二答案（一）: 高一数学必修一必修二课后习题答案习题1-11.右2.14/33.768习题1-21.第一象限不一定可能超过360度2.⑴305 度42分第四象限⑵35度8分第一象限⑶249度30分第三象限⑷123度3.⑴-660度；-300度；60度⑵-45度；-405度；315度⑶-136度42分；223度18分；-496度42分⑷-585度；-225度；135度希望对你有些帮助不把分赏给我你就对不起我了哦,我找了很久的高中数学必修二答案（二）: 高中数学必修二关于直线的倾斜角斜率直线l的方程为y=xtanα+2,则（A）α一定是直线的倾斜角（B）α一定不是直线的倾斜角（C）π－α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角D倾斜角要求在[0,π)高中数学必修二答案（三）: 高中数学必修二习题《两点间的距离》、《点到直线的距离》、《两条平行直线间的距离》,就是它们求与直线L:5x-12y+6=0平行且与L的距离为2的直线的方程.求求大家了,有答有赏!5x-12y+4=0 5x-12y+8=0高中数学必修二答案（四）: 高中数学必修二的内容【高中数学必修二答案】高中数学必修2知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,；当时,；当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.（3）直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：（A,B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：,直线过定点；（ⅱ）过两条直线,的交点的直线系方程为（为参数）,其中直线不在直线系中.（6）两直线平行与垂直当,时,；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点,则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程（1）标准方程,圆心,半径为r；（2）一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点；当时,方程不表示任何图形.（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：（1）设直线,圆,圆心到l的距离为,则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条；当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当时,两圆内含；当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形.（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形.（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形.（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径.2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S=4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β＝a.符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行,又不相交.③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④ 异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是（0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a‖α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α‖β相交——有一条公共直线.α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）,（2）如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行）,（3）垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.9、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线. （3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角高中数学必修二答案（五）: 求学海导航高一数学必修2答案全部谁有高一必修2数学的学海导航练习册的答案..即高中新课标同步攻略...首都师范大学出版社出的【高中数学必修二答案】我有,给个邮箱地址,发给你ps 实物我还要用,没有扫描仪,只能用相机拍下来o(∩_∩)o~高中数学必修二答案（六）: 高中数学必修1第二章函数末的复习题二A组的答案亲,我们没有答案的,你有什么问题直接发,我们才能给你解答高中数学必修二答案（七）: 人教A版高中数学必修二习题4.1 A组 T6 B组人教A版高中数学必修二习题4.1 A组6、△ABC的顶点B、C的坐标分别是(-3,-1),(2,1),顶点A在圆(x+2)2+(y-4)2=4上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.设顶点A为(x,y),重心G为(E,F),所以：E=(-3+2+x)/3=(x-1)/3,得：x=3E+1F=(-1+1+y)/3,得：Y=3F把X,Y代入圆中：(3E+1+2)^+(3F-4)^2=4所以△ABC的重心G的轨迹方程为 (3X+3)^2+(3Y-4)^2=4B组2、长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程.令AB中点为M根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在直角三角形OAB中,OM=AB/2=a根据圆的定义,M的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆 (除去与坐标轴的4个交点）轨迹方程为x^2+y^2=a^2（x≠0,±a)高中数学必修二教案高中数学必修二电子书。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
高中数学(人教A版)选择性必修二课后习题：简单复合函数的导数(课后习题)【含答案及解析】
简单复合函数的导数课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列函数不是复合函数的是( )A .y=-x 3-1x+1 B .y=cos x+π4C .y=1lnxD .y=(2x+3)4不是复合函数,B,C,D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4复合而成;C 是由y=1u,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是( ) A.2sin x B.2sin 2x C.2cos x D.sin 2xy=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin 2x ,故选D . 3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2xx,则f'(x )=( )A.xcos2x -sin2xx 2B.xcos2x+sin2xx 2 C.2xcos2x -sin2xx 2D.2xcos2x+sin2x x 2f (x )=sin2xx ,故f'(x )=(sin2x )'x -sin2x ·x 'x 2=2xcos2x -sin2xx 2,故选C .4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1 B .2C .-1D .-2(x 0,x 0+1),依题意有{1x 0+a=1,x 0+1=ln (x 0+a ),由此得x 0+1=0,x 0=-1,a=2.5.(2020湖北四地七校高二期中)已知函数f (x )=sin (2x -π6),则f'(π6)=( ) A.12 B.1 C.√32 D.√3(x )=2cos (2x -π6),所以f'(π6)=2cos (2×π6-π6)=2cos π6=√3. 故选D .6.(2021江西宜春高二期末)若f (x )=e x ln 2x ,则f'(x )=( ) A.exln 2x+e x2xB.e x ln 2x-e xx C.exln 2x+e xxD.2e x ·1x(x )=(e x)'·ln 2x+e x·(ln 2x )'=exln 2x+e xx .7.(多选)设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,则以下求导运算正确的有( ) A.若f (x )=sin 2x ,则f'(x )=cos 2x B.若f (x )=x e x -ln 2,则f'(x )=(x+1)e x C.若f'(x )=2x-1,则f (x )=x 2-x D.若f (x )=1tanx ,则f'(x )=-1sin 2xf (x )=sin 2x ,所以f'(x )=(sin 2x )'(2x )'=2cos 2x ,故A 错误; 因为f (x )=x e x -ln 2,所以f'(x )=x'e x +x (e x )'-0=(x+1)e x ,故B 正确;若f'(x )=2x-1,则f (x )=x 2-x+c (c 为任意常数),故C 错误;因为f (x )=1tanx=cosxsinx,所以f'(x )=(cosx )'sinx -cosx (sinx )'sin 2x=-sin 2x -cos 2x sin 2x =-1sin 2x,故D 正确.故选BD .8.(2020海南中学高二期末)设函数f (x )在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x ),且f (ln x )在x=e 处的导数为1e 2,则f'(1)= .g (x )=f (ln x ),由复合函数的求导法则可得g'(x )=1x f'(ln x ).由题意可得g'(e)=1e f'(1)=1e 2,解得f'(1)=1e. 9.求下列函数的导数: (1)y=e 2x+1;(2)y=1(2x -1)3;(3)y=5log 2(1-x );(4)y=sin 3x+sin 3x.函数y=e 2x+1可看作函数y=e u 和u=2x+1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(e u )'(2x+1)'=2e u =2e 2x+1.(2)函数y=1(2x -1)3可看作函数y=u -3和u=2x-1的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(u -3)'(2x-1)'=-6u -4=-6(2x-1)-4=-6(2x -1)4.