新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

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人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)

人教版高中数学全套教材例题习题改编人教A 版必修1课本例题习题改编

1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={}

{}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，，改编已知集合4x x M x

N N **⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且10，集合40x N x Z ⎧⎫

=∈⎨⎬⎩⎭

，则（）

A ．M N =

B ．N M ⊆

C ．20x M

N x Z ⎧⎫

=∈⎨⎬⎩⎭

D ．40x M

N x N *⎧⎫

=∈⎨⎬⎩⎭

解：{}20,M x x k k N *==∈， {}

40,N x x k k Z ==∈，故选D .

2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1，

2}，则这样的集合B 有个.

改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来．

解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：∅，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，∅．则满足条件的集合A 、B 有9对.

改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有个，真子集个数有个解：子集个数有2n

个，真子集个数有21n

-个改编3 满足条件

{}{}

1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是个

解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编用C(A)表示非空集合A

高中数学(人教A版)必修第二册《第六章平面向量及其应用》解答题专项练习(含答案解析)

试卷第1页，共71页

高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章平面向量及其应

用》解答题专项练习（含答案解析）

一、解答题

1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.

（1）求2a b +；

（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；

（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.

【答案】

（1）1

（2）2

（3）证明见解析

【分析】

（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩

，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.

（1）

()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；

（2）

()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425

λμλμ-+=⎧⎨

-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=；（3）因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.

2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；

（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.

【答案】（1）9-；（2）3a =或13

【分析】

（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，

【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面平行的性质》练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.4 平面与平面平行的性质

A级基础巩固

一、选择题

1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是() A．平行B．相交

C．异面D．不确定

2．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，B1，D1的平面与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论中错误的是() A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1

C．l∥平面A1B1C1D1D．l⊥B1C1

3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为()

A．平行B．相交

C．异面D．无法判断

4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()

A．2∶25 B．4∶25

C．2∶5 D．4∶5

5．下列说法正确的个数是()

①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；

②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；

③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；

④平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例．

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题

6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC 交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．

7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

人教A版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案

人教版高中数学必修2 全册同步练习及检测

1.1.1 课时作业

1.1.2 课时作业

1.2.1-1.2.2 课时作业1.2.3 课时作业

1.3.1 课时作业

1.3.2 课时作业

习题课课时作业

2.1.1 课时作业

2.1.2 课时作业

2.1.3-2.1.4 课时作业2.2.1 课时作业

2.2.2 课时作业

2.2.3 课时作业

2.2.4 课时作业

2.3.1 课时作业

2.3.2 课时作业

2.3.3 课时作业

2.3.4 课时作业

习题课课时作业

3.1.1 课时作业

3.1.2 课时作业3.2.1 课时作业

3.2.2 课时作业

3.2.3 课时作业

3.3.1 课时作业

3.3.2 课时作业

3.3.3-3.3.4 课时作业习题课课时作业

4.1.1 课时作业

4.1.2 课时作业

4.2.1 课时作业

4.2.2 课时作业

4.2.3 课时作业

4.3.1 课时作业

4.3.2 课时作业

第4章习题课课时作业

§1.1空间几何体的结构

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．

高中数学(新人教A版)必修第二册同步习题：事件的相互独立性(同步习题)【含答案及解析】

10.2 事件的相互独立性

基础过关练

题组一相互独立事件的判断

1.(2020山西太原五中高一期末)下列各对事件中,A,B 是相互独立事件的是( )

A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反面”

B.袋中有2个白球,2个黑球,除颜色外完全相同,不放回地摸球两次,每次摸出一球,A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二次摸到白球”

C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A 表示“出现的点数为奇数”,B 表示“出现的点数为偶数”

D.A 表示“一个灯泡能用1 000小时”,B 表示“一个灯泡能用2 000小时” 2.若P(AB)=1

,P(A )=2

,P(B)=1

,则事件A 与B 的关系是( )

A.事件A 与B 互斥

B.事件A 与B 对立

C.事件A 与B 相互独立

D.事件A 与B 既互斥又独立

3.(2020山东济南历城二中高一下检测)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A 表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,“第二次摸到黑球”记为C,那么事件A 与B,A 与C 间的关系是 (深度解析)

A.A 与B,A 与C 均相互独立

B.A 与B 相互独立,A 与C 互斥

C.A 与B,A 与C 均互斥

D.A 与B 互斥,A 与C 相互独立

4.已知A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是( ) A.事件A,B 同时发生的概率 B.事件A,B 至少有一个发生的概率 C.事件A,B 至多有一个发生的概率 D.事件A,B 都不发生的概率

高中数学(人教A版)必修第二册《第六章平面向量及其应用》填空题专项练习(含答案解析)

试卷第1页，共44页

高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章平面向量及其应

用》填空题专项练习（含答案解析）

一、填空题

1．如图，在正六边形ABCDEF 中，记向量FA a =，ED b =，则向量BC =______．（用

a ，

b 表示）

【答案】b a -## 【分析】

由正六边形的性质：三条不相邻的三边经过平移可成等边三角形，即可得ED FA BC -=，进而得到结果. 【详解】

由正六边形的性质知：ED FA BC -=， ∴BC b a =-. 故答案为：b a -.

