向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）
一、知识与能力：
1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。

2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。

3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。

二、过程与方法：
1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；
2．体会数形结合的数学思想方法.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．
教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．
教学难点:向量共线的充要条件．
一、复习回顾，新课导入
探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明
它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向
相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.
同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。

二、师生互动，新课讲解
1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa |=|λ||a |；
（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.
2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)⋅a=-a ，就是a 的相反向量.
3． 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）
（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）
（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a |
|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |
∴|λ(μa )|=|(λμ)a | 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。

从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0 当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa | 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa | ∴②式成立
第二分配律证明： 如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时 1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ， 作=OA a =AB b =1OA λa =11B A λb 则=OB a +b =1OB λa +λb 由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==||||111AB B A OA OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
=||1OB OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同
λ(a +b )=λa +λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb
∴ ③式成立
特别地，有 (-λ)a=-(λa )= λ(-a )，λ(a -b ）=λa -λb .
例1（课本P88例5） 计算：
（1）(-3)⨯4a ;
（2）3(a+b )-2(a-b )-a ;
（3）(2a +3b -c )-(3a -2b +c ).
解：（1）原式=(-3⨯4)a =-12a ;
（2）原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ;
（3）原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c .
O A B
B 1 A
1
1
变式训练1：设a 、b 是两个不平行的向量，且x (2a+b)+y (3a-2b)=7a , x,y ∈R ，则x =____，y =_____. (x=2,y=1)
4. 向量共线定理（等价条件或充要条件）
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么由向量数乘的定义知：a 与b 共线；
反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a 与b 同向时，有b=μa ，当a 与b 反向时，有b =-μa .
向量共线定理（向量共线的充要条件）：向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使
b=λa .
例2（课本P89例6） 已知任意两个非零向量a 、b ，且OA =a+b ，=a+2b , =a+3b ，判断A 、B 、C 三点之间的
位置关系.
解：因为
=a+2b-(a+b)=b ，
=a+3b-(a+b)=2b ， 于是，所以A 、B 、C 三点共线. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )= λμ1a ±λμ2b .
变式训练2：设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.
解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案 －12
例3 平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且
=a ，
=b ，试用a 、b 表示、、、.
解：=a+b ，=a-b , =(a+b )=a - b
12(a-b )= 12a -12b ; 12MC AC ==12a +12
b ; 12MD MB DB =-=-=-12a +12
b .
变式训练3：设AM 是ABC ∆中线，求证：()
12AM AB AC =+. 证明：因为,AM AB BM AM AC CM =+=+， 所以()()()()2AM AB BM AC CM AB AC BM CM =+++=+++
因为AM 是ABC ∆中线，所以BM CM BM MB +=+=0，
因而2AB M A A C =+，所以()
12AB A AC M =+. 课堂练习：（课本P90练习 NO ：1；2；3；4；5；6）
三、课堂小结，巩固反思
1． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系；
2． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；
3． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；
4． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量是否共线.
四、课时必记
1、实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）
（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）
（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）
2、向量共线定理（向量共线的充要条件）：
向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b=λa .
五、分层作业：
A 组：
1、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：9）
2、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：10）
3、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：11）
4、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：12）
5、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：13）
B 组：
1、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：3）
2、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：4）
3、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：5）
C 组：
1、设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．
求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
分析： (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k . (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线．
(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，
即(k －λ)a ＝(λk －1)b .
又a ，b 是两不共线的非零向量，
∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.。