(3)函数y=5log 2(1-x )可看作函数y=5log 2u 和u=1-x 的复合函数,∴y x '=y u '·u x '=(5log 2u )'·(1-x )'=-5uln2=5(x -1)ln2.(4)函数y=sin 3x 可看作函数y=u 3和u=sin x 的复合函数,函数y=sin 3x 可看作函数y=sin v 和v=3x 的复合函数.∴y x '=(u 3)'·(sin x )'+(sin v )'·(3x )'=3u 2·cos x+3cos v=3sin 2x cos x+3cos 3x.关键能力提升练10.(2021天津河西高二期末)函数y=e -2x+1cos(-x 2+x )的导数为( ) A.y'=e -2x+1[2sin(x 2-x )+(2x-1)cos(x 2-x )] B.y'=-e -2x+1[2cos(x 2-x )+(2x-1)sin(x 2-x )] C.y'=-e -2x+1[2sin(x 2-x )+(2x-1)cos(x 2-x )] D.y'=e -2x+1[2cos(x 2-x )+(2x-1)sin(x 2-x )]y=e -2x+1cos(-x 2+x ),∴y'=(e -2x+1)'cos(-x 2+x )+e -2x+1[cos(-x 2+x )]'=-2e -2x+1cos(-x 2+x )-e -2x+1sin(-x 2+x )·(-2x+1) =-e -2x+1[2cos(-x 2+x )+(-2x+1)·sin(-x 2+x )] =-e -2x+1[2cos(x 2-x )+(2x-1)sin(x 2-x )].故选B .11.曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) A .13 B .12C .23D .1依题意得y'=e -2x ·(-2)=-2e -2x ,y'x=0=-2e-2×0=-2. 曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x ,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x 的图象,因为直线y=-2x+2与y=x 的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x 轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13. 12.已知点P 在曲线y=4e x +1上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.0,π4 B.π4,π2C.π2,3π4D.3π4,π解析因为y=4e x +1,所以y'=-4e x (e x +1)2=-4e xe 2x +2e x +1=-4e x +1ex +2.因为e x >0,所以e x +1ex ≥2,当且仅当x=0时,等号成立.所以y'∈[-1,0),所以tan α∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4,π.13.(2021江苏徐州高三期末)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在某放射性同位素的衰变过程中,其含量N (单位:贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系P (t )=P 02-t30,其中P 0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-3√2ln210,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( ) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天P (t )=P 02-t30得P'(t )=-130·P 0·2-t30ln 2.因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-3√2ln210, 所以P'(15)=-√2ln260P 0=-3√2ln210, 解得P 0=18,则P (t )=18·2-t30.当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即18·2-t30=4.5,解得t=60.故选D .14.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末)在下列函数中,直线y=12x+b 能作为函数图象的切线的是( ) A.f (x )=1xB.f (x )=x 4C.f (x )=sin x 2D.f (x )=e xf (x )=1x ,得f'(x )=-1x 2=12,无解,故A 排除;由f (x )=x 4,得f'(x )=4x 3=12,故x=12,即曲线在点12,116处的切线为y=12x-316,B 正确;由f (x )=sin x2,得f'(x )=12cos x2=12,取x=0,故曲线在点(0,0)处的切线为y=12x ,C 正确;由f (x )=e x ,得f'(x )=e x =12,故x=-ln 2,曲线在点-ln 2,12的切线为y=12x+12ln 2+12,D 正确.故选BCD . 15.函数y=ln e x1+e x 在x=0处的导数为 .ln e x1+e x =ln e x -ln(1+e x )=x-ln(1+e x ),则y'=1-e x1+e x .当x=0时,y'=1-11+1=12.16.设函数f (x )=g (2x-1)+x 2,曲线y=g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 .x-y-2=0x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g (1)=3,由y=2x+1的斜率为2,得到g'(1)=2.∵f'(x )=2g'(2x-1)+2x ,∴f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率为6.又f (1)=g (1)+1=4,即所求直线与曲线y=f (x )的切点坐标为(1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1),即6x-y-2=0.17.(1)已知f (x )=e πx sin πx ,求f'(x )及f'12.(2)在曲线y=11+x2上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.∵f(x)=eπx sin πx,∴f'(x)=πeπx sin πx+πeπx cos πx=πeπx(sin πx+cos πx).∴f'12=πeπ2sinπ2+cos π2=πeπ2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知y'x=x0=0.又y'=-2x(1+x2)2,∴y'x=x0=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.学科素养创新练18.用导数的方法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020(x≠0,且x≠1).f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2 021,则有f(x)=g'(x).而由等比数列求和公式可得g(x)=x(1-x 2021)1-x =x-x20221-x,于是f(x)=g'(x)=x-x20221-x'=(1-2022x 2021)(1-x)+(x-x2022) (1-x)2=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2,即1+2x+3x2+4x3+…+2 021x2 020=1-2022x 2021+2021x2022 (1-x)2.。
新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)
新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。
(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：8.4.1 平面 Word版含答案
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系8．4.1 平 面问题导学预习教材P124－P127的内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？1．平面 (1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD 、平面AC 或者平面BD ．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面．( ) (2)22个平面重叠起来要比10个平面重叠起来厚一些．( ) (3)直线a 与直线b 相交于点A ，可用符号表示为a ∩b ＝A .( ) (4)平面ABCD 的面积为100 m 2.( ) (5)过三点A ，B ，C 有且只有一个平面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×若一直线a在平面α内，则正确的图形是()解析：选A.选项B，C，D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α解析：选A.观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)，其中命题和叙述方法都正确的是()A．因为A∈α，B∈α，所以AB∈αB．因为a∈α，a∈β，所以α∩β＝aC．因为A∈a，a⊂α，所以A∈αD．因为A∉a，a⊂α，所以A∉α解析：选C.对于A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误；对于B，直线a在平面α，β内，应为a⊂α，a⊂β，故B错误；对于C，因为A∈a，a⊂α，所以A∈α，故C正确；对于D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C.已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：(1)点C与平面β：____________．(2)点A与平面α：____________．(3)直线AB与平面α：__________．(4)直线CD与平面α：__________．(5)平面α与平面β：____________．答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α＝B(4)CD⊂α(5)α∩β＝BD图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解：(1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.2．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝直线AB，直线a⊂α，直线b⊂β，a∥AB，b∥AB. 解：图形如图所示．