1.高考数学考点与题型全归纳——集合

2.集合间的基本关系
2.1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
2.2.真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或B A.
A B⇔ 既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.
A．1B．2
C．3D．4
解析：选D因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
2. 若本例(3)中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
解析：若A⊆B，由 得m≥3，
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()
A. B.
C．0D．0或
解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．
当a＝0时，x＝ ，符合题意．
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝ ，
所以a的值为0或 .
3.（2018·厦门模拟）已知P={x|2<x<k,x∈N},若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为.
第一章
第一节
基础知识
1.集合的有关概念
1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
1.2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
1.4.五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
A．3B．2
C．1D．0
2.已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019的值为()
A．1B．0
C．－1D．±1
[解析]
(1)因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
(2)由已知得a≠0，则 ＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.
(4)补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．
(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
考点一 集合的基本概念
[典例]
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()
(3)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1<x<3}．
若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，
所以 所以0<m≤1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
[答案](1)C(2)C(3)(－∞，1]
[变透练清]
1. 若本例(2)中A不变，C＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为()
[答案](1)B(2)C
[提醒]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
[题组训练]
1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：选A若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个Hale Waihona Puke 为1.3.集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
∴m的取值范围为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.
常用结论
(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
A．2B．3
C．4D．8
3.已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．
[解析]
(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知AB，故选C.
(2)∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0<x<3}＝{1,2}，又B⊆A，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4，故选C.
2.3.集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.
两集合相等：A＝B⇔ A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．
2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
解析：因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5<k≤6.
答案：（5，6］
[典例]
1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则()
A．B⊆AB．A＝B
C．ABD．BA
2.(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为()