向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）

一、知识与能力：

1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

二、过程与方法：

1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．

教学难点:向量共线的充要条件．

一、复习回顾，新课导入

探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明

它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向

相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.

同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

二、师生互动，新课讲解

1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：

（1）|λa |=|λ||a |；

（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.

2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)⋅a=-a ，就是a 的相反向量.

3． 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）

（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）

（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立

如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |

|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |

∴|λ(μa )|=|(λμ)a | 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。

从而λ(μa )=(λμ)a

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ≠0，μ≠0，a ≠0 当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a

|

|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa | 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa | ∴②式成立

第二分配律证明： 如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时 1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ， 作=OA a =AB b =1OA λa =11B A λb 则=OB a +b =1OB λa +λb 由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1

=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1

因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同

λ(a +b )=λa +λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb

∴ ③式成立

特别地，有 (-λ)a=-(λa )= λ(-a )，λ(a -b ）=λa -λb .

例1（课本P88例5） 计算：

（1）(-3)⨯4a ;

（2）3(a+b )-2(a-b )-a ;

（3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).

解：（1）原式=(-3⨯4)a =-12a ;

（2）原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;

（3）原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .

O A B

B 1 A

1

1

变式训练1：设a 、b 是两个不平行的向量，且x (2a+b)+y (3a-2b)=7a , x,y ∈R ，则x =____，y =_____. (x=2,y=1)

4. 向量共线定理（等价条件或充要条件）

思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？

对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知：a 与b 共线；

反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a 与b 同向时，有b=μa ，当a 与b 反向时，有b =-μa .

向量共线定理（向量共线的充要条件）：向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

b=λa .

例2（课本P89例6） 已知任意两个非零向量a 、b ，且OA =a+b ，=a+2b , =a+3b ，判断A 、B 、C 三点之间的

位置关系.

解：因为

=a+2b-(a+b)=b ，

=a+3b-(a+b)=2b ， 于是，所以A 、B 、C 三点共线. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )= λμ1a ±λμ2b .

变式训练2：设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.

解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12

例3 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且

=a ，

=b ，试用a 、b 表示、、、.

解：=a+b ，=a-b , =(a+b )=a - b

12(a-b )= 12a -12b ; 12MC AC ==12a +12

b ; 12MD MB DB =-=-=-12a +12

b .