点、线共面问题证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l 1，l 2，l 3在同一平面内．证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．已知直线a ∥b ，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面．证明：如图所示．由已知a ∥b ，所以过a ，b 有且只有一个平面α. 设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，所以A ∈α，B ∈α，且A ∈l ，B ∈l ， 所以l ⊂α.即过a ，b ，l 有且只有一个平面．三点共线、三线共点问题如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【证明】 连接EF ，D 1C ，A 1B ， 因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF ═∥12A 1B . 又因为A 1B ═∥D 1C ， 所以EF ═∥12D 1C ， 所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， 所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．1．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．2．经过同一条直线上的3个点的平面()A．有且只有一个B．有且只有3个C．有无数个D．不存在解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点．3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．解：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．[A基础达标]1．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.2．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B.由题意知GH⊂平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()解析：选D.在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．答案：1或4 8．看图填空：(1)平面AB 1∩平面A 1C 1＝________； (2)平面A 1C 1CA ∩平面AC ＝________．答案：A 1B 1 AC9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB 分别是两个平面的交线．解：以AB 为其中一边，分别画出来表示平面的平行四边形．如图．10．已知空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)直线FH ，EG ，AC 共点．证明：(1)连接EF ，GH .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ═∥12BD ，因为G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .所以GH ═∥13BD ， 所以EF ∥GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ═∥12BD ，因为G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .所以GH ═∥13BD ， 所以EF ∥GH ，且EF ≠GH ，所以四边形EFHG 是梯形， 设两腰EG ，FH 相交于一点T . 因为EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ，所以T ∈平面ABC ，且T ∈平面ACD ，又平面ABC ∩平面ACD ＝AC ， 所以T ∈AC ，即直线EG ，FH ，AC 相交于一点T .[B 能力提升]11．空间四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，那么这四点中( ) A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线D ．不可能有三点共线解析：选B.若AB ∥CD ，则AB ，CD 共面，但A ，B ，C ，D 任何三点都不共线，故排除A ，C ；若直线l 与直线外一点A 在同一平面内，且B ，C ，D 三点在直线l 上，所以排除D.故选B.12．如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点DD ．点C 和点D解析：选D.根据基本事实判定点C 和点D 既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB＝13BB 1，那么正方体过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C.在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 的延长线于点P ，延长C 1N 交CB 的延长线于点Q ，连接PQ 交AD于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形，故选C.14.如图所示，AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ，A ，D 与B ，C 分别在平面α的两侧，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R .求证：P ，Q ，R 三点共线．证明：因为AB ∩α＝P ，CD ∩α＝P ， 所以AB ∩CD ＝P .所以AB ，CD 可确定一个平面，设为β. 因为A ∈AB ，C ∈CD ，B ∈AB ，D ∈CD ， 所以A ∈β，C ∈β，B ∈β，D ∈β. 所以AC ⊂β，BD ⊂β，平面α，β相交． 因为AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BD ∩α＝R ， 所以P ，Q ，R 三点是平面α与平面β的公共点．所以P ，Q ，R 都在α与β的交线上，故P ，Q ，R 三点共线．[C 拓展探究]15．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．证明：如图，连接A 1B ，CD 1，显然B ∈平面A 1BCD 1，D 1∈平面A 1BCD 1.所以BD 1⊂平面A 1BCD 1. 同理BD 1⊂平面ABC 1D 1所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：简单随机抽样【含答案及解析】
第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样课后篇巩固提升必备知识基础练1.为抽查汽车排放尾气的合格率,某环保局在一路口随机抽查,这种抽查是()A.放回简单随机抽样B.抽签法C.随机数法D.以上都不对(包括总体个数),因此不属于简单随机抽样.2.高三某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始,由左向右依次选取两个数字,则选出来的第4个志愿者的座号为()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A.23B.09C.16D.02,依次抽取的样本数据为:21,32,09,16,17,所以第4个数据是16.3.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481A.08B.07C.02D.01,选出的5个个体的编号为:08,02,14,07,01,故第5个个体的编号是01.4.某总体容量为M ,其中带有标记的有N 个,现用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为m 的样本,则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为( )A.mN MB.mM NC.MN mD.N总体中带有标记的比例是N M ,则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为mN M .5.“XX 彩票”的中奖号码是从分别标有01,02,…,30的30个小球中逐个不放回地选出7个小球来按规则确定中奖情况,这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是 .个小球相当于号签,搅拌均匀后逐个不放回地抽取,这是典型的抽签法.6.用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教,某男学生被抽到的可能性是 ,某女学生被抽到的可能性是 ..2 0.220,总体数量为100,所以总体中每个个体被抽到的可能性都为20100=0.2.7.已知数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x =4,则数据3x 1+7,3x 2+7,…,3x n +7的平均数为 .数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x =4,即数据(x 1+x 2+…+x n )=4n ,则数据3x 1+7,3x 2+7,…,3x n +7的平均数3(x 1+x 2+…+x n )+7nn =3×4n+7n n=19. 8.学校举办元旦晚会,需要从每班选10名男生,8名女生参加合唱节目,某班有男生32名,女生28名,试用抽签法确定该班参加合唱节目的同学.,将32名男生从00到31进行编号.第二步,用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号.第三步,将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀,不放回地从中逐个抽出10个号签.第四步,相应编号的男生参加合唱.第五步,用相同的办法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱.关键能力提升练9.(2021江西南昌二模)从编号依次为01,02,…,20的20人中选取5人,现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,由左向右依次选取两个数字,则第五个编号为( ) 5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 099478465887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 14955656A.09B.02C.15D.183列和第4列数字开始,依次读取:08,33(舍),95(舍),55(舍),02,62(舍),15,27(舍),02(舍),43(舍),69(舍),32(舍),18,18(舍),26(舍),09,则第五个编号为09.