2．已知平面向量m ，n 的夹角为6

，且3m =，2n =，在△ABC 中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 的中点，则AD =______．

【答案】2 【分析】

用,m n 表示出AD ，由已知条件结合向量数量积的运算律求 AD . 【详解】

△ABC 中，由D 为BC 的中点，则1

()222AD AB AC m n =+=-，

又||3,||2m n ==，平面向量m ，n 的夹角为6

π，

∴22|2()22AD m n m n =-=-=. 故答案为：2.

3．已知非零向量a ，b

满足2b a =，且()()

32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为

______________．【答案】

π## 【分析】

由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解. 【详解】

由()()32a b a b -⊥+可得()(

)

320a b a b -⋅+=，即2

2203a b a b --⋅=，因为2b a =，不

人教A版高中数学必修二 8.4-8.6课堂课后练习(含答案)

人教A 版高中数学必修二8.4-8.6课堂课后练习

分值：100分时间：45分钟

一、单选题（本大题共4小题，每题8分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．空间中可以确定一个平面的条件是（

）A ．三个点B ．四个点C ．三角形D ．四边形

2．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A ．若//,//m n m α，则//n α

B ．若,//m αβα⊥，则m β⊥

C ．若,m αββ⊥⊥，则//m α

D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ

⊥3．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（）

A ．//BD 平面11

CB D B ．1AC BD

⊥C ．1AC ⊥平面11

CB D D ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒

4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（）

A ．CE

B ．CF

C ．CG

D ．1

CC 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题10分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得10分，选对但不全的得5分，有选错的得0分）5．下列命题中的真命题是（）

A ．若直线a 不在平面α内，则//a α

B ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α

C ．若//l α，则直线l 与平面α内任何一条直线都没有公共点

新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

新编人教版精品教学资料

2015版人教A 版必修2课本例题习题改编

湖北省安陆市第一高级中学伍海军 ****************

1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

改编如图是一个几何体的三视图（单位：cm ）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；

（Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示．（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC ∆的高为1，所以AB ==．故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++

221322382

=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．

这个几何体的体积121332

ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3

(cm )

（Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠．

O O

O '

在Rt BB C

''∆

中，BC '

cos BB BC θ'=

==' 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）．（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ）

，它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为

高中数学(人教A版)选择性必修二课后习题：简单复合函数的导数(课后习题)【含答案及解析】

简单复合函数的导数

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列函数不是复合函数的是( )

A .y=-x 3-1x

+1 B .y=cos x+

π4

C .y=

1lnx

D .y=(2x+3)4

不是复合函数,B,C,D 均是复合函数,其中B 是由y=cos u ,u=x+π4

复合而成;C 是由y=1u

,u=ln x 复合而成;D 是由y=u 4,u=2x+3复合而成.

2.(2020安徽高二期末)函数f (x )=sin 2x 的导数是( ) A.2sin x B.2sin 2x C.2cos x D.sin 2x

y=sin 2x 写成y=u 2,u=sin x 的形式.对外函数求导为y'=2u ,对内函数求导为u'=cos x ,故可以得到y=sin 2x 的导数为y'=2u cos x=2sin x cos x=sin 2x ,故选D . 3.(2020福建高二期末)已知函数f (x )=sin2x

,则f'(x )=( )

A.xcos2x -sin2x

x 2

B.xcos2x+sin2x

x 2 C.

2xcos2x -sin2x

x 2

2xcos2x+sin2x x 2

f (x )=sin2x

x ,故f'(x )=

(sin2x )'x -sin2x ·x '

x 2

2xcos2x -sin2x

x 2

,故选C .

4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a )相切,则a 的值为( ) A.1 B .2

C .-1

D .-2

(x 0,x 0+1),依题意有{1

x 0+a

=1,

x 0+1=ln (x 0+a ),

【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：2-1-1平面(含答案解析)

1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()

解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．

答案：D

2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作()

A．Q∈b∈β B．Q∈bβ

C．Q bβ D．Q b∈β

解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b β，∴Q∈bβ.

答案：B

3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.

