关于一类非局部抛物型方程解的存在性及唯一性

是满足下列性质的函数：
a(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在 m, M 满足 0 < m ≤ a(ξ ) ≤ M 。
（1.2）
b(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在α , β 满足 0 < α ≤ b(ξ ) ≤ β 。
（1.3）
l, y 是 L2 (Ω) 上的线性函数，分别为
∫ ∫ ∫ ∫ Ω utvdx + a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx +b( y(w(t)))
Ω
uvdx =
Ω
Ω
fvdx
-2-

∫ ∫ ∫ ∫ |
Ω ut vdx |=|
Ω
fvdx − a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx −b( y(w(t)))
定理 2.1 假设（1.2）、（1.3）、（1.4）、（1.5）、（2.1），则下面的方程
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(u(t
)))∫
∇u
Ω
⋅
∇vdx
+b(
y(u(t)))(u,
v)
=
(
f
,
v)
⎪⎩u(x,0) = u0
必存在解 u = u(x, t) ，且满足
in D′(0,T ),∀ v ∈V （2.2）
The existence and uniqueness of solutions to a class of Nonlocal parabolic quation
Xin Kuidong
college of science, hohai-univ. , nanjing PRC（210098）
Abstract In this paper, by the method of the Schauder fixed piont,the existence of solutins to the nonlocal parabolic equation was studied, then we got the uniqueness of solutins. Keywords: nonlocal parabolic equation, Schauder fixed point, existence and uniqueness.
in D′[0,T ],∀ v ∈V
∫ 即
d dt
(u1
−
u2
,
v)
+
a(l(u1 (t)))
Ω ∇(u1 − u2 ) ⋅ ∇vdx +b( y(u1 (t)))(u1 − u2 , v)
∫ = {a(l(u2 (t))) − a(l(u2 (t)))} Ω ∇u2 ⋅ ∇vdx + {b( y(u2 (t))) − b( y(u2 (t)))}(u2 , v) （3.1）
Ω
uvdx |
Ω
≤ f v + m ∇u ∇v + α u v
22
2
2
22
≤ ( f + m ∇u + α u ) v
2
2
2
V
所以， ut L2 (0,T ;V ′) ≤ C~ 。 C~ 与 w 无关。
（2.4）
考虑集合 B = {v ∈ L2 (0,T ; L2 (Ω)) | v L2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C} , C 是（2.3）中的常数。 显然， R 是映 B 到 B 的映射。 由（2.3）、（2.4）及阿采拉定理知， R(B) 是相对紧的。
在（2.3）中，取 v = u ，得
∫ 1 d u 2 + a(l(w(t))) ∇u 2 dx +b( y(u(t))) u 2 = ( f (t),u) ≤ f (t) u
2 dt 2
Ω
2
22
由（1.2）、（1.3）和杨不等式，我们得到
1 d u 2 + m ∇u 2 + α u 2 ≤ 1 f (t) 2 + α u 2
1. 引言
在本文中，我们研究了下面的非局部抛物型方程
⎪⎪⎪⎨⎧u∂∂tun−=a0(l(u(t)))Δu + b( y(u(t)))u =
f (x)
in Ω × R + on ∂Ω
⎪⎩u(x,0) = u0 (x)
in Ω
（1.1）
解的存在性及唯一性。其中 Ω 是 R n (n ≥ 1) 中的有界区域，∂Ω 光滑，记 a = a(ξ ), b = b(ξ )
∫ l(u(t)) = g(x)u(x,t)dx, g ∈ L2 (Ω) Ω
（1.4）
∫ y(u(t)) = h(x)u(x,t)dx, h ∈ L2 (Ω) Ω
（1.5）
u0 ∈ L2 (Ω), f ∈ L2 (Ω) 。 这种方程出现在一些细菌扩散模型中： u(x, t) 是细菌生物的密度， f 是从外部进来的
细菌密度， u0 是细菌的初始密度， a 是依赖 l(u(t)) 的扩散率，低阶项 u 是以死亡率 b( y(u(t))) 而被消除的细菌密度。a 对 l(u(t)) 的非局部依赖包括这种情形：细菌的扩散率依
赖于整个细菌生物系统，此时 g(x) = 1。
近来，这种非局部方程得到了很多学者的关注，例如：Robert Stancy 在文献[1]中，利用 格林函数和锥不动点理论得到了正解的存在性，类似的文献见[2]、[3]，对于问题（1.1）中
− u2 ) |2
dx +b( y(u1 (t)))
u1
− u2
2 2
≤ Az l(u2 (t)) − l(u1 (t)) ∇u2 2 ∇(u1 − u2 ) 2 + Bz y(u2 (t)) − y(u1 (t)) u2 2 u1 − u2 2 由（1.2）、（1.3）和带 ε 的柯西不等式 ab ≤ ε a 2 + 1 b 2 ，得
则，问题（2.2）有唯一解。
证明：设 u1,u2 是（2.2）的解，则
∫ d
dt
(u1
,
v)
+
a(l
(u1
(t )))
Ω ∇u1 ⋅ ∇vdx +b( y(u1 (t)))(u1, v) =
∫ d
dt
(u 2
,
v)
+
a(l
(u 2
(t
)))
Ω ∇u2 ⋅ ∇vdx +b( y(u2 (t)))(u2 , v)
u ∈ L2 (0,T ;V ) ∩ C(0,T ; L2 (Ω)),ut ∈ L2 (0,T ;V ) L2 (0,T ;V ) 。
证明：证明采用 Schauder 不动点方法。 由 J.L.Lions [5][4] 著名的结果知，下面的问题
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(w(t
)))∫
∇u
Ω
u1 − u2
2 是单调递减的。所以
2
0
≤
t
− c(s)ds
e ∫0
u1 − u2
2 2
≤
u1 ( x,0)
− u2 (x,0)ຫໍສະໝຸດ 2 2=u0
− u0
2 2
=0
所以 u1 = u2 ，解的唯一性得证。
参考文献
[1] Robert stanczy,Nonlocal Elliptic equation[J], Nonlinear Analysis 47 (2001) 3579-3584. [2] C.O.ALVES,Positive Solutions for a Quasilinear Elliptic Equation of Kirchhoff Type[J], Comp.math..appl.49 (2005) 85-93. [3] T.F.MA, Positive Solutions for a Nonlinear Nonlocal Elliptic Transmission Problem[J], Appl.Math.Lett. 16 (2003) 243-248. [4] M.Chipot, Elements of Nonlinear Analysis[M],Birkhauser Advanced Text (2000). [5] R.Dautray,J.L.Lions,Mathmatical analysis and numercal methods for science and technoLogy[M],Springer Verlag (1990). [6] M.Chipot,B.Lovat,On the asmptopic behaviour of some nonlocal problems[J],Positivity,3 (1999) 65-81 [7] M.Chipot,B.Lovat,Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and parabolic problems[J],DCDIS,Series A,8 (2001),#1,35-51. [8] M.Chipot,L.Molinet, asmptopic behaviour of some nonlocal diffusion problems[J],Applicable Analysis,80 (2001) 273-315. [9] M.Chipot,J.F.Rodrigues,On a class of nonlocal nonlinear elliptic problems[J],Math.Mod.and Num.Ana.,26 (1992) 447-468.
至于 R 在 L2 (0,T ; L2 (Ω)) 中的连续性，由文献[8]类似可证。