故选A.10.用放回简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.110,110B.310,15C.1 5,310D.310,310,个体a每次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110.故选A.11.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为()A.knmB.k+m-nC.kmnD.不能估计x人,则kx =nm,解得x=kmn.12.(多选题)下列调查中,适宜采用抽样调查的是()A.调查某市中小学生每天的运动时间B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病,对此幼儿园中的小朋友进行检查C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况B中要对所有小朋友进行检查,所以用普查的方式;D中共8名店员,可采用普查的方式;A,C 中总体容量大,难以做到普查,故采用抽样调查的方式.13.(多选题)下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.从50个零件中随机抽取5个做质量检验B.从50个零件中每次抽取一个有放回地共抽取5次做质量检验C.从整数集中随机抽取10个分析奇偶性D.运动员从8个跑道中随机选取一个跑道不是,因为整数集是无限集.14.(多选题)下列抽取样本的方式,不是简单随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从80件玩具中一次性随机抽取3件进行质量检验D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛不是简单随机抽样,原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的,而题中是无限的;B,C是简单随机抽样;D不是简单随机抽样,原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.15.假设要抽查某种品牌的900颗种子的发芽率,抽取60粒进行实验.利用随机数法抽取种子时,先将900颗种子按001,002,…,900进行编号,如果从随机数表第8行第7列的数字7开始向右读,请你依次写出最先检测的3颗种子的编号.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 548行第7列的数字7开始向右读,第一个符合条件的是785,916要舍去,955要舍去,第二个符合条件是567,第三个符合条件是199,故最先检测的3颗种子的编号为785,567,199.16.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如下数据:估计这个工厂生产的零件的平均直径大约为..84 cm y=12×12+13×34+14×4=12.84(cm).50学科素养创新练17.选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程.(1)现有一批电子元件600个,从中抽取6个进行质量检测;(2)现有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样.总体中个体数较大,用随机数法.第一步,给元件编号为001,002,003,...,099,100, (600)第二步,用随机数工具产生1~600范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的电子元件进入样本;第三步,依次操作,如果生成的随机数有重复,则剔除并重新产生随机数,直到样本量达到6;第四步,以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.(2)总体中个体数较小,用抽签法.第一步,将30个篮球,编号为01,02, (30)第二步,将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上,制成号签; 第三步,把号签放入一个不透明的盒子中,充分搅拌;第四步,从盒子中不放回地逐个抽取3个号签,并记录上面的号码;第五步,找出和所得号码对应的篮球.。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：分层随机抽样、获取数据的途径【含答案及解析】
第九章统计9.1随机抽样9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径课后篇巩固提升必备知识基础练1.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男、女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.不放回简单随机抽样B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样D.放回简单随机抽样,而男、女生视力情况差异不大,故选用按学段分层随机抽样的抽样方法.2.2020年某省将实行新高考,考试及录取发生了很大的变化.为了报考理想的大学,小明需要获取近年来我国各大学会计专业录取人数的相关数据,他获取这些数据的最好途径是()A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据,所以小明获取这些数据的最好途径是通过查询获取数据.3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生个数为()A.30,30,30B.30,45,15C.20,30,10D.30,50,10,n N =903600+5400+1800=1120,再各层分别抽取,甲校抽取的人数为3 600×1120=30,乙校抽取的人数为5 400×1120=45,丙校抽取的人数为1 800×1120=15,故选B.4.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是()A.12B.15C.20D.21,得该中学有高中生3 000人,其中男生人数为3 000×30%=900,女生人数为3000×70%=2 100,初中生2 000人,其中男生人数为2 000×60%=1 200,女生人数为2 000×40%=800,用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则n5000=212100,解得n=50,∴从初中生中抽取的男生人数为50×12005000=12.故选A.5.从某地区15 000位老人中按性别分层随机抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为()A.60B.100C.1 500D.2 000由分层随机抽样方法知所求人数为23-21500×15 000=60.6.某学校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分及以下、91~120分、121~150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1.现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为m的样本,其中分数在91~120分的人数是45,则此样本的容量m的值为()A.75B.100C.125D.135由已知得35+3+1=45m,得m=135.7.某单位有男、女职工共600人,现用分层随机抽样的方法从所有职工中抽取容量为50的样本,已知从女职工中抽取的人数为15,那么该单位的女职工人数为.n ,则1550=n600,解得n=180,即该单位的女职工人数为180.8.古代科举制度始于隋而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段,其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取,其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100.则中卷录取人数为 .,明宣德五年会试录取人数为100,则中卷录取人数为100×211+7+2=10.9.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.设参加活动的总人数为x ,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为a ,b ,c ,则 a=42.5%x -x4×50%(1-14)x=40%, b=47.5%x -x4×40%(1-14)x =50%, c=10%x -x4×10%(1-14)x =10%, 故游泳组中青年人、中年人、老年人所占的比例分别为40%,50%,10%.(2)因为是分层随机抽样,所以,游泳组中青年人抽取的人数为200×34×40%=60;中年人抽取的人数为200×34×50%=75;老年人抽取的人数为200×34×10%=15.关键能力提升练10.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x 份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( ) A.60 B.80C.120D.180~12岁回收180份,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,抽样比为13,因为分层抽取的样本容量为300,故回收问卷总数为30013=900(份),故x=900-120-180-240=360(份),360×13=120(份).11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是( ) A.102 B.112 C.130 D.1368 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,故需从西乡征集的人数是378×7 2368 758+7 236+8 356≈112.12.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.200,20B.100,20C.200,10D.100,103 500+2 000+4 500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%=20.13.下列调查方案中,抽样方法合适、样本具有代表性的是 ( )A.用一本书第1页的字数估计全书的字数B.为调查某校学生对航天科技知识的了解程度,上学期间,在该校门口,每隔2分钟随机调查一位学生C.在省内选取一所城市中学,一所农村中学,向每个学生发一张卡片,上面印有一些科学家的名字,要求每个学生只能在一个喜欢的科学家名字下面画“√”,以了解全省中学生最喜欢的科学家是谁D.为了调查我国小学生的健康状况,共抽取了100名小学生进行调查中,样本缺少代表性(第1页的字数一般较少);B 中,抽样保证了随机性原则,样本具有代表性;C 中,城市中学与农村中学的规模往往不同,学生喜欢的科学家也未必在所列的名单之中,这些都会影响数据的代表性;D 中,总体数量很大,而样本容量太少,不足以体现总体特征.14.