答案：C

4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．

(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．

解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．

答案：(1)4(2)7

5．如下图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．

(1)作直线AB与平面α的交点P；

(2)求证：D，E，P三点共线．

解：(1)延长AB交平面α于点P，如下图所示．

题图答图

(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．

课堂小结

——本课须掌握的两大问题

1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第二章《平面与平面垂直的性质》练习题(含答案)

直线、平面垂直的判定及其性质 2.3 第二章点、直线、平面之间的位置关系直线与平面垂直的性质 2.3.3 平面与平面垂直的性

质2.3.4 基础巩固级A 一、选择题(．在空间中，下列命题正确的是1) ．垂直于同一条直线的两直线平行A ．平行于同一条直线的两个平面平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ，有下列四个命题：β，α与平面n，m．关于直线2m①若；n∥m，则β∥α，且β∥n，α∥α，且β⊥n，α⊥m②若；n⊥m，则β⊥；n⊥m，则β∥α，且β∥n，α⊥m③若. n∥m，则β⊥α且β⊥n，α∥m④若 ) (其中真命题的序号是．①②A ．③④B ．②③D ．

①④Cγ⊥平面β，平面β⊥平面α．若平面

3) (，则γ⊥α．B γ∥a．A 相交但不垂直γ与α．C ．以上都有可能 D，过该)该点不在底面圆周上(．在圆柱的一个底面上任取一点4则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置

关点作另一个底面的垂线， ) (系是．平

行B ．相交A 1

．相交或平行D ．异面C的中点，则直线CA为E中，若

DCBA-ABCD．在正方体5111111 ) (垂直于CE BD．B AC．A DA．C

AA．D11 二、填空题ABCD⊥平面AF．已知6AF，如图所示，且

ABCD⊥平面DE，．________＝EF，则6＝AD，DE＝是两个不同的

平面，有下β，α是两条不同的直线，b，a．设7 列四个说法：b，则

α⊄b，α⊥a，b⊥a①若；α∥；β⊥α，则β⊥a，α∥a②若a，则β⊥α，

β⊥a③若；α⊂a或α∥ . β⊥α，则β⊥b，α⊥a，b⊥a④若．________

人教A版高中数学必修第二册6.1平面向量的概念经典例题及课后练习题

6.1 平面向量的概念

例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.

解：AB表示A地至B地的位移，且AB≈__________________；

AC表示A地至C地的位移，且AC≈__________________.

例2如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心.

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.

解：（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；

OB，DC，EO，AF是共线向量；

OC，AB，ED，FO是共线向量.

（2）OA CB DO

==；

OB DC EO

==；

===.

OC AB ED FO

练习

1.下列量中哪些是向量？

悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.

2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力.（用1cm 长表示10N ）

3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）

4.将向量用具有同一起点O 的有向线段表示.

（1）当OM 与ON 是相等向量时，判断终点M 与N 的位置关系；

（2）当OM 与ON 是平行向量，且21OM ON ==时，求向量MN 的长度，并判断MN 的方向与ON 的方向之间的关系.

习题6.1

复习巩固

1. 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

（1）||4OA =,点A 在点O 正南方向；（2）||22OB =点B 在点O 北偏西45︒方向；

新教材人教A版高中数学必修第二册第七章复数课后练习题及章末测验精选配套习题含解析

第七章复数

1、数系的扩充和复数的概念 ........................................................................................ - 1 -

2、复数的几何意义 ........................................................................................................ - 5 -

3、复数的加、减运算及其几何意义 ............................................................................ - 9 -

4、复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 14 -

5、复数的三角表示 ...................................................................................................... - 19 - 章末综合测验................................................................................................................ - 23 -

人教版A版高中数学必修2课后习题解答

第一章空间几何体

1．1 空间几何体的结构

练习（第7 页）

1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；

（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。

2．（1）五棱柱；（2）圆锥

3．略

习题1．1

A组

1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C

2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体。

3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；

（2）由四棱柱和四棱锥组合而成的简单组合体。

4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。

5．制作过程略。制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。

B组

1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。

2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。

1．2 空间几何体的三视图和直观图

练习（第15 页）

1．略

2．（1）四棱柱（图略）；

（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；

（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；

（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。

3．（1）五棱柱（三视图略）；

（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；

4．三棱柱

练习（第19 页）

1．略。

高中数学必修二：第2章2.3.1(人教A版必修2)Word版含答案

[A 基础达标 ]
1.直线 l 与平面 α所成角 θ的范围是 ( )
A ． (0°， 180° )
B．(0°， 90°)
C． [0°， 90°]
D．(0°， 90°]
解析：选 C.根据定义可知选 C.
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是 ( )
①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径 ④正六边形的两条边
B．45°
C． 60°
D．90°
A ．①③
B．②
C．②④
D．①②③
解析：选 A. 由线面垂直的判定定理可知 ①③ 是正确的，而②中线面可能平行、
相交，也可能直线在平面内． ④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法
判定线面垂直，故选 A.
3．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为 ( )
＝DDD1O1＝
2＝ 6
6 3.
所以 BB1 与平面 ACD1 所成的角的余弦值为
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6 3.
4．如图所示， PA⊥平面 ABC，△ ABC 中 BC⊥AC，∠ PBA＝θ1，∠ PBC＝θ2， ∠ABC＝θ3.
则下列关系一定成立的是 ( A ． cos θ1cos θ2＝cos θ3 C． sin θ1sin θ2＝ sin θ3

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