大学物理学答案 第 版 版 上册 北京邮电大学 完全版

z z 大学物理习题及解答

习题一

1．6 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v

有无不同?其不同在哪里?试举例说

明．

解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即

r ∆12r r -=，12r r r

-=∆； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s

d d . t r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则t ˆr ˆt r t d d d d d d r r

r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量， ∴

t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.

题1-1图

(3)t d d v 表示加速度的模，即

t v a d d =

，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以

式中dt dv

就是加速度的切向分量.

(t t

r d ˆd d ˆd τ 与

的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1．7 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r

＝22y x +，然后根据v =t r

d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，

再合成求得结果，即

v =2

2

d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =

2

22222d d d d ⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有

j y i x r

+=， 故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

其二，可能是将2

2d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只

是速度在径向上的分量，同样，2

2d d t r 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部

分⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-=2

22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面

随时间的变化率，而没有考虑位矢r

及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1．8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =21

t 2+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度

(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1）

j

t t i t r

)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有

(3)∵ j i r j j r 1617,4540

+=-= ∴ 1

04s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v

(4) 1

s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v

则 j i v 734+= 1

s m -⋅

(5)∵ j i v j i v

73,3340+=+=

(6) 2

s m 1d d -⋅==j t v a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1．9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62

x ，

a 的单位为2

s m -⋅，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101

s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值．

解： ∵ x v

v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )62(d 2

+==υυ

两边积分得 c

x x v ++=32

2221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c

∴ 1

3s m 252-⋅++=x x v

1．10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2

s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，

求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．

解：∵ t t v

a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d +=

积分，得 1

223

4c t t v ++=

由题知，0=t ,00=v ,∴01=c

故

2

23

4t t v += 又因为

2

234d d t t t x v +== 分离变量， t

t t x d )23

4(d 2+=

积分得 2

3221

2c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c

故 5

21

232++=t t x

所以s 10=t 时

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33

t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： t

t t t 18d d ,9d d 2====ωβθω (1)s 2=t 时， 2

s m 362181-⋅=⨯⨯==βτR a

(2)当加速度方向与半径成ο

45角时，有

145tan ==

︒n

a a τ

即 βωR R =2 亦即

t t 18)9(22= 则解得 923=

t 于是角位移为

rad

67.292

32323=⨯+=+=t θ 1.12 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧

长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ．

解：（1）

bt v t s

v -==

0d d

则 24

02

2

2

)(R bt v b a a a n

-+

=+=τ

加速度与半径的夹角为

(2)由题意应有

即 0)(,)(4

02

402

2

=-⇒-+=bt v R bt v b b

∴当

b v t 0

=时，b a = 1.14 一船以速率1v ＝30km ·h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有1221

v v v -=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 题1-13图