研究下列问题:①某城市元旦前后的气温;②某种新型电器元件使用寿命的测定;③电视台想知道某一个节目的收视率.一般通过试验获取数据的是()A.①②B.③C.②D.②③通过观察获取数据,③通过调查获取数据,只有②通过试验获取数据.15.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则()A.应采用分层随机抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的,所以应采用分层随机抽样抽取,A正确;设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有{x1200=y6000=z2000,x+y+z=46,解得{x=6,y=30,z=10.所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C正确;由分层随机抽样的意义可知D也正确.16.(多选题)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则()A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,设样本为n,则n=16÷2k2k+5k+3k=80,故A错误,B正确;样本中B型号产品有80×5k2k+5k+3k=40件,故C正确,D错误.故选BC.17.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:其中x ∶y ∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的35,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人.“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以“剪纸”社团的人数为800×25=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z=32+3+5=310,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96.由题意知,抽样比为50800=116,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116=6.18.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层随机抽样调查,得到了如下表所示的数据,则xy z = .,得80016=x15=yz ,即x=750,yz =50,则xyz =37 500.19.为制定本市七、八、九年级男学生校服的生产计划,有关部门准备对180名初中男生的身高做调查,现有三种调查方案:(1)测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高; (2)网上查阅有关我国其他地市180名男生身高的统计资料;(3)按本市七、八、九年级男学生数目的比例分别从三个年级共抽取180名男生调查其身高. 为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的,则上述调查方案不合理的是 ,合理的是 .(填序号)(3)中,少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一般高于平均水平,因此不能用测量的结果去估计总体的结果,故方案(1)不合理;(2)中,用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况,故方案(2)不合理;(3)中,由于初中三个年级的男生身高是不同的,所以应该用按比例分别抽取的方法从初中三个年级抽取180名男生调查其身高,方案(3)合理. 20.某地气象台记录了本地6月份的日最高气温(如下表所示):气象台获取数据的途径是 ,本地6月份的日最高气温的平均数约为 ℃.(结果保留一位小数)24.3;本地6月份的日最高气温的平均数为y =130×(20×5+22×4+24×6+25×6+26×4+28×2+29×2+30×1)≈24.3(℃).21.一工厂生产了16 800件某种产品,它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a ,b ,c ,且2b=a+c ,则乙生产线生产了 件产品.3条生产线各生产了T 甲、T 乙、T 丙件产品,则a ∶b ∶c=T 甲∶T 乙∶T 丙,即aT 甲=b T乙=c T丙.又因为2b=a+c ,所以{T 甲+T 丙=2T 乙,T 甲+T 乙+T 丙=16 800,所以T 乙=16 8003=5 600.22.某市四个区共有20 000名学生,且四个区的学生人数之比为3∶2.8∶2.2∶2.现要用分层随机抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本,那么在这四个区中,抽取人数最多的区与抽取人数最少的区的人数差是多少? 抽取人数最多的区的人数为33+2.8+2.2+2×200=310×200=60,抽取人数最少的区的人数为23+2.8+2.2+2×200=210×200=40,则抽取人数最多的区与抽取人数最少的区的人数差为60-40=20.23.某校高中学生有900人,校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查,为了不影响正常教学活动,准备抽取50名学生作为调查对象.校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高,你认为这样的调查结果会怎样?,校医务室想了解全校高中学生的身高情况,在抽样时应当关注高中各年级学生的身高,并且还要分性别进行抽查.如果只抽取高一的学生,结果是片面的.学科素养创新练24.一个地区共有5个乡镇,共计3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从这3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,则应采取什么样的抽样方法?并写出具体过程.,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而应采用分层随机抽样的方法.具体过程如下:(1)将3万人分成5层,一个乡镇为一层.(2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本:300×315=60(人),300×215=40(人),300×515=100(人),300×215=40(人),300×315=60(人). 各乡镇分别用分层随机抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60. (3)将抽取的这300人组到一起,即得到一个样本.。
新教材高中数学第四章数列：第2课时等差数列的性质及应用学案新人教A版选择性必修2(含答案)
新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时 等差数列的性质及应用新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理)2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.等差数列的项有哪些性质？2．怎样应用等差数列的性质简化运算？1.等差数列通项公式的变形及推广 ①a n ＝dn ＋(a 1－d)(n∈N *)， ②a n ＝a m ＋(n －m)d(m ，n∈N *)， ③d＝a n －a m n －m(m ，n∈N *，且m≠n).其中①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上． ②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③即斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1 ，可用来由等差数列任两项求公差．2．等差数列的性质在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p(m ，n ，p∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 成立吗？提示：不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a 1＋a 2＝a 3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a 1＋a 2＝a 3.3．由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d′的等差数列，则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数，k∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd′的等差数列(p ，q 为常数)1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则{a n }是公差为k 的等差数列．( √ ) (2)等差数列{a n }中，必有a 10＝a 1＋a 9.( × )(3)若数列a 1，a 2，a 3，a 4，…是等差数列，则数列a 1，a 3，a 5，…也是等差数列．( √ ) (4)若数列a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6…都是公差为d 的等差数列，则a 1，a 2，a 3…是等差数列．( × )提示：(1)通项公式是关于n 的一次函数形式的数列都是等差数列． (2)等差数列中项的和相等都是等式两边项数相等，项数和相等． (3)等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列．(4)如数列1，1，1，…和数列2，2，2，…，按照规则排好后成为数列1，2，1，2，1，2，…，显然此数列不是等差数列．2．等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2B ．20C ．100D ．－2【解析】选A.因为a 100－a 90＝10d ，所以10d ＝20即d ＝2. 3．等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.－3 B ．3 C ．32 D ．－32【解析】选B.由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3.4．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________． 【解析】因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450， 所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝2×90＝180. 答案：180关键能力·合作学习类型一 等差数列性质的应用(数学运算)1．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30B ．15C ．5 6D ．10 6【解析】选B.因为数列{a n }为等差数列， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3 ＝52 (a 2＋a 4)＝52×6＝15. 2．设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A.0B ．37C ．100D ．－37【解析】选C.设c n ＝a n ＋b n ， 由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100，所以{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. 所以c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.3．已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12B ．8C ．6D ．4【解析】选B.由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，所以a 8＝8， 又d≠0，所以m ＝8.解决等差数列运算问题的一般方法一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．对等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a 15≠a 7＋a 8，但a 6＋a 9＝a 7＋a 8；a 1＋a 21≠a 22，但a 1＋a 21＝2a 11【补偿训练】1．在等差数列{a n }中，已知a 2＋2a 8＋a 14＝120，则2a 9－a 10的值为________．【解析】因为a 2＋a 14＝2a 8，所以a 2＋2a 8＋a 14＝4a 8＝120，所以a 8＝30.所以2a 9－a 10＝(a 8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：302．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．【解析】因为(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.类型二等差数列的设法与求解(数学运算)【典例】已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．四步内容理解题意条件：①三个数成单调递增等差数列②它们的和等于18，平方和等于116结论：求这三个数思路探求设出三个数，列方程组求解书写表达设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.由题意可得222(a d)a(a d)18(a d)a a d116⎧⎨⎩－＋＋＋＝，－＋＋（＋）＝，解得a6d2⎧⎨⎩＝，＝或a6.d2⎧⎨⎩＝，＝－因为d>0，所以a＝6，d＝2.所以这个数列是4，6，8.题后反思三个数成等差数列设元时以中间一个为准，但需注意对公差符号的选取．设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为a n＝pn＋q.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得a d a a d6 a d a a d24⎧⎨⎩（－）＋＋（＋）＝，（－）（＋）＝－，解得a2d4⎧⎨⎩＝，＝或a2.d4⎧⎨⎩＝，＝－所以所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.类型三等差数列的实际应用(数学建模)【典例】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路导引】每年的利润构成一个等差数列，公差是－20.【解析】设从第一年起，第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n＋1－a n＝－20(n∈N*)，所以每年的利润构成一个等差数列{a n}，从而a n＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由a n＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．与等差数列有关的实际问题解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．1．《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )A ．12.5尺B ．10.5尺C ．15.5尺D ．9.5尺【解析】选C.设此等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 4＋a 7＝3a 1＋9d ＝37.5，a 1＋11d ＝4.5，解得d ＝－1，a 1＝15.5.2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元). 答案：23.2课堂检测·素养达标1．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 【解析】选A.a 7＋a 9＝a 4＋a 12，所以a 12＝16－1＝15.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13 a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 【解析】选C.由题意，得5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 9－13 a 11＝(a 8＋d)－13 (a 8＋3d)＝23a 8＝16.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝－1，a 11－a 4＝21.则a 7等于________． 【解析】因为a 3＋a 7－a 10＋a 11－a 4＝a 3＋a 7＋a 11－(a 10＋a 4) ＝3a 7－2a 7＝a 7，所以a 7＝21－1＝20. 答案：204．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________． 【解析】由等差数列的性质可知a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6， 所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：745．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．【解析】设等差数列的公差为d，则a4a7＝(a6－2d)(a6＋d) ＝(4－2d)(4＋d)＝－2(d＋1)2＋18，即a4a7的最大值为18. 答案：18。
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
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例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
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新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
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问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：6.1 平面向量的概念 Word版含答案
6．1 平面向量的概念问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( )(5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ 解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量． 解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B.2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量． 解：画出图形，如图所示．(1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ， 所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →. (3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形，所以BE 綊FD ，所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形；(2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C ．BD →的模恰为DA →模的3倍D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC→≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ，所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC→|，故|DB →|＝32. 答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程习题(1)
1．直线10x y -+=的倾斜角为 ． 【答案】45︒ 【解析】试题分析：方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ，所以斜率1=k ，所以倾斜角 45 考点：直线方程、直线的倾斜角与斜率2．已知ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________. 【答案】52【解析】试题分析：因为，ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，所以，高线的斜率为12122AD BC k m k -==-=--，故m=52. 考点：直线斜率的坐标计算公式，直线垂直的条件。
点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。
3．.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 . 【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略4．已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】试题分析：根据点Q 在直线x-y+1=0上设Q （x ，x+1），由已知的直线方程求出斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，以及两点间的斜率公式求出x 的值，再求出点Q 的坐标。
解：由于点Q 在直线x-y+1=0上，故设Q （x ，x+1），∵直线x+2y-5=0的斜率为-12，且与直线PQ 垂直，∴k PQ =2=1(1)x x +--- ，解得x=2，即Q （2，3）．故答案为(2,3)考点：两条直线垂直点评：本题考查了点与直线关系，以及直线的一般方程，主要利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1，求出点的坐标 5．已知直线ax －y +2a =0与(2a －1)x +ay +a =0互相垂直 ,则a 的值= 【答案】1,0 【解析】略6．已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.【解析】因为已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则斜率相等，即7_______________【解析】试题分析：直斜率，即tan α，所以，直线考点：本题主要考查直线的斜率与直线的倾斜角。
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新编人教版精品教学资料2015版人教A 版必修2课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 ****************1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++1221322382=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．这个几何体的体积121332ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．O OO 'O '22OO在Rt BB C''∆中，BC '==cos BB BC θ'===' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为）．所以所求表面积21212127S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=2(cm )，所求体积22112123V πππ=⨯⨯+⨯⨯=3(cm )．3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。
改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和321,,V V V ,则它们的关系为 ( )A .321S S S >>, 321V V V >>B .321S S S <<, 321V V V <<C .321S S S >>, 321V V V ==D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)((ππ=+=,222231,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 232331,πππ=+=, 选B.4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：(1)(2)(3)(4)解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数学模型．答案（1）、（4）．5.原题（必修2第37页复习参考题B 组第三题）改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为 60的直线共有 12 对.改编2 如图正方体中，o ，1o 为底面中心，以1oo 所在直线为旋转轴，线段1BC 形成的几何体的正视图为（ ）AA 1(A)(B)(C)(D)解：选项A 、B 、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C.6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？改编如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（）(A)(B)(C)(D)解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。
即A、B、D不可能，故选C.7.原题（必修2第59页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α （）A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面β．作与β 平行的平面α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α 有无数多个．答案：D.8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.改编如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。
解：液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78，A BC A1B1C1设空出三棱锥的高为x ，则331x =87，所以，x=273,液面高度为1-273.9.原题（必修2第63页习题2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是_______，为什么？ (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值.改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有_______. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH 所在四边形的面积为定值； (4)棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，BF BE ⋅是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.（6） （7）10.原题（必修2第79页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,2PC PD CD ===α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ，所以,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．又1,2PC PD CD ===所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=．在平面四边形PCHD 中，090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=，所以090CHD ∠=．故平面α⊥平面β．11.原题（必修2第90页习题3.2B 组第一题）已知点)2,5(),2,2(-N M ,点P 在x 轴上，且MPN ∠为直角,求点P 的坐标.改编：已知点)2,5(),2,2(-N M ,P 在x 轴上，若MPN ∠为锐角，则点P 的横坐标的取值范围是________解： 用向量的数量积判别：0>⋅NP MP ，易求答案为6>m 或1<m12.原题（必修2 第100页习题3.2 A 组第三题）已知)4,7(-A ，)6,5(-B ，求线段AB 的垂直平分线的方程.改编1 已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ，则直线l 的方程是（ ） A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解：依题意得，直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵65-=AB k ，∴561=-=AB l k k ，∵AB 的中点为（1，1），∴直线l 的方程是)1(561-=-x y 即0156=--y x ，故选（B ）. 改编2 已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是 .解：依题意得，两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称，故直线l 是线段AB 的垂直平分线，由改编1可得直线l 的方程为0156=--y x .改编3 求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.解：设),(y x B .由l AB ⊥，且AB 的中点在直线l 上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615674y x x y ，解得⎩⎨⎧=-=65y x ，∴)6,5(-B .13.原题（必修2第100页习题3.2A 组第九题）求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 改编1 求过点)3,2(P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为23-=-x y 或x y 23=，即01=+-y x 或023=-y x .改编2 直线l 经过点)3,2(P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程.解:依题意，直线l 的斜率为±1，∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ，即01=+-y x 或05=-+y x .14.原题（必修2第101页习题3.2B 组第五题）若直线l 沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，试求直线l 的斜率.改编： 若直线l 沿x 轴向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，得到的直线与原来的位置在水平方向上相差2个单位，则原直线的斜率为 0.84或.15.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第七题）已知AO 是ABC 边BC 的中线，求证：2222||||2(||||)AB AC AO OC +=+.改编 已知在三角形ABC 中，D 是BC 边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= 解:16.原题（必修2第110页习题 3.3B 组第八题）已知01,01,x y <<<<求证：≥改编 长方形ABCD 的顶点坐标是A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，P 是坐标平面上的动点，若AP 2+BP 2+CP 2+DP 2的值最小，则点P 的位置在( )A.长方形的顶点处B.AB 边的中点处C.两条对角线的交点处D.三角形ABC 的重心处 解:设P(x,y)，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2=x 2+y 2+(x-a) 2+y 2+(x-a) 2+(y-b) 2+x 2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a 2+b 2 当P(a/2,b/2)时，|AP|2+|BP|2+|CP|2+|DP|2最小，选C .17.原题（必修2 第114页复习参考题A 组第3题）求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积.改编1 过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ，依题意有5)45)(54(21=--k k， ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k 或58=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .改编2（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 .解：设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆kk k k k k k k S OAB ，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号，∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4. 改编 3 已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.解：设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得1500-=x x x ，∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]211)1(2[1000=+-⋅-≥x x ，当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号，∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小.18.原题（必修2第115页复习参考题B 组第七题）设,,,a b c d R ∈，求证：对于任意,,p q R∈≥改编 设R d c b a ∈,,,，a,b,c,d 为常数，其中()()03232<+-•+-d c b a ，对于任意实数x ,()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a .解:可设A （a ，b ），B （c ，d ），C （x ，2x+3），由()()03232<+-•+-d c b a ，知A ，B 在直线y=2x+3两侧，()()()()的最小值为22223232--+-+--+-x d x c x b x a ||AB =()()22a d b c -+-.19.原题（必修2第129页例3）改编 若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ，半径21=r ，圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -，半径32=r ，且两圆相切，∴2121r r O O +=或1221r r O O -=，∴5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ，解得512-=m 或2=m ，或0=m 或25m =-，∴实数m 的取值集合是122{,,0,2}55--. 20.原题（必修2第130页例4）改编 某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m 根铁索的长度f(m)= _______米.-10.5.21.原题（必修2第132页习题4.2 A 组第三题）求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.改编1 （2006年重庆卷）过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为（ ） A.x y 3-=或x y 31= B.x y 3=或x y 31-=C.x y 3-=或x y 31-= D.x y 3=或x y 31=解：设直线方程为kx y =，即0=-y kx .∵圆方程可化为25)1()2(22=++-y x ，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122=++k k ，解得3-=k 或31=k ，∴直线方程为x y 3-=或x y 31=，故选（A ）.改编2 （2006年湖北卷）已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 . 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1，0），半径为1，∴1125522=++a ，解得8=a 或18-=a .改编3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+r ba b a r b a 5252)5(222， 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===55155r b a ，∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x . 22.原题（必修2第132页练习第三题）某圆拱桥的水面跨度20m ，拱高4m .现有一船宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？改编 某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m .现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到0.01m ） 解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.∵圆经过点（10，0），（0，4），∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100rb rb ，解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b .∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ，得)(28.3m y ≈. 故当水位暴涨1.5m 后，船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--，船才能通过桥洞.23.原题（必修2第133页习题4.2A 组第九题）求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.改编 两圆C 1 ：x 2+ y 2-1=0和C 2：x 2+ y 2-8x+12=0的公切线长为_______. 解：C 1A BC 2C 1C 2D A BD(1)(2)C 1 ：x 2+ y 2=1，C 2：（x-4）2+ y 2 = 4， |C 1 C 2|=4图（1）：|AB|=22)12(4--=15；图（2）：|AB|=22)12(4+-=7，即公切线长15和7.24.原题（必修2第133页习题4.2B 组第2题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.改编 1 已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A,点P 坐标满足422≤+y x ，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.解：设点P 的坐标是),(y x ，则222222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)2200334683()33d PA PB PC x y x y x y x y y x y =++=++++++-+-++⎡⎤=+-+=+-+⎢⎥⎣⎦）要求d 的最值，即求点P 与点 )32,0(Q 距离' d 的最值；因为点P 坐标满足422≤+y x ，所以'd 的最大值为2)2(+OQ ，则'd 的最小值0在点P 与点 )32,0(Q 重合时取得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴88,3200d改编2 已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ，则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ，则325min =-=-=r OC OP ，∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.25.原题（必修2第133页习题4.2B 组第3题）已知圆x 2+y 2=4，直线l: y=x+b .当b 为何值时，圆x 2+y 2=4上恰有3个点到直线l 的距离都等于1.改编 已知圆x 2+y 2=4, 直线l: y=x+b . 圆上至少有三个点到直线l 的距离都是1，则b 的取值范围是_____.解：⎡⎣ 26.原题（必修2第144页复习参考题B 组第2题）已知点(,)M x y 与两个定点1M ，2M 距离的比是一个正数m ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑1m =和1m ≠两种情形）.改编1 已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ） A.π B.π4 C.π8 D.π9解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选B. 改编2 由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .改编3 （2006年四川卷）已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ）A.πB.π4C.π8D.π9解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4，故选（B ）. 改编4（2003年北京春季卷）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ，得a y c x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆；当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.27.原题（必修2第144页复习参考题B 组第3题）求由曲线22||||x y x y +=+围成的图形的面积. 改编 由曲线222||2||x y x y +=+围成的图形的面积为_______.解：围成的图形如图，面积